2021年内蒙古包头市中考数学试卷和答案

2021年内蒙古包头市中考数学试卷

一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

1．（3分）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（）

A．6B．5C．4D．3

2．（3分）下列运算结果中，绝对值最大的是（）

A．1+（﹣4）B．（﹣1）4C．（﹣5）﹣1D．

3．（3分）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，则线段AD的长为（）

A．1B．3C．1或3D．2或3 4．（3分）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（）

A．B．C．D．

5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，以点A为圆心，交AB于点D，交AC于点C，AC的长为半径画弧，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为（）

A．8﹣πB．4﹣πC．2﹣D．1﹣

6．（3分）若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（）A．7B．4C．3D．3﹣2 7．（3分）定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（）

A．﹣1B．﹣2C．1D．2

8．（3分）如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（）

A．80°B．70°C．60°D．50°9．（3分）下列命题正确的是（）

A．在函数y＝﹣中，当x＞0时，y随x的增大而减小

B．若a＜0，则1+a＞1﹣a

C．垂直于半径的直线是圆的切线

D．各边相等的圆内接四边形是正方形

10．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，与BC相交于

点O，垂足为C，AD相交于点E，BC＝6，则的值为（）

A．B．C．D．

12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x 轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0），与对角线OB交于点E，与AB交于点F，DE，EF

①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．

其中正确的结论有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。

13．（3分）因式分解：+ax+a＝．14．（3分）化简：＝．

15．（3分）一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立

方根为．

16．（3分）某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10．若这组数据的中位数为8．

17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为B，且BD＝3，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，则MN的长为．

18．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝12，连接OC．若OC＝AB，则▱ABCD的周长为．

19．（3分）如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，连接CE，EF，EF＝EC，则∠BAF的度数为．

20．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧）与y轴交于点C（4，y）在抛物线上，E是该抛

物线对称轴上一动点，△ACE的面积为．

三、解答题：本大题共有6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。

21．（8分）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，解答下列问题：

甲组20名学生竞赛成绩统计表

708090100

成绩

（分）

人数3a b5

（1）求统计表中a，b的值；

（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，请写出正确的算式并计算出结果；

（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．

22．（8分）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点km，CD长为（+），BD长为km，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）．（1）求A、D两点之间的距离；

（2）求隧道AB的长度．

23．（10分）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．

（1）求小刚跑步的平均速度；

（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．

24．（10分）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，交于点G，交AD于点M，DE，DF．

（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；

（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2

25．（12分）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，CP．

（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R上时，连接AP，CD＝AP，连接DP；

（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，连接EP并延长，交AC于点F，若，求证：4EF＝3AB；

（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，AB＝6a，MP＝a1，△BCP的面积为S2，求S1﹣S2的值（用含a的代数式表示）．

26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）

（1）如图1，当m＞0，n＞0，

①求点M的坐标；

②若点B（，y）在该抛物线上，连接OM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD∥MO，线段OD 与MC是否相等？请说明理由；

（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，），当m＞2，n＞0，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，点G的坐标为（0，），连接GF．若EF+NF＝2MF

答案

一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

1．参考答案：因为46.61万＝466100＝4.661×105，

所以将46.61万用科学记数法表示为6.661×10n，则n等于5．

故选：B．

点睛：此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2．参考答案：因为|1+（﹣4）|＝|﹣7|＝3，|（﹣1）2|＝|1|＝1，|（﹣5）﹣1|＝|﹣|＝，|，

且＜3＜2＜3，

所以绝对值最大的是选项A．

故选：A．

点睛：本题考查了有理数的运算、负整数指数幂的运算和绝对值的化简．解题的关键是掌握有理数的运算法则、负整数指数幂的运算法则和绝对值的化简方法．

3．参考答案：根据题意分两种情况，

①如图1，

∵AB＝4，BC＝3，

∴AC＝AB﹣BC＝2，

∵D是线段AC的中点，

∴AD＝＝；

②如图2，

∵AB＝8，BC＝2，

∴AC＝AB+BC＝6，

∵D是线段AC的中点，

∴AD＝＝×6＝3．

∴线段AD的长为4或3．

故选：C．

点睛：本题主要考查了两点之间的距离，正确理解题目并进行分情况进行计算是解决本题的关键．

4．参考答案：两双不同的鞋用A、a、B、b表示、a表示同一双鞋，B，

画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果数为4，所以取出的鞋是同一双的概率＝＝．

故选：A．

点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

5．参考答案：根据题意可知AC＝＝＝1，

设∠B＝n°，∠A＝m°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，

∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）＝﹣（＝1﹣，

故选：D．

点睛：本题考查扇形面积的计算及勾股定理，通常需要将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．

6．参考答案：∵x＝+1，

∴x﹣6＝，

∴（x﹣1）3＝2，即x2﹣3x+1＝2，

∴x3﹣2x＝1，

∴x5﹣2x+2＝8+2＝3．

故选：C．

点睛：本题考查了二次根式的化简求值：完全平方公式的灵活运用是解决问题的关键．利用整体代入的方法可简化计算．

7．参考答案∵a⊗b＝a﹣2b，

∴x⨂m═x﹣2m．

∵x⨂m＞5，

∴x﹣2m＞3，

∴x＞7m+3．

∵关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣4，

∴2m+3＝﹣3，

∴m＝﹣2．

故选：B．

点睛：本题考查了新定义计算在不等式中的运用，读懂新定义并熟练的解不等式是解题的关键．

8．参考答案：如图，

∵l1∥l2，

∴∠5+∠3＝180°，

∵∠1+∠3+∠3＝240°，

∴∠2＝240°﹣（∠3+∠3）＝60°，

∵∠3+∠3+∠5＝180°，∠3＝50°，

∴∠8＝180°﹣∠2﹣∠3＝70°，

∵l7∥l2，

∴∠4＝∠5＝70°，

点睛：此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及平角的定义是解题的关键．

9．参考答案：A、在函数y＝﹣＜0，y随x的增大而增大，不符合题意；

B、若a＜5，故原命题错误；

C、垂直于半径且经过半径的外端的直线是圆的切线，不符合题意；

D、各边相等的圆内接四边形是正方形，是真命题，

故选：D．

点睛：考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解反比例函数的性质、不等式的性质、圆的切线的判定定理及正方形的判定方法，难度不大．

10．参考答案：∵点（1，﹣b）在第一象限．

∴﹣b＞0．

∴b＜8．

∵二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（5，﹣b）．

∴﹣b＝a﹣b+c．

∴a+c＝0．

∵a≠0．

∴ac＜6．

∴一次函数y＝bx﹣ac的图象经过一、二、四象限．

点睛：本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识．关键在于判断b、﹣ac的正负性．11．参考答案：∵△DBC和△ABC关于直线BC对称，

∴AC＝CD，AB＝BD，

∵AB＝AC，

∴AC＝CD＝AB＝BD，

∴四边形ABDC是菱形，

∴AD⊥BC，AO＝DO＝4，∠ACO＝∠DCO，

∴BD＝＝＝5，

∵CE⊥CD，

∴∠DCO+∠ECO＝90°＝∠CAO+∠ACO，

∴∠CAO＝∠ECO，

∴tan∠ECO＝＝，

∴，

∴EO＝，

∴AE＝，

∴＝＝，

故选：D．

点睛：本题考查了菱形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出EO的长是解题的关键．

12．参考答案：①矩形OABC中，

∵B（4，2），

∴OA＝3，OC＝2，

由勾股定理得：OB＝＝2，当y＝2时，8＝，

∴x＝1，

∴D（5，2），

∴CD＝1，

由勾股定理得：OD＝＝，

∴sin∠DOC＝＝＝，

cos∠BOC＝＝，

∴sin∠DOC＝cos∠BOC，

故①正确；

②设OB的解析式为：y＝kx（k≠0），把（8，2）代入得：4k＝3，

∴k＝，

∴y＝x，

当x＝时，

∴E（2，8），

∴E是OB的中点，

∴OE＝BE，

故②正确；

③当x＝4时，y＝，

∴F（4，），

∴BF＝2﹣＝，

∴S△BEF＝（4﹣2）＝，

S△DOE＝﹣﹣

＝4﹣5﹣

＝，

∴S△DOE＝S△BEF，

故③正确；

④由勾股定理得：DF＝＝，

∵OD＝，

∴＝，

即OD：DF＝8：3．

故④正确；

其中正确的结论有①②③④，共4个．

故选：A．

点睛：本题考查了矩形的性质，三角函数的定义，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是利用点的坐标确定线段的长，本题属于中等题型．

二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。

13．参考答案：原式＝a（x5+4x+4）＝a（x+2）2，

故答案为：a（x+2）2．

点睛：本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．

14．参考答案：原式＝•（m+2）

＝

＝1．

故答案为3．

点睛：本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．

15．参考答案：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+8，

∴2b﹣1+b+3＝0，

∴b＝﹣1．

∴b+8＝﹣1+4＝7，

∴a＝9．

∴a+b＝9+（﹣8）＝8，

∵8的立方根为3，

∴a+b的立方根为2．

故答案为：2．

点睛：本题主要考查平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义和性质．

16．参考答案：根据题意，数据5，7，x，10的中位数为7，

则有x＝8，

这组数据的平均数为（5+10+7+7+10）＝8，

则这组数据的方差S2＝[5﹣2）2+（10﹣8）8+（7﹣8）7+（8﹣8）6+（10﹣8）2]＝5.6，

故答案为：3.4．

点睛：本题考查数据的方差计算，关键是由中位数的定义求出x 的值．

17．参考答案：∵∠ACB＝90°，BD⊥CD，

∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，

∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，

∴△MAC∽MBD，△CMN∽CDB，

∴，，

∴，

∴，

∴MN＝．

故答案为：．

点睛：本题主要考查了三角形相似的判定和性质，旨在判断学生是否对两个常见的相似模型“A型相似”和“8字型相似”能够灵活应用．这里的易错点是在得到第一对三角形的相似比时，学生容易直接使用在第二对相似三角形中，导致失分．

18．参考答案：连接OE，过点C作CF⊥AD交AD于点F，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC，

∴∠EOD+∠OEC＝180°，

∵⊙O与BC相切于点E，

∴OE⊥BC，

∴∠OEC＝90°

∴∠EOD＝90°，

∵CF⊥AD，

∴∠CFO＝90°，

∴四边形OECF为矩形，

∴FC＝OE，

∵AD为直径，AD＝12，

∴FC＝OE＝OD＝AD＝4，

∵OC＝AB，CF⊥AD，

∴OF＝OD＝3，

在Rt△OFC中，由勾股定理得，

OC2＝OF2+FC7＝32+72＝45，

∴AB＝OC＝3，

∴▱ABCD的周长为12+12+3+5，

故答案为：24+8．

点睛：本题考查了平行四边形的性质，切线的性质，解题的关键是利用辅助线构造矩形，通过矩形的性质求出平行四边形的边长．19．参考答案：如右图，连接AE，

∵BD为正方形ABCD的对角线，

∴∠BDC＝45°，

∵DE＝DC＝AD，

∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，

∵∠DCB＝90°，

∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.6°＝22.5°，

∵EF＝EC，

∴∠EFC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.6°＝135°，

∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，

∴∠BEF＝135°﹣112.3°＝22.5°，

∵AD＝DE，∠ADE＝45°，

∴∠AED＝＝67.5°，

∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，

∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，

在△ADE和△EDC中，

，

∴△ADE≌△EDC（SAS），