经典旋转证明类型题

旋转中的几何证明

类型一

•利用旋转添加辅助线：

•满足条件：

•（1）有两条相等线段

•（2）有公关端点

例1：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的动点，满足∠EAF=45°，

求证:EF=DE+BF

例2：在等边△ABC中，O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO且AO=2,BO=1,CO=√3 ,求∠AOB，∠BOC的度数分别是多少？

中考连接

1（09西城）．已知：PA=√2，PB=4 ，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧. （1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；

（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.

类型二.旋转型相似

例3.点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。

(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；

(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；

(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。

中考连接

朝阳）我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另外一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形。

（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：

（2）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O。求证：AD2+BC2=AB2+DC2。即四边形ABCD 是等平方和四边形。

（3）如果将图①中的△AOD绕点O按逆时针方向旋转a度（0

若不能，请说明理由。

类型三．正方形中的旋转

例4：如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为一个顶点作正方形A’B’C’O,说明正方形A’B’C’O 绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积不变。

中考连接

（延庆）.如图24－1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．

（1）猜想：ME 与MF的数量关系

（2）如图24－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M =∠B，其它条件不变，探索线段ME与线段MF 的数量关系，并加以证明

（3）如图24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并说明理由．

（4）如图24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M =∠B ，AB:BC = m ，其它条件不变，求出ME ：MF 的值。（直接写出答案）

24--1

Q

P N

F

E D C

B

M

A

D 24--2

E

Q

P

N

A

F

M

B

C

24--3

D

E

Q

P

A

N

F

B

M

C

F E

Q

M

D

N

P

B A C

类型四：倍长中线

例5：如图1，已知点D 在AC 上，△ADE 和△ABC 都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点. （1）求证： △BMD 为等腰直角三角形. （2）将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°，如图2，（1）中的“△BMD 为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由.

（3）将△ADE 绕点A 逆时针旋转一定的角度，如图3，（1）中的“△BMD 为等腰直角三角形”成立吗？

中考连接

（08北京）请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形 ABCD 和菱形BEFG 中，点 A,B,E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结 PC,PG ．若 ∠ABC= ∠BEF=60° ，探究 PC 与PG 的位置关系及PG:PC 的值．

小聪同学的思路是：延长GP 交CD 于点 H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段PC与PG 的位置关系及PG:PC 的值；

（2）将图1中的菱形BEFG绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）若图1中，∠ABC= ∠E=2α将菱形BEFG 绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PG:PC 的值（用含的式子表示）．

类型五：利用费马点找最短距离

定理：在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。

在平面三角形中:

(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC’,ACB’,BCA’,然后连接AA’,BB’,CC’,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.

(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.

例:6．如图11-10，O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，P是△ABC内不同于O的另一点；△A′BO′、△A′BP′分别由△AOB、△APB旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论中正确的有( )．

①△O′BO为等边三角形，且A′、O′、O、C在一条直线上．

②A′O′＋O′O＝AO＋BO．

③A′P′＋P′P＝PA＋PB．

④PA＋PB＋PC>AO＋BO＋CO．

A．1个B．2个C．3个D．4个