快速傅里叶变换学习总结
快速傅里叶变换推导
快速傅里叶变换推导摘要：1.快速傅里叶变换的概念与意义2.傅里叶变换的定义与性质3.快速傅里叶变换的算法原理4.快速傅里叶变换的实际应用正文：一、快速傅里叶变换的概念与意义快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）及其逆变换的算法。
DFT 是一种将时间域信号转换到频率域的方法，常用于信号处理、图像处理等领域。
然而，当信号长度很长时，DFT 的计算复杂度较高，因此，为了加速计算，提出了快速傅里叶变换算法。
二、傅里叶变换的定义与性质傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
对于一个信号f(t)，其傅里叶变换结果为频谱F(ω)，可以通过以下公式计算：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt) dt]，其中积分范围为-∞到∞。
傅里叶变换具有以下性质：1.傅里叶变换是线性的，即满足线性性质的信号可以通过傅里叶变换分开。
2.傅里叶变换是可逆的，即频域信号可以通过傅里叶逆变换转换回时域信号。
3.傅里叶变换具有时域与频域之间的帕斯卡三角关系，即频谱的幅度与相位分别对应时域信号的幅度与相位。
三、快速傅里叶变换的算法原理快速傅里叶变换算法的原理是将DFT 分解成更小的子问题，并重复利用子问题的计算结果。
具体来说，如果将信号长度为N 的DFT 表示为：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)]，其中n 为时域索引，k 为频域索引。
那么，如果将信号长度分解为2 的幂次方形式（如N = 2^m），则可以将DFT 分解为两个较短的DFT 的加权和，即：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)] = ∑[x_n * e^(-j2πn(k-m)/2^m)] + e^(-j2πkm/2^m) * ∑[x_n * e^(-j2πn(k+m)/2^m)]其中，第一个和式计算偶数项的DFT，第二个和式计算奇数项的DFT。
关于傅里叶变换和快速傅里叶变换的数学原理和应用
关于傅里叶变换和快速傅里叶变换的数学原理和应用傅里叶变换和快速傅里叶变换是用于信号处理和图像处理的重要工具。
在科学领域，数学是一项非常重要的技能。
傅里叶变换和快速傅里叶变换就是其中的两个重要的理论和技术。
傅里叶变换的数学原理傅里叶变换是用于将信号或图像从时域转换到频域的数学工具。
在时域中，信号或图像是按时间分布的。
在频域中，信号或图像是按频率分布的。
傅里叶变换的数学原理是将一个信号或图像分解为一组正弦波或余弦波的和，每个正弦波或余弦波在频域上具有不同的振幅和频率。
这些波形或频率是通过傅里叶级数表达式计算的，表示为：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nwt) + bn*sin(nwt))其中，a0是信号或图像在时间上的平均值，an和bn是正弦波和余弦波的系数，w是角频率，t是时间。
快速傅里叶变换的数学原理快速傅里叶变换是傅里叶变换的一种高效算法，它通过计算某些特殊函数的值，使用递归技巧将信号或图像从时域变换到频域。
快速傅里叶变换的数学原理与傅里叶变换的数学原理类似，但它可以更快地进行计算。
它的核心思想是利用旋转因子，将n个点的傅里叶变换分为两个n/2个点的傅里叶变换。
这一过程可以递归地继续下去，使计算完整个傅里叶变换所需的时间为O(nlogn)，而不是O(n^2)，这是传统傅里叶变换所需的时间。
快速傅里叶变换的应用快速傅里叶变换在信号处理和图像处理等领域有着广泛的应用。
以下是一些快速傅里叶变换的应用：1. 语音和音频信号的分析和处理快速傅里叶变换可用于对语音和音频信号进行分析和处理。
它可以将声音信号从时间域转换到频域，以便更好地分析和处理音频信号。
2. 图像处理和计算机视觉快速傅里叶变换可用于对图像进行分析和处理。
它可以将图像从空间域转换到频域，以便更好地分析和处理图像。
这在计算机视觉和图像处理领域中非常有用。
3. 信号压缩快速傅里叶变换可用于数据压缩，并且在数字通信中经常使用。
通过将信号从时间域转换为频域，信号可以被压缩，以便在通信传输中更有效地使用带宽。
傅里叶变换公式总结
傅里叶变换公式总结
傅里叶变换是一种在信号处理和频谱分析中广泛应用的数学工具，用于将一个时域信号转换为频域表示。
傅里叶变换公式描述了信号在时域和频域之间的转换关系。
以下是傅里叶变换的基本公式总结：
时域信号表示：
一个连续时间域的信号函数 f(t) 可以通过傅里叶变换转换为
连续频域的信号函数 F(ω)。
傅里叶变换的时域表示公式为：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] dt
其中，F(ω) 表示频域信号的复数函数，ω是频率变量，e 是自然对数的底，j 是虚数单位。
频域信号表示：
一个连续频域的信号函数 F(ω) 可以通过傅里叶逆变换转换回连续时间域的信号函数 f(t)。
傅里叶逆变换的频域表示公式为：f(t) = (1/2π) ∫[F(ω) * e^(jωt)] dω
其中，f(t) 表示时域信号的复数函数，t 是时间变量，e 是自然对数的底，j 是虚数单位。
这两个公式是傅里叶变换中的核心公式，它们描述了信号在时域和频域之间的双向转换关系。
通过傅里叶变换，我们可以将
信号从时域的波形表示转换为频域的频谱表示，以便对信号的频率特性和谱分布进行分析和处理。
需要注意的是，上述公式是连续傅里叶变换的表示形式，适用于连续时间和频率的信号。
对于离散时间和频率的信号，我们可以使用离散傅里叶变换（DFT）和离散傅里叶逆变换（IDFT）来进行相应的转换。
详解FFT（快速傅里叶变换）
详解FFT（快速傅⾥叶变换）前置知识：多项式，分治。
应⽤场景：多项式乘法。
温馨提⽰：本⽂证明不必掌握，仅供想要了解的⼈阅读。
〇、导⼊您⼀定算过多项式乘法吧！有的时候，这算起来⽐较⿇烦，⽐如：(x2+2x−2)(2x2−x+3)=x2(2x2−x+3)+2x(2x2−x+3)−2(2x2−x+3)= (2x4−x3+3x2)+(4x3−2x2+6x)−(4x2−2x+6)= 2x4−x3+3x2+4x3−2x2+6x−4x2+2x−6= 2x4+(−x3+4x3)+(3x2−2x2−4x2)+(6x+2x)−6= 2x4+3x3−3x2+8x−6.⽤L A T E X表⽰就更⿇烦了。
在实际应⽤上，有时⾯对的多项式甚⾄多达上万项！这个时候再⼈⼯⼿算效率过低，且容易出错。
幸好，我们已经有了计算机，能够⽤⾮常快的速度算出结果！暴⼒算法是很容易想到的：for(int i=0;i<n;++i)for(int j=0;j<m;++j)c[i+j]+=a[i]*b[j];但它的时间复杂度为Θ(n2) 级，如果遇到上万的数据还是容易被卡了。
有没有更快的⽅法呢？当然有！那就是我们现在要讲的 FFT ！⼀、知识补充1. 多项式1-1 多项式的⼀般表达我们通常⽤F(x) 来表⽰⼀个多项式，定义⼀个多项式只需⽤F(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a0，如F(x)=x2+3x−5 。
可以把它理解为函数，⽐如F(2) 就是将x=2 代⼊多项式F(x) 后的值。
1-2 多项式的点值表达我们知道，在平⾯直⾓坐标系中，n+1 个不重合的点可以唯⼀确定⼀个⼀元n次多项式。
所以我们可以⽤n+1 个点值来表⽰⼀个⼀元n次多项式！那么如何通过点值表达来计算多项式乘法呢？设已知两个⼀元n次多项式F(x),G(x) 的点值表达，W(x)=F(x)×G(x) 。
很显然，多项式W(x) 在x=i时的点值为W(i)=F(i)×G(i) 。
详解FFT(快速傅里叶变换FFT
knN W N N第四章 快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长 序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年，Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快 速算法，将 DFT 的运算量减少了几个数量级。
从此，对快速傅里叶变换（FFT ） 算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发 展而迅速发展。
根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算 法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。
FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积 和线性相关等方面也有重要应用。
快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。
DFT 的定义式为N −1X (k ) = ∑ x (n )W NR N (k )n =0在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下，要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N －1 次复数加法。
算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2次复数乘法和 N ( N − 1) 次复数加法。
即计算量是与 N 2成正比的。
FFT 的基本思想：将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合， 从而减少运算量。
W N 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT运算：（1） 周期性：( k + N ) nN= W kn= W ( n + N ) k（2） 对称性：W( k + N / 2 )= −W kNN利用这两个性质，可以使 DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。
例子：求当N＝4 时，X(2)的值4 NNN3∑44444X (2) = n =0x (n )W 2 n = x (0)W 0 + x (1)W 2 + x (2)W 4 + x (3)W 6= [ x (0) + x (2)]W 0 + [ x (1) + x (3)]W 2(周期性)4＝[ x (0) + x (2)]－[ x (1) + x (3)]W 04(对称性)通过合并，使乘法次数由 4 次减少到 1 次，运算量减少。
傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅⾥叶变换和拉普拉斯变换公式总结（2022-02-09修正部分错误）（2020-03-18修正部分错误）因为傅⾥叶变换之类的很常⽤，时间长了不⽤总会忘记，所以⼀次性罗列出来权当总结好了。
主要参考《信号与线性系统分析》(吴⼤正)，也有的部分参考了复变函数。
δ-函数相关运算n阶导数的尺度变换δ(n)(at)=1|a|1a nδ(n)(t)⼀阶导数和函数的乘积f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)−f′(t0)δ(t−t0) n阶导数和函数的乘积f(t)δ(n)(t−t0)=n∑i=0(−1)ini f(i)(t0)δ(n−i)(t−t0)傅⾥叶级数和傅⾥叶变换傅⾥叶级数f(x)=a02+∞∑n=1a n cosnπL x+bn sinnπL x a n=1L∫L−Lf(x)cosnπL xdxb n=1L∫L−Lf(x)sinnπL xdx半幅傅⾥叶级数ϕ(x)=∞∑n=1C n sinnπxLC n=2L∫Lϕ(x)sinnπxL dx常见函数傅⾥叶变换这⾥傅⾥叶变换的定义中，因⼦12π统⼀放在逆变换前。
gτ(t)指的是关于y轴对称宽度为τ的门函数gτ(t)↔τSaωτ2其中Sa即Sinc.e−atε(t)↔1 a+iωe−a|t|↔2a a2+ω2 ()() ()e−at2↔πa e−ω24aδ(t)↔1ε(t)↔πδ(ω)+1 iωcos(ω0t)↔π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]sin(ω0t)↔iπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]t n↔2π(i)nδ(n)(ω)1t↔−iπsgn(ω)δT(t)↔ΩδΩ(ω)性质时域微分f(n)(t)↔(iω)n F(ω)时域积分∫t−∞f(τ)dτ↔πF(0)δ(ω)+F(ω) iω频域微分(−it)n f(t)↔F(n)(ω)频域积分πf(0)δ(t)+f(t)−it↔∫ω−∞F(ν)dν对称性F(t)↔2πf(−ω)尺度变换f(at)↔1|a|Fωa时移f(t±t0)↔e±iωt0F(ω)频移f(t)e±iω0t↔F(ω∓ω0)卷积的微分性质设f(t)=g(t)∗h(t)，则f′(t)=g′(t)∗h(t)=g(t)∗h′(t)卷积定理时域f(t)=g(t)∗h(t)，频域有F(ω)=G(ω)H(ω)时域f(t)=g(t)h(t)，频域有F(ω)=12πG(ω)∗H(ω)周期函数f T(t)傅⾥叶变换√()设函数f T(t)周期为T，记F n=1T∫T/2−T/2f T(t)e−iωt d t由指数形式的傅⾥叶级数，两边取傅⾥叶变换，所以周期函数的傅⾥叶变换时受到2πF n调制的梳状脉冲(T代表周期，Ω=2πT)f T(t)↔2π∞∑n=−∞F nδ(ω−nΩ)拉普拉斯变换因果信号f(t)可以显式地写为f(t)ε(t)，⼀个因果信号及其单边拉普拉斯变换是⼀⼀对应的。
傅里叶变换知识点总结
傅里叶变换知识点总结本文将从傅里叶级数、傅里叶变换和离散傅里叶变换三个方面来介绍傅里叶变换的知识点，并且着重介绍它们的原理、性质和应用。
一、傅里叶级数1. 傅里叶级数的定义傅里叶级数是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的方法。
它可以将任意周期为T的函数f(x)分解为如下形式的级数：f(x)=a0/2+Σ(an*cos(2πnfx / T) + bn*sin(2πnfx / T))其中an和bn是傅里叶系数，f为频率。
2. 傅里叶级数的性质（1）奇偶性：偶函数的傅里叶级数只包含余弦项，奇函数的傅里叶级数只包含正弦项。
（2）傅里叶系数：通过欧拉公式和傅里叶系数的计算公式可以得到an和bn。
（3）傅里叶级数的收敛性: 傅里叶级数在满足柯西收敛条件的情况下可以收敛到原函数。
二、傅里叶变换1. 傅里叶变换的定义傅里叶变换是将信号从时间域转换到频率域的一种数学工具。
对于非周期函数f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义如下：F(ω)=∫f(t)e^(-jwt)dt其中ω为频率，j为虚数单位。
2. 傅里叶变换的性质（1）线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有F(at+bs)=aF(t)+bF(s)。
（2）时移性质和频移性质：时域的时移对应频域的频移，频域的频移对应时域的时移。
（3）卷积定理：傅里叶变换后的两个函数的乘积等于它们的傅里叶变换之卷积。
3. 傅里叶逆变换傅里叶逆变换是将频域的信号反变换回时域的一种操作，其定义如下：f(t)=∫F(ω)e^(jwt)dω / 2π其中F(ω)为频域信号，f(t)为时域信号。
三、离散傅里叶变换1. 离散傅里叶变换的定义对于离散序列x[n]，其离散傅里叶变换X[k]的定义如下：X[k]=Σx[n]e^(-j2πnk / N)其中N为序列长度。
2. 快速傅里叶变换（FFT）FFT是一种高效计算离散傅里叶变换的算法，它能够在O(NlogN)的时间复杂度内完成计算，广泛应用于数字信号处理和通信系统中。
傅里叶变换学习心得体会
傅里叶变换学习心得体会篇一：《随机数字信号处理》学习心得体会随机数字信号处理是由多种学科知识交叉渗透形成的，在通信、雷达、语音处理、图象处理、声学、地震学、地质勘探、气象学、遥感、生物医学工程、核工程、航天工程等领域中都离不开随机数字信号处理。
随着计算机技术的进步，随机数字信号处理技术得到飞速发展。
本门课主要研究了随机数字信号处理的两个主要问题：滤波器设计和频谱分析。
在数字信号处理中，滤波技术占有极其重要的地位。
数字滤波是语音和图像处理、模式识别、频谱分析等应用中的一个基本处理算法。
但在许多应用场合，常常要处理一些无法预知的信号、噪声或时变信号，如果采用具有固定滤波系数的数字滤波器则无法实现最优滤波。
在这种情况下，必须设计自适应滤波器，以使得滤波器的动态特性随着信号和噪声的变化而变化，以达到最优的滤波效果。
自适应滤波器(adaptivefilter)是近几十年来发展起来的关于信号处理方法和技术的滤波器，其设计方法对滤波器的性能影响很大。
自适应滤波器是相对固定滤波器而言的，它是一种能够自动调整本身参数的特殊维纳滤波器。
自适应滤波算法的研究是自适应信号处理中最为活跃的研究课题之一，其中，两种最基本的线性滤波算法为：最小均方误差(lms)算法和最小二乘(rls)算法，由于lms算法具有初始收敛速度较慢、执行稳定性差等缺点，本门课着重介绍了rls算法。
rls算法的初始收敛速度比lms算法快一个数量级，执行稳定性好。
谱分析是随机数字信号处理另一重要内容，它在频域中研究信号的某些特性如幅值、能量或功率等随频率的分布。
对通常的非时限信号做频谱分析，只能通过对其截取所获得的有限长度的样本来做计算，其结果是对其真实谱的近似即谱估计。
现代谱估计算法除模型参量法之外，人们还提出了其它一些方法，如capon最大似然谱估计算法、pisarenk谐波分解法、music算法、esprit算法等利用矩阵的特征分解来实现的谱估计方法。
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（这儿的次数有点不正常别理它） 。
然后两个多项式 f ( x ) 与 g ( x ) 的乘积显然还是一个多项式。我们管这个乘积叫多项式
f ( x ) 与 g ( x) 的卷积。（其实真正的卷积是定义在连续函数上的积分……）
怎么算？整式乘法…… 即 h( x ) f ( x ) g ( x ) a0b0 ( a0b1 a1b0 ) x
f 2 ( x) a1 a3 x 2 a5 ( x 2 ) 2 an 1 ( x 2 ) n / 21
显然有 f ( x ) f1 ( x ) x f 2 ( x ) 看到那个闪亮亮的 x2 没有？换成其它的 n 个 x 求值，x2 依然有 n 个；然而在 n 次单位 根上求值时，x2 仅仅只有 n/2 个！ 所以 f1 ( x ) 和 f 2 ( x ) 总计也只要对 n 个点求值（其它 x 的话总计要对 2n 个点求值） 然后如果你的 n 是 2 的幂，一路分治下去，就达到了 O(nlogn)的时间复杂度了…… 如果你的 n 不是 2 的幂怎么办？很简单，多项式前面的系数补 0 嘛…… 代码最后给…… 6、IDFT(Inverse Discrete Fourier Transform) 离散傅里叶逆变换 DFT 是用来求值的，那么既然是逆变换，这货就是用来插值的。 【以下涉及到线性代数的内容高能如有不适请直接看结论】 把 DFT 写成矩阵形式：
2 2 i sin k n n
通俗说来，就是单位圆以(1,0)为一个顶点的内接正 n 边形的 n 个顶点的坐标。 然后计算就好了……
k 不过还是甩个公式： DFT ( k ) y k f ( n )
a (
i 0 i
n 1
k i n
[1]
① /zxn0803/article/details/51361111
②/iamzky/article/details/22712347
k n 次单位根是什么？就是这样的 n 个复数： n e 2ki / n cos k
1 1 1 1 n 1 2 n n 1 1 n
1
1 2 2 n
a0 y0 a1 y1 a y 2 2 n 1 n 1 n an 1 yn 1
k 2 k n / 2 2 2 k ) n / 2 （三角函数验证即可……） n 1
然后观察多项式： f ( x ) a0 a1 x a2 x an x
把它拆成这样子： f1 ( x ) a0 a2 x 2 a4 ( x 2 ) 2 an 2 ( x 2 ) n / 2 1
1 n 1 n 1 n 1 n
1
然后观察左边那个矩阵是范德蒙德矩阵(Vn)，这货的逆矩阵是前人帮我们求好了的，因 此我们直接用就可以了。 （顺便说一下：这货的行列式的值也是前人求好的，由此可以暴推
拉格朗日插值法……） 于是我们利用范德蒙德逆矩阵厚颜无耻十分轻松地推导出了 IDFT 的公式：
k k
a b
i 0
i k i
xk
把那个系数提取出来 ck 要算的东西……）
a b
i 0
i k i
，这就是两个数列的卷积了（也就是实际比赛里面
朴素计算方法：直接代上面那个式子，时间复杂度 O(n2) 3、多项式的点值表达、求值与插值 一个 n 次的多项式除了能用那一坨系数 ( a0 , a1 , , an 1 ) 表达，还能用 n 个互不重合的 点 ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), , ( xn 1 , y n 1 ) 来表达（因为一共就 n 个常数）。 然后点值表达的好处是什么？就是点值表达计算卷积非常快…… 也就是把 x 相同的点的函数值直接相乘就好了，时间复杂度 O(n) 从系数表达变换为点值表达的过程叫求值。 怎么做？直接代入 n 个点计算，然后每一次计算长这样： f ( x ) a0 x ( a1 x ( a2 或者直接循环里面算一次把 x 乘一下也行，反正单个点计算时间 O(n)，总时间 O(n2) 从点值表达变换为系数表达的过程叫插值。 怎么做？待定系数rier Transform) 离散傅里叶变换 O(n2) 我刚刚好像没说我的多项式的 x 必须是实数吧！ 所谓这个看上去很高大上的 DFT，其实就是对一个多项式在 n 次单位根上求值。
[2]
这不是偶然而是必然，事实上 DFT 和 IDFT 是复平面上两个函数域的变换规则，如镜像一样对称。
10、非递归代码模板 没写……利用二进制）……
)
5、FFT 快速傅里叶变换 O(nlogn) 这是正文！这是正文！这是正文！重要的事情说三遍！ FFT 是一种能在 O(nlogn)时间内计算 DFT 的神奇的算法。 它的神奇之处在于利用了 n 次单位根的一些玄学性质，然后利用分治大大加速计算。 首先假设 n 为偶数，则有 ( n ) ( n
IDFT(k ) ak
1 n 1 yi nk n i 0
n 1 i 0
i
等等，似乎有什么不对的地方——
k i DFT (k ) yk ai ( n )
这俩式子为什么长那么像[2]？【邪恶】那岂不是我们直接把 FFT 的参数改一下套上去就 能完成 O(nlogn)时间的插值了？ 于是—— 7、回到卷积 我们发现可以这样来算卷积： f g IDFT( DFT( f ) DFT( g )) 也就是先求值把两多项式变成点值表达，卷积之后再插值成新多项式。 利用 FFT 优化，总时间 O(nlogn)+O(n)+O(nlogn)=O(nlogn)！ 于是我们有了卷积的快速算法——FFT！ 代码 Pascal 大约 25 行……C++只要 14 行…… 拓展： 有没有时间复杂度相同， 但常数上更快的算法呢？ FFT 涉及到浮点运算常数略大， 答案：NTT（快速数论变换），非常 BT 的东西然而我不会写…… 8、应用 CodeVS 3123 Super A*B Problem（模板题） 给出 A、B，求 A*B。其中 A,B 不超过 10W 位。 分析：高精度数字就是 x=10 的多项式……或者直接看成卷积也可以…… 代码：@Voiphon 即得（其实下面那个就是核心） 9、递归代码模板（与归并排序相似）【我认为你们分得清 L 和 1 的】
快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)学习总结 Voiphon 1、引言 这玩意儿很久以前就在算导上看过，然而当时并没有看懂。这两天想起来去网上翻，然 而网上并没有比较简单的适合我这等蒟蒻看的资料（全 TM 是数字信号分析，……好吧其实 还是有两个 OIer 写的不错的[1]）。于是我就打算整理一下，不然过几天又要忘掉了…… 2、卷积（多项式乘法） 定义一个 n 次多项式 f ( x ) a0 a1 x an 1 x