二项式定理复习课复习进程
最新二次项定理(一)复习进程
（4）二项式系数和
，
即奇数项二项式系数之和等于偶数项二次项系数之和，且 为
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别的，解题中不能随便交换a,b的位置
2，二次项系数的性质
➢ （1）对称性：与首末 两端“等距离”的两个二项式系数相
等，即。
。
（2）增减性：因为
,所以
当
时，二次项系数逐渐增大；
当
时，二次项系数逐渐减小；
（3）最大值：根据对称性和增减性，容易 知道，当n为偶数时，展开式有奇数项，这 时正中间一项的二次项系数最大；当n为奇 数时，展开式有偶数项，这里正中间有两项 二项式系数相等且同时达到最大。
（n N*）
要弄清楚以下几点：
（1）展开式的通项是指第r+1项,即 是第r项。
，而不
(2)展开式共有n+1项, 每一项的指数和都是
n,a的指数从n减到0，而b的指数则从0升到n。
（3） a b n 与
的展开式的第r+1项是
有区别的，两者不能混淆，就整体而言是相
等的，就局部而言，即具体指某一项时有差
一，二次项定理考察热点：
1，求二次项展开式的特定项或特定项的系数；
2，利用二次式系数的性质求二次式系Байду номын сангаас的最大项，或展开式中系数最大的项； 3，求二次项展开式中的系数和或部分项系数和。
二，重点知识
1，关于二项式定理
a b n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n 2 a n 2 b 2 C n r a n r b r C n n b n
高考数学总复习 二项式定理教案
河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 二项式定理教案教学目标：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，能解决二项展开式有关的简单问题教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学过程：一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++= 。
二、讲解新课：⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项： n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ；恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r ab -的系数是r n C ，……， 有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是n n C ，∴二项式定理： 。
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的 ，⑶它有 项，各项的系数(0,1,)r n C r n =叫 ，⑷ 叫二项展开式的通项，用 表示，即通项 ．⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则 。
三、讲解范例：例1．展开41(1)x +． 例2．求12()x a +的展开式中的倒数第4项例3．（1）求9(3x+的展开式常数项；展示一，展开6展示二．课本37页4题（1）（2）展示三，课本37页4题（3）（4）展示四．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数； （2）求91()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数 展示五，课本37页5题（1）展示六，课本37页5题（2）。
二项式定理复习教案
二项式定理复习教案三维目标一、知识与技能1．二项式定理：(a+b)n =0n C a n +1n C a n-1b+…+k n C a n-k b k +…+nn C b n (n ∈N*) 2．通项公式：1+k T ＝k n C an-k b k(k ＝0，1，2,…，n) 二、过程与方法 1．理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式．2．能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项．三、情感、态度、价值观1．提高学生的归纳推理能力．2．进一步树立由特殊到一般的归纳意识．教学重点、难点重点：1．二项式定理及结构特征，2．展开式的通项公式难点：通项公式的灵活应用。
教学过程例1 .(1)求7)21(x +的展开式的倒数第4项，第4项二项式的系数及第四项系数；(2)7)1(x x -的展开式中x 3的系数． 此类问题一般由通项公式入手分析，要注意项的系数和二项式系数的概念区别．例2.若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A.-540 B.-162 C.162 D.540考查展开式各项系数与二项式系数的不同以及通项公式的应用.例3.设8878710(2)x a x a x a x a -=++++，则8710a a a a ++++= ，86420a a a a a ++++=考查赋值法的应用练习1. 41()n x 的展开式中,第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44,则展开式中不含x 的项是（ ）A 第3项B 。
第4项C 。
第7项 D.第8项2.若5(12)x -的展开式中，第2项小于第1 项且不小于第3项，则x 的取值范围是（ ）A ．110x <-B 。
1010x -<≤C 。
11410x -≤<-D 。
104x -≤≤ 3.在56(1)(1)x x +-+展开式中，含3x 的项的系数是（ ）A ．-5 B.5 C.-10 D.104.在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15.则实数a 的值为 。
二项式定理复习小结公开课教案教学设计课件资料
二项式定理复习小结公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 回顾和巩固二项式定理的概念、公式及应用。
2. 提高学生对二项式定理的理解和运用能力。
3. 培养学生的逻辑思维和团队合作能力。
二、教学内容1. 二项式定理的定义及公式。
2. 二项式定理的展开式。
3. 二项式定理的应用。
4. 复习重点知识点和常见题型。
5. 课堂练习和讨论。
三、教学方法1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示二项式定理的推导和应用。
2. 采用案例分析法，引导学生通过具体例子理解和掌握二项式定理。
3. 采用小组讨论法，鼓励学生相互交流、合作解决问题。
4. 采用问答法，教师提问，学生回答，及时检查学生的学习效果。
四、教学步骤1. 导入新课：通过复习导入，回顾二项式定理的概念和公式。
2. 讲解与演示：讲解二项式定理的推导过程，并通过多媒体课件展示。
3. 案例分析：分析典型例题，引导学生运用二项式定理解决问题。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享解题心得和经验。
5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 总结与反思：教师引导学生总结二项式定理的重点知识点和常见题型。
五、教学评价1. 课堂练习：评价学生在课堂练习中的表现，检查掌握程度。
2. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现，培养团队合作能力。
3. 问答环节：评价学生的回答准确性，提高学生的逻辑思维能力。
4. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
六、教学资源1. 多媒体课件：包含二项式定理的定义、公式、展开式及应用案例。
2. 练习题：涵盖不同难度的题目，用于巩固知识和检查掌握程度。
3. 小组讨论材料：提供相关案例和问题，促进学生交流和合作。
4. 教学指导书：提供详细的教学步骤和指导，帮助教师顺利进行教学。
七、教学安排1. 课时：预计2课时（90分钟）。
2. 教学顺序：先回顾二项式定理的基本概念和公式，通过案例分析和小组讨论，让学生运用二项式定理解决问题。
高三数学第一轮复习 第69课时 二项式定理(2)教案
一．复习目标：1．能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和． 2．能熟练地逆向运用二项式定理求和．3．能利用二项式定理求近似值，证明整除问题，证明不等式． 二．课前预习：1．1003)32(+的展开式中无理项的个数是 （ A ） ()A 84 ()B 85 ()C 86 ()D 87 2.设1510105)(2345++-+-=x x x x x x f ，则)(1x f-等于 （ C ）()A 51x + ()B 521--x ()C 521-+x ()D 51x -3．如果21872221221=++++n n n n n C C C ，则=++++nn n n n C C C C 210128． 4.nnn n n C n C C 11)1(3121121+-+-+- =11+n ． 5.9)23(z y x +-展开式中含432z y x 的项为43290720z y x -． 6．若1001002210100)1()1()1()21(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则=++++99531a a a a 215100-.四．例题分析：例1．已知}{n a 是等比数列，公比为q ，设nn n n n n C a C a C a a S 123121+++++= （其中+∈>N n n ,2），且nn n n n n C C C C S ++++= 2101，如果1limnnn S S ∞→存在，求公比q 的取值范围．解：由题意11-⋅=n n q a a ，nn S 21=，)0()1()1(122111221111≠+=++++=++++=q q a C q C q qC a C q a C q a qC a a S nn nnnnnnn n n n∴nn n n n q a q a S S )21(2)1(111+=+=．如果1lim n n n S S ∞→存在，则1|21|<+q 或121=+q ， ∴212<+<-q 或1=q ，故13≤<-q 且0≠q ．例2．(1)求多项式673410234)157()53()323(--⋅-⋅---x x x x x x 展开式各项系数和．(2)多项式1000231000)22(+--⋅-x x x x展开式中x 的偶次幂各项系数和与x 奇次幂各项系数和各是多少？解：（1）设)()157()53()323()(2210673410234N n xa x a x a a x x x x x x x f nn ∈++++=--⋅-⋅---= ，其各项系数和为n a a a a ++++ 210．又∵102674102210316)157()53()3213()1(⋅=--⋅-⋅---=++++=n a a a a f ，∴各项系数和为102316⋅．（2）设30013001101000231000)22()(x a x a a x x x xx f +++=+--⋅-= ， ∴0)1(3001210=++++=a a a a f ，2)1(3001210=--+-=-a a a a f ，故1300131-=+++a a a ，1300020=+++a a a ，∴)(x f 展开式中x 的偶次幂各项系数和为1，x 奇次幂各项系数和为-1．例3．证明：（1）∑==nk n k n kC 032)(N n ∈；（2）12221223222120223222--⋅=++++++n n n n n n n n n C C C C C C )(N n ∈；（3）)(3)11(2N n nn ∈<+<；（4）2222212)1(21-⋅+=⋅++⋅+⋅n nn n nn n n C C C由(i)知例4．小结：五．课后作业： 班级 学号 姓名 1．若nxx )1(23+的展开式中只有第6项的系数最大，则不含x 的项为（ C ） ()A 462 ()B 252 ()C 210 ()D 102．用88除78788+，所得余数是 （ ） ()A 0 ()B 1 ()C 8 ()D 803．已知2002年4月20日是星期五，那么9010天后的今天是星期 ．4．某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增加%02.0，则100天后这家公司的股票指数约为2.442（精确到0.001）．5．已知55443322105)23(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则（1）5432a a a a +++的值为568；（2）=++++||||||||||54321a a a a a 2882． 6．若n ax 2)1(+和12)(++n a x 的展开式中含n x 项的系数相等（*N n ∈，0≠a ），则a 的取值范围为]32,21(7．求满足500323210<+++++nn n n n n nC C C C C 的最大整数n ．原不等式化为n ·2n-1＜499∵27=128，∴n=8时，8·27=210=1024＞500． 当n=7时，7·26=7×64=448＜449． 故所求的最大整数为n=7．8．求证：222222120)()()()(n n n n n n C C C C C =++++证明 由(1+x)n ·(1+x)n =(1+x)2n，两边展开得：比较等式两边x n的系数，它们应当相等，所以有：9．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于 121，求展开式中系数最大的项．∴ n＝15或 n＝-16(舍)设第 r＋1项与第 r项的系数分别为t r+1，t r∴t r+1≥t r则可得3(15-r＋1)＞r解得r≤12∴当r取小于12的自然数时，都有t r＜t r+1当r＝12时，t r+1=t r。
高三数学第一轮复习 第68课时 二项式定理(1)教案
二项式定理（1）一．复习目标：1．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们讨论整除、近似计算等相关问题．2．能利用二项展开式的通项公式求二项式的指数、求满足条件的项或系数．二．知识要点：1．二项式定理： ．2．二项展开式的性质：（1）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数 ．（2）若n 是偶数，则 的二项式系数最大；若n 是奇数，则 的二项式系数最大．（3）所有二项式系数的和等于 ．（4）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和 ．三．课前预习：1．设二项式n xx )13(3+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若272=+S P ，则=n （ A ）()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 8 2．当+∈N n 且2≥n 时，q p n +=++++-52221142 （其中N q p ∈,,且50<≤q ），则q 的值为 （ A ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 与n 有关3．在62)12(xx -的展开式中常数项是605=T ；中间项是34160x T -=． 4．在1033)3(x x -的展开式中，有理项的项数为第3，6，9项．5．求62)321(x x -+展开式里5x 的系数为-168． 6．在7)1(+ax 的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1>a ，那么=a 5101+． 四．例题分析：例1．求9)23(x -展开式中系数绝对值最大的项．解：9)23(x -展开式的通项为r r r r r r r r x C x C T ⋅⋅⋅-=-⋅⋅=--+999913)2()2(3，设第1+r 项系数绝对值最大，即⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅≥⋅⋅⋅⋅≥⋅⋅-----++-r r r r r r r r r r r r C C C C 101919981919932323232， 所以⎩⎨⎧≥--≥+r r r r 322021833，∴43≤≤r 且N r ∈，∴3=r 或4=r ， 故系数绝对值最大项为3448988x T -=或45489888x T =．例2．已知n x x )12(2lg lg ++展开式中最后三项的系数的和是方程0)7272lg(2=--y y 的正数解，它的中间项是2lg 2410+，求x 的值．解：由0)7272lg(2=--y y 得073722=--y y ，∴1-=y （舍去）或73=y ， 由题意知，732412=+⋅+⋅--n n n n n n C C C ，∴6=n已知条件知，其展开式的中间项为第4项，即20001016022lg 24)2lg (lg 3)2lg (lg 3336==⋅=⋅⋅+++x x x x C ，∴012lg lg 2lg lg 2=-+⋅+x x ，∴1lg -=x 或5lg 2lg 1lg =-=x ，∴101=x 或5=x ．经检验知，它们都符合题意。
二项式定理期末复习教案
二项式定理----期末复习导学案3教学目标：1.理解二项式定理及展开式的应用2.理解通项的意义并灵活应用3.正用、逆用定理来解决一些简单的问题。
教学过程：复习：1.二项式定理、二项式系数、通项。
2.二项式系数的性质练习：1.在8)12xx -（的展开式中，二项式系数之和为__▲___；含3x 的项的系数是___▲___. 2. 4．若7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，则2a 的值是（ ）A ．84B ．84-C ．280D ．280-3. 二项式62)x的展开式的常数项为 （ ） A ．60 B ．60- C ．120 D ．120-4.在432)1()1()1()1(---+---x x x x 的展开式中，2x 的系数等于____________.5. 设0122334455666)12(a x a x a x a x a x a x a x ++++++=-，则=++++++0123456a a a a a a a（ ）A ． 63B ． 62C. 6D.1 6. 9)1(x x - 展开式中含3x 的项为__，它是展开式的第____项．7．102)1(xx -展开式中，5x 项的系数为（ ） A ． 1 B ．1- C ．510C - D ．510C 8. 12C ...,7A.x=4,n=3 B.x=4,n=4 C.x=5,n=4 D.x=6,n=5n n n n x C x C x ++若能被整除，则x,n 的值可能为（ ）例题分析9（本小题共13分）已知nm x x x f )1()1()(+++=，*N ∈m ，*N ∈n ． （Ⅰ）当2,6==n m 时，写出)(x f 的展开式（按x 的升幂排列）；（Ⅱ）若)(x f 的展开式中x 的系数是19，求)(x f 的展开式中2x 的系数的最小值.答案1.256； 1024-2.A3.A4. -105.D6. 384x -,47.C8.C9（本小题共13分）（Ⅰ）……………………………6分（Ⅱ）由已知得1911=+n m C C ，即19=+n m ……………………………8分)(x f 的展开式中2x 的系数为……………………………10分又*N ∈n所以 当9=n 或10=n 时，)(x f 的展开式中2x 的系数有最小值81……………………………13分小结：课后练习：课本32B 组练习654322666556446336226160626615201682211)1()1()(x x x x x x x x x C x C x C x C x C x C C x x x f ++++++=+++++++++=+++=41719)219(919192)1(2)1(2222⨯+-=⨯+-=-+-=+n n n n n m m C C n m。
二项式定理复习教案
二项式定理【考纲要求】掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能运用它们计算和论证一些简单问题。
【基础知识】1.二项式定理：n n n r r n r n n n n n n nn b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( 2.二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （r=0,1,2,…,n ）3.二项式系数的性质： n b a )(+的展开式的二项式系数有如下性质：（1）在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。
（2）如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。
（3） n n n n n n n n n nC C C C C C 212210=++++++-- （4）15314202-=+++=+++n n n n n n nC C C C C C （奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和）4.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n xn ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1)⑶ a 0+a 2+a 4+a 6……=2)1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f ⑸ a 0=f(0)⑹ |a 0|+|a 1|+|a 2|+|a 3|……+|a n |=5. 注意（1）奇数项、偶数项、奇次项、偶次项各自表示的意义。
（2）“某项”、“某项的二项式系数”、“某项的系数”之间的区别【课前练习】1、设S=(x －1)4+4(x －1)3+6(x －1)2+4(x －1)+1，它等于下式中的（ ）（A ）(x －2)4 （B ）(x －1)4 （C ）x 4 （D ）(x +1)42、100+展开所得关于x 的多项式中系数为有理数的共有（ ）项.（A ）50 （B ）17 （C ）16 （D ）153、31(||2)||x x +-展开式中的常数项是（ ）. （A ）－20 （B ）－12 （C ）－8 （D ）20法一：（|x |+||1x －2）3=（|x |+||1x －2）（|x |+||1x －2）（|x |+||1x －2） 得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x ｜，一个括号取||1x ，一个括号取－2，得C 13C 12（－2）=－12， ∴常数项为（－2）3+（－12）=－20.解法二：（|x |+||1x －2）3=（||x －||1x ）6. 设第r +1项为常数项，则T 1+r =C r 6·（－1）r ·（||1x ）r ·|x |r -6=（－1）6·C r 6·|x |r 26-，得6－2r =0，r =3. ∴T 3+1=（－1）3·C 36=－204、设n 为自然数，则01122(1)2(1)n n k k n k n n n n n n C C C C ---++-++-等于（ ）（A ） （B ）0 （C ）－1 （D ）15、(x +y )10展开式中有_______项；(x +y +z )10展开式中有_________项.6、(1－z )+ (1－z )2++ (1－z )10的展开式中z 2的系数是_________.7、(1－x 3)(1+x )10展开式中x 5的系数是_______.8、已知9(a x -的展开式中x 3项的系数为94，常数a 的值________. 【典型例题】例1、求(1+x －2x 2)5的展开式中x 4项的系数.例2、若(1+2x )n 中第6项与第8项的二项式系数相等，求按升幂排列的前3项。
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问题二：最大二项式系数问题
知识梳理：
二项式系数性质：
（1）对称性：在二项式展开式中，与首末两端
“等距离”的两项的二项式系数相等，可直接
用公式
C
k n
= Cnk n
得到。
（2）减性和最大值：二项式系数先增 后 减 ， 中间 项最大。
练习2：下列二项式展开式中第几项二次项系数 最大，分别是什么？
2、 通项：Tr1 ______
注意： （1）通项公式表示的是第_r_+_1_项； （2）通项公式里的a,b不能颠倒,a,b可以 是数也可以是式子.
练习1：求 (x 1 )8的展开式中 x5的系
数.
x
思路：令展开式的通项中x的次数等于5 ， 确定待定系数r，将求出的r带入通项公式.
求特定项及特定项的系数：写通项，定次数。
例题：求 (x2 x y)5展开式中 x5 y2的系
数.
思路：此二项式中为三项相加，可将三项看 成两项，再通过通项公式定次数
变式：求 x yx y8的展开式中x2 y7 的
系数.
思路：此题可分为两步：
第一步，x 和 (x y)8 展开式中含有 xy 7的项
相乘；
第二步： y和(x y)8展开式中含有x2 y6的
本节课小结：
1、求特定项及特定项系数； 2、求最大二次项系数； 3、求二次项系数和及系数和
作业：
1、(x
1 x
)n展开式中二项式系数和为64，求展开式
中的常数项。
2、已知 (1 ax)(1 x)5 的展开式中 x2 系数为5，
求a的值。
3、(x 1)n 展开式中第3项的二项式系数为15，
2
求展开式中所有系数和。
练习3：求 (1 x)5 的二项式系数和。
变式：(1 x)n a0 ax1 ... an xn，若 a1 a2 a3 ... an 63 ，求展开式中最大 二项式系数和.
问题：所有二项式系数和都是系数和吗?
若 f (x) a0 a1x ... an x，n 展开式各项系数和为f（1）
① (2x 1)8 ； ② x 2 y11
二项式的幂指数n是偶数时，中间一项的二项 n
式系数最大，为 Cn2 ；n是奇数时，中间两项
n 1
n 1
的二项式系数相等并且最大，为 Cn 2（或 Cn 2 ）。
问题三：二项式系数和及系数和问题
知识梳理：
(3)二项式系数的和：二项式展开式中所有二项式 系数和等于 ， 即从 (1 x)n Cn0 x0 Cn1x Cn2x2 ... Cnr xr ... Cnn xn 出发，可通过对x赋值，令x= ，Cn0 Cn1 ... Cnn =。
4、设 m 为正整数，(x y)2m 展开式的二项式系数
最大值为 a ， (x y)2m1 展开式的二次项系数最
大值为 b ，若13a 7b ，求 m 的值。
问题一：求特定项及特定项系数问题
知识梳理：
1、二项式定理: (a b)n =_____________n___N_*
其中
叫做二项式系数。
注意：
（1）二项式展开共有 n 1 项； （2）a和b的顺序不能颠倒，且a和b 指数和为 n ；
（3） a 的指数从n减小到0, b 的指数从0增大
到n，简称“一降二升”； （4）展开式中，系数 Cnk 叫做第K+1 项的二项 式系数。