函数和集合

第三章函数
在高等数学中，函数的定义域和值域都是在数 集上讨论，一般是连续或间断连续的函数，现 在把函数的概念推广到对离散量的讨论。
函数也叫映射，是一种特殊的二元关系，以前 所讨论的有关集合或关系的运算和性质对于函 数完全适用。
函数是一个基本的数学概念，这里我们 把函数作为一种特殊的关系进行研究， 例如，计算机中把输入、输出间的关系 看成是一种函数；类似地，在开关理论、 自动机理论和可计算性理论等领域中函 数都有着及其广泛的应用。
解：
(4)是函数，不是单的，也不是满的； (5)、(6)不是函数； (7)是函数，是单的，但不是满的； (8)是函数，是满的，不是单的； (9)是函数，不是单的，也不是满的。
例2：
设X= m，Y= n，则从X到Y可定义个多少
个不同的函数： 解：因为从X到Y的任一函数的定义域都为X，
一般记 (g o f )(x) g( f (x)) ，但在关系中g、
f是相反的顺序。这里是为了和以前复合函 数的表示一致。 函数的复合是不可交换的，但可结合。这 里和关系的复合运算一致。
例子
例1：设X={1，2，3}，Y={ p，q}，Z={a，b} f ={<1，p> , <2 , p> , <3 , q>}，g =
有限集与无限集是两种不同元素数量的集合， 她们中的一种集合性质不能随意扩充到另一种 集合中去。
§4.1有限集与无限集的基本概念
定义：一个集合S与Nn={0,1,2……n-1}，如存 在一一对应函数f:Nn→S，则称S是有限的。 如果S不是有限的，则是无限的。
定义：如果存在一一对应f:S→S, f(S)是S的 真子集，则S是无限的。否则是有限的。 上述定义从一一映射的角度上定义了有限 无限集。
但是 f (R) R R ，所以 g f 无意义。
反函数
定义 ：设f：XY是一个双射函数， 称f -1：YX为f的反函数。
定理：设f、g分别是XY、YZ的双射，
则
(g o f )1 f 1 o g 1
例
设A={1,2,3}，B={a,b,c}， f = {<1 , a> , <2 , c> , <3 , b>}是A到B的双射 函数，则f -1 = {<a , 1> , <c , 2> , <b , 3>} 是B到A的双射函数。
定义：凡与自然数集等势的集合称为可列集。 整数集是可列集。 有理数集是可列集。 有限集与可列集统称为可数集。
定理：一无限集必包含一可列集。 定理：可列集的无限子集仍是一可列集。
无限集的大小
任意一个无限集，元素个数是无限的，但比较 笼统。比如自然数集、整数集、实数集在无限 个元素中元素的浓度和密度都是不全相同的。 有限个元素个数用基数表示，但无限集不同。
小到大的顺序排列，如果和相同，第一客体按 照从小到大顺序。 (3)f(x)=ex (4)f(x)=-0.25x+0.5
单射：对于任意x1≠x2,有f(x1) ≠ f(x2)。x1, x2 X , f (x1) f (x2),必有x1=x2
双射：既单又满。又称为双射，一一对 应。若X=Y，双射又称为X的变换。
例1：判断f是否是从A到B的函数
设 A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10} （1）f={(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9)} （2）f={(1,8),(3,9),(2,6),(5,9)} （3） f={(1,7),(5,10),(4,5),(2,6),(1,9)}
本章所讨论的函数是数学分析和复变函数中所 讨论的单值函数概念的推广；需要认识一些重 要的函数：满射、单射、双射；需要明确函数 与二元关系间的联系和区别；函数对后继课程 （如数据结构、程序语言设计、开关理论、代 数结构、计算复杂性等）以及进行科学研究都 是不可缺少的工具。
§3.1函数的基本概念
证明
(1)f是P(A) P(A)到P(A)的满射函数。对集合 A的任意子集B，即BP(A),因为A∩B=B，而
A,BP(A),所以f(A,B)=A∩B=B (2) f 不是P(A)P(A)到P(A)单射。举例。
因为A，即P(A)，有f(，)=∩=。
另外，再取P(A)的两个非空子集B，C，且B∩C
定义：设f是从X到Y的一个二元关系，使得对X 中的任一元素x都能与Y中的唯一一个元素y相 对应，则称f是从X到Y的函数，记： f:X→Y,y=f(x)
定义：设f是二元关系，
x D( f ),| y C( f ), st.(x, y) f
则称f是函数。
再定义函数
定义：一个函数f:X→Y是满足下列条件的关系： (1)对每个x∈X,必存在y∈Y,st.(x,y) ∈f; (2)对每个x∈X,只存在一个y∈Y,st.(x,y)∈f。
定义：f的定义域D(f)=X,C(f)是Y的子集，则 称f是从X到Y的函数；若C(f)=Y,则称f是从X到 Y上的函数。
函数与关系的区别：
(1) 函数的定义域必须是X，而不能是X 的某个真子集。
(2) 函数中对应于x的y是唯一的。
三种函数
满射：C(f)=Y。即值域中每一元素都有 原像。 y Y , x X , st. f (x) y
例3：设R表示实数集，R表示正实数集，f : R R 定义为 f (x) x2，g : R R定义为 g(x) x ，
求 f og, g o f
解：因为 g(R ) R R，所以 f g 有意义，
且
f g(x) f (g(x)) f ( x ) ( x )2 x
=，则f(B , C)=B∩C=。但< , ><B ,
Cபைடு நூலகம்。
§3.2复合函数、反函数、多元函数
定义：设函数f:X→Y,g:Y→Z,复合函数g o f 也是一个函数，记h:X → Z,且
h g o f {(x, z) | x X , z Z,且至少存在一个y Y, 有 y f (x), z g(y)}
练习题
构造从A到B的双射来说明A、B等势 (1)A=(0,1),B=(0,2) (2)A=N,B=N×N (3)A=R,B=(0, ∞) (4)A=[0,1),B=(0, ∞)
解
(1)f(x)=2x (2)0-(0,0),1-(0,1),2-(1,0),3-(0,2),4-
(1,1),5-(2,0)…… 自然数集A对应B的规则如下：按照序偶和从
令自然数集的基数是Aleph零。与自然数集等 势的无限集个数与自然数集相同。即所有可列 集基数为Aleph零。
定理：实数集是不可列的。
在自然数集后，第一个必它大的是实数集。最 小的无限集是可列集。
关于集合，康托证明对任一集合的幂集P(A)的 基数比A的大，故对任一无限集总存在比其基 数大的集合。
若 g = {<1 , a> , <2 , b> , <3 , b>}则g的逆关 系g -1= {<a , 1> , <b , 2> , <b , 3>}就不是一个 函数。
多元函数
定义：设有集合X1,X2,…,Xn及Y，则f: X1,X2,…,Xn→Y表示从n元有序组到Y的一 个函数，称其为从X1,X2,…,Xn到Y的n元 函数，表示为：f(x1,x2,…,xn)=y。
(4) A、B R, f (x) x2 x
(5)A、B R, f (x) x +２
(6) A、B R, f (x) １/x
(7)Ａ、Ｂ是正整数集，f(x)=x+1
(8)Ａ、Ｂ是正整数集，f(x)=1(x=1),f(x)=x-1(x>1)
(9)Ａ、Ｂ是正实数集，f(x)=
x x2 1
解：f g(x) f (g(x)) f (x 2) (x 2) 2 x
g f (x) g( f (x)) g(x 2) (x 2) 2 x
f f (x) f ( f (x)) f (x 2) (x 2) 2 x 4 g g(x) g(g(x)) g(x 2) (x 2) 2 x 4
定义：集合A、B的元素间如果存在一一对应的 关系，则A、B是等势的，记A～B
定理：当A、B是有限集，|A|=|B|，两集合等 势则元素个数相同。对于无限集，可用例子说 明。
例
自然数集和子集S={1,3,5,7…}均为无限集， 且存在一一对应的关系：0-1，1-3，2-5，37，……
无限集的性质
定理：自然数集是无限的。 定理：实数集是无限的。
§4.2有限集
定义：有限集S的元素个数称为S的基数，记为 |S|。
定理：设A、B、C是有限集，则 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|- |A∩C||B∩C|+|A∩B∩C|
§4.2无限集的性质
所以从X到Y的函数中的序偶有m个。即关系中
的元素个数为m。 另外，在从X到Y的函数中，任一x∈X，可
从Y的元素中任取一个作为它的象，有n种选择
方法，共m个元素，故从X到Y有nm个不同的函 数。
例3：
设A为任一集合，P(A)为A的幂集， 定义
函数f，对任意Ai，Aj P(A)，f(Ai, Aj) = Ai∩ Aj，则f是P(A) P(A)到P(A)的一 个二元函数。试证明f是满射而不是单射。
§3.3常用函数
定义：特征函数 设有函数f:A→B,其中B={0,1},对A的子集A’
若存在下面函数关系，