大学概率论14
大学概率论的基本概念
大学概率论的基本概念概率论是一门研究随机现象的数学理论，它广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、物理学等。
在大学中学习概率论，我们需要掌握一些基本概念和重要原理。
本文将介绍大学概率论的基本概念，包括样本空间、随机事件、概率、条件概率等。
1. 样本空间样本空间是指一个随机试验（即随机现象）所有可能结果的集合。
通常用Ω表示。
例如，掷一枚骰子的样本空间为Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，其中每个元素表示骰子的一面。
2. 随机事件随机事件是指根据试验结果产生的某个事件。
在样本空间Ω中选取一个子集即构成一个随机事件。
例如，骰子掷出的结果为奇数的事件记为A，可以表示为A = {1, 3, 5}。
3. 概率概率是描述一个随机事件发生可能性大小的数值。
常用P(A)表示事件A发生的概率。
在概率论中，概率的定义有多种形式。
其中最简单的是古典概率，即事件发生的可能等概。
对于一个有限的样本空间Ω，事件A的概率可以表示为P(A) = |A| / |Ω|，其中|A|表示事件A中元素的个数，|Ω|表示样本空间Ω中元素的个数。
4. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
通常用P(A|B)表示条件概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) /P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
5. 独立事件独立事件是指两个事件A和B的发生与否互不影响，即P(A|B) =P(A)，P(B|A) = P(B)。
如果事件A和事件B是独立事件，则它们的概率乘积等于它们各自的概率，即P(A∩B) = P(A) * P(B)。
6. 全概率公式和贝叶斯定理全概率公式是计算概率的重要工具，它可以用来计算事件A的概率。
全概率公式表示为：P(A) = ΣP(A|B_i) * P(B_i)，其中B_i是样本空间Ω的一个划分，即Ω = B_1 ∪ B_2 ∪ ... ∪ B_n。
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结概率论是一门研究随机事件发生的可能性的数学分支。
在大学数学课程中，概率论常常是数学系学生的必修课。
它广泛应用于自然科学、社会科学以及工程技术等领域，具有重要的理论和实践价值。
下面，我将对大学概率论中的一些关键知识点进行总结和阐述，具体内容如下：1.概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的一种数值。
它以介于0和1之间的实数表示，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
概率的基本公理包括非负性、规范性和可列可加性，这些公理构成了概率论的理论基础。
2.随机变量与概率分布随机变量是一种数值函数，它的取值依赖于随机事件的结果。
离散随机变量的取值是有限或可数的，它可以通过概率分布来描述。
常见的离散概率分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
连续随机变量的取值是无限可数的，它可以通过概率密度函数来描述。
常见的连续概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
3.概率的运算规则概率的运算规则包括加法规则和乘法规则。
加法规则用于计算两个事件之和的概率，乘法规则用于计算两个独立事件同时发生的概率。
加法规则和乘法规则是概率论中非常重要的基本工具，它们被广泛应用于统计学、数据分析和机器学习等领域。
4.条件概率与独立性条件概率用于描述在给定某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率可以通过加法规则和乘法规则来计算。
独立性是指两个事件之间的发生没有相互关系，即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
独立性是概率论中一个非常重要的概念，它对于理解随机事件之间的关联性具有重要意义。
5.期望与方差期望是随机变量的平均值，它描述了随机变量的集中趋势。
期望可以通过随机变量的概率分布来计算。
方差是随机变量离其期望值的平均偏离程度，它描述了随机变量的分散程度。
期望和方差是概率论中重要的度量指标，它们在统计学和经济学等领域中有广泛应用。
6.大数定律与中心极限定理大数定律描述了随机事件频率的稳定性，即随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会趋向于其概率。
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结在大学数学课程中，概率论是一门重要的学科。
它研究随机现象的概率及其规律，广泛应用于科学、技术、经济等领域。
以下是对大学概率论的一些重要知识点的总结。
第一，概率的基本概念。
概率是研究随机现象的可能性的数学描述。
在概率论中，我们将随机试验定义为具有以下三个特点的实验：1）试验可以以事先确定的方式进行；2）试验的结果具有多个可能的结果；3）试验可以重复进行，并且每次结果可能不同。
一个事件是指试验结果的某个子集。
概率是对事件发生的可能性的度量，它的取值在0和1之间。
第二，概率的运算法则。
概率的运算法则包括加法法则和乘法法则。
加法法则表明，对于两个互斥事件A和B，它们的联合概率等于各自概率的和。
乘法法则则给出了同时发生两个独立事件A和B的概率，它等于两个事件概率的乘积。
第三，随机变量和概率分布。
随机变量是一个可数的值与试验结果对应的变量。
它可以是离散的或连续的。
离散随机变量只能取有限或可数个值，而连续随机变量可以取任何实数值。
概率分布是随机变量取各个值的概率。
第四，常见概率分布。
在概率论中，有一些常见的概率分布模型。
例如，二项分布是一种离散概率分布，它描述了n次独立重复试验中成功次数的概率。
正态分布是一种连续概率分布，它以钟形曲线的形式展现。
它在自然界中的很多现象中都可以很好地描述。
第五，概率的特征值。
在概率论中，我们关注随机变量的平均值和方差等特征值。
平均值是随机变量的期望值，它是每个取值与其概率的乘积之和。
方差是随机变量与其期望值的离散程度，它是每个取值与其期望值的差的平方与其概率的乘积之和。
第六，大数定律和中心极限定理。
大数定律是概率论的重要定理之一，它表明，当随机试验次数趋于无穷时，事件发生的频率将趋于该事件的概率。
中心极限定理则指出，当独立随机变量的数量足够多时，它们的平均值将近似服从正态分布。
概率论作为一门重要的数学学科，不仅具有理论性的意义，也在现实生活中有着广泛的应用。
概率论(华南农业大学)智慧树知到答案2024年华南农业大学
概率论（华南农业大学）华南农业大学智慧树知到答案2024年第一章测试1.设样本空间Ω={1，2，10}，事件A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6，7}，则事件=( )。
A:{1,2,5,6,7,9,10} B:{1,2,3,5,6,7,8,9,10} C:{1,2,5,6,7,8,9,10}D:{1,2,4,5,6,7,8,9,10}答案:C2.同时掷3枚均匀的硬币，恰好有两枚正面向上的概率为( )。
A:0.375 B:0.25 C:0.325 D:0.125答案:A3.假设任意的随机事件A与B，则下列一定有（）。
A: B: C: D:答案:B4.设A，B为任意两个事件，则下式成立的为( ) 。
A: B: C: D:答案:A5.设则＝（）。
A:0.24 B:0.48 C:0.30 D:0.32答案:C6.设A与B互不相容，则结论肯定正确的是 ( )。
A: B:与互不相容 C: D:答案:C7.已知随机事件A, B满足条件，且，则（）。
A:0.3 B:0.4 C:0.7 D:0.6答案:C8.若事件相互独立，且，则( )。
A:0.775 B:0.875 C:0.95 D:0.665答案:A9.A:B: C: D:答案:D10.不可能事件的概率一定为0。
（）A:错 B:对答案:B11.A:错 B:对答案:A12.贝叶斯公式计算的是非条件概率。
（）A:错 B:对答案:A第二章测试1.下列各函数中可以作为某个随机变量X的分布函数的是( )。
A: B: C:D:答案:C2.设随机变量，随机变量, 则 ( )。
A: B: C: D:答案:C3.设随机变量X服从参数为的泊松分布，则的值为（）。
A: B: C: D:答案:C4.设随机变量X的概率密度函数为，则常数（）。
A: B: C:5 D:2答案:C5.如果随机变量X的密度函数为，则（）。
A:0.875 B: C: D:答案:D6.A:对任意实数，有 B:只对部分实数，有。
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，在大学数学中占据着重要的地位。
以下是对大学概率论中一些重要知识点的总结。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
2、样本空间样本空间是随机试验的所有可能结果组成的集合。
3、事件的关系与运算包括包含、相等、并、交、差、互斥（互不相容）和对立等关系。
4、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
古典概型中，概率等于有利事件的个数除以总事件的个数；几何概型中，概率等于几何度量（如长度、面积、体积等）的比值。
5、概率的性质包括非负性、规范性和可加性等。
二、条件概率与乘法公式1、条件概率在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率称为条件概率，记作 P(B|A)。
2、乘法公式P(AB) ＝ P(A)P(B|A)三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式如果事件组 B1，B2，，Bn 是样本空间的一个划分，且 P(Bi) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），则对任意事件 A 有 P(A) ＝ΣP(Bi)P(A|Bi)2、贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知 P(A)，P(Bi) 和 P(A|Bi)，可以计算在事件 A 发生的条件下，事件 Bi 发生的概率 P(Bi|A)四、随机变量及其分布1、随机变量是定义在样本空间上的实值函数。
2、离散型随机变量其取值为有限个或可列个。
常见的离散型随机变量分布有：二项分布、泊松分布等。
3、连续型随机变量其取值可以是某个区间内的任意实数。
常见的连续型随机变量分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。
4、随机变量的分布函数F(x) ＝ P(X ＜＝ x)，具有单调不减、右连续等性质。
五、多维随机变量及其分布1、二维随机变量由两个随机变量组成。
2、联合分布函数F(x, y) ＝ P(X ＜＝ x, Y ＜＝ y)3、边缘分布包括边缘分布函数和边缘概率密度（离散型为边缘概率分布）。
概率论与数理统计14讲
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它们的平均抗拉强度指标都是126, 但是, 使 用钢筋时, 一般要求抗拉强度指标不低于一 个指定数值(如115). 那么, 第二批钢筋的抗拉 强度指标与平均值偏差较大, 即取值较分散, 不合格的多, 可以认为第二批比第一批质量 差.
11
可见在实际问题中, 仅靠期望值(或平均值) 不能完善地说明随机变量的分布特征, 还必 须研究期离散程度. 通常人们关心的是随机 变量X对期望值E(X)的离散程度.
27
(2) 随机变量与常量之和的方差就等于这个 随机变量的方差本身
证 D(X+c)=E[X+cE(X+c)]2=E[X+cEXc)]2 =E(XEX)2=D(X)
28
(3) 常量与随机变量乘积的方差, 等于这常 量的平方与随机变量方差的乘积.
证 D(cX)=E[cXE(cX)]2=E{c[XE(X)]}2 =E{c2[XE(X)]2}=c2DX
)2]
2 2
1
52
D( X
*)
E(X
*2 )
[E(X
* )]2
E
X
2
1
2
E[( X
)2]
2 2
1
53
即对于任何方差不为零的随机变量 X,
X * X 的数学期望为 0, 方差为 1, X*称
为 X 的标准化变量.
54
例6 设随机变量X服从几何分布, 概率函数 P{X=k}=p(1p)k1, k=1,2,…
23
例 计算本节开始所举甲乙两炮射击中D(X1), 及D(X2)
X1 80 85 90 95 100 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 X2 85 87.5 90 92.5 95 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结大学概率论是高等数学中的重要分支之一，它研究的是随机现象和随机事件的规律，是研究不确定性的数学理论。
本文将对大学概率论的知识点进行总结。
1. 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用一个介于0和1之间的实数表示。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
事件的概率越大，其发生的可能性越高。
2. 随机变量与概率分布随机变量是指一种数值上具有不确定性的变量，它的取值由随机试验的结果决定。
概率分布是随机变量所有取值和其相应概率的分布关系，可以用分布函数、概率密度函数或概率质量函数来进行描述。
3. 离散型随机变量离散型随机变量的取值为有限个或可数个，其概率分布可以用概率分布列来表示。
常见的离散型随机变量有伯努利随机变量、二项随机变量、泊松随机变量等。
4. 连续型随机变量连续型随机变量的取值为连续的实数集合，其概率分布可以用概率密度函数来表示。
常见的连续型随机变量有均匀分布、正态分布、指数分布等。
5. 二维随机变量与联合分布二维随机变量是指具有两个未知数的随机变量，其概率分布可以用联合分布函数或联合概率密度函数来描述。
联合分布函数可以用来计算二维随机变量的概率。
6. 随机变量的独立性两个随机变量的独立性是指它们的联合分布等于其边缘分布的乘积，即P(X,Y)=P(X)P(Y)。
独立性是概率论中重要的概念，可以用来简化计算过程。
7. 条件概率和贝叶斯定理条件概率是指在已知一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
贝叶斯定理是利用条件概率计算事件的概率的一种重要方法，常用于统计学和机器学习中。
8. 随机变量的数字特征随机变量的数字特征是对其概率分布进行度量的方式，常见的数字特征有数学期望、方差、标准差等。
数学期望是随机变量取值的平均值，方差是随机变量取值与均值之间的离散程度的平均值。
9. 大数定律和中心极限定理大数定律是指随着试验次数增加，事件发生的频率会趋近于其概率。
中心极限定理是指在一定条件下，大量随机变量的和服从近似于正态分布。
(完整版)大学概率论与数理统计公式全集
大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率2、概率的定义及其计算二、随机变量及其分布1、分布函数性质FbF(aba<≤=P-X)(b()()bFX()P=≤)2、离散型随机变量3、连续型随机变量三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布∑∑======⋅jjijjii i py Y x X P x X P p ),()(∑∑======⋅iiijjij j py Y x X P y Y P p ),()(2、离散型二维随机变量条件分布2,1,)(),()(=========⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p jij j j i j i j i2,1,)(),()(=========⋅j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j3、连续型二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数⎰⎰∞-∞-=xydvdu v u f y x F ),(),( 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 边缘密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(5、二维随机变量的条件分布+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：∑+∞==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov 6、相关系数：)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY==ρρ 若XY 相互独立则：0=XYρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质 (1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y Cov Y X Cov =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++8、常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<- 2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，∑∑==−→−ni iDni i X E nX n 11)(11(1)若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2σ则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−∑=Pn i i X n 11 3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有：⎰∞--+∞→Φ==≤--xt n x x dtex p np np P )(21})1({lim 22πη(3)近似计算：)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b X a P nk knk k -Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量(1)样本平均值：∑==ni i X n X 11(2)样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距：∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1(6)次序统计量：设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ，将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计量。
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但P(AB)=3/8≠P(A)P(B)
对n(n>2)个事件
相互独立
两两独立
?
• 例4 将一枚硬币掷二次，A1={掷第一次出 现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正 反面各出现一次}，则 A1，A2，A3两两独立但 不相互独立
§1.4 事件的独立性 及贝努里概型
一、两事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然 P(A|B)=P(A)。 这就是说：已知事件B发生，并不影响事
件A发生的概率，这时称事件A、B独立。
由乘法公式，P(AB)=P(B)P(A|B)
例6 下面是一个串并联电路示意图。
A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的
元件，各自下方的数字表示其正常工作之 概率。 求电路正常工作的概率。
C
0.70
AB
D
0.95 0.95
0.70
E
0.70
F
0.75
H
G
0.95
0.75
C
0.70
AB
D
0.95 0.95
0.70
F
0.75
H
G
0.95
E
0.75
0.70
解 电路正常工作W=AB(C∪D∪E)(F∪G)H
由于各元件独立工作，所以有
P(W)=P(A)P(B)P(C∪D∪E)P(F∪G)P(H)
其中P(C∪D∪E)=1 P(C)P(D)P(E) 0.973,
P(F∪G)=1 P(F)P(G) 0.9375。
代入得 P(W) 0.782。
二、 n重贝努里概型 1.贝努里（Bernoulli） 试验：
可见, P(AB)=P(A)P(B)。说明事件A、B独立。
或利用 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13，
P(A)= P(A|B), 说明事件A、B独立。
在实际应用中,往往根据问题的实际意义 去判断两事件是否独立。
例如：
甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
已知 ：P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4。
则 P(A1+A2+A3) 1 P( A1 A2 An)
1 P( A1A2 A3) 1 P( A1)P( A2 )P( A3) =1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)] 1 4 2 3 3 0.6。
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概
率，故认为A、B独立 。
定理：若两事件A、B独立，则 A与B, A与B, A与B也相互独立。
证明: 仅证A与 B 独立。
P(A B)= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
A、B独立
=P(A)[1-P(B)]
=P(A)P( B ),
三、独立性概念在计算概率中的应用 对独立事件，许多概率计算可得到简化：
例5 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至 少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人编号为1，2，3， 记 Ai={第i个人破译出密码} ， i=1,2,3。
所求为 P(A1+A2+A3)。
当事件A、B独立时，有
P(AB)=P(A) P(B)。
两事件独立的定义:
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B相互独立。
例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}。
问事件A、B是否独立？
解：由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2， P(AB)=2/52=1/26。
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n个独立事件和的概率公式:
设事件 A1, A2,…, An 相互独立,则
P(A1+…+An) 1 P( A1 A2 … An）
1 P( A1A2 … An)
A1, A2 ,…, An
1 P( A1)P( A2)…P( An)
也相互独立
也就是说: n个独立事件至少有一个发生 的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。
解：取10件产品可看作是一10重Bernoulli试验．
A 取出一件产品为次品
则 P A 0.05
所以，
P B C140 0.054 0.95104 9.648104
PC 1 PC
1 C100 0.050 0.9510 C110 0.051 0.959
故P B Cnk pkqnk q 1 p
P{n重贝努里试验中事件A至少发生一次} =1-P{A一次也没有发生} =1-(1-p)n →1 (n→∞)
说明在一次试验中即使A发生的可能性很小， 但在大量的重复试验中A几乎肯定要发生。
例6 一大批产品的次品率为0.05，现从中取出10
件．试求下列事件的概率： B={ 取出的10件产品中恰有4件次品 } C={ 取出的10件产品中至少有2件次品 }
故A与 B 独立。
例2 两射手彼此独立地向同一目标射击。设甲 射中目标的概率是0.9，乙射中目标的概率是 0.8，求目标被击中的概率。
记 A={甲击中目标}, B={乙击中目标}。
二、多个事件的独立性 将两事件独立的定义推广到三个事件：
Байду номын сангаас
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B)，
四个等式同时
试验 E 只有两个结果
2.n重Bernoulli 试验：
指独立重复地进行n次Bernoulli试验
3.n重Bernoulli 试验中A恰好发生k次的概率
设在每次 试验中 P A p，P A 1 p q
现考虑事件 B={n重Bernoulli 试验中A恰好发生k次}
在 n 次试验中，指定某 k 次出现 A 成功，其余 n k 次出 现 A 失败，这种指定的方法共有Cnk种．
P(AC)= P(A)P(C) ,
成立, 则称事件
P(BC)= P(B)P(C) ,
A、B、C相互
P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 。 独立。
第四式不能推出前三式
• 例3 若有一个均匀的正八面体，其第1，2， 3，4面染有红色，第1，2，3，5面染有白 色，第1，6，7，8面染有黑色。现以A、B、 C分别表示投一次八面体出现红、白、黑色 事件，则