2017希望杯第一试(初二年级)
历届1-24“希望杯”全国数学邀请赛八年级-真题及答案
第二届（1991 年）初中二年级第一试试题
一、选择题:（每题1分，共15分）
1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ] A．2; B．3; C．4; D．5
2．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ] A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，6
A
O
P
B
(1)
3．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]
8x
2y 5
z
6x 3
z
x
2
y
x y z
3
x 1 5
y 1 3
3x 4 y 5z 1
则1989x-y+25z=______． 10．已知3x2+4x-7=0，则6x4+11x3-7x2-3x-7=______．
一、选择题
答案与提示
提示： 1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)． 2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)． 3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．
1． △ABC中，∠CAB ∠B=90°，∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA
的延长线交于N．已知CL=3，则CN=______．
2． 若 a 1 (ab 2)2 0 ,那么
1
1
ab (a 1)(b 1)
1
的值是_____.
(a 1990)(b 1990)
3． 已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，则c的取值范围是______．
历届1-24“希望杯”全国数学邀请赛八年级-真题及答案
5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点， 组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的 四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于 1的正三角形．故选(D)． 二、填空题
12.如果 2x 3x 1, 那么 3 (x 2)3 (x 3)2 等于[ ]
A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．1
9.已知 x2 2xy 2y 1
y2 1
y 1 等于一个固定的值，
x2 1
2y2 xy y x 1 x 1
则这个值是( ) A．0. B．1.
C．2.
D．4.
把f1990化简后，等于 ( )
A． x . B.1-x. C. 1 . D.x.
x 1
x
二、填空题（每题1分，共10分）
1. 1302 662 ________.
9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．
A．4; B．2; C．1; D．0 10．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两
位数是[ ] A．26; B．28; C．36; D．38 11．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．185
∠A＇BE=∠A＇CF=45°． 又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C． 在△A＇FC和△A＇EB中，
∴SA＇EBF=S△A＇BC．
∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值． 3．可能的四位数有9种：
第13届中学“希望杯”全国数学邀请赛初二年级第1试
希望杯第十三届（2002年）初中二年级第一试试题一、选择题(每小题5分，共50分) 1．使分式xx |x |x 2+--的值为零的x 的一个值是( ) A ． O B ．1 C ．－1 D ．-22．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( ) A ．x 3－9x 2+27x －27 B ． x 3－x 2+27x －27 C x 4－x 3+27x －27 D ．x 3—3x 2+9x －273．2001年7月13日，北京市获得了第29届奥运会的主办权，这一天是星期五，那么第29届奥运会在北京市举办的那一年的7月13日是( ) A ．星期四 B ．星期五 C ．星期六 D ．星期日4．设P 是等边△ABC 内任意一点，从点P 作三边的垂线PD 、PE 、PF ，点D 、E 、F 是垂足，则CABC AB PFPE PD ++++等于( )A ．23 B ．63 C ．232D ．215．若三角形的三个内角A 、B 、C 的关系满足A>3B ，C<2B ，那么这个三角形是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边的锐角三角形6．已知34x m -=，43+=x n ，532x p -=，且m>n>p ，那么x 的取值范围是( )A ．1<xB ．1514<<-xC ．1177<<-x D ．177514-<<-x 7．If a<b<0，then the following inequality must be hold( ) (英汉小字典：following ：下面的；inequality ：不等式) A ．ba11< B ．ba 11> C ．ab a 11>- D ．22)1()1(ba ab +<+8．已知b<0，0<|a|<|b|<|c|，且ac cbc ab 2=，则a 、b 、c 的大小顺序是( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．b<a<cD ．b<c<a 9．在凸四边形ABCD 中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA ，则( )A ． AD>BCB ．AD<BC C ．AD=BCD ．AD 与BC 的大小关系不能确定10．如图，在直角△ABC 中，∠C=90°，AC=3．以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，且OC=42 ，那么BC 的长等于( )A ．32B ．5C ．25D ．29二、A 组填空题(每小题5分，共50分)11．若对于一切实数x,等式x 2－px+q=(x+1)(x －2)均成立，则p 2—4q 的值是 ．12．2001年北京市的气候条件较好义无病虫害，这一年北京市海淀区的冬储大白菜的种植面积约为2000亩，与上一年相比，面积持平而亩产量达5000公斤，比上一年的亩产量增加了25％，但平均价格低于上一年，2001年在地头批发的平均价格为每公斤0.20元，假设所有的大白菜都在地头批发，且两年收入相同．则上一年在地头批发大白菜的平均价格约为每公斤 元． 13．若3a 2n+m 和4a n-2m 都是2a 5的同类项，则2(n 3m 5)2÷(21n 5m)·(nm 3)的值是 ．14．若x 2－x －1=O ，则－x 3+2x+2002的值等于 ． 15．若a 、b 均为正数，且2222224b a ,b 4a ,b a +++是一个三角形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于 ．16．In Fig ，In the Rt△ABC，∠ACB=90°，∠A=30°，CD is the bisector to∠ACB，MD is the perpendicular toBA andMD through the midpoint of segment AB ，then∠CDM ．(英汉小字典：bisector ：平分线；perpendicuIar ：垂线；midpoint ：中点) l7．边长为整数且面积为2002的长方形共有 种．(对应边长相等的长方形算作同一种)18．一个凸n 边形的最小内角为95°，其他内角依次增加lO °，则n 的值等于 ．19．如图，D 、E 分别在△ABC 的边AC 、AB 上，BD 与CE 相交于F ，若21DCAD 2EBAE ==，,△ABC 的面积S△ABC =21，那么四边形AEFD 的面积等于 ．20．在数轴上，A 和B 是两个定点，坐标分别是－3和2，点P到点A 、B 的距离的和等于6，那么点P 的坐标是 ． 三、B 组填空题(每小题10分，共50分)21．方程x 2－xy －5y+5y －1=0的整数解是 或 ．22．两个凸多边形．它们的边长之和为12，对角线的条数之和为l9，那么这两个多边形的边数分别是 和 ． 23．方程0185=++-+y y x 的解是 或 ．24．在一个三位数的百位和十位之间插入：O ．1，2，…，9中的一个数码得到的四位数恰是原三位数的9倍，那么这样的三位数中最小的是 ，最大的是 ．25．已知n 是自然数，且n 2—17n+73是完全平方数，那么n 的值是 或 ．希望杯第十三届（2002年）初中二年级第一试试题参考答案一、选择题二、A组填空题三、B组填空题。
初二第22届希望杯”一试试题+解析
第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试一、选择题(每小题4分，共40分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英语字母写在1、将a 千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐水x 千克，则由此可列出方程为( ) A 、%)151)(x a (%)101(a -+=- B 、%15)x a (%10a ⨯+=⨯ C 、%15a x %10a ⨯=+⨯ D 、%)151(x %)101(a -=-2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加a%，则所用的时间减少b%，则a ，b 的关系是( ) A 、%a 1a 100b +=B 、%a 1100b +=C 、a 1a b +=D 、a100a100b +=3、当1x ≥时，不等式|2x |m 1x |1x |--≥-++恒成立，那么实数m 的最大值是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数1x 2y -=与k kx y +=的图象的交点是整点，则k 的值有( )A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个5、The sum of all such integers x that satisfy inequality 6|1x 2|2≤-≤ is ( ) A 、8 B 、5 C 、2 D 、0(英汉词典：sum 和；integer 整数；satisfy 满足；inequality 不等式)6、若三角形的三条边的长分别为a ，b ，c ，且0b c b c a b a 3222=-+-，则这个三角形一定是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等三角形 D 、等腰直角三角形7、As shown in figure 1，point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square. AG intersects BD and CD at points E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( ) A 、316 B 、38C 、4D 、5 (英汉词典：square 正方形；intersect …at … 与…相交于…) 8、1215-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 9、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+-=++0a y 2bx 01ay x 没有实数解，则( )A 、2ab -=B 、2ab -=且1a ≠C 、2ab -≠D 、2ab -=且2a ≠10、如图2，∠AOB=45°，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OB 于点C ， 若PC=2，则OC 的长是( )A 、7B 、6C 、222+D 、32+二、A 组填空题(每小题4分，共40分) 11、化简：5252549+=++；12、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=--=+2y 3x 21k y 2x 3的解使2y 7x 4>+，则k 的取值范围是3k >；figure 1A O BP C 2 图213、如图3，平行于BC 的线段MN 把等边△ABC 分成一个 三角形和一个四边形，已知△AMN 和四边形MBCN 的周长相 等，则BC 与MN 的长度之比是 4:3 ；14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟， 停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，……，又知8月份 这台冰箱的耗电量是24.18度 (1度=1千瓦时)，则这台冰箱的压缩 机运转时的功率是 130 瓦；15、已知自然数a ，b ，c ，满足c 12b 4a 442c b a 222++<+++和02a a 2>--，则代数式c1b 1a 1++的值是 1； 16、已知A 、B 是反比例函数x2y =的图象上的两点，A 、B 的横坐标分别是3，5.设O 为原点，则△AOB 的面积是1516；17、设完全平方数A 是11个连续整数的平方和，则A 的最小值是 121 ；18、将100个连续的偶数从小到大排成一行，其中第38个数与第63个数的和为218，则首尾两个数的和是 218 ； 19、A 、B 两地相距15km ，甲、乙两人同时从A 出发去B 。
第 27届“希望杯”全国数学邀请赛初二1试解析
第27届“希望杯”全国数学邀请赛初二1试解析一、选择题1、【解析】A ，B 选项SSA 不能判定全等；C 明显不是判定全等的条件，D 项正确，选D .2、【解析】由3-=x y 与k kx y -=，得ky k x -+-=-+=122121，，∵交点为整点，∴k 可取1-，0，2，3，共计4个不同的值，故选B .3、【解析】由题可得混合后男女生的比为23:22)1112(:)1210(=++，故选D .4、【解析】解不等式2|1|＞+x ，得1＞x 或3-＜x ；解不等式)0(||≥≤a a x ，得a x a ≤≤-，∵它们的解集没有公共部分，∴1≤a 且3-≥-a ，∴10≤≤a ，故选A .5、【解析】解不等式组，得5＜x 且21m x -＞，∵要满足不等式组只有四个整数解，∴需要满足以下关系：1210＜m -≤，解得11≤-m ＜，故选C .6、【解析】∵ED AE =，∴A EDA ∠=∠，∴A A EDA DEB ∠=∠+∠=∠2；∵DB ED =，∴A DEB DBE ∠=∠=∠2，∴A DBE A CDB ∠=∠+∠=∠3；∵CD BC =，∴A CBD CDB ∠=∠=∠3，∴A CBD DBE ABC ∠=∠+∠=∠5；∵AC AB =，∴A ABC C ∠=∠=∠5，∴︒=∠=∠+∠+∠18011A ABC C A ，∴11180︒=∠A ，故选D .7、【解析】当0=n 时，4205==A ；当1=n 时，44411==A ；当2=n 时，47619==A ；当3=n 时，411629==A ……，要使得p A +的平方根是有理数，需满足p A +是一个平方数，观察发现，有且仅有各项的分子加上5，就使各数均成为平方数，故45=p ，答案是D .8、【解析】∵504201625.0=⨯，63)42(504=⨯÷，∴动点p 回到A 点；∵7251820151⋯=÷⨯，即动点p 再从A 往原方向移动7个单位到AD 中点，故选D .9、【解析】不妨从1开始，取1，2，3，5，8，13共六个数，其中没有任何3条线段可以构成三角形，如果往其中加入任意一个141-的其它数，那么必有3可以构成一个三角形；故n 最小可取值为7，选A .10、【解析】不妨设)(2x k a C ，)00(＞，＞k a ，则ak BC BC a OB 2'===，，设'AA 的中点为D ，延长'AA 交'BC 于E ；∵A 点在xy 1=上，∴1=⋅DO AD ；易证CBO Rt ODA Rt △∽△，∴有22a k OB BC AD DO ==，∴222ak DO =，∴a k DO =，k a D A AD =='，∴k a a D A OB E A -=-=''，a k a OB AD AE +=+=，a k a k BC DO BC EB EC 2+=+=+=，ak a k EB BC EC -=-=2''；∴10'=+ECA AEC S S △△，即10))((21))((2122=--+++a k a k k a a a k a k a k a ，整理得20222=+k ，∴92=k ，∵0＞k ，∴3=k ，∴6)(21)(212122=+=+⋅=⋅=k k a k a a k AE BC S ABC△，故选B .二、A 组填空题11、【解析】∵1＞ab ，1＞bc ，1＞ca ，∴1)(2＞abc ，∴1＞abc 或1-＜abc ，∴1)(2016＞abc A =，故1＞A .12、【解析】∵A ，B 关于原点对称，∴21x x -=，21y y -=，∴221221253y x y x y x =-；∵422=y x ，∴8222=y x ，即8531221=-y x y x .13、【解析】∵0)11()3()12(=--+--k y k x k ，∴0)113()12(=-+---y x y x k ∴⎩⎨⎧=-+=--0113012y x y x ，解得⎩⎨⎧==32y x ，∵无论k 取何值，当32==y x ，时，关于x 的一次函数的值恒为零，∴不论k 取何值，关于x 的一次函数0)11()3()12(=--+--k y k x k 的图象必经过点)32(，.14、【解析】设a =+⋯⋯+++2016131211，原式20161)201611()20161)(1(=-----=a a a a .15、【解析】根据题意，三角形三边长可以有以下情形：16153，，，16144，，，15145，，，16135，，，15136，，，16126，，，14137，，，15127，，，16117，，，14128，，，15118，，，16108，，，13129，，，14119，，15109，，，131110，，，故有16个.16、【解析】原式2223223)1)(1()1)(1(1)1(+-+=+-+=+-++-=a a a a a a a a a a a ，∵31131=+-=+a ，33663)113324()1(222-=++--=+-a a ，∴108363)33663(3)1)(1(22-=-=+-+a a a ，∴10836312345-=+-++-a a a a a .17、【解析】易证BCE Rt AFE Rt △≌△，∴1==CE FE ，∴2222=-==AE AF AE BE ，∴122+=+=CE AE AC ，∴2422)122(2121+=⨯+⨯=⋅=BE AC S ABC △.18、【解析】40722⋯=÷，617)32(22⋯=÷+，147)432(222⋯=÷++，577)5432(2222⋯=÷+++，6127)65432(22222⋯=÷++++677)765432(222222⋯=÷+++++，297)8765432(2222222=÷++++++4407)98765432(22222222⋯=÷+++++++，∵62877)12016(⋯=÷-，∴a 除以7所得的余数是6.19、【解析】设梯形两条对角线分别为a ，b ，根据题意有16=+b a ，14422=+b a ，∴56=ab ∴28562121=⨯==ab S 梯形.20、【解析】∵20162016)2016)(2016(2222=-+=-+++x x x x x x ，∴y y x x ++=-+2016201622，∴y x -=，∴0=+y x .三、B 组填空题21、【解析】如图，易证BEC Rt ADB Rt △≌△，∴2==AD BE ，1==DB EC ，∴)25(，C ；∴)25(')32('--，，，C A ，设直线''C A 的解析式为b kx y +=，则有⎩⎨⎧-=+-=+2532b x b x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==31131b k ，∴直线''C A 的解析式为31131-=x y .22、【解析】所有多边形的内角和是︒=︒⨯+36000360)199(；边数最多的多边形最多有103499=+条边.23、【解析】依题意有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++4141664313927212481d c b a d c b a d c b a d c b a ，解得241-=a ，125=b ，∴83=+b a ，∴85)(1=+-=+b a d c .24、【解析】∵ABC △是△Rt ，∴①222c b a =+，∵0111=+--ba b a ，∴②ab a b =-22，②①+得③ab c b +=222，①②-得④ab c a -=222；④③⨯得2222245210(b a b a =-+，∴252+=ab 或252--=ab 舍去，将252+=ab 代入④解得2=a 或2-=a 舍去；∴1521+==ab S ABC △.25、【解析】如图，将CDM △绕点D 顺时针旋转︒60得到EDN △，连接AM ，MN ，则EN CM =，∵ND MD =，︒=∠60MDN ，∴MDN △是等边三角形，∴MN MD =；∵CM 与AM 关于BD 对称，∴CM AM =，∴当E 、N 、M 、A 共线时，AE NE AM MN MC MD =++=+2(最小)，此时︒=∠=∠=∠60DMN BMA BMC ，作DA EF ⊥交AD 的延长线于F ，则︒=∠90F ，由旋转可得︒=∠60CDE ，2==ED CD ，∴︒=︒-︒=∠306090EDF ，∴在DEF Rt △中，2221==DE FE ，∴2622=-=EF DE DF ，∴262+=+=DF AD AF ；∴AEF Rt △中，22EF AF AE +=22)22()262(++=13+=.故答案为：13+，︒60.。
2017年希望杯获奖名单
2017 年中学“希望杯”全国数学邀请赛获奖名单初一年级：
铜牌：
杜晋冉郭佳鹏常子烁高明博沈许杰
优秀奖：
贾子硕赵士森张耀天田媛琦栗庆道高锦鹏孟令哲郝祎卓郑丁畅柴睿辰王亚斐杨子琛郑森赵锦泽王丽佳康家铭李子涵徐照松赵烁然袁晓萌杨一涵刘晨宇常鸿涛祝瑞凯陈烁楠贾涵森肖景天杨晟光刘艺芮唐若涵张成龙范培臻古博文张子颖陈虹欣张龙保程诺黄晟迅郝一诺刘俊池王子涵袁雨萱李浩淼韩旭阳
初二年级：
铜牌：
谷王俊郭东灿靳一鸣侯璐祎
优秀奖：
陈梦元韩怡然闫智婧孔冰张鑫孙杨王宇维史宝勋谷盈霖陈菲高淋哿刘聪聪豆雅宁贾雨欣李韶泽刘伊琳张宇晨王菁菁向品铮王硕张世琦温铭烁路萌萌高若尧李亦桐冯钰珊王一瑄尹笑森于金瑞薛涵予史赵潇翰张瑞波张优荣张靖瑶刘坤杰陈梦华张晶王堉莹孙凌宇梁选郭怡群常悦郑茗馨李孜毅苏梦娴。
第17届“希望杯”全国数学邀请赛试题
第１７届“希望杯”全国数学邀请赛试题初中一年级 第１试 一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．１．在数轴上，点Ａ对应的数是－２００６，点Ｂ对应的数是＋１７．则Ａ、Ｂ两点的距离是（）（Ａ）１９８９． （Ｂ）１９９９．（Ｃ）２０１３．（Ｄ）２０２３．２．有如下四个命题：①两个符号相反的分数之间必定有一个正整数；②两个符号相反的分数之间必定有一个负整数；③两个符号相反的分数之间必定有一个整数；④两个符号相反的分数之间必定有一个有理数．其中真命题的个数为（）（Ａ）１． （Ｂ）２． （Ｃ）３． （Ｄ）４．图１３．图１是某中学参加选修课学生人数的扇形统计图，从图中可以看出参加数学选修课的学生为参加选修课学生总人数的（）（Ａ）１２％． （Ｂ）２２％．（Ｃ）３２％． （Ｄ）２０％．４．如果ａ＜－３，那么（）（Ａ）ａ＋２ａ＋３＜ａ＋１ａ＋２＜ａａ＋１．（Ｂ）ａ＋１ａ＋２＜ａａ＋１＜ａ＋２ａ＋３．（Ｃ）ａａ＋１＜ａ＋１ａ＋２＜ａ＋２ａ＋３．（Ｄ）ａａ＋１＜ａ＋２ａ＋３＜ａ＋１ａ＋２．５．如图２的交通标志中，轴对称图形有（）（Ａ）４个．（Ｂ）３个．（Ｃ）２个．（Ｄ）１个．图２６．对于数ｘ，符号［ｘ］表示不大于ｘ的最大整数．例如［３．１４］＝３，［－７．５９］＝－８．则满足关系式［３ｘ＋７７］＝４的ｘ的整数值有（）（Ａ）６个．（Ｂ）５个．（Ｃ）４个．（Ｄ）３个．图３７．在图３所示的４×４的方格表中，记∠ＡＢＤ＝α，∠ＤＥＦ＝β，∠ＣＧＨ＝γ，则α，β，γ的大小关系是（）（Ａ）β＜α＜γ．（Ｂ）β＜γ＜α．（Ｃ）α＜γ＜β．（Ｄ）α＜β＜γ．８．方程ｘ＋ｙ＋ｚ＝７的正整数解有（）（Ａ）１０组．（Ｂ）１２组．（Ｃ）１５组．（Ｄ）１６组．图４９．如图４，ＡＢＣＤ与ＢＥＦＧ是并列放在一起的两个正方形．Ｏ是ＢＦ与ＥＧ的交点．如果正方形ＡＢＣＤ的面积是９平方厘米，ＣＧ＝２厘米．则·４３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期△ＤＥＯ的面积是（）．（Ａ）６．２５平方厘米．（Ｂ）５．７５平方厘米．（Ｃ）４．５０平方厘米．（Ｄ）３．７５平方厘米．１０．有如下四个叙述：①当０＜ｘ＜１时，１１＋ｘ＜１－ｘ＋ｘ２．②当０＜ｘ＜１时，１１＋ｘ＞１－ｘ＋ｘ２．③当－１＜ｘ＜０时，１１＋ｘ＜１－ｘ＋ｘ２．④当－１＜ｘ＜０时，１１＋ｘ＞１－ｘ＋ｘ２．其中正确的叙述是（）（Ａ）①③．（Ｂ）②④．（Ｃ）①④．（Ｄ）②③．二、Ａ组填空题１１．神舟六号飞船的速度为７．８千米／秒，航天员费俊龙用３分钟在舱内连做４个“前滚翻”，那么当费俊龙“翻”完一个跟斗时，飞船飞行了千米．１２．已知ａ＋ｂ＝３，ａ２ｂ＋ａｂ２＝－３０，则ａ２－ａｂ＋ｂ２＋１１＝．１３．图５为某工厂２００３年至２００５年的利润和资产统计表，由图可知资产利润率最高的年份是年．（注：资产利润率＝利润总资产）图５１４．计算：１３×１７×－２１３＋０．１２５（）÷－１１１６（）１－１２－１８＝．图６ １５．图６是一个程序流向图，请你看图说出“终止”处的计算结果是．１６．已知ｍ－２的倒数是－１４１ｍ＋２（），则ｍ２＋１ｍ２的值是．１７．ｎ是自然数，如果ｎ＋２０和ｎ－２１都是完全平方数，则ｎ等于．１８．Ｉｆ ｘ＝２ｉｓ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ１９１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＋１０｛｝＝１，ｔｈｅｎ ａ＝．（英汉词典：ｅｑｕａｔｉｏｎ方程；ｓｏｌｕｔｉｏｎ解）１９．将（１＋２ｘ－３ｘ２）２展开，所得多项式的系数和是．图７２０．如图７所示，圆的周长为４个单位长度，在圆的４等分点处，顺时针方向依次标上数字０，１，２，３．先让圆周上数字０所对应的点与数轴上的数－１所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，使数轴上－２，－３，－４，…所对应的点与圆周上３，２，１，…所对应的点重合，那么数轴上数－２００６与圆周上对应的数是．三、Ｂ组填空题２１．把一块正方体木块的表面涂上漆，再把它锯成２７块大小相同的小正方体．在这些小正方体中，没涂漆的有个，至少被漆２个面的有块．图８２２．如图８所示，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝８厘米，ＢＣ＝６厘米．分别以ＡＣ、ＢＣ为边向形外作正方形ＡＥＤＣ、ＢＣＦＧ．三角形ＢＥＦ的面积为ａ，六边形ＡＥＤＦＧＢ面积为Ｓ．则ａ＝平方厘米，且ａＳ＝．·５３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版２３．世界十大沙漠的面积见下表：（面积单位：万平方千米）名称撒哈拉沙漠阿拉伯沙漠利比亚沙漠澳大利亚沙漠戈壁沙漠面积８６０ ２３３ １６９ １５５ １０４名称巴塔哥尼亚沙漠鲁卜哈利沙漠卡拉哈里沙漠大沙沙漠塔克拉玛干沙漠面积６７ ６５ ５２ ４１ ３２十大沙漠的总面积为万平方千米．已知地球陆地面积为１．４９亿平方千米，占地球表面积的２９．２％，则十大沙漠的总面积占地球表面积的％（精确到千分位）．２４．甲自Ａ向Ｂ走了５．５分钟时，乙自Ｂ向Ａ行走，每分钟比甲多走３０米．他们于途中Ｃ处相遇．甲自Ａ到达Ｃ用时比自Ｃ到Ｂ用时多４分钟，乙自Ｃ到Ａ用时比自Ｂ到Ｃ用时多３分钟．则甲从Ａ到Ｃ用了分钟，Ａ、Ｂ两处的距离是米．２５．将１，２，３，４，５，６，７，８，９按任意顺序写成一排，其中相邻的３个数字组成一个三位数．共有七个三位数，求这七个三位数的和．则所得这些三位数之和的最小值是．参考答案一、选择题题号１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０答案Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 提示１．Ａ，Ｂ两点间的距离是＋１７－（－２００６）＝１７＋２００６＝２０２３．故选（Ｄ）．２．如－１２和１２之间既没有正整数，也没有负整数，所以命题①，②不正确．０介于两个符号相反的分数之间，所以命题③，④正确．故选（Ｂ）．３．参加数学兴趣小组的学生占参加课外活动学生总人数的１００％－１７％－２６％－３５％＝２２％．故选（Ｂ）．４．因为ａ＋２ａ＋３＝１－１ａ＋３，ａ＋１ａ＋２＝１－１ａ＋２，ａａ＋１＝１－１ａ＋１，又ａ＋１＜ａ＋２＜ａ＋３＜０，可得０＜－（ａ＋３）＜－（ａ＋２）＜－（ａ＋１），所以－１ａ＋１＜－１ａ＋２＜－１ａ＋３，因此ａａ＋１＜ａ＋１ａ＋２＜ａ＋２ａ＋３．故选（Ｃ）．５．第一、第三两个交通标志是轴对称图形，其他两个交通标志不是轴对称图形，故选（Ｃ）．６．解不等式４≤３ｘ＋７７＜５，得整数解ｘ＝７，８，９．故选（Ｄ）．７．观察图形，易知 ∠ＡＢＤ＝α＞９０°，∠ＤＥＦ＝β＜９０°，∠ＣＧＨ＝γ＝９０°，所以β＜γ＜α．故选（Ｂ）．８．因为ｘ，ｙ，ｚ均为正整数，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝７，所以１≤ｘ≤５．下面分类讨论：当ｘ＝１时，有５组解；当ｘ＝２时，有４组解；当ｘ＝３时，有３组解；当ｘ＝４时，有２组解；当ｘ＝５时，有１组解．共计５＋４＋３＋２＋１＝１５（组）解．故选（Ｃ）．９．如图９，连接ＢＤ，易知ＢＤ∥ＥＧ，图９所以△ＥＤＯ与△ＢＥＯ的面积相等．由于Ｏ是正方形ＢＥＦＧ的对角线ＢＦ与ＥＧ的交点，所以△ＢＥＯ的面积等于正方形ＢＥＦＧ面积的四分之一．因为正方形ＡＢＣＤ的面积是９平方厘米，所以边长ＢＣ＝３厘米．又ＣＧ＝２厘米，因此，ＢＧ＝５厘米，正方形ＢＥＦＧ的面积等于２５平方厘米．所以△ＥＤＯ的面积＝△ＢＥＯ的面积＝２５４＝６．２５（平方厘米）．故选（Ａ）．·６３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期１０．当０＜ｘ＜１或－１＜ｘ＜０时，１１＋ｘ和１－ｘ＋ｘ２都大于０，所以两式的比值大于０．又（１－ｘ＋ｘ２）÷１１＋ｘ＝（１－ｘ＋ｘ２）（１＋ｘ）＝１＋ｘ３，当０＜ｘ＜１时，１＋ｘ３＞１，所以①正确，②不正确；当－１＜ｘ＜０时，１＋ｘ３＜１，所以③不正确，④正确．故选（Ｃ）．二、Ａ组填空题题号１１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０答案３５１ ５０ ２００４ １６－３２９４４２１－４ ０ ３ 提示１１．费俊龙“翻”一个跟斗的时间为（３×６０÷４）秒，神舟六号飞船飞行的速度为７．８千米／秒，所以在费俊龙“翻”一个跟头的时间内飞船飞行了７．８×３×６０÷４＝３５１（千米）．１２．因为ａ＋ｂ＝３，ａ２ｂ＋ａｂ２＝ａｂ（ａ＋ｂ）＝－３０，所以ａｂ＝－１０．故 ａ２－ａｂ＋ｂ２＋１１＝（ａ＋ｂ）２－３ａｂ＋１１＝３２－３×（－１０）＋１１＝５０．１３．计算得２００３年的资产利润率＝３００３０００×１００％＝１０％，２００４年的资产利润率＝３６０３２００×１００％＝１１．２５％，２００５年的资产利润率＝４８０５０００×１００％＝９．６％，所以资产利润率最高的年份是２００４年．１４．１３×１７×－２１３＋０．１２５（）÷－１１１６（）１－１２－１８＝１７×－２＋１３８（）×－１６１７（）３８＝１６．１５．只要按照程序的过程走就可以看出结果应该是－２的５次方，等于－３２．１６．译文：如果ｍ－２的倒数是－１４１ｍ＋２（），那么ｍ２＋１ｍ２＝．解 由条件知 ｍ－２＝－４１ｍ＋２，即（ｍ－２）１ｍ＋２（）＝－４，１－２ｍ＋２ｍ＝０．所以１ｍ－ｍ＝１２，两边平方，再整理得 ｍ２＋１ｍ２＝９４．１７．设ｎ＋２０＝ａ２，ｎ－２１＝ｂ２（ａ，ｂ均为整数），则ａ２－ｂ２＝（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）＝４１，且ａ２＞ｂ２，又因为４１是质数，所以ａ－ｂ＝１，ａ＋ｂ＝４１；｛或ａ－ｂ＝４１，ａ＋ｂ＝１；｛或ａ－ｂ＝－１，ａ＋ｂ＝－４１；｛或ａ－ｂ＝－４１，ａ＋ｂ＝－１．｛方程组的两式相加，得２ａ＝４２，或２ａ＝－４２，即ａ＝２１，或ａ＝－２１，从而ｎ＝ａ２－２０＝４４１－２０＝４２１．１８．译文：已知ｘ＝２是方程１９１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＋１０｛｝＝１的解，那么ａ＝．解 从外向里逐层去括号：１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＋１０＝９，１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＝－１，１３ｘ＋ａ２＋４（）－７＝－６，１３ｘ＋ａ２＋４（）＝１，ｘ＋ａ２＋４＝３，ｘ＋ａ２＝－１，ｘ＋ａ＝－２．将ｘ＝２代入上式，得ａ＝－４．·７３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版１９．多项式ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ａ２ｘｎ－２＋…＋ａｍ－１ｘ１＋ａｎ的系数和为ａ０＋ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ－１＋ａｎ，故只需令多项式ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ａ２ｘｎ－２＋…＋ａｎ－１ｘ１＋ａｎ中的ｘ＝１即可．所以（１＋２ｘ－３ｘ２）２的展开式的系数和为（１＋２－３）２＝０．２０．因为｜（－２００６）－（－１）｜＝２００５＝５０１×４＋１，所以数轴上的数－２００６与圆周上的数３相对应．三、Ｂ组填空题题号２１ ２２ ２３ ２４ ２５答案１；２０ ６６；１４８ １７７８；３．４８ １０；１４４０ ４６４８；３１２２ 提示２１．８个角上的小正方体三面涂漆，１２条棱上各有１块小正方体两面涂漆，６个面上各有１块小正方体一面涂漆，还剩１块中心的小正方体没有涂漆．所以没涂漆的小正方体有１块，至少被漆２个面的小正方体有８＋１２＝２０（块）．２２．易知Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＣＤＦ＝１２×６×８＝２４（平方厘米），正方形ＡＣＤＥ的面积＝８２＝６４（平方厘米），正方形ＢＣＦＧ的面积＝６２＝３６（平方厘米）．所以 六边形ＡＥＤＦＧＢ的面积＝２４＋２４＋６４＋３６＝１４８（平方厘米）．连接ＣＥ，则Ｓ△ＣＦＥ＝Ｓ△ＣＦＤ＝２４（平方厘米），Ｓ△ＣＢＥ＝Ｓ△ＣＢＡ＝２４（平方厘米），又Ｓ△ＢＣＦ＝６２２＝１８（平方厘米）．所以三角形ＢＥＦ的面积２４＋２４＋１８＝６６（平方厘米）．２３．十大沙漠的总面积为８６０＋２３３＋１６９＋１５５＋１０４＋６７＋６５＋５２＋４１＋３２＝１７７８（万平方千米），地球陆地面积为１．４９亿平方千米＝１．４９×１０４万平方千米，占地球表面积的２９．２％，所以地球表面积为１．４９×１０４÷２９．２％（万平方千米）．故十大沙漠的总面积占地球表面积的１７７８１．４９×１０４÷２９．２％＝３．４８％．２４．解法１ 设甲与乙相遇时甲行走了ｔ分钟，则甲自Ｃ到达Ｂ处所用时间是（ｔ－４）分钟，乙自Ｂ到达Ｃ处所用时间是（ｔ－５．５）分钟，乙自Ｃ到达Ａ处所用时间是（ｔ－２．５）分钟．设甲的速度是ｖ米／分，则乙的速度是（ｖ＋３０）米／分．列方程组，得ｔｖ＝（ｔ－２．５）（ｖ＋３０），（ｔ－４）ｖ＝（ｔ－５．５）（ｖ＋３０）．｛即３０ｔ－２．５ｖ－７５＝０，３０ｔ－１．５ｖ－１６５＝０．｛解得ｔ＝１０，ｖ＝９０．｛所以Ａ，Ｂ两处的距离为（２ｔ－４）ｖ＝１６×９０＝１４４０（米）．解法２ 设甲的速度是ｖ米／分，则乙的速度是（ｖ＋３０）米／分．列方程组，得ＡＣ－ＢＣ＝４ｖ，ＡＣ－ＢＣ＝３（ｖ＋３０）．｛解得ｖ＝９０．又设甲与乙相遇时乙行走了ｔ分钟，则（５．５＋ｔ）×９０－（９０＋３０）ｔ＝９０×４，解得ｔ＝４．５．所以甲从Ａ到Ｃ所用时间是５．５＋４．５＝１０（分钟），Ａ，Ｂ两处的距离为９０×１０＋（９０＋３０）×４．５＝１４４０（米）．２５．设排列的九个数为ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ依题意知，所求的七个三位数的和为ａｂｃ＋ｂｃｄ＋ｃｄｅ＋ｄｅｆ＋ｅｆｇ＋ｆｇｈ＋ｇｈｉ＝１００ａ＋１１０ｂ＋１１１（ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ）＋１１ｈ＋ｉ，为使所求的七个三位数的和最大，应选取ａ＝３，ｂ＝４，ｃ～ｇ选５～９，ｈ＝２，ｉ＝１，此时，最大的和为４６４８．为使所求的七个三位数的和最小，应选取ａ＝７，ｂ＝６，ｃ～ｇ选１～５，ｈ＝８，ｉ＝９，此时，最小的和为３１２２．·８３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期初中一年级 第２试一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．１．ａ和ｂ是满足ａｂ≠０的有理数，现有四个命题：①ａ－２ｂ２＋４的相反数是２－ａｂ２＋４；②ａ－ｂ的相反数是ａ的相反数与ｂ的相反数的差；③ａｂ的相反数是ａ的相反数和ｂ的相反数的乘积；④ａｂ的倒数是ａ的倒数和ｂ的倒数的乘积．其中真命题有（）（Ａ）１个． （Ｂ）２个． （Ｃ）３个． （Ｄ）４个．２．在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是（）３．在代数式ｘｙ２中，ｘ与ｙ的值各减少２５％，则该代数式的值减少了（）（Ａ）５０％．（Ｂ）７５％．（Ｃ）３７６４．（Ｄ）２７６４．４．若ａ＜ｂ＜０＜ｃ＜ｄ，则以下四个结论中正确的是（）（Ａ）ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ一定是正数．（Ｂ）ｄ＋ｃ－ａ－ｂ可能是负数．（Ｃ）ｄ－ｃ－ｂ－ａ一定是正数．图１（Ｄ）ｃ－ｄ－ｂ－ａ一定是正数．５．在图１中，ＤＡ＝ＤＢ＝ＤＣ，则ｘ的值是（）（Ａ）１０．（Ｂ）２０．（Ｃ）３０．（Ｄ）４０．６．已知ａ，ｂ，ｃ都是整数，ｍ＝｜ａ＋ｂ｜＋｜ｂ－ｃ｜＋｜ａ－ｃ｜，那么（）（Ａ）ｍ一定是奇数．（Ｂ）ｍ一定是偶数．（Ｃ）仅当ａ，ｂ，ｃ同奇或同偶时，ｍ是偶数．（Ｄ）ｍ的奇偶性不能确定．７．三角形三边的长ａ，ｂ，ｃ都是整数，且［ａ，ｂ，ｃ］＝６０，（ａ，ｂ）＝４，（ｂ，ｃ）＝３．（注：［ａ，ｂ，ｃ］表示ａ，ｂ，ｃ的最小公倍数；（ａ，ｂ）表示ａ，ｂ的最大公约数），则ａ＋ｂ＋ｃ的最小值是（）（Ａ）３０．（Ｂ）３１．（Ｃ）３２．（Ｄ）３３．图２８．如图２，矩形ＡＢＣＤ由３×４个小正方形组成．此图中，不是正方形的矩形有（）（Ａ）４０个． （Ｂ）３８个．（Ｃ）３６个．（Ｄ）３４个．９．设ａ是有理数，用［ａ］表示不超过ａ的最大整数，如［１．７］＝１，［－１］＝－１，［０］＝０，［－１．２］＝－２，则在以下四个结论中正确的是（）（Ａ）［ａ］＋［－ａ］＝０．（Ｂ）［ａ］＋［－ａ］等于０或１．（Ｃ）［ａ］＋［－ａ］≠０．（Ｄ）［ａ］＋［－ａ］等于０或－１．１０．Ｏｎ ｔｈｅ ｎｕｍ ｂｅｒ ａｘｉｓ，ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏｐｏｉｎｔｓ Ａａｎｄ Ｂｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｎｕｍ ｂｅｒｓ ７ａｎｄ ｂ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎＡａｎｄ Ｂｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ １０．Ｌｅｔ ｍ＝５－２ｂ，ｔｈｅｎｔｈｅ ｒａｎｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｍｉｓ（）（Ａ）－１＜ｍ＜３９．（Ｂ）－３９＜ｍ＜１．（Ｃ）－２９＜ｍ＜１１．（Ｄ）－１１＜ｍ＜２９．（英汉词典：ｎｕｍｂｅｒ ａｘｉｓ数轴；ｐｏｉｎｔ点；ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｔｏ对应于…；ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ分别地；ｄｉｓｔａｎｃｅ距离；ｌｅｓｓ ｔｈａｎ小于；ｖａｌｕｅ值、数值；ｒａｎｇｅ范围）·９３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版二、填空题１１．１１２－２５６＋３１１２－４１９２０＋５１３０－６４１４２＋７１５６－８７１７２＋９１９０＝．１２．若ｍ＋ｎ－ｐ＝０，则ｍ１ｎ－１ｐ（）＋ｎ１ｍ－１ｐ（）－ｐ１ｍ＋１ｎ（）的值等于．图３１３．图３是一个小区的街道图，Ａ，Ｂ，Ｃ，…，Ｘ，Ｙ，Ｚ是道路交叉的１７个路口，站在任一路口都可以沿直线看到过这个路口的所有街道．现要使岗哨们能看到小区的所有街道，那么，最少要设个岗哨．１４．如果ｍ－１ｍ＝－３，那么ｍ３－１ｍ３＝．１５．１＋２＋３＋４＋５＋…＋２００５＋２００６１－１１００４（）１－１１００５（）１－１１００６（）…１－１２００６（）＝．１６．乒乓球比赛结束后，将若干个乒乓球发给优胜者．取其中的一半加半个发给第一名；取余下的一半加半个发给第二名；又取余下的一半加半个发给第三名；再取余下的一半加半个发给第四名；最后取余下的一半加半个发给第五名，乒乓球正好全部发完．这些乒乓球共有个．１７．有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为２９、２３、２１和１７岁，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是岁．１８．初一（２）班的同学站成一排，他们先自左向右从“１”开始报数，然后又自右向左从“１”开始报数，结果发现两次报数时，报“２０”的两名同学之间（包括这两名同学）恰有１５人，则全班同学共有人．１９．２ ｍ＋２００６＋２ ｍ（ｍ是正整数）的末位数字是．２０．Ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ａ，ｂ，ｃ，ｄ ａｒｅ ａｌｌ ｉｎｔｅｇｅｒｓ，ａｎｄ ｆｏｕｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ（ａ－２ｂ）ｘ＝１，（ｂ－３ｃ）ｙ＝１（ｃ－４ｄ）ｚ＝１，ｗ＋１００＝ｄ ｈａｖｅ ａｌｗａｙｓｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｘ，ｙ，ｚ，ｗ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒｓｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｏｆ ａｉｓ．（英汉词典：ｔｏ ａｓｓｕｍｅ假设；ｉｎｔｅｇｅｒ整数；ｅｑｕａｔｉｏｎ方程；ｓｏｌｕｔｉｏｎ（方程的）解；ｐｏｓｉｔｉｖｅ正的；ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ分别地；ｍｉｎｉｍｕｍ最小值）三、解答题要求：写出推算过程２１．（１）证明：奇数的平方被８除余１．（２）请你进一步证明：２００６不能表示为１０个奇数的平方之和．图４２２．如图４所示，△ＡＢＣ的面积为１，Ｅ是ＡＣ的中点，Ｏ是ＢＥ的中点．连结ＡＯ并延长交ＢＣ于Ｄ，连结ＣＯ并延长ＡＢ于Ｆ．求四边形ＢＤＯＦ的面积．２３．老师带着两名学生到离学校３３千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车，速度为２５千米／小时．这辆摩托车后座可带乘１名学生，带人后速度为２０千米／小时．学生步行的速度为５千米／小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过３个小时．参考答案一、选择题题号１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０答案Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ 提示１．因为－ａ－２ｂ２＋４＝２－ａｂ２＋４，所以命题①是真命题；因为ａ－ｂ的相反数为－（ａ－ｂ）＝－ａ－（－ｂ），所以命题②的真命题；·０４·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期因为ａｂ的相反数为－ａｂ，（－ａ）（－ｂ）＝ａｂ，又ａｂ≠０，所以－ａｂ≠ａｂ，因此③不是真命题；因为ａｂ≠０，所以ａｂ的倒数为１ａｂ＝１ａ·１ｂ，因此，④是真命题．故选（Ｃ）．２．观察即知，选（Ｃ）．３．因为ｘ（１－２５％）·［ｙ（１－２５％）］２＝２７６４ｘｙ２，所以代数式的值减少了１－２７６４＝３７６４．故选（Ｃ）．４．当ａ＝－５，ｂ＝－４，ｃ＝１，ｄ＝２时，（Ａ）不成立；当ａ＝－５，ｂ＝－４，ｃ＝１，ｄ＝２０时，（Ｄ）不成立；又因为ａ＜ｂ＜０＜ｃ＜ｄ，所以ｄ＋ｃ＞０，①ｄ－ｃ＞０，②－ａ＞０，③－ｂ＞０，④①＋③＋④，得 ｄ＋ｃ－ａ－ｂ＞０，②＋③＋④，得 ｄ－ｃ－ｂ－ａ＞０，即（Ｂ）不正确，（Ｃ）正确．故选（Ｃ）．５．根据三角形内角和定理，并利用等腰三角形两底角相等，得２ｘ＋３０×２＋５０×２＝１８０，解得ｘ＝１０．故选（Ａ）．６．因为ａ，ｂ，ｃ，均为整数，又奇数＋奇数＝偶数；偶数＋偶数＝偶数；奇数－奇数＝偶数；偶数－偶数＝偶数；奇数－偶数＝奇数；偶数－奇数＝奇数；所以当ａ，ｂ，ｃ同奇或同偶时，ｍ为偶数；当ａ，ｂ，ｃ中有两个奇数一个偶数时，ｍ为偶数；当ａ，ｂ，ｃ中有两个偶数一个奇数时，ｍ为偶数；故选（Ｂ）．７．由题意知ｂ既能被４整除，又能被３整除，所以ｂ能被１２整除．又６０能被ｂ整除，所以ｂ＝１２或６０．（１）若ｂ＝１２，则６０÷ｂ＝５，因为（５，４）＝１，（５，３）＝１，所以ａ，ｃ中至少有一个含因数５．若ａ含因数５，则ａ≥２０，又ｃ≥３，所以ａ＋ｂ＋ｃ≥２０＋１２＋３＝３５；若ｃ含因数５，则ｃ≥１５，又ａ≥４，所以ａ＋ｂ＋ｃ≥４＋１２＋１５＝３１，取ａ＝４，ｂ＝１２，ｃ＝１５，能构成三角形．（２）若ｂ＝６０，则ａ＋ｂ＋ｃ＞６０＞３１．综上知，ａ＋ｂ＋ｃ的最小值为３１．故选（Ｂ）．８．从５条竖线中取２条，共有５×４２＝１０（种）取法，从４条横线中取２条，共有４×３２＝６（种）取法．２条竖线和２条横线可组成１个矩形，所以图中的矩形共有１０×６＝６０（个），其中，正方形有４×３＋３×２＋２×１＝２０（个），所以，不是正方形的矩形有６０－２０＝４０（个）．故选（Ａ）．·１４·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版９．当ａ＝１．１时，［ａ］＝１，［－ａ］＝－２，所以（Ａ）、（Ｂ）不成立．当ａ＝１时，［ａ］＝１，［－ａ］＝－１，所以（Ｃ）不成立．当ａ≥０时，ａ可以写成ａ＝［ａ］＋｛ａ｝，而０≤｛ａ｝＜１，－ａ＝－［ａ］－｛ａ｝．如果｛ａ｝＝０，即ａ是正整数，则［－ａ］＝－［ａ］，所以［ａ］＋［－ａ］＝０．如果｛ａ｝＞０，则［－ａ］＝－［ａ］＝－１，所以［ａ］＋［－ａ］＝－１．当ａ＜０时，令ｂ＝－ａ＞０，将上面讨论中的ａ换成ｂ，仍可以得到［ａ］＋［－ａ］等于０或－１．故选（Ｄ）．１０．译文：点Ａ和点Ｂ分别对应于数轴上的两个数７和ｂ，且｜ＡＢ｜＜１０．如果ｍ＝５－２ｂ，那么ｍ的取值范围是（ ）（Ａ）－１＜ｍ＜３９．（Ｂ）－３９＜ｍ＜１．（Ｃ）－２９＜ｍ＜１１．（Ｄ）－１１＜ｍ＜２９．解 由题意知｜ＡＢ｜＝｜ｂ－７｜＜１０，所以－３＜ｂ＜１７，即－２９＜５－２ｂ＜１１．故选（Ｃ）．二、填空题题号１１ １２ １３ １４ １５答案１９１０－３ ４－３６ ４０２６０４２题号１６ １７ １８ １９ ２０答案３１ １８ ５３或２５ ０ ２４３３ 提示１１．原式＝１＋１２＋３－２５６（）＋１１２＋ ５－４１９２０（）＋１３０＋７－６４１４２（）＋１５６＋ ９－８７１７２（）＋１９０＝１＋１２＋１６＋１１２＋１２０＋１３０＋１４２＋１５６＋１７２＋１９０＝１＋１－１２（）＋１２－１３（）＋１３－１４（）＋ １４－１５（）＋…＋１８－１９（）＋１９－１１０（）＝２－１１０＝１－９１０．１２．因为ｍ＋ｎ－ｐ＝０，所以ｍ－ｐ＝－ｎ，ｎ－ｐ＝－ｍ，ｍ＋ｎ＝ｐ，即 ｍ１ｎ－１ｐ（）＋ｎ１ｍ－１ｐ（）－ｐ１ｍ＋１ｎ（）＝ｍｎ－ｍｐ＋ｎｍ－ｎｐ－ｐｍ＋ｐｎ（）＝ｍｎ－ｐｎ（）＋ｎｍ－ｐｍ（）－ｍｐ＋ｎｐ（）＝ｍ－ｐｎ＋ｎ－ｐｍ－ｍ＋ｎｐ＝－１－１－１＝－３．１３．因为ＤＳ，ＡＸ，ＥＹ，ＦＺ是小区中４条彼此平行的街道，守望每条街道都需要１个岗哨，因此，守望这４条彼此平行的街道至少需要４个岗哨．即守望这个小区的所有街道需要安排的岗哨不能少于４个．在Ｄ，Ｎ，Ｙ，Ｆ路口设４个岗哨即可守望小区的所有街道，因此，最少要设４个岗哨．１４．ｍ３－１ｍ２＝ｍ－１ｍ（）ｍ２＋１１ｍ２（）＝－３ ｍ２－２＋１ｍ２＋３（）＝－３ ｍ－１ｍ（）２＋３［］＝－３×１２＝－３６．·２４·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期１５．原式＝（１＋２００６）×１００３１００３２００６＝２００７×２００６＝４０２６０４２．１６．设共有乒乓球ｘ个，则第一名得乒乓球的个数为ｘ２＋１２＝１２（ｘ＋１）；第二名得乒乓球的个数为１２ｘ－ｘ＋１２（）＋１２＝１４（ｘ＋１）；第三名得乒乓球的个数为１２ｘ－ｘ＋１２－ｘ＋１４（）＋１２＝１８（ｘ＋１）；以此类推，第四名得乒乓球的个数为ｘ＋１１６；第五名得ｘ＋１３２．依题意ｘ＋１２＋ｘ＋１４＋ｘ＋１８＋ｘ＋１１６＋ｘ＋１３２＝ｘ，即（ｘ＋１）１２＋１４＋１８＋１１６＋１３２（）＝ｘ．解得ｘ＝３１．１７．设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别是ａ，ｂ，ｃ，ｄ，则有ａ＋ｂ＋ｃ３＋ｄ＝２９，ｂ＋ｃ＋ｄ３＋ａ＝２３，ｃ＋ｄ＋ａ３＋ｂ＝２１，ｄ＋ａ＋ｂ３＋ｃ＝１７．烅烄烆将四个式子相加并化简，得ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝４５，再将上面方程组的每个式子乘以３后分别与（＊）式相减，得ａ＝１２，ｂ＝９，ｃ＝３，ｄ＝２１．由对称性，知甲、乙、丙、丁四人中年龄最大的是２１岁，年龄最小的是３岁．所以最大年龄与最小年龄的差为２１－３＝１８（岁）．１８．有如图５所示的两种情况：图５所以全班共有２０＋２０＋１３＝５３（人），或２０＋（２０－１５）＝２５（人）．１９．因为２ ｍ＋２００６＋２ ｍ＝２ ｍ（２２００６＋１），而２２００６＝（２４）５０１×２２＝１６５０１×４，乘积的个位数字是４，所以２２００６＋１的个位数字是５，又２ ｍ为偶数，所以ｍｍ＋２００６＋２ ｍ的末位数字为０．２０．译文：设ａ，ｂ，ｃ，ｄ均为整数，且关于ｘ，ｙ，ｚ，ｗ的四个方程（ａ－２ｂ）ｘ＝１，（ｂ－３ｃ）ｙ＝１，（ｃ－４ｄ）ｚ＝１，ｗ＋１００＝ｄ的根都是正数，则ａ可能取得的最小值是．解 因为方程（ａ－２ｂ）ｘ＝１的根ｘ＞０，所以ａ－２ｂ＞０，又因为ａ，ｂ均为整数，所以ａ－２ｂ也为整数，即ａ－２ｂ≥１，ａ≥２ｂ＋１．同理可得ｂ≥３ｃ＋１，ｃ≥４ｄ＋１，ｄ≥１０１．所以ａ≥２ｂ＋１≥２（３ｃ＋１）＋１＝６ｃ＋３≥６（４ｄ＋１）＋３＝２４ｄ＋９≥２４×１０１＋９＝２４３３，故ａ可能取得的最小值为２４３３．三、解答题２１．（１）设ｎ为任意整数，则２ｎ＋１为任意奇数．那么（２ｎ＋１）２＝２ｎ２＋４ｎ＋１＝４ｎ（ｎ＋１）＋１．由于ｎ（ｎ＋１）能被２整除，·３４·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版所以４ｎ（ｎ＋１）能被８整除，所以４ｎ（ｎ＋１）＋１被８除余１．因此，奇数的平方被８除余１．（２）假设２００６可以表示为１０个奇数的平方之和，也就是ｘ２１＋ｘ２２＋ｘ２３＋…＋ｘ２１０＝２００６，（其中ｘ１，ｘ２，ｘ３，…，ｘ１０都是奇数）等式左边被８除余２，而２００６被８除余６．矛盾！因此，２００６不能表示为１０个奇数的平方之和．２２．设Ｓ△ＢＤＦ＝ｘ，Ｓ△ＢＯＤ＝ｙ．因为Ｅ是ＡＣ的中点，Ｏ是ＢＥ的中点，且Ｓ△ＡＢＣ＝１，所以Ｓ△ＡＯＥ＝Ｓ△ＣＯＥ＝Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ△ＣＯＢ＝１４．则Ｓ△ＡＯＦ＝１４－ｘ，Ｓ△ＡＣＦ＝３４－ｘ，Ｓ△ＢＣＦ＝１４＋ｘ．由Ｓ△ＡＯＦＳ△ＢＯＦ＝ＡＦＢＦ＝Ｓ△ＡＣＦＳ△ＢＣＦ，得１４－ｘｘ＝３４－ｘ１４＋ｘ，即１１６－ｘ２＝３４ｘ－ｘ２，得ｘ＝１１２．又Ｓ△ＣＯＤ＝１４－ｙ，Ｓ△ＡＣＤ＝３４－ｙ，Ｓ△ＡＢＤ＝１４＋ｙ．由Ｓ△ＢＯＤＳ△ＣＯＤ＝ＢＤＣＤ＝Ｓ△ＡＢＤＳ△ＡＣＤ，得ｙ１４－ｙ＝１４＋ｙ３４－ｙ，即１１６－ｙ２＝３４ｙ－ｙ２，得ｙ＝１１２．所以Ｓ四边形ＢＤＯＦ＝ｘ＋ｙ＝１１２＋１１２＝１６．２３．要使师生二人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计方案如下：设学生为甲、乙二人．乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师带乘乙，与步行的甲同时到达博物馆．如果６所示，设老师带甲乘摩托车行驶了ｘ千米，用了ｘ２０小时，比乙多行了ｘ２０×（２０－５）＝３４ｘ（千米）．图６这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了３４ｘ÷（２５＋５）＝ｘ４０（小时）．乙遇到老师时，已经步行了ｘ２０＋ｘ４０（）×５＝３８ｘ（千米），离博物馆还有３３－３８ｘ（千米）．要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有ｘ＝３３－３８ｘ，解得ｘ＝２４．即甲先乘摩托车行驶２４千米，用了１．２小时，再步行９千米，用了１．８小时，共计３小时．因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过３个小时．·４４·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期。
第二十四届希望杯初二第1试试题及答案解析
2．点(-7，m)和点(-8，n)都在直线y=-2x-6上，则m和n的大小关系是( )
(A)m＞n．(B)m＜n．(C)m=n．(D)不能确定的．
3．下列命题中，正确的是( )
(A)若a＞0，则a＞．(B)若a＞a2，则a＞1．
(C)若0＜a＜1，则a＞a2．(D)若|a|=a，则a＞0．
9．选：A；【解析】题目翻译：“一个直角三角形三边为a-b，a，a+b，(a，b是正整数)，则它的周长可能是( )”，由于a-b＜a＜a+b，有(a-b)2+a2=(a+b)2，得a=4b，所以三边为3b，4b，5b，周长是12的倍数；
10．选：C；【解析】：==，设小李的手表从8：00走到15：00用t小时，有t：7=15：14，t=7．5，即15：30时，小李的表才走到下午3点；
17．3；【解析】若3x-2=5，x=，2x-1=7，x=4矛盾，舍去；若3x-2=7，x=3，2x-1=5，x=3无矛盾；
18．1.05；【解析】设甲、乙、丙三种商品的单价分别是x元、y元、z元．则有②-①得：x+3y=1.05…③，①-2×③得：x+y+z=1.05；
19．3；【解析】两边同时乘以(b-a)：-=1，-=1，-1+-1=1，即+= 3；
第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试答案与解析
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．选：C；【解析】①③④是函数；
2．选：B；【解析】k=-2，y随x增大而减小，-7＞-8，∴m＜n；
3．选：C；
4．选：A；【解析】3⊙=()3=；
5．选：C；
6．选：C；【解析】等边三角形内任取一点到等边三角形三条边的距离之和等边三角形的高；
15到20届希望杯初二第一试试题及培训题
第十五届希望杯初二第1试试题一、选择题:（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。
1、小伟自制了一个孔成像演示仪，如图1所示，在一个圆纸筒的两端分别用半秀明纸和黑纸封住，并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。
小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“”形状的光源，则他在半透明纸上观察到的像的形状是( )（A）（B）（C）（D）2、代数式的化简结果是( )（A）（B）（C）（D）3、已知是实数，且，那么( )（A）31（B）21（C）13（D）13或21或314、已知（＞）是两个任意质数，那么下列四个分数( )①；②；③；④中总是最简分数的有( )（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、Given are real numbers, and , then the valueof is ( )（A）4（B）6（C）3（D）4or66、某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印制一套需增加成本20元。
如果每套定价100元，卖出后有3成给承销商，出版社要盈利10%，那么该书至少应发行（精确到千位）( )（A）2千套（B）3千套（C）4千套（D）5千套7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C，满足3∠A＞5∠B，3∠C≤∠B，则这个三角形是( )（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等边三角形8、如图2，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，EC⊥FC，△CEF的面积是200，则BF的长是( )（A）15（B）12（C）11（D）109、如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，则( )（A）（B）（C）（D）10、表示不大于的最大整数，如[3.15]=3，[－2.7]=－3，[4]=4，则( )( )（A）1001（B）2003（C）2004（D）1002二、A组填空题（每小题4分，共40分。
第14届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(初二1)试题和详解
6，midline for hypotenuse（斜边）is 1，then
AC•BC= _________ ． 17、如图，两点 A、B 在直线 MN 外的同侧，A 到 MN 的距离 AC=8，B 到 MN 的距离 BD=5， CD=4，P 在直线 MN 上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于 _________ ．
18、如图，等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB=60°，AC 平分∠DAB，且 AC=2 ABCD 的周长等于 _________ ．
3边形 ABCDEF、 PQRSTU， 其中点 P 位于正六边形 ABCDEF 的中心， 如果它们的面积均为 1，则阴影部分的面积是 _________ ．
1 2
）
A、90° B、100° C、110° D、120° 10、2002 年 9 月 28 日，“希望杯”组委会第二次赴俄考查团启程，途经哈巴罗夫斯克和莫斯 科，两地航程约 9000 千米，往返飞行所用的时间并不相同，这是因为在北半球的高纬度地 区，有一股终年方向恒定的西风，人们称它为“高空西风带”．已知往返飞行的时间相差 1.5 小时，飞机在无风天气的平均时速为每小时 1000 千米，那么西风速度最接近（ ） A、60 千米/小时 B、70 千米/小时 C、80 千米/小时 D、90 千米/小时 二、填空题（共 15 小题，满分 100 分） 11、设 0＜x＜1＜y＜2，则
������﹣������ ≥ 0 ������﹣������ ≥ 0
，
1 ������﹣1 1 ������﹣������ + ������﹣������ + ������﹣ ������ =0+0+ ������ =1﹣������．
故选 A． 点评：本题主要考查了二次根式的意义和性质．