7-4毕奥-萨伐尔定律

Idl
I
R
r
p
讨论： （1）x=0时 （圆环心处:）

0
B
x
0 I B 2R 0 I B 4R
R
0 IR cos B 2r 2 R cos R2 x 2
0 IR 2 B 2( R 2 x 2 )3 / 2
方向沿 x 轴
（2）半圆环心处: （3）L长弧心处:
z
0 Idl sin 方向：沿 y 方向 dB 4 r2 L Idl 各电流元在P处产生的dB方向一致 2
电流元 Idl 在P处的磁场大小
l
y 0
2
r
1
0 Idl sin B 2 dB 4 r x 1 x ( cos ) x p r sec
θ1 l 2
0 I B [cos 1 cos 2 ] 4x
讨论： （1）若导线无限长
y 0
1
x p
x
1 0
2
0 I B 2x

2
（2）若导线半无限长
1
2
（3）在导线的延长线 B = 0
ˆ Idl r 0
0 I B 4 x
A1
A2
1 端点A2： B 0 nI 2
4、在一无限长的半圆筒形的金属薄片中沿轴向流有电 流， 在垂直电流方向的圆弧上单位长度的电流 i=ksin （K为常量）， 如图所示，求半圆筒轴线上的 B 解：设半圆筒的半径为R，线元dl流过的 dI idl K sin dl 电流为 d I K sin Rd 它在轴线上产生的dB：
I
（4）
BA
d （5） I *A
R1
0 I
4π d
R
o （3） I R
B0
0 I
4R
R2
*o
B0
o
0 I
8R
B0
0 I
4 R2

0 I
4 R1

0 I
4π R1
0 R2 I B 圆形电流轴线上x处的磁场： 2( R 2 x 2 )3 / 2 例3、求载流直螺线管内部的磁场：（R、I、n）
v
r
P
B
E
B 0 0v E
运动电荷所激发的电场和磁场是紧密联系的。 一个运动电荷所激发的电磁场不再是恒定场。
L

0 I 0 I L B 2 R 2 R 4 R
（4）x>>R时 ( x r ) 0 IR 2 0 I R 2 0 m B 3 3 2 x 3 2x 2 x
载流线圈的磁矩（磁偶极矩）
I S
定义： m ISn n
B
n 的方向：线圈平面的法线
x
dB
方向：沿 x 轴正方向
二. 运动电荷的磁场
电荷运动
形成
电 流
磁场
0 I d l sin dB 4 r2
设电流元 Idl ,电流元在P点产生的磁感应强度 dl
I
P
I
设电流元 Idl ，横截面积S，单位体 积内有n个定向运动的正电荷, 每个电荷 电量为q，定向速度为v。
4 r2 方向：Idl r 的方向
0 Idl r dB 3 4π r
dB
P *
r
I
0 4π 10 7 N A 2 真空磁导率
r

Id l
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
磁感强度叠加原理
Bx By B Bz
0 I dl r B dB 3 4π r
0dI 由对称性 By=0 方向如图 dB i 2 R 0dI dB x dB sin sin 2R k sin 2 0 k 1 cos 2 d d y B Bx 0 2 2 0 2 0 R dl d 0 k sin 2 0 k x 2 [ 2 4 ]0 4 0
Idl sin 90 0 0 大小为 : dB 4 2R r2 0 I dl cos B dB// 2 dB// dB cos 0 4r dB dB dB sin 0 I cos 2 R 2 根据对称性： 4 r 0 IR cos B dB 0 2 2r
方向：右手螺旋法则 矢量形式：
r
+ q>0
•
0 qv r B 3 4 r
v
q0
r v

符号含在 q 内
运动电荷除激发磁场外，同时还在其周围 空间激发电场。
E
q r 3 4 0 r 1
q
0 qv r B 3 4 r
E q r 3 4 0 r 1
0 I B cos d 4x 1
0 I [sin 2 sin 1 ] 4 x
sin cos r x sec l xtg 2 dl x sec d
方向：沿 y 方向
z
I
L
θ2
sin 1 cos 1 sin 2 cos 2
0 Idl r dB 3 4π r
毕奥—萨伐尔定律
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1 8 2
d 1、5 点 ： B 0
+
3
7
Id l
R
6 5
3、7点 ：dB +
0 Idl
4π R
0
2
2、4、6、8 点 ：
4+
dB
0 Idl
4π R
2
sin 45
毕奥—萨伐尔定律的应用 例1、求直线电流（I、L） 的磁场。
方向沿x轴 讨论：（1）无限长螺线管
1 , 2 0
方向向右（x轴）
B 0 nI
匀强磁场
（2）半无限长：
1
, 2
0 nI B (cos 2 cos 1 ) 2
2 0
B
0 nI
1 0 nI 2
端点A1：
1 B 0 nI 2
同理：
7-4 毕奥—萨伐尔定律
一· 毕奥—萨伐尔定律 （求稳恒电流周围的磁场） 1、几个符号的规定 如右图所示，规定 （1）线元矢量用符号
I
P *
dl
来表示。
r

Id l
（2）电流元矢量用符号
Idl 来表示。
2 毕奥—萨伐尔定律 实验证明：真空中电流元 Idl 在P点产生的磁场： dB Id l 0 Idl sin 大小： dB
无限长载流长直导线的磁场
B
0 I
2π r
I B
I
X
B
电流与磁感强度成右螺旋关系
半无限长载流长直导线的磁场
BP
0 I
4π r
I
o
r
* P
例2、求圆电流（R、I）轴线上p点处的磁场。
Idl
I
R
r
dB
dB

电流元 Idl 在 p点的磁场 dB
方向如图
0
p dB x //

dB
1
2
dx
得：轴线附近
0 R 2 nIdx B dB 2( R 2 x 2 ) 3 / 2
x
dB 3 2 2 2( R x ) 2
0 R 2 (nIdx )
0 nI B (cos 2 cos 1 ) 2
单位时间内通过横截面S的电 量即为电流强度I:
I qnvS
0 qnvS d l sin dB 2 4 r
设电流元内共有dN个以速度v运动的带电粒子：
d N nS d l
每个带电量为q的粒子以速度v通过电流元所 在位置时，在P点产生的磁感应强度大小为：
0 qv sin dB B dN 4 r2
方向，与 I 构成右手螺旋
如果线圈有N匝，则磁偶极矩
m NIS n
试验线圈在磁场中处于稳定平衡位置时 M 0 此时 n 的
方向就为该处磁场的方向。
M ISen B m B
看看下面几个例子 （1）
I （2 ）
R B x 0 0 I o B0 2R