静定结构在支座沉降单独作用时的位移
建筑力学静定结构位移计算
4l/5
l/5
三次抛物线ω=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
n次抛物线ω=hl/(n+1)
例：求梁B点转角位移。 例：求梁B点竖向线位移
P
ql2/2
A
EI
B
MP
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l/2
Pl/4 l/2 MP
A
l
B
P=1 m=1 l 3l/4 1/2
⑥当图乘法的适用条件不满：足时的处理
一、各类静定结构的位移计算公式 １）梁、刚架：只考虑弯曲变形的影响
D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ２）桁架：只考虑轴向变形的影响
D = ∑∫(N FNP/EA) ds D = ∑NFNPl/EA ３）组合结构： D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋∑∫(N FNP/EA) ds (6-4-3) ４）拱 D= ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋∑∫(NFNP/EA) ds (6-4-4)
建筑力学静定结构位移计算
§14-1 计算结构位移的目的
一、结构的位移概念 在外因作用下，结构会发生变形，其上各点或
截面位置发生改变，叫作结构的位移。
平面杆件结构的位移： １、线位移：水平位移 竖向位移 ２、转角位移（角位移）
广义位移概念： １、绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移； ２、相对位移：一个截面相对另一个截面的位移。 二、计算结构位移的目的 １、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范 围，满足结构的功能和使用要求。 ２、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反方向予 先采取措施。 ３、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。
13、静定结构位移计算
§13-3 结构位移计算的一般公式
___
P2 K
P 1
R1
P1
K
实际位移状态
c2
c1
K
M , N , Q , Rk
R2
虚设单位力状态
结构位移计算的一般步骤： (1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加虚设单位力； (2) 求虚设单位力状态下的内力及反力 M , N , Q , Rk 的表达式；
A
B
§13-4 荷载作用下的位移计算
例13.2 求ΔCV ，EA=const。 解：1、虚设单位力状态。 P D
2P
P
P
0 0
(NP ) E
P
a
2、求 N 和 N P 。(标示于图中) 3、代入桁架的位移计算公式：A
2P
P
B
C
NNP 4a P P ΔCV l EA 1 1 2 ) ( 2 P ) 2a ( 1) ( P ) 2a 2 P 2a ( EA 2 2 (N ) 1 42 2 Pa 2 2 2 EA 2 2 2 2 6.83 2 Pa ___ EA 1/2 1/2
h
*
l
1 xc l 2
27
§13-5 图乘法
标准三次抛物线
三. 不同结构形式Δ公式的具体应用 梁、刚架： Δ
桁架：Δ
MM P ds EI
NNP l EA
一般情况： Δ 拱
MM P ds EI
Δ 扁平拱：
组合结构： Δ
MMP ds EI
NNP ds EA
2014级《结构力学》复习题及答案
2014级《结构力学》复习题及答案2014级《结构力学》复习题及答案一、填空题：1.图示结构的超静定次数为 7 。
2.图示结构，各杆的EIil都相同，用力矩分配法计算时，分配系数µAB等于 0.5 。
3.图示桁架中A支座的竖向反力（设向上为正）为 0 。
4.图示刚架，P=1在AB段移动，E处剪力F SE的影响线在E点处的竖标为 -1 。
5.图示结构支座位移Δ引起的A点水平位移方向为向右。
6.图示对称桁架中，a杆的轴力为 0 。
7.图示桁架中，零杆的根数为 5 根（不含支座链杆）。
8.图示刚架，各杆线刚度相同，用力矩分配法计算时，分配系数μ21= 4/5 ，μ23= 0 ，μ24= 1/5 。
9.位移法典型方程中的系数有r ij = r ji 的关系，它是由 反力互等 定理得到的结果。
10.图示桁架零杆根数为 7 根。
11.若三铰拱上所有截面的弯矩都等于零而且只有轴力，则这时的拱轴线称为 合理拱轴线 。
12.图示结构的动力自由度为 3 （不计杆件质量）。
二、单项选择题：1.图示刚架中，支座B的位移Δ引起B截面的角位移（顺时针为正）为（ C )A. Δ/hB. -Δ/hC. Δ/LD. -Δ/L2.图示体系是 ( B )A. 常变体系B. 瞬变体系C. 无多余联系的几何不变体系D. 有多余联系的几何不变体系3.图示体系是( D )A. 瞬变体系B. 常变体系C. 有多余联系的几何不变体系D. 无多余联系的几何不变体系为 ( A )4.图示连续梁，力矩分配系数µBCA. 2/3B. 1/2C. 1/3D. 1/45.图示结构的超静定次数为( C )A. 4B. 3C. 2D. 16.图示桁架中A支座的竖向反力（设向上为正）为( A )A. 0B. 0.5PC. 0PD. 2P7.图示三铰刚架支座A的水平约束反力为（ B )A. PB. P/4C. P/2D. 3P/48.图示三铰拱，链杆AB的轴力为（以拉为正）( B )A. -P/2B. P/2C. .P/4D. -P/49.在一个无多余联系的几何不变体系上加上一个二元体，得到的体系为 ( B )A. 有多余联系的几何不变体系B. 无多余联系的几何不变体系C. 常变体系D. 瞬变体系10.位移法典型方程实质是( B ) A. 位移条件 B. 平衡条件C. 物理条件D. 平衡条件和位移条件11.在一个几何瞬变体系上加上一个二元体，得到的体系为 ( C ) A. 无多余联系的几何不变体系 B. 有多余联系的几何不变体系 C. 瞬变体系 D. 常变体系12.求解位移法典型方程中的自由项R 2P 时，要用到 ( D ) A. 1M 图 B. 2M 图 C. 3M 图 D. M P 图13、图 示 体 系 的 几 何 组 成 为 ： （ A ） A. 几 何 不 变 ， 无 多 余 联 系 ； B. 几 何 不 变 ， 有 多 余 联 系 ； C. 瞬变 ； D. 常 变 。
静定结构的位移计算
静定结构的位移计算第4章 静定结构的位移计算4.1 结构位移的概念4.1.1 结构位移结构都是由变形材料制成的，当结构受到外部因素的作用时，它将产生变形和伴随而来的位移。
变形是指形状的改变，位移是指某点位置或某截面位置和方位的移动。
如图 4.1(a)所示刚架,在荷载作用下发生如虚线所示的变形，使截面A 的形心从A 点移动到了A ′点，线段AA ′称为A 点的线位移，记为A ∆，它也可以用水平线位移Ax ∆和竖向线位移Ay ∆两个分量来表示如图4.1(b)。
同时截面A 还转动了一个角度，称为截面A 的角位移，用A ϕ表示。
又如图4.2所示刚架，在荷载作用下发生虚线所示变形，截面A 发生了A ϕ角位移。
同时截面B 发生了B ϕ的角位移，这两个截面的方向相反的角位移之和称为截面A 、B 的相对角位移，即B A AB ϕϕϕ+=。
同理，C 、D 两点的水平线位移分别为C ∆如D ∆，这两个指向相反的水平位移之和称为C 、D 两点的水平相对线位移，既D C CD ∆+∆=∆。
除上述位移之外，静定结构由于支座沉降第4章静定结构的位移计算70等因素作用，亦可使结构或杆件产生位移，但结构的各杆件并不产生内力，也不产生变形，故把这种位移称为刚体位移。
一般情况下，结构的线位移、角位移或者相对位移，与结构原来的几何尺寸相比都是极其微小的。
4.1图71第4章静定结构的位移计算引起结构产生位移的主要因素有：荷载作用、温度改变、支座移动及杆件几何尺寸制造误差和材料收缩变形等。
4.1.2 结构位移计算的目的1. 验算结构的刚度结构在荷载作用下如果变形太大，即使不破坏也不能正常使用。
既结构设计时，要计算结构的位移，控制结构不能发生过大的变形。
让结构位移不超过允许的限值，这一计算过程称为刚度验算。
2. 解算超静定计算超静定结构的的反力和内力时，由于静力平衡方程数目不够，需建立位移条件的补充方程，所以必须计算结构的位移。
3. 保证施工在结构的施工过程中，也常常需要知道结构的位移，以确保施工安全和拼装就位。
《结构力学》静定结构的位移计算
A
x
C
x
C
∆AV
l 2 l 2
(a) 实际状态 1）列出两种状态的内力方程： ）列出两种状态的内力方程：
AC段 0 ≤ x ≤ 段 l 2
B
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N =0 M = −x Q = −1
NP = 0 MP = 0 Q =0 P
2
2
∆Q ∆Q h 1 h 1 当 = 时, = 1.83%;当 = 时, = 7.32% l 10 ∆M l 5 ∆M
计算屋架顶点的竖向位移。 例2 计算屋架顶点的竖向位移。
q(N/m )
1 1 1
4.5
3.0
1.5
P 2
P
D
C
ql P= 4 P
F G 0.25l
NP
1
1.5
P 2
B 0 1.5 0.5 0
二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式： 利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式：
K
K′
实际状态 （位移状态） 外虚功： 外虚功：W
e
∆
t1 t2
c2 c1
1
R 1
虚拟状态 （力状态） 内虚功： 内虚功：W
i
R2
= 1 ⋅ ∆ + ∑ Rk ⋅ ck
1 ⋅ ∆ + ∑ R k ck = ∑ ∫ (Mκ + N ε + Q γ )d s
第4章 静定结构的位移计算
Calculation of Statically Displacement Structures
目
录
§4-1 结构位移和虚功的概念 §4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4-3 静定结构由荷载所引起的位移 §4-4 图乘法 §4-5 互等定理
建筑力学（二）复习题（很多道题）
建筑⼒学（⼆）复习题（很多道题）建筑⼒学（⼆）复习题⼀、判断题１、⼏个刚⽚之间只要⽤三个铰两两相连，就能构成⽆多余约束的⼏何不变体系。
（）2、三个刚⽚由三个铰相连的体系⼀定是静定结构。
（）3、静定结构的内⼒可能与杆件的刚度有关。
（）4、静定结构是⽆多余约束的⼏何不变体系。
（）5、当⼀组不平衡的外荷载作⽤在附属部分时，基本部分必受⼒。
（）6、当外荷载只作⽤在基本部分时，附属部分不受⼒。
（）7、不共线的⼆杆节点，⼆杆均为零杆。
（）8、⽆外⼒作⽤的⼆杆节点，⼆杆均为零杆。
（）9、组合结构中，链杆的内⼒只有轴⼒，⽽梁式杆的内⼒只有弯矩和剪⼒。
（）10、组合结构中，链杆的内⼒只有轴⼒，⽽梁式杆的内⼒中没有轴⼒。
（）11、在竖向荷载作⽤下，三铰拱任⼀截⾯的弯矩等于对应简⽀梁同⼀截⾯的弯矩。
（）12、在竖向荷载作⽤下，三铰拱任⼀截⾯的剪⼒等于对应简⽀梁同⼀截⾯的剪⼒。
（）13、在荷载作⽤下，桁架的位移主要是由各杆的轴向变形引起的。
（）14、在荷载作⽤下，刚架和梁的位移主要是由各杆的弯曲变形引起的。
（）15、⼒法的基本⽅程是⼒的平衡⽅程。
（）16、超静定结构中有⼏个多余约束就有⼏个建⽴⼒法⽅程的变形条件。
（）17、结构有⼏个刚结点就有⼏个结点⾓位移基本未知量。
（）18、位移法基本⽅程的物理意义表⽰附加约束的反⼒等于零。
（）19、在⼒矩分配法中，同⼀刚性结点处各杆端的⼒矩分配系数之和等于1。
（）20、⼒矩分配法仅适⽤于解⽆线位移未知量的结构。
（）⼆、填空题１、连接两个刚⽚的⼀个单铰相当于个约束。
2、从⼏何组成上讲，静定和超静定结构都是⼏何体系。
3、当作⽤于静定结构上的某⼀⼏何不变部分上的荷载作等效变换时，只是该部分的发⽣变化，⽽其余部分的内⼒保持不变。
4、⼒法典型⽅程中，系数矩阵主对⾓线上的系数称为系数，其余系数称为副系数。
5．三个刚⽚⽤____________三个铰两两相联，组成⼏何不变体系，且⽆多余约束。
6．三铰拱的合理拱轴决定于____________和三个铰的位置。
05.静定结构的位移计算
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构
静定结构位移计算
⑷需求某两截面相对角位移时，应在两截面处加一对大小相等、转向相反
的单位力偶矩 m=1，如图(d)。
F=1 • A
(a)
m=1 •A
•A
F=1
(b)
F=1
•
B
(c)
•
B m=1
•A m=1
(d)
*⑸需求桁架某杆件角位移或某两杆相对角位移时，因桁架只受轴力，故
须将单位力偶矩 m=1 转化为
1 d
的结点力作用在该杆两端上，下图
结构在使用过程中不允许产生过大变形，必须加以限制。 ⑵为制作和架设结构提供计算依据（如起拱，作图说明）。 ⑶为分析超静定结构作准备。 使结构产生位移的因素主要有三个： ⑴荷载作用。 ⑵温度变化和材料热胀冷缩。 ⑶支座沉降和制造误差。 计算结构位移的两种方法： ⑴以杆件变形关系为基础的几何物理方法。
如计算梁挠度、转角的重积分法。 ⑵以功能原理为基础的单位荷载法，即以虚功原理为基础的单位荷载法。
A l
x B (a) 单位力作用下的弯矩表达式为：
M = -x
1
实际荷载作用下的弯矩表达式为：
A l
B (b)
x
MP
=
-
qx 2 2
故 B 端竖向位移为：
ΔBy =
l MP (x)M(x)dx = 1
0 EI
EI
l (-
0
1qx2 )(-x)dx 2
=
1 qx4 [
EI 8
Δ =
MP (x)M(x)dx + FNP FN L
EI
EA
（5-8）
（梁式杆）
（链杆）
*⑷拱和曲杆
对于一般的拱和曲杆，通常只考虑弯曲变形的影响，即可按梁和刚架
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静定
1. 虚功原理算位移的一般公式： ki Md Vrds Ndu Rc ϕ∆=++-∑∑∑∑⎰⎰⎰
2. 单独沉降公式：
ki Rc ∆=-∑
注意：①虚功原理——建虚拟状态（在所求位移点的位移方向上作用一个单位虚拟力） ②实际装状态——支座沉降（支座沉降的位移，包括水平位移、竖向位移和转角） R ：虚拟状态中与所求位移C 点沉降支座产生的支反力。
注：没有产生沉降的支座不用考虑。
C ：实际状态中实际发生的支座沉降的量（或叫值）（包括水平位移、竖向位移和转角） 强调：Rc 有正负取值（同向为正异向为负，所谓同向就是虚拟状态下的支反力的方向和实际状态下支座位移的方向相同，反之为负）
例：B 支座沉降，求C 点的竖向位移cy ∆。
B1
解：(1)
×
由虚拟状态可得:
0A M =∑ 12B y =(上) , 0C M =∑ 23B X =(左) 带入公式得：2125(43)326
--⨯-⨯=cm(下) 支座水平虚拟水平分力向左，支座位移向右，方向相反，所以取负，竖向亦然。