抽样定理与信号恢复(学生用)
实验三抽样定理与信号恢复
抽样定理与信号恢复一、实验目的1、验证抽样定理，进一步理解抽样过程。
2、掌握对频谱混叠现象的分析。
2、深入理解信号恢复的条件。
二、实验原理1、离散信号不仅可从离散信号源获得，也可从连续信号抽样获得。
抽样信号()()()s x t x t P t =⋅，其中()x t 为连续信号（例如三角波），()P t 是周期为s T 的矩形窄脉冲。
s T 又称抽样间隔，s 1/s F T =称为抽样频率，()s x t 为抽样信号波形。
()x t 、()P t 、()s x t 波形如图1。
图1 连续信号抽样过程2、连续周期信号经周期矩形脉冲抽样后，抽样信号的频谱()(j )S ()j ω2s s a s m m t A X X m T ωτωω+∞=-∞=⋅-⎡⎤⎣⎦∑ 它包含了原信号频谱以及重复周期为s f （2s s f ωπ=）、幅度按S ()2s a m A T ωττ规律变化的原信号频谱，即抽样信号的频谱是原信号频谱的周期性延拓。
因此，抽样信号占有的频带比原信号频带宽得多。
以三角波被矩形脉冲抽样为例。
三角波的频谱：1124X j ()()k k k E A k k k ωπσωωσωωπ∞∞=-∞=-∞=-=-∑∑()抽样信号的频谱：121(j )4()()2s s as k m m A X E S k m T kωττωσωωωπ∞=-∞=-∞=∙--∑ 取三角波的有效带宽为13ω，其抽样信号频谱如图2所示。
1111111s1s（a ）三角波频谱 （b ）抽样信号频谱图2 抽样信号频谱图3、抽样信号在一定条件下可以恢复出原信号，其条件是2s f f B ≥，其中s f 为抽样频率，f B 为原信号占有频带宽度。
由于抽样信号频谱是原信号频谱的周期性延拓，因此，只要通过一截止频率为c f （s m m c f f f f ≤≤-，m f 是原信号频谱中的最高频率）的低通滤波器就能恢复出原信号。
如果2s f f B <，则抽样信号的频谱将出现混迭，此时将无法通过低通滤波器获得原信号。
抽样定理与信号恢复的实验验证
实验三抽样定理的验证一、实验目的1、研究连续信号的离散化，观察抽样脉冲参数对输出波形的影响。
2、用实验的方法验证抽样定理。
二、实验原理1.对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。
2.设连续信号的最高频率为Fmax,如果采样频率Fs>2Fmax,那么采样信号可以唯一的恢复出原连续信号，否则Fs<=2Fmax会造成信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。
三、实验内容项目一观察抽样信号波形（一）同步抽样f=1KHz，峰峰值为4V的正弦波1.抽样频率1kHZ时，Fs(t)的波形2.抽样频率2kHZ时，Fs(t)的波形3.抽样频率4kHZ时，Fs(t)的波形4.抽样频率8kHZ时，Fs(t)的波形（二）异步抽样f=1KHz，峰峰值为4V的正弦波1.抽样频率1kHZ时，Fs(t)的波形2.抽样频率2kHZ时，Fs(t)的波形3.抽样频率4kHZ时，Fs(t)的波形4.抽样频率8kHZ时，Fs(t)的波形项目二验证抽样定理与信号恢复（一）同步f=500Hz，峰峰值为4V的正弦波1.当抽样频率为1KHz时：Fs(t)的波形F’(t)波形2.当抽样频率为2KHz时：Fs(t)的波形F’(t)波形Fs(t)的波形F’(t)波形4.当抽样频率为8KHz时：Fs(t)的波形F’(t)波形（二）异步f=500Hz，峰峰值为4V的正弦波1.当抽样频率为1KHz时：Fs(t)的波形F’(t)波形Fs(t)的波形F’(t)波形3.当抽样频率为4KHz时：Fs(t)的波形F’(t)波形4.当抽样频率为8KHz时：Fs(t)的波形F’(t)波形四、实验分析1、整理数据，正确填写表格，总结离散信号频谱的特点。
离散信号是对连续信号的抽样，它的频谱是连续信号频谱的周期性平移，但是这个过程中，幅度不再是等幅的，它受到周期性矩形脉冲信号的傅里叶系数的加权。
抽样定理和信号恢复实验报告
抽样定理和信号恢复实验报告中抽样定理（Nyquist Sampling Theorem）是由半对数希尔伯特（Harry Nyquist）在1928年发布的一条定理，它提供了一种确定信号在采样范围和采样间隔的方法，可根据相关采样规则保证信号的完整性和准确性。
中抽样定理是用来描述信号抽样的必要性，即使在采样之前，某种未知事物也是有限和可采样的，否则无法恢复其原始信息。
该定理法则约定如下：1、信号必须以完整的范式采样。
信号若在采样前具有有限波道宽度，则信号必须被完整地采样，若不这样做将会丢失信号的一部分，影响整体信号的清晰度。
2、采样间隔为信号范式宽度的2倍。
中抽样定理要求，要恢复的信号必须以2倍的采样间隔范式宽度采样，这意味着要在每个信号周期内采样至少2次以上，以保证信号范型被完全恢复。
若以更短的采样间隔采样，那么信号将会出现调制失真，意味着信号会发生阵列干扰等异常信号，影响恢复准确性。
3、采样频率不能低于信号本身的频率。
在信号采样的时候，采样频率不能低于信号本身的频率，若这样则会导致在采样时信号产生抖动，因而影响信号的恢复。
中抽样定理的信号恢复实验是为了研究采样数据在恢复到信号之后，信号的完整性和可用性，也就是采样后信号是否可以被准确恢复。
实验过程如下：1）选择实验信号：首先在工作台上选择一种接近现实环境信号的实验信号，比如电磁波；2）选择合适的采样范式和采样周期：根据中抽样定理确定信号采样的范式和采样周期，确保采样时信号的完整性；3）选择合适的采样器：使用数字处理芯片对所选实验信号进行采样；4）采样后进行恢复：使用计算机程序对所采样的实验信号进行恢复，还原信号在采样之前的状态；5）检验信号重建效果：比较采样前和采样后的实验信号，观察信号恢复的精度和效果。
中抽样定理及实验报告的结果表明，采用中抽样定理的方法有效的提高了信号的清晰度和真实感，可以进行准确的信号恢复和参数测定分析。
它可以应用于传输系统和数字信号处理，在传输、抑制、延迟等方面具有重要的意义。
《信号与系统实验》信号的采样与恢复(抽样定理)实验一
《信号与系统实验》信号的采样与恢复（抽样定理）实验一、实验目的1、了解电信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。
2、验证抽样定理。
二、实验设备1、信号与系统实验箱2、双踪示波器三、原理说明1、离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号抽样而得。
抽样信号f s(t)可以看成连续f(t)和一组开关函数s (t)的乘积。
s (t)是一组周期性窄脉冲，见实验图5-1，T s(t)称为抽样周期，其倒数f s(t)= 1/T s称为抽样频率。
图5-1 矩形抽样脉冲对抽样信号进行傅立叶分析可知，抽样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的信号频率。
平移的频率等于抽样频率f s(t)及其谐波频率2f s、3f s》》》》》》。
当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度(sinx)/x规律衰减。
抽样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
2、正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点连起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。
只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f n的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出可以得到恢复后的原信号。
3、但原信号得以恢复的条件是f s 2B，其中f s为抽样频率，B为原信号占有的频带宽度。
而f min=2B为最低抽样频率又称“柰奎斯特抽样率”。
当f s<2B时，抽样信号的频谱会发生混迭，从发生混迭后的频谱中我们无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。
在实际使用中，仅包含有限频率的信号是及少的，因此即使f s=2B，恢复后的信号失真还是难免的。
图5-2画出了当抽样频率f s>2B（不混叠时）f s<2B（混叠时）两种情况下冲激抽样信号的频谱。
t f(t)0F()t 0m ωm ω-(a)连续信号的频谱Ts t 0f s (t)F()t0m ωm ω-s ω-s ω（）(b)高抽样频率时的抽样信号及频谱 不混叠图5-2 冲激抽样信号的频谱实验中f s >2B 、f s =2B 、f s <2B 三种抽样频率对连续信号进行抽样，以验证抽样定理——要使信号采样后能不失真地还原，抽样频率f s 必须大于信号频率中最高频率的两倍。
实验五抽样定理及信号恢复
3. 设1KHz的三角波信号的有效带宽为3KHz，Fs(t)信号分 别通过截止频率为fc1和fc2低通滤波器，观察其原信号 的恢复情况，并完成以下观察和记录任务：
1台
四. 实验内容和步骤
1. 抽样信号波形的观测 2. 验证抽样定理与信号恢复
1.抽样信号波形的观测
1. 调节信号源，使之输出f=1KHz，幅度A=3V的三角波； 2. 连接信号源输出端与抽样定理模块上点P41； 3. 拨码开关K401拨至左边； 4. 用示波器观察TP42处抽样信号的波形，调整电位器 5. W41改变抽样频率，使抽样频率分别为3K、6K和12K， 6. 观察并记录这3种情况下抽样信号的波形。
2. 验证抽样定理与信号恢复
信号恢复实验方框图如图5-7：
F(பைடு நூலகம்)
抽样器
FS(t)
S(t)
低通 滤波器
F’(t)
图5-7 信号恢复实验方框图
1. 分别设计两个有源低通滤波器，电路形式如图5-6所示。 〔利用U43、R43、R44、C42与C41、C43来实现〕分别 设fc1=2KHz，fc2=4KHz，R1=R2=5.1KΩ，试计算C1 和C2值〔计算公式见5-1，5-2〕。
a. 当抽样频率分别为3KHz、6KHz、和12KHz，截止频 率为2KHz时Fs(t)和F'(t)的波形；
b. 当抽样频率分别为3KHz、6KHz、和12KHz，截止频 率为4KHz时Fs(t)和F'(t)的波形；
实验二抽样定理与信号的恢复
反变换
f(t)= 1
2
F
(
j
)e
jt
d
试求f(t)=e-2|t|的傅立叶变换，并画出f(t)及 其幅度频谱图
syms t函数符 x=exp(-2*abs(t)); F=fourier(x); subplot(2,1,1) ezplot(x) subplot(2,1,2) ezplot(F)
连续时间系统的频域分析
%产生'fm'调制信号
y=modulate(x,fc,fs,'fm'); subplot(4,1,3) plot(t(1:200),y(1:200)) xlabel('times(s)'); axis([0,0.2,-1,1]); title('Modulated signal (fm)');
%产生'am'调制信号
MATLAB提供专门的函数modulate()用于实现信 号的调制。 调用格式： y=modulate(x,fc,fs,’method’) [y,t]=modulate(x,fc,fs) 其中，x为被调信号,fc为载波频率,fs为信号 x的抽样频率,method为所采用的调制方式， ‘method’常用方式‘am’、’pm’、’fm’。
已知信号 f (t) sin(20 t) ,载波信号为频率
100HZ的正弦信号，试绘制其在不同调制方式下的 波形。
%绘制原始信号 fm=10;fc=100;fs=1000; N=1000;k=0:N-1; t=k/fs; x=sin(2.0*pi*fm*t); subplot(4,1,1) plot(t(1:200),x(1:200))
stem(n*Ts*1000,x)
抽样定理与信号恢复实验报告
抽样定理与信号恢复实验报告实验报告：抽样定理与信号恢复摘要：抽样定理是数字信号处理中的重要概念，它为我们提供了从连续时间上放缩成为离散时间表示的方法。
在本实验中，我们利用数字信号处理软件进行了一系列实验，以了解抽样定理的工作原理和不同采样频率对信号恢复的影响。
通过实验结果分析，我们得出结论：1. 抽样频率应大于信号带宽两倍；2. 较低的采样频率可能导致丢失重要信息；3. 采样频率高于极限频率会增加不必要的计算开销。
因此，了解抽样定理对我们使用数字信号处理工具处理不同类型信号的时候带来极大的帮助。
实验过程：1. 选择一个连续时间信号z(t)并计算其频率响应和最大频率；2. 在Matlab中选择一个采样频率，对信号进行采样，并计算采样信号的傅里叶系数；3. 选择一个重建滤波器，用于从离散时间信号中重建连续时间信号；4. 绘制信号的原始函数和重构函数，并通过对比和信号恢复误差评价重建质量。
实验结果：我们采样一个频率为5Hz的正弦波，即sq(t) = sin(2 pi 5 t)。
我们选择了三个采样频率，分别是10Hz、8Hz和6Hz。
在Matlab中运行解析和比较函数，我们得出了信号的重构函数和重构误差。
当采样频率为10Hz时，与原始信号相比，重构过程中出现了一点振荡。
这是因为重构滤波器的阶数没有达到最优值。
当采样频率降低到8Hz时，出现了更明显的振荡。
这是因为采样频率在8Hz以下不能捕捉到5Hz正弦波的一个完整波形。
进一步降低采样频率到6Hz，我们观察到信号完全失真，根本无法恢复原始信号。
结论：本实验证明了抽样定理在数字信号处理中的重要性。
对于任何采样频率低于极限的情况，都可能导致信号发生失真。
因此，理解抽样定理可以帮助我们更好地从连续时间中得到数字表示的方法。
实验一：抽样定理-信号的取样与恢复
实验一：抽样定理-信号的取样与恢复实验目的和要求1.加深对抽样定理-信号的取样与恢复的感观认识和理解。
2.搭建抽样定理-信号的取样与恢复仿真系统。
实验内容1.搭建抽样定理-信号的取样与恢复仿真系统。
2.分析信号流程及特性。
3.思考信号抽样恢复无失真的条件。
主要实验仪器与器材1.安装有System View软件的计算机实验指导抽样定理实际的宏观物理过程都是连续变化的，物理量的空间分布也是连续变化的。
在今天的数字时代，连续变化的物理量要用它的一些离散分布的采样值来表示，而且这些采样值的表达方式也是离散的这些离散的数字表示的物理量的含义或者说包含的信息量与原先的连续变化的物理量是否相同？是否可以由这些抽样值准确恢复一个连续的原函数？抽样是把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的过程。
能否由此样值序列重建原信号，是抽样定理要回答的问题。
抽样定理的大意是，如果对一个频带有限的时间连续的模拟信号抽样，当抽样速率达到一定数值时，那么根据它的抽样值就能重建原信号。
也就是说，若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，只需传输按抽样定理得到的抽样值即可。
因此，抽样定理是模拟信号数字化的理论依据。
低通抽样定理根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理；根据用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等间隔的，又分均匀抽样定理和非均匀抽样；根据抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又可分理想抽样和实际抽样。
本实验以低通型抽样为例。
一个频带限制在(0, fH)赫内的时间连续信号m(t)，如果以Ts≤1/(2fH)秒的间隔对它进行等间隔（均匀）抽样，则m(t)将被所得到的抽样值完全确定。
此定理告诉我们：若m(t)的频谱在某一角频率ωH以上为零，则m(t)中的全部信息完全包含在其间隔不大于1/(2fH)秒的均匀抽样序列里。
换句话说，在信号最高频率分量的每一个周期内起码应抽样两次。
或者说，抽样速率fs（每秒内的抽样点数）应不小于2fH，若抽样速率fs＜2fH，则会产生失真，这种失真叫混叠失真。
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实验五 抽样定理与信号恢复
一、实验目的
1、观察离散信号频谱，了解其频谱特点。
2、验证抽样定理并恢复原信号。
二、实验原理
1、离散信号不仅可从离散信号源获得，而且也可从连续信号抽样获得。
抽
样信号
()()()S f t f t s t =•
其中()f t 为连续信号（例如三角波），()s t 是周期为S T 的矩形窄脉冲。
S T 又称抽样间隔，1
S S
f T =
称抽样频率。
()f t 、()s t 、()S f t 波形如图5-1。
t
(a)
t
t
图5-1 连续信号的抽样过程
将连续信号用周期性矩形脉冲抽样而得到抽样信号，可通过抽样器来实现，
信号抽样与恢复实验原理如图5-2所示。
)
t
图5-2 信号抽样与恢复实验原理图
2、连续周期信号经周期矩形脉冲抽样后，抽样信号的频谱为
[]∑Ω-Ω=
)()2
(
)(S S S m j F m Sa T
A j F ωτ
τω 它包含了原信号频谱以及重复周期为S f （2S S f πΩ=
）、幅度按()2
S m A Sa T ττΩ规律变化的原信号频谱，即抽样信号的频谱是原信号频谱的周期性延拓。
因此，抽样信号占有的频带比原信号频带宽得多。
以三角波被矩形脉冲抽样为例。
三角波的频谱
[][]∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=-=-=k k k k j k E
k j A j F )(4)()(1
2
1ωωσπωωσπω
抽样信号的频谱
∑∞
-∞
=-∞=Ω--Ω⋅=m k S S S m k m Sa k
E T A j
F )()2(1
4)(12ωωστπτω
取三角波的有效带宽为13ω，三角波的频谱如图5-3所示，抽样信号的频谱如图5-4所示。
f
图5-3 三角波的频谱
f
图5-4 抽样信号的频谱
如果离散信号是由周期连续信号抽样而得，则其频谱的测量与周期连续信号方法相同，但应注意频谱的周期性延拓。
3、抽样信号在一定条件下可以恢复出原信号，其条件是f S B f 2≥，其中S
f 为抽样频率，f B 为原信号占有频带宽度。
由于抽样信号频谱是原信号频谱的周期性延拓，因此，只要通过一截止频率为c f （m S c m f f f f -≤≤,m f 是原信号频谱中的最高频率）的低通滤波器就能恢复出原信号。
如果f S B f 2<，则抽样信号的频谱将出现混迭，此时将无法通过低通滤波器获得原信号。
c
f
图5-5 实际低通滤波器在截止频率附近的频率特性曲线
在实际信号中，仅含有限频率成分的信号是极少的，大多信号的频率成分是无限的，并且实际低通滤波器在截止频率附近频率特性曲线不够陡峭，如图5-5所示，若使f S B f 2=，f m c B f f ==，恢复出的信号难免有失真。
为了减小失真，应将抽样频率S f 取高（f S B f )5~3(>），低通滤波器满足m S c m f f f f -≤≤。
为了防止原信号的频带过宽而造成抽样后频谱混法，实验中常采用前置低通滤波器滤除高频分量，如图5-6所示。
若实验中选用的原信号频带较窄，则不必设置前置低通滤波器。
本实验采用有源低通滤波器，如图5-7所示。
若给定截止频率c f ，并取
21
=Q （为避免幅频特性出现峰值），R R R ==21，则电容的取值为
R
f Q
C c π=
1 （5-1） QR
f C c π41
2=
（5-2）
)
t ('
图5-6 信号抽样实验电路系统组成框图
C 1
f )
t (
图5-7 有源低通滤波器实验电路图
三、实验内容
1、观察抽样信号波形。
①设置信号发生器在TP701输出1f KHz =，V E 2=幅值的三角波。
②连接P701与P601，用示波器观察TP603（()S f t ）的波形，如实验原理图5-8所示。
③调整W601可改变抽样频率，并观察TP602和TP603波形的变化。
2、验证抽样定理与信号恢复
（1）信号恢复实验原理如图5-2所示。
而实验电路所采用的电子元器件如
图5-7所示。
P605
R604
(t f P607
P608
C604
P615P616TPGND
P611
P614
C602
P609
P612
C603
P610
P613
图5-8 信号抽样与恢复实验原理图
（2）根据图5-7所示提供的电路形式，分别设计两个有源低通滤波器。
它们的电路参数分别设截止频率12c f KHz =，24c f KHz =，电阻12 5.1R R K ==Ω，试依据计算公式5-1，5-2计算出所对应的C1和C2值，并进行连线组成相应的有源低通滤波器。
（3）将信号发生器输出的三角波信号接于P601，抽样信号()S f t 的输出端P603与低通滤波器输入端P604相连，用示波器观察抽样信号TP603端和低通滤波器输出端TP604恢复信号波形的变化情况。
（4）设1KHz 的三角波信号的有效带宽为3KHz, ()S f t 信号分别通过截止频率为12c f KHz =和24c f KHz =低通滤波器时，观察其原信号的恢复情况，并根据表5-1要求将观察的结果记录在表中。
表5-1
四、报告要求
1、整理数据，正确填写表格，总结离散信号频谱的特点。
2、整理在不同抽样频率（三种频率）情况下，)(t f与)('t
f波形，比较后得出结论。
3、比较)(t f分别为正弦波和三角形，其()
f t的频谱特点。
S
4、通过本实验你有何体会。
五、实验设备
1、双踪示波器1台
2、信号系统实验箱1台
六、思考题
当取1KHz的三角波信号的有效带宽为5KHz, 抽样频率f s应为何值？此时要使信号得到恢复，低通滤波器的截止频率f c应为何值？
附录：Multisim仿真电路图。