人教版数学高一-直线的倾斜角与斜率
3.1.1直线的倾斜角与斜率
一、学习目标:
知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.
过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
二、学习重、难点
学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.
学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.
三、学法指导及要求:
1、认真研读教材82---85页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆.（尤其是正切的三角函数值，斜率的计算公式必须牢记）
3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升
4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B类题.平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上.
四、知识链接：
1：一次函数的图象的形状是---（一条直线）
2：确定一次函数的图象的条件是---（两个点）
3：锐角正切函数的定义--- （对边比邻边）
五、学习过程：问题的导入：
大家想一下当一高一矮两人抬一根圆木，会出现什么现象？（倾斜）本节课我们就重点研究有关直线的倾斜问题.
A问题1：对平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由那些条件确定？（两点）
B问题2：一点能确定一条直线吗？经过一点的直线的位置能够确定吗？它的位置会怎样？（观察可以发现过一点有无数条直线并且它们发生了不同程度的倾斜）直线在倾斜时与那个量有关？怎样描述直线的倾斜程度呢？
A问题3：什么是直线的倾斜角？它的范围怎样？写出并背熟，记牢倾斜角及范围！
α
当直线L与x轴垂直时, =
A问题4：除了倾斜角还有其他确定直线倾斜程度的量吗？什么是直线的斜率？只有倾斜角或斜率能确定一直线的位置吗?若不能还需要加什么条件？
B问题5：直线的倾斜角和斜率有什么关系？它们是一一对应的吗？（牢记公式）
【温馨提示】（1）
时，斜率不存在。
当时，当的增大而减小；
随的增大而增大，但随时，，当的增大而增大；也随的增大而增大，随时，当2;0 0,0)2(,0 )2
,0 (π
ααααππ
αααπα===<∈>∈k k k k k k k
（2）平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有，倾斜角为90°的直线没有斜率，在使用斜率来研究直线时，经常要对直线是否有斜率分情形讨论.
（3）倾斜角和斜率都是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率等于倾斜角的正切值，在以后的学习中将体会到，研究直线时，使用斜率常常比使用倾斜角更方便.
B 问题6：阅读教材83---84页探究如何由直线上的两点求直线的斜率呢？计算公式如何？（牢记公式）
典型例题：
A 例1：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线A
B 、B
C 、CA 的斜率, 并判断它们的倾
斜角是钝角还是锐角.
B 例2：在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1、 -1、2及-3的直线L 1、L 2、
L 3、L 4
六、达标训练：
A1.如图，图中的直线321l l l 、、、的斜率分别为k 1, k 2 ,k 3,则( )
A. k 1< k 2 <k 3
B. k 3< k 1 <k 2
C. k 3< k 2 <k 1
D. k 1< k 3 <k 2
A2、若经过P （－2，m ）和Q （m ，4）的直线的斜率为1，则m=（ ）
A 、1
B 、4
C 、1或3
D 、1或4
A3、若A （3，－2），B （－9，4），C （x ，0）三点共线，则x=（ ）
A 、1
B 、－1
C 、0
D 、7
B4、直线 经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（ ）
A 、45°
B 、135°
C 、45°或135°
D 、－45°
C5、△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率.
C6、若经过点P （1－a ，1＋a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围.
七、小结与反思1，掌握直线的倾斜角、斜率及二者关系，会进行倾斜角、斜率的有关运算.
【励志良言】日出唤醒大地，读书唤醒头脑
【答案21】直线的倾斜角与斜率
问题3
定义：当直线 l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角．[0。
,180。
)
规定 当直线l 与x 轴平行或重合时，
它的倾斜角为 00 .当直线L 与x 轴垂直时, . 倾斜角为900
问题4 一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率. 问题5
例1：解：直线AB 的斜率121437AB k -=
=--
直线BC 的斜率11142BC k --=
=-
直线CA 的斜率12103
CA k --==- 由0AB k > 及0CA k > 知，直线AB 与CA 的倾斜角均为锐角；由0BC k <知，直线BC 的倾斜角为钝角．
例2解：取直线上某一点为1A 的坐标是11(,)x y ，根据斜率公式有: 11x y =
设11x =，则11y = ，于是1A 的坐标是（1,1）．过原点及1(1,1)A 的直线即为1l
达标训练：1，D 2, A 3, B 4, B 5,K AB = K AC = 6, (-2,1)
33-33前进量升高量坡度（比）=1212tan x x y y a k --== 2l 是过原点及222(,)A x y 的直线，3l 是过原点及333(,)A x y 的直线，4l 过原点及444(,)A x y
的直线．。
新人教A版必修高中数学第三章《倾斜角与斜率》
k=- a ,由题意知- a >1 或- a <0,解得-1<a<- 1 或 a<-1 或 a>0.
a 1
a 1
a 1
2
综上知,a<- 1 或 a>0. 2
答案:(-∞,- 1 )∪(0,+∞) 2
课堂探究
题型一 直线的倾斜角、斜率的定义
【例1-1】 直线l的倾斜角为α,斜率为k,则当k=
k=
时,α=135°;当k>0时,α的范围是
即时训练1-1:已知一条直线过点(4,-2)与点(1,-2),则这条直线的倾斜 角为( ) (A)0° (B)45° (C)60° (D)90°
解析:因为 k= 2 2 =0,所以直线的倾斜角为 0°.故选 A.
4 1
1-2:给出下列命题:
①任意一条直线有唯一的倾斜角;
②一条直线的倾斜角可以为-30°;
(4)若 y1=y2,x1≠x2,则直线与 x 轴平行或重合,斜率 k= 0 =0.
x1 x2 x2 x1
x2 x1
自我检测(教师备用)
1.下列说法正确的是( D ) (A)一条直线和x轴的正方向所成的正角,叫做这条直线的倾斜角 (B)直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角 (C)与x轴平行的直线的倾斜角为180° (D)每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率 2.若直线的倾斜角为120°,则直线的斜率为( B )
.
4.斜率与倾斜角之间的关系
当当0°<α<90°时,斜率k>0,且k值增大,倾斜角随着增大;
当α=90°时,斜率k不存在(此时直线是存在的,直线与x轴垂直);
当90°<α<180°时,斜率k<0,且k值增大,倾斜角随着增大.
高一数学人教A版必修2课件：3.1.1 倾斜角与斜率 教学课件
[ 思路分析]
y2－y1 (1)利用 k＝ 及 k＝tanα 求解； x2－x1
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第三章 直线与方程
〔跟踪练习 2〕求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角． 导学号 09024638 (1)(－3,0)、(－2， 3)； (2)(1，－2)、(5，－2)； (3)(3,4)、(－2,9)； (4)(3,0)、(3， 3)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
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第三章 直线与方程
已知直线 l 过点 P(－1,2)，且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线 段相交，求直线 l 的斜率的取值范围. 导学号 09024641
[ 解析]
如图所示，直线 l 绕着 P 点，从 PA 旋转到 PB
2－－3 时，与线段 AB 相交，又因为 PA 的斜率 kPA＝ ＝5， －1＋2 2－0 1 PB 的斜率 kPB＝ ＝－2，所以直线 l 的斜率的取值范围 －1－3 1 是(－∞，－2]∪[5，＋∞)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
(1)∵α＝45° ，∴直线 l 的斜率 k＝tan45° ＝1，
又 P1，P2，P3 都在此直线上， 1－y1 1－5 故 kP1P2＝kP2P3＝k，即 ＝ ＝1，解得 3－2 3－x2 x2＝7，y1＝0. ∴x2＋y1＝7. y (2)x表示直线 OP 的斜率，当点 P 与点 A 重合
3－0 (1)直线的斜率 k＝ ＝ 3＝tan60° ， －2＋3
直线的倾斜角与斜率课件(公开课)
k tan （ 90）
注: 倾斜角是90 °的直线没有斜率。 我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度
试一试 提示：tan 180 - - tan
已知下列直线的倾斜角, 求直线的斜率.
(1) 30 ; (2) 45 ; (3) 120 ; (4) 135 ;
y
这些直线有何区别？
l O Px
它们的倾斜程度不同.
用什么量来刻画直 线的倾斜程度？
直线的倾斜角
定义: 当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做 直线 l 的倾斜角．
y
规定 当直线l与x轴平行或重合时，
它的倾斜角为 0.
注意: (1)直线向上方向； o (2)x轴的正方向。
斜率.
（）
④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大
()
⑤两直线的倾斜角相等, 则它们的斜率也相等 ( )
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π ( )
典例讲解
1、若直线的倾斜角为
6
，
3
，求斜率k的取值范围。
变式训练
1、若直线的倾斜角为
6
，3
4
，求斜率k的取值范围。
1.确定直线位置关系的要素 2.刻画直线倾斜程度的量
解：(1)k tan 30 3 ； 3
(3)k tan120 3；
(2)k tan 45 1； (4)k tan135 1.
倾斜角与斜率有怎样的关系呢？
k tan
[0, π) ( π , π)
22
k (,)
k
π O
2
人教版高中数学(2019)选择性必修一第二章2.1.1倾斜角与斜率PPT
Q （x2，y1）
αPP21（（xx21，y12））
O
x
PP12（（xx1，2，yy1）2）
Q （x2，y1）
α
O
x
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )是直线l上的两个不同点
k tan | PP2 |
| PP1 |
| PP2 | y2 y1 | PP1 | x2 x1
1.(1)若三点 A(－2,3)，B(3，－2)，C 12，m 共线，则 m 的值为 ___1___．
2 (2)直线 l 过点 P(－1,2)且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的
线段相交，则直线 l 的斜率取值范围是________________．
－∞，－12∪[5，＋∞)
学以致用：
2.点 M(x，y)在函数 y＝－2x＋8 的图象上，当 x∈[2,5]时， 求 yx＋＋11的取值范围．
③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有
斜率。
（）
④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平
行于y轴的直线的倾斜角不存在
（）
⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )
小结：
直线的倾斜角
定义
三要素
范围 0an k y2 y1
x2 x1
k , k ,
学以致用：
y
o
（1）
y
x
o
（2）
y
x o
（3）
y
x
o
x
（4）
2、直线的斜率
前进
升高量
升高
坡度= 前进量
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正
切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
高一数学 人教A版必修2 第三章 3.1.1、2直线的倾斜角与斜率、两条直线平行与垂直的判定 课件
[归纳升华] 1．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，则直线向上的 方向与 x 轴的正方向所成的角，即为直线的倾斜角． 2．直线的斜率 k 随倾斜角 α 增大时的变化情况： ①当 0°≤α＜90°时，随 α 的增大，k 在[0，＋∞)范围内增大； ②当 90°＜α＜180°时，随 α 的增大，k 在(－∞，0)范围内增大.
[特别提醒] 在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k
0
3 3
1
3
－ 3 －1
－
3 3
3．过点 P(0，－2)的直线 l 与以 A(1,1)、B(－2,3)为端点的线段有公共点，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
D．60°或 120°
(2)直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，则当 k＝________时，α＝60°；当 k＝
________时，α＝135°；当 k＞0 时，α 的范围是____________；当 k＜0 时，α
的范围是________．
解析： (1)如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60°或 120°，故选 D.
[归纳升华] 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等， 其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存 在；若求 α 的具体值，可用公式 k＝tan α 求解.
高一数学直线的倾斜角与斜率知识点总结
高一数学直线的倾斜角与斜率知识点总结
学习数学需要讲究方法和技巧，更要学会对知识点进行归纳整理。
下面是店铺为大家整理的高一数学直线的倾斜角与斜率知识点，希望对大家有所帮助!
数学必修二知识点：直线的倾斜角与斜率
一、倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
二、两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，。
人教版高中直线的倾斜角与斜率
P2 P1
P1 P2
1177
第十七页，共21页。
经 的过直两线点的斜率P 公1(式x ：1,y1),P 2(x2,y 重2)要(数x1学 思x2 想) ：
分类讨论的思想
kyx2 2 xy11yx1 1 xy22(x1x2)
Q: 为什么要求x1≠x2?
当x1=x2时直线与x轴垂直，直线斜率不存在.
Q: 当直线与y轴垂直呢?
x
O ② (2,3), (2,1);
k1
y
2
为锐角;
O ③ (-3,-1), (2,-1);
=90°
y
k不存在
x
为直角;
④ (-1,3), ( ,-
)O.
x
k 0 y
=0°;
Ox
3
k 3 y
为钝角;
O
3
x
2200
第二十页，共21页。
谢谢大家！
第二十一页，共21页。
直线 l的倾斜角 12为 0,则斜率为 k： ta1n2 03
8
第八页，共21页。
直线的倾斜角α与斜率K=tan α的关系
y
l
p
o x
y
ly
o px
o p x
l
y
p
l
o
x
0°＜ ＜ 90°
= 90° 90°＜ ＜180° = 0°
k >0
k不存在
k&l
三.课堂练习
1.当倾斜角α=00，300，450，600时，
P 1(x1,y1),P 2(x2,y2)( x1，如x2何)利用两点
坐标来表示该直线的斜率 呢？ k
y
y
P2（x2，y2）
高一数学人教版A版必修二课件：3.1.1 倾斜角与斜率
答案
1.倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴 正向与直线l向上方向之间所 成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. 2.倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围为 0°≤α<180° . 3. 确 定 平 面 直 角 坐 标 系 中 一 条 直 线 位 置 的 几 何 要 素 是 ： 直 线 上 的 一 个 定点 以及它的 倾斜角.
解析答案
类型二 直线的斜率 例2 直线l1,l2,l3都经过点P(3,2),又l1,l2,l3分别经过点Q1(－2,－1),Q2(4,－ 2),Q3(－3,2),计算直线l1,l2,l3的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝 角.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 (1)若经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m ＝___. 2
解析答案
(2)经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是____0_°__<_α_≤(其90° 中m≥1).
解析答案
类型三 斜率与倾斜角的综合应用 Nhomakorabeap1 p2
p2 p3
解析答案
(2)已知A(3,3),B(－4,2),C(0,－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动,求直 线AD的斜率的变化范围. 解 如图所示： 当点D由B运动到C时, 直线AD的斜率由kAB增大到kAC, 所以直线AD的斜率的变化范围是 17，53 .
直线情况
平行于x轴
0 垂直于x轴
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
0
k>0
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【解析】选B.设该直线的倾斜角为θ，则tan θ=
03
2 5
=-1，因为0°≤θ≤180°，
所以θ=135°.
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结论: 1.直线的斜率 一条直线倾斜角的_正__切__值__叫做这条直线的斜率，倾 斜角等于_9_0_°__的直线斜率不a存在.即斜率 k= _t_a_n___α__(_α__≠__9_0_°__)__
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结论:直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜 率公式为k=__xy_22__xy_11_(_x_1 __x_2_) __ .
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【方法总结】求直线倾斜角的方法及关注点
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人 教 A 版 高中 数学《 直线的 倾斜角 与斜率 》PPT 优秀课 件2
人教版高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
课题：直线的倾斜角和斜率教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学第3章第1节一、教学目标：1、知识及能力：(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念.(2)掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角.(3)理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系.2、过程及方法：(1)经历直线倾斜角概念的形成过程，理解直线倾斜角和斜率之间的关系.(2)从数及形两方面让学生明白，倾斜角和斜率都是刻画直线相对于x轴的倾斜程度.渗透数形结合思想.(3)通过问题，层层设疑，提高学生分析、比较、概括、化归的数学思维能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路.3、情感态度及价值观：1．从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，让学生感受数学来源于生活，渗透辩证唯物主义世界观.2．帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”及“形”的内在联系，体现数、形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.二、教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，直线的斜率公式推导和应用.三、教学难点：倾斜角概念的形成，斜率公式的推导四、教学方法及手段：计算机辅助教学及发现法相结合.即在多媒体课件支持下，创设情境问题，层层设疑，制造认知冲突，引发争论，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现及形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构.【教学过程】一、知识导入在初中，我们学过了函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有序实数对)x来表示和确定.则直线呢？在平面直角坐标系中，(y,问题：经过一点P的直线L的位置能确定吗预案：不能.如图, 过一点P就可以作无数多条直线.则，问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢短暂思考和讨论后，学生可以回答预案：(1)它们都经过点P.(2)它们的“倾斜程度”不同.则，我们应该怎样描述这种不同直线的“倾斜程度”呢？〖设计意图〗学生刚刚学完立体几何，对解析几何已经有些陌生.所以从简单问题入手，便于激发学生学习热情，同时又能引入倾斜角的概念，起到承上启下的作用.二、知识探索(一)直线倾的斜角1．定义：直线L及x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向及直线L向上的方向之间所成的角 叫做直线L的倾斜角.教师指出：对于定义的理解，我们强调的是x轴正向及直线L向上的方向所成的角.为了帮助学生加深理解，此时，可以借助几何画板来直观呈现.如下图所示：教师在演示的过程中再次向学生强调：从x轴正方向出发，到直线向上的方向之间所成角α就是直线L的倾斜角.〖设计意图〗学生开始对倾斜角概念还有些模糊，再此数形结合，向学生动态、直观的展示给定直线倾斜角的形成过程，加深学生对概念的理解.【快速练习一】1．下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )A B C D2．请标出下列直线L的倾斜角α.〖设计意图〗该题组的设计均为加深学生对倾斜角概念的理解.第一题比较简单，通过PPT 展示出来后，让学生集体回答即可.第二题稍难一些，在实际授课时，教师将四个图形画到黑板上，请一个同学到黑板上来画.这个题目看起来简单，而实际上，题目中设置了一些问题，图（4）情况的倾斜角学生找一会儿，可就是找不到的！这样就给学生的制造了一定的认知冲突，激发了学生学习探究的兴趣，同时加深了学生对图（4）这种特殊情况下倾斜角的记忆.教师一边巡查一边指导.待学生完成后指出，图（1）的倾斜角是锐角，图（2）是钝角，图（3）是直角.那图（4）呢？问题：为什么图（4）的倾斜角我们没能标出来呢？则它到底应该是多少呢？学生可能难以回答.此时让学生再看到倾斜角的定义，然后学生可以发现：预案：定义中的倾斜角是要求直线L及x轴相交的，而图（4）中的直线L却是及x轴平行的.教师指出：因此，对于图（4）的直线的倾斜角并不能用该定义标出.所以，我们对于此类直线，也就是当直线L及x轴平行或是重合时，我们规定它们的倾斜角均为00.所以，根据上述四种情况，我们可以得到直线L倾斜角的范围为：00≤α＜1800.〖设计意图〗至此，直线倾斜角的定义从引入到解读基本完成.由易到难，由旧到新，符合学生的认知过程.学生很自然的完成了知识的过渡，并通过动态演示、认知冲突加深了对倾斜角这个概念的理解，让学生明白了“直线的倾斜角通俗的讲就是直线对x轴正方向的倾斜程度.”为了更加深直线和倾斜角之间的关系，我们继续提问：问题：在平面坐标系中，每一条直线有多少个倾斜角呢？预案：有且只有一个.问题：一个倾斜角对应的直线有多少条呢？预案：无数条.它们都是互相平行的.如右图.所以仅有倾斜角是不能确定直线的！问题：倾斜角再加什么条件就可以确定直线呢？预案：再加一个点.即一个点P和倾斜角α可以唯一确定一条直线.〖设计意图〗每提出一个问题，让学生自己先行思考，或是合作讨论，老师再加以点评.以加深对直线倾斜角的理解，明晰直线和倾斜角之间的关系.（二）直线的斜率问题：除了倾斜角外，我们还有没有其他表示倾斜程度的量呢？学生可能难以回答此问题.老师可以慢慢引导.在日常生活中，我们还会遇到一个叫“坡度”的概念，坡度即是坡面的铅直高度和水平长度之比（如右图）.其实坡度的实际就是倾斜角α的正切.用类似的方法我们可以定义一个新的量来刻画直线的倾斜程度.1．直线斜率的定义：我们把直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.用小写字母 k 表示，即αtan =k .【快速练习二】已知直线的倾斜角如下，分别求出其斜率.（1）030=α （2）060=α （3）090=α （4）0120=α〖设计意图〗学生对于初中学过的特殊角的三角函数值已经有些陌生，在此既复习特殊角的三角函数值，又熟悉直线斜率的求法.对于（4）要告诉同学们公式0tan(180)tan αα-=-（α是锐角）.同时，根据题目可以总结出一些结论，承上启下.教师：从上面的运算或是正切的计算可以得到：（设直线的倾斜角为α）我们也可以通过几何画板来直观演示斜率的正负和倾斜角的关系，请大家看屏幕.(略) 问题：任何一条直线都有斜率吗？预案：倾斜角为900的直线没有斜率.教师：所以，我们要知道，所有的直线都有倾斜角，但是并不是所有的直线都有斜率的. 〖设计意图〗加深对倾斜角和斜率之间的关系的理解.2．过两点的直线斜率的公式学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度了.我们知道，如果给定直线的倾斜角α()︒≠90α，我们当然可以根据斜率的定义αtan =k 求出直线的斜率.我们也知道，两点确定一条直线，也就是给定直线上两点坐标，直线就确定了，倾斜角也就确定了，则怎么求出该直线的斜率呢？也就是：问题：已知直线L 上两个点的坐标),(),,(222111y x P y x P ，21x x ≠，如何求直线L 的斜率呢？ 对于这个问题，学生一下难以回答.教师可以先给出一个图形（图一），一定要让学生结合图形思考，先让学生提出思路，教师启发引导，最后共同完成公式的推导（图二）,得出1212x x y y k --=. 图一 图二图三教师：我们知道倾斜角还有可以是钝角，则当α为钝角时，公式还成立吗？在此老师要适当引导学生，得出0180αθ+=(如图三)，再利用诱导公式0tan(180)tan αα-=-钝角的情况转化为锐角来求解.具体过程由同学们自己推导.让一个学生到黑板上推导.〖设计意图〗整个斜率的推导过程体现了数形结合和分类讨论的思想，教学中一定要向学生不断渗透这些数学思想.师生共同完成了倾斜角为锐角的推导过程，而倾斜角为钝角的推导则通过教师引导，由学生自己完成，让学生真正体会到知识的形成过程，并利用这一过程将外在的知识点内化成自身知识体系的一部分，完成知识飞跃，完善知识结构.问题：当α=00时，公式1212x x y y k --=还成立吗？ 预案：当α=00时，直线及x 轴平行或重合.000=tan .12y y =，此时0=k ，所以当α=00时公式依然成立.问题：及P 1，P 2在直线上的顺序有关吗？让学生思考，讨论.学生开始会觉得及顺序有关，但是后来有觉得应该是没有关系的，但说不出具体的利用.此时教师结合几何画板，再结合图象，拖动点P 1，P 2的位置，让学生直观发现直线L 的斜率并没有因P 1，P 2位置的改变而改变.详细推导过程留给学生课外完成.预案:无关.即21y y ,和21x x ,在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子、分母不能交换. 问题：从几何角度怎样理解公式中要求21x x ≠呢？预案：当21x x =，直线垂直x 轴，倾斜角为900，此时斜率不存在.所以一定要注意公式适用的范围.〖设计意图〗通过问题引导，层层推进，分解公式难点，挖掘公式中的隐含知识点.同时结合几何画板，加深对公式的理解.留下一定的思考题，将课堂内容延伸到课外，培养学生合作探究的能力和习惯.教师：到现在为止，我们用代数的方法刻画出了直线的斜率公式.我们也有两种方式来求直线的斜率了.一是利用倾斜角，二是利用直线上两点的坐标.而且我们还可以先利用直线上两点的坐标算出斜率，进而求得直线的倾斜角.三、知识应用例1：关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：（1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 （ ）（2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 （ ）（3）平行于x 轴的直线的倾斜角是00或1800（ ）（4）两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 （ ）〖设计意图〗斜率及倾斜角概念的辨析题，巩固对斜率及倾斜角的理解.例2：已知A(3,2)，B(-4,1)，C(0,1)，求直线AB 、BC 、CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜任意拖动改变P1,P2位置斜率k 的大小并没有改变角是锐角还是钝角.〖设计意图〗斜率公式的直接应用和斜率的正负及倾斜角之间的关系.练习：1．求经过点A(2，-1)和点B(a ，-2)的直线L 的斜率，并讨论a 为何值时，直线L 的倾斜角是锐角、钝角、直角？〖设计意图〗例2知识点的延伸，同时隐含了分类讨论的思想.2．已知三点A(a ，2)，B(3，7)，C(-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值.〖设计意图〗加深对斜率公式的理解，让学生明白斜率的求得及直线上的点的选择无关.同时此题也是用斜率研究三点共线问题，为后面的学习做铺垫.〖题组设计意图〗整个练习的设计围绕斜率和倾斜角展开，由浅入深.同时注意了知识的承上启下和数学思想的渗透.四、知识小结1、直线的倾斜角定义及其范围：00≤α＜18002、倾斜角和斜率k 之间的关系：3、直线斜率的两种求法：①若已知倾斜角)(090≠αα时，αtan =k②若知直线过两点),(),,(222111y x P y x P 且21x x ≠，1212x x y y k --=五、板书设计 教案说明全课以化归思想为主线，达到化未知为已知，化难为易，化几何问题为代数问题的目的.通过利用多媒体课件辅助教学，帮助学生变抽象为具体，破解教学难点.本节课在教法上力求通过设置问题，层层递进，揭示知识的形成发展过程，讲清知识的来龙去脉，突出知识的本质特征，整节课突出“问题解决”.从而使学生对所学的知识理解得更加深刻.（一）设置层层疑问，促进学生探究在教学过程中按照“教、学、研同步协调原则”，充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位.借助提问，给学生营造一个思考情境，促进学生探究，给每个学生提供思考、创造、表现及获得成功的机会，使学生在民主开放、和谐愉悦的教学氛围中获取新知识，提高能力，发展自我.（二）引导学生反思,渗透数学思想.数学思想方法是数学问题的灵魂.解析几何是用代数方法研究几何问题，坐标法思想则是解析几何的核心思想.本节课注重了启发学生思维，引导学生反思思维过程，注重了数学思想方法的渗透.在贯穿坐标法思想的同时渗透了数形结合思想、转化化归思想、分类讨论思想等.（三）灵活应用多媒体，突破教学难点多媒体的灵活运用，很好的帮助学生突破了难点.倾斜角概念的形成、斜率公式的得到以及倾斜角和斜率之间的关系等，都是本节课知识的难点.借助几何画板，直观、动态演示了形成过程和变化趋势，很好的帮助学生解决了难点，内化了知识.。