共形映射

与方向不变，称这个性质为保角性 保角性。 与方向不变，称这个性质为保角性。
f ′(z0 ) ≠ 0是必要的，否则保角性 是必要的， 不成立
试求映射w=f(z)=z2 在z0处的旋转角与 例1 试求映射 伸缩率: 伸缩率 (1) 解： f′(z) = 2z (1)z0=1, f′(1) = 2 故w=z2在z0=1处的旋转角 处的旋转角 z0=1 ； (2) z0=1+i
| 例5 设z平面上有两个圆 | z 1 |< 2，z + 1 |< 2 zi 求两个非公共区域在映 射w = 下的像 z+i
y
i Ⅰ 1 x
v o u
Ⅱ 1
i 两圆的交点为( 解：两圆的交点为 i, 0) (i, 0)
ii z = i时 ， w = =∞ i+i
2 +1 i 1 i = 2 +1+ i 2
多项式除法
az + b a b = (z + ) 当c = 0时， w = 时 d d a
az + b a bc ad 当c ≠ 0时， w = 时 = + cz + d c c(cz + d )
a bc ad 例4 将分式线性映射 w = + 分解为四 c c(cz + d )
种形式的复合
z → z1 → z 2 → z 3 → z4
1 处共形， 从而由 z = 知其在 w = ∞处共形， w 1 点处共形。 也即 w = 在z = 0点处共形。 z
反演映射具有保形性
(2) 对于 w = az+b (a≠0) w=az+b(a≠0)在整个扩充复平面上是双方单值的 在整个扩充复平面上是双方单值的 dw 保形 当z ≠ ∞时, w = az + b解析且 =a≠0 dz 1 1 ξ 当z = ∞时, 令ξ = ，η = , 则η = (ξ ) = z w bξ + a ξ 1 ′(0) = ≠ 0 η = (ξ ) = 解析， 解析，且 bξ + a a
z5 + a / c
规定：两条伸向无穷远 的曲线在 ∞处的夹角，等于它们 规定： 处的夹角， 1 的两条象曲线的夹角。 在映射 ξ＝ 下映成的过原点 ξ = 0的两条象曲线的夹角。 z 当z = ∞时, 令ξ = 1 / z，则w = (ξ ) = ξ
w = (ξ ) = ξ 在 ξ = 0处解析且 ′ (ξ ) = 1 ≠ 0 1 . 故w = 在z = ∞处共形 z
C z o
Γ
w b
ΓC
z
w o
(3) w=eiθz
旋转映射， 旋转映射，
C z o
w
Γ
o z
w
1 反演变换。 (4) w = 反演变换。 z 1 易知 arg w = arg z , w = z
w1
w 与z关于 1 圆周z = 1对称
故反演变换可分两步进行： 故反演变换可分两步进行： argw1= argz, |w1|=1/|z| z argw= argw1, |w|=|w1| w1
z → z0
lim
w w0 z z0
= lim
w z
z → 0
存在，则称此极限值为曲线 经函 存在，则称此极限值为曲线C经函 映射后在z 数w=f (z)映射后在 0处的伸缩率。 映射后在 处的伸缩率。
y
z = z(t)C
旋转角：设曲线 在 旋转角：设曲线C在 曲线Γ 曲线Γ在w0处的切线倾角为0，
边界对应原理：设区域 的边界为简单闭曲线 的边界为简单闭曲线C， 边界对应原理：设区域D的边界为简单闭曲线 ， 函数w=f (z)在 D = DUC上解析，且将 双方单值地 上解析，且将C双方单值地 函数 在 的正向绕行时， 映射成简单闭曲线Γ ，当z沿C的正向绕行时，相 沿 的正向绕行时 应的w的绕行方向定为 的正向，并令G是以 应的 的绕行方向定为Γ 的正向，并令 是以Γ 为 边界的区域， 共形映射成G。 边界的区域，则w=f (z)将D共形映射成 。 将 共形映射成 注意： 确定象区域时，只需求出象区域的边界和方向 注意： 确定象区域时， 1. 2. 象区域边界方向不同，象区域也不同 象区域边界方向不同， 例3 区域D = {z: 0 < argz < π/2,0 < |z| < 1}，求在映射 区域 ， v y w = z2下的象区域
cz cz 2 1 / z3
z1 + d
→ z5 → w
2.分式线性映射的保形性 2.分式线性映射的保形性
1 (1)对于 (1)对于 w = z 1 w = 在整个扩充复平面上是双方单值的 z 1 dw 1 当z ≠ 0和z ≠ ∞时, w = 解析且 = 2 ≠0 z dz z
( bc ad ) z 4
w1 =
1 z
w = w1
定义： 定义：设某圆半径为R，A、B两点在圆心出发的射线 两点关于圆周对称 圆周对称。 上，且 OA OB = R 2，则称A、B 两点关于圆周对称。
反演映射由单位圆映射和实轴映射复合而成。 反演映射由单位圆映射和实轴映射复合而成。 约定： 反演映射将 约定： 反演映射将z=0映射成 映射成w=∞ 映射成 反演映射将z=映射成 反演映射将 映射成w=0 任何分式线性映射总可以分解为上述四种分式线性映射
根据上式有 Argf ′( z 0 ) = lim ( θ ) = 0 θ 0
根据旋转角的概念， 就是曲线C经 根据旋转角的概念，Argf′(z0)就是曲线 经函 就是曲线 映射后在z 数w=f(z)映射后在 0处的旋转角，它与曲线形 映射后在 处的旋转角， 状和方向无关，即具有旋转角不变性 状和方向无关，即具有旋转角不变性。 旋转角不变性。
共形映射的特点是双方单值， 共形映射的特点是双方单值，保角性和伸缩率不变性
§2 共形映射的基本问题
w=f (z) D G D w=f (z) G
保域性定理：设函数 在区域D内解析 保域性定理：设函数f (z)在区域 内解析， 在区域 内解析， 且不恒为常数，则象集合是区域。 且不恒为常数，则象集合是区域。
i
o
1
x
o
u
§3 分式线性映射
由分式线性函数
az + b (a,b,c,d为复数且 bc≠0) 为复数且ad 为复数且 w= cz + d 构成的映射，称为分式线性映射 分式线性映射。 构成的映射，称为分式线性映射。
1.四种基本的分式线性映射 1.四种基本的分式线性映射
为复数)： 平移映射， (1) w=z+b (b为复数 ： 为复数 平移映射， 为整数)： 伸长或缩短)映射 (2) w=az (a≠0为整数 ： 相似 (伸长或缩短 映射， 为整数 伸长或缩短 映射，
第六章
共形映射
§1 共形映射概念 §2 共形映射的基本问题 §3 分式线性映射 §4 几个初等函数构成的共形映射
第六章
§1 共形映射概念
共形映射
1. 导函数的几何意义
(1)伸缩率与旋转角 (1)伸缩率与旋转角 伸缩率： 沿曲线 趋向于z 点时， 沿曲线C趋向于 伸缩率：当z沿曲线 趋向于 0点时，如果
ii z = i时， w = =0 i+i
z = 2 1时，w =
z = 2 + 1时，w =
1+ i z = 2 + 1时，w = 2
1+ i z = 2 1时，w = 2
2 1 i 1 i = 2 1+ i 2
4.分式线性映射的保对性点性 4.分式线性映射的保对性点性
引理： 关于圆周C:|zz0|=R对称的充要条件 引理：z1, z2关于圆周 对称的充要条件 经过z 正交 是：经过 1, z2的任何圆周Γ与C正交 z C R z0 z1 证明(必要性): 证明(必要性): 自z0作Γ 的切线， 的切线， 设切点为z 切割线定理有 Γ 设切点为 ，由切割线定理有 2 z2 z ′ z 0 = z1 z 0 z 2 z 0 = R2 的交点上， 故z在Γ与C的交点上，即两圆正交 的交点上 充分性: 连接z 充分性: 连接 1, z2的直线看成Γ 的特例 由于直线与圆C正交 故该直线经过点 由于直线与圆 正交,故该直线经过点 0 正交 故该直线经过点z
再由w = 1
η
处亦保形性， 在η = 0处亦保形性，从而有
整式映射具有保形映射。 共形映射。
3.分式线性映射的保圆性 3.分式线性映射的保圆性
约定：在扩充复平面上把直线看成半径为无穷大的圆。 约定：在扩充复平面上把直线看成半径为无穷大的圆。 整式映射具有保圆性 对z平面上任意给定的圆 平面上任意给定的圆 A(x2+y2)+Bx+Cy+D=0 (A=0时为直线 时为直线) 时为直线 则由w 令z = x+iy,w = u+iv,则由 = 1/z可得 则由 可得
z → 0
如果，还有一条过 的曲线C′, 如果，还有一条过z0的曲线 , y C′ C z0+△z △ v
Γ′
Γ
w0+△w △
θ
o
θ0 θ1
x
z0
o
0 1
u
w0
则有 则有 Argf ′( z 0 ) = 1 θ1
两式相等， 两式相等，得 θ1 θ 0 = 1 0 即这种映射保持了两条曲线的交角的大小
u x= 2 , 2 u +v
v y= 2 u + v2
代入z平面圆的方程得： 代入 平面圆的方程得： 平面圆的方程得 D(u2+v2)+BuCv+A=0 (D=0时为直线 时为直线) 时为直线 反演映射亦具有保圆性 定理：在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆 定理：在扩充复平面上， 注意： 圆上有点被映射为 圆上有点被映射为∞， 注意：(1)圆上有点被映射为 ，则圆被映射为直线 (2)圆上没有点被映射为 ，则圆被映射为圆 圆上没有点被映射为∞， 圆上没有点被映射为 (3) 三点确定一个圆