关系数据库关系代数运算
第四章 数据库设计基础——关系运算
3. 交（Intersection） ）
R和S
具有相同的目n 相应的属性取自同一个域
R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成 R∩S = { t|t ∈ R∧t ∈S } R∩S = R –(R-S）
An Introduction to Database System
交 (续) 续
An Introduction to Database System
(c)
An Introduction to Database System
1. 选择（Selection） 选择（ ）
1) 选择又称为限制（Restriction） 2) 选择运算符的含义 在关系R中选择满足给定条件的诸元组 σF(R) = {t|t∈R∧F(t)= '真'} F：选择条件，是一个逻辑表达式，基本形式为：
学生-课程数据库: 学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC
Student
学号 Sno 200215121 200215122 200215123 200215125 姓名 Sname 李勇 刘晨 王敏 张立 性别 Ssex 男 女 女 男 (a) 年龄 Sage 20 19 18 19 所在系 Sdept CS IS MA IS
An Introduction to Database System
(b)
专门的关系运算(续 专门的关系运算 续)
SC
学号 Sno 200215121 200215121 200215121 200215122 200215122 课程号 Cno 1 2 3 2 3 成绩 Grade 92 85 88 90 80
200215121 200215121 200215122 200215122
数据库关系运算
第3章 关系运算及关系系统
除法的性质：
（1） R÷S的结果属性是由属于R但不属于S的所有属性
构成的。
（2） R÷S的任一元组都是R中某元组的一部分。 （3） R（X，Y）÷S（Y，Z）≡R（X，Y）÷πY（S）
或构造临时关系T={P2，P4}， 再求
πE＃， P＃（EP）÷T
第3章 关系运算及关系系统
⑧ 检索参与全部项目职工姓名。
πEN（（（πE＃， P＃（EP））÷πP＃（P）） πE＃， P＃（EP）÷πP＃（σE＃=′E3′（EP）） E）
⑨ 检索参与项目包含职工E3参与项目的职工号，
或参与项目不包含职工E3所参与项目的职工号及姓名。
第3章 关系运算及关系系统
R÷S=πX（R）－πX（（πX（R）×S）－R）
（4） R÷S的计算过程如下：
① T=πX（R）;
② W=（T×S）－R;
③ V=πX（W）;
④ R÷S=T－V。
【例3.3】 给定关系R和S， 求R÷S。
第3章 关系运算及关系系统
图3.5 除法操作举例
第3章 关系运算及关系系统
然连接。 为了保留更多信息， 还有外连接、 半连接、 外部并-----扩充的关系代数运算。
第3章 关系运算及关系系统
1． 外连接（Outer join） 两个关系 R和 S 作自然连接时， 两个关系
公共属性上值不相等的元组无法进入连接后的
新关系， 造成R和S中部分元组值被舍弃。 有时希望这些该舍弃的元组继续保留在新关系 中-----外连接。
图3.7
S
SC运算结果
第三章-关系代数与关系运算
第三章关系代数与关系运算关系数据语言有三类：1．关系代数语言2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言）3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL一．关系代数关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。
用对关系的运算来表达查询。
运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果运算三要素：运算符、运算对象、运算结果关系代数的运算对象和结果都是：关系关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩）传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠逻辑运算符：￢∧∨用来辅助专门的关系运算符二．传统的集合运算符传统集合运算符是二目运算符设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域1．并（Union）记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。
例：（a）（b）2.差关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。
如图E3.交关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S的所有元组组成。
如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S)4．广义笛卡尔积两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。
元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。
若R有k1个元组，S有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目如图例总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。
数据库——关系运算
3.1 集合运算 刘鹤年编写
（属于R而且也属于S）
第3章 关系代数
喜欢跳舞的学生关系R
Sname
Sex
李敬
女
高全英
女
吴秋娟
女
穆金华
男
张欣欣
女
王婷
女
喜欢唱歌的学生关系S 刘鹤年编写
Sname
Sex
赵成刚
男
张峰
男
吴秋娟
女
穆金华
男
孙政先
男
王婷
女
吕文昆
男
孙炜
女
既喜欢跳舞也喜欢唱歌的学生R∩S
Sname
Sex
有相同的域。
则关系R和S的交，将产生一个包含所有既属于R
也属于S的元组的新关系。记作：R∩S。
由于R∩S =R–(R-S),或者R∩S =S–(S-R),
所以R∩S 运算是一个复合运算。
第3章 关系代数
3.1.3 交运算（续）
交操作的示意图，如图3-3所示。
刘鹤年编写
第3章 关系代数
3.1.3 交运算(续)
李敬
16020010 C语言程序设计
李敬
16020011 图像处理
李敬
16020012 网页设计
第3章 关系代数
3.2 特殊的关系运算
3.2 特殊的关系运算 刘鹤年编写
关系数据库是用数学方法处理数据的，关系 间可以进行各种运算，以支持对数据库的各种操 作。我们介绍其中最基本的三种运算：
选择（Selection）
从一组集合的笛卡尔积中，抽取能反映现实世界的， 具有实际意义的子集。该子集即为一个关系。
D1×D2×…×Dn的子集叫做在域D1×D2×…×Dn 上的关系，表示为:
数据库关系代数表达式学习
数据库关系代数表达式学习关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础一、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。
五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列) 注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列二、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。
这种表达式的运算结果仍然是一个关系。
可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。
三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE CNO='C2'------------------------------------π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND O='C2'------------------------------------π SNO,SNAME (σ CNO='C2' (S SC))此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。
关系运算----关系代数
R − S = {t | t ∈ R ∧ t ∉ S} 式中“－”为差运算符，t 为元组变量，结果 R-S 为一个新的与 R、S 同类的关系，该 关系是由属于 R 而且不属于 S 的元组构成的集合，即在 R 中减去与 S 中相同的那些元组。
c1
d1
a1
b1
c2
d2
a3
b3
c1
d1
a3
b3
c2
d2
图 2.12 关系 P1×R、P2×R 和 P3×R
3. 关系的联结——广义笛卡尔乘积运算
查询常常需要由多个关系生成一个新的关系。为了有效处理这种情况，引入广义笛卡尔 乘积运算。
设有关系 R、S，其中关系 R 有 r 个属性分量、m 个元组，关系 S 有 s 个属性分量、n 个元组，则二者的广义笛卡尔乘积(Cartesian Product)运算定义为：
2. 关系元组选定——选择运算
为了完成关系元组的选择，引入选择运算。 选择(Selection)也是一元关系运算，用于选取某个关系上我们感兴趣的某些行(满足一定 的条件的行)，并且将它们组成一个新的关系。
Sn
Sa
刘刚
21
Class 2003A
王建
22
张华
21
李倩
20
2003A 2003A 2003A
A
B
C
a1
b1
c1
a1
b2
c2
a1
b2
c2
a2
b2
c1
a2
b2
c1
a2
b2
数据库关系代数与关系演算的理论基础
数据库关系代数与关系演算的理论基础概述在数据库系统中，关系代数和关系演算是两个基本的理论基础。
关系代数是一种基于集合论的操作方法，用于对关系数据库进行查询和操作。
而关系演算是一种基于数学逻辑的查询语言，用于描述查询的结果以及如何从关系中获取这些结果。
本文将介绍数据库关系代数和关系演算的概念和原理，并讨论它们在实际数据库系统中的应用。
关系代数关系代数是一种基于集合论的数学方法，用于对关系数据库进行查询和操作。
它由一组基本操作符组成，包括选择、投影、并、差、连接和除等。
通过使用这些操作符的组合，可以构建复杂的查询和操作。
选择操作符用于从关系中选择满足指定条件的元组。
例如，可以用选择操作符选择所有满足某一条件的客户。
投影操作符用于从关系中选取指定的属性，生成一个新的关系。
例如，可以使用投影操作符从客户关系中选择客户的姓名和地址属性。
并操作符用于将两个关系的元组合并成一个新的关系。
差操作符用于从一个关系中删除另一个关系中包含的元组。
连接操作符用于将两个关系的元组根据某个共同属性进行合并。
例如，可以使用连接操作符将客户关系和订单关系连接起来，并找出具有相同客户编号的客户和订单。
除操作符用于从一个关系中删除与另一个关系中某个属性的元组相同的元组。
例如，可以使用除操作符从供应商关系中删除已经供应了给定零件的供应商。
关系演算关系演算是一种基于数学逻辑的查询语言，用于描述查询的结果以及如何从关系中获取这些结果。
它由两种形式组成：元组关系演算和域关系演算。
元组关系演算使用一种类似于数学谓词逻辑的语法，用于描述查询的结果。
它使用一组基本的操作符，包括选择、投影和连接。
选择操作符用于从关系的元组中选择满足给定条件的元组。
例如，可以使用选择操作符选择所有年龄大于25岁的员工。
投影操作符用于从关系的元组中选择指定的属性。
例如，可以使用投影操作符选择员工的姓名和薪水属性。
连接操作符用于将两个关系的元组组合起来，根据共享的属性值进行合并。
数据库关系代数
R S {trts | tr R ts S}
RS
AB
C
a1 b1 c1
a1 b2 c2
a2 b2 c1
a1 b3 c2
码．
( Sno
Cno = ‘1’
(SC))
2)在学以生上号S码-C．数据Sno库( 中C，no查= ‘询1’选v 修Cno了=‘13’号课程或3号课程的
(SC))
Sno( Cno = ‘1’ (SC)) U
( Sno
Cno = ‘1’
(SC))
关系代数：综合应用
2)查询选修了２号课程的学生的学号
19
IS
95004 张立 男
19
IS
Sno Sname Ssex Sage Sdept
95002 刘晨 女
19
IS
95003 王敏 女
18
MA
95004 张立 男
19
IS
关系代数：投影
定义：从关系R中选择出满足条件F的若 干属性列并组成新的关系，列选
F(R) {t[A] | t R}
A2，…，An中的一部分，则A称为属性列或域列 t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属性列A上
诸分量的集合
A 则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}
后剩余的属性组
传统的集合运算 若R和S是同类关系(即它们都具有n个属性且相应属性
第四步：判断包含关系
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n
M mi i 1
笛卡尔积
计算实例 例1：D1={甲,乙}, D2={1,2}, D3={a,b,c} 1）D1,D2,D3基数分别是多少？ 2）D1×D2＝？（基数？） 3）D1×D2×D3＝？（基数？） 笛卡尔集可表示为一个二维表
请将例子表示为二维表
从笛卡尔集中取出一个子集，选择 有意义的结果组成关系
R＝(导师，专业，研究生) •一个研究生只能有一个专业，如李 勇和王敏是计算机专业、刘晨是信 息专业
现在导师与研究生是什么关系？
限定一个学生只能有一个导师， 如张是计算机导师，刘是信息 专业导师
导师S
张清正 张 清正 张清正 张清正 张清正 张清正 刘逸 刘逸 刘逸 刘逸 刘逸 刘逸
2：笛卡尔积(Cartesian Product) P47
• 一组域D1,D2,…Dn的笛卡尔积
D1 D2 ... Dn {(d1, d2,...dn ) | di Di,i 1, 2,...n}
• (d1,d2,d3,…dn)称为一个元组，di称为一个分量，集合中唯一
元素的数量是集合的基数
关系的性质
列同质，即每一列是同一类型的数据 不同的列可出自同一个域，每一列为一个属性，不同的
属性被赋予不同的属性名 列的次序可以任意交换 任意两个元组不能完全相同 行的次序可以任意交换 分量必须取原子值，即不可再分
在许多实际关系数据库产品中，基本表并不完全具有这六条性质。
举例
列的顺序无所谓，次序可以任意交换
元组关系演算语言 域关系演算语言
例如ISBL 例如APLHA, QUEL 例如QBE
具有关系代数和关系演算双重特点的语言 例如SQL
关系模型语言
关系代数语言
• 把关系当作集合，用集合运算和特殊的关系运算来表达查询
要求和条件
• 是一种抽象的查询语言
关系演算语言
• 用谓词来表达查询要求和条件 • 谓词变元的基本对象可以是元组变量或域变量，故可分为元
第二章 关系数据库
学习要点
关系模型 关系数据结构的形式化定义 关系完整性 关系代数 关系演算
序言
值得记住的
1970年，E.F.Codd提出关系数据库理论基础
• E.F.Codd, “A Relational Model of Data for Large Shared
Data Banks”, 《Communication of the ACM》,1970
关系完整性约束
• 实体完整性、参照完整性、用户定义完整性
关系的两个不变性, 由系统自动支持
由应用语 义约束
关系语言
关系操作特点
操作对象和结果都是集合 高度非过程化的语言，不必借助循环结构就可以完成
数据操作，能嵌入高级语言中使用
三种语言在表达能 力上完全等价
关系代数语言 关系数据语言 关系演算语言
例2．已知三个域
D1=导师集合＝{张清正,刘逸} D2=专业集合＝{计算机,信息} D3=学生集合＝{李勇,刘晨,王敏}
计算思考
1）基数？ 2）计算D1×D2×D3＝？基数？ 3）计算结果中的元组有无实际意 义？
导师
张清正 张 清正 张清正 张清正 张清正 张清正 刘逸 刘逸 刘逸 刘逸 刘逸 刘逸
n：关系的度或目，表的列数，一般称n元关系
相关术语
候选码：能够唯一标识一个元组的属性组
• 一个关系可以有多个候选码
主码：一个关系中选定的一个候选码
主属性：主码的各个属性
非主属性（非码属性）：不包含在任何候选码中的属
性
全码：若关系模式的所有属性组是这个关系模式的候
选码
请举例
三类关系
基本关系（基本表或基表）
实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示
查询表
查询结果对应的表
视图表
由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不 对应实际存储的数据
例．已知三个域
D1=导师集合S＝{张清正,刘逸} D2=专业集合SP＝{计算机,信息} D3=学生集合P＝{李勇,刘晨,王敏}
计算思考
关系数据库试验系统System R, INGRES
关系数据库应用数学方法来处理数据库中的数据, 80年代后成为最重要、最流行的数据库系统
典型实验系统
System R, University INGRES
典型商用系统
ORACLE, SYBASE, INFORMIX, DB2, INGRES
组关系演算和域关系演算两类
• 是一种抽象的查询语言
SQL
• 介于关系代数和关系演算之间 • 集DDL、DML和DCL一身的关系数据语言
2.2 关系数据结构的形式化定义
关系模型建立在集合代数基础上，从集合论角度讨论 关系的形式化定义
定义1：域(Domain)－形式化表示为D
• 一组具有相同数据类型的值的集合，如整数、实数等。定义
2.1 关系模型概述
关系模型由以下三部分组成
关系数据结构
• 关系（一张二维表）
关系操作：
• 查询操作
– 选择(Select)、投影(Project)、连接(Join)、除(Divide)、 并(Union)、交(Intersection)、差(Difference)
• 更新操作
– 增加(Insert)、删除(Delete)、修改(Update)
遵循这一性质的数据库产品(如ORACLE)，增加新属 性时，永远是插至最后一列
专业SP
计算机 计算机 计算机 信息 信息 信息 计算机 计算机 计算机 信息 信息 信息
研究生P
李勇 刘晨 王敏 李勇 刘晨 王敏 李勇 刘晨 王敏 李勇 刘晨 王敏
D1,D2,D3的笛卡尔积（上图）
关系
关系的限定及扩充
关系数据中的关系是有限集合 为关系的每一列附以属性名以取消关系元组的有序性
专业
计算机 计算机 计算机 信息 信息 信息 计算机 计算机 计算机 信息 信息 信息
研究生
李勇 刘晨 王敏 李勇 刘晨 王敏 李勇 刘晨 王敏 李勇 刘晨 王敏
D1,义
定义3：关系
D1×D2×···×Dn的子集叫做在D1, D2, …, Dn上的 关系，表示为 R(D1, D2, …, Dn)