用高斯定理求解有电介质时的电场强度

用高斯定理求解有电介质时的电场强度

物理与电信工程学院 10级课程与教学论 张雅琪 2010021539

在电介质中，由电场引起的极化电荷会激发附加电场，使原电场发生改变，反过来又会影响极化情况。如此相互影响，最终达到平衡。在直接计算空间场强时会遇到如下困难：要由电荷分布求场强E ，必须同时知道自由电荷及极化电荷

的密度，而极化电荷密度取决于极化强度P 【V

dS P S

∆⎰⎰⋅-='ρ，n

e P P ⋅-=)('12σ】，

P 又取决于E （E P χε0=）

，这就似乎形成计算上的循环。高斯定理通过列出有关E 、P 、'ρ、'σ的数量足够的方程，然后联立求解，同时引入一个新矢量场D 以消去'ρ和'σ，方便求解。

当空间有电介质时，只要把自由电荷和极化电荷同时考虑在内，可以得到有电介质的高斯定理

⎰⎰=⋅S

q

dS D 0

其中P E D +≡0ε.

如图1所示，假设有一厚度为b 的无限大均匀介质平板中有体密度为0ρ的均匀分布自由电荷，平板的相对介电常数为

r ε，两侧分别充满相对介电常数为1r ε和2r ε的均匀介质.要求板内外的电场强度E ，首先分析介质平板中激发电场的电荷分

布，因介质板内有自由电荷0ρ，在自由电荷处对应的极化电荷密度为

01

'ρεερr

r --

= 总电荷体密度为

r

ερ

ρρρ00'=+=

因此，平板中电荷为均匀分布.另外，在介质板两侧为不同的介质，由于21r r εε≠，故在两界面上的极化电荷面密度

OM

D 1

1r ε2

r εD 2

O ’M ’ b 1

b 2 S

x

b 图2

1r ε2

r ε图1

21''σσ≠.在板内存在一个电场强度0=E 的平面'OO ，不妨称它为零电场面.此面的电位移矢量0=D ,如图2.以'OO 面为基面,向两侧作底面积为S ,垂直'OO 面伸出平板外的柱体,柱体的表面为高斯面,根据对称性,E 与D 的方向垂直介质板的表面,因此高斯面侧面的电通量为0.两个高斯面包围的自由电荷的电荷量分别为

10Sb ρ和20Sb ρ.根据介质中高斯定理,求得介质板两侧的电位移矢量为

n n e b D e b D 202101,ρρ==

两侧的电场强度为

n r n r e b

E e b E 2

020210101,εερεερ==

单位矢n e 的方向为背向介质板表面,如图

2所示,介质板两侧的电场的大小相等,即21E E =.因而

2

2

1

1

r r b b εε=

因21b b b +=,求得零电场面的位置

2

1212111,r r r r r r b

b b b εεεεεε+=+=

用i 表示方向向右的单位矢,则板外两侧介质的电场为

i b E r r )

(2100εεερ+±

=

同理,以零电场面为基面在板内作底面积为S 、长为x 的高斯面，求得介质板内电位移矢量为

xi D 0ρ=内

板内的电场强度为

i x

E r

εερ00=

内 式中x 为板内场点的坐标.