5-例题与习题
第五章 相似矩阵和二次型• 要点和公式 •1 向量的内积[定义] n 维向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b b b a a a M M 2121 ,βα的内积为[]αββαβαT T ==,n n b a b a b a +++=Λ2211向量内积的性质（设α,β,γ是n 维向量，k 为实数） ①[][]αββα,,=②[][] ,,βαβαk k = ③[][][]γβγαγβα,,,+=+④0],[≥αα，等号成立当且仅当0=α. []],[],[,2ββααβα⋅≤ (Cauchy-Schwarz 不等式)2 向量的长度[定义] n 维向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a M 21α的长度(范数)为22221],[nT a a a +++===Λααααα 向量长度的性质①0≥α，等号成立当且仅当0=α ② αα⋅=k k③βαβα+≤+ (三角不等式)3 正交向量非零向量βα,正交的充要条件是：0],[=βα 零向量与任何向量正交 非零正交向量组是线性无关的齐次线性方程组Ax =O 的解集(解空间)是由与A 的行向量都正交的全部向量构成的集合一组两两正交的单位向量r ααα,,,21Λ称为正交单位向量组，即[] ,0 ,1 ⎩⎨⎧≠==ji ji j i 若若，αα若正交单位向量组r ααα,,,21Λ是向量空间的基，则称之为规范正交基。
4 正交矩阵[定义] 若A 为方阵，且E A A =T(或E AA =T，或TA A =-1)，则称A 为正交矩阵.正交矩阵的性质：若A , B 是正交矩阵，则①)(1T A A =-也是正交矩阵； ②AB 也是正交矩阵； ③1=A 或－1n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件： A 的n 个列向量(或行向量)是一个正交单位向量组(即R n 的一个规范正交基).4 矩阵的特征值和特征向量[定义] 设A 是方阵，若Ax =λx (其中λ是数，x 是非零向量)，则称数λ是A 的特征值，非零向量x 是A 的对应于(或属于)特征值λ的特征向量.凡是使得0=-E A λ的λ值都是矩阵 A 的特征值； A 的属于特征值λ0的全体特征向量是O x E A =-)(0λ的解集合中除零向量外的全体解向量，其最大无关组含有)(0E A λ--R n 个线性无关的特征向量.n 阶对角阵或上(下)三角阵的特征值就是其n 个主对角元. 设n 阶方阵A 的全部特征值为n λλλ,,,21Λ，则①)(tr 21A =+++n λλλΛ[tr(A )是A 的n 个主对角元之和，称为A 的迹]②A =n λλλΛ21若21,ξξ都是A 的属于特征值λ0的特征向量，则2211ξξk k +(其中k 1, k 2为任意常数，但O ξξ≠+2211k k )也是A 的属于特征值λ0的特征向量.设λ0是方阵A 的一个特征值，ξ是对应于特征值λ0的特征向量， 则，① k λ0是k A 的一个特征值；②m0λ是m A 的一个特征值；③)(0λϕ是)(A ϕ的一个特征值；[其中， 0111)(c x c x c x c x k k k k ++++=--Λϕ是关于变量x 的k 次多项式，E A A A A 0111)(c c c c k k k k ++++=--Λϕ]④若A 可逆，则10-λ是1-A 的一个特征值.并且ξ仍是以上各矩阵分别属于k λ0,m 0λ,)(0λϕ,10-λ的特征向量.A 和A T 有特征值相同(特征多项式相同)，但特征向量不一定相同。
如果λ0是n 阶方阵A 的一个k 重特征值，则k ≥ n -R (A -λ0E )，即，k ≥ 属于λ0的线性无关的特征向量的最大个数. 方阵A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.设A 有m 个不同的特征值:m λλλ , , ,21Λ，属于λi 的线性无关的特征向量有r i 个(i =1,2,…,m )，则所有这些向量(共m r r r +++Λ21个)构成的向量组是线性无关的.5 相似矩阵[定义] 若P -1AP =B (其中P 是可逆矩阵)，则称A 和B 相似. 矩阵的相似关系也是一种等价关系，具有反身性、对称性、传递性若存在可逆矩阵P ，使得P -1AP =B (即A 和B 相似)，则 ① P -1(k A )P =k B (即k A 和k B 相似) ② P -1A m P =B m (即A m 和B m 相似)； ③ P -1ϕ(A )P =ϕ(B ) [即ϕ(A )和ϕ(B )相似]④ 若A 可逆，则B 也可逆，且P -1A -1P =B -1 (即A -1和B -1相似) 相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。
若A 和B 相似，则①R (A )=R (B )；②B A =6 矩阵可对角化的条件矩阵A 可对角化是指：存在可逆矩阵P ，使得A 和对角阵Λ相似，即P -1AP =Λn 阶方阵A 可对角化的条件：① A 有n 个线性无关的特征向量(充分必要条件)；② 每个特征值的重数=对应于该特征值的线性无关的特征向量的最大个数(充分必要条件)；③ n 阶方阵A 有n 个互异的特征值(充分条件)； ④ n 阶方阵A 是实对称矩阵(充分条件).若n 阶方阵A 可对角化(P -1AP =Λ)，则对角阵),,,(11n diag λλλΛ=Λ的主对角元就是A 的n 个特征值；可逆阵P 的n 个列向量是对应于各特征值的线性无关的特征向量.7 实对称矩阵实对称矩阵的特征值都是实数.实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交. 对于n 阶实对称矩阵A ，必存在正交矩阵Q ，使得),,,(111n T diag λλλΛ===-ΛAQ Q AQ Q其中对角阵),,,(11n diag λλλΛ=Λ的主对角元就是A 的n 个特征值；正交阵Q 的n 个列向量是对应于各特征值的正交单位特征向量.8 合同矩阵[定义] 若B AC C =T (其中C 是可逆矩阵)，则称A 和B 合同. 矩阵的合同关系也是一种等价关系，具有反身性、对称性、传递性.若矩阵A 和B 合同，则)()(B A R R =.9 化二次型为标准形[定义] n 元二次型是n 元二次齐次多项式∑∑===ni nj j i ij n x a x x x f 1121),,,(x Λ (双重连加号表示法，其中a ij =a ji )Ax x T = [矩阵表示法，其中T n x x x ),,(11Λ=x ，n n ij a ⨯=)(A 是n 阶实对称矩阵]化二次型为标准形是指：寻找可逆的线性变换x =Cy (C 为n 阶可逆矩阵)，使一般的n 元二次型成为纯平方项之和：2222211)(n n T T T y d y d y d +++==Λy AC C y Ax x或者说，对n 阶实对称矩阵A ，寻找可逆矩阵C ，使得C TAC 成为对角阵：C T AC =diag (d 1, d 2,…, d n ).对于任一n 元二次型Ax x Tn x x x f =),,,(21Λ，存在正交变换x =Qy (Q 为n 阶正交矩阵)，使得2222211)(n n T T T y y y λλλ+++==Λy AQ Q y Ax x或者说，对任一n 阶实对称矩阵A ，存在正交阵Q ，使得),,(21n T diag λλλΛ=AQ Q其中对角阵),,,(11n diag λλλΛ=Λ的主对角元就是A 的n 个特征值；正交阵Q 的n 个列向量是对应于各特征值的正交单位特征向量.对于任一n 元二次型Ax x T n x x x f =),,,(21Λ，存在可逆的线性变换x =Cy (C 为n 阶可逆矩阵)，使得2222211)(n n T T T y d y d y d +++==Λy AC C y Ax x或者说，对任一n 阶实对称矩阵A ，存在可逆阵C ，使得),,(21n T d d d diag Λ=AC C(注：用不同的可逆线性变换化二次型为标准形，其标准形一般是不同的)10 惯性定理惯性定理：对于一个二次型，不论作怎样的可逆线性变换使之化为标准形，其中正平方项的项数p (正惯性指数)和负平方项的项数q (负惯性指数)都是唯一的.对于 n 元二次型 x T Ax ，若正、负惯性指数分别为p 和q ，则存在可逆的线性变换x =Cy ，使得221221)(q p p p T T T y y y y ++-+-++==ΛΛy AC C y Ax x (*)或者说，对任一n 阶实对称矩阵A ，存在可逆阵C ，使得{)0,,0,1,,1 ,1,1()(321Λ43421ΛΛ个个个q p n q p T diag +---=AC C (*)式称为二次型的规范形，即标准形的系数只在1, -1, 0三个数中取值.11 正定二次型的判定条件[定义] 如果对任意的非零向量x ，恒有二次型x T Ax >0，则称x T Ax 是正定二次型，A 是正定矩阵； 对于n 阶实对称矩阵A ，以下命题等价： ① x T Ax 是正定二次型 (或A 是正定矩阵)；②x T Ax 的标准形的 n 个系数全大于零 (或A 的正惯性指数为n ，亦即A 合同于E )； ③存在可逆矩阵P ，使得A =P T P ； ④A 的n 个特征值全大于零.⑤A 的n 个顺序主子式的值全大于零.附：其它的有定二次型 [定义]如果对任意的非零向量x ，恒有二次型x T Ax ≥0，但至少存在一个非零向量x 0，使得x 0T Ax 0=0，则称x T Ax 是半正定二次型，A 是半正定矩阵；如果对任意的非零向量x ，恒有二次型x T Ax <0，则称x T Ax 是负定二次型，A 是负定矩阵；如果对任意的非零向量x ，恒有二次型x T Ax ≤0，但至少存在一个非零向量x 0，使得x 0T Ax 0=0，则称x T Ax 是半负定二次型，A 是半负定矩阵.对于n 阶实对称矩阵A ，以下命题等价： ① x T Ax 是半正定二次型 (或A 是半正定矩阵)；② A 的正惯性指数=R (A )=r <n ，即A 合同于{)0,,0 ,1,1(321ΛΛ个个r n r diag -； ③存在降秩矩阵P ，使得A =P T P ；④A 的n 个特征值≥0，但至少有一个等于零； ⑤A 的n 个顺序主子式的值≥0，但至少有一个等于零. 对于n 阶实对称矩阵A ，以下命题等价： ① x T Ax 是负定二次型 (或A 是负定矩阵)；②x T Ax 的标准形的 n 个系数全小于零 (或A 的负惯性指数为n ，亦即A 合同于－E )； ③存在可逆矩阵P ，使得A =－P T P ； ④A 的n 个特征值全小于零.⑤A 的奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零. 对于n 阶实对称矩阵A ，以下命题等价： ① x T Ax 是半负定二次型 (或A 是负正定矩阵)；② A 的负惯性指数=R (A )=r <n ，即A 合同于)0,,0 ,1,1(321Λ43421Λ个个r n r diag ---； ③存在降秩矩阵P ，使得A =-P T P ；④A 的n 个特征值≤0，但至少有一个等于零；⑤A 的奇数阶顺序主子式≤0，偶数阶顺序主子式≥0，但至少有一个等于零.• 典型题型 •1 向量的内积、长度、正交性 ⑴ 内积的运算[练习1] 设α =(1, -2, 3)T , β =(2, -1, 0)T ，求实数λ，使得α+λβ与β 正交. [答案] 由[α+λβ, β]=0，得λ = -4/5⑵ 施密特正交化方法施密特正交化方法是指：将一组线性无关的向量r ααα , 21Λ，，，作特定的线性运算，构造出与原向量组等价的正交单位向量组. 其步骤如下：①将r ααα , 21Λ，，正交化：取 11αβ=； [][]1111222,,ββββααβ-= [][][][]222231111333,,,,ββββαβββααβ--=β … … … … … … … … … …[][][][][][]111122221111,,,,,,--------=r r r r r r r r r ββββαβββαβββααβΛββ 以上所得向量r βββ , 21Λ，，是两两正交的； ②再将rβββ , 21Λ，，单位化：111ββη=, 222ββη=, …, r r r ββη=于是，r ηηη , 21Λ，，是与r ααα , 21Λ，，等价的正交单位向量组. 利用施密特正交化方法，可将向量空间的一组基规范正交化(即构造出一个规范正交基)[练习2] 把，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10012α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01013α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11114α正交单位化.[答案] ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002/12/1，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6/206/16/1，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12/112/312/112/1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2/12/12/12/1⑶ 求非零向量，与已知的向量组m ααα , 21Λ，，正交 [问] 设m ααα , 21Λ，，是一组n 维列向量，如何求与它们正交的非零向量？[答] 根据“齐次线性方程组Ax =O 的解集合是与A 的行向量都正交的全部向量”，以T m T T ααα , 21Λ，，为行向量构造矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯T m T T nm αααA M 21然后解齐次线性方程组Ax =O ，可得基础解系，则基础解系的任意非零线性组合都是与m ααα , 21Λ，，正交的非零向量.[练习3] 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11112α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31123α,求与321,,ααα正交的单位向量.[答案] T )3 ,1 ,0 ,4(261--±2 正交矩阵以下命题互为充分必要条件： ① A 是正交矩阵② A 是方阵，且A TA =E (或者AA T=E ) ③ A 可逆，且A -1=A T④ A 的列向量组(或行向量组)是正交单位向量组(即R n的规范正交基) 于是，可以根据②,③或④验证A 是否为正交矩阵.[练习4] 设A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，A －B 可逆，且AB =BA ，证明：1))((--+B A B A 是正交矩阵. [提示] A 是对称矩阵 ⇔ A A =TB 是反对称矩阵 ⇔ B B -=TAB =BA ⇔ ))(())((B A B A B A B A +-=-+利用以上条件证明E B A B A B A B A =-+-+--]))([(]))([(11T 成立[练习5] 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=313232323132323231A ，验证A 是对称阵、正交阵、对合阵.(注：若矩阵A 满足A 2=E ，则称A 为对合矩阵).[提示] (1)需验证A =A T ；(2)需验证列向量组(或行向量组)是正交单位向量组；(3)若A 是对称的正交矩阵，则必有A 2=A T A =E ，即A 是对合阵3 矩阵的特征值和特征向量⑴ 求“数值”矩阵的特征值和特征向量对于“数值”型的n 阶方阵A ，求特征值和特征向量的步骤如下： ①解特征方程0=-E A λ，得A 的全部特征值(包括重根共n 个)； ②将A 的每个特征值λi 代入齐次线性方程组O x E A =-)(λ，求基础解系，则，基础解系的所有非零．．线性组合(即解集合中除零向．．．量外．．的全体解向量)就是A 的属于特征值λi 的全体特征向量.[练习6] 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212044010A 的特征值和特征向量.[答案] A 的特征值为2 321===λλλ (三重特征值)，属于该特征值的全部特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100012/121k k (k 1,k 2不全为零)⑵ 求“抽象”矩阵的特征值和特征向量 对于“抽象”的n 阶方阵，常用方法是：方法一 根据定义式x Ax λ=(x 是非零向量)，满足该式的λ是A 的特征值，非零向量x 是相应的特征向量；方法二 凡是能使0=-E A λ成立的λ都是特征值；凡是满足(A -λ0E )x =O 的非零向量x 都是属于λ0的特征向量.[练习7] 设AB =BA ，x 是A 的对应于特征值λ0的特征向量，B 可逆，证明：Bx 也是A 的对应于特征值λ0的特征向量. [提示] Ax =λ0x ，AB =BA ⇒ A (Bx )=B (Ax )=B (λ0x )=λ0(Bx ) 再根据已知条件“B 可逆”，用反证法证明Bx ≠O .[练习8] 设有三个非零的n 阶方阵A 1, A 2, A 3，满足A i 2=A i (i =1,2,3)，且A i A j =O (i ≠j ; i ,j =1,2,3)，证明：① A i (i =1,2,3)的特征值有且仅有0和1；② A i 对应于特征值1的特征向量是A j 的对应于特征值0的特征向量；③若α1, α2, α3分别为A 1, A 2, A 3的对应于特征值1的特征向量，则向量组α1, α2, α3线性无关.[提示] ①参见例12；②对A i ξ=ξ 左乘A j (j ≠i )，可得A j ξ=O =0ξ； ③设k 1α1+ k 2α2+ k 3α3=O ，左乘A 1，并利用②的结论，可得k 1α1=0，又因为特征向量α1≠O ，故k 1=0. 用类似的方式还可证k 2= k 3=0.[练习9] 设A 是m ⨯n 矩阵，B 是n ⨯m 矩阵， ①证明：AB 的非零特征值都是BA 的特征值. ②AB 的特征值都是BA 的特征值吗？说明理由.[答案] ①同例12；②不一定，因为AB 是m 阶方阵，BA 是n 阶方阵，若m ≠n ，则AB 和BA 的特征值个数不同. [注] 练习9的一个实例如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000020001020001001001的特征值为-1, 2, 0. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2001001001020001的特征值为-1, 2.⑶ 特征值和特征向量的性质[练习9] 设A 是n 阶矩阵，则以下结论正确的是：(A) 若A 可逆，则A 的对应于特征值λ的特征向量也是A -1的对应于特征值λ-1的特征向量；(B) A 的特征向量的任一线性组合仍是A 的特征向量； (C) A 和A T 有相同的特征向量；(D) A 的特征向量为Οx E A =-)(λ的全部解向量； [答案] (A)正确(B)错误，正确说法：A 的属于同一特征值λ0的特征向量的任一非零线性组合仍是A 的属于λ0的特征向量；(C)错误，正确的说法：A 和A T 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；(D)错误，正确说法：A 的特征向量为Οx E A =-)(λ的全部非零解向量.[练习10] 已知3阶矩阵A 的特征值为－1, 1, 2，设()E A B 28112*+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-, 求B 的全部特征值以及B .[答案] B 的特征值：4, 4, 10； 160=B[提示] 2211-=⨯⨯-=A ，故A 可逆，且11*2---==A A A A ，代入B 的表达式，得B =2A 2+2E ，于是，若A 的一个特征值为λ，则2A 2+2E 有一个特征值为222+λ.[练习11] 证明：例10中的3阶方阵βαT 的全部特征值为0, 0, 2. [提示] 根据βαT 的特点(任意2行或2列成比例) 得∣βαT ∣=0，即0是βαT 的特征值.又αT β=2，知α和β都是非零向量，于是βαT 是非零矩阵，且非零子式的最高阶数是1，即R (βαT )=1，从而0至少是二重的特征值.⑷ 已知矩阵A 的特征值或特征向量，反求矩阵A (或A 中的参数.)[练习12] 设n 阶矩阵A 有n 个两两正交的特征向量n ααα,,,21Λ，证明A 是对称矩阵.[提示] 设A αi =λi αi (i =1,2,…,n )，将各正交的特征向量单位化：),,2,1( n i ii i Λ==ααη则有A ηi =λi ηi (i =1,2,…,n )，即P ΛAP =，其中P =(η1, η2,…, ηn )为正交矩阵 (列向量组为正交单位向量组),),,,(21n diag λλλΛ=Λ. 于是，利用正交矩阵的性质P -1=P T ，有A =P ΛP -1=P ΛP T ，进而证明A T =A 即可.[练习13] 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111ξ是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量，试确定参数a ,b 以及特征向量ξ 所对应的特征值. [答案] a =-3, b =0, λ=-1.4 相似矩阵⑴ 相似矩阵的判别和证明根据定义，矩阵A 和B 相似 ⇔ 存在可逆阵P ，使得P -1AP =B . 另外，相似关系也是一种等价关系，具有反身性、对称性和传递性，因此，若A 和B 相似，B 和C 相似，则A 和C 相似. [练习14] 设A 和B 相似，C 和D 相似，证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C OO A 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛D O O B 相似.[提示] 设P -1AP =B ，Q -1CQ =D ，其中P ,Q 是可逆阵，则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Q O O P C O O A Q O O P 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--CQ Q O O AP P 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D O O B⑵ 相似矩阵的性质[练习15] 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11322002a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=b 00020001B已知A 和B 相似，求a ,b 的值. [答案] a =0, b =-2.5 矩阵可对角化的条件⑴矩阵可对角化的判定和证明矩阵可对角化是指：存在可逆矩阵P，使得A和对角阵Λ相似，即P-1AP=Λ.n阶矩阵A可对角化有如下判断条件：(I)A有n个线性无关的特征向量；(充分必要条件)(II)A的每个特征值的重数=属于该特征值的线性无关的特征向量的最大个数；(充分必要条件)(III)A有n个不同的特征值；(充分条件)(IV)A是实对称矩阵；(充分条件)[练习16]设A是3阶矩阵，且A-E, A+2E,5A-3E不可逆，证明A可对角化.[答案] ∣A-E∣=0, ∣ A+2E∣=0, ∣5A-3E∣=0⇒A有3个不同的特征值：1, -2, 3/5⇒A可对角化[练习17]已知n阶矩阵A满足A2-A =2E，证明A可对角化.[提示]A2-A =2E ⇒ (A+E)(A-2E)=O[练习18] 若A 是n 阶矩阵，A ≠ O 但O A =m (m 是大于1的整数)，证明A 不可对角化.[提示] 反证法，假设A 可对角化，即P -1AP =Λ，则有P -1A m P =Λm ，根据A m =O ，可得Λ =O ，从而A =P ΛP -1=O ，与题设条件矛盾.⑵ 当矩阵A 可对角化时，求可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得P -1AP =Λ (I) 若矩阵A 可对角化，即，存在可逆矩阵P 使得P -1AP =Λ，则对角阵Λ的主对角元就是A 的n 个特征值是λ1, λ2, …, λn ； 可逆阵),,,(21n ξξξP Λ=的列向量，就是对应于各特征值的线性无关的特征向量[O x E A =-)(i λ的基础解系].(II) 若A 是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q ，使得A 和对角阵Λ相似，即Q -1AQ =Q T AQ =Λ。
化工原理(干燥部分)习题与解题指导
第八章干燥【例题与解题指导】【例5-1】某常压空气的温度为30℃、湿度为0.0256kg/kg绝干气，试求：（1）相对湿度、水汽分压、比容、比热容及焓；（2）若将上述空气在常压下加热到50℃，再求上述各性质参数。
解：（1）30℃时的性质相对湿度由手册查得30℃时水的饱和蒸汽压p s＝4.2464kPa。
用式5-5求相对湿度，即将数据带入解得水汽分压比容由式5-6求比容，即=0.8926 m3湿空气/kg绝干气比热容由式5-7a求比热容，即焓用式5-8ｂ求湿空气的焓，即kJ/kg绝干气（2）50℃时的性质参数相对湿度查出50℃时水蒸汽的饱和蒸汽压为12.340kPa。
当空气被加热时，湿度并没有变化，若总压恒定，则水汽的分压也将不变，故水汽分压因空气湿度没变，故水汽分压仍为4.004kPa。
比容因常压下湿空气可视为理想气体，故50℃时的比容为m3湿空气/kg绝干气比热容由式5-7知湿空气的比热容只是湿度的函数，因此，湿空气被加热后，其比热容不变，为1.058kJ／(kg绝干气·℃)。
焓kJ/kg绝干气由上计算可看出，湿空气被加热后虽然湿度没有变化，但相对湿度降低了，所以在干燥操作中，总是先将空气加热后再送入干燥器内，目的是降低相对湿度以提高吸湿能力。
【例5-2】常压下湿空气的温度为30℃、湿度为0.0256kg／kg绝干气，试求该湿空气的露点t d、绝热饱和温度ｔas和湿球温度t w。
解：露点t d将湿空气等湿冷却到饱和状态时的温度为露点，由式5-16可求出露点温度下的饱和蒸汽压解得=4.004kPa查出该饱和蒸汽所对应的温度为28.7 ℃，此温度即为露点。
绝热饱和温度由式5-14计算绝热饱和温度，即由于Ｈas是的函数，故用上式计算时需试差。
其计算步骤为①设= 29.21℃②用式5-3求温度下的饱和湿度Ｈas，即查出29.21℃时水的饱和蒸汽压为4054Pa，汽化潜热为2425.48kJ/kg，故kg／kg绝干气③用式5-7a求ｃH，即kJ/(kg.℃)④用式5-14核算。
导数的概念及其意义 高中数学-例题课后习题详解-选必二5-1
第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5．1．1变化率的问题练习1．求问题1中高台跳水运动员在0.5s t =时的瞬时速度．1.火箭发射s t 后，其高度（单位：m ）为()20.9h t t =．求：（1）在12t ≤≤这段时间里，火箭爬高的平均速度；（2）发射后第10s 时，火箭爬高的瞬时速度．【答案】（1）2.7m s ；（2）18m s .【解析】【分析】（1）根据平均速度的计算公式求解；（2）根据导数的概念求解.【详解】（1）因为()()()22210.920.91 2.721h h v m s -==⨯-⨯=-，所以在12t ≤≤这段时间里，火箭爬高的平均速度为2.7m s ；（2）因为()()()01010lim1010t h t h t ∆→+∆-+∆-()220.9100.910limt t t∆→⨯+∆--⨯=∆()20.918limt t tt∆→∆+∆=∆()lim 0.918t t ∆→=∆+18=所以发射后第10s 时，火箭爬高的瞬时速度18m s .2.一个小球从5m 的高处自由下落，其运动方程为()24.9y t t =-，求1s t =时小球的瞬时速度．【答案】9.8/m s -【解析】【分析】根据瞬时速率计算即可.【详解】由题意知：9.8dyt dt=-当1t =时，小球的瞬时速度为9.8/m s-练习3.你认为应该怎样定义抛物线()2f x x =在点()200,x x 处的切线？试求抛物线()2f x x =在点()1,1-处切线的斜率．【答案】切线的定义见解析，抛物线()2f x x =在点()1,1-处切线的斜率为2-.【解析】【分析】利用切线的定义可得出抛物线()2f x x =在点()200,x x 处的切线的定义，然后利用导数的定义可求得抛物线()2f x x =在点()1,1-处切线的斜率.【详解】在点()2000,P x x 的附任取一点()2,P x x ，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P无限趋近于一个确定的位置0PT ，这个确定的位置0PT 称为抛物线()2f x x =在点()2,x x 处的切线.抛物线()2f x x =在点()1,1-处的切线的斜率为()()()111limx f x f k f x∆→-+∆--'=-=∆()()211limlim 22x x x x x∆→∆→∆--==∆-=-∆.4.求抛物线()21f x x =+在点()0,1处的切线方程．【答案】10y -=【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；【详解】解：因为()21f x x =+，所以()2f x x '=，所以()00f '=，故切线方程为10y -=5．1．2导数的概念及其几何意义练习例1设1()f x x=，求(1)f '．解：00011(1)(1)11(1)lim lim lim 11x x x f x f x f x x x∆→∆→∆→-+∆-⎛⎫+∆'===-=- ⎪∆∆+∆⎝⎭．例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。
恒定电流例题习题5
(D)该电源每提供1J电能就有2C电量通过电源
例：在闭合电路中，下述说法中正确的是（）
(A)电流总是由高电势点流向低电势点(B)电流越大，电源功率越大
(C)电源输出功率越大，电源效率越高(D)电源输出电压越大，电源效率越高
例：如图所示，用两节干电池点亮几个小灯泡，当逐一闭合电键，接入灯泡增多时，以下说法正确的是
例：如图所示的电路中，某录音机用的直流电机通过一串联电阻R＝5Ω接在电动势为ζ＝6V，内阻r2＝0.5Ω的电池上，流过电机的电流强度为I＝0.3A，电动机绕组的电阻为r1＝1Ω，求：
(1)电动机消耗的电功率；
(2)电机每分钟产生的热量Q；
(3)电动机的机械功率；
(4)电源的输出功率；
(5)电源的效率；
例：如图所示为一欧姆表原理图，灵敏电流表G的满偏电流为150μA，内阻为100Ω，限流电阻R1为2kΩ，可变电阻R2为10kΩ（最大阻值），电源电动势ε为1.5V，内阻可忽略。使用时应使表针偏转在满刻度的1/3至2/3范围内。因此这个欧姆表测量________至________范围内的电阻比较准确。与表内电源负极相接的应是________表笔（填“红”或“黑”）
（A） （B） （C） （D）
例：将两个阻值不同的电阻R1、R2分别单独与同一电源连接，如果在相同的时间内，R1、R2发出的热量相同，则电源内阻为（）
（A） （B） （C） （D）
★焦耳定律、电功、电功率
例：用户有下列几种用电器：200W的电冰箱,250W的电视机,1.5kW的电饭煲,750W的电暖器2kW的空调器.进入用户的电线处装有13A的保险丝,供电电压为220V,用户不能同时使用的用电器是( )
(A) ad间断路；(B) cd间断路；(C) bc间断路；(D) ad间断路.
四年级小学生5道奥数速算与巧算例题及练习题
【导语】奥数题中常常出现⼀些数量关系⾮常特殊的题⽬，⽤普通的⽅法很难列式解答，有时根本列不出相应的算式来。
我们可以⽤枚举法，根据题⽬的要求，⼀⼀列举基本符合要求的数据，然后从中挑选出符合要求的答案。
以下是整理的《四年级⼩学⽣5道奥数速算与巧算例题及练习题》，希望帮助到您。
四年级⼩学⽣5道奥数速算与巧算例题及练习题⼀ 【例题】计算489+487+483+485+484+486+488 【思路导航】认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近，所以选490为基准数。
489+487+483+485+484+486+488 =490×7-1-3-7-5-6-4-2 =3430-28 =3402 想⼀想：如果选480为基准数，可以怎样计算?. 练习题： 1.50+52+53+54+51 2.262+266+270+268+264 3.89+94+92+95+93+94+88+96+87 4.381+378+382+383+379 5.1032+1028+1033+1029+1031+1030 6.2451+2452+2446+2453.四年级⼩学⽣5道奥数速算与巧算例题及练习题⼆ 【例题】计算9+99+999+9999 【思路导航】这四个加数分别接近10、100、1000、10000。
在计算这类题⽬时，常使⽤减整法，例如将99转化为100-1。
这是⼩学数学计算中常⽤的⼀种技巧。
9+99+999+9999 =(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1) =10+100+1000+10000-4 =11106 练习题： 1.计算99999+9999+999+99+9 2.计算9+98+996+9997 3.计算1999+2998+396+497 4.计算198+297+396+495 5.计算1998+2997+4995+5994 6.计算19998+39996+49995+69996四年级⼩学⽣5道奥数速算与巧算例题及练习题三 【例题】计算下⾯各题。
会计基础习题及答案 (5)
一、单项选择题（本类题共24小题，每小题1.5分，共36分。
每小题备选答案中，只有一个符合要求，用2B铅笔填涂答题卡中信息点。
多选、错选、不选均不得分）1.下列各项中，应列入利润表“营业收入”项目的是（）。
A.销售材料取得的收入B.接受捐赠收到的现金C.出售专利权取得的净收益D.出售自用房产取得的净收益【答案】A【解析】销售材料取得的收入计入其他业务收入，构成营业收入。
其余选项在营业外收入核算，不构成营业收入。
【相关链接】王晓晖老师在基础班第七章财务报告第三节利润表及070301视频中有强调该知识点，并有类似例题。
2、下列各项中，不属于辅助生产费用分配方法是的（）。
A.售价法B.交互分配法C.直接分配法D.计划成本分配法【答案】A【解析】售价法是联产品成本的分配方法，其余是辅助生产费用分配方法。
【相关链接】王晓晖老师在基础班第八章产品成本核算第三节要素费用的归集和分配（二）及080302视频中有强调该知识点，并有类似例题。
韩建清老师习题班第八章产品成本核算（一）及080101视频单项选择题例题10与此题一样。
3.2012年1月1日，甲公司购入乙公司当月发行的面值总额为1000万元的债券，期限为5年，到期一次还本付息。
票面利率8%，支付价款1080万云，另支付相关税费10万元，甲公司将其划分为持有至到期投资，甲公司应确认“持有至到期投资——利息调整”的金额为（）。
A.70B.80C.90D.110【答案】C【解析】借：持有至到期投资——成本1000——利息调整90贷：其他货币资金1090【相关链接】王晓晖老师在基础班第一章资产第五节持有至到期投资（一）及010501视频中有强调该知识点，并有类似例题。
4.权益法下核算的长期股权投资，会导致投资企业投资收益发生增减变动的是（）。
A.被投资单位实现净利润B.被投资单位提取盈余公积C.收到被投资单位分配现金股利D.收到被投资单位分配股票股利【答案】A【解析】选项A，权益法下被投资单位实现净利润时，借：长期股权投资——损益调整，贷：投资收益；选项B，被投资单位提取盈余公积，不影响被投资单位的所有者权益，投资企业不需要进行会计处理；选项C，收到被投资单位分配现金股利时，借：其他货币资金，贷：应收股利，不影响投资收益；选项D，收到被投资单位分配股票股利，不需要进行账务处理，应当在备查簿中登记。
【新】五年级 数学 人教版 追及问题和环形跑道(例题+练习题)
追及问题和环形跑道问题☆☆☆重点讲解知识点一、追及问题公式：路程差=速度差×追及时间.【例1】下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.【例2】甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙.问：甲、乙二人的速度各是多少？【巩固提升】1、某人沿着一条与铁路平行的笔直的小路由西向东行走，这时有一列长520米的火车从背后开来，此人在行进中测出整列火车通过的时间为42秒，而在这段时间内，他行走了68米，则这列火车的速度是多少？2、幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？知识点二、环形跑道经典公式：路程＝速度×时间同一地点出发：反向每相遇一次，合走一圈路程和＝速度和×相遇时间同向每追上一次，多走一圈路程差＝速度差×追及时间1、基础环形跑道【例1】5、甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？【例2】佳佳和海海在周长为400米的环形跑道上进行万米长跑。
佳佳的速度是40米/分，海海的速度是60米/分。
⑴佳和海海同时从同一地点出发反向跑步，两人几分钟后第一次相遇？再过几分钟后两人第二次相遇？⑵佳佳和海海同时从同一地点出发，同一方向跑步，海海跑几分钟能第一次追上佳佳？再过几分钟能第二次追上佳佳？【例2】在300米的环形跑道上，佳佳和海海同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？【变式练习】1、佳佳、海海两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。
5剪力墙结构例题习题
5剪力墙结构例题习题剪力墙是一种常见的结构体系，能够有效地承受水平荷载并提供稳定性。
在设计剪力墙结构时，需要考虑到力学原理和工程实际情况。
本文将介绍5个剪力墙结构的例题习题，通过解答这些习题，能够加深对剪力墙结构设计的理解。
以下是具体的例题习题：习题一：某建筑的平面尺寸为20m×15m，层高为3.5m。
确定该建筑是否需要剪力墙，并计算所需剪力墙的位置和数量。
解答：根据建筑平面尺寸和层高，可以计算出该建筑的体系周期，然后根据规范要求，比较体系周期与规范规定的周期要求，如果体系周期小于规范要求的周期，表示建筑需要剪力墙。
假设该建筑的周期要求为1.2s，计算得到其体系周期为1.0s，小于规范要求的1.2s，因此该建筑需要安装剪力墙。
根据建筑平面尺寸和层高，可以确定剪力墙的位置和数量。
一般来说，剪力墙应尽可能均匀地分布在建筑的外围，以提供较好的稳定性。
在本例中，可以将剪力墙设置在建筑的四个角落，并在每个角落设置一根剪力墙。
习题二：某剪力墙的尺寸为2.5m×0.3m×0.3m，使用混凝土C30，配筋采用HRB400。
根据规范要求，计算该剪力墙的承载力。
解答：首先，计算剪力墙的截面面积和周长。
剪力墙的截面面积为0.3m×0.3m=0.09m²，周长为2×(0.3m+0.3m)=1.2m。
然后，根据规范要求，计算剪力墙的抗剪承载力。
抗剪承载力的计算公式为：V = α × β × K × b × h × τ。
其中，α为修正系数，取1.0；β为纵向钢筋比例系数，取0.85；K为剪切增强系数，取1.0；b和h分别为剪力墙的宽度和高度；τ为混凝土抗剪强度。
假设混凝土抗剪强度τ为2.5MPa，代入上述公式计算可得：V = 1.0 × 0.85 × 1.0 × 0.3m × 0.3m × 2.5MPa = 0.3825MN。
机械制造技术基础第版课后习题答案
机械制造技术基础》部分习题参考解答第五章工艺规程设计5-1 什么是工艺过程？什么是工艺规程？答：工艺过程——零件进行加工的过程叫工艺过程；工艺规程——记录合理工艺过程有关内容的文件叫工艺规程，工艺规程是依据科学理论、总结技术人员的实践经验制定出来的。
5-2 试简述工艺规程的设计原则、设计内容及设计步骤。
5-3 拟定工艺路线需完成哪些工作？5-4 试简述粗、精基准的选择原则，为什么同一尺长方向上粗基准通常只允许用一次？答：粗、精基准的选择原则详见教材P212-214。
粗基准通常只允许用一次的原因是：粗基准一般是毛面，第一次作为基准加工的表面，第二次再作基准势必会产生不必要的误差。
5-5 加工习题5-5 图所示零件，其粗、精基准应如何选择（标有符号的为加工面，其余为非加工面）？习题5-5 图a）、b）、c）所示零件要求内外圆同轴，端面与孔轴线垂直，非加工面与加工面间尽可能保持壁厚均匀；习题5-5 图d）所示零件毛坯孔已铸出，要求孔加工余量尽可能均匀。
习题5-5 图解：按题目要求，粗、精基准选择如下图所示。
5-6 为什么机械加工过程一般都要划分为若干阶段进行？答：机械加工过程一般要划分为粗加工阶段、半精加工阶段、精加工阶段和光整加工阶段。
其目的是保证零件加工质量，有利于及早发现毛坯缺陷并得到及时处理，有利于合理使用机床设备。
5-7 试简述按工序集中原则、工序分散原则组织工艺过程的工艺特征，各用于什么场合？5-8 什么是加工余量、工序余量和总余量？答：加工余量——毛坯上留作加工用的材料层；工序余量——上道工序和本工序尺寸的差值；总余量——某一表面毛坯与零件设计尺寸之间的差值。
5-9 试分析影响工序余量的因素，为什么在计算本工序加工余量时必须考虑本工序装夹误差和上工序制造公差的影响？5-10 习题5-10图所示尺寸链中（图中A B o、G、D0是封闭环），哪些组成环是增环？那些组成环是减环？习题5-10图解：如图a），A是封闭环，A, A, A, A, A, A是增环，其余均为减环。
例题与习题
1、某股份有限公司拟发现面值为100元，期限为5年的债券一批，年利率为12%，每年年末付息。
试测算该债券在下列市场利率条件下的发行价格：（1）10%；（2）12%；（3）15%2、ABC公司欲从银行取得一笔长期借款1 000万元，手续费0.1%，年利率5%，期限3年，每年结息一次，到期一次还本。
公司所得税率25%。
这笔借款的资本成本率为多少？3、ABC公司欲借款1 000万元，年利率5%，期限3年，每年结息一次，到期一次还本。
银行要求补偿性余额20%。
公司所得税率25%。
这笔借款的资本成本率为多少？4、ABC公司拟等价发行面值1000元，期限5年，票面利率8%的债券4 000张，每年结息一次。
发行费用为发行价格的5%，公司所得税率为25%。
该批债券的资本成本率为多少？5、XYZ公司准备以溢价150元发行面额1000元，票面利率10%、期限5年的债券一批。
每年结息一次。
平均每张债券的发行费用16元。
公司所得税率25%。
该债券的资本成本率为多少？6、ABC公司拟发行一批普通股，发行价格12元，每股发行费用2元，预定每年分派现金股利每股1.2元。
7、某公司现有长期资本总额10 000万元，其中长期借款2 000万元，长期债券3 500万元，优先股1 000万元，普通股3 000万元，留存收益500万元；各种长期资本成本率分别为4%，6%，10%，14%和13%。
该公司的综合资本成本率为多少？8、某公司目前拥有长期资本100万元，其中，长期债务20万元，优先股5万元，普通股权益（含留存收益）75万元。
为了适应追加投资的需要，公司准备筹措新资。
试测算建立追加筹资的边际资本成本率规划。
公司认为现有的资本结构比较理想。
资本种类目标资本结构追加筹资数额范围（元）个别资本成本率（%）长期债务0.20 10 000以下 610 000-40 000 740 000以上8优先股0.05 2 500以下102 500以上12普通股权益0.75 22 500以下1422 500-75 000 1575 000以上169、某公司2009年末长期资本中负债比例为55%，假设仍按现有资本结构筹措新资金，经测算随筹资额的增加，各单项资本成本变化如下表。
实验设计与数据处理第三四五章例题及课后习题答案
1
8.9
4
70
30
3 11.2
5
90
10
1
8.4
6
90
10
3 11.1
7
90
30
1
9.8
8
90
30
3 12.6
SUM
640
160
16 79.9
AVE
80
SUMMARY OUTPUT
回归统计
Multiple
R
0.99645389
R Square 0.992920354
Adjusted
R Square 0.987610619
x3 13 19 25 10 16 22 28 133
y 1.5
3 1 2.5 0.5 2 3.5 14
0.33 0.336 0.294 0.476 0.209 0.451 0.482 2.578
SUMMARY OUTPUT
回归统计
Multiple
R
0.983812569
R Square 0.967887171
SSt SSr Sse
x3 13 19 25 10 16 22 28 133 19
y 1.5 0.33
3 0.336 1 0.294 2.5 0.476 0.5 0.209 2 0.451 3.5 0.482 14 2.578 2 0.368286
方程 1 1E-06 2 1E-06 3 2.32E-09 4 7.24E-11
2.05
7.4
0.125
0
6 11.2 1.866666667 0.130666667
6 35.8 5.966666667 1.298666667