2021高考数学一轮复习课时作业13变化率与导数导数的计算理(含答案及解析)
高考数学一轮复习：
课时作业13 变化率与导数、导数的计算
[基础达标]
一、选择题
1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2
的导数为( ) A ．2(x 2
－a 2
) B ．2(x 2
＋a 2
) C ．3(x 2
－a 2
) D ．3(x 2
＋a 2
)
解析：∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2
＝x 3
－3a 2
x ＋2a 3
， ∴f ′(x )＝3(x 2
－a 2
)． 答案：C
2．[2020·河南南阳月考]已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f (e)＝( )
A ．e
B ．－1
e
C ．－1
D ．－e
解析：由f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1
e ，
所以f ′(e)＝－1e ，故f (x )＝－2
e
x ＋ln x ，所以f (e)＝－1.故选C 项．
答案：C
3．[2020·山西太原模拟]已知函数f (x )＝x ln x ＋a 的图象在点(1，f (1))处的切线经过原点，则实数a 的值为( )
A ．1
B ．0 C.1
e
D ．－1 解析：∵f (x )＝x ln x ＋a ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，f (1)＝a ，∴切线方程为y ＝x －1＋a ，∴0＝0－1＋a ，解得a ＝1.故选A 项．
答案：A
4．[2020·河北示范性高中联考]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，
f (x )＝
1－2ln －x
x
，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为( )
A ．3x ＋y －4＝0
B ．3x ＋y ＋4＝0
C ．3x －y －2＝0
D ．3x －y －4＝0
解析：若x >0，则－x <0，所以f (－x )＝1－2ln x
－x .又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，
所以f (x )＝－f (－x )＝1－2ln x x ，此时f ′(x )＝2ln x －3
x
2
，f ′(1)＝－3，f (1)＝1，所以切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.故选A 项．
答案：A
5．[2020·河南新乡模拟]若f (x )＝a －2＋a sin(2x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为( )
A ．－2
B ．－4
C ．2
D ．4
解析：∵f (x )是奇函数，∴a －2＝0，得a ＝2，∴f (x )＝2sin(2x )，f ′(x )＝4cos(2x )，∴f ′(0)＝4.∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为4.故选D 项．
答案：D 二、填空题
6．[2019·全国卷Ⅰ]曲线y ＝3(x 2
＋x )e x
在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3(x 2
＋3x ＋1)e x
，
∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝3， ∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y ＝3x . 答案：y ＝3x
7．[2020·天津十二重点中学联考]已知函数f (x )＝(x 2
－a )ln x ，f ′(x )是函数f (x )的导函数，若f ′(1)＝－2，则a 的值为________．
解析：∵f (x )＝(x 2
－a )ln x (x >0)，∴f ′(x )＝2x ln x ＋x 2－a
x
，∴f ′(1)＝1－a ＝－2，
得a ＝3.
答案：3
8．[2020·湖南湘东六校联考]已知曲线f (x )＝e x
＋x 2
，则曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为________．
解析：由题意，得f ′(x )＝e x
＋2x ，所以f ′(0)＝1.又f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0，所以该切线与x ，y 轴的交点坐标分别为(－1,0)，(0,1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为12×1×1＝1
2
.
答案：1
2
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y ＝(3x 3
－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝
x ＋cos x
x ＋sin x
；
(3)y ＝ln 2x ＋3x 2＋1
.
解析：(1)解法一：因为y ＝(3x 3
－4x )(2x ＋1)＝6x 4
＋3x 3
－8x 2
－4x ，所以y ′＝24x 3
＋9x 2
－16x －4.
解法二：y ′＝(3x 3
－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3
－4x )(2x ＋1)′＝(9x 2
－4)(2x ＋1)＋(3x 3
－4x )·2＝24x 3
＋9x 2
－16x －4.
(2)y ′＝x ＋cos x ′x ＋sin x －x ＋cos x
x ＋sin x ′
x ＋sin x 2
＝1－sin x x ＋sin x －x ＋cos x
1＋cos x
x ＋sin x 2
＝
－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1
x ＋sin x 2
.
(3)y ′＝
[ln
2x ＋3]′
x 2＋1－ln 2x ＋3
x 2＋1′
x 2＋12
＝2x ＋3′
2x ＋3
·
x 2＋1－2x ln 2x ＋3x 2＋1
2
＝2
x 2＋1－2x 2x ＋3ln 2x ＋3
2x ＋3x 2＋12
.
10．已知函数f (x )＝x 3
－4x 2
＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．
解析：(1)因为f ′(x )＝3x 2
－8x ＋5，所以f ′(2)＝1，又f (2)＝－2， 所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.
(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 3
0－4x 2
0＋5x 0－4)，因为f ′(x 0)＝3x 2
0－8x 0＋5，
所以切线方程为y －(－2)＝(3x 2
0－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 3
0－4x 2
0＋5x 0－4)，
所以x 3
0－4x 2
0＋5x 0－2＝(3x 2
0－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2
(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，
所以经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.
[能力挑战]
11．[2020·江西南昌模拟]已知f (x )在R 上连续可导，f ′(x )为其导函数，且f (x )＝e x ＋e －x －xf ′(1)·(e x －e －x
)，则f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝( )
A ．4e 2
＋4e －2
B ．4e 2
－4e －2
C ．0
D ．4e 2
解析：函数f (－x )＝e －x
＋e x －(－x )f ′(1)·(e －x －e x
)＝f (x )，即函数f (x )是偶函数，两边对x 求导数，得－f ′(－x )＝f ′(x )．即f ′(－x )＝－f ′(x )，则f ′(x )是R 上的奇函数，则f ′(0)＝0，f ′(－2)＝－f ′(2)，即f ′(2)＋f ′(－2)＝0，则f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝0.故选C 项．
答案：C
12．[2020·河北保定乐凯中学模拟]设函数f (x )＝g (x )＋x 2
，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )
A ．2 B.14
C ．4
D ．－1
2
解析：因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以g ′(1)＝2.又
f ′(x )＝
g ′(x )＋2x ，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝g ′(1)＋2
＝4.故选C 项．
答案：C
13．[2020·四川绵阳月考]过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3
－3x 的切线，最多有( ) A ．3条 B ．2条 C ．1条 D ．0条
解析：设切点为P (x 0，x 3
0－3x 0)．易知f ′(x 0)＝3x 2
0－3，则切线方程为y －x 3
0＋3x 0＝(3x 2
－3)(x －x 0)，代入(2,1)得，2x 3
0－6x 2
0＋7＝0.令y ＝2x 3
0－6x 2
0＋7，则y ′＝6x 2
0－12x 0.由y ′＝0，得x 0＝0或x 0＝2，且当x 0＝0时，y ＝7>0，x 0＝2时，y ＝－1<0，所以方程2x 3
0－6x 2
0＋7＝0有3个解，则过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3
－3x 的切线的条数是3条．故选A 项．
答案：A