大物电场强度、高斯定理
大学物理 高斯定理
引言概述：在大学物理中，高斯定理是一项重要的物理原理，它描述了电场和磁场的性质。
高斯定理由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪中叶提出，是电磁学的基础之一。
本文将介绍高斯定理的概念、原理及其在电场和磁场中的应用。
正文内容：1. 高斯定理的概念1.1 定义高斯定理是描述电场和磁场分布的一种数学工具，它通过计算电场或磁场通过一个闭合曲面（高斯面）的总通量来研究场的分布。
1.2 数学表达高斯定理可以用数学表达式表示为：∮E·dA = q/ε0，其中∮E·dA表示场在闭合曲面上的总通量，q表示闭合曲面内的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定理的原理2.1 高斯面的选择高斯定理中的高斯面是根据具体问题选择的，一般情况下我们选择对称性较高的闭合曲面，以简化计算。
2.2 电场线的特性高斯定理的基础是电场线的性质，电场线从正电荷流向负电荷，且与介质边界垂直，通过一个封闭曲面的电场线数目与该封闭曲面内的电荷量有关。
2.3 通量与电场强度高斯定理中的总通量与电场强度呈正相关关系，通过计算总通量可以得到闭合曲面内的电场强度大小。
3. 高斯定理在电场中的应用3.1 点电荷的场分布高斯定理可以用来研究点电荷周围的电场分布，通过选择以点电荷为中心的球面作为高斯面，可以计算出球面内外的电场强度大小。
3.2 均匀带电球壳的场分布对于均匀带电球壳，可以通过选择以球壳为中心的闭合曲面来计算球壳内外的电场分布，根据高斯定理可以得到球壳内外的电场强度大小。
4. 高斯定理在磁场中的应用4.1 磁场的总通量类似于电场，磁场也可以使用高斯定理来描述，通过计算磁场通过闭合曲面的总通量可以了解磁场的分布情况。
4.2 磁场的磁感应强度高斯定理在磁场中的应用可以得到磁场的磁感应强度大小，通过选择合适的闭合曲面，可以计算出曲面内外的磁感应强度。
5. 高斯定理的实际应用5.1 高斯定理在电容器中的应用电容器是电子器件中常见的元件，根据高斯定理，可以计算电容器两极板之间的电场强度，进而了解电容器的性能。
大学物理高斯定理
球对称分布：包括 均匀带电的球面， 球体和多层同心球 壳等
轴对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面大，学物圆理高柱斯壳定理等；
无限大平面电荷： 包括无限大的均 匀带电平面，平 板等。
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分 析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求 电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴 对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：
静电场的性质与计算 6-3 电场线 高斯定理
大学物理高斯定理
6-3 电场线 高斯定理
一、电场线
1、定义
在电场中画一组带箭头的曲线,
这些曲线与电场强度 E 之间具有
E
以下关系:
①电场线上任一点的切线方向给出了该点电场 强度的方向；
②某点处电场线密度与该点电场强度的大小相 等。
大学物理高斯定理
电场线密度:经过电场中任一点， 作一面积元dS，并使它与该点的 场强垂直，若通过dS面的电场线 条数为dN，则电场线密度
大学物理高斯定理
高斯定理的应用
例1. 求球面半径为R,带电为q的均匀带电球面的电场的
空间分布。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
S E dS
E 4r2
q
0
q
E 40 r 2
+ +
+ +
+
R
+
r
+q + +
+
rR时，高斯面无电荷，
E＝0
+
+
+++ +
大学物理高斯定理公式
大学物理高斯定理公式大学物理中的高斯定理公式是一种关于电场和电流分布的基本定律。
高斯定理可以用于描述物体电场和电流分布，同时可以用于计算一般电场和电流分布情况下的电容量和电侵蚀率。
这里介绍几种常用的高斯定理公式。
一、单点电荷的高斯定理公式通常情况，单一的常规的静电场的电荷分布是具有点特征的，此时只需要考虑一个点电荷的作用，可以根据高斯定理，给出点电荷产生的电场的表达式：$$E(r)=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$$其中，$E$ 是点电荷$q$所产生的电场，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r$是测量点相较于点电荷的距离。
二、多点电荷组合的高斯定理公式当考虑多点电荷时，就没有简单地表达式了，首先根据高斯定理，给出多点电荷产生的电场的概念的表达式：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i}{4\pi \epsilon_0 r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
有时，我们可以使用梯度运算来分析多点电荷组合作用下的电场，即：$$\nabla E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi\epsilon_0 r_i^3}$$三、静电场介电体上的高斯定理公式静电场介电体的电场分布可以根据高斯定理给出：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi \epsilon(r)r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的介电体静电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon(r)$是介电体在多点电荷源处的介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
大学物理-电场强度通量,高斯定理
2
i
0
q
i
E 4πr 0
E 4 πr
2
q
E 0
0
E
q 4 π 0 r 2
例2 计算均匀带电球体的场强分布，q , R 解： 通量
q 4 πR 3 3
qi 2 Φe E dS E 4πr S 0
r<R r>R 电量
电量
4 3 q π r i 3
S S
n
E
曲面闭合时
Φe E dS E cos dS
S S
S
dS
注： E为dS处的电场强度
n E
例 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量. 解
Φe Φei
i 1
5
y
N
S1
P
S2
Φe1 Φe 2
2、高斯 (Gauss) 定理 （1） 证明: 略.书P166-168 （2 ）内容(书P168): 真空中 注:
1 Φe E dS
s
0
q
i 1
n
in i
①公式中S：高斯面(闭合曲面)
②穿过S面的电场强度通量e: 只由S面内的电荷决定
（如图中 q1、q2） ③ E : 面元 dS 处的场强 , 由所有电荷（面内、外电荷） 共同产生（如图中 q1、 q2 、 q3）
；
.
q 8 0
(3) 若将此电荷移到正方体的一 个顶点上，则通过整个 正方体表面的电场强度通量为
1 e E dS
s
0
q
大物高斯定理
大物高斯定理大物高斯定理是电磁学中的基本定理之一，它描述了电场与闭合曲面穿过的电荷之间的关系。
该定理由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出，被广泛应用于电磁学和物理学的研究中。
大物高斯定理的表述可以简单概括为：闭合曲面上的电场通量等于该闭合曲面内的总电荷量除以真空介电常数。
换句话说，电场通过一个闭合曲面的总量与该闭合曲面内的电荷分布有直接的关系。
在电磁学中，电荷是电场的源头，电场则是电荷作用的结果。
电场的强度可以通过测量电场线的密度来表示，电场线越密集，电场强度越大。
根据大物高斯定理，电场线从正电荷出发，经过空间中的各个点，再回到负电荷。
闭合曲面上的电场线数目与该闭合曲面内的电荷量成正比。
通过大物高斯定理，我们可以推导出一些重要的结论。
首先，如果一个闭合曲面内没有电荷，那么通过该闭合曲面的电场总量为零。
这是因为在没有电荷的情况下，电场线既没有源头也没有终点，因此电场线数目相等，总量为零。
如果闭合曲面内存在电荷，那么通过该闭合曲面的电场总量将不为零。
根据大物高斯定理，电场总量与闭合曲面内的电荷量成正比，电场线越密集，电场强度越大。
大物高斯定理的应用非常广泛，可以用于解决各种电磁场问题。
例如，在分析电场分布时，我们可以选择一个适当的闭合曲面，通过计算该闭合曲面上的电场通量，就可以推导出该闭合曲面内的电荷分布情况。
这对于研究电场的性质和电荷的分布具有重要意义。
除了电场问题，大物高斯定理还可以应用于研究磁场问题。
虽然磁场与电场有所不同，但是通过选择适当的闭合曲面，同样可以利用大物高斯定理来推导出磁场的性质和磁荷的分布情况。
大物高斯定理是电磁学中的重要定理，它描述了电场与闭合曲面穿过的电荷之间的关系。
通过大物高斯定理，我们可以推导出电场和磁场的性质，解决各种电磁场问题。
这一定理在电磁学和物理学的研究中起着重要的作用，为我们深入理解电磁现象提供了基础。
大学物理高斯定理
大学物理高斯定理简介大学物理中，高斯定理（也称为电通量定理）是电学领域中的一个重要定理，它描述了电场通过一个封闭曲面的总电通量与该曲面内的电荷量之间的关系。
高斯定理的数学表达式是一个面积分，通过对电场和曲面的特性进行积分计算，我们可以计算得到相应的电通量。
定理表述高斯定理可以用数学公式表述如下：其中， - 表示对封闭曲面 S 的面积分； - 表示电场的向量；- 表示面元矢量； - 是真空中的介电常数（气体中也可近似使用该值）； - 表示电荷密度在封闭曲面内的体积分。
解读根据高斯定理，电通量与环绕其的电荷量成正比。
如果电场线密集，表示电通量会相应增大，而如果电场线稀疏，表示电通量相应减少。
因此，高斯定理为我们提供了一种计算电场分布和电荷分布之间关系的方法。
高斯定理的背后思想是通过找到一个适当的曲面，使得计算曲面上的电场更加容易，从而求得电场的总电通量。
这个曲面可以是球面、柱面、立方体等等，具体选择曲面要与问题的几何特征和对称性相匹配。
应用举例例子1：均匀带电球考虑一个均匀带电球体，电荷密度为，半径为。
我们想通过高斯定理计算球内外的电场。
在这种情况下，由于球具有球对称性，我们选择一个以球心为中心的球面作为高斯曲面。
根据球对称性，球的电场在球面上处处相等，并且与球面的法线垂直。
因此，和在点积后等于，其中是球面上的电场强度。
曲面的面积元等于球的表面积元。
因此，高斯定理可简化为：等式的右边是整个球的表面积，用！表示。
由于电场是球对称的，且垂直于球面，所以电场与面积元相乘的结果在整个球面上是相等的。
由于曲面上的电场都是相等的，整个球面的面积元乘以电场强度后等于电场强度乘以整个球面的面积，所以可以简化为：解得：其中，为球内的总电荷量。
例子2：无限长均匀带电线考虑一个无限长均匀带电线，线密度为。
我们想通过高斯定理计算线外的电场。
在这种情况下，由于线具有柱对称性，我们选择一个以线为轴的柱面作为高斯曲面。
我们将柱面的两个底面分别设为 A 和 B，其中 A 的面积为，B 的面积为。
大学物理Ⅱ 高斯定理
P
l
e
E dS S
E dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得 E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
用高斯定理求场强小结：
1 . 对称性分析
电荷分布对称性→场强分布对称性
点电荷 球对称性 均匀带电球面
均匀带电球壳
球体
轴对称性 柱对称
无限带电直线
无限带电圆柱 无限圆柱面 无限同轴圆柱面
无限大平面 面对称性 无限大平板
若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。
②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。
+ q+ +
+
0
R
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
1）r R时 ，
E ds E ds
E 4r2
s
s
r
q
0
4 r3
3
0
q
4 R3
4 r3330E qr4 0R3
R
高斯面
高斯定理的应用
Φe前 Φe后 Φe下
s
E
dS
0
y
P
N
en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
Φe左
s左
E
dS
ES左
cosπ
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
大物下及公式大物下公式.doc
载流圆圈:磁矩：m =\S =IS nS 0 /亨利 亨利(H) (H)1. 电场强度：E = F /q （） （对点电荷：£ = q f ）M E （）r 22. 电势：U a = r E • dr （对点电荷u = 勺）：电势能：W a =qU a （A= -A W ） Ja4^£0r 3. 电容：C=Q/U ；电容器储能：W=CU 2/2；电场能量密度e = e 0E 2/24. 磁感应强度:大小，B=F max /qv （T ）；方向，小磁针指向（S-N ）。
5. 库仑定律:F = kQ^r （k=l/4n e °） r 26. 高斯定理：争-•低=土 （静电场是有源场）一无穷大平板：E=O /2E （）7. 环路定理：p.6// =0（静电场无旋，因此是保守场）8. 毕奥一沙伐尔定律：d 百="卧匕4" 2直长载流导线：B = 业"（cos 们- cos 们） 4" 12无限长载流导线：百=虹2/rr，圆弧：R ="。
'旦2R2R 2〃电磁学1. 定义:E =F /q （） 单位：N/C =V/mB=F max /qv ；方向，小磁针指向（S-N ）；单位：特斯拉（T ） =10,高斯（G ）F=q(E + V X %1 电势：u = E drF电势差：U =「E •打 电动势：£ =「R •打（K = "孙 ）%1 电通量：虬=jj E • 磁通量：S B = JJ 力磁通链：中B =N6B 单位：韦伯（Wb ）%1 电偶极矩：p=ql ®~厂* %1 电容：C=q/U 单位：法拉（F ） *自感：L=W/I单位：*互感：M=^21/I I=^12/I 2 单位：感生电动势：E E, • dl （ E i 为感生电场）*⑤欧姆定律：U=1R （ E = p j ）其中P 为电导率3. *定理（麦克斯韦方程组） 电场的高斯定理：=—… £。
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由定义求.
由点电荷 E 公式和 E 叠加原理求.
由高斯定理求.
mp 1.671027 kg G 6.67 1011N m2 kg2
Fe
1
4π 0
e2 r2
8.1106 N
Fg
G
memp r2
3.7 10-47 N
Fe 2.27 10 39 Fg
（微观领域中,万有引力比库仑力小得多,可忽略不计.）
二.电场力叠加原理
()
q1
F12
r12
F21
q2 ()
r12
F21
()
q2
引入真空电容率： 0
1
4k
8 851012 C2 N1m2
F
1
40
q1q2r r3
q1q2
4 0r 2
r0
目的：使后面的大量电磁学公式不出现 4 因子，
适用范围 : 目前认为在 1017 m 107 m范围均成立。
——伏尔泰
18 世纪：力的超距作用思想风行欧洲大陆。
电荷
电荷
英国法拉第：探索电磁力传递机制,由电极化现 象和磁化现象提出“场”的概念。
19 世纪：英国麦克斯韦建立电磁场方程，定量描述 场的性质和场运动规律。
▲ 电荷
电场
电荷
20世纪：
爱因斯坦： 相对论树立了“场”的实在地位
质能关系揭示出实物与场不能截然划分。场本身参 与能量和动量交换，是物质存在的基本形式之一。
数量级：
四种基本相互作用相对强度
强力 电磁力
弱力
引力
1
10 2
10 13
1038
例 在氢原子内,电子和质子的间距为 5.31011m .
求它们之间电相互作用和万有引力,并比较它们的大小.
F
q1q2
4 0r 2
解 me 9.110 31kg
F
G
m1m2 r2
e 1.61019 C
要点：
1. 两条基本实验定律：库仑定律，静电力叠加原理。
2. ▲ 两个基本物理量：电场强度 E，电势 U。 3. ▲ 两条基本定理：静电场高斯定理，环路定理。
揭示静电场基本性质(有源场、保守场)。 4. 静电场与物质（导体和电介质）的相互作用。
§9.1 电荷和库仑定律
一、电荷
原子是电中性的，原子核中的中子不带电、质子带正 电、核外电子带负电，并且所带电量的绝对值相等。自然 界中有两种电荷：正电荷、负电荷
*关于电场强度的讨论： ①电场强度是反映电场性质的物理量，与引入到电场中
的电荷q0 无关。 ②电场强度是矢量，方向为正电荷在该处所受电场力的
方向。 ③电场强度的单位：N/c 或 V/m ④电场强度是空间位置的函数：
E E(x,y,z )
二. 计算场强 E分布的基本方法
计算 E 方法:
5. 电相互作用是电磁学的基础，也是重点和难点。
第9章 静电场
（研究静电场的基本性质及与导体、电介质的相互作用）
§9.1 电荷和库仑定律 §9.2 电场和电场强度 §9.3 静电场的高斯定理及其应用 §9.4 静电场的环路定理 电势 §9.5 电场强度与电势的关系 §9.6 静电场和物质的相互作用 §9.7 导体的电容 §9.8 静电场的能量
电荷量子化是个实验规律
二. 库仑定律
中学：真空中，两个静止的点电荷间相互作用力
F
k
q1q2 r2
静电力恒量 k 9109 N m2 C2
F写Fr201成是矢k单q量F1r1q位式232r矢：k量qkr1qq2r12q2(2rr1r20)
F12 q1()
英国牛顿:(电场)力可以通过一无所有的空间以无穷大速率 传递，关键是归纳力的数学形式而不必探求其传递机制.
法国笛卡尔：力靠充满空间的“以太”的涡旋运动和 弹性形变传递.
“你在巴黎看见由充满空间稀薄物质的涡旋构成的宇宙， 而这些东西在伦敦却荡然无存，我们什么也看不见，在 你周围只有引起海潮的月亮的引力”
光子理论认为电磁场由光子组成，带电粒子通过 交换光子相互作用。（传球模型）
A
B
2. 静电场： 相对于观察者静止的带电体周围的电场
(1) 场中任何带电体都受电场力作用 —— 动量传递
(2) 带电体在电场中移动时，场对带电体做功 ——能量传递
用 E 、 U 来分别描述静电场的上述两项性质
§9.2 电场强度
由静电场力叠加原理
F F1 F2 Fn
q0 q0 q0 q0
E Ei E1 E2 En
i
静电场强叠加原理：点电荷系电场中某点总场强等
于各点电荷单独存在时在该点产生的场强矢量和。
E:
空间矢量函数
研究静电场也就是研究各种场源电荷的 Er 分布
密立根（likan）用液滴法测定了电子电荷，电子 是自然界中存在的最小负电荷，1986年的推荐值为：
e =1.602 177 33×10-19 C
实验证明微小粒子带电量的变化是不连续的，它只能 是元电荷 e 的整数倍 , 即粒子的电荷是量子化的：
Q = n e ; （n = 1, 2 , 3,…）
场源电荷：产生电场的点电荷、点电荷系或带电体。 检验电荷：电量足够小的点电荷
略去对场源电荷 分布的影响
与场点对应
一.电场强度
大小：等于单位检验电荷在该点
定义
E
F
Why?
q0
所受电场力
方向：与 q0 受力方向相同
单位：N/C ; V/m。
q0是检验电荷； F是q0在某一场点所受的电场 力
实验证明：两点电荷间相互作用力不因其它电荷 的存在而改变。
▲ 点电荷系对某点电荷的作用等于系内各点电荷
单独存在时对该电荷作用的矢量和。
q1
ri
qi
Fqi 0
q2 qn
电场力叠加原理
F F1 F2 Fn
i
q0qi
40ri3
ri
三. 静电场
1. “场”概念的建立和发展 17世纪：
同学们好！
第四篇 电磁学
本篇特点： 1的. 场研，究用对空象间不函再数是（分如离E的 ,实U物,，B而等是）在描空述间其连性续质分。布 2. 场不具有不可入性，所以叠加原理地位重要。 3. 更多地运用高等数学手段，如用求空间矢量的通量 和环流的方法来描述场的规律。
4. 在四种基本相互作用中，电磁相互作用理论最成熟, 所以电磁相互作用和电磁场是全篇重点。