大学物理 高斯定理
大学物理课件：磁场的高斯定理
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思考问题！！
求穿过旋转曲面的磁通量， 是否可以通过求穿过平面圆的
磁通量来求呢？
为什么？
BB
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例1 在匀强磁场B中，有一半径为r的半球面S,S 边线所在平面的法线方向的单位矢量n和B的夹角为
,如图所示，则通过半球面S的磁通量为
-B r2cos
将半球面和圆面组成一个闭 合面，则由磁场的高斯定理知， 通过此闭合面的磁通量为零。
对闭合曲面来说,我们规定取向外的方向为法线的正方向。
这样：
磁力线穿入： 0 磁力线穿出： 0
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二、.磁场的高斯定理
由于磁力线是闭合曲线，因此通过任一闭合曲 面磁通量的代数和(净通量)必为零,亦即
sB dS 0
——称为磁场的高斯定理。
在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电 荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反 映了静电场是有源场。而在磁场中,磁力线的连续性 表明,像正、负电荷那样的磁单极是不存在的,磁场 是无源场。
3）磁力线不相交
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2. 磁通量
磁场中,通过一给定曲面的磁力线数目,称为通过
该曲面的磁通量。
m
B dS
s
BdS cos
s
dS
B
在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(wb)。
说明
（1）对于有限曲面
B dS
dS
对于闭合曲面 SB dS
（2）磁通量是标量，其正负由角确定。与电场中一样，
磁场的高斯定理
一、.磁感应线 、磁通量
1.磁感应线(磁力线)
为了形线。
规定：1) 2)
大方小向：：垂磁直力B线的磁切单感线位应方面强向积度为上B磁的穿感大过应小的强磁度力B线的条方数向为
大学物理 高斯定理
第8章 静电场和稳恒电场
17
8-2 电通量 高斯定理
例8.6 均匀带电球面的电场强度 一半径为 R , 均匀带电 q 的球 求球面内外任意点的电场强度. 面 . 求球面内外任意点的电场强度
r
+ + 1+ + + +
S
O
v v ∫ E ⋅ dS = 0
S1
解（1） 0 < r < R ）
r
R
+ + +
1 q d Φ e = E cos 0d S = dS 2 4π ε 0 r
qd S Φe = dΦe = ∫S ∫ S 4πε 0 r 2
=
=
r
+
v dS
q
4 πε 0r q
2
∫
S
dS
ε0
Φ e 与r无关
第8章 静电场和稳恒电场
12
8-2 电通量 高斯定理
点电荷在任意闭合曲面内 点电荷在任意闭合曲面内
+ q 发出的 q / ε 0
条电力线不会中断， 条电力线不会中断，仍全 部穿出封闭曲面 S ，即：
+
Φe =
q
ε0
点电荷位于球面中心
Φe =
q
ε0
第8章 静电场和稳恒电场
13
8-2 电通量 高斯定理
点电荷在闭合曲面之外 点电荷在闭合曲面之外
r v d Φ1 = E 1 ⋅ d S 1 > 0 v v d Φ2 = E 2 ⋅ d S 2 < 0
6
8-2 电通量 高斯定理
带电平行板电容器的电力线 + + + + + + + + + + + +
大学物理高斯定理
球对称分布：包括 均匀带电的球面， 球体和多层同心球 壳等
轴对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面大，学物圆理高柱斯壳定理等；
无限大平面电荷： 包括无限大的均 匀带电平面，平 板等。
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分 析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求 电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴 对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：
静电场的性质与计算 6-3 电场线 高斯定理
大学物理高斯定理
6-3 电场线 高斯定理
一、电场线
1、定义
在电场中画一组带箭头的曲线,
这些曲线与电场强度 E 之间具有
E
以下关系:
①电场线上任一点的切线方向给出了该点电场 强度的方向；
②某点处电场线密度与该点电场强度的大小相 等。
大学物理高斯定理
电场线密度:经过电场中任一点， 作一面积元dS，并使它与该点的 场强垂直，若通过dS面的电场线 条数为dN，则电场线密度
大学物理高斯定理
高斯定理的应用
例1. 求球面半径为R,带电为q的均匀带电球面的电场的
空间分布。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
S E dS
E 4r2
q
0
q
E 40 r 2
+ +
+ +
+
R
+
r
+q + +
+
rR时，高斯面无电荷，
E＝0
+
+
+++ +
大学物理高斯定理公式
大学物理高斯定理公式大学物理中的高斯定理公式是一种关于电场和电流分布的基本定律。
高斯定理可以用于描述物体电场和电流分布，同时可以用于计算一般电场和电流分布情况下的电容量和电侵蚀率。
这里介绍几种常用的高斯定理公式。
一、单点电荷的高斯定理公式通常情况，单一的常规的静电场的电荷分布是具有点特征的，此时只需要考虑一个点电荷的作用，可以根据高斯定理，给出点电荷产生的电场的表达式：$$E(r)=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$$其中，$E$ 是点电荷$q$所产生的电场，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r$是测量点相较于点电荷的距离。
二、多点电荷组合的高斯定理公式当考虑多点电荷时，就没有简单地表达式了，首先根据高斯定理，给出多点电荷产生的电场的概念的表达式：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i}{4\pi \epsilon_0 r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
有时，我们可以使用梯度运算来分析多点电荷组合作用下的电场，即：$$\nabla E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi\epsilon_0 r_i^3}$$三、静电场介电体上的高斯定理公式静电场介电体的电场分布可以根据高斯定理给出：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi \epsilon(r)r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的介电体静电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon(r)$是介电体在多点电荷源处的介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
大学物理-电通量-高斯定理
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
二、 高斯定理的解题步骤：
大学物理
上册
§7. 3 电通量 高斯定理
§7. 3 电通量 高斯定理
7-3-1 电场线及其性质
❖ 标量场： 在空间各点存在着一个标量，它的数值是 空间位置的函数，如温度场、气压场
❖ 矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空 间位置的函数，如流速场、电场、磁场 ▪ 场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切 线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密 反映矢量的大小。
解: 对称性分析 E具有球对称作高斯面——球面
1） rR
电通量
e E1 dS E1 dS E14r2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+ +
R
+
+
r
E
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
e E 22d ）S E r2 d RS E 2 4 r2
++
+
E
+
s2
S
E d S E 1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0q1 0 q0 2 qn 0
大学物理高斯定理
第11章 静电场
11-4 高斯定理
2 点电荷在任意形状的高斯面内 通过球面 S 的电场线也必通 过任意曲面S‘ ，即它们的电 通量相等。 为 q / o
S'
S +
q E Φ E d dS e e SS o
第11章 静电场
11-4 高斯定理
3 电荷q在闭合曲面以外
0
dV E d S 若电荷连续分布，则为 e: E d S s V
0
第11章 静电场
11-4 高斯定理
讨论
1 闭合面内、外电荷 对
S
E 都有贡献
对电通量 E dS 的贡献有差别
只有闭合面内的电量对电通量有贡献 2 静电场性质的基本方程
非匀强电场
E
dS
en
Φ dΦ S E dS
第11章 静电场
11-4 高斯定理
讨论
1
dΦ E dS 的正、负取决于面元的法线方向与
电场强度方向的关系
如图所示： 若面元法向相反：
E dS 0
E dS ' 0
E
dS
dS '
第11章 静电场
11-4 高斯定理
11-4 高斯定理
描述电场的两种方法：电力线和电通量。 11.4.1 电场线 1 曲线上各点的切线方向都与该点处的场强方向一致 2 电场线密度
EP
dN E dS
第11章 静电场
EQ
Q
P
dN
dS
11-4 高斯定理
电场线的性质： 电场线起自于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷 远 ，没有电荷处不中断。 对于静电场不可能出现单一绕向的闭合电力线。 两条电场线不会相交，不能相切。
大学物理电通量高斯定理
高斯定理的应用范围
在静电场中，高斯定理广泛应用 于电荷分布和电场关系的分析。
在恒定磁场中，高斯定理可以用 来分析磁通量与电流之间的关系
。
高斯定理是解决物理问题的重要 工具之一，尤其在计算电场分布 、求解电势、分析带电体的相互
作用等方面具有广泛应用。
02
电通量和高斯定理的关系来自 电通量的定义和性质总结词
大学物理电通量高斯定理
汇报人： 202X-01-04
contents
目录
• 高斯定理的概述 • 电通量和高斯定理的关系 • 高斯定理的证明 • 高斯定理的应用实例
01
高斯定理的概述
高斯定理的内容
总结了电荷分布与电场之间的关系， 指出在空间中任一封闭曲面内的电荷 量与该封闭曲面上的电场通量之间存 在正比关系。
利用电场线证明高斯定理
总结词：直观明了
详细描述：通过电场线的闭合曲线围成的面积的电通量与该闭合曲线所包围的电荷量的关系，证明高 斯定理。
利用高斯公式证明高斯定理
总结词：数学严谨
详细描述：利用高斯公式，将空间分成无数小的体积元，再通过求和得到整个空间的电场分布，从而证明高斯定理。
利用微积分证明高斯定理
详细描述
高斯定理是描述电通量与电荷分布关系的定理，它指出在任意闭合曲面内的电荷量等于该闭合曲面所包围的体积 内电场线的总条数。这个定理表明，电荷分布与电场线数之间存在一定的关系，即电荷分布影响电场线的分布。
电通量和高斯定理的推导过程
总结词
通过数学推导，我们可以证明高斯定理的正确性。首先，我们定义电场线密度为电场强 度与垂直于曲面的面积之比，然后利用微积分原理和格林公式，推导出高斯定理的表达
公式表达为：∮E·dS = 4πkQ，其中 ∮E·dS表示封闭曲面上的电场通量，Q 表示曲面内的电荷量。
2.大学物理-高斯定理
曲面上各点处电场强度: 曲面上各点处电场强度:
E = E1 + E2 + + En
S
所有电荷的贡献. 包括 S 内,S 外,所有电荷的贡献. 穿过 S 的电通量: 的电通量:
φe = ∫ E dS = ∫ E1 dS + ∫ E2 dS + + ∫ En dS
s
= φe1 + φe 2 + + φen =
r
ρ 均匀 r′ R oρ ρ 非均匀
S
dV = 4πr dr
2
r ≥ R: r ≤ R:
∑ q内 = ∫ ρ( r ) dV = q
0
R
∑ q内 = ∫ ρ( r ) dV = qr
0
r
ρ 均匀 ≠ ρ V ρ 非均匀 = ρ V ρ 均匀
= ρ V
≠ ρ Vr ρ 非均匀
r
[例二] 例二]
n = en
(各面元一致) 各面元一致)
开放面:双向,任指定一向为正. 开放面:双向,任指定一向为正. 封闭面:单向,已规定向外为正. 封闭面:单向,已规定向外为正. 向外为正
2.概念 流量为例 2.概念 以流量为例 面元的流量 (1)通过面元的流量: )通过面元的流量:
vdt
hθ
dS⊥ dS vn
λr E= 2πε0 R2
R
λL 2
讨论: 讨论:
1. 无限长均匀带电柱面的电场分布 对称性分析: 对称性分析:视 为无限长均匀带 电直线的集合; 电直线的集合; 选高斯面; 选高斯面;同轴 圆柱面
R
λ
o o
r
r
P
dE
由高斯定理计算
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引言概述：
在大学物理中，高斯定理是一项重要的物理原理，它描述了电场和磁场的性质。
高斯定理由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪中叶提出，是电磁学的基础之一。
本文将介绍高斯定理的概念、原理及其在电场和磁场中的应用。
正文内容：
1. 高斯定理的概念
1.1 定义
高斯定理是描述电场和磁场分布的一种数学工具，它通过计算电场或磁场通过一个闭合曲面（高斯面）的总通量来研究场的分布。
1.2 数学表达
高斯定理可以用数学表达式表示为：∮E·dA = q/ε0，其中∮E·dA表示场在闭合曲面上的总通量，q表示闭合曲面内的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定理的原理
2.1 高斯面的选择
高斯定理中的高斯面是根据具体问题选择的，一般情况下我们选择对称性较高的闭合曲面，以简化计算。
2.2 电场线的特性
高斯定理的基础是电场线的性质，电场线从正电荷流向负电荷，且与介质边界垂直，通过一个封闭曲面的电场线数目与该封闭曲面内的电荷量有关。
2.3 通量与电场强度
高斯定理中的总通量与电场强度呈正相关关系，通过计算总通量可以得到闭合曲面内的电场强度大小。
3. 高斯定理在电场中的应用
3.1 点电荷的场分布
高斯定理可以用来研究点电荷周围的电场分布，通过选择以点电荷为中心的球面作为高斯面，可以计算出球面内外的电场强度大小。
3.2 均匀带电球壳的场分布
对于均匀带电球壳，可以通过选择以球壳为中心的闭合曲面来计算球壳内外的电场分布，根据高斯定理可以得到球壳内外的电场强度大小。
4. 高斯定理在磁场中的应用
4.1 磁场的总通量
类似于电场，磁场也可以使用高斯定理来描述，通过计算磁场通过闭合曲面的总通量可以了解磁场的分布情况。
4.2 磁场的磁感应强度
高斯定理在磁场中的应用可以得到磁场的磁感应强度大小，通过选择合适的闭合曲面，可以计算出曲面内外的磁感应强度。
5. 高斯定理的实际应用
5.1 高斯定理在电容器中的应用
电容器是电子器件中常见的元件，根据高斯定理，可以计算电容器两极板之间的电场强度，进而了解电容器的性能。
5.2 高斯定理在电磁感应中的应用
电磁感应是产生电流和电动势的重要物理现象，通过高斯定理可以了解磁场对电路中的感应电流和感应电动势的影响。
总结：
高斯定理是大学物理中重要的概念和原理，用于描述电场和磁场的分布情况。
本文介绍了高斯定理的概念、原理以及在电场和磁场中的应用。
通过高斯定理的计算，我们可以得到电场强度和磁感应强度的分布情况，进而理解和分析各种电磁现象和器件。
高斯定理在物理学以及电子工程等领域具有广泛的实际应用价值。