经典旋转证明类型题
有关旋转的证明题
6、如图，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边 上一点。
①若∠EAF=45º，求证：EF=BE+DF。
②若△AEF绕A点旋转，保持∠EAF=45º，问
△CEF旳周长是否随△AEF位置旳变化而变化？
GD
F
C
E
A
B
7、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且BM⊥CM ，M是AD中点，阐明AB+CD=BC。
（2）如图2，当a=30°时，试判断四边形BC1DA旳形状， 并阐明理由；
（3）在（2）旳情况下，求ED旳长．
C
C
D
F
2 C1
D
F
A1
E
4
A1
3
E
A1
3B
A1
H
4
B
C1 2
17、(2023四川省南充市，21，8分) 在Rt△POQ中， OP=OQ=4，M是PQ中点，把一三角尺旳直角顶点放在点M 处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺旳两直角边 与△POQ旳两直角边分别交于点A、B.
（1）求证：MA=MB;
（2）连接AB，探究：在旋转三角尺旳过程中，△AOB 旳周长是否存在最小值.若存在，
求出最小值；若不存在，请阐明理由.
18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°， BC=2．点0是AC旳中点，过点0旳直线l从与AC重叠 旳位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过 点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l旳旋转角为α. (1)①当α=____3_0_0__度时，四边形EDBC是等腰梯形， 此时AD旳长为________1_； ②当α=_____6_0_0_度时，四边形EDBC是直角梯形，此 时AD旳长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并阐 明理由．
旋转全等(试题)
1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．证明：（1）△ABD≌△ACE（2）BD⊥CE．（3）连接AM，AM是否平分∠CAD。
说明理由2．如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．则下列结论不正确的是（）A．BD＝CE B．BD⊥CE C．AF平分∠CAD D．∠AFE＝45°3．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，连接CF，则下列结论，①BF＝AC；②∠FCD＝45°；③若BF＝2EC，则△FDC周长等于AB的长；④若∠FBD＝30°，BF＝2，则AF＝．其中正确的有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④4．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE 为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为边作△CDE，其中∠DCE＝90°，CD＝CE，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝6cm，则BE＝cm．（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．6．如图1，E是等腰Rt△ABC边AC上的一个动点（点E与A、C不重合），以CE为一边在Rt△ABC作等腰Rt△CDE，连接AD，BE．我们探究下列图中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的等腰Rt△CDE绕着点C按顺时针方向旋转任意角度a，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中等腰直角三角形改为直角三角形（如图6），且AC＝a，BC＝b，CD＝ka，CE＝kb（a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第（2）题图5中，连接BD、AE，且a＝4，b＝3，k＝，求BD2+AE2的值．1．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证∠BFC=∠BAC=∠DAE求证：F A平分∠BFE．2．如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，若∠CAE ＝25°，则∠EBC的度数是（）A．35°B．30°C．25°D．20°3．如图所示：B、D、E在一条直线上，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝．4．如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE．连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形．1．如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下十个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°；⑥CP＝CQ；⑦△CPQ为等边三角形；⑧共有2对全等三角形；⑨CO平分∠AOE；⑩CO 平分∠BCD恒成立的结论有（把你认为正确的序号都填上）2．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．13．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．（1）求证：△ADC≌△BEC．（2）求∠AOE的度数．（3）PQ与AE是否平行？请证明你的结论．。
旋转相似经典例题知识讲解
旋转与全等、相似中的线段数量关系基本例题：1、如图，△ABC 中，∠C ＝90°.（1）将△ABC 绕点B 逆时针旋转90，画出旋转后的三角形；（2）若BC ＝3，AC ＝4，点A 旋转后的对应点为A′，求A′A 的长变式1,如图 Rt △AB'C'是由Rt △ABC,绕点A 顺时针旋转得到的，连接C C'交AB 于E, (1) 证明：△CA C'∽△BA B'(2) 延长C C'交B B'于F ，证明：△CA E ∽△FBE变式2，△ABC 绕点B 逆时针旋转90°得到△DBE,若恰好得到C 、E 、D 三点共线，则AC 、BC 、CD 的数量关系是变式3，△ABC 绕点B 逆时针旋转a °得到△DBE,若恰好得到C 、E 、D 三点共线，则AC 、BC 、CD 的数量关系是EB'C'CA E DBACEBAC变式4、Rt △ABC 中，AC=BC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,求：AD 、CD 、BD 的数量关系变式5、Rt △ABC 中，AC=kBC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,探究：AD 、CD 、BD 的数量关系变式6、如图，在△OAB 和△OCD 中，∠A ＜90°，OB=KOD （K ＞1），∠AOB=∠COD ，∠OAB 与∠OCD 互补，试探索线段AB 与CD 的数量关系，并证明你的结论。
变式7.如图AB ∥CD ,BC ∥ED , ∠BCD+∠ACE=180°。
(1)当BC=CD 且∠ACE=90°时 如图3探究线段AC 和CE 之间的数量关系 （2）当BC=CD 时如图2探究线段AC 和CE 之间的数量关系（3）当BC=kCD 时如图1探究线段AC 和CE 之间的数量关系（用含k 的式子表示）E BC AD CAD B80中田凌志老师提供1如图R t △ABC ，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作直线MN ∥AC,点P 在直线BC 上，∠EPF=∠CAB ，且两边分别交直线AB 于E ，交直线MN 于F 。
有关旋转的证明题
物理学中的旋转运动
要点一
总结词
涉及旋转运动在物理学中的应用，包括角动量守恒定律、 科里奥利力等。
要点二
详细描述
在物理学中，旋转运动是一种重要的运动形式，涉及到许 多物理定律和效应。例如，角动量守恒定律是描述旋转系 统的一个重要定律，它指出在没有外力矩作用的情况下， 系统的角动量保持不变。此外，科里奥利力是描述旋转参 考系中物体运动受到的力，它在地球自转的影响下会导致 大气和洋流的偏转。
示例
在三角形ABC和三角形DEF中，已知AB=DE, BC=EF, 且角BAC=角EDF。证明三角形ABC 全等于三角形DEF。可以通过将三角形DEF绕点D逆时针旋转一定的角度，使得角EDF与 角BAC重合，然后利用边角边全等定理证明三角形ABC全等于三角形DEF。
圆形的旋转证明题
要点一
总结词
通过旋转圆形，利用圆周角定理和圆 的性质进行证明。
在四边形ABCD中，已知AB=CD, AD=BC, 且角BAD=角BCD。证明四 边形ABCD是平行四边形。可以通过 将四边形ABCD绕点A逆时针旋转一 定的角度，使得角BAD与角BCD重合 ，然后利用平行四边形的性质和旋转 的性质进行证明。
Part
05
练习题与答案
基础练习题
题目
证明三角形绕其重心旋转180度后与原图 形重合。
VS
答案
设三角形为$triangle ABC$，其重心为 $G$。将$triangle ABC$绕$G$旋转180度， 得到$triangle A'B'C'$。由于旋转中心是 重心，根据旋转性质，线段$AG=A'G$、 $BG=B'G$、$CG=C'G$。由于重心将中 线分为2:1的比例，因此$triangle ABC$和 $triangle A'B'C'$的三边对应相等，从而 证明两个三角形重合。
旋转相似经典例题
旋转与全等、相似中的线段数量关系基本例题：1、如图，△ABC中，∠C＝90°.（△1）将ABC绕点B逆时针旋转90，画出旋转后的三角形；（2）若BC＝3，AC＝4，点A旋转后的对应点为A′，求A′A的长变式1,如图△Rt AB'C'是由△Rt ABC,绕点A顺时针旋转得到的，连接C C'交AB于E,(1)证明：△CA△C'∽BA B'(2)延长C C'交B B'于△F，证明：CA△E∽FBEBEC'C A B'变式2，△ABC绕点B逆时针旋转△90°得到DBE,若恰好得到C、E、D三点共线，则AC、BC、CD的数量关系是DB ECA变式3，△ABC绕点B逆时针旋转△a°得到DBE,若恰好得到C、E、D三点共线，则AC、BC、CD的数量关系是DBECA变式4、△Rt ABC中，AC=BC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,求：AD、CD、BD的数量关系AE DBC变式5、△Rt ABC中，AC=kBC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,探究：AD、CD、BD的数量关系ADB C变式△6、如图，在OAB和△OCD中，∠A＜90°，OB=KOD（K＞1），∠AOB=∠COD，∠OAB与∠OCD互补，试探索线段AB与CD的数量关系，并证明你的结论。
变式7.如图AB∥CD,BC∥ED,∠BCD+∠ACE=180°。
(1)当BC=CD且∠ACE=90°时如图3探究线段AC和CE之间的数量关系（2）当BC=CD时如图2探究线段AC和CE之间的数量关系（3）当BC=kCD时如图1探究线段AC和CE之间的数量关系（用含k的式子表示）80中田凌志老师提供1如图R t△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作直线MN∥AC,点P在直线BC上，∠EPF=∠CAB，且两边分别交直线AB于E，交直线MN于F。
旋转相似经典例题
选择题：
下列哪个图形旋转后能与原图形相似？
A. 等腰三角形
B. 矩形
C. 等边三角形（正确答案）
D. 梯形
一个正方形绕其中心旋转45度后，得到的图形与原图形是什么关系？
A. 全等
B. 相似（正确答案）
C. 既不全等也不相似
D. 无法确定
下列哪个图形绕某一点旋转180度后，能与原图形相似？
A. 平行四边形
B. 等腰直角三角形（正确答案）
C. 菱形
D. 不规则四边形
一个正六边形绕其中心旋转60度后，新图形与原图形的相似比是？
A. 1:2
B. 1:1（正确答案）
C. 2:1
D. 无法确定
下列哪个图形不能通过旋转得到与自身相似的图形？
A. 正五边形
B. 正八边形
C. 正十五边形
D. 任意三角形（正确答案）
一个等边三角形绕其一个顶点旋转120度后，新图形与原图形的关系是？
A. 全等且相似（正确答案）
B. 全等但不相似
C. 相似但不全等
D. 既不全等也不相似
下列哪个图形绕其某一点旋转任意角度后，总能与原图形相似？
A. 圆形（正确答案）
B. 椭圆形
C. 抛物线形
D. 双曲线形
一个正方形绕其一条边的中点旋转90度后，新图形与原图形的关系是？
A. 全等
B. 相似（正确答案）
C. 既不全等也不相似
D. 无法确定
下列哪个图形绕其中心旋转任意非零角度后，总能保持与原图形相似？
A. 正多边形（正确答案）
B. 任意四边形
C. 任意五边形
D. 任意多边形。
小专题(七) 旋转中的计算与证明
，进而得出结论．
1．已知在△ABC 中，AB＝AC，D，E 是 BC 边上的点，将△ABD 绕点 A 旋转，得到△ACD′，连接 D′E.
(1)如图 1，当∠BAC＝120°时，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D′E；
(2)如图 2，当 DE＝D′E 时，∠DAE 与∠BAC 有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．
【思路点拨】 将△APC 绕点 A 顺时针旋转 60°，得△ADB.连接 DA，DP，DB，得 AD＝AP，DB＝PC＝ 3， ∠DAP＝60°.从而可证△ADP 为等边三角形，所以 DP＝AP＝2，∠DPA＝60°.在△DPB 中，利用勾股定理逆定 理可得∠DBP＝90°，∠DPB＝60°.从而可得∠APB＝120°.
小专题(七) 旋转中的计算与证明
类型 1 基于“半角”的旋转 在很多题目中都有这样的题设条件：一个大角中有一个共顶点的小角，小角正好是大角的一半(如例 1)．当面
对这样的信息时，往往可以考虑使用旋转变换，并且旋转后，多半还有一对轴对称的全等三角形出现，此时，很 多问题即可迎刃而解了．总结此类问题解题的思路即是：半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．
参考答案
【例 1】 AE2＋BF2＝EF2.证明：将△OFB 绕点 O 顺时针旋转 90°，得△OHA.连接 HE，∴OH＝OF，AH＝BF， ∠BOF＝∠AOH，∠HOF＝90°.∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠DAB＝90°，∠AOB＝90°.∵∠EOF＝45°， ∴∠AOE＋∠BOF＝∠AOB－∠EOF＝90°－45°＝45°.∴∠AOE＋∠AOH＝∠EOH＝45°.∴∠EOH＝∠EOF. 在△EOH 和△EOF 中，OH＝OF，∠EOH＝∠EOF，OE＝OE，∴△EOH≌△EOF(SAS)．∴EF＝EH.∵在 Rt△ AEH 中，由勾股定理得 EH2＝AH2＋AE2，AH＝BF，∴AE2＋BF2＝EF2. 1.(1)证明：∵△ABD 绕点 A 旋转得到△ACD′，∴AD＝AD′，∠CAD′＝∠BAD.∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60 °，∴∠D′AE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC－∠DAE＝120°－60°＝60°.∴∠DAE＝ ∠D′AE.在△ADE 和△AD′E 中，AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，∴△ADE≌△AD′E(SAS)．∴DE＝ D′E. (2)∠DAE＝ 12∠BAC.理由如下：在△ADE 和△AD′E 中，AD＝AD′，AE＝AE，DE＝D′E，∴△ADE≌△AD′ E(SSS)．∴∠DAE＝∠D′AE.∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE.∴∠DAE＝ ∠BAC.12 (3)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠ACD′＝45°.∴∠D′CE＝45°＋45°＝90°.∵△D′EC 是等 腰直角三角形，∴D′E＝ 2CD′.由(2)可得 DE＝D′E，∵△ABD 绕点 A 旋转得到△ACD′，∴BD＝CD′.∴DE＝ 2 BD. 【例 2】 ∵△ABC 为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.将△APC 绕点 A 顺时针旋转 60°，得△ADB.连 接 DA，DP，DB，得 AD＝AP＝2，DB＝PC＝ 3，∠DAP＝60°.∴△ADP 为等边三角形，所以 DP＝AP＝2，∠ DPA＝60°.在△DPB 中，DB＝ 3，BP＝1，DP＝2，∴DP2＋BP2＝DB2.∴∠DBP＝90°，∠DPB＝60°.∴∠APB ＝∠DPB＋∠DPA＝60°＋60°＝120°. 2.将△APC 绕点 C 按逆时针旋转 60°，使 CA 移至 CB 处，PC 移到 P′C，PA 移到 P′B.∵∠PCP′＝60°，∴△ PCP′是等边三角形．∴∠P′PC＝60°，PP′＝PC＝1.∵∠BPC＝150°，∴∠BPP′＝90°.在 Rt△BP′P 中，BP ＝2，PP′＝PC＝1，由勾股定理得 P′B＝ 22＋1＝ 5＝PA.∴PA＝ 5. 3.因为△ABC 为等边三角形，△DBC 为等腰三角形，∠BDC＝120°，所以以 D 为旋转中心，按顺时针方向将△ DBM 旋转 120°如图，且 N、C、E 三点在同一条直线上．所以 DM＝DE，CE＝BM，∠BDM＝∠CDE.因为 ∠MDN＝60°，所以∠BDM＋∠NDC＝60°.所以∠NDE＝60°.在△DMN 和△DEN 中，DM＝DE，∠MDN＝ ∠EDN，DN＝DN，所以△DMN≌△DEN.所以 NE＝MN.所以△AMN 的周长＝AM＋MN＋AN＝AM＋NE＋AN＝ AM＋NC＋CE＋AN＝AM＋NC＋MB＋AN.即△AMN 的周长＝AB＋AC.因为 AB＝AC＝1，故△AMN 的周长为 2.
九年级数学上册第二十三章旋转经典大题例题(带答案)
九年级数学上册第二十三章旋转经典大题例题单选题1、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=4√2∴AD=DC=1AC=2√22∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵OA2=OD2+AD2∴(4−x)2=x2+(2√2)2，解得x=1∴BC=2OD=2x=2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．2、如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（）A．②③④B．③④⑤C．②④⑤D．②③⑤答案：C分析：根据旋转变换及全等图形的定义对应边相等，对应角相等的图形是全等图形对个图进行一一分析判断即可解：②以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后，两个实线图形刚好重合，③中为平行四边形，而①中为梯形，所以不能和①中图形完全重合，④可上下反转成②的情况，然后旋转可和①中图形完全重合，⑤可旋转180°后可和①中图形完全重合，∴与①中由实线围成的图形全等的有②④⑤．故选择C．小提示：本题考查多边形全等的判定，掌握全等图形的定义，关键是会通过图形的旋转使它们全等．3、在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（）A．﹣4B．4C．12D．﹣12答案：D分析：首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a+2+4=0,2−b=0，可得a，b的值，再代入求解即可得到答案．解：∵点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），∴a+2+4=0,2−b=0，解得：a=−6,b=2,∴ab=−12,故选D小提示：本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数．4、如图，△OAB中，∠AOB=60°，OA=4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（）A．（7，3√3）B．（7，5）C．（5√3，5）D．（5√3，3√3）答案：A分析：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．证明△AOC是等边三角形，解直角三角形求出DE，CE，可得结论．解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．∵B（6，0），∴OB=6，由旋转的性质可知AO=AC=4，OB=CD=6，∠ACD=∠AOB=60°，∵∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC=OA=4，∠ACO=60°，∴∠DCE=60°，∴CE=1CD=3，DE=√CD2−CE2=3√3，2∴OE=OC+CE=4+3=7，∴D（7，3√3），故选：A．小提示：本题考查了旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质．5、如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种答案：C分析：根据轴对称图形的概念，找到对称轴即可得答案．解：如下图，∵图形是轴对称图形，对称轴是直线AB，∴把1、2、3三个正方形涂黑，与原来涂黑的小正方形组成的新图案仍然是轴对称图形，故选：C．小提示：本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是找到对称轴．6、连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等B．连接HD，则HD平分∠CHEC．整个图形不是中心对称图形D．△CEH是等边三角形答案：D分析：根据正八边形和圆的性质进行解答即可．解：A．∵根据正八边形的性质，四边形ABCH与四边形EFGH能够完全重合，即四边形ABCH与四边形EFGH 全等∴四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等，故选项正确，不符合题意；B．连接DH，如图1，∵正八边形是轴对称图形，直线HD是对称轴，∴HD平分∠CHE故选项正确，不符合题意；C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，∠DOE＝360°=45°8∵OE＝OH∠DOE＝22.5°∴∠OEH＝∠OHE＝12∴∠CHE＝2∠OHE＝45°∴∠HCE＝∠HEC＝1（180°－∠CHE）＝67.5°2∴△CEH不是等边三角形，故选项错误，符合题意．故选：D．小提示：本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．7、平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(−5,1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转90°得OB，则点B 的坐标为（）A．(−5,1)B．(−1,−5)C．(−5,−1)D．(−1,5)答案：B分析：根据题意证得△AOC≌△OBD，可得结论．解：如图，根据题意得∶∠AOB=90°，∠ACO=∠BDO=90°，OA=OB，∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，∴△AOC≌△OBD，∴BD=OC，OD=AC，∵点A的坐标为(−5,1)，∴BD=OC=1，OD=AC=5，∴B(−1,−5)．故选：B．小提示：本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．8、如图，正方形OABC的边长为√2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．(−√2,0)B．(−√2,0)C．(0,√2)D．(0,2)答案：D分析：连接OB，由正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，推出∠A1OB1=45°，得到△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，利用勾股定理求出O B1即可．解：连接OB，∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，∴∠AOA1=45°，∠AOB=45°，∴∠A1OB1=45°，∴△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，∵∠B1A1O=90°,A1B1=OA1=√2，∴OB1=√A1B12+OA12=√2+2=2，∴B1（0，2），故选：D．小提示：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形的性质．关键是根据旋转角证明点B1在y轴上．9、在平面直角坐标系中，点(3,2)关于原点对称的点的坐标是（）A．(2,3)B．(−3,2)C．(−3,−2)D．(−2,−3)答案：C分析：根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可．关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),故选C．小提示：本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识．10、已知两点M1(x1,y1),M2(x2,y2)，若x1+x2=0,y1+y2=0，则点M1与M2（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对答案：C分析：首先利用等式求出x1=−x2,y1=−y2,然后可以根据横纵坐标的关系得出结果．∵x1+x2=0,y1+y2=0，∴x1=−x2,y1=−y2,∵两点M1(x1,y1),M2(x2,y2)，∴点M1与M2关于原点对称，故选：C．小提示：本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点M1与M2横纵坐标的关系是解题关键．填空题11、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，AB=5，BC=9，则BD=______．答案：√106分析：连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，再判断△BCE为等边三角形得到BE=BC=9，∠CBE=60°，从而有∠ABE=90°，然后利用勾股定理计算出AE即可．解：连接BE，如图，∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，∴∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，∴△BCE为等边三角形，∴BE=BC=9，∠CBE=60°，∵∠ABC=30°，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，AE=√52+92=√106．所以答案是：√106．小提示：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．12、以原点为中心，把M(3,4)逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为______．答案：(−4,3)分析：建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得出N点坐标，由此即可得出答案．解：如图：由旋转的性质可得：M点横坐标等于N点纵坐标的值，M点纵坐标的值等于N点横坐标的绝对值，又∵M（3，4），∴N（-4，3），所以答案是：（-4，3）．小提示：此题考查有关点的坐标旋转的性质，结合坐标轴和旋转的特点确定坐标即可．13、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．答案：2分析：点F 运动所形成的图象是一条直线，当OF ⊥F 1F 2时，垂线段OF 最短，当点F 1在x 轴上时，由勾股定理得：P 1O =F 1O =4√33，进而得P 1A =P 1F 1=AF 1=8√33，求得点F 1的坐标为(4√33,0)，当点F 2在y 轴上时，求得点F 2的坐标为（0，-4），最后根据待定系数法，求得直线F 1F 2的解析式为y =√3x -4，再由线段中垂线性质得出F 1F 2=AF 1=8√33，在Rt △OF 1F 2中，设点O 到F 1F 2的距离为h ，则根据面积法得12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×ℎ，即12×4√33×4=12×8√33×ℎ，解得h =2，根据垂线段最短，即可得到线段OF 的最小值为2．解：∵将线段PA 绕点P 顺时针旋转60°得到线段PF ，∴∠APF =60°，PF =PA ，∴△APF 是等边三角形，∴AP =AF ，如图，当点F 1在x 轴上时，△P 1AF 1为等边三角形，则P 1A =P 1F 1=AF 1，∠AP 1F 1=60°，∵AO ⊥P 1F 1，∴P 1O =F 1O ，∠AOP 1=90°，∴∠P 1AO =30°，且AO =4，由勾股定理得：P 1O =F 1O =4√33， ∴P 1A =P 1F 1=AF 1=8√33， ∴点F 1的坐标为(4√33,0)， 如图，当点F 2在y 轴上时，∵△P 2AF 2为等边三角形，AO ⊥P 2O ，∴AO =F 2O =4，∴点F 2的坐标为（0，-4），∵tan∠OF 1F 2=OF 2OF 1=4√33=√3，∴∠OF 1F 2=60°，∴点F 运动所形成的图象是一条直线，∴当OF ⊥F 1F 2时，线段OF 最短，设直线F 1F 2的解析式为y =kx +b ， 则{4√33k +b =0b =−4，解得{k =√3b =−4， ∴直线F 1F 2的解析式为y =√3x -4，∵AO =F 2O =4，AO ⊥P 1F 1，∴F 1F 2=AF 1=8√33， 在Rt △OF 1F 2中，OF ⊥F 1F 2，设点O 到F 1F 2的距离为h ，则12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×ℎ，∴12×4√33×4=12×8√33×ℎ，解得h =2，即线段OF的最小值为2，故答案为2．小提示：本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．14、已知点P(m−2,m)关于原点对称的点在第三象限，则m的取值范围是_______．答案：m>2分析：根据关于原点对称的点的性质可得点P在第一象限，进而得出不等式组，再解不等式组即可．解：∵点P（m−2，m）关于原点对称的点在第三象限，∴点P（m−2，m）在第一象限，∴{m−2>0，m>0解得：m＞2，所以答案是：m＞2．小提示：此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解一元一次不等式组，关键是掌握各象限内点的坐标符号．15、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△AB，则线段B1D的长度为______．A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，OD=12答案：1.5cm##3cm2分析：先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB＝5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出ODAB＝2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1＝OB＝4cm，则问题得解．＝12∵在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm，∴AB＝√OA2+OB2＝5cm，∴OD＝1AB＝2.5cm，2∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1＝OB＝4cm，∴B1D＝OB1-OD＝1.5cm．所以答案是：1.5cm．小提示：本题主要考查勾股定理和直角三角形的性质以及图形旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键．解答题16、如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．答案：（1）画图见解析，（2）画图见解析分析：（1）分别确定A,B向右平移4个单位后的对应点A1,B1，再连接A1B1即可；（2）分别确定A,B绕原点O旋转180°后的对应点A2,B2，再连接A2B2即可.解：（1）如图，线段A1B1即为所求作的线段，（2）如图，线段A2B2即为所求作的线段，小提示：本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，掌握平移的性质与中心对称的性质是解题的关键. 17、如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形．(1)写出△OAB各顶点的坐标；(2)以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，写出A′，B′的坐标．答案：(1)A（-2，0），B（-1，√3），C（0，0）(2)A′（−1,√3），B′（1,√3）分析：（1）作高线BC，根据等边三角形的性质和勾股定理求OC和BC的长，写出三点的坐标，注意象限的符号问题；（2）如图2，由旋转可知：A′与B重合，B与B′关于y轴对称，可得：A′，B′的坐标．（1）解：如图1，过B作BC⊥OA于C，∵△AOB是等边三角形，且OA=2，OA=1，∴OC=12由勾股定理得：BC=√22−12=√3，∴A(−2，0)，B(−1，√3)，O(0，0)；（2）解：如图2，∵∠AOB=60°，OA=OB，∴A′与B重合，∴A′(−1，√3)，由旋转得：∠BOB′=60°，OB=OB′，∵∠AOD=90°，∴∠BOD=30°，∴∠DOB′=30°，∴BB′⊥OD，DB=DB′，∴B′(1，√3)．小提示：本题考查了坐标与图形变换、等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转和等边三角形的性质是关键，并注意点所在象限的符号问题．18、如图，一伞状图形，已知∠AOB=120°，点P是∠AOB角平分线上一点，且OP=2，∠MPN=60°，PM与OB交于点F，PN与OA交于点E．(1)如图一，当PN与PO重合时，探索PE，PF的数量关系(2)如图二，将∠MPN在(1)的情形下绕点P逆时针旋转α度(0<α<60°)，继续探索PE，PF的数量关系，并求四边形OEPF的面积．答案：（1）PE＝PF，证明详见解析；（2）PE＝PF，√3分析：（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF是等边三角形，得到PE=PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根据角平分线的性质得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形OEPF=S四边形OQPH，求得OQ=1，QP=√3，根据三角形的面积公式即可得到结论．解：（1）∵∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，∴∠POF＝60°，∵∠MPN＝60°，∴∠MPN＝∠FOP＝60°，∴ΔPEF是等边三角形，∴PE＝PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，∵OP平分∠AOB，∴PQ＝PH，∠PQO＝∠PHO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠QPH＝60°，∴∠QPE+∠FPH+∠EPH，∴∠QPE＝∠EPF，在ΔQPE与ΔHPF中{∠EQP=∠FHP ∠QPE=∠HPFPQ=PH，∴ΔQPE≌ΔHPF（AAS），∴PE＝PF，S四边形OEPF ＝S四边形OQPH，∵PQ⊥OA，PH⊥OB，OP平分∠AOB，∴∠QPO＝30°，∴OQ＝1，QP＝√22−12＝√3，∴SΔOPQ＝12×1×√3＝√32，∴四边形OEPF的面积＝2SΔOPQ＝√3小提示：本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．。
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旋转中的几何证明
类型一
•利用旋转添加辅助线：
•满足条件：
•（1）有两条相等线段
•（2）有公关端点
例1：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的动点，满足∠EAF=45°，
求证:EF=DE+BF
例2：在等边△ABC中，O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO且AO=2,BO=1,CO=√3 ,求∠AOB，∠BOC的度数分别是多少？
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1（09西城）．已知：PA=√2，PB=4 ，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧. （1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.
类型二.旋转型相似
例3.点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。
(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；
(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；
(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。
在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。
请你任选其中一个结论证明。
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朝阳）我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另外一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形。
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：
（2）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O。
求证：AD2+BC2=AB2+DC2。
即四边形ABCD 是等平方和四边形。
（3）如果将图①中的△AOD绕点O按逆时针方向旋转a度（0<a<90°）后得到图，那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形？若能，请证明；
若不能，请说明理由。
类型三．正方形中的旋转
例4：如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为一个顶点作正方形A’B’C’O,说明正方形A’B’C’O 绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积不变。
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（延庆）.如图24－1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．
（1）猜想：ME 与MF的数量关系
（2）如图24－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M =∠B，其它条件不变，探索线段ME与线段MF 的数量关系，并加以证明
（3）如图24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并说明理由．
（4）如图24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M =∠B ，AB:BC = m ，其它条件不变，求出ME ：MF 的值。
（直接写出答案）
24--1
Q
P N
F
E D C
B
M
A
D 24--2
E
Q
P
N
A
F
M
B
C
24--3
D
E
Q
P
A
N
F
B
M
C
F E
Q
M
D
N
P
B A C
类型四：倍长中线
例5：如图1，已知点D 在AC 上，△ADE 和△ABC 都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点. （1）求证： △BMD 为等腰直角三角形. （2）将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°，如图2，（1）中的“△BMD 为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由.
（3）将△ADE 绕点A 逆时针旋转一定的角度，如图3，（1）中的“△BMD 为等腰直角三角形”成立吗？
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（08北京）请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形 ABCD 和菱形BEFG 中，点 A,B,E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结 PC,PG ．若 ∠ABC= ∠BEF=60° ，探究 PC 与PG 的位置关系及PG:PC 的值．
小聪同学的思路是：延长GP 交CD 于点 H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PC与PG 的位置关系及PG:PC 的值；
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中，∠ABC= ∠E=2α将菱形BEFG 绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PG:PC 的值（用含的式子表示）．
类型五：利用费马点找最短距离
定理：在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。
在平面三角形中:
(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC’,ACB’,BCA’,然后连接AA’,BB’,CC’,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
例:6．如图11-10，O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，P是△ABC内不同于O的另一点；△A′BO′、△A′BP′分别由△AOB、△APB旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论中正确的有( )．
①△O′BO为等边三角形，且A′、O′、O、C在一条直线上．
②A′O′＋O′O＝AO＋BO．
③A′P′＋P′P＝PA＋PB．
④PA＋PB＋PC>AO＋BO＋CO．
A．1个B．2个C．3个D．4个
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石景山）（1）如图1，四边形ABCD中,AB=CB,∠ABC=60°，∠ADC=120°，请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，四边形ABCD 中,AB=CB,∠ABC=60°,若点P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°，请你猜想线段PA 、PC 、PD 之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论．。