广东省深圳市2013年高三第一次调研考试数学文试题(2013深圳一模)

试卷类型：A绝密★启用前2013.2本试卷共 6 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码 是否正确；之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学 校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴 条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂 的，答案无效．3．非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原 来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的 答案无效．4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、 错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考结论：1三棱锥的体积公式： V = Sh ，其中 V , S , h 分别是三棱锥的体积、底面积和高；3回归直线的方程是： y = bx + a ，n∑ ( x i- x )( y i -其中： b = i =1, a =y - bx ． n∑(xi - x ) 2 i =1一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知 i 为虚数单位，则（1 - i ）2=A ． 2iB ． -2iC ． 2D ． -22013 年深圳市高三年级第一次调研考试数 学（文科）2．已知集合 A = {x ∈ R | x < 7} ， B = {1，2，3，4} ，则（ A ）∩ B =R 2B ． {2，3，4}D ． {4}A ． {1，2，3，4}C ． {3，4}π3．下列函数中，最小正周期为 的是2Ａ． y = tan xＣ． y = cos xＢ． y = sin 2xＤ． y = cos 4x244．设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时， f (x ) = log 3 (1 + x ) ，则 f (- 2) A ． -15．下列命题为真命题的是Ｂ． -3 Ｃ．1 Ｄ． 3A ．若 p ∨ q 为真命题，则 p ∧ q 为真命题．B ．“ x = 5 ”是“ x 2 - 4x - 5 = 0 ”的充分不必要条件．C ．命题“若 x < -1 ，则 x 2 - 2x - 3 > 0 ”的否命题为：“若 x < -1 ，则 x 2 - 2x - 3 ≤ 0 ”．D ．已知命题 p ： ∃x ∈ R ，使得 x 2 + x - 1 < 0 ，则 ⌝p ： ∀x ∈ R ，使得 x 2 + x - 1 > 0 ．A Ｂ Ｃ Ｄ（第 6 题图）7．某容量为 180 的样本的频率分布直方图共有 n (n > 1)个小矩形，若第一个小矩形的面积1等于其余 n - 1 个小矩形的面积之和的 5 ，则第一个小矩形对应的频数是A ． 20B ． 25C ． 30D ． 358．等差数列 {a n } 中，已知 a 5 > 0 ， a 4 + a 7 < 0 ，则 {a n } 的前 n 项和 S n 的最大值A ． S 7B ． S 6C ． S 5D ． S 4229．已知抛物线 y 2= 2 p x （p > 0）与双曲线 x - y = 1（a > 0, b > 0）的一条渐近线交于一点 2 2 a bM （1, m ），点 M 到抛物线焦点的距离为 3 ，则双曲线的离心率等于 1C ．1 D ．A ． 3B ． 44310．已知 x > 0 ， y > 0 ，且 4xy - x - 2 y = 4 ，则 xy 的最小值为 B ． CD ． 2A ． 2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须做答．11．运行如图所示的程序框图，输出的结果是．（第 11 题图）⎧ x - y + 2 ≤ 0,⎪y12．已知变量 x ，y 满足约束条件 ⎨ x ≥ 1, 则 的取值范围是 ．x ⎪2x + y - 8 ≤ 0. ⎩13．在平面直角坐标系 xOy 中，定点 A （4, 3）且动点 B （m , 0）在 x 轴的正半轴上移动，m的最大值为 ． AB（二）选做题：第14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 ⎧ x = 1 + t,（参数 t ∈ R ），若以 O ⎨⎩y = 4 - 2t. 为极点， x 轴的正半轴为极轴，曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 4s i n θ ，则直线 l 被曲线 C 所截得的弦长为．15．如图， PA 是 ⊙O 的切线， A 为切点，直线 PB 交 ⊙O于 D 、B 两点，交弦 AC 于 E 点，且 AE = 4 ，EC = 3 ，BE = 6 ， PE = 6 ，则 AP =．(第 15 题图)三、解答题：本大题 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分 12 分）3在平面直角坐标系 xOy 中，M （sin 2 θ , 1），N （1, - 2 cos 2 θ）（ θ ∈ R ），且 O M ⋅ O N = 2（1）求点 M , N 的坐标；（2）若角 α , β 的顶点都为坐标原点且始边都与 x 轴的非负半轴重合，终边分别经过点M , N ，求α β 的值.17．（本小题满分 12 分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成ˆ 绩高于 90分的概率；（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程 y = bx+ a ．（第 17 题图）学生 A 1A 2 A 3 A 4 A 5 数学（ x 分） 89 91 93 95 97 物理（ y 分）878989929318．（本小题满分 14 分）π 如图甲， ⊙O 的直径 AB = 2 ，圆上两点 C 、D 在直径 AB 的两侧，使 ∠CAB = ∠DAB =π．沿直径 AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）， F 为 BC 的中 3点， E 为 AO 的中点．根据图乙解答下列各题： （1）求三 棱锥 C - BOD 的体积；（2）求证： CB ⊥ DE ；（3）在 BD上是否存在一点 G ，使得 FG // 平面 ACD ？若存在，试确定点 G 的位置；若不 存在，请说明理由．CB（第 18 题图甲） （第 18 题图乙）19．（本题满分 14 分）设 {a n } 是公比大于 1 的等比数列， S n 为数列 {a n } 的前 n 项和．已知 S 3 = 7 ，且 3a 2 是 a 1 + 3 和 a 3 + 4 的等差中项．（1）求数列 {a n } 的通项公式；a 1，数列 {b } 的前 n 项和为T n ，求证： T n < 2 ． （2）设 b n = n n (a n + 1 )(a n +1 + 1 )20．（本题满分 14 分）已知椭圆 C 的中心为原点 O ，焦点在 x ，且点（1,在该椭圆上．（1）求椭圆 C 的方程；（2）如图，椭圆 C 的长轴为 AB ，设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点， PH ⊥ x 轴，为垂足，点 Q 满足 PQ = HP ，直线 AQ 与过点 B 且垂直于 x 轴的直线交于点 B M = 4 B N．求证： ∠OQN 为锐角．（第 20 题图）21．（本小题满分 14 分）已知函数 （f x ）= a x + x 2 - x ln a - b （a , b ∈ R , a > 1）， e 是自然对数的底数． （1）试判断函数 （f x ）在区间（0, + ∞）上的单调性；（2）当 a = e ， b = 4 时，求整数 k 的值，使得函数 （f x ）在区间（k , k + 1）上存在零点； （3）若存在 x 1 , x 2 ∈[-1, 1]，使得 | （f x 1）- （f x 2）|≥ e - 1 ，试求 a 的取值范围．2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）试卷第 6 页 共 62013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．11．63. 12．[26]，. 13．53． 14 15．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，2 sin ,1M θ（ ），2 1,2cos N θ-（ ）（θ∈R ），且32OM ON ⋅=- . （1）求点,M N 的坐标；（2）若角,αβ的顶点都为坐标原点且始边都与x 轴的非负半轴重合，终边分别经过点,M N ，求tan αβ+()的值.解：(1) 3,2OM ON ⋅=- 223sin 2cos ,2θθ∴-=-………………….2分 223sin 2(1sin ),2θθ∴--=-解得21sin 6θ=，25cos 6θ=所以1(,1)6M ，5(1,)3N -………………….6分（2）由（1）可知1(,1)6M ，5(1,)3N -tan 6α∴=，5tan 3β=- ……………………………….10分tan tan tan()1tan tan αβαβαβ+∴+=-⋅563516()3-=-⨯-1333=……………………………….12分 【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向量的有关知识.考查了运算能力． 17．（本小题满分12分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率； （2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程ˆy bx a =+．解：（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为:45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 、12(,)A A 、13(,)A A 、23(,)A A 共种情10况.………3分其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 共7种情况，故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于90分的概率7P 10=.…………………………………………5分 （2）散点图如右所示. ……………………………………………6分可求得： x =59795939189++++=93，y =59392898987++++=90， ……………………………………………8分51()()30iii x x y y =--=∑∑=-51i 2i)x x (=22222420)2()4(+++-+-=40，3040b ==0.75，a y bx =-=20.25， ……………………………………………11分故y 关于x 的线性回归方程是：ˆ0.7520.25yx =+. ……………………………………………12分 【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．18．（本小题满分14分）如图甲，O ⊙的直径2AB =，圆上两点C D 、在直径AB 的两侧，使4CAB π∠=，3DAB π∠=．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，E 为AO 的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥C BOD -的体积；（2）求证：CB DE ⊥；（3）在 BD上是否存在一点G ，使得//FG 平面ACD ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．A BCOD·(第18题图甲)A BFOD·(第18题图乙)·E G解:（1）C 为圆周上一点，且AB 为直径，90C ∴∠=︒,4CAB π∠=,AC BC ∴=∵O 为AB 中点，CO AB ∴⊥，2,1AB CO =∴= .∵两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， ∴CO ⊥平面ABD ，CO ∴⊥平面BOD . ∴CO 就是点C 到平面BOD 的距离，在Rt ABD ∆中，1111222BOD ABD S S ∆∆==⨯⨯=，11133C BOD BOD V S CO -∆∴=⋅==. ………………………………………4分（2）在AOD ∆中，60,,OAD OA OD ∠=︒=AOD ∴∆为正三角形，又E 为OA 的中点，DE AO ∴⊥，∵两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， DE ∴⊥平面ABC .∴CB DE ⊥. ………………………………………9分 （3）存在，G 为 BD的中点.证明如下： 连接,,OG OF FG ，∴OG BD ⊥，∵AB 为⊙O 的直径， ∴AD BD ⊥ ∴//OG AD ，OG ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ， ∴OG //平面ACD .在ABC ∆中，,O F 分别为,AB BC 的中点，//OF AC ∴，OF ⊄平面ACD ，//OF ∴平面ACD ， ,OG OF O =∴平面//OFG 平面ACD ，又FG ⊂平面OFG ，//FG ∴平面ACD .………………………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且23a 是 13a +和34a +的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设111n n n n a b a a +=++()()，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <．解：（1）由已知，得1231327(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，………………………………………3分解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，则12a q =，∴213122a a a q q q===，． 由37S =，可知2227q q++=， ∴22520q q -+=， 解得12122q q ==，． 由题意，得12q q >∴=，． …………………………………………………5分 ∴11a =．故数列{}n a 的通项为12n n a -=． …………………………………………………7分(2)∵1(1)(1)n n n n a b a a +=++112(21)(21)n n n --=++1112121n n -=-++， …………11分 ∴n S 112231111111111121212121212121n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121n =-++11221n =-+12<.……………………………………………14分【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学生的运算能力和思维能力．20．（本题满分14分）已知椭圆C 的中心为原点O ，焦点在x，且点1,（在该椭圆上． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，椭圆C 的长轴为AB ，设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，点Q 满足PQ HP = ，直线AQ 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M ，4BM BN =．求证：OQN ∠为锐角．20．解：（1）设椭圆C 的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得c e a == ,又222c b a +=，∴224b a =. …………………………………………2分∵椭圆C经过(1,2，代入椭圆方程有 2231414b b+=， 解得21b =. …………………………………………5分 ∴24a =，故椭圆C 的方程为 2214x y +=. …………………………………………6分 （2）设()00,P x y 0(22)x -<<， …………………………………………7分 ∵()2,0A -， ∵PQ HP =， ∴()00,2Q x y ，（第20题图）∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++． …………………………………………9分 令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭．∵()2,0B ，4BM BN =，∴002,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭． ∴()00,2QO x y =-- ，00002(1)2,2y x QN x x ⎛⎫-+=- ⎪+⎝⎭．∴()()2000000000002(1)4(1)2(2)222y x y x QO QN x x y x x x x -++⋅=--+-⋅=-+++ ∵220014x y +=，∴220044y x =-∴02QO QN x ⋅=-…………………………………………12分∵022x -<<，∴020QO QN x ⋅=->．又O 、Q 、N 不在同一条直线，∴OQN ∠为锐角. …………………………………………………14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力． 21．（本小题满分14分）已知函数2ln , , 1x f x a x x a b a b a =+-- ∈>R （）（），e 是自然对数的底数．（1）试判断函数f x （）在区间0, +∞（）上的单调性； （2）当e a =，4b =时，求整数k 的值，使得函数f x （）在区间, 1k k +（）上存在零点； （3）若存在12, 1, 1x x ∈-[]，使得12||e 1f x f x -≥-（）（），试求a 的取值范围． 解：（1）()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+- …………………………1分由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10xa a >->，所以()0f x '>，…………2分故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 . …………………………………………3分 （2）2()4xf x e x x =+--，'()21xf x e x ∴=+-，(0)0f '∴=， ……………………………………4分当0x >时，1xe >，()0f x '∴>，故()f x 是(0,)+∞上的增函数； 同理，()f x 是(,0)-∞上的减函数. …………………………………5分2(0)30,(1)40,(2)20f f e f e =-<=-<=->，当2x >，()0f x >，故当0x >时，函数()f x 的零点在(1,2)内，1k ∴=满足条件；211(0)30,(1)20,(2)20f f f e e=-<-=-<-=+>，当2x <-，()0f x >，故当0x <时，函数()f x 的零点在(2,1)--内，2k ∴=-满足条件. 综上所述 1k =或2-. ………………………………………7分 （3）2()ln xf x a x x a b =+--，因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1x ∈-时，m a x m inm a xm |()()|()()1f x f x fx fx e -=-≥-…………………………8分()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-，①当0x >时，由1a >，可知10xa ->，ln 0a >，∴()0f x '>； ②当0x <时，由1a >，可知 10x a -<，ln 0a >，∴()0f x '<； ③当0x =时，()0f x '=.∴()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，…………………………………11分 ∴当[1,1]x ∈-时，{}min max ()(0)1,()max (1),(1)f x f b f x f f ==-=-， 而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a b a b a a a a--=+---++-=--， 设1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t'=+-=-≥（当1t =时取等号），∴1()2ln g t t t t=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =， ∴当1t >时，()0g t >， ∴当1a >时，12ln 0a a a-->， ∴(1)(1)f f >-， ∴(1)(0)1f f e -≥-，∴ln 1a a e -≥-，即ln ln a a e e -≥-， 设()ln (1)h a a a a =->，则11()10a h a a a -'=-=>.∴函数()ln (1)h a a a a =->在(1,)+∞上为增函数， ∴a e ≥.即a 的取值范围是[),e +∞……………………………………14分【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.。