人教版数学高一-直线的倾斜角与斜率
新人教A版必修高中数学第三章《倾斜角与斜率》
k=- a ,由题意知- a >1 或- a <0,解得-1<a<- 1 或 a<-1 或 a>0.
a 1
a 1
a 1
2
综上知,a<- 1 或 a>0. 2
答案:(-∞,- 1 )∪(0,+∞) 2
课堂探究
题型一 直线的倾斜角、斜率的定义
【例1-1】 直线l的倾斜角为α,斜率为k,则当k=
k=
时,α=135°;当k>0时,α的范围是
即时训练1-1:已知一条直线过点(4,-2)与点(1,-2),则这条直线的倾斜 角为( ) (A)0° (B)45° (C)60° (D)90°
解析:因为 k= 2 2 =0,所以直线的倾斜角为 0°.故选 A.
4 1
1-2:给出下列命题:
①任意一条直线有唯一的倾斜角;
②一条直线的倾斜角可以为-30°;
(4)若 y1=y2,x1≠x2,则直线与 x 轴平行或重合,斜率 k= 0 =0.
x1 x2 x2 x1
x2 x1
自我检测(教师备用)
1.下列说法正确的是( D ) (A)一条直线和x轴的正方向所成的正角,叫做这条直线的倾斜角 (B)直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角 (C)与x轴平行的直线的倾斜角为180° (D)每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率 2.若直线的倾斜角为120°,则直线的斜率为( B )
.
4.斜率与倾斜角之间的关系
当当0°<α<90°时,斜率k>0,且k值增大,倾斜角随着增大;
当α=90°时,斜率k不存在(此时直线是存在的,直线与x轴垂直);
当90°<α<180°时,斜率k<0,且k值增大,倾斜角随着增大.
高一数学人教A版必修2课件：3.1.1 倾斜角与斜率 教学课件
[ 思路分析]
y2－y1 (1)利用 k＝ 及 k＝tanα 求解； x2－x1
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第三章 直线与方程
〔跟踪练习 2〕求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角． 导学号 09024638 (1)(－3,0)、(－2， 3)； (2)(1，－2)、(5，－2)； (3)(3,4)、(－2,9)； (4)(3,0)、(3， 3)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
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第三章 直线与方程
已知直线 l 过点 P(－1,2)，且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线 段相交，求直线 l 的斜率的取值范围. 导学号 09024641
[ 解析]
如图所示，直线 l 绕着 P 点，从 PA 旋转到 PB
2－－3 时，与线段 AB 相交，又因为 PA 的斜率 kPA＝ ＝5， －1＋2 2－0 1 PB 的斜率 kPB＝ ＝－2，所以直线 l 的斜率的取值范围 －1－3 1 是(－∞，－2]∪[5，＋∞)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
(1)∵α＝45° ，∴直线 l 的斜率 k＝tan45° ＝1，
又 P1，P2，P3 都在此直线上， 1－y1 1－5 故 kP1P2＝kP2P3＝k，即 ＝ ＝1，解得 3－2 3－x2 x2＝7，y1＝0. ∴x2＋y1＝7. y (2)x表示直线 OP 的斜率，当点 P 与点 A 重合
3－0 (1)直线的斜率 k＝ ＝ 3＝tan60° ， －2＋3
直线的倾斜角与斜率课件(公开课)
k tan （ 90）
注: 倾斜角是90 °的直线没有斜率。 我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度
试一试 提示：tan 180 - - tan
已知下列直线的倾斜角, 求直线的斜率.
(1) 30 ; (2) 45 ; (3) 120 ; (4) 135 ;
y
这些直线有何区别？
l O Px
它们的倾斜程度不同.
用什么量来刻画直 线的倾斜程度？
直线的倾斜角
定义: 当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做 直线 l 的倾斜角．
y
规定 当直线l与x轴平行或重合时，
它的倾斜角为 0.
注意: (1)直线向上方向； o (2)x轴的正方向。
斜率.
（）
④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大
()
⑤两直线的倾斜角相等, 则它们的斜率也相等 ( )
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π ( )
典例讲解
1、若直线的倾斜角为
6
，
3
，求斜率k的取值范围。
变式训练
1、若直线的倾斜角为
6
，3
4
，求斜率k的取值范围。
1.确定直线位置关系的要素 2.刻画直线倾斜程度的量
解：(1)k tan 30 3 ； 3
(3)k tan120 3；
(2)k tan 45 1； (4)k tan135 1.
倾斜角与斜率有怎样的关系呢？
k tan
[0, π) ( π , π)
22
k (,)
k
π O
2
人教版高中数学(2019)选择性必修一第二章2.1.1倾斜角与斜率PPT
Q （x2，y1）
αPP21（（xx21，y12））
O
x
PP12（（xx1，2，yy1）2）
Q （x2，y1）
α
O
x
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )是直线l上的两个不同点
k tan | PP2 |
| PP1 |
| PP2 | y2 y1 | PP1 | x2 x1
1.(1)若三点 A(－2,3)，B(3，－2)，C 12，m 共线，则 m 的值为 ___1___．
2 (2)直线 l 过点 P(－1,2)且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的
线段相交，则直线 l 的斜率取值范围是________________．
－∞，－12∪[5，＋∞)
学以致用：
2.点 M(x，y)在函数 y＝－2x＋8 的图象上，当 x∈[2,5]时， 求 yx＋＋11的取值范围．
③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有
斜率。
（）
④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平
行于y轴的直线的倾斜角不存在
（）
⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )
小结：
直线的倾斜角
定义
三要素
范围 0an k y2 y1
x2 x1
k , k ,
学以致用：
y
o
（1）
y
x
o
（2）
y
x o
（3）
y
x
o
x
（4）
2、直线的斜率
前进
升高量
升高
坡度= 前进量
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正
切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
高一数学 人教A版必修2 第三章 3.1.1、2直线的倾斜角与斜率、两条直线平行与垂直的判定 课件
[归纳升华] 1．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，则直线向上的 方向与 x 轴的正方向所成的角，即为直线的倾斜角． 2．直线的斜率 k 随倾斜角 α 增大时的变化情况： ①当 0°≤α＜90°时，随 α 的增大，k 在[0，＋∞)范围内增大； ②当 90°＜α＜180°时，随 α 的增大，k 在(－∞，0)范围内增大.
[特别提醒] 在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k
0
3 3
1
3
－ 3 －1
－
3 3
3．过点 P(0，－2)的直线 l 与以 A(1,1)、B(－2,3)为端点的线段有公共点，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
D．60°或 120°
(2)直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，则当 k＝________时，α＝60°；当 k＝
________时，α＝135°；当 k＞0 时，α 的范围是____________；当 k＜0 时，α
的范围是________．
解析： (1)如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60°或 120°，故选 D.
[归纳升华] 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等， 其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存 在；若求 α 的具体值，可用公式 k＝tan α 求解.
高一数学直线的倾斜角与斜率知识点总结
高一数学直线的倾斜角与斜率知识点总结
学习数学需要讲究方法和技巧，更要学会对知识点进行归纳整理。
下面是店铺为大家整理的高一数学直线的倾斜角与斜率知识点，希望对大家有所帮助!
数学必修二知识点：直线的倾斜角与斜率
一、倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
二、两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，。
人教版高中直线的倾斜角与斜率
P2 P1
P1 P2
1177
第十七页，共21页。
经 的过直两线点的斜率P 公1(式x ：1,y1),P 2(x2,y 重2)要(数x1学 思x2 想) ：
分类讨论的思想
kyx2 2 xy11yx1 1 xy22(x1x2)
Q: 为什么要求x1≠x2?
当x1=x2时直线与x轴垂直，直线斜率不存在.
Q: 当直线与y轴垂直呢?
x
O ② (2,3), (2,1);
k1
y
2
为锐角;
O ③ (-3,-1), (2,-1);
=90°
y
k不存在
x
为直角;
④ (-1,3), ( ,-
)O.
x
k 0 y
=0°;
Ox
3
k 3 y
为钝角;
O
3
x
2200
第二十页，共21页。
谢谢大家！
第二十一页，共21页。
直线 l的倾斜角 12为 0,则斜率为 k： ta1n2 03
8
第八页，共21页。
直线的倾斜角α与斜率K=tan α的关系
y
l
p
o x
y
ly
o px
o p x
l
y
p
l
o
x
0°＜ ＜ 90°
= 90° 90°＜ ＜180° = 0°
k >0
k不存在
k&l
三.课堂练习
1.当倾斜角α=00，300，450，600时，
P 1(x1,y1),P 2(x2,y2)( x1，如x2何)利用两点
坐标来表示该直线的斜率 呢？ k
y
y
P2（x2，y2）
高一数学人教版A版必修二课件：3.1.1 倾斜角与斜率
答案
1.倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴 正向与直线l向上方向之间所 成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. 2.倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围为 0°≤α<180° . 3. 确 定 平 面 直 角 坐 标 系 中 一 条 直 线 位 置 的 几 何 要 素 是 ： 直 线 上 的 一 个 定点 以及它的 倾斜角.
解析答案
类型二 直线的斜率 例2 直线l1,l2,l3都经过点P(3,2),又l1,l2,l3分别经过点Q1(－2,－1),Q2(4,－ 2),Q3(－3,2),计算直线l1,l2,l3的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝 角.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 (1)若经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m ＝___. 2
解析答案
(2)经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是____0_°__<_α_≤(其90° 中m≥1).
解析答案
类型三 斜率与倾斜角的综合应用 Nhomakorabeap1 p2
p2 p3
解析答案
(2)已知A(3,3),B(－4,2),C(0,－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动,求直 线AD的斜率的变化范围. 解 如图所示： 当点D由B运动到C时, 直线AD的斜率由kAB增大到kAC, 所以直线AD的斜率的变化范围是 17，53 .
直线情况
平行于x轴
0 垂直于x轴
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
0
k>0
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3.1.1直线的倾斜角与斜率
一、学习目标:
知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.
过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
二、学习重、难点
学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.
学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.
三、学法指导及要求:
1、认真研读教材82---85页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆.（尤其是正切的三角函数值，斜率的计算公式必须牢记）
3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升
4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B类题.平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上.
四、知识链接：
1：一次函数的图象的形状是---（一条直线）
2：确定一次函数的图象的条件是---（两个点）
3：锐角正切函数的定义--- （对边比邻边）
五、学习过程：问题的导入：
大家想一下当一高一矮两人抬一根圆木，会出现什么现象？（倾斜）本节课我们就重点研究有关直线的倾斜问题.
A问题1：对平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由那些条件确定？（两点）
B问题2：一点能确定一条直线吗？经过一点的直线的位置能够确定吗？它的位置会怎样？（观察可以发现过一点有无数条直线并且它们发生了不同程度的倾斜）直线在倾斜时与那个量有关？怎样描述直线的倾斜程度呢？
A问题3：什么是直线的倾斜角？它的范围怎样？写出并背熟，记牢倾斜角及范围！
α
当直线L与x轴垂直时, =
A问题4：除了倾斜角还有其他确定直线倾斜程度的量吗？什么是直线的斜率？只有倾斜角或斜率能确定一直线的位置吗?若不能还需要加什么条件？
B问题5：直线的倾斜角和斜率有什么关系？它们是一一对应的吗？（牢记公式）
【温馨提示】（1）
时，斜率不存在。
当时，当的增大而减小；
随的增大而增大，但随时，，当的增大而增大；也随的增大而增大，随时，当2;0 0,0)2(,0 )2
,0 (π
ααααππ
αααπα===<∈>∈k k k k k k k
（2）平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有，倾斜角为90°的直线没有斜率，在使用斜率来研究直线时，经常要对直线是否有斜率分情形讨论.
（3）倾斜角和斜率都是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率等于倾斜角的正切值，在以后的学习中将体会到，研究直线时，使用斜率常常比使用倾斜角更方便.
B 问题6：阅读教材83---84页探究如何由直线上的两点求直线的斜率呢？计算公式如何？（牢记公式）
典型例题：
A 例1：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线A
B 、B
C 、CA 的斜率, 并判断它们的倾
斜角是钝角还是锐角.
B 例2：在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1、 -1、2及-3的直线L 1、L 2、
L 3、L 4
六、达标训练：
A1.如图，图中的直线321l l l 、、、的斜率分别为k 1, k 2 ,k 3,则( )
A. k 1< k 2 <k 3
B. k 3< k 1 <k 2
C. k 3< k 2 <k 1
D. k 1< k 3 <k 2
A2、若经过P （－2，m ）和Q （m ，4）的直线的斜率为1，则m=（ ）
A 、1
B 、4
C 、1或3
D 、1或4
A3、若A （3，－2），B （－9，4），C （x ，0）三点共线，则x=（ ）
A 、1
B 、－1
C 、0
D 、7
B4、直线 经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（ ）
A 、45°
B 、135°
C 、45°或135°
D 、－45°
C5、△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率.
C6、若经过点P （1－a ，1＋a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围.
七、小结与反思1，掌握直线的倾斜角、斜率及二者关系，会进行倾斜角、斜率的有关运算.
【励志良言】日出唤醒大地，读书唤醒头脑
【答案21】直线的倾斜角与斜率
问题3
定义：当直线 l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角．[0。
,180。
)
规定 当直线l 与x 轴平行或重合时，
它的倾斜角为 00 .当直线L 与x 轴垂直时, . 倾斜角为900
问题4 一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率. 问题5
例1：解：直线AB 的斜率121437AB k -=
=--
直线BC 的斜率11142BC k --=
=-
直线CA 的斜率12103
CA k --==- 由0AB k > 及0CA k > 知，直线AB 与CA 的倾斜角均为锐角；由0BC k <知，直线BC 的倾斜角为钝角．
例2解：取直线上某一点为1A 的坐标是11(,)x y ，根据斜率公式有: 11x y =
设11x =，则11y = ，于是1A 的坐标是（1,1）．过原点及1(1,1)A 的直线即为1l
达标训练：1，D 2, A 3, B 4, B 5,K AB = K AC = 6, (-2,1)
33-33前进量升高量坡度（比）=1212tan x x y y a k --== 2l 是过原点及222(,)A x y 的直线，3l 是过原点及333(,)A x y 的直线，4l 过原点及444(,)A x y
的直线．。