用高斯定理求解有电介质时的电场强度
电介质的极化和介质中的高斯定理
串联 1 1 1 C C1 C2
C C1C2 C1 C2
0S d1 d2 r1 r2
②.已知 U，求0、E、D。
0
q S
CU S
0SU
S d1 d 2
0U
r1 r2
d1 d2
r1 r2
d1 d2
r1 r2 d
22
E1
Байду номын сангаас
0 0r1
d1
r1
0U
d2
r2
0r1
1）不管是位移极化还是取向极化，其最后的宏观 效果都是产生了极化电荷。
综 2）两种极化都是外场越强，极化越厉害，所产生 述：的分子电矩的矢量和也越大。
3）极化电荷被束缚在介质表面，不能离开电介质 到其它带电体，也不能在电介质内部自由移动。它 不象导体中的自由电荷能用传导方法将其引走。
7
二、极化强度矢量
r
r 称为相对
介电常数或
电容率。
从电学性质看电介质的分子可分为两类：无极分子、
有极分子。
每个分子负电荷对外影响均可等效为 单独一个静止的负电荷 的作用。其大小为 分子中所有负电之和，这个等效负电荷的 作用位置称为分子的“负电作用中心”。
-
3
同样，所有正电荷的作用也可等效一
个静止的正电荷的作用，这个等效正电 荷作用的位置称为“正电作用中心”。
电场 E有如下关系：Pe0E
e 称为电极化率或极化率， 在各向同性线性电介质
中它是一个纯数。
14
D 在均匀0各E 向同P 性介0质E 中P e0E e 0(1 Ee)0E
r0E
r (1e) 称为相对介电常数或电
容率。
在各向同E性介质中D.rE0关称系为：介D 电常数r，0E E
电介质中的高斯定理
电介质中的高斯定理
高斯定理，也称为高斯定律或高斯定律，是电磁学中的一个重要定理，描述了电场在电介质中的性质。
其表达式为：
∮S E · da = Q / ε₀
其中，S表示闭合曲面，E表示电场强度，da表示曲面元素的面积矢量，∮表示对整个闭合曲面求面积分，Q表示闭合曲面内的电荷总量，ε₀表示真空介电常数。
高斯定理的意义是，通过对闭合曲面内的电场强度的面积分，可以得到在该闭合曲面内的电荷总量。
具体来说，如果电场强度在闭合曲面上是均匀的且垂直于曲面，那么由闭合曲面边界形成的面积矢量积分等于该电场强度乘以闭合曲面的面积。
当电场强度不均匀或者不垂直于曲面时，可以把曲面细分为小面元，在每个小面元上计算电场强度和面积矢量的点积，再对所有小面元的点积求和，得到整个曲面上电场强度和面积矢量的积分。
高斯定理的应用非常广泛，它不仅可以用于求解电场强度在特定几何形状的闭合曲面上的面积分，还可以用于确定电场强度分布以及计算电荷的总量等问题。
有电介质时的高斯定理
解：（ 1 ）求 ： D D, E , P 具有球对称性
选过场点与球面同心的 球面为S：r
S内
R
q
r
P
2 D d S D 4 r q 0
S
r
当：r R : 当： r R :
q q
0
0 q0
D=0
E=0
P=0
0
E
(1 r )q0 R P n P 2 4r R 2 (1 r )q0 q 4R R
总结
D分布
球对称 面对称 轴对称
高斯面 同心球面 垂直于板的和中心 面对称的封闭柱面 同轴封闭园柱面
由于导体为等势体:
例：设无限长同轴电缆的芯线半径为R1，外皮 的内半径为R2。芯线与外皮之间充入两层绝缘 的均匀电介质，其相对电容率分别为εr1和εr2。 两层电介质的分界面半径为R，如图。求单位 长度的电容。 解： (1) 先求 ： D R2 εr1 设单位长芯线、外皮 R R1 分别带电λ、-λ εr2 D, E 具有轴对称性 选过场点与电缆同轴的单位长封闭园柱 面为高斯面：r
§9-4 有介质时的高斯定理
一、有介质时的环路定理和高斯定理：
E E0 E
L
有介质时的环路定理：
E d l 0
有介质时的高斯定理：
q内
E d S
S
q
S内
q
S
0
0
q0
1 1 S内 ) ( q0 q内 P dS 0 S内 0 0 S ( E P ) d S q 0 0
D, E , P
40 r r
电场的高斯定理及其应用
电场的高斯定理及其应用1. 高斯定理的背景高斯定理，也称为高斯电场定理，是电磁学中的基本定律之一。
它描述了电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的总电荷之间的关系。
这个定理是由德国数学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初期提出的。
高斯定理在电磁学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
2. 高斯定理的数学表述高斯定理的数学表述如下：对于任意闭合曲面S，电场通过S的电通量（记作ΦE）与曲面S内部的总电荷（记作q）之间存在以下关系：ΦE = ∫∫S E·dA = q / ε₀其中，E是电场强度，dA是曲面元素的面积向量，ε₀是真空的电介质常数（也称为电常数），其值约为8.85×10^-12 C2/N·m2。
3. 高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义可以从两个方面来理解：（1）电场线与闭合曲面的关系：高斯定理说明，对于任意闭合曲面S，电场线通过S的电通量等于曲面S内部的总电荷。
这意味着，无论曲面S如何选择，只要它是闭合的，电场线穿过它的总通量都与曲面内部的电荷有关，而与曲面的形状和位置无关。
（2）电场的分布与电荷的关系：高斯定理表明，电场是通过闭合曲面的电通量的度量，而电通量与曲面内部的总电荷成正比。
这意味着，电场的强度和分布与曲面内部的电荷量有关，而与曲面的具体形状和位置无关。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场分析和计算中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用例子：（1）计算静电场中的电荷分布：通过高斯定理，可以计算静电场中某个闭合曲面内的电荷分布。
只需测量通过该曲面的电通量，然后根据电通量与电荷的关系，可以确定曲面内部的电荷量。
（2）设计电容器和绝缘材料：在电容器和绝缘材料的设计中，高斯定理可以用来分析电场的分布和电荷的积累。
通过合理选择闭合曲面的形状和位置，可以优化电场分布，提高电容器的性能和绝缘材料的可靠性。
（3）研究电磁波的传播：在研究电磁波的传播过程中，高斯定理可以用来分析电磁波在不同介质中的电场分布和电荷的变化。
有电介质时的高斯定理
有电介质时的高斯定理
有电介质时的高斯定理是电学中的一个重要定理，它描述了电场的分布与电荷分布的关系。
此定理的公式表述为：电场穿过一个封闭曲面的通量等于该曲面内部的电荷总量的比例，即ΦE=Q/ε0，其中ΦE为电场的通量，Q为曲面内部的电荷总量，ε0为真空中的电介质常数。
在有电介质时，电场的分布受到电介质的影响。
电介质的存在会使电场强度发生改变，这是因为电介质的分子会被电场极化，从而产生极化电荷。
这些极化电荷会改变电场的分布，使电场在电介质中的强度比在真空中的强度小。
因此，在有电介质时，要考虑电介质对电场的影响，才能准确地计算电荷的分布。
在应用高斯定理时，通常需要选择一个适当的曲面来计算电场的通量。
曲面的选择应当考虑到电荷分布的对称性，以便简化计算。
在有电介质时，曲面的选择也需要考虑到电介质的影响。
如果曲面穿过电介质，那么在计算电荷总量时，需要将电介质中的极化电荷也计算在内。
高斯定理的应用范围很广，包括电场的计算、电容器的设计、电荷分布的测量等。
在电场的计算中，高斯定理可以用来求解各种电场分布，例如电偶极子、均匀带电球面等。
在电容器的设计中，高斯定理可以用来计算电容器的电容量，从而确定电容器的电荷储存能
力。
在电荷分布的测量中，高斯定理可以用来测量电荷的总量，从而确定电荷的分布情况。
有电介质时的高斯定理是电学中的一个重要定理，它描述了电场的分布与电荷分布的关系。
在应用该定理时，需要考虑到电介质的影响，并选择适当的曲面来计算电场的通量。
高斯定理的应用范围很广，包括电场的计算、电容器的设计、电荷分布的测量等。
3-5有介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r
R2
R1
（３）由（１）可知
U
E dr
R2
E
2π dr
0
r
r
(R1 r R2 ) ln R2
R1 2π 0 r r 2π 0 r R1
C Q 2π U
单位长度电容
0
C l
rl
ln R2 R1
2π 0
r
ln
r C0
R2 R1
真空圆柱形 电容器电容
r 又叫电容率
D2 2R2
3 – 5 有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
1 -P1 D1 0E1
2 -P2 D2 0E2
1
-
2R1
1
1
r
2
2R2
1
1
r
思索：可否由其他途 径求极化强度大小？
P 0E 0r 1E
1 P1 0 r 1E1 2 P2 0 r 1E2
3 – 5 有电介质时的高斯定理
-+
-+ -
-+E-1+ E2
-+--+-
-+ +-
0
1' 2'
2'
3 – 5 有电介质时的高斯定理
E1
D
0 r1
0 0 r1
E2
D
0
r2
0 0 r2
U
E dl
l
E1d1 E2d2
Q ( d1 d2 )
0S r1 r2
C Q0 0 r1 r2S U r1d2 r2d1
0
E
P) ds
q0
4.2有电介质存在时高斯定理和环路定理
例题：均匀介质内部极化体电荷密度ρ’＝0
在介质内部取任意高斯面S，则有
∫∫ D ⋅ dS = 0
S
无自由电荷
在均匀线性介质中 D (r ) = ε 0 ε E (r ) P ( r ) = χ eε 0 E ( r )
χ e P= D ε
接触起电的危害和应用
人体放电
人体对地电容约为
100 ~ 200 pf，人坐在人造革椅 子上起立，或在塑料地板上步行数步所产生的接触 静电电荷造成人体的静电电压可以达到104V～空气 的击穿场强，有时会出现瞬间放电现象
航天工业
静电放电造成火箭和卫星发射失败，干扰航天飞行
例题
如上题。球形电容器内外半径 分别为R1与R2，其间充以相对 介电常数为ε1和ε2的均匀介质， 两介质界面半径为R。两介质 的击穿场强分别为E1和E2，且 E1<E2，为合理使用材料，最 好使两种介质内的电场强度同 时达到其击穿值，求此时R的 大小。
A B C D
场强分布
Q R1 < r < R, EB = 4πε 0ε1r 2 Q R < r < R2 , EC = 4πε 0ε 2 r 2
ε = 1 + χe
相对介电常数（与真空相对）
真空中
ε = 1, D = ε 0 E
应用
∫∫ D ⋅ dS = ∑ q0
S in S
可以用来计算某些场分布（由对称性决定）
利用D-
Gauss定理按以下路径求
电介质中高斯定理
1
r r 1 Q Q r 0 0
)
Q Q0 (1
1
)
⑤极化电荷密度 与
E 0 rE
1 0 P ( 1 ) ( r 1 ) 0 0 0E 0 ( r 1 ) 0E 0E
r
r
R2
R1
r
R2
解（1）
R1
d S l D
S
D 2 π rl l
D
E ( R r R ) 1 2 r 2 π rr 0 0
D 2π r
r
R2
R1
( R r R ) （2）由（１）可知 E 1 2 2π 0r r R R d r 2 U E d r ln R 2 π r 2 π 0r R 0 r 1
2.极化电荷与电极化强度之间的关系 （以位移极化为例） 电场中每个分子产生电矩：
++++-
++++-
++++-
++++-
均匀介质
E
++++-
pe ql
单位体积中分子电矩 的矢量和为：
p P V
nql
e
npe
式中 n 为介质中单位体积的分子数。
电极化强度和极化电荷面密度的关系
6 2 P ( ε 1 ) ε E 5 . 89 10 C m r 0 6 2 σ ε E 8 . 85 10 C m 0 00 6 2 σ ' P 5 . 89 10 C m 6 2 D ε ε E ε E σ 8 . 85 10 C m 0 r 0 0 0
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用高斯定理求解有电介质时的电场强度
物理与电信工程学院 10级课程与教学论 张雅琪 2010021539
在电介质中，由电场引起的极化电荷会激发附加电场，使原电场发生改变，反过来又会影响极化情况。
如此相互影响，最终达到平衡。
在直接计算空间场强时会遇到如下困难：要由电荷分布求场强E ，必须同时知道自由电荷及极化电荷
的密度，而极化电荷密度取决于极化强度P 【V
dS P S
∆⎰⎰⋅-='ρ，n
e P P ⋅-=)('12σ】，
P 又取决于E （E P χε0=）
，这就似乎形成计算上的循环。
高斯定理通过列出有关E 、P 、'ρ、'σ的数量足够的方程，然后联立求解，同时引入一个新矢量场D 以消去'ρ和'σ，方便求解。
当空间有电介质时，只要把自由电荷和极化电荷同时考虑在内，可以得到有电介质的高斯定理
⎰⎰=⋅S
q
dS D 0
其中P E D +≡0ε.
如图1所示，假设有一厚度为b 的无限大均匀介质平板中有体密度为0ρ的均匀分布自由电荷，平板的相对介电常数为
r ε，两侧分别充满相对介电常数为1r ε和2r ε的均匀介质.要求板内外的电场强度E ，首先分析介质平板中激发电场的电荷分
布，因介质板内有自由电荷0ρ，在自由电荷处对应的极化电荷密度为
01
'ρεερr
r --
= 总电荷体密度为
r
ερ
ρρρ00'=+=
因此，平板中电荷为均匀分布.另外，在介质板两侧为不同的介质，由于21r r εε≠，故在两界面上的极化电荷面密度
OM
D 1
1r ε2
r εD 2
O ’M ’ b 1
b 2 S
x
b 图2
1r ε2
r ε图1
21''σσ≠.在板内存在一个电场强度0=E 的平面'OO ，不妨称它为零电场面.此面的电位移矢量0=D ,如图2.以'OO 面为基面,向两侧作底面积为S ,垂直'OO 面伸出平板外的柱体,柱体的表面为高斯面,根据对称性,E 与D 的方向垂直介质板的表面,因此高斯面侧面的电通量为0.两个高斯面包围的自由电荷的电荷量分别为
10Sb ρ和20Sb ρ.根据介质中高斯定理,求得介质板两侧的电位移矢量为
n n e b D e b D 202101,ρρ==
两侧的电场强度为
n r n r e b
E e b E 2
020210101,εερεερ==
单位矢n e 的方向为背向介质板表面,如图
2所示,介质板两侧的电场的大小相等,即21E E =.因而
2
2
1
1
r r b b εε=
因21b b b +=,求得零电场面的位置
2
1212111,r r r r r r b
b b b εεεεεε+=+=
用i 表示方向向右的单位矢,则板外两侧介质的电场为
i b E r r )
(2100εεερ+±
=
同理,以零电场面为基面在板内作底面积为S 、长为x 的高斯面，求得介质板内电位移矢量为
xi D 0ρ=内
板内的电场强度为
i x
E r
εερ00=
内 式中x 为板内场点的坐标.。