2020年东北三省四市高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
，则
=______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分） 17. 在△ABC 中，AB=6，AC=4 ．
（Ⅰ）若 sinB= ，求△ABC 的面积；
（Ⅱ）若 =2 ，AD=3 ，求 BC 的长．
18. 某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人 200 人，乙车间有工人 400 人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间 抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产
6.答案：B
解析：解：对于 A，若 α∩β=l，m∥l，n∥l，显然条件成立，但 α，β 不平行，故 A 错误； 对于 B，由 m∥n，m⊥α 可得 n⊥α，又 n⊥β，故 α∥β，故 B 正确； 对于 C，若 m⊥n，m∥α，n∥β，则 α，β 可能平行，可能相交，故 C 错误； 对于 D，m⊥n，m⊥α，n⊥β，则 α⊥β，故 D 错误． 故选：B． 根据空间线面位置关系的定义，性质判断或举反例说明． 本题主要考查空间直线与平面位置关系，属于基础题．
=1 的短轴端点为 B1，B2，点 M 是椭圆 C 上的动点，且不与 B1，
B2 重合，点 N 满足 NB1⊥MB1，NB2⊥MB2． （Ⅰ）求动点 N 的轨迹方程； （Ⅱ）求四边形 MB2NB1 面积的最大值．
21. 已知 a∈R，函数 f（x）= +alnx，x∈（0，6）． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）若 x=2 是 f（x）的极值点，且曲线 y=f（x）在两点 P（x1，f（x1），Q（x2， f（x2））（x1＜x2）处的切线互相平行，这两条切线在 y 轴上的截距分别为 b1，b ， 求 b1-b2 的取值范围．
2020 年东北三省四市高考数学一模试卷（二）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={-1，0，1，2}，B={x|（x+1）（x-2）＜0}，则 A∩B=（ ）
A. {0，1}
B. {-1，0}
C. {-1，0，1}
D. {0，1，2}
2. 在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
当 x=1 时，f（1）= ＜0，故排除 C；
综上所述，只有 B 符合. 故选 B．
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 下列各点中，可以作为函数 y=sinx- cosx+1 图象的对称中心的是（ ）
A. （ ）
B. （ ）
C. （ ）
D. （ ）
4. 执行如图所示的程序框图，如果输入 N=4，则输出 p 为（ ）
A. 6 B. 24 C. 120 D. 720
解：∵
=
，
∴复数
对应的点的坐标为（
故选 A．
3.答案：A
），位于第一象限．
解析：解：∵函数 y=sinx cosx+1=2sin（x- ）+1，令 x- =kπ，可得 x=kπ+ ，k∈Z，
故函数的图象的对称中心为（kπ+ ，1），
故选：A． 利用两角差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称中心，得出结 论． 本题主要考查两角差的正弦公式，正弦函数的图象的对称中心，属于基础题．
4.答案：B
解析：解：由已知中 N=4， 第一次进入循环时，p=1，此时 k=1 不满足退出循环的条件，则 k=2 第二次进入循环时，p=2，此时 k=2 不满足退出循环的条件，则 k=3 第三次进入循环时，p=6，此时 k=3 不满足退出循环的条件，则 k=4 第四次进入循环时，p=24，此时 k=4 满足退出循环的条件， 故输出的 p 值是 24 故选：B． 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是 利用循环计算 p 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案． 本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此 类问题最常用的办法，属于基础题．
根据折线图和条形图，下列结论错误的是（ ）
A. 2012 年至 2013 年研发投入占营收比增量相比 2017 年至 2018 年增量大 B. 2013 年至 2014 年研发投入增量相比 2015 年至 2016 年增量小 C. 该企业连续 12 年来研发投入逐年增加 D. 该企业连续 12 年来研发投入占营收比逐年增加
19. 如图，等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E 为 CD 中点，将△ADE 沿 AE 折到△APE 的位置． （Ⅰ）证明：AE⊥PB； （Ⅱ）当四棱锥 P-ABCE 的体积最大是，求二面角 A-PE-C 的余弦值．
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20. 已知椭圆 C：
5. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a2=4，a4=2，则 S5=（ ）
A. 0
B. 10
C. 15
D. 30
6. 已知 m，n 为两条不重合直线，α，β 为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出
α∥β 的是（ ）
A. m∥n，m⊂α，n⊂β
B. m∥n，m⊥α，n⊥β
C. m⊥n，m∥α，n∥β
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完成的一件产品的事件（单位：min）进行统计，按照[55，65），[65，75），[75， 85），[85，95）进行分组，得到下列统计图． （Ⅰ）分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于 75min 的人数； （Ⅱ）分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测车哪个车间工人 的生产效率更高？ （Ⅲ）从第一组生产时间少于 75min 的工人中随机抽取 3 人，记抽取的生产时间少 于 65min 的工人人数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望．
7.答案：D
解析：【分析】 本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合 思想，是基础题． 由折线图和条形图可得答案 【解答】 解：由折线图和条形图可得 2012 年至 2013 年研发投入占营收比增量相比 2017 年至 2018 年增量大， 2013 年至 2014 年研发投入增量相比 2015 年至 2016 年增量小， 该企业连续 12 年来研发投入逐年增加， 该企业连续 12 年来研发投入占营收比，有增有减 故选：D．
10.答案：B
解析：【分析】 本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于 常规题. 先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出． 【解答】
解：∵函数 f（x）的定义域为（-∞，- ）∪（- ， ）∪（ ，+∞），
f（-x）=
=
=f（x），
∴f（x）为偶函数， ∴f（x）的图象关于 y 轴对称，故排除 A； 分别取 x=1，x=2，得 f（2）＜f(1)，故排除 D；
的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为
1，则对该几何体描述：
①四个侧面都是直角三角形；
②最长的侧棱长为 2 ；
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；
④外接球的表面积为 24π．
其中正确的个数为（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
10. 函数 f（x）=
的部分图象大致是（ ）
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D. m⊥n，m⊥α，n⊥β
7. 科技研发是企业发展的驱动力量.2007 年至 2018 年，某企业连续 12 年累计研发投
入达 4100 亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比，这 12
年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中
的折线图表
示．
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23. 已知函数 f（x）=|2x-1|+|x-1|．
（Ⅰ）求不等式 f（x）≤4 的解集；
（Ⅱ）设函数 f（x）的最小值为 m，当 a，b，c∈R+，且 a+b+c=m 时，求
+
+
的最大值．
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1.答案：A
-------- 答案与解析 --------
14. 已知矩形 ABCD，AB=12，BC=5，以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的双曲线的离
心率为______．
15. 若 8 件产品中包含 6 件一等品，在这 8 件产品中任取 2 件，则在已知取出的 2 件中
有 1 件不是一等品的条件下，另 1 件是一等品的概率为______．
16. 已知数列{an}中，a1=2，
A.
B.
C.
D.
11. 已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过 F 且倾斜角为 120°的直线与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 AF，BF 的中点在 y 轴上的射影分别为 M，N，且|MN|=4 ， 则抛物线 C 的准线方程为（ ）
A. x=-
B. x=-2
C. x=-3
D. x=-4
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的倾斜角为 30°，且经过点 A（2，1）．以坐标 原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l2：ρcosθ=3，从原点 O 作 射线交 l2 于点 M，点 N 为射线 OM 上的点，满足|OM|•|ON|=12，记点 N 的轨迹为曲 线 C． （Ⅰ）求出直线 l1 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 l1 与曲线 C 交于 P，Q 两点，求|AP|•|AQ|的值．
解析：解：由 B 中不等式解得：-1＜x＜2，即 B={x|-1＜x＜2}， ∵A={-1，0，1，2}， ∴A∩B={0，1}， 故选：A． 求出集合 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2020年东北三省四市教研联合体高考模拟数学(文科)试卷(二)(含解析)
2020年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）本试卷共4页。
考试结束后。
将答题卡交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的娃名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出。
确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}42≤∈=x Z x A ，{}24<<-=x x B ．则A∩B=A ．{}22<≤-=x xB B ．{}24≤<-=x x B C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}1,0,1,2--2．已知复数z 满足i z i -=+1)1(2，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量a ，b 满足a =（2，1）．b =（1，y ）．且a ⊥b ．则|a +2b | =A ．5B ．25C ．5D ．44．为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计．如右图．甲乙两人的平均得分分别是乙甲、x x ．则下列说法正确的是A ．乙甲x x >，乙比甲稳定．应选乙参加校篮球队B ．乙甲x x >．甲比乙稳定，应选甲参加校篮球队C ．乙甲x x <．甲比乙稳定，应选甲参加校篮球队D ．乙甲x x <．乙比甲稳定，应选乙参加校篮球队5．等比数列{}n a 中．5a 与7a 是函数34)(2+-=x x x f 的两个零点．则93a a ⋅等于 A ．3- B ．4- C ．3 D ．46．大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”．某高校学生小刘、小李、小孟、分别去西部某地一中、二中、三中3所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生．现知道:（1）教语文的没有分配到一中，（2）教语文的不是小孟，（3）教英语的没有分配到三中，（4）小刘分配到一中．（5）小盂没有分配到二中，据此判断．数学学科支教的是谁?分到哪所学校？A ．小刘三中B ．小李一中C ．小盂三中D ．小刘二中7．设b a ,是两条直线βα，是两个平面．则b a ⊥的一个充分条件是A ．α⊥a ，β∥b ，βα⊥； C ．α⊥a ，β⊥b ，βα∥B ．α⊂a ，β⊥b ，βα∥ D ．α⊂a ，β∥b ，βα⊥8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数．在（0．+∞）上是增函数．且0)4(=-f ．则使得0)(>x xf 成立的x 的取值范围是A ．（4-，4）B ．（4-，0）Y （0，4）C ．（0，4）Y （4，∞+）D ．（∞-，4-）Y （4，∞+）9．已知直线2-=y 与函数)3sin(2)(πω-=x x f ，（其中w>0）的相邻两交点间的距离为π．则函数)(x f 的单调递增区间为 A ．Z k k k ∈+-],65,6[ππππ B ．Z k k k ∈+-],65,12[ππππ C ．Z k k k ∈+-],611,65[ππππ D ．Z k k k ∈+-],1211,65[ππππ 10．若函数⎩⎨⎧≤-->=0,20,log )(2x a x x x f x 有且只有一个零点．则a 的取值范围是 A ．（∞-，1-）Y （0，∞+） B ．（∞-，1-）Y [0，∞+）C ．[1-，0）D ． [0，∞+）。
辽宁省2020版高考数学一模试卷(理科)(II)卷
辽宁省2020版高考数学一模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2020·长春模拟) 复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）(2020·榆林模拟) 设集合，则（）A .B .C .D .3. （2分）若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（）A . 0B .C .D .4. （2分）直线与圆的位置关系是（）A . 相离B . 相切C . 相交过圆心D . 相交不过圆心5. （2分）(2019·黄冈模拟) 黄冈市有很多处风景名胜，仅级景区就有10处，某单位为了鼓励职工好好工作，准备组织5名优秀的职工到就近的三个景区：龟峰山、天堂寨、红安红色景区去旅游，若规定每人限到一处旅游，且这三个风景区中每个风景区至少安排1人，则这5名职工共有种安排方法A . 90B . 60C . 210D . 1506. （2分） (2015高三上·合肥期末) 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A .B .C . 4D . 27. （2分） (2019高二下·南充月考) 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（）A .B .C .D .8. （2分）(2016·南平模拟) 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为10，则判断框中应填入的条件是（）A . k≥﹣3B . k≥﹣2C . k＜﹣3D . k≤﹣39. （2分）已知则的值是（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二上·南宁月考) 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2 勾股 (股-勾)2 朱实黄实弦实，化简，得勾2 股2=弦2 ，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A . 866B . 500C . 300D . 13411. （2分） (2017·重庆模拟) 设双曲线的半焦距为C，直线L过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为（）A . 2B . 2或C .D .12. （2分） (2016高一上·菏泽期中) 下列函数中，是偶函数，且在区间（0，1）上为增函数的是（）A . y=|x|B . y=1﹣xC . y=D . y=﹣x2+4二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·江苏月考) 已知互不重合的直线，互不重合的平面，给出下列四个命题，其中错误的命题是________.①若，，则②若，，则③若，，则④若，，则14. （1分）(2018·内江模拟) 甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是________.15. （1分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），直线l为圆O：x2+y2=b2的一条切线，若直线l的倾斜角为，且恰好经过椭圆的右顶点，则椭圆离心率为________16. （1分）已知f（x）=x3+bx2+cx+d在（﹣∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，且f（x）=0有三个根α，2，β（α≤2≤β），则|β﹣α|的取值范围是________．三、解答题： (共7题；共70分)17. （5分） (2017高一下·双流期中) 已知等差数列{an}中，a5=9，a7=13，等比数列{bn}的通项公式bn=2n ﹣1 ，n∈N* ．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和Sn ．18. （15分） (2020高二下·宁波期中) 某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.表1：一级滤芯更换频数分布表一级滤芯更换的个数89频数6040图2：二级滤芯更换频数条形图以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求的分布列及数学期望；（3）记分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定的值.19. （10分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，AC⊥CB，PA=2，CA=2 ，CB=2，E为BC的中点，CF⊥AB于点F，CF交AE于点M．（1）求二面角P﹣CF﹣B的余弦值；（2）求点M到平面PBC的距离．20. （10分）(2017·菏泽模拟) 已知焦距为2 的椭圆C： + =1（a＞b＞0）的右顶点为A，直线y= 与椭圆C交于P、Q两点（P在Q的左边），Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N．（i）若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x+3y﹣2=0上一点，且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值（ii）若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．21. （10分） (2016高三上·金山期中) 已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R（1）若f（x）在P（x0 ， y0）（x∈[ ））处的切线方程为y=﹣2，求实数a的值；（2）若x1 ， x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，f′（x）是函数f（x）的导函数，证明：f′（）＜0．22. （10分）(2017·沈阳模拟) 已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．23. （10分）(2017·武汉模拟) 已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≥5﹣x对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共70分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z1，z满足z1=-1-i，z1z=4，则复数在复平面内对应点的坐标为（）A. （2，-2）B. （-2，2）C. （2，2）D. （-2，-2）2.设全集U=R，集合A={x|y=lg x}，B={x|-7＜2+3x＜5}，则∁U（A∪B）=（）A. {x|0＜x＜1}B. {x|x≤0或x≥1}C. {x|x≤-3}D. {x|x＞-3}3.已知α∈（-），tanα=sin76°co s46°-cos76°sin46°，则sinα=（）A. B. C. D.4.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.5.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（）A. B. C. D.6.已知直线l：3x-4y-15＝0与圆C：x2+y2-2x-4y+5-r2＝0(r＞0)相交于A，B两点，若|AB|＝6，则圆C的标准方程为（）A. (x-1)2+(y-2)2＝36B. (x-1)2+(y-2)2＝25C. (x-1)2+(y-2)2＝16D. (x-1)2+(y-2)2＝497.某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100米仰泳比赛，现将他们最近集训的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下表格：甲乙丙丁平均数59575957方差12121010根据表中的数据，应选哪位选手参加全省的比赛（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8.已知P（，1），Q（，-1）分别是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象上相邻的最高点和最低点，则ωφ=（）A. B. C. D.9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(sin B+sin C)2-sin2(B+C)＝3sin B sin C，且a＝2，则△ABC的面积的最大值是（）A. B. C. D. 410.已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，，则xf（x）≥0的解集为（）A. [-1，0）∪[1，+∞）B. （-∞，-1]∪[1，+∞）C. [-1，0]∪[1，+∞）D. （-∞，-1]∪{0}∪[1，+∞）11.已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2．若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（）A. 4B. 6C. 8D. 1012.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点M（-a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当•取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则=（）A. 4B. 8C. 2D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在正方形ABCD中，E为线段AD的中点，若=+，则λ+μ=______．14.已知实数x，y满足，则目标函数z=4x-3y的最小值为______．15.已知函数f（x）=+x+a-1的图象是以点（-1，-1）为中心的中心对称图形，g（x）=e bx+ax2+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线互相垂直，则a+b=______．16.用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}为等差数列，a7-a2=10，且a1，a6，a21依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，若S n=，求n的值．18.2018年9月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达52亿元．某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：[0，2000]，(2000，4000]，(4000，6000]，(6000，8000]，(8000，10000]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图．（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X，求X的分布列和数学期望19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的一点．（1）证明：平面PAE⊥平面BCP．（2）若PA=AB=PB，二面角A-BD=F的余弦值为，求PD与平面BDF所成角的正弦值．20.设D是圆O：x2+y2=16上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ|=|ED|．当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）已知点P（2，3），过F（2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x=8于点M．判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．21.已知函数f（x）=x lnx．（1）若函数g（x）=，求g（x）的极值；（2）证明：f（x）+1＜e x-x2．（参考数据：ln2≈0.69，1n3≈1.10，e≈4.48，e2≈7.39）22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t为参数），C2：（m为参数）．（1）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线C1与C2的交点分别为A，B，O为坐标原点，求△OAB的面积的最小值．23.己知函数f(x)＝|ax-1|-|2x+a|的图象如图所示．（1）求a的值；（2）设，g(x)的最大值为t，若正数m，n满足m+n＝t，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由z1=-1-i，z1z=4，得z=，∴．则复数在复平面内对应点的坐标为（-2，-2）．故选：D．把z1=-1-i代入z1z=4，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：解：A={x|x＞0}，B={x|-3＜x＜1}；∴A∪B={x|x＞-3}；∴∁U（A∪B）={x|x≤-3}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行并集、补集的运算即可．考查描述法的定义，对数函数的定义域，以及并集、补集的运算．3.答案：A解析：解：由tanα=sin76°cos46°-cos76°sin46°=sin（76°-46°）=sin30°=，且α∈（-），∴α∈（0，），联立，解得sinα=．故选：A．由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式结合角的范围求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦，是基础题．4.答案：C解析：解：f（-x）==-f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x＞0时，f（x）＞0恒成立，排除A，D故选：C．判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键．5.答案：A解析：【分析】本题考查异面直线所成的角，属于基础题．由题意平移AA1，则异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角，在△EFG中可求．【解答】解：取A1B1中点G，连接EG，FG，由可得四边形AEGA1为平行四边形，则EG∥AA1，因为AA1平面，则EG平面,又FG平面，所以，所以异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角，由题意可得，，所以.故选：A．6.答案：B解析：【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，进一步求得半径得答案．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．【解答】解：化圆C：x2+y2-2x-4y+5-r2=0（r＞0）为（x-1）2+（y-2）2=r2，可得圆心坐标为（1，2），半径为r，由圆心（1，2）到直线l：3x-4y-15=0的距离d=，且|AB|=6，得r2=32+42=25．∴圆C的标准方程为（x-1）2+（y-2）2=25．故选：B．7.答案：D解析：解：100米仰泳比赛的成绩是时间越短成绩越好，方差越小发挥水平越稳定，故应选丁选手参加全省的比赛．故选：D．100米仰泳比赛的成绩是时间越短成绩越好，方差越小发挥水平越稳定．本题考查比赛选手的选择，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：C解析：【分析】本题重点考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．由题意可求T，利用周期公式可求ω，将点P（，1）代入，得：sin（3× +φ）=1，解得φ=kπ+ ，k∈Z，结合范围|φ|＜，可求φ的值，即可计算得解．【解答】解：∵函数过点P（，1），Q（，-1），∴由题意，得T=-，∴T==，∴ω=3，∴f（x）=sin（3x+φ），∴将点P（，1）代入，得：sin（3×+φ）=1，∴3×+φ=kπ+，k∈Z，解得：φ=kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=，∴ωφ=3×=．故选：C．9.答案：B解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力，属于中档题．由正弦定理化简已知等式可得：b2+c2-a2=bc，根据余弦定理可求cos A=，结合范围A∈（0，π），可求A，由余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵（sin B+sin C）2-sin2（B+C）=3sin B sin C，∴sin2B+sin2C+2sin B sin C-sin2A=3sin B sin C，可得：sin2B+sin2C-sin2A=sin B sin C，∴由正弦定理可得：b2+c2-a2=bc，∴cos A===，∵A∈（0，π），∴A=，∵a=2，∴由余弦定理可得：4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c时等号成立，∴S△ABC=bc sin A≤=．故选：B．10.答案：D解析：解：根据题意，设g（x）=xf（x），又由f（x）为奇函数，则g（-x）=（-x）f（-x）=xf（x）=g（x），则g（x）为偶函数，当x＜0时，，则当x＜-1时，f（x）＜0，当-1＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜0时，xf（x）≥0⇔f（x）≤0⇒x≤-1；当x=0时，xf（x）=0，符合题意；当x＞0时，g（x）=xf（x）为偶函数，xf（x）≥0的解集为x≥1，则xf（x）≥0的解集为（-∞，-1]∪{0}∪[1，+∞）；故选：D．根据题意，设g（x）=xf（x），分析易得g（x）为偶函数，结合函数的解析式分析f（x）＜0的解集，即可得x＜0时，xf（x）≥0的解集，讨论x=0以及x＞0时不等式的解集，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数不等式的解法，属于基础题．11.答案：B解析：解：如下图所示，设两圆的圆心为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，中点为E，因为圆心到这两个平面的距离相等，则OO1EO2为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为r，，，又|OE|2+|AE|2=|OA|2，即32-2r2+2=16，则r2=9，r=3，所以，这两个圆的半径之和为6，故选：B．根据题意得知两圆半径相等，并设两圆半径为r，利用勾股定理计算出OE、AE的长度，然后利用勾股定理列关于r的方程，可求出r的值，即可得出答案．本题考查与球的半径相关的计算，解决本题的关键在于一些几何关系的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题．12.答案：A解析：解：•取==PO2-c2．∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴1+=4，即b=a．当PO⊥MN时，PO最小，当P与N重合时PO最大．当PO⊥MN时，由，可得，则=，故选：A．由•==PO2-c2．可得当PO⊥MN时，PO最小，当P与N重合时PO最大．求得面积S1，S2，即可．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积公式的运用，注意运用定义法解题，以及离心率公式，考查运算能力，属于中档题．13.答案：解析：解：如图所示，=+，=，=．∴=+．又=+，则λ=，μ=1．则λ+μ=．故答案为：．利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出．本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：-22解析：解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z=4x-3y过点A时取得最小值，由，解得A（-4，2），代入计算z=4×（-4）-3×2=-22，所以z=4x-3y的最小值为-22．故答案为：-22．画出约束条件表示的平面区域，利用图形找出最优解，代入目标函数求出最小值．本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．15.答案：解析：解：由y=x+的图象关于（0，0）对称，y=f（x）的图象可由y=x+平移可得．函数f（x）=+x+a-1的图象是以点（-1，-1）为中心的中心对称图形，可得a-2=-1，即a=1，则f（x）=+x，f′（x）=1-，可得f（x）在x=1处的切线斜率为，g（x）=e bx+x2+bx的导数为g′（x）=be bx+2x+b，可得g（x）在x=0处的切线斜率为2b，由题意可得2b•=-1，可得b=-则a+b=1-=．故答案为：．由y=x+的图象关于（0，0）对称，y=f（x）的图象可由y=x+平移可得．由题意可得a-2=-1，可得a，分别求得f（x），g（x）的导数，可得切线斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得b，进而得到所求和．本题考查函数的对称性和导数的运用：求切线斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：用0与1两个数字随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，则有：25=32个不同的染色方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子，总1的个数不少于0的个数，包含的基本事件有：全填1，有1种方法，第一个格子填1，另外四个格子中有1个格填1，剩余的都填0，有4种方法，第一个格子填1，另外四个格子中有2个格填0，剩余的都填1，有5种方法，∴出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件有：1+4+5=10种，∴从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数的概率为：p==．故答案为：．用用0与1两个数字随机填入表格中5个格子，每个格子都有2种填法，由此利用乘法原理能求出不同的染色方法种数，再利用分类讨论方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件个数，由此能求出不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.答案：解：（1）设数列{a n}为公差为d的等差数列，a7-a2=10，即5d=10，即d=2，a1，a6，a21依次成等比数列，可得a62=a1a21，即（a1+10）2=a1（a1+40），解得a1=5，则a n=5+2（n-1）=2n+3；（2）b n===（-），即有前n项和为S n=（-+-+…+-）=（-）=，由S n=，可得5n=4n+10，解得n=10．解析：（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得b n===（-），运用裂项相消求和可得S n，解方程可得n．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．18.答案：解：（1）记每个农户的平均损失为元，则=（1000×0.00015+3000×0.00025+5000×0.00008+7000×0.00001+9000×0.00001）×2000=2920；（2）由频率分布直方图，可得损失超过4000元的农户共有（0.00008+0.00001+0.00001）×2000×50=10（户），损失超过8000元的农户共有0.00001×2000×50=1（户），随机抽取2户，则X的可能取值为0，1；计算P（X=0）=，P（X=1）=，所以X的分布列为:X01P数学期望为E（X）=0×+1×=．解析：本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题．（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失多少元；（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．19.答案：证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PB=PC，E为线段BC的中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，∵AE∩PE=E，∴BC⊥平面PAE，∵BC⊂平面BCP，∴平面PAE⊥平面BCP．解：（2）∵BC⊥平面PAE，BC∥AD，∴PA⊥AD，∵PA=AB=PB，∴PA2+AB2=PB2，∴PA⊥AB，∵AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，以A为原点，AE，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PA=AB=PB=，AF=t，则B（，-，0），D（0，，0），F（0，0，t），=（-，，0），=（-，，t），设平面BDF的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，），平面ABD的法向量=（0，0，1），∵二面角A-BD=F的余弦值为，∴|cos＜＞|==，解得t=，∴F（0，0，），P（0，0，），=（0，，-），平面BDF的法向量=（，1，），设PD与平面BDF所成角的平面角为θ，则PD与平面BDF所成角的正弦值：sinθ===．解析：（1）推导出AE⊥BC，PE⊥BC，从而BC⊥平面PAE，由此能求出平面PAE⊥平面BCP．（2）推导出PA⊥AD，PA⊥AB，从而PA⊥平面ABCD，以A为原点，AE，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PD与平面BDF所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.答案：解：（1）设Q（x，y），D（x0，y0），∵2|EQ|=|ED|，Q在直线m上，∴x0=x，|y0|=|y|．①∵点D在圆x2+y2=16上运动，∴x02+y02=16，将①式代入②式即得曲线C的方程为x2+y2=16，即+=1，（2）直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，证明如下：由（1）知椭圆C：3x2+4y2=48，直线l的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程并整理，得（3+4k2）x2-16k2x+16k2-48=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，则有x1+x2=，x1x2=，可知M的坐标为（8，6k）．∴k1+k3=+=+=2k-3•=2k-3•=2k-1，2k2=2•=2k-1．∴k1+k3=2k2．故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．解析：（1）由题意设Q（x，y），D（x0，y0），根据2|EQ|=|ED|，Q在直线m上，则椭圆的方程即可得到；（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到k1+k3，并求得k2的值，由k1+k3=2k2说明直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，该题是中档题．21.答案：解：（1）∵g（x）=（x＞0），故g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e2，令g′（x）＜0，解得：x＞e2，故g（x）在（0，e2）递增，在（e2，+∞）递减，故g（x）极大值=g（e2）=；（2）证明：要证f（x）+1＜e x-x2．即证e x-x2-x lnx-1＞0，先证明ln x≤x-1，取h（x）=ln x-x+1，则h′（x）=，易知h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故h（x）≤h（1）=0，即ln x≤x-1，当且仅当x=1时取“=”，故x lnx≤x（x-1），e x-x2-x lnx≥e x-2x2+x-1，故只需证明当x＞0时，e x-2x2+x-1＞0恒成立，令k（x）=e x-2x2+x-1，（x≥0），则k′（x）=e x-4x+1，令F（x）=k′（x），则F′（x）=e x-4，令F′（x）=0，解得：x=2ln2，∵F′（x）递增，故x∈（0，2ln2]时，F′（x）≤0，F（x）递减，即k′（x）递减，x∈（2ln2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，即k′（x）递增，且k′（2ln2）=5-8ln2＜0，k′（0）=2＞0，k′（2）=e2-8+1＞0，由零点存在定理，可知∃x1∈（0，2ln2），∃x2∈（2ln2，2），使得k′（x1）=k′（x2）=0，故0＜x＜x1或x＞x2时，k′（x）＞0，k（x）递增，当x1＜x＜x2时，k′（x）＜0，k（x）递减，故k（x）的最小值是k（0）=0或k（x2），由k′（x2）=0，得=4x2-1，k（x2）=-2+x2-1=-（x2-2）（2x2-1），∵x2∈（2ln2，2），∴k（x2）＞0，故x＞0时，k（x）＞0，原不等式成立．解析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为证e x-x2-x lnx-1＞0，根据x lnx≤x（x-1），问题转化为只需证明当x＞0时，e x-2x2+x-1＞0恒成立，令k（x）=e x-2x2+x-1，（x≥0），根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．22.答案：解：（1）由C1：（t为参数）消去t得C1：cosθ y=sin θ（x-2），由C2：（m为参数）消去m得C2：y2=4x，（2）如图：联立消去x得y2sinθ-4y co sθ-8sinθ=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=-8，又C1与x轴的交点F（1，0）∴S△OAB=S△AOF+S△BOF=|OF||y1|+|OF||y2|=|OF|（|y1|+|y2|）=×|y1-y2|===2，所以sinθ=1时S OAB取得最小值2．解析：（1）由C1：（t为参数）消去t得C1：cosθ y=sinθ（x-2），由C2：（m为参数）消去m得C2：y2=4x，（2）联立消去x得y2sinθ-4y c osθ-8sinθ=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得y1+y2=，y1y2=-8，再利用S△OAB=S△AOF+S△BOF=|OF||y1|+|OF||y2|=|OF|（|y1|+|y2|）可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.答案：解：（1）将（-1，3）代入函数的解析式得：3=|-a-1|-|-2+a|，解得：a=2；（2）由（1）f（x）=|2x-1|-|2x+2|，故g（x）=|2x-3|-|2x+3|≤|2x-3-2x-3|=6，故t=6，故m+n=6，故+=（+）（+）=+++≥+2=，当且仅当2n=3m时“=”成立．解析：（1）代入点的坐标，求出a的值即可；（2）求出g（x）的解析式，求出t的值，根据基本不等式的性质证明即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题．。
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(文科) (含答案解析)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5，6，7，8}，集合A ={1,3，5，6}，B ={2,5，7}，∁U A ∩B =( )A. {2}B. {7}C. {2,7}D. {2,5，7}2. 若z (1−i )=2i ，则z =( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=−2，a 8=6，则S 9=( )A. 9B. 18C. 27D. 364. 已知不等式m −1<x <m +1成立的充分条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(43,+∞) B. (−∞,−12)∪[43,+∞) C. (−12,43)D. [−12,43]5. 用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为( )A. 9√3πB. 18πC. 6πD. 3√3π6. 2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为( )A. 13B. 23C. 14D. 347. 已知函数f(x)=x 3+2x 2f′(1)+2所表示的曲线在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α+cosα⋅sinα的值为( )A. 2017B. 917C. 316D. 21198. 已知函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−6,6)∪(254,+∞) B. (254,+∞)C. (−∞,−254)∪(−6,6) D. (−254,+∞)9.等比数列{a n}的各项均为正数，且a5=a4+2a3，若存在两项a m，a n使得√a m a n=4a1，则1m +4n的最小值是()A. 32B. 83C. 52D. 910.已知四面体P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=√3AB，若四面体P−ABC的体积为32，求球的表面积()A. 8πB. 12πC. 8√3πD. 12√3π11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，ΔABO的面积为2√3，则抛物线的焦点为()A. (12,0) B. (√22,0) C. (1,0) D. (√2,0)12.已知函数f(x)=ax−2a+1x(a>0)，若f(m2+1)+f(−m2+m−3)>0，则实数m的取值范围是()A. (2,+∞)B. (−∞,2)C. (−2,+∞)D. (−∞,−2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量a⃗=(3,m)，b⃗ =(−1,2)，若a⃗//b⃗ ，则实数m=______．14.编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，(i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；(ii)求这2人得分之和大于50的概率．15.已知函数f(x)=sin2xsinφ−cos2(x+π2)cosφ(0<φ<π)的图象过点(π3,12)，将其图象上各点向左平移π6个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则函数g(x)在[−π4,2π3]上的单调递增区间__________．16.F1,F2分别为椭圆x24+y2=1的左、右焦点，P为该椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，则ΔF1PF2的内切圆半径等于___________三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为了弘扬传统文化，某市举办了“高中生诗词大赛”，现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中m的值；(2)在所抽取的1000名学生中，用分层抽样的方法在成绩为[80,100]的学生中抽取了一个容量为5的样本，再从该样本中任意抽取2人，求2人的成绩均在区间[90,100]内的概率；(3)若该市有10000名高中生参赛，根据此次统计结果，试估算成绩在区间[90,100]内的人数．18. 如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且cosB =√108，cos∠ADC =−14． (1)求sin∠BAD 的值； (2)求AC 边的长．19. 已知抛物线C ：y 2=2x.过点(2,0)且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同两点A ，B ，且点B关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M ． (Ⅰ)求点M 的坐标；(Ⅱ)求△OAM 与△OAB 面积之和的最小值．20.如图，在四棱锥A−BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=√2．(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求棱锥C−ABD的体积．21.已知函数f(x)=x2−2alnx，其中a∈R.(1)当a=1时，求函数f(x)在[1,e]上的最值；e(2)讨论函数f(x)的单调性．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ>0,θ∈[0,2π)，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|⋅|OB|=8，点B的轨迹为C2．(1)求C1，C2的极坐标方程．)，求△ABC面积的最小值．(2)设点C的极坐标为(2,π223.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3【答案与解析】1.答案：C解析：解：∁U A={2,4，7，8}，则∁U A∩B={2,7}，故选：C．求出集合的补集，结合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据补集和交集的定义是解决本题的关键．比较基础．2.答案：B解析：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．利用复数的运算法则求解即可．解：由z(1−i)=2i，得z=2i1−i =2i(1+i)1−i1+i=i(1+i)=i−1．故选B．3.答案：B解析：解：由等差数列的性质可得：a1+a9=a2+a8=−2+6=4，∴S9=9(a1+a9)2=18，故选：B．等差数列的性质可得：a1+a9=a2+a8，再利用前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：D解析：由题意可知m −1≤13且12≤m +1，解得m ∈[−12,43].5.答案：A解析：本题考查了圆锥的体积，设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ，由题意得2πr =6π，解得r =3，进而可得ℎ=√62−32=3√3，从而得出结果． 解：设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ， 由题意得2πr =6π，解得r =3， ∴ℎ=√62−32=3√3，∴V 圆锥=13Sℎ=13×π×32×3√3=9√3π． 故选A ．6.答案：D解析：本题考查古典概型，属于基础题，利用古典概型概率计算公式直接求解即可． 解：厨房里产生的“湿垃圾”只能丢到放“湿垃圾”的垃圾桶，该上海居民向四种垃圾桶内随意的丢垃圾，有4种可能，投放错误有3种结果， 故会被罚款和行政处罚的概率为34． 故选D ．7.答案：A解析：本题考查导数的几何意义，同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于基础题．求出函数的导数，利用导函数，求出f′(1)的值，可得f′(x)=3x 2−4x ，求出tanα=4，然后利用同角三角函数的基本关系求解即可． 解：函数f(x)=x 3+2x 2f′(1)+2，可得f′(x)=3x 2+4xf′(1)，f′(1)=3+4f′(1)，可得f′(1)=−1， 则f′(x)=3x 2−4x ，则f′(2)=4.则tanα=4， sin 2α+cosα⋅sinα=sin 2α+cosα⋅sinαsin 2α+cos 2α=tan 2α+tanαtan 2α+1=2017．故选：A ．8.答案：C解析：本题主要考查根的存在性的应用，利用一元二次函数的图象和性质，以及数形结合是解决本题的关键．由f(x)=0，得m =3x −|x 2−4|，作出函数y =g(x)=3x −|x 2−4|图象，利用数形结合即可得到结论．解：由f(x)=0，得m =3x −|x 2−4|， 设g(x)=3x −|x 2−4|，当x ≥2或x ≤−2时，g(x)=3x −|x 2−4|， g(x)=3x −x 2+4=−(x −32)2+254，当−2<x <2时，g(x)=3x −|x 2−4|， g(x)=3x +x 2−4=(x +32)2−254，作出y =g(x)=3x −|x 2−4|图象如图：要使函数f(x)=|x2−4|−3x+m恰有两个不同的零点，则m<−254或−6<m<6，即m∈(−∞,−254)∪(−6,6)，故选：C9.答案：A解析：解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a5=a4+2a3，可得a3q2=a3q+2a3，∴q2−q−2=0，∴q=2．∵√a m a n=4a1，∴a m⋅a n=16a12∴a m⋅a n=a12⋅2m+n−2=16a12，∴2m+n−2=16，∴m+n=6，即16(m+n)=1，(m∈N∗,n∈N∗)，∴1m +4n=(1m+4n)×16(m+n)=16(1+4+nm+4mn)≥16(5+2√nm×4mn)=16×9=32(当且仅当nm=4mn，即n=2m时取等号，即m=2，n=4时取等号)故选：A由a5=a4+2a3求得q=2，代入√a m a n=4a1得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，根据等比数列的通项公式求出公比是解决本题的关键．属于中档题．10.答案：B解析：本题考查了球与几何体的组合体，球的表面积，解题关键是利用转化思想求出半径，属于中档题．由△ABC所在的圆是大圆，OA=OB=OC=OP=R，得四面体P−ABC的体积，求得R，即可求球的表面积．解：如下图所示，∵四面体P−ABC的外接球的球心O在AB上，PO⊥平面ABC，∴△ABC所在的圆是大圆，OA=OB=OC=OP=R(R为球半径)．∵四面体P−ABC的体积为V=13S△ABC×PO=32，又∵2AC=√3AB，∴AC=√3R，BC=R，∴R=√3，∴球的表面积s=4πR2=12π，故选B．11.答案：D解析：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．求出双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程与抛物线y2=2px(p>0)的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为√3，列出方程，由此方程求出p的值．解：∵双曲线双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，∴双曲线的渐近线方程是y=±bax又抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=−p2，故A，B两点的纵坐标分别是y=±bp2a，又由双曲线的离心率为2，所以ca =2，则ba=√3，A，B两点的纵坐标分别是y=±√3p2，又△AOB的面积为2√3，x轴是角AOB的角平分线，∴12×√3p×p2=2√3，得p=2√2．抛物线的焦点坐标为：(√2,0)故选D．12.答案：A解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题．根据题意求导分析出函数f(x)在定义域上单调递增，又函数为奇函数，进而将不等式转化为f(m2+ 1)>f(m2−m+3)，再由单调性得m2+1>m2−m+3，可得答案．解：∵f(−x)=−ax−2a+1−x=−f(x)，(x≠0)∴函数为奇函数，∴f(m2+1)+f(−m2+m−3)>0转化为f(m2+1)>f(m2−m+3)，∵a>0，∴f′(x)=a+2a+1x2>0在上恒成立，∴函数f(x)在定义域上单调递增．∵m2+1>0，且m2−m+3>0，∴m2+1>m2−m+3，解得m>2．故选A.13.答案：−6解析：解：∵平面向量a⃗=(3,m)，b⃗ =(−1,2)，a⃗//b⃗ ，∴−13=2m，解得实数m=−6．故答案为：−6．利用向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量平行等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解：(I)由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10,20)上的共4人，在区间[20,30)上的共6人，在区间[30,40]上的共6人，故答案为4，6，6；(II)(i)得分在区间[20,30)上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，计为(X,Y)，则所有可能的抽取结果有：(A3,A4)，(A3,A5)，(A3,A10)，(A3,A11)，(A3,A13)，(A4,A5)，(A4,A10)，(A4,A11)，(A4,A13)，(A5,A10)，(A5,A11)，(A5,A13)，(A10,A11)，(A10,A13)，(A11,A13)共15种．(ii)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：(A4,A5)，(A4,A10)，(A4,A11)，(A5,A10)，(A10,A11)共5种故这2人得分之和大于50分的概率P=515=13．解析：(I)根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．(II)(i)根据(I)的结论，我们易列出在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；(ii)列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．15.答案：[−π4,0]和[π2,2π3]解析：因为f(x)=sin2xsinφ−cos2(x+π2)cosφ=sin2xsinφ+cos2xcosφ=cos(2x−φ)，又函数图象过点(π3,12)，所以cos(2π3−φ)=12,又0<φ<π，所以φ=π3.将函数y=f(x)图象上各点向左平移π6个单位长度后，得到函数y=g(x)的图象，可知g(x)=cos2x.因为x∈[−π4,2π3]，所以2x∈[−π2,4π3]，由−π2≤2x≤0和π≤2x≤4π3，知函数g(x)在[−π4,2π3]上的单调递增区间为[−π4,0]和[π2,2π3]．16.答案：2√3−33解析：解：由题意，F1，F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点，|F1P|+|PF2|=4，|F1F2|=2√3；则由余弦定理得，|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|2−2|F1P||PF2|cos60°；故12=(|F1P|+|PF2|)2−2|F1P||PF2|cos60°−2|F1P||PF2|；故12=16−3|F1P||PF2|；故|F1P||PF2|=43；故△PF1F2的面积S=12|F1P||PF2|⋅sin60°=√33；△F1PF2的内切圆半径设为r，可得S=12r(|F1P|+|PF2|+|F1F2|)=12(4+2√3)r=√33，解得r=2√3−33，故答案为：2√3−33．运用椭圆的定义和三角形的余弦定理和面积公式，结合等积法，计算可得所求值．本题考查了椭圆的定义以及椭圆的简单性质的应用，余弦定理的应用，三角形的面积的求法，属于中档题．17.答案：(本小题满分12分)解：(1)依题意可知组距为10，由(0.025+0.05+m+0.01)×10=1，解得m=0.015.…………………………(3分)(2)抽取了一个容量为5的样本，成绩在区间[80,90)的人数为：5×0.150.15+0.1=3人，记3人为a，b，c．成绩在区间[90,100]的人数为：5×0.10.15+0.1=2人，记2人为d、e.……(5分)任取2人的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共计10个．其中2人的成绩均在区间[90,100]内的基本事件为：de，共计1个…………………………(7分)所以2人的成绩均在区间[90,100]内的概率为：p=110.……………………………(9分)(3)由频率分布直方图得成绩在[90,100]的频率为0.01×10=0.1，即估计成绩在区间[90,100]的人数为10000×0.1=1000人．…………………………(12分)解析：(1)利用频率分布直方图的性质能求出m的值．(2)抽取一个容量为5的样本，成绩在区间[80,90)的人数为3人，记3人为a，b，c.成绩在区间[90,100]的人数为2人，记2人为d、e，任取2人，利用列举法能求出2人的成绩均在区间[90,100]内的概率．(3)由频率分布直方图得成绩在[90,100]的频率为0.1，由此能估计成绩在区间[90,100]的人数．本题考查实数值的求法，考查概率、频数的求法，考查频率分布直方图的性质，列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：(1)因为cosB=√108，且B∈(0,π)，所以sinB=√1−cos2B=3√68，又cos∠ADC=−14，且∠ADC∈(0,π)，所以sin∠ADC=√154，所以sin∠BAD=sin(∠ADC−∠B)=sin∠ADCcosB−cos∠ADCsinB=√154×√108−(−14)×3√68=√64．(2)在△ABD中，由ADsinB =BDsin∠BAD得3√68=√64，解得BD=2．故DC=2，从而在△ADC中，由AC2=AD2+DC2−2AD·DC·cos∠ADC=32+22−2×3×2×(−14)=16，得AC=4．解析：本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．(1)由同角的三角函数的关系和两角差的正弦公式即可求出；(2)由正弦定理和余弦定理即可求出．19.答案：解：(Ⅰ)设过点(2,0)的直线l：x=my+2，代入抛物线方程，整理得y2−2my−4=0，设l与C的交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x2,−y2)，且令y1>0，则y1+y2=2m，y1y2=−4，△=4m2+16>0，∴直线AD的方程为y−y1=y1+y2x1−x2(x−x1)，即y−y1=y1+y2m(y1−y2)(x−x1)，∴y−y1=2y1−y2(x−12y12)，令y=0，得(y1−y2)⋅(−y1)=2x−y12，∴2x=(y1−y2)⋅(−y1)+y12=y1y2=−4，则x=−2，∴M(−2,0)，(Ⅱ)S△OAM=12×2×y1，S△OAB=12×2×y1+12×2×|y2|，则S△OAM+S△OAB=y1+y1+|y2|=2y1+|y2|=2y1+|−4y1|=2y1+4y1≥2√2y1⋅4y1=4√2，当且仅当2y1=4y1，即y1=√2时等号成立，故△OAM与△OAB面积之和的最小值4√2．解析：本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了韦达定理，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．(Ⅰ)设设l与C的交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x2,−y2)，且令y1>0，过点(2,0)的直线l：x=my+2，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理可得y1+y2=2m，y1y2=−4，即可求出直线AD的方程，令y=0，求出x的值，即可得到M的坐标；(Ⅱ)把S△OAM+S△OAB化简整理为2y1+4y1，利用基本不等式求最值．20.答案：解：(1)在直角梯形BCDE中，∵DE=BE=1，CD=2，∴BC=√(2−1)2+12=√2，又AB=2，AC=√2，∴AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，AC⊂平面ABC，∴AC ⊥平面BCDE ，又DE ⊂平面BCDE ， ∴AC ⊥DE ，又DE ⊥DC ，AC ∩CD =C ， ∴DE ⊥平面ACD ．(2)V C−ABD =V A−BCD =13S △BCD ⋅AC =13×12×2×1×√2=√23．解析：(1)利用梯形的性质求出BC ，利用勾股定理得出AC ⊥BC ，于是AC ⊥平面BCDE ，得出AC ⊥DE ，又DE ⊥CD 得出DE ⊥平面BCDE ； (2)V C−ABD =V A−BCD =13S △BCD ⋅AC ．本题考查了线面垂直的判定定理，棱锥的体积计算，属于中档题．21.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=x 2−2lnx ，x ∈[1e ,e]，f′(x)=2x −2x=2x 2−2x=2(x 2−1)x，当x ∈[1e ,1]时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈[1,e]时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)的最小值f(1)=1． f(e)=e 2−2>f(1e )=1e 2+2，∴f(x)的最大值为f(e)=e 2−2． (2)f′(x)=2x −2a x=2(x 2−a)x(x >0)，当a ≤0时，f′(x)≥0恒成立， ∴f(x)在(0,+∞)单调递增， 当a >0时，令f′(x)=0得x =√a ， 故x ∈(0,√a)时f′(x)<0， f(x)在(0,√a)单调递减， x ∈(√a,+∞)时，f′(x)>0， f(x)在(√a,+∞)单调递增．解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． (1)当a =1时，求出f(x)的单调性，进而得到最值；(2)求导，对a 分类讨论，根据导数的正负，确定函数的单调性．22.答案：解：(1)∵曲线C 1的参数方程为为参数)，∴曲线C 1的普通方程为x 2+y 2−2x =0， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cosθ，设点B 的极坐标为(ρ,θ)，点A 的极坐标为(ρ0,θ0)， 则|OB|=ρ，|OA|=ρ0，ρ0=2cosθ0，θ=θ0， ∵|OA|⋅|OB|=8，∴ρ⋅ρ0=8， ∴8ρ=2cosθ，ρcosθ=4，∴C 2的极坐标方程为ρcosθ=4． (2)由题设知|OC|=2，S △ABC =S △OBC −S △OAC =12|OC|⋅|ρB cosθ−ρA cosθ|=|4−2cos 2θ|，当θ=0时，S △ABC 取得最小值为2．解析：(1)由曲线C 1的参数方程能求出曲线C 1的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程；设点B 的极坐标为(ρ,θ)，点A 的极坐标为(ρ0,θ0)，则|OB|=ρ，|OA|=ρ0，ρ0=2cosθ0，θ=θ0，从而ρ⋅ρ0=8，由此能求出C 2的极坐标方程．(2)由|OC|=2，S △ABC =S △OBC −S △OAC =12|OC|⋅|ρB cosθ−ρA cosθ|=|4−2cos 2θ|，由此能求出S △ABC 的最小值．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)≥2即|x|+|x +1|≥2，可得{x ≥0x +x +1≥2或{−1<x <0−x +x +1≥2或{x <−1−x −x −1≥2，解得x ≥12或x ∈⌀或x ≤−32，则原不等式的解集为{x|x ≥12或x ≤−32}；(Ⅱ)证明：f(x)=|x|+|x +1|≥|x −x −1|=1， 当且仅当x(x +1)≤0，即−1≤x ≤0时，上式取得等号， 可得函数f(x)的最小值为1，则a+b+c=1，且a，b，c∈R+，由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)，取得等号，可得3(ab+bc+ca)≤1，当且仅当a=b=c=13．即ab+bc+ac≤13解析：(Ⅰ)由绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值m，再由三个数的完全平方公式和基本不等式，结合不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
2020年东北三省三校一模 文科数学 试题卷+参考答案
一模文数参考答案一、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D A A A C D C B D A二、填空题13.3π 14.),1(2e 15.992− 16.),1[+∞三、解答题17.（本小题满分12分）（I ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得2cos sin sin 0B C C +=，……3分 因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =−．因为0B π<<，所以23B π=． ……6分 （II ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=uuu r uuu r uuu r ，所以22()(2)BA BC BD +=uuu r uuu r uuu r ，又23B π=，所以1222=−+ac c a 因为2a =，解方程0822=−−c c ，得4c =． ……………………12分18. （本小题满分12分）（1）设B A 1中点为M ，连M C EM 1,1BAA ∆中M 是B A 1中点，E 是AB 的中点，则1//AA EM 且121AA EM =， 棱柱中侧棱11//AA CC ，且D 是1CC 的中点，则11//AA DC 且1121AA DC =， 所以1//DC EM ，1DC EM =，所以M C DE 1//，又⊄ED 平面11BA C 且⊂1MC 平面11BA C ，所以//DE 平面11BA C …… …… ……4分（2）F 在线段1CC 上，且12FC CF =，棱柱中311==BB CC ，所以2=CF侧面11A ABB 中AB B A //11，且⊂AB 平面ABF ，⊄11B A 平面ABF ，所以//11B A 平面ABF ，11,B A 到平面ABF 的距离相等. …… …… …… …… …… ………… …… ……6分 在平面11B BCC 中作⊥H B 1直线BF 于H ①⊥1BB 平面ABC 得⊥1BB AB ，又BC AB ⊥，所以⊥AB 平面11B BCC ，因为⊂H B 1平面11B BCC ， 所以⊥AB H B 1②，又①②及B BF AB =I ，得⊥H B 1平面ABF ，故线段H B 1长为点11,B A 到平面ABF 的距离. …… …… …… …… …… ………… …… …10分BCF Rt ∆中2,1==CF BC ，2π=∠C ，得5=BF H B BF BC BB S FBB 1121211⋅=⋅=∆，得5531=H B …… …… …… …… …… ………… …12分 19. （本小题满分12分）（1）由题意可得列联表：能完成 不能完成 合计 40岁以上45 10 55 40岁以下30 15 45 合计 75 25 100……2分22100(45151030)100 3.0305545752533K ××−×==≈××× 由附表知：100.0)706.2(2=>K P ，且706.2030.3>，所以有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关” ………… …… …… …… …… ………… 6分（II ）40岁以上人数为55，,40岁以下为45，比例为11:9，抽取的20人中，40岁以下为9人， 其中有6人是认为可以完成的，记为a,b,c,d,e,f ，3人认为不能完成,记为A,B,C ，从这9人中抽取2人共有：（a,b ），（a,c ），（a,d ），（a,e ），（a,f ），（a,A ），（a,B ），（a,C ），（b,c ），（b,d ），（b,e ），（b,f ），（b,A ），（b,B ），（b,C ），（c,d ），（c,e ），（c,f ），（c,A ），（c,B ），（c,C ），（d,e ），（d,f ），（d,A ），（d,B ），（d,C ）（e,f ），（e,A ），（e,B ），（e,C ）（f,A ），（f,B ），（f,C ）（A,B ），（A,C ）（B,C ）36个基本事件 …… ………… 8分设事件M ：从20人中抽取2位40 岁以下的,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”.事件M 共包括：（a,A ），（a,B ），（a,C ），（b,A ），（b,B ），（b,C ），（c,A ），（c,B ），（c,C ），（d,A ），（d,B ），（d,C ）（e,A ），（e,B ），（e,C ），（f,A ），（f,B ），（f,C ）18个基本事件， …… ………… 10分213618)(==M P 所以从20人中抽取2位40 岁以下的作深度调查,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”的概率为21. …… ………… 12分。
2020年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(二)理科数学试卷含答案
学校号姓名2020年东北三省四市教研收合体高芍模拟试卷（二）数学（理科）2020A第I卷（选择题共6。
分）*玫* AIK.*议州夫后•将各K卡1. 3题曹・夕生光将白已的姓名,,女寿诞号码母耳清欠.料杀力马准♦格NA才生信息/附码格RL1.2.逸小题必“使用泳♦小逸新■必场使用0.5击泉累包字填的筌字E书笃•字体工整.E遵法",3.诂林只黑手・小在3题卡'MH的工愚区域力件8,缎出8髓区域由月的8金力效I也单口限,次卷上△题七败.4•你网可无使用馅里/出•*之於必Ml用又包字边的等字里如又・5.保朴卡面清泊.不要折叠•不要异或、异被・K准使M除改我,修正，•制徽刀,一、选择题：本题共12小题，级小题§分,共6。
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的©1.已知火；；A=<iGZI”• 1 .B=<x|- ； / J .WJ.An«=A. .r I — 2Cx<2：B. .r|-4 V*&2C. {-2. — 1 •□• 1 .2}D. { —2t — 1 •©•I2.已知复数z5+八（1 -2i）SWR）的实部为3.真中，为总数仇位•则复数/的虚部为A.一1B. —iC. 1 I）, i3.已知以曲线1： <一<=】•则此双曲线的焦点到冗渐近线的距离为 M WA.2B.V2C. 1D.yI.凤而桥是侗族最儿特色的建筑之一.凤南桥由桥.塔・亭组成•冗亭、塔平而图通常是正方 a正T”ihi匕卜图是凤潮柳亭.塔u的正射影•共止六边旧的边K计算方法如 F：A|B1-AoU>-ft>B|eA：B：=AB|-B|B：M J B3-A J B J-B:B3e- •人比=4」B.•其中B B.… B t B BiB /；/；・心、.■■每层边长间的规律.― 婶通过推第,可初步估计需要多少材机所用材料中•横向梁所用木料与正六边形的冏长有关.某一风雨桥亭、塔共5乩若4 H =8皿.”“他=0・5皿・则这五尺正六边形的周长总和为A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m5.对于直线，…和平面a・代丁•有如下四个命题：（1）若m Xa•m//p.则 aj./9i （2）若〃，〃・〃U小则 a ，（3）若。
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(文科)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4，5，6，7}，集合{2A =，3，5，7}，{1B =，2，4，6}，则()(U A B =⋂ð )A ．{2，5，7}B ．{3，5，7}C ．{3}D ．{5，7}2．（5分）已知2(1)1i i z +=-，则复数(z = )A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．（5分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若150S =，则8(a = ) A ．1-B ．0C ．1D ．24．（5分）设x 是实数，“0x < “是11x< “的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件5．（5分）《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算器体积2136V L h ≈的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式23112V L h ≈相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为( ) A ．227B ．15750C ．289D ．3371156．（5分）哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理．将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a ，b ，c ；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为A ，B ，C ．为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500kg 生活垃圾．数据统计如表．则估计生活垃圾投放错误的概率为( )c155030A．2350B．14C．950D．3107．（5分）已知曲线3211()532f x x x=+-在点(1，f（1）)处的切线的倾斜角为α，则2cos2(sin2cosααα=+)A．13B．35-C．2D．858．（5分）已知函数232,0(),0x xf xlog x x+⎧=⎨>⎩…若函数|()|y f x m=-的零点恰有4个，则实数m的取值范围是()A．3(10，3]2B．(0，2]C．(0，2]3D．3(1,)29．（5分）设等比数列{}na满足211047()220a a a a+=+，则56a a的最大值为()A．5B．4C．10D．510．（5分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O．剪去AOB∆，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA，OB重合，则以A（B）C，D，O为顶点的四面体的外接球的体积为()A．6πB．24πC6πD．48π11．（5分）已知双曲线22122:1(0,0)x yC a ba b-=>>5，抛物线22:2(0)C y px p=>的准线经过1C的左焦点．若抛物线2C的焦点到1C的渐近线的距离为2，则2C的标准方程为()A．222y x=B．24y x=C．220y x=D．25y x=12．（5分）已知函数211()1||xf x ex+=-+，则使(2)(1)f x f x>+成立的x的取值范围是( )A．(-∞，1)(13-⋃，)+∞B．(1,)-+∞C ．(-∞，11)(3-⋃，)+∞D ．1(3，1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）设向量(2,2)a =r ，(,1)b m =-r ，若a r与b r 共线，则m = ．14．（5分）一个样本的容量为70，分成五组．已知第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组、第五组的频率都为15，则该样本第四组的频率为 ．15．（5分）若函数()sin 23cos 2f x x x =-的图象向左平移8π个单位得到函数()g x 的图象．则()g x 在区间3[,]88ππ-上的最小值为 ．16．（5分）已知椭圆22:162x y C +=的左右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF ∆的内切圆方程是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数．如图茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）: 若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．（Ⅰ）从这20人中成绩为“优秀”的员工中任取2人，求恰有1人的分数为96的概率； （Ⅱ）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．组别 分组 频数 频率 频率组距 1 [60，70) 2 [70，80) 3 [80，90) 4[90，100)18．（12分）在ABC ∆中，M 是BC 边上一点，545,cos BAM AMC ∠=︒∠=． （1）求sin B ；（2）若1,42MC BM AC ==u u u u r u u u u r，求MC ．19．（12分）点(1P ，)(0)t t >是抛物线2:4C y x =上一点，F 为C 的焦点． （Ⅰ）若直线OP 与抛物线的准线l 交于点Q ，求QFP ∆的面积；（Ⅱ）过点P 作两条倾斜角互补的直线分别与C 交于M ，N 两点．证明：直线MN 的斜率是定值．20．（12分）如图，在直角AOB ∆中，2OA OB ==．AOC ∆通过AOB ∆以直线OA 为轴顺时针旋转120︒得到(120)BOC ∠=︒．点M 为线段BC 上一点，且43MB =． （Ⅰ）证明：MO ⊥平面AOB ；（Ⅱ）若D 是线段AB 的中点，求四棱锥O ACMD -的体积．。
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(理科)(有答案解析)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集2，3，4，5，6，，集合3，5，，2，4，，则A. 5，B. 5，C.D.2.已知复数，则z的虚部为A. B. C. D.3.2019年某国迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示以十位数字为径，个位数字为叶若甲队得分的中位数是86，乙对得分的平均数是88，则A. 170B. 10C. 172D. 124.的展开式中的系数为A. 5B. 10C. 20D. 305.算数书竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为A. B. C. D.6.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列，则A. 56B. 72C. 88D. 407.下列说法正确的是A. 命题“，”的否定形式是“，”B. 若平面，，满足，则C. 随机变量服从正态分布，若，则D. 设x是实数，“”是“”的充分不必要条件8.已知双曲线的右焦点与圆M：的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为A. 2B.C.D. 39.已知是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点，则的最大值为A. 3B. 2C.D.10.从集合1，2，3，中随机选取一个数记为m，从集合2，3，中随机选取一个数记为n，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为A. B. C. D.11.已知函数，若关于x的方程有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.已知定义在上的函数满足，且当时，设在上的最大值为，且数列的前n项和为若对于任意正整数n不等式恒成立，则实数k的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若曲线其中常数在点处的切线的斜率为1，则______．14.若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象．则在区间上的最小值为______．15.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于剪去，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为______．16.已知椭圆的左右焦点分别为，，如图AB是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，M是BC边上一点，．求sin B；若，求MC．18.某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数，以下茎叶图记录了他们的考试分数以十位数字为茎，个位数字为叶：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，根据频率分布直方图解决下组别分组频数频率频率组距1234估计所有员工的平均分数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．分数19.已知函数C：的焦点为F，过C上一点作两条倾斜角互补的直线分别C交于M，N两点．证明：直线MN的斜率是；若，，成等比数列，求直线MN的方程．20.如图，在直角中，，通过以直线OA为轴顺时针旋转得到，点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且．证明：平面AOB；当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角的正弦值．21.已知函数是的导数．当时，令，为的导数，证明：在区间存在唯一的极小值点；已知函数在上单调递减，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数点在曲线C上，点满足．Ⅰ以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；Ⅱ点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．23.已知关于x的不等式有解．求实数m的最大值t；若a，b，c均为正实数，且满足证明-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：2，3，4，5，6，，3，5，，2，4，，5，，5，．故选：B．进行补集和交集的运算即可．本题考查了列举法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：，的虚部为．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：由茎叶图知，若甲队得分的中位数是86，则；乙队得分的平均数是，解得；所以．故选：D．由茎叶图中的数据，求出甲队得分的中位数和乙队得分的平均数，再计算的值．本题考查了利用茎叶图求中位数和平均数的问题，是基础题．4.答案：C解析：解：的展开式的通项为．取，得，取，得的展开式中的系数为．故选：C．写出二项式的通项，分别求出含的项与含x的项，再由多项式乘多项式求解．本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．5.答案：C解析：解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，，，，即．即的近似值为．故选：C．设圆锥底面圆的半径r，高h，写出底面周长L，写出圆锥体积，代入近似公式即可求出的近似值．本题考查的近似值的计算，考查计算能力，是基础题．6.答案：B解析：解：公差d不为0的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列，可得，即有，解得舍去，则，故选：B．设公差为d，且d不为0，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差d，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.答案：D解析：解：在A中，由特称命题的否定可知：命题“，”的否定形式是“，”，故A错误；在B中，若平面，，满足，，则与相交或平行，如右图的正方体中，平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面；平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面．故B错误；在C中，随机变量服从正态分布，正态曲线关于对称，，，，，故C错误；在D中，设x是实数，则“”“”，“”“或”，“”是“”的充分不必要条件，故D正确．故选：D．在A中，由特称命题的否定可知：命题“，”的否定形式是“，”；在B中，与相交或平行；在C中，；在D中，设x是实数，则“”“”，“”“或”．本题考查命题真假的判断与应用，考查全称命题、特称命题、平面的位置关系、正态分布、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.答案：A解析：解：双曲线的右焦点与圆M：的圆心重合，，圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则圆心到渐近线距离又，则双曲线的离心率为．故选：A．依题意可得，求得a，即可得则双曲线的离心率．本题考查了双曲线的性质、离心率，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．9.答案：C解析：解：设，则，，的最大值为，故选：C．设，则由任意角的三角函数的定义可得，故，再利用两角和与差的三角函数公式及辅助角公式化简即可求得的最大值．本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了两角和与差的三角函数，是中档题．10.答案：A解析：解：若方程表示双曲线，则，共有种情况．若方程表示焦点在y轴上的双曲线则，共有种情况．则概率为．故选：A．求得方程表示双曲线共有种情况．方程表示焦点在y 轴上的双曲线共有种情况．利用条件概率公式即可求解．本题考查了双曲线的标准方程、条件概率的计算，属于中档题．11.答案：B解析：解：令，则，作的图象如下，设的零点为，，由图可知，要满足题意，则需在有两不等实根或者其中一根为4，另一根在内，故或，解得或．即实数a的取值范围是：故选：B．令，则，作的图象，观察图象可知，函数在有两不等实根或者其中一根为4，另一根在内，由二次函数的根的分布列出不等式组得解．本题考查函数与方程的综合运用，考查数形结合思想，属于中档题．12.答案：C解析：解：当时，，则又设在上的最大值为，，又，则在上的最大值为在上的最大值的2；，数列是以1为首项，2为公比的等比数列；数列的前n项和为；恒成立恒成立；记为数列，；当时，，即数列递增；当时，，即数列递减；且，；数列的最大值为：．故实数k的取值范围为：．故选：C．由函数的周期变化知，最大值也成周期变化，求出数列是以1为首项，2为公比的等比数列，得到前n项和为的表达式，进而求解结论．本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质、等比数列的性质的合理运用．13.答案：解析：解：．故答案为：．根据斜率即为切点处的导数，先求出处的导数，令其等于1，即可解方程求出a的值．本题主要是考查了利用导数研究切线问题，属于基础题，主要看清楚给的是不是切点，否则要另设切点．14.答案：解析：解：，函数向左平移个单位得到函数，，，，即在区间上的最小值为．故答案为：．先由辅助角公式化简函数得，再由图象变换法则可得，最后由给定区间结合三角函数的图象及性质求得最小值．本题考查了三角恒等变换，三角函数的图象变换，三角函数的图象及性质等知识点，考查化简求解能力，属于基础题．15.答案：解析：解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥，如图，取CD中点E，连结AE，作平面ABC，交AE于F，则F是的重心，由题意知，，，设G为四面体的外接球的球心、球半径为R，则G在直线OF上，且，由，得：，解得，以、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积为故答案为：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥，由此能求出以、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积．本题四面体的外接球的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、整体思想，是中档题．16.答案：解析：解：设内切圆的半径为r，椭圆的方程为，其中，，，则，AB与x轴垂直，则有，，解得：，，的周长，其面积，由内切圆的性质可知，有，解得．圆心横坐标为，即圆心坐标为，则的内切圆方程是，故答案为：．设内切圆的半径为r，由椭圆的方程分析可得a、b、c的值，由勾股定理分析可得，，解可得与的值，计算可得的周长与面积，由内切圆的性质计算可得内切圆半径，进一步求得圆心坐标，则答案可求．本题考查椭圆的几何性质，利用三角形面积公式进行转化是解答该题的关键，是中档题．17.答案：解：由题意可得设，，由题意可得，，，，所以，所以；因为，设，，在中，由正弦定理可得，所以，所以，因为，所以，解得，所以MC的值为4．解析：由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，设，分别为已知角，所以B角用已知角表示，再由题意可得，的正弦值，余弦值，由两角差的正弦公式展开可得B的正弦值．由向量的关系，可得线段MC，MB的关系，由及由正弦定理可得AM的值，再由余弦定理可得MC的值．本题考查正弦定理，余弦定理即两角差的正弦公式的应用，属于中档题．18.答案：解：从这20人中任取3人，设恰有1人成绩“优秀”为事件A，则从这20人中任取3人，恰有1人成绩“优秀”的概率：．根据这20人的分数补全频率分布表：组别分组频数频率频率组距12263844由频率分布表作出频率分布直方图：估计所有员工的平均分数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表为：．从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，且，，，，，的分布列为：X 0 1 2 3P，数学期望．解析：从这20人中任取3人，设恰有1人成绩“优秀”为事件A，利用古典概型能求出从这20人中任取3人，恰有1人成绩“优秀”的概率．根据这20人的分数补全频率分布表，由频率分布表作出频率分布直方图，由此能估计所有员工的平均分数．从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，且，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查概率、平均数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：点P在抛物线C：上，，，设，，由题意可知，，，，，，；由可设直线l的方程为：，，，，，，成等比数列，，，即，将直线l与抛物线C联立，可得：，，，且，，代入式得：，化简得：，，满足，直线l的方程为：．解析：易求，设，，由题意可知，，利用斜率公式代入化简得，所以；由可设直线l的方程为：，所以，，，由题意可知，即，将直线l与抛物线C联立，利用韦达定理代入上式得：，故，从而得到直线l的方程．本题主要考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，以及等比数列的性质，是中档题．20.答案：证明：中，由余弦定理可得：，解得．．由题意可知：，，，平面OBC，．又，平面AOB．解：由可得：平面是斜线MD在平面OAB的射影．是直线MD与平面AOB所成的角，取取最大值时，，垂足为D．点D为线段AB的中点．建立如图所示对空间直角坐标系．0，，2，，1，，，，1，，设平面OCD的法向量为y，，则，，，取，同理可得平面CDB的法向量1，．，．二面角的正弦值为．解析：中，由余弦定理可得：再利用勾股定理对逆定理可得：由题意可知：平面OBC，进而得出结论；由可得：平面是斜线MD在平面OAB的射影．是直线MD与平面AOB所成的角，取取最大值时，，垂足为可得点D为线段AB的中点．建立如图所示对空间直角坐标系．分别求出平面OCD的法向量为，平面CDB的法向量，利用向量的夹角公式即可得出．本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：时，，，，令，则，当时，单调递增，且，，故在上有唯一的零点，设为a，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在上有唯一的极小值点即在上有唯一的极小值点，设，，，所以在上单调递增，，即，从而，因为在上单调递减，所以在上恒成立，令，则，所以在上单调递减，，当时，，在上单调递减，，符合题意；当时，在上单调递减，且，所以一定存在，当时，即在上单调递增，与题意不符合，舍去．故a的范围．解析：把代入后，先求出函数的解析式，然后对其求导，结合导数与单调性及极值的关系可证；结合函数单调性与导数的关系及函数的性质，零点判定定理进行求解即可．本题主要考查了函数的性质与导数知识的综合应用，考查了考生的逻辑推理的能力，试题具有一定的难度．22.答案：解：Ⅰ曲线C的参数方程为为参数点在曲线C上，，，，，点满足，，，动点Q的轨迹C的极坐标方程为：．Ⅱ，设，，，，．解析：Ⅰ推导出，，从而，，由此能求出动点Q的轨迹C的极坐标方程．Ⅱ，设，，，，由此能求出．本题考查动点的极坐标方程的求法，考查代数式求值，考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.答案：解：，当时，的最大值为4，关于x的不等式有解等价于，当时，上述不等式转化为，解得，当时，上述不等式转化为，解得，综上所述m的取值范围为，故实数m的最大值；证明：根据可得a，b，c均为正实数，且满足，要证，只要证，，，那么．解析：去绝对值，化为分段函数，可得函数的最大值，再分类讨论即可求出m的取值范围，可得t的值；要证，只要证，根据基本不等式即可证明．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．。
东北三省四市教研联合体2020届高三数学模拟考试试题二理含解析
东北三省四市教研联合体2020届高三数学模拟考试试题（二）理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合2{|4}A x Z x =∈，{|42}B x x =-<< ，则A B =（ ）A. {|22}x x -<≤B. {|42}x x -<≤C. {2,1,0,1,2}--D.{2,1,0,1}--【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交运算，即可容易求得结果.【详解】{|22}{2,1,0,1,2}A x Z x =∈-=--≤≤ 故可得{}2,1,0,1A B ⋂=-- 故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.2.已知复数()(12) ()z a i i a R =+-∈的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A. 1- B. -iC. 1D. i【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简复数z ，由其实部即可求得参数a . 【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =+-=++-，231a a +=∴= ∴121a -=-. 故选：A.【点睛】本题考查复数的乘法运算，实部和虚部的辨识，属基础题.3.已知双曲线C ：22122x y -=则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为( )A. 2 C. 1D.12【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点的坐标和渐近线方程，根据双曲线的和渐近线的对称性，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】由双曲线的方程可知：a b 2c =， 所以焦点的坐标为：(2,0),(2,0)-，渐近线方程为：y x =±， 根据双曲线和渐近线的对称性，不妨设(2,0)直线y x =的距离为d ，由点到直线的距离公式可得：d ==.故选：B【点睛】本题考查了点到直线距离公式的应用，考查了双曲线的渐近线方程和焦点的求法，考查了数学运算能力.4.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形.如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计算方法如下：110001A B A B B B =-，221112A B A B B B =-，332223A B A B B B =-，……，111n n n n n n A B A B B B ---=-，其中1231201n n B B B B B B B B -=⋅⋅⋅===，*N n ∈.根据每层边长间的规律.建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料.所用材料中.横向梁所用木料与正六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5层，若008A B m =，010.5B B m =.则这五层正六边形的周长总和为( )A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，结合已知可以判断数列{}(,15)n n n N n A B *∈≤≤是等差数列，最后利用等差数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】由已知得：111n n n n n n A B A B B B ---=-，12312010.5n n B B B B B B B B -=⋅⋅⋅====， 因此数列{}(,15)n n n N n A B *∈≤≤是以1008a A B ==为首项，公差为0.5d =-的等差数列，设数列{}(,15)n n n N n A B *∈≤≤前5项和为5S ，因此有511155458540.53522S a d m =+⨯⨯⋅=⨯-⨯⨯⨯=， 所以这五层正六边形的周长总和为56635210S m =⨯=. 故选：C【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了等差数列的定义，考查了等差数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.5.已知直线,m n 和平面,,αβγ，有如下四个命题：①若,//m m αβ⊥，则αβ⊥；②若,//,m m n n αβ⊥⊂，则αβ⊥；③若,,n n m αβα⊥⊥⊥，则m β⊥；④若,m m n α⊥⊥，则//n α.其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据面面垂直，线面垂直以及线面平行的判定，即可容易判断. 【详解】①若,//m m αβ⊥，则一定有αβ⊥，故①正确；②若,//,m m n n αβ⊥⊂，则n α⊥，又因为n β⊂，故可得αβ⊥，故②正确； ③若,n n αβ⊥⊥，故可得α//β，又因为m α⊥，故可得m β⊥，故③正确； ④若,m m n α⊥⊥，则//n α或n α⊂，故④错误； 综上所述，正确的有①②③. 故选：C【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直的判定以及线面平行的判定，属综合基础题. 6.已知正方体1111ABCD A BC D -，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱11A D ，1CC 的中点.则异面直线1B M 与ON 所成角的余弦值为( ) A.5B.105C.15 D.25【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出向量1B M 和ON 的坐标，然后利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】以D 为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，所以有1(0,0,0),(1,1,0),(2,2,2),(1,0,2),(0,2,1)D O B M N ，因此1(1,2,0)B M =--，(1,1,1)ON =-， 设异面直线1B M 与ON 所成角为α，所以11cos 15(B M ON B M ONα⋅===⋅-. 故选：C【点睛】本题考查了利用空间向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了数学运算能力. 7.已知函数()cos 22x xfx =的图象为C ，为了得到关于原点对称的图象，只要把C 上所有的点（ ）A. 向左平移3π个单位 B. 向左平移23π个单位 C. 向右平移3π个单位D. 向右平移23π个单位【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简()f x ，再根据三角函数的奇偶性，即可求得结果. 【详解】由()cos 2cos()()2cos()2223223x x x x f x f x πϕπϕ=-=+⇒+=++为奇函数， 得+=+=+22323k k Z k ϕππππϕπ∈∴，当0k =时，3πϕ=.故为得到关于原点对称的图像，只要把C 向左平移3π个单位即可. 故选：A【点睛】本题考查辅助角公式，函数图像的平移，以及余弦型函数的奇偶性，属综合中档题. 8.有一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，表1为各个学段每个内容主题所包含的条目数.下图是将下表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图.由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是( )数与代数21 28 49 98 图形与几何18 25 87 130 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践 3 4 3 10 合计45 65 150 260A. 除了“综合与实践”外，其他三个内容领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍B. 在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占50%.“综合与实践”内容最少，约占4%C. 第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D. “数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长【答案】D【解析】【分析】利用表格计算条目数的有关数据，从等高条形看比例变化趋势，逐个选项进行判断即可. 【详解】A：根据表格可知：除了“综合与实践”外，其他三个内容领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的873.525≈倍，故本选项说法正确；B：根据表格可知：“图形与几何”内容最多，占13050%260=，“综合与实践”内容最少，约占104%260≈，故本选项说法正确； C ：根据表格可知：第一、二学段“数与代数”内容分别是21,28，数目最多，第三学段“图形与几何”内容为87，数目最多，故本选项说法正确；D ：“数与代数”内容条目数在每一学段的内容条目数分别为：21,28,49，“数与代数”内容条目数在每一学段的百分比分别为：21284947%,43%,33%4565150≈≈≈，因此“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少这种说法正确；“图形与几何”内容条目数在每一学段的百分比分别为：18258740%,39%,58%4565150=≈=， 因此“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长这种说法是错误的. 故选：D【点睛】本题考查了分析图表能力，考查了数据分析能力，考查了数学运算能力. 9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，[)20,x ∈+∞，有()()()21210f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则( )A. ()()()10.320.32log 0.2f f f --<< B. ()()()0.312log 0.220.3f f f --<< C. ()()()10.32log 0.20.32f f f --<<D. ()()()10.320.3log 0.22f f f --<<【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在[)0,+∞上的单调性，再根据对数的运算性质、指数的运算性质、对数函数的单调性，结合偶函数的性质进行求解即可.【详解】因为对任意的1x ，[)20,x ∈+∞，有()()()21210f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦， 所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递减.因为()f x 是偶函数，所以()()222log 0.2(log 0.2)log 5f f f =-=.因为10.30222100.33,0221,2log 4log 5log 833--=><<==<<=， 函数()f x 在[)0,+∞上单调递减， 所以有()()()10.320.3log 52f f f --<<成立，即()()()10.320.3log0.22f f f --<<成立.故选：D【点睛】本题考查了利用抽象函数的单调性和奇偶性判断函数值大小问题，考查了对数函数单调性的应用，考查了对数和指数的运算性质，考查了数学运算能力.10.给定两个长度为2的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°.如图所示.点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动.则CB CA ⋅的最小值为( )A. 4-B. 2-C. 0D. 2【答案】B 【解析】 【分析】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，以,OA OB 为平面内一组基底，根据平面向量的加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质，结合辅助角公式、余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，因此有2()()CB CA CO OB CO OA CO CO OA OB CO OB OA ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅2CO OC OA OB OC OB OA =-⋅-⋅+⋅422cos 22cos(120)22cos120αα︒︒=-⨯-⨯⋅-+⨯⋅ 44cos 4cos(120)2αα︒=---- 24cos 2cos 23sin ααα=-+-22cos αα=-- 24cos(60)α︒=--，因为[0,120]α︒∈，所以60[60,60]α︒︒︒-∈-，所以当600α︒︒-=时，即60α︒=，CB CA ⋅有最小值，最小值为242-=-. 故选：B【点睛】本题考查了平面向量数量积最小值问题，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平面向量的定义和运算性质，考查了辅助角公式和余弦函数的单调性，考查了数学运算能力. 11.若数列{}n a 满足113a =-，且()()122nn n a a n -=+-≥，若使不等式n a λ≤成立的n a 有且只有三项，则λ的取值范围为( ) A. 1335,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 1335,33⎛⎤⎥⎝⎦C. 3561,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3561,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】利用累和法求出数列{}n a 的通项公式，再分类讨论，根据数列的单调性和绝对值的性质进行求解即可.【详解】当2n ≥时，11223211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+，于是有：211221(2)[1(2)]1(2)(2)(2)(2)()31(2)3n nn n n a ------=-+-+-++-+-=---，所以111(2)3n n a +=--，显然113a =-也适合， 因此数列{}n a 的通项公式为：111(2)3n n a +=--.当n 为奇数时，1111111(2)1221333n n n n a +++=--=-⋅=⋅-，此时数列{}n a 的奇数项数列是单调递增函数；当n 为偶数时，1111111(2)1221333n n n n a +++=--=+⋅=⋅+，此时数列{}n a 的偶数项数列是单调递增函数，要想使不等式n a λ≤成立的n a 有且只有三项，只需有：21324345112133111211335331133321331352133a a a a λλλλλλλλλλλλλ⎧⎧⋅-≤≥⎪⎪⎪⎪⎧≤⎪⎪⎪⋅+≤≥≤⎪⎪⎪⇒⇒⇒≤<⎨⎨⎨≤⎪⎪⎪⋅-≤≥⎪⎪⎪>⎩⎪⎪⎪⎪⋅+><⎩⎩. 故选：A【点睛】本题考查了数列累和法的应用，考查了数列的单调性，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力和分析能力.12.设椭圆C 的左右焦点为12,F F ，焦距为2c ，过点1F 的直线与椭圆C 交于点,P Q ，若2||2PF c =，且114||||3PF QF =，则椭圆C 的离心率为（ ） A.12B.34C.57D.23【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得112,,PF FQ F Q ，结合余弦定理，即可求得,a c 的齐次式，据此即可求得结果. 【详解】根据题意，作图如下：由2||2PF c =得1||22PF a c =-，13377||,||=22a c a c QF PQ --= ，23||2a cQF += 由221cos cos F PQ F PF ∠=∠ 即22222222211222122PF PQ F QPF PF F F PF PQPF PF +-+-=，整理得2271250c ac a -+=， 则()()570a c a c --=， 得57e =故选：C.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及椭圆的定义，属中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题.13.若x ，y 满足约束条件1020220x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则3z x y =+的最大值是______.【答案】8 【解析】 【分析】在平面直角坐标系内，画出约束条件所表示的可行解域，在可行解域内平移直线13y x =-，找到一点使得直线13y x z =-+在纵轴上的截距最大，把点的坐标代入目标函数中即可. 【详解】约束条件所示的可行解域如下图所示：在可行解域内平移直线13y x =-，当直线13y x z =-+经过A 点时，直线在纵轴上的截距最大，A 点的坐标是方程组222y y x =⎧⎨=-⎩的解，解得22y x =⎧⎨=⎩，所以3z x y =+的最大值是2328+⨯=.故答案为：8【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想和数学运算能力.14.甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为______. 【答案】0.976 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】设事件A ：三人每人投篮一次，至少一人命中，则该事件的对立事件是A ：三人每人投篮一次，一个人也没有命中， 因此()(10.8)(10.7)(10.6)0.024P A =-⨯-⨯-=, 所以()1()10.0240.976P A P A =-=-=.故答案为：0.976【点睛】本题考查了对立事件概率的应用，考查了数学运算能力.15.数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，11a =，515S =，且391515a a a λ++=，则实数λ=______.【答案】13- 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，结合等差数列的前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d ，511155541512S a d d ⇒+⨯⨯=⇒==， 因此1(1)n a a n d n =+-=.39151153915153a a a λλλ++=⇒++=⇒=-.故答案为：13-【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 16.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，2AB =，PAD △为等边三角形，线段BC 的中点为E ，若1PE =，则此四棱锥的外接球的表面积为______. 【答案】283π 【解析】 【分析】设四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ，底面ABCD 的中心为'O ，根据',,O O P 的相对位置分类讨论，结合锐角三角函数、勾股定理、球和正方形以及矩形的几何性质、球的表面积公式进行求解即可.【详解】设四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ，其半径为R ，底面ABCD 的中心为'O . 当O 位于点1O 处时，如下图所示：取AD 的中点F ，连接EF ，PF ，因为底面ABCD 为正方形，2AB =，PAD ∆为等边三角形，所以221()32PF PD AD =-=，2EF =，而1PE =，因为222PF PE EF +=，所以PF PE ⊥，设正方形ABCD 的对角线的交点'O ，过P 做PM ⊥平面ABCD ， 则由题意可知垂足M 在EF 上，显然有PM EF ⊥， 在直角三角形PEF 中，13sin 22PE PM PFE PM EF PF ∠===⇒=， 33cos 2PF FM PFE FM EF PF ∠===⇒=，所以''1,2O M FM FO =-=过过P 做'1PN OO ⊥，因此四边形'O MPN 是矩形， 所以有'3O N PM ==，'1,2PN O M ==正方形ABCD 中，'22122O A AD DC =+= 由''1OO O A ⊥可知：2'2'22'21112(1)O A OO O A R OO =+⇒=+，在直角三角形1PNO 中，得2222''222'211111()((2)24O P NO PN R O O O N PN R O O =+⇒=-+⇒=-+，由(1),(2)解得：'13O O =-当O 位于点2O 处时，如上图所示：由''2O O O A ⊥可知：2'2'22'22222(3)O A OO O A R OO =+⇒=+， 在直角三角形1PNO 中，得2222''222'222221()((4)4O P NO PN R O O O N PN R O O =+⇒=++⇒=++，由(3),(4)解得：'227,33O O R ==， 所以此四棱锥的外接球的表面积为22843R ππ=. 故答案：283π 【点睛】本题考查了四棱锥外接球问题，考查了球的表面积公式，考查了空间想象能力和数学运算能力.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()2225sin sin 8sin sin 5sin B C B C A +=+.（Ⅰ）求tan A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，求tan tan B C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）34；（Ⅱ）9. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据正弦定理化简已知等式，再结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可； （Ⅱ）根据两角和的正切公式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】（Ⅰ）在ABC ∆中，()2225sin sin 8sin sin 5sin B C B C A +=+由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得22285b c a bc +-=， 故2224cos 25b c a A bc +-==，02A π∴<<，故3sin 5A ===，则sin 3tan cos 4A A A ==； （Ⅱ）由()tan tan 3tan tan 1tan tan 4B C B C A B C ++==-=--得，4tan 4tan 3tan tan 30B C B C +-+= tan 0B >，tan 0C >由均值不等式得，4tan 4tan 3tan tan 3B C B C +=-≥，当且仅当tan tan 3B C ==时，等号成立.3≥tan tan B C ∴的最小值为9.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了基本不等式的应用，考查了两角和的正切公式的应用，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力. 18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注.一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果.下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据.（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由；（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当作概率计算）. 参考附表：参考公式()()()()()22n ad bc K a b a c b d c d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（Ⅰ）有把握，理由见解析；（Ⅱ）分布列见解析，65. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题中所给的公式求出2K 的值，然后根据参考附表进行判断即可；（Ⅱ）由题意可以求出在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率，成绩不优秀的概率，可以判断ξ可取值为0，1，2，3，根据二项分布的性质进行求解即可.【详解】（Ⅰ）由题意知，2K 的观测值()2501519610 6.650 6.63521292525k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯. 所以有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”.（Ⅱ）由题意知在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为35，成绩不优秀的概率为25， ξ可取值为0，1，2，3. ()03032327055125P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()12132354155125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21232336255125P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3033238355125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P27125 54125 36125 81252~3,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，26355E ξ∴=⨯=.【点睛】本题考查了2K 的计算，考查了二项分布的性质应用，考查了离散型随机变量分布列和数学期望，考查了数学运算能力.19.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD DC ⊥，1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为PC 的中点，F 为AD 的中点，平面PAD ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：平面BEF ⊥平面PAD ； （Ⅱ）若PC 与底面ABCD 所成的角为3π，求二面角E BF A --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）7【解析】 【分析】（Ⅰ）根据线段中点的性质、平行四边形形的判定定理和性质定理，结合面面垂直的性质定理和判定定理、平行线的性质进行证明即可；（Ⅱ）连结PF ，根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质定理可以证明出PF ⊥底面ABCD ，这样可以建立以FA ，FB ，FP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）//BC DF∴四边形BCDF 是平行四边形//BF CD ∴.又CD AD ⊥，BF AD ∴⊥.又面PAD ⊥面ABCD ，面PAD面ABCD AD =，BF ⊂面ABCD BF ∴⊥面PAD且BF ⊂面BEF∴平面BEF ⊥平面PAD .（Ⅱ）连结PF ，PA PD =，F 为AD 中点，PF AD ∴⊥又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，PF ∴⊥底面ABCD ，又BF AD ⊥，以FA ，FB ，FP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设()0,0,P t ，()1,1,0C -，取平面ABCD 的法向量()10,0,1n =，()1,1,PC t =--，()0,1,0B ， 11sin3n PC nPCπ⋅∴=⋅，2=，t ∴=(P ∴，11,22E ⎛- ⎝⎭设平面EBF 的法向量()2,,n x y z =，221160220n FE xy z n FB y ⎧⋅=-++=⎪∴⎨⎪⋅==⎩，令1z =， 6x ∴=，()26,0,1n =.设二面角E BF A --的平面角为θ12127cos 7n n n n θ⋅∴==⋅ 又θ为钝角，7cos θ∴=-，即二面角E BF A --的余弦值为7-.【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查了利用空间向量夹角公式求二面角的平面角，考查了推理论证能力和数学运算能力.20.已知点()0,2A ，B 为抛物线222x y =-上任意一点，且B 为AC 的中点.设动点C 的轨迹为曲线E . （Ⅰ）求曲线E方程；（Ⅱ）A 关于y x =的对称点为D .是否存在斜率为12的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，使得MDN △为以MN 为底边的等腰三角形？若存在，请求出MDN △的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）24x y =；572【解析】 【分析】（Ⅰ）设(),C x y ，(),B m n ，根据中点坐标公式，结合B 为抛物线222x y =-上任意一点进行求解即可；（Ⅱ）设出直线l 的点斜式方程，与曲线E 的方程联立，消元，利用等腰三角形的性质，结合一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）设(),C x y ，(),B m nB 是AC 的中点，则222x m y n ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩B 在222x y =-上222m n ∴=-222242x y+∴=⋅- 24x y ∴=，故曲线E 的方程为24x y =.（Ⅱ）由题意得()2,0D ，设l ：12yx t =+，()11,M x y ，()22,N x y 将l 代入24x y =得2240x x t --=（*）1212244160x x x x t t +=⎧⎪∴=-⎨⎪∆=+>⎩MN ∴的中点11,2P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1DP t k k ⋅=-，1121122t+∴⋅=--，32t ∴=符合>0∆，l ∴存在∴（*）化为2260x x --=12MN x x ∴=-==DP =12MDN S ∴==△【点睛】本题考查了求曲线的方程，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查了弦长公式，考查了等腰三角形的性质，考查了数学运算能力. 21.已知函数()ln f x m x =，()()10x g x x x-=>. （Ⅰ）讨论函数()()()F x f x g x =-在()0,∞+上的单调性；（Ⅱ）判断当m e =时，()y f x =与()y g x =的图象公切线的条数，并说明理由. 【答案】（Ⅰ）当0m ≤时，函数()F x 在()0,∞+上单调递减； 当0m >时，()F x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（Ⅱ）两条，理由见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）对函数()F x 进行求导，然后分类讨论，根据导函数的正负性求出函数的单调区间； （Ⅱ）利用导数的几何意义求出()y f x =与()y g x =的图象的切线，将两个切线方程联立，消元得到一个方程，根据方程解的个数就能确定公切线的条数，构造新函数，利用新函数的导数，结合零点存在原理进行求解即可. 【详解】（I ）()()()1ln x F x f x g x m x x -=-=-，()2211m mx F x x x x -'=-= 当0m ≤时，()0F x '<，所以函数()F x 在()0,∞+上单调递减； 当0m >时，由()0F x '<得：10x m <<；由()0F x '>得：1x m>所以，函数()F x 10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数()F x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）函数()ln f x e x =在点(),ln a e a 处的切线方程为()ln ey e a x a a-=-， 即ln ey x e a e a=+-， 函数()1x g x x -=在点1,1b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为()2111y x b b b⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2121y x b b=-+. 若()y f x =与()y g x =的图象有公切线.则212ln 1e a b e a e b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②由①得2a eb =代入②整理得22ln 10e b b+-=③ 由题意只须判断关于b 的方程在()0,∞+上解的个数 令()()22ln 10h x e x x x=+-> ()222ex h x x -'=令()0h x '=，解得1x=()11h x h e ⎛⎫∴≥=- ⎪⎝⎭2214210h e e e ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭()110h =>2110h h e e ⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()110h h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭且()h x 图象在()0,∞+上连续不断∴方程()0h x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭及1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上各有一个根即()y f x =与()y g x =的图象有两条公切线.【点睛】本题考查了利用导数研究研究函数的单调区间问题，考查了利用导数研究两函数图象公切线问题，考查了分类讨论思想和数学运算能力.（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 选修4—4坐标系与参数方程22.已知曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+，直线l的参数方程为235x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（Ⅰ）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上的动点，点M 和点N 为直线l 上的点，且2MN =.求PMN ∆面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），280x y +-=；（Ⅱ）⎣⎦. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先利用极坐标方程与直角坐标方程互化公式，把曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程，然后再判断曲线C 的类型，写出它的参数方程；利用代入消元法把直线l 的参数方程化为普通方程即可.（Ⅱ）根据曲线C 的参数方程设出点P 的坐标，然后结合点到直线的距离公式、三角形面积公式、辅助角公式进行求解即可.【详解】（Ⅰ）由题意：2223sin 12ρρθ+=()222312x y y ∴++=223412x y ∴+=22143x y ∴+=，该曲线为椭圆，∴曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.由直线l3y =-代入2x = 得()223x y =--，280x y ∴+-=∴直线l 的普通方程为280x y +-=.（Ⅱ）设()2cos P θθ到直线l 的距离为d122PMN S d d =⨯⨯=△d ==d ≤≤PMN ∴△面积的取值范围是⎣⎦. 【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了参数方程与普通方程的互化，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力. 选修4—5不等式选讲23.已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，()3g x x =+． （Ⅰ）当x ∈R 时，有()()f x g x ≤，求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式()0f x ≥的解集为[]1,3，正数a ，b 满足231ab a b m --=-，求+a b 的最小值．【答案】（Ⅰ）(],5m ∈-∞（Ⅱ）()min 7a b +=【解析】 【分析】(I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可；(II)由不等式()0f x ≥的解集为[]1,3可求出m 的值，代入231ab a b m --=-并用a 表示b ，再把b 代入a b +利用基本不等式求出最小值.【详解】解：（Ⅰ）由题意得：()()f x g x ≤在x R ∈上恒成立，23m x x ∴--≤+在x R ∈上恒成立．()min 32m x x ∴≤++-，又()()32235x x x x ++-≥--+=，当且仅当()()230x x -+≤，即[]3,2x ∈-时等号成立． 5m ∴≤，即(],5m ∈-∞．（Ⅱ）令()0f x ≥，2x m ∴-≤， 若0m ≤时，∴解集为∅，不合题意；若0m >时，2m x m ∴-≤-≤，[]2,2x m m ∴∈-+，又[]1,3x ∈，1m ∴=，∴综上所述：1m =， 22ab a b ∴--=，221a b a +∴=- 00a b >⎧⎨>⎩，∴解得1a >，2241311a a b a a a a +∴+=+=-++--，37a b ∴+≥=，当且仅当411a a -=-，即3a =时等号成立， 此时2241a b a +==-．∴当3a =，4b =时，()min 7a b +=． 【点睛】本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.。