1.2余弦定理
1.1.2余弦定理资料
1. 1. 2 余弦定理I .知识归纳1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与他们夹角的余弦的积的 2倍，即：c 2a 2b 2 2ab cos Cb 2 a 2c 2 2ac cos Ba 2b 2c 2 2bc cos A2.理解定理：⑴从余弦定理的三个等式中，可得到它的变形，即余弦定理的推论:由余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的 角是钝角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角；由此可知, 余弦定理可以看作勾股定理的推广。
⑵余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具。
在一个三 角形中，如果知道了两边及其夹角的值，由余弦定理就可以求出第三边⑶余弦定理的每一个等式中包含四个不同的量，他们分别是三角形的三边和一个角，知 道其中三个量，便可求得第四个量。
由余弦定理的结构可知，应用余弦定理，我们可以利用 已知的两边和夹角，计算出三角形的第三边，在结合三角形的正弦定理及内角和定理，可求 出其他的角，即已知两边和他们的夹角，可求第三边和其他两个角。
由余弦定理的推论可 知，利用三角形的三边可以计算出三角形的三个角。
⑷余弦定理的推导应牢牢抓住勾股定理： c 2 a 2 b 2，并依此为思考线索得出结论(推导过程见课本)n .重难点知识讲解1 •余弦定理证明的其他方法 (1) 用坐标法证明余弦定理如图：以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A （0，0）、B （c ， 0）、C （bcosA ，bsinA ），1.1.2余弦定理cosA .2 2 2b c a2bccosB2 2 . 2a cb 2accosC由两点间距离公式得B C= b2cos2A—2bccosA+ c2+ b2sin 2A,即a2= b2+ c2—2bccosA.2 2 2 2 2 2同理可证：b = a + c —2accosB, c = a + b —2abcosC.(2) 用勾股定理证明余弦定理①当三角形为锐角三角形时，如图，AA bsinC ,BD= BC—CD= a—bcosC.在Rt△ ABD中，根据勾股定理AB= AD+ BD,2 2 2所以c = (bsinC) + (a —bcosC).整理得c2= a2+ b2—2abcosC.②当三角形为钝角三角形时，如图AD= bsinC，D BD= CD- BC= bcosC—a，在Rt△ ABD中，根据勾股定理，2 2 2整理得c = a + b —2abcosC.同理可证：a = b + c —2bccosA,.2 2 2b = a +c —2accosB.2.余弦定理与勾股定理之间的联系(1) 对于余弦定理c2= a2+ b2—2abcosC中，若C= 90°,则fe2= a2+ b2,此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况.(2) 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具.有A B=A D+B D,2 2 2即c = (bsinC) + (bcosC —a),①在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.②余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛.特别提示：在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.3•解三角形问题的类型解三角形的问题可以分为以下四类：(1) 已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形.此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数.(2) 已知三角形的两角和任一边，解三角形.此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边•若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.(3) 已知两边和它们的夹角，解三角形.此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角.(4) 已知三角形的三边，解三角形.此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角.要解三角形，必须已知三角形的一边的长•若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解.川.例题分析题型一余弦定理的简单运用例1 .在ABC中，已知 a 2.3 , c 6 2 , B 600，求b 及A⑴解：I b2 a2 c2 2accosB =(2 3)2 ( 6 ,2)2 2 2 3( 6=12 ( 6 .2)2 4、3(. 3 1)=8 • b 2 2求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法二：•••sin A 壽E0,评述：解法二应注意确定A的取值范围。
1.2余弦定理(两课时)
19
题型三 求面积
例3：在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求
三角形ABC的面积 分析：三角形的面积公式 S= 1 absinC = 1 bcsinA= 2 2 1 acsinB, 只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出 2 sinC(sinA或 sinB）代入面积公式即可。
b
C
c a
B
AC AC 2 AC CB CB CB
2 2 2 ∴ A B = A C + 2 A C C B c o s ( 1 8 0 0 - C )+ C B
2 2 2
∴ c = a + b - 2abcosC
8
归纳 A
余弦定理
1
提出问题
1.实际问题 武广高铁（武广客运专线）的路线 规划要经过一座小山丘，就需要挖隧道。 挖隧道就涉及到一个问题，就是要测量 出山脚的长度。而两山脚之间的距离是 没有办法直接测量的，那要怎样才能知 道山脚的长度呢？
2
2.实际操作
B C 300m A
3
400m
60°
• 想一想： 如果已知三角形的两边及任意 一角，能否运用正弦定理求 出其它边和角的大小？
解：不妨设三角形的三边分别为a=
、2、
,b=2,c=1
则最大内角为∠A
由余弦定理 12+22- ( cosA= 2×2×1 )2 1 = -— 2
变一变：
∴ A=120°
若已知三边的比是 又怎么求？
:2:1,
18
例2、已知△ABC中AB=2、
AC=3、A=
，求BC的长。
1.2余弦定理
1.2 余弦定理教学目标：1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．教学重点：重点是余弦定理及其证明过程．教学难点：难点是余弦定理的推导和证明．教学过程：1. 创设情景，提出问题．问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A ，B 两点间的距离（如图1）．请想办法解决这个问题．设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容．2. 构建模型，解决问题．学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C ，然后量出AC ，BC 的长度，再测出∠ACB ．△ABC 是确定的，就可以计算出AB 的长．接下来，请三位板演其解法．法1：（构造直角三角形）如图2，过点A 作垂线交BC 于点D ，则｜AD ｜＝｜AC ｜sin C ，｜CD ｜＝｜AC ｜cos C ，｜BD ｜＝｜BC ｜－｜CD ｜＝｜BC ｜－｜AC ｜cos C ，所以， 22||||||BD AD AB += C BC AC BC AC cos ||||2||||22⋅⋅-+=．C法2：（向量方法）如图3，因为AB AC CB =+，所以，22()AB AC CB =+222cos(),AC CB AC CB C π=++⋅⋅- 即 C BC AC BC AC AB cos ||||2||||||22⋅⋅-+=．法3：（建立直角坐标系） 建立如图4所示的直角坐标系，则A （｜AC ｜cos C , ｜AC ｜sin C ），B （｜BC ｜, 0），根据两点间的距离公式，可得22)0sin |(||)|cos |(|||-+-=C AC BC C AC AB ，所以，C BC AC BC AC AB cos ||||2||||||22⋅⋅-+=．活动评价：师生共同评价板演．3. 追踪成果，提出猜想．师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边长，则有C ab b a c cos 2222-+=成立．类似的还有其他等式， A cb b c a cos 2222-+=，B ca a c b cos 2222-+=．正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯．学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C 进行分类讨论，即分角C 为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程．教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点C间的距离公式来解决，等等．4. 探幽入微，深化理解．问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？学生活动：勾股定理是余弦定理的特例． 反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C 为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 222c b a >+，222c b a <+；C ab b a c cos 2222-+=是边长a 、b 、c 的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等．教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）．问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”．学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=． 5. 学以致用，拓展延伸．练习：1．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，求角C ．2．（1）在△ABC 中，若045,6,13==+=A c b ，解这个三角形．（2）在△ABC 中，1,60,30===c B b ，求a ．学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形式abc b a C 2cos 222-+=；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决． 思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．。
1.2 余弦定理(第1课时)
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
§1.2 余弦定理
课堂练习
A.30 B.45 C.135
b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
(1)在△ABC中，已知a 2 b 2 c 2 2ab，则角C （B ） D.150
(2)在△ABC中，B 60，b 2 ac，则△ABC是（ D ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
(3)若三角形的三边长的比 为5 : 7 : 8，则它的最大角和最小 角 的和是（ B ） A.90 B.120 C.135 D.150
(4)若△ABC的各边满足(a b) 2 c 2 4，且C 60，则ab的值为 4 2 （ A ）A. B.8 4 3 C.1 D. 3 3
Yanhui Jian
zhumuxiansheng@
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
§1.2 余弦定理
课堂练习
b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
21 (5)在△ABC中，若a 2，b 3，C 60，则sin A _________ 7
(6)在△ABC中，已知a 3，b 4，c 6，则bc cos A ca cos B 61 ab cosC的值为________ 2
即： BC b c
a a (b c) (b c)
2 2
b b ， bc b c cos A， c c2
a 2 b2 2bc cos A c 2即：a 2 b2 c 2 2bc cos A
1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
§1 1.2 余弦定理
例 2.如图是公元前约 400 年古希腊数学家泰特托斯用来构造 无理数 2, 3, 5, 的图形.试计算图中线段 BD 的长度及 ∠DAB 的大小（长度精确到 0.1,角度精确到 1°）.
解：在△BCD 中，BC=1，CD=1，∠BCD=135°. 因为 BD2 BC 2 CD2 2BC CD cos BCD
解：经过3时后，甲到达点P，OP=4×3=12（km）, 乙到达点Q，OQ=4.5×3=13.5(km).
依余弦定理，知 PQ OP 2 OQ 2 2OP OQ cos POQ
122 13.52 2 12 13.5cos80 16.4(km) .
答：3时后两人相距约16.4km.
2. 余弦定理的应用范围：
①已知三边求三角；
②已知两边及它们的夹角，求第三边.
真正的真诚必然伴随着平等，平等是友爱的惟 一可靠的基础，而友爱又给平等增添更美丽的 光彩. —— 葛德文
所以 DAB 80 .
4.（2013·北京高考）在△ABC 中，a=3，b=2 6 ， B=2A. (1)求 cosA 的值， (2)求 c 的值.
【解析】 （1）由正弦定理得 即 cos A
6 . 3
3 2 6 3 2 6 a b ，所以 ， ， sin A sin B sin A sin 2 A sin A 2sin A cos A
总结
（1）余弦定理适用于任何三角形 （2）余弦定理的作用：
a、已知三边，求三个角
b、已知两边及这两边的夹角，求第三边， 进而可求出其它两个角 c、判断三角形的形状
（3）由余弦定理可知：
A 90 a2 b2 c2
A90 a2 b2 c2 A90 a2 b2 c2
1.2 余弦定理 (1)课件
4.在△ ABC中，已知a = 2 2, b = 2 3, A = 45° 求C , B, c keys : C = 75° , B = 60° , c = 6 + 2
或C = 15° , B = 120° , c = 6 − 2
课堂小结
1.余弦定理 1.余弦定理 2.公式变形： 2.公式变形： 公式变形
当C1 = 60° 时，A1 = 90° ∴ a1 = 6
当C1 = 120°时，A1 = 30° ∴ a2 = 3
已知，在△ ABC中,根据下列条件，解三角形 变式训练： 变式训练： （） b = 3, c = 3 3, B = 30° 1 （2） a = 2, b = 2 2, c = 6 + 2
公式变形
三、典型例题
如图， 例1. 如图，在△ABC中，已知 中 已知a=5，b=4， ， ， ∠C=120°，求c. ° 解：由余弦定理，得 由余弦定理，
2 2 2
A c b C 120° a B
c = a + b − 2ab cos120°
因此
2 2
1 c= 5 + 4 − 2×5× 4× (− ) = 61 2
变式训练： 变式训练：
若右图，在四边形ABCD中，AD ⊥ CD, AD = 10, AB = 14∠BDA = 60 , ∠BCD = 135 , 求BC的长.
° °
D
10
A
C
14
B
同理可证，其余两式。 同理可证，其余两式。 注：此关系式也叫射影定理 此关系式也叫射影定理
1.若三条线段长度分别为5，6，7，则这三条线段 ( A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形
C.能组成钝角三角形
数学人教版九年级下册正弦、余弦、正切函数的简单计算.1.2余弦定理课件新人教版必修5
定 理 证 明
定 理 应 用
三角形中的边角关系
a2 b2 c2 2bc cos A b a c 2ac cos B
2 2 2
余弦定理
(1)已知三边，求三个角
c2 a2 b2 2ab cos C
(3)判断三角形形状
(2)已知 两边和 它们的 夹角， 求第 三边和 其它两 个角。
定 理 内 容
2 2 2
c a b 2 ab cos C
2 2 2
回顾正弦定理的证明你还有没有其它的证明 余弦定理的方法？ （1）坐标法
证 明 方 法
（2）直角三角形的边角关系
（3）正弦定理（三角变换）
坐标法证明余弦定理
教材中用向量法给出余弦定理的证明，下面我们给出 坐标法证明．
证明：如图所示，以△ABC的顶点A为原点 ，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系 ，这时顶点B可作角A终边上的一个点，它到 原点的距离r＝c，设点B的坐标为(x，y)，由 三角函数的定义可得：x＝ccos A，y＝csin A ，即点B为(ccos A，csin A)，又点C的坐标是
A 56 2 0 2 2 2 2 2 2 a c b 134 . 6 161 . 7 87 . 8 cos B 0.8398 , 2 ac 2 134 . 6 161 . 7
B 32 5 3
C 180 A B 180 56 2 0 32 5 3 90 4 7
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理
本节课主要学习余弦定理及推导过程、用余弦定理解三角形、判断 三角形形状。以苏格拉底几何原本由来的故事和高铁隧道招标的事例 作为本节的开始引入新课。本节教学以学生探究为主，利用向量法证 明余弦定理定理，引导学生探究坐标法、直角三角形边角关系法、正 弦定理法等多种方法证明余弦定理，使学生能够灵活应用所学知识， 加深对定理的理解。针对定理所解决的三类问题给出3个例题和变式， 通过解决问题引出三角形的解的不同情况，强调正确应用定理的重要 性。 教学过程中通过例1巩固掌握已知两边及其夹角解三角形的问题，通 过例2 巩固掌握已知三边解三角形的问题，通过例3巩固掌握判断三角 形形状的问题，每种类型都有变式进行巩固。用直角三角形的边角关 系证明余弦定理导，既节省时间又能吸引学生注意力。通过余弦定理 的推导和用余弦定理解决问题两个探究指明本节课的方向。由探究二 余弦定理可以解决的问题引出余弦定理的变形及用余弦定理判断三角 形的形状等知识。
1.1.2 余弦定理.ppt
在△ABC中，由余弦定理得
cos A AB2 AC2 BC2 2AB AC
2 0.1047 365
因此∠A≈84.0°.
例4. 求证： 在△ABC中，
证明：由余弦定理，得
bcosC
ccos
B
b
a2
b2 2ab
c2
c
a2
c2 b2 2ac
a2
b2
c2 a 2a
=a2+b2－2abcosC. 同理可得
b2 =a2+c2－2accosB. a2 =b2+c2－2bccosA.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的 平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的 积的两倍。即
a2 b2 c2 2bccos A
b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2abcosC
即 13k2 16k 3 0
从而
k 3 13
或k=1.
又因为 k 3 时，b<0，故舍去。
13
所以k=1，a= 13 ，b= 5 13 ，c=4.
2
（2）已知两式中消去2b，得
c a2 3 4
代入(1)式a2－a－2b－2c=0，得
b 1 (a2 2a 3) 1 (a 3)(a 1)
4
cos C
a2
b2
c2
a2
(a 3)(a2 4
a)
2ab
2a 1 (a 3)(a 1)
4
4a2 (a 3)(a 1) a 2a(a 3)(a 1)
1.1.2 余弦定理
1、余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2ab cosC
2、余弦定理推论：
cos A b2 c2 a2 2bc
c2 a2 b2 cosB
2ca cosC a2 b2 c2
2ab
3、利用余弦定理，可以解决三类有关三角形 的问题：
执教：邱贵泉
1、正弦定理： a b c 2R
sin A sin B sin C
变形： a 2Rsin A，b 2Rsin B,c 2Rsin C
sin A a ，sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
A B a b sin A sin B
2、正弦定理可以解决哪两类有关三角形的问 题?
(1)已知两角和任一边; (2)已知两边和一边的对角.
在ABC中，已知 a 4 3，b 3，角C 300，求c.
A
c=?
b=3
B
a=4 3
30° C
思考：如何用已知的两边及其所夹得角来表示 第三条边呢？
1、探究余弦定理
在任意的ABC中，已知a、b及角C，求边c. B
设
CB
a，CA
b，AB
和sin C.
练习2：已知在ABC中，a : b : c 2 : 6 : ( 3 1),求
ABC 各角的大小.
类型三、判断三角形的形状
例题3： 在ABC中，若(a c cosB) sin B (b c
cos A) sin A, 判断ABC的形状.
练习3： 在ABC中，已知 a cos A b cos B, 判断ABC
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边
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解析：设CD＝h，则AD＝ h3，BD＝ 3h， 在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°， ∴由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°， 可得1302＝3h2＋h32－2· 3h·h3·－12， 解得h＝10 39，故塔的高度为10 39 m.
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考查内容及考题位置
命题分析
2017 2016 2015
卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ 卷Ⅰ 卷Ⅱ
正、余弦定理、三角形的面积公及两 角和的余弦公式·T17
别为 a，b，c，已知sinA＋C❶＝8sin2B2.
(1)求cos B；
❷
[解答示范] 搭桥——找突破口
(2)若a＋c＝6，△ABC第的面(1)积问为：2欲，求求cbo.s B 的值，要么 [解搭]桥—(1—❸)由找题突设破及口求式A，B＋即的❹B变值＋换，C＝已要π知么得条找件s关in列于B方＝co程8ssB求in的2解B2关，；系
理，2得sin2Bb·cao2s＋B2ca＝2c－sibn2＝Acao·as2C＋＋2ba2sb－in cC2＋cosc·Ab2＋2cb2c－a2， ＝si整n(理A＋得C，)＝a2s＋incB2－＞b02，＝ac， 因此所co以s 2Ba＝cc12o.s B＝ac＞0，cos B＝12. 又0＜又B0＜＜Bπ＜，所π，以所B以＝Bπ3＝. π3.
余弦定理、三角恒等变换及三角形的面 积公式·T17 余弦定理、三角形的面积公式·T17 正、余弦定理、两角和的正弦公式·T17
诱导公式、三角恒等变换、给值求值问 题·T9 正弦定理的应用、诱导公式·T13 同角三角函数的基本关系·T5 正、余弦定理解三角形·T8 诱导公式、两角和的正弦公式·T2
正、余弦定理解三角形、三角形的面积 公式·T17
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专题二
三角形面积问题
三角形面积公式 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A，一般是已知哪一 个角就使用哪一个公式．
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专题二
[例 3] (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分
即第s(i2n)问B＝：4欲(1求－bco的s B值)，，需列关于 b 的方程，应借助
余弦故定1理7c、os三2B角－形32的co面s B积＋公1式5＝，0再，找其所需条件求解．
解得 cos B＝1157，cos B＝1(舍去)．
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专题二
[解] (2)由 cos B＝1157，得 sin B＝187， 故 S△ABC＝12acsin B＝147ac. 又 S△ABC＝2，则 ac＝127. 由余弦定理及 a＋c＝6 得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)
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专题二
[例 2]已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b， 3
c，C＝120°，a＝2b，则 tan A＝___2_____.
[解析] ∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝4b2＋b2－2×2b×b×
－12＝7b2， ∴c＝ 7b，cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b22＋×7bb×2－74bb2＝27 7，
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专题二
[例 1] (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分
π 别为 a，b，c，若 2bcos B＝acos C＋ccos A，则 B＝___3_____.
[解析法]二：法由一2：bc由os2Bbc＝osacoBs＝C＋acoccsosCA＋及c余co弦s 定A理及，正得弦定
解析：根据正弦定理可得a2－b2＝ 3bc，c＝2 3b， 解得a＝ 7b. 根据余弦定理cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b22＋×1b2×b22－37bb2＝ 23， 得A＝30°.
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专题二
2．如图，为了估测某塔的高度，在同一水 平面的 A，B 两点处进行测量，在点 A 处 测得塔顶 C 在西偏北 20°的方向上，仰角 为 60°；在点 B 处测得塔顶 C 在东偏北 40° 的方向上，仰角为 30°.若 A，B 两点相距 130 m，则塔的 高度 CD＝_1_0___39___m.
∴sin A＝ 1－cos2A＝ 1－47＝ 721，
∴tan A
＝csions AA＝
3 2.
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专题二
[类题通法]
正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”
应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”
应采用余弦定理．
[注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一
函数、统一结构”．
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专题二
[即学即用]
1．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 sin2A
－sin2B＝ 3sin Bsin C，sin C＝2 3sin B，则 A＝__3__0_°___.
1.高考对此部分的考 查一般以“二小”或“一大” 的命题形式出现．
2.若无解答题，一般 在选择题或填空题各有一题， 主要考查三角恒等变换、解 三角形，难度一般，一般出 现在第4～9或第13～15题位 置上．
3.若以解答题命题形 式出现，主要考查三角函数 与解三角形的综合问题，一 般出现在解答题第17题位置 上，难度中等．
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专题二
正、余弦定理解三角形及其应用
1．正弦定理及其变形 在△ABC中，sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(R为△ABC的外接圆 半径)． 变形：a＝2Rsin A，sin A＝2aR，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶ sin C等． 2．余弦定理及其变形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝b2＋2cb2c－a2.