格林公式例题与习题
y)d
y
D B
A
B
B
d u u u(B) u(A)
A
A
注: 此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4).
它类似于微积分基本公式:
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO,它与L 所围
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或
y dy 0 1 y2
π arctan x
2
y
y (1, y) (x, y) O (1,0) ( x,0) x
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例7. 设质点在力场
作用下沿曲线 L :
由 A( 0, π ) 移动到 2
求力场所作的功W
y
A
解:
W
Fds
L
L
k r2
( ydx
x d y)
L
令
则有
O
Bx
P y
k(x2 y2) r4
Q x
( x2 y2 0)
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
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取圆弧 AB : x π cos , y π sin ( : π 0)
2
2
2
W
AB
k r2
(y
dx
x d y)
y
A
L
πk
0
1 (1 e1) 2
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二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pdx Qdy L 与路径无关, 只与起止点有关.
y0
y0
或uLeabharlann (x, y) yy0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
O x0
xx
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
3) 若已知 d u = P dx + Q dy ,则对D内任一分段光滑曲
线 AB ,有
AB P(x, y)dx Q(x, y)dy
B A
P(
x,
y)
d
x
Q(
x,
(0 2π) 所围面积
1 2
2
0
π
(abcos2
absin2
) d
π ab
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2xy, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
L 2xy dx x2 dy 0dx dy 0 D
一、 格林公式
区域 D 分类
单连通区域 ( 无“洞”区 域 多连) 通区域 ( 有“洞”区
L D
规定：域 D 边域界L) 的正向: 域的内部靠左
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P dxdy Pdx Qdy
D x y
P d x Q d y 在 D 内与路径无关. L
对 D 内任意闭曲线 L 有 P d x Q d y 0 L
在 D 内有 Q P x y
在 D 内有 d u P dx Q dy
P dx Qdy 0 为全微分方程
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例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
解: 令P 0, Q xe y2, 则
y
B(0,1)
A(1,1)
D yx
利用格林公式 , 有
O
x
x e y2 dy D
x e y2 dy 1 ye y2 dy
OA
2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点( x0, y0 ) D及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
(x,y)
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy
y y
( x0 , y0 )
x
y
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
(3)
在 D 内是某一函数
的全微分,
即 d u(x, y) P dx Q dy (4) 在 D 内每一点都有 P Q .
y x
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说明: 根据定理2 , 若在某区域D内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
注： 求曲线积分时,若积分路径不是闭曲线，且难计 算，则可添加辅助线后，利用格林公式简化计算。
例6.
验证
x
dy x2
yd y2
x
在右半平面
(
x
>
0
)
内存在原函
数 , 并求出它.
y
(x, y)
证: 令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
则
P x
y2 x2 (x2 y2)2
Q y
( x 0 ) O (1,0)
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数
0 x
y dy 0 x2 y2
是某个函数的全微分, 并求
出这个函数及
证: 设 P xy2, Q x2 y,则 P 2xy Q
y
x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
(x, y)
du xy2 dx x2 ydy
(0,0)
( x,0)
0 y x2 y dy y x2 y dy
0
0
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L
( 格林公式 )
或
x y dxdy Pdx Qdy
DP Q
L
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格林公式
D
Q x
P y
d
xd
y
L
Pdx
Qd
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
1
A 2 L xd y y dx L xd y L y dx
例如,
椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
O
Bx
2
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
无关 ! 转内容小结
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内容小结
1. 格林公式 P d x Q d y Q P d x d y
L
2. 等价条件
D x y
设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
区域为D , 则
原式
(x2 3y) dx (y2 x) dy
L AO
( x2 3 y)dx ( y2 x) d y AO
(4)dxd y ( x2 3 y)dx
D
OA
y
4 dxd y 4 x2 dx
D
0
L D
8 π 64 3
O
Ax
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例5. 验证
格林公式与曲线积分路径无关
4 2 2 6 4 2 2 8
-1
重要意义：
1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系
2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系 3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式
四、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内
从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，yL2 有
L
练习1 计算积分 (ex sin y y)dx (ex cos y 1)dy
L
y
其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。
1
解 (ex sin y y)dx (ex cos y 1)dy
L
②
L①
D
(ex cos y ex cos y 1) dxdy
D
-1
O
③
1x ④
x0
=
Px, y
同理可证 u Q x, y.因此
y du Pdx Qdy.
（ⅲ） （ⅳ）设存在u x , y ，使得 du Pdx Qdy
所以P x, y u x, y,Q x, y u x, y.因此
x
y
P 2u , Q 2u . y xy x yx
因 Px, y，Qx, y在区域 D 内有连续的偏导数，所以
o
x
x1
x0
P(
x,
y0
)dx
y1Q( y0
x1 ,
y)dy
或
y1Q( y0
x0
,
y)dy
x1
x0
P(
x,
y1
)dx
AC CB
AD DB
例 5 验证 (e y x)dx ( xe y 2 y)dy.与路径无关，
积分与路径无关后的计算例题
积分与路径无关后的计算例题积分是数学中的一种重要概念，它的出现可以帮助我们解决一些与路径相关的问题。
但是在某些情况下，这些积分与路径无关，也就是说无论我们选择怎样的路径，最终得到的积分结果都是相同的。
在这篇文章中，我们将通过一个具体的计算例题来介绍积分与路径无关的情况以及相关的参考内容。
首先，让我们来考虑一个简单的例题：计算积分 $\int_C ydx + xdy$ ，其中 $C$ 是以原点为起点，半径 $r$ 的圆周路径。
要计算这个积分，我们可以使用格林公式，即 $\int_C Pdx + Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partialP}{\partial y}\right)dxdy$ ，其中 $D$ 是 $C$ 所围成的区域，$P$ 和 $Q$ 是函数 $F(x,y) = (P(x,y),Q(x,y))$ 的分量函数。
在这个例题中，$P = y$ ， $Q = x$ ，所以我们需要计算$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ 。
对于该函数$F(x,y)=(y,x)$，有 $\frac{\partial Q}{\partial x} =1$ ， $\frac{\partial P}{\partial y} = 1$ ，因此 $\frac{\partialQ}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$ 。
根据格林公式，我们可以将要求的积分转换为对区域 $D$ 的二重积分，即$\iint_D 0dxdy$ 。
接下来，我们需要确定区域 $D$ 。
根据问题描述， $C$ 是以原点为起点，半径 $r$ 的圆周路径，因此区域 $D$ 就是圆$x^2 + y^2 = r^2$ 所围成的区域。
第四节格林公式
EAC c
⌒
证明(2) 若区域D由按段光滑的 闭曲线围成.如图, 将D分成三个既是 x 型又是 y 型的 区域D1, D2, D3.
L3 D3
D2
L2
L1
D1
D
L
Q P Q P ( x y )dxdy ( x y )dxdy D D1 D2 D3
(
D1 D2 D3
Q P )( )dxdy x y
(
D1
D2
D3
) Pdx Qdy
D
Pdx Qdy.
证明(3) 若D是复连通区域 ,添加直线段
AB,CE. 则D由AB, BA,AFC,CE, EC 及CGA构成. 由(2)知 ( Q P )dxdy D y D x
y2
1
x
e
D
y2
dxdy
x2
OA AB BO
xe
dy
OA
xe
y2
dy
0 xe
1
1 1 x2 1 dx [ e ] 0 (1 e 1 ). 2 2
3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.
Q P )dxdy Pdx Qdy 格林公式: ( y D x D
y
解 记 L 所围闭区域为 D ,
则原积分
( y
D
2
x )dxdy
2
O
2 x
d 0
2 2
2 cos
d 8
3
2 0
3 cos d . 2
格林公式-习题共36页
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
格林公式-习题
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的9、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
格林公式习题解析
“ u(x, y) (x,y) 2x ydx x2 d y ”. ( x0 , y0 )
图1
又由于积分 u(x, y) (x,y) 2X Y d X X 2 dY 与路径无关， ( x0 , y0 )
也就意味着，我们可以选取使计算简便的路径，通常我们选择 折线路径，如图 1 和图 2 所示.
y
x
y x
符合定理 9.3.2 中的充要条件，因此，积分与路径无关.
再来计算积分值——
本题中并没有指定积分弧段，只取定了起点 (1,1) 和终点 (2,3) . 由于积分与路径无关，
因此，无论沿哪条积分弧段计算曲线积分，积分值都是相同的， 我们可以选择较简便的折线路径（如图 3 所示）进行计算，记
因此，无论沿哪条积分弧段计算曲线积分，积分值都是相同的， 我们可以选择较简便的折线路径（如图 4 所示）进行计算，记
x x
LAB
:
y
2
(x
:1
3)
，
LBC
:
x y
3 y
( y : 2 4) ，则有
图4
(3,4) (6 x y2 y3)dx (6 x2 y 3 x y2 )d y (1,2)
的正向边界；
答案： 1 (e 1) 5
解析： 本题考查课本第 137~138 页知识点——
可简单地理解为曲线上无“尖点”（导数或偏导数不存在的点）， 即曲线上处处有切线，且切线随切点的移动而连续转动.
简单地讲，格林公式就是把闭区域内的二重积分和该闭区域边界上的曲线积分联系了起 来，这两种积分可以根据我们的需要相互转化，从而简化计算.
u(x, y) y0 (x2 x02 ) x2 ( y y0) 的全微分，随着 (x0, y0 ) 的不同， u(x, y) 也不同.
数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。
11-(3)格林公式及其应用(重新学习)
区域 ) 高等数学A(下）
34 - 2
2020年1月20日
一、 格林公式 2、边界曲线的正向
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,
区域D总在他的左边.
高等数学A(下）
34 - 3
2020年1月20日
一、 格林公式
定理1. 设区域 D 是由分段光滑曲线 L 围成,函数 在 D 上具有一阶连续偏导数, 则有
例4. 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy.其中 L 为 L
由点O(0, 0)到点B(1, 1)的曲线弧 y sin x .
2
解 P ( x2 2xy) 2x
y y
P Q ，
Q ( x2 y4 ) 2x
y x
D1
y
L
l D1
or
x
高等数学A(下）
2π 0
r 2 cos2 r 2 sin2
r2
d
2π
34 - 15
2020年1月20日
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
C
B
Q(x, y) x2 y2
D
则Q 2 x, P x
x
y
O
Ax
( x3 xy)dx ( x2 y2 )dy L
(2x x)dxdy
第三节 格林公式及其应用
第三节 格林公式及其应用一、选择题 1. 设L 为椭圆12222=+by ax 的顺时针路径,则⎰=--+Ldy y x dx y x )()(( )A . ab π4-;B . ab π2-;C . 0 ;D . ab π2. 2. 设区域B : x 2 + y 2 ≤ a 2, 积分路线L 是B 的负向边界, 则=-⎰Lxdy ydx( )A . 22a π;B . 22a π-;C . 2a π- ;D . 2a π.3. 设L 是正向椭圆周: x = a cos t , y = b sin t (0 ≤ t ≤ 2π), 则线积分⎰+Lxdy ydx =( )A . 0 ;B . 2π ;C . π ab ;D . 2π ab . 4.⎰+++)2,1()0,0()()(dy y x f dx y x f =( )A .⎰30)(dx x f ; B .⎰10)(dx x f ;C . f (3) - f (0);D . 0.二、填空题1. 设L 为任意正向简单闭曲线, a 、b 为常数, 则曲线积分=+⎰Lbdy adx .2. 设L 是由曲线y = x 2及y = 1所围成的区域D 的正向边界, 则=+++⎰Ldy y x x dx y x xy )()(24233_____.3. 设L 是正向圆周922=+y x , 则=-+-⎰Ldy x x dx y xy )4()22(2 .三、解答题 1. 计算曲线积分⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()(232, 其中L 是四个顶点分别为(0, 0)、(2, 0)、(2, 2)和(0, 2)的正方形区域的正向边界. 2. 计算曲线积分⎰-+-Lx x dy m y e dx my y e )cos ()sin (, 其中L 为从点O (0, 0)到点A (a , 0)的上半圆周:)0(22>=+a ax y x .3. 验证曲线积分⎰-+-)4,3()2,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy 在xOy 面内与路径无关, 并求其值.4. 验证dy x y x dx x y y )cos cos ()sin (sin ++-为某二元函数F (x , y )的全微分, 并求F (x , y )及积分:⎰++-)0,1()1,0()cos cos ()sin (sin dy x y x dx x y y .。
格林定理练习题
格林定理练习题格林定理是数学中的一个重要定理，它与曲线积分和曲面积分之间的关系密切相关。
为了帮助读者更好地理解和运用格林定理，本文将介绍一些格林定理的练习题，以便读者加深对于该定理的理解和应用能力。
练习题一：计算曲线积分考虑曲线C：y = x^2，从点A(0, 0)到点B(2, 4)。
我们要计算函数P(x, y) = x^2 + y^2在曲线C上的曲线积分。
首先，我们需要计算曲线的参数方程。
由于曲线是由y = x^2给出的，我们可以将x作为参数，然后得到参数方程为：(x, y) = (t, t^2)，其中0 <= t <= 2。
然后，我们需要计算函数P(x, y)在曲线参数方程上的切向量。
切向量的计算公式为：P(x, y) = (P/∂x)(dx/dt) + (P/∂y)(dy/dt)。
其中(∂x/∂t,∂y/∂t)为曲线参数方程的导数，(dx/dt, dy/dt)为曲线上任意一点的切向量。
对于本题中的函数P(x, y) = x^2 + y^2，可以求得∂P/∂x = 2x和∂P/∂y = 2y。
曲线参数方程的导数为(dx/dt, dy/dt) = (1, 2t)。
将以上结果带入切向量的计算公式，我们可以得到切向量为：(2x)(1) + (2y)(2t) = 2x + 4yt。
由此，我们可以得到函数P(x, y)在曲线C上的曲线积分表达式为∫(2x + 4yt)dt。
继续计算曲线积分，我们得到∫(2x + 4yt)dt = 2∫xdt + 4y∫tdt = 2x^2 +2yt^2 + C，其中C为常数。
最后，我们将曲线积分的结果代入曲线C的参数方程，即可得到函数P(x, y)在曲线C上的曲线积分为：2(2)^2 + 2(4)(2)^2 + C = 32 + C。
练习题二：计算曲面积分考虑曲面S：z = x^2 + y^2，其中S是单位半球体的上表面。
我们要计算函数Q(x, y, z) = z在曲面S上的曲面积分。
格林公式及其应用
易于计算时，可应用格林公式计算
O
L2 L L1 L3
x
（2）L不封闭时，采取“补线”的方法：
L L l lD ( Q x P y)dx d l y
要求右端的二重积分及曲线l积分易于计算。l 选用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。
（3）如在D上P、Q一阶偏导连续，且处处有
(1) 沿D中任意光滑闭曲线 L,有 LPdxQdy0。
(2) 对 D中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
PdxQdy与路径无关, 只与起止点有关.
L
(3)PdxQdy在 D内是某一函数 u(x, y)的全微分, 即 d u ( x ,y ) P d x Q d y
(4) 在 D内每一点都有 P Q 。 y x
注意本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关内有设pq在单连通域d内具有一阶连续偏导数则有思考与练习且都取正向问下列计算是否正确的半圆计算质点m沿着以ab为直径的半圆从a12运动到故所求功为ab锐角其方向垂直于om且与y轴正向夹角为对质点m所作的功
8.2 格林公式及其应用
8.2.1 格林公式 8.2.2 平面上曲线积分与路径无关的条件
a a xdx1a2
40
6
8.2.2 平面上曲线积分与路径无关的条件
如果在区域G内有
y
PdxQdy L1
PdxQdy L2
B G
L1
A
L2
o
x
则称曲线积分L Pdx Qdy在G 内与路径无关,
否则与路径有关。
平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理8.2.2 设 D是单连通域,函数P (x ,y)Q ,(x ,y)在D内 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: