天津市六校2016-2017学年高二上学期期中联考数学试卷含答案
【数学】2016-2017年天津市六校联考高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
2016-2017学年天津市六校联考高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．22．（5分）设变量x，y满足，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．4 B．8 C．12D．244．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA 上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣5．（5分）设S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，若=（n∈N*），则=（）A．B．C．D．6．（5分）已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=log x．设a=f（），b=f（），c=f（）则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x﹣sinx，若不等式f（﹣4t）＞f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0） C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）8．（5分）设ω∈N*且ω≤15，则使函数y=sinωx在区间[，]上不单调的ω的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）函数f（x）=x•e x在极值点处的切线方程为．10．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若a5+2a10=0，则的值是．11．（5分）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D为BC边上的点，且•=0，若=，则（+）•=．12．（5分）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为．13．（5分）在正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小．14．（5分）设0＜a≤1，函数f（x）=x+﹣1，g（x）=x﹣2lnx，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是．三．解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．16．（13分）福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．18．（13分）已知单调递增的等比数列{a n}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•log2a n，其前n项和为S n，若（n﹣1）2≤m（S n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（n∈N，n＞1）20．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n 项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．2016-2017学年天津市六校联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2【解答】解：∵z=====1+2i，∴复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是2．故选：D．2．（5分）设变量x，y满足，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．3．（5分）某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．4 B．8 C．12D．24【解答】解：由三视图的侧视图和俯视图可知：三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是一个直角三角形，斜边为6，斜边上的高为2，底面三角形面积为：S=，三棱锥的高是h==2，它的体积v==××6×=4，故选：A．4．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA 上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣【解答】解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故选：A．5．（5分）设S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，若=（n∈N*），则=（）A．B．C．D．【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：=====．故选：C．6．（5分）已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=log x．设a=f（），b=f（），c=f（）则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=log x．∴a=f（）=f（﹣）=﹣f（）∈（﹣1，0），b=f（）=f（﹣）=﹣f（）=﹣1，c=f（）=f（）=1；∴b＜a＜c，故选：B．7．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x﹣sinx，若不等式f（﹣4t）＞f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0） C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：由f（x）=x﹣sinx，可得f'（x）=1﹣cosx≥0，故f（x）在[0，+∞）上单调递增，再由奇函数的性质可知，f（x）在R上单调递增，由f（﹣4t）＞f（2mt2+m），可得﹣4t＞2mt2+m，即2mt2+4t+m＜0，当m=0时，不等式不恒成立；当m≠0时，根据条件可得，解之得，综上，m∈（﹣∞，﹣），故选：A．8．（5分）设ω∈N*且ω≤15，则使函数y=sinωx在区间[，]上不单调的ω的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：根据正弦函数图象及性质：对称轴方程为ωx=+kπ，（k∈Z）．解得：x=+，（k∈Z）．∵函数y=sinωx在区间[，]上不单调，∴＜+＜，（k∈Z），解得：1.5+3k＜ω＜2+4k，（k∈Z）．由题意：ω∈N*且ω≤15，当k=0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；当k=1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取：5；当k=2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取：8，9；当k=3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取：11，12，13；当k=4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取：14，15；∴ω∈N*且ω≤15，y=sinωx在区间[，]上不单调时，ω可以4个数，即5，8，9，11，12，13；14，15．故选：C．二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）函数f（x）=x•e x在极值点处的切线方程为y=﹣．【解答】解：函数f（x）=x•e x的导数为f′（x）=e x+xe x，由f′（x）=0，可得x=﹣1，当x＞﹣1时，f′（x）＞0；当x＜﹣1时，f′（x）＜0．可得x=﹣1为极小值点，极值为﹣．在极值点处的切线斜率为0．可得在极值点处的切线方程为y+=0，即为y=﹣．故答案为：y=﹣．10．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若a5+2a10=0，则的值是．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q（q≠0），由a5+2a10=0，得，∵a1≠0，∴．则===．故答案为：．11．（5分）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D为BC边上的点，且•=0，若=，则（+）•=8．【解答】解：∵•=0∴AD⊥BC又∵AB=AC=4，∠BAC=120°∴D为BC的中点，且∠BAD=60°，AD=2∴（+）•=2•==2×4×cos60°+22=8故填空：8．12．（5分）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为9．【解答】解：∵x，y均为正数，且+=，∴=，整理可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，整理可得（）2﹣2﹣3≥0，解得≥3，或≤﹣1（舍去）∴xy≥9，当且仅当x=y时取等号，故答案为：913．（5分）在正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小90°．【解答】解：如图，取A1B1的中点D，连接BD，C1D若，B 1A⊥BD，B1A⊥C1D，BD∩C1D=D∴B1A⊥面C1DB，而C1B⊂面C1DB∴B1A⊥C1B，故答案为90°14．（5分）设0＜a≤1，函数f（x）=x+﹣1，g（x）=x﹣2lnx，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是[2﹣2ln2，1] ．【解答】解：求导函数，可得g′（x）=1﹣，x∈[1，2]，g′（x）＜0，x∈（2，e]，g′（x）＞0，∴g（x）min=g（2）=2﹣2ln2，令f'（x）=0，∵0＜a＜1，x=±，当0＜a≤1，f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）min=f（1）=a≥2﹣2ln2，∴2﹣2ln2≤a≤1，故答案为[2﹣2ln2，1]．三．解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，∵f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，即ω=1，则f（x）=sin（2x﹣）﹣1，（Ⅰ）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤kπ+，k∈Z，则函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即sin（2x﹣）=1，∴2C﹣=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sinA代入得：b=3a，由余弦定理及c=得：cosC===，整理得：10a2﹣7=3a2，解得：a=1，则b=3．16．（13分）福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？【解答】解：设每月调进空调和冰箱分别为x，y台，总利润为z（百元）则由题意得目标函数是z=6x+8y，即y=x+平移直线y=x，当直线过P点时，z取最大值由得P点坐标为P（4，9）将（4，）代入得z max=6×4+8×9=96（百元）即空调和冰箱每月分别调进4台和9台是商场获得的总利润最大，总利润最大值为9600元17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，∴S===2，△BCM===．∴四面体N﹣BCM的体积V N﹣BCM18．（13分）已知单调递增的等比数列{a n}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•log2a n，其前n项和为S n，若（n﹣1）2≤m（S n﹣n﹣1）对于n ≥2恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的{a n}首项为a1，公比为q．由题意可知：，解得：或，∵数列为单调递增的等比数列，∴a n=2n；（Ⅱ）b n=a n•log2a n =n•2n，∴S n=b1+b2+…+b n=1•21+2•22+…+n•2n，①2S n=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②①﹣②，得：﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴S n=（n﹣1）•2n+1+2，若（n﹣1）2≤m（S n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）•2n+1+2﹣n﹣1]=m[（n﹣1）•2n+1+1﹣n]对于n≥2恒成立，即=对于n≥2恒成立，∵=，∴数列{}为递减数列，则当n=2时，的最大值为．∴m≥．则实数m得取值范围为[，+∞）．19．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（n∈N，n＞1）【解答】解：（1）f'（x）=当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）递减；当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）递减，∵f（1）=0∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；∴f（x）max=f（a）=alna﹣a+1令g（a）=alna﹣a+1∴g'（a）=lna∴g（a）的最小值为g（1）=0∴alna﹣a+1≤0的解为a=1；（3）由（2）知：lnx＜x﹣1 x＞1∵=＜=∴++…+＜++…+=．20．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n 项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，得，解得，∴a n=4n，∵T n﹣2b n+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，T n﹣1﹣2b n﹣1+3=0，两式相减，得b n=2b n﹣1，（n≥2）则数列{b n}为等比数列，∴；（Ⅱ）．当n 为偶数时，P n =（a 1+a 3+…+a n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b n ）=．当n 为奇数时， n=1时，P 1=c 1=a 1=4，（法一）n ﹣1为偶数，P n =P n ﹣1+c n =2（n ﹣1）+1+（n ﹣1）2﹣2+4n=2n +n 2+2n ﹣1， （法二）P n =（a 1+a 3+…+a n ﹣2+a n ）+（b 2+b 4+…+b n ﹣1）=．∴．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xfxfx第21页（共21页）①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a ->，则()m f p =．x <O -=f (p) f(q) ()2b f a -0x x <O -=f(p)f (q) ()2b f a -0x。
天津市五区县1617学年度高二上学期期末考试(图片)——数学文数学文
天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11． 12． 13． 14．1 15. 13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）解：（1）解法一：设圆的方程为 222()()x a y a r -+-=（）．依题意得222222(3),(3)(2),a a r a a r ⎧+-=⎨-+-=⎩ ……………………………………………………3分 解得 ，，所以圆的方程为 ． …………………………………………6分解法二：依题意易得线段的中垂线方程为 ．…………………………………3分联立方程组解得所以圆心 ，所以圆 的方程为 ．………………………………………6分（2）直线的倾斜角为∴ ………………………………………8分∴可设直线的方程为由（Ⅰ）可知圆心到直线的距离………………………………………11分解得∴直线的方程为 ………………………………………12分17．（12分）解： （1）5,3,4AC CB AB ===∴∴………………2分又四边形是矩形∴………………3分又∴平面又平面∴平面平面 ………………………………………6分（2）取的中点，连结，∴为正三角形∴ …………………………8分由（Ⅰ）可知平面平面∴平面平面又平面平面∴平面∴是在平面上的投影∴是直线与平面所成的角 …………………………10分在中，1A D CD ==∴11tan A D ACD CD ∠== ∴直线与平面所成角的正切值为. …………………………12分18．（12分）解： （1）抛物线的准线方程为：由抛物线的定义可知：∴∴抛物线的标准方程为． …………………………………………4分（2）由已知，，直线的方程为，……………………6分联立 消得：，所以 ……………………………8分所以 ， …………………10分又因为到直线的距离 ，所以1822OMN S ∆=⨯= ． ……………………………………12分 19．（12分） 解： （1）连接交于，连接 四边形为矩形∴为的中点，又是中点 ∴， ∴ （2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系,依题意得，，， ，，，， ………………………………………………4分易得， …………………5分cos ,||||CE AP CE AP CE AP ⋅<>==-⋅ ………………………6分 ∴所求异面直线与所成角的余弦值为………………………7分（3）由题意可知：平面的一个法向量为 …………………………8分 又可解得1(1,2,0),(0,1,)2AC AP ==故设平面的一个法向量为 则00n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨令，可得 ……10分 于是2cos ,3||||AB n AB n AB n ⋅<>==⋅ 所以二面角的余弦值为 …………………………12分20．（12分）解： (1)由题意可知： …………………………1分 …………………………2分∴∴∴椭圆的方程为： ……………………………3分(2) 设点，由方程组2210132x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去，整理得 ………………4分 求解可得， ………………………………5分AB ==………………………………6分 （3）由方程组2222101x y x y ab +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去，整理得222222()2(1)0a b x a x a b +-+-=设点，222222(2)4()(1)0a a b a b =--+⋅->， ……………………………7分以为直径的圆经过坐标原点，∴∴121212122()10x x y y x x x x +=-++=∴① ……………………………8分又 ∴由①可知 ………………………………10分∴∴ ∴ ……………………………12分。
天津一中2017-2018高二数学上学期期中试题理科带答案
天津一中2017-2018高二数学上学期期中试题（理科带答案）天津一中2017-2018-1高二年级数学学科（理科）模块质量调查试卷本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。
第I卷1页，第II卷至2页。
考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。
一、选择题：1．已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面、，则下列命题中的真命题是A．若m，n，，则mn.B．若m，n∥，，则mn.C．若m∥，n∥，∥，则m∥n.D．若m∥，n，，则m∥n.2．已知直线xa2y60与直线(a2)x3ay2a0平行，则a的值为A．0或3或1B．0或3C．3或1xy30D．0或13．已知x,y满足约束条件3xy50，则zx2y的最大值是x30A．0B．2C．5D．64．若过定点M(1,0)且斜率为k的直线与圆x24xy250在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是A．0k5B．5k0C．0k13D．0k55．在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2,AA11，则点A到平面A1BC的距离为33A．B．42C．33D．346．若直线yxb与曲线y34xx2有公共点，则b的取值范围是A．122,122B．= 673;12,3C．1,122D．122,3xy4,7．设不等式组yx0,表示的平面区域为D.若圆C:x12y 1483;12r2x10不经过区域D上的点,则r的取值范围是r0A．22,25B．22,32C．32,25D．0,2225,8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A．32B．23C．2D．229．若直线ax2by20(a,b0)始终平分圆x2y24x2y8 0的周长，则11的最小值为2ab15A．B．22322C．2D．3210．已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，ACD135，则异面直线AB与CD 所成角的余弦值为1231A．4B．4C．4D．2二、填空题：11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（单位：cm3）．12．已知点A(1,1)和圆C：(x5)2(y7)24，从点A发出的一束光线经过x轴反射到圆周C的最短路程是．13．已知圆C：(x1)2y225与直线l：mxym20，当m时，圆C被直线l截得的弦长最短．14．已知直线axy20与圆心为C的圆x12yɦ 85;a24相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a．15．正方形AP1P2P3的边长为4，点B,C分别是边P1P2,P2P3的中点，沿AB,BC,CA折成一个三棱锥PABC（使P1,P2,P3重合于P），则三棱锥PABC的外接球表面积为．16．若关于x的不等式k．三、解答题：9x2k(x2)2的解集为区间a,b,且ba2，则17．已知点A(3,0),B(3,0)，动点P满足PA2PB（Ⅰ）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程（Ⅱ）若点Q在直线l1:xy30上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求QM的最小值18．如图，在三棱台DEFABC中，（平面DEF与平面ABC平行，且DEF∽ABC)，AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点. （Ⅰ）求证：BD//平面FGH；（Ⅱ）若CF平面ABC，ABBC,CFDEACFD所成的角（锐角）的大小.，BAC45,求平面FGH与平面19．已知圆C的圆心在直线l1:xy10上，与直线l2:4x3y140相切，且截直线l3:3x4y100所得弦长为6 （Ⅰ）求圆C的方程（Ⅱ）过点M(0,1)是否存在直线L，使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在，写出直线L的方程；若不存在，说明理由新疆特级教师王新敞wxckt@126.20．如图，ACB和ADC都为等腰直角三角形，M，O为AB，AC的中点，且平面ADC平面ACB，AB4，AC2 2，AD2.（Ⅰ）求证：BC平面ACD；（Ⅱ）求点B到平面CDM的距离d（Ⅲ）若E为BD上一点，满足OEBD，求直线ME 与平面CDM所成角的正弦值.DECOBAM一、选择题：参考答案1．A2．D3．C4．A5．B6．D7．D8．B9．C10．B二、填空题：11．1212．813．114．41515．2416．2三、解答题：17．（Ⅰ）P（x，y）(x+3)2+y2=4[(x-3)2+y2]x2+y2-10x+9=0 （Ⅱ）圆心（5，0）r12100364|QM||QC|216QCl1时|QC|mindce18422|QM18．|min4（Ⅰ）DF//1AC□DGCFO为DC中点DB//OHBD//平面FGH2（Ⅱ）DG//FC∴DG⊥面ABCEG⊥AC∴如图建系令CF=DE=1∴AB=BC=27GB=2∴B（2，0，0）C（0，2，0）D（0，0，1）2H（，222，0）F（0，2，1）22xy022yz0∴面GFH法向量n(1,1,2)又面ACFD法向量取m1(1,0,0)∴cosm,n2∴平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小60°。
2016-2017学年天津市六校度高二第一学期期中联考数学(详细答案版)
2016-2017学年天津市六校度高二第一学期期中联考数学一、选择题：共8题1．点B 是点A (1,2,3)在坐标平面yoz 内的射影，则|OB |等于A. 13B. 14C.2 3D. 10【答案】A【解析】本题考查空间向量.因为点B 是点A (1,2,3)在坐标平面yoz 内的射影，所以B (0,2,3)，所以 OB = 2+32= 13.选A.2．用斜二测画法画边长为1的正方形的直观图，则直观图的面积是A.1B.12C. 22D. 24【答案】D【解析】本题考查直观图.因为S 直S 平=24,所以S 直=24S 平=24.选D.3．若直线l 1:x +ay +6=0与l 2:(a −2)x +3y +2a =0平行，则l 1与l 2间的距离为A. 2B.8 23C. 3D.8 33【答案】B【解析】本题考查两直线平行,距离公式.因为直线l 1与l 2平行，所以1a−2=a 3≠62a ,解得a =−1;所以直线l 1:x −y +6=0与l 2:x −y +23=0的距离d = 6−2312+12=8 23.选B.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.5 33B.4 33C.5 36D. 3【答案】A【解析】本题考查三视图,空间几何体的体积.如图所示,该几何体的体积V=V柱−V 锥=12×2×3×2−13×12×2×3×1=23−33=533.选A.5．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为A.32π3B.4π C.2π D.4π3【答案】D【解析】本题考查空间几何体的结构特征与体积.如图所示,该正四棱柱的外接球的直径2R=1+1+2=2，即R=1;所以该球的体积V=4πR33=4π3.选D.6．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题：①若l⊥α,α⊥β，则l∥β；②若l∥α，α∥β，则l∥β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.其中正确命题的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】本题考查命题,点线面之间的位置关系.若l⊥α,α⊥β，则l∥β或l在β内,即①错误;若l∥α，α∥β，则l∥β或l在β内,即②错误;若l⊥α，α∥β，则l⊥β,即③正确;若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β.即④错误.所以正确命题的个数是1.选A.7．若直线ax−by+1=0过圆C:x2+y2+2x−4y+1=0的圆心，则ab的取值范围是A.(−∞,14] B.(−∞,18] C.(0,14] D.(0,18]【答案】B【解析】本题考查基本不等式,直线与圆的位置关系.因为直线ax−by+1=0过圆C:(x+1)2+(y−2)2=4的圆心(−1,2)，所以−a−2b+1=0,即a+2b=1;当a>0,b>0时，1=a+2b≥22ab,解得0<ab≤18(当且仅当a=2b时等号成立);当a=1,b=0时，ab=0;当a=−1,b=1时，ab<0;所以ab的取值范围是(−∞,18].选B.8．过点A(11,2)作圆x2+y2+2x−4y−164=0的弦，其中弦长为整数的共有A.16条B.17条C.32条D.34条【答案】C【解析】本题考查直线与圆的位置关系.圆:(x+1)2+(y−2)2=132,其中圆心(−1,2),半径r=13;则过点A(11,2)的最长的弦长为26,最短的弦长为22−122=10;而圆具有对称性,所以过点A(11,2)为整数的弦长可能为11、12、13⋯⋯25,各2条;所以弦长为整数的共有1+1+2×15=32条.选C.二、填空题：共6题9．已知圆的方程为x2+y2+2x−4y−4=0,则过点(4,−1)的圆的切线方程为 . 【答案】y=-1或15x+8y-52=0【解析】本题考查直线与圆的位置关系.圆:(x+1)2+(y−2)2=9,圆心(−1,2),半径r=3;令过点(4,−1)的圆的切线方程为y+1=k(x−4),即kx−y−4k+1=0;因为直线与圆相切,所以r=d=2=3,解得k=0或k=−158;所以过点(4,−1)的圆的切线方程为y=-1或15x+8y-52=0.10．长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，BB 1=1，则异面直线A 1C 与BC 1所成角的余弦值为 .【答案】 55【解析】本题考查空间向量的应用.如图建立空间直角坐标系,A 1(2,0,1),C (0,2,0),B (2,2,0),C 1(0,2,1),所以A 1C =(−2,2,−1),BC 1 =(−2,0,1),所以cos θ=A 1C ⋅BC 1|A 1C ||BC 1|=35=55;即异面直线A 1C 与BC 1所成角的余弦值为 55.11．若直线l 1:ax +y +2a =0与直线l 2:x +a 2y +3=0互相垂直,则实数a = .【答案】0或-1【解析】本题考查两直线垂直.因为直线l 1与l 2垂直,所以−a ×−1a 2=−1(斜率存在)或a =0(斜率不存在),解得a =−1或0.12．一个圆锥的表面积为3π(m 2)，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为 (m ). 【答案】1【解析】本题考查空间几何体的表面积.由题意得S =S 侧+S 底=πr 2+πr l =3π且12×2πl =2πr ,联立解得r =1.即圆锥的底面半径为1m.13．曲线y = 2与直线y =k (x −2)+3有两个不同的公共点，则实数k 的范围为 . 【答案】(512,34]【解析】本题考查直线与圆的位置关系.直线y=k(x−2)+3恒过定点P(2,3);而曲线y=4−x2表示以O(0,0)为圆心、2为半径的上半圆(如图所示);当直线kx−y−2k+3=0与圆相切于点A时,r=d=k2+1=2,解得k=512,此时直线与圆有1个公共点;当直线过点B(−2,0)时,k=34,此时直线与圆有两个不同的公共点;所以实数k的范围为(512,34].14．若直线y=kx+2k与圆x2+y2+mx+4=0至少有一个交点，则实数m的取值范围是 .【答案】(4,+∞)【解析】本题考查直线与圆的位置关系.直线y=kx+2k=k(x+2)恒过定点P(−2,0);而直线与圆至少有一个交点，所以点P(−2,0)在圆内或圆上,即4+0−2m+4≤0,解得m≥4;而x2+y2+mx+4=(x+m2)2+y2=m24−4>0,所以m>4或m<−4;所以m>4,即实数m的取值范围是(4,+∞).三、解答题：共6题15．已知直线l经过点P(−2,5)，且斜率为−34.(1)求过点P且与直线l垂直的直线l1的方程；(2)求过点P且在x轴与y轴上的截距相等的直线l2的方程；【答案】(1)由已知得k=43，∴y−5=34(x+2)，即直线l1方程为4x−3y+23=0.(2)①当直线不过原点时，设直线l2方程为xa +yb=1，∴−2a+5a=1，即a=3，∴直线l2方程为x+y−3=0；②当直线过原点时，直线l2斜率为−52，直线l2方程为y=−52x，即5x+2y=0.综上所述，直线l2的方程为x+y−3=0或5x+2y=0.【解析】本题考查直线的方程,两直线的位置关系.(1)由已知得k=43，由点斜式得l1:4x−3y+23=0.(2)①当直线不过原点时，l2为x+y−3=0；②当直线过原点时，l2为y=−52x.综上所述，直线l2为x+y−3=0或5x+2y=0.16．如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，(1)求证：B1D⊥平面A1C1B；(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角；(3)求点B1到平面A1C1B的距离.【答案】(1)∵DC⊥平面B1BCC1，BC1⊂平面B1BCC1，∴DC⊥BC1；又∵B1C⊥BC1，B1C∩DC=C，∴BC1⊥平面B1DC∵B1D⊂平面B1DC，∴BC1⊥B1D，连接B1D1，∵DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴DD1⊥A1C1又∵B1D1⊥A1C1，DD1∩B1D1=D1，∴A1C1⊥平面B1D1D∵B1D⊂平面B1D1D，∴A1C1⊥B1D；又∵BC1∩A1C1=C1，∴B1D⊥平面A1C1B.(2)设B1C∩BC1＝H，由(1)得：BC1⊥平面B1DC，连接A1H，则A1H是A1B在平面A1B1CD上的射影,∴∠BA1H即为直线A1B和平面A1B1CD所成角在RtΔEDG中，A1B =2a,BH=2a2,∴sin∠BA1H=BHA1B=12∴∠BA1H=300∴直线A1B和平面A1B1CD所成角为300.(3)设点B1到平面A1C1B的距离为d，由V B−A1B1C1=V B1−A1BC1得：13SΔA1B1C1⋅BB1=13SΔA1BC1⋅d即：13×(12A1B1⋅B1C1)×BB1=13×(34A1C12)×d，∴13×(12a×a)×a=13×34×(2a)2×d，∴d=33a;即点B1到平面A1C1B的距离为33a.【解析】本题考查线面垂直,线面角,空间几何体的体积.(1)作辅助线,证得BC1⊥B1D，A1C1⊥B1D，又∵BC1∩A1C1=C1，∴B1D⊥平面A1C1B.(2)求得∠BA1H即为直线A1B和平面A1B1CD所成角,在RtΔEDG中，求得∠BA1H=300，∴直线A1B和平面A1B1CD所成角为300.(3)由V B−A1B1C1=V B1−A1BC1得：点B1到平面A1C1B的距离为33a.17．如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5,AA1=4,点D是AB 的中点.(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1//平面CDB1；(3)求二面角A−BC1−C的平面角的正切值.【答案】(1)又∵C1C⊥A C，∴AC⊥平面BCC1B1.∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1.(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE；又四边形BCC1B1为正方形，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(3)由已知可得AB=AC1=5，CB=CC1=4设CB1与BC1交于点H，连接AH，则AH⊥BC1，CH⊥BC1，则∠AHC为二面角A-BC1-C的平面角.由(1)可知AC⊥CH，∴在RtΔAHC中，tan∠AHC=ACCH =22=328.即二面角A-BC1-C的平面角的正切值为328.【解析】本题考查线面垂直与平行,二面角.(1)AC⊥平面BCC1B1，∴AC⊥BC1.(2)证得DE∥AC1，∴AC1∥平面CDB1.(3)作辅助线得∠AHC为二面角A-BC1-C的平面角，RtΔAHC中，求得tan∠AHC=328,即二面角A-BC1-C的平面角的正切值为328.18．已知圆C:x2+(y−1)2=5，直线l:mx−y+1−m=0.(1)判断直线l与圆C的位置关系；(2)若直线l与圆相交于A、B两点，且|AB|=32，求直线l的斜率；(3)若定点P(1，1)分弦AB为APPB =12，求此时直线l的方程.【答案】(1)由题意可知，圆心C到直线l:mx−y+1−m=0的距离d=m2+1≤|m||2m|=12<5，所以直线与圆相交.(2)圆心C(0,1)，C到l的距离d=1+m2∴m21+m+(322)2=5，即m2=1，∴m=±1.直线l的斜率k=±1.(3)设A x1,y1,B(x2,y2)，由APPB =12得AP=12PB，∴1−x1=12(x2−1)，化简的x2=3−2x1………①又由mx−y+1−m=0x2+(y−1)2=5,消去y得(1+m2)x2−2m2x+m2−5=0……(*)∴x1+x2=2m21+m…………②由①②解得x1=3+m21+m，带入(*)式解得m=±1，∴直线l的方程为x−y=0或x+y−2=0.【解析】本题考查直线的方程,直线与圆的位置关系.(1)d=m2+1≤m2m=12<5=r，所以直线与圆相交.(2)弦长一半、圆心到直线的距离、半径构成直角三角形得m2 1+m +(322)2=5，解得m=±1.直线l的斜率k=±1.(3)联立方程,套用根与系数的关系得m=±1，∴直线l为x−y=0或x+y−2=0.19．如图，在四棱锥P−ABCD中，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD，ΔPAD是正三角形，DC//AB，DA=DC=2AB.(1)求异面直线PC和AB所成角的大小；(2)若点E为棱PA上一点，且OE//平面PBC，求AEPE的值；(3)求证：平面PBC⊥平面PDC.【答案】(1)因为DC//AB，所以异面直线PC和AB所成角即为PC和CD所成角. 因为ΔPAD是正三角形，DA=DC=2AB，所以PD=C D.因为AB⊥平面PAD，DC //AB，所以DC⊥平面PAD.因为PD⊂平面PAD，所以DC⊥PD，所以ΔPDC为等腰直角三角形.所以∠PCD=45o，即异面直线PC和AB所成角为45o.(2)因为OE//平面PBC，OE⊆平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，所以OE//PC，所以AO∶OC＝AE∶EP.因为DC//AB，DC＝2AB，所以AO:OC＝AB:DC＝1:2.所以AEPE =12.(3)取PC的中点F，连结FB，FD.∵ΔPAD是正三角形，DA＝DC，所以DP＝DC.∵F为PC的中点，所以DF⊥PC.∵AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD.∵DC//AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA.设AB＝a，在等腰直角三角形PCD中，DF=PF=2a.在Rt△PAB中，PB=5a.在直角梯形ABCD中，BD=BC=5a.∵BC=PB=5a，点F为PC的中点，所以PC⊥FB.在Rt△PFB中，FB=3a.在△FDB中，由DF=2a,FB=3a,BD=5a，可知DF2＋FB2＝BD2，所以FB⊥DF. 由DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB＝F，PC、FB⊆平面PBC，所以DF⊥平面PBC.又DF⊆平面PCD，所以平面PBC⊥平面PDC.【解析】本题考查线面平行与垂直,异面直线的夹角.(1)因为DC//AB，所以异面直线PC和AB所成角即为PC和CD所成角.ΔPDC为等腰直角三角形，所以∠PCD=45o，即异面直线PC和AB所成角为45o.(2)证得DC//AB，DC＝2AB，所以AO:OC＝AB:DC＝1:2，所以AE PE =12.(3)∵ΔPAD是正三角形，所以DF⊥PC.在△FDB中，DF2＋FB2＝BD2，所以FB⊥DF，所以DF⊥平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC.20．已知圆C:x2+y2+ax−4y+1=0(a∈R)，过定点P(0,1)作斜率为1的直线交圆C 于A、B两点，P为线段AB的中点.(1)求a的值；(2)设E为圆C上异于A、B的一点，求△ABE面积的最大值；(3)从圆外一点M向圆C引一条切线，切点为N，且有|MN|=|MP|,求|MN|的最小值，并求|MN|取最小值时点M的坐标.【答案】(1)由题知圆心C(−a2,2)，又P(0,1)为线段AB的中点，∴CP⊥AB，∴k PC=−1，即1−20−(−a)=−1，∴a=2.(2)由(1)知圆C的方程为(x+1)2+(y−2)2=4，∴圆心C(−1,2)，半径r=2，又直线AB的方程是x−y+1=0，∴圆心C到直线AB的距离d1=12+12=2，|AB|=24−2=22.当EC⊥AB时，△ABE面积最大，S max=12×22×(2+2)=2+22.(3)∵MN⊥CN，∴|MN|2=|MC|2−4，又|MN|=|MP|，∴|MP|2=|MC|2−4. 设M(x,y)，则有x2+(y−1)2=(x+1)2+(y−2)2−4，整理得y=x；即点M在y=x上，∴|MN|的最小值即为|MP|的最小值d2=2=22，由x−y=0,x2+(y−1)2=(22)2,解得x=12y=12；∴满足条件的M点坐标为(12,1 2 ).【解析】本题考查直线与圆的位置关系.(1)CP⊥AB，∴k PC=−1，解得a=2.(2)弦长一半、圆心到直线的距离、半径构成直角三角形得|AB|=22.当EC⊥AB时，S max=2+ 22.(3)∵MN⊥CN，∴|MN|2=|MC|2−4，求得y=x，即点M在y=x上，∴|MN|的最小值即为|MP|的最小值d2=22，求得满足条件的M点坐标为(12,12).。
天津市五区县2016-2017学年高二上学期期末考试理数试题 Word版含答案
高二数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m <B ．12m ≤ C ．2m < D ．2m ≤ 2.以()13A ，和()51B -，为端点的线段AB 的中垂线方程是（ ） A ．380x y -+= B ．380x y -+= C ．380x y ++= D ．340x y ++= 3.给出下列四个命题：①已知m ，n 是常数，“0mn <”是“221mx ny +=表示双曲线的充分不必要条件”； ②命题p ：“x R ∀∈，sin 1x ≤”的否定是p ⌝：“0x R ∃∈，0sin 1x >”； ③已知命题p 和q ，若p q ∨是假命题，则p 与q 中必一真一假； ④命题“若0a b >>，则22a b >”的逆命题是假命题． 其中真命题的序号是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②④D ．②③4.已知双曲线()2222:100x y C a b a b -=>>，的焦距为10，点()12P ，在C 的渐近线上，则C的方程为（ ）A ．221205x y -= B ．221520x y -= C.2218020x y -= D ．2212080x y -= 5.已知向量()1210a t t =-- ，，，()2b t t = ，，（t R ∈），则b a -的最小值是（ ）A B 6.若直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A B 7.椭圆2249144x y +=内有一点()32P ，，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A ．23- B ．32- C.49- D ．94-8.与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切的圆的圆心在（ ） A ．一个圆上 B ．一个椭圆上 C.双曲线的一支上 D ．一条抛物线上 9.设m n ，表示两条不同的直线，αβγ，，表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥； ②若αβ∥，m α⊂，则m β∥； ③若m α⊥，n α∥，则m n ⊥； ④若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥． 其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②③ C.①②③ D ．②③④10.已知双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，ABO △p 的值为（ ） A ．1 B ．32C.2 D ．3第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.以抛物线216x y =的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为 ．13.已知直线:30l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A B ，两点，若AB =，则直线l 在x 轴上的截距为 ．14.设12F F ，是双曲线()222102x y a a a-=>的两个焦点，点M 在双曲线上，且满足120MF MF ⋅= ，124MF MF ⋅=，则a 的值等于 ．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>与x 轴的正半轴交于点A ，若在第一象限的椭圆上存在一点P ，使得6PAO π∠=（O 为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）已知圆C 经过点()03A ，和()32B ，且圆心C 在直线y x =上． （1）求圆C 的方程；（2）求倾斜角为45︒且与圆C 相切的直线l 的方程． 17. （本小题满分12分）如图：在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是菱形，四边形11CBB C 是矩形，5AC =，3CB =，4AB =，160A AB ∠=︒．（1）求证：平面1CA B ⊥平面11ABB A ； （2）求直线1A C 与平面ABC 所成角的正切值． 18. （本小题满分12分）设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4的点，5AF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）设过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于M N ，两点，O 为坐标原点，求OMN △的面积．19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，AF ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，四边形ABCD 为矩形，2AD =，21AB AF EF ===，P 是棱DF 的中点．（1）求证：BF ∥平面ACP ；（2）求异面直线CE 与AP 所成角的余弦值； （3）求二面角D AP C --的余弦值． 20. （本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F ，，且与直线10x y +-=相交于A B ，两点．（1）若椭圆1C 的两焦点分别为双曲线222:12y C x -=的顶点，且以椭圆上任一点P 和左右焦点1F ，2F 为顶点的12PF F △的周长为2，求椭圆1C 的标准方程； （2）在（1）的条件下，求弦AB 的长；（3）当椭圆的离心率e e ≤≤，且以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，求椭圆长轴长的取值范围．天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试卷参考答案一、选择题1-5:ADCBD 6-10:DABBC二、填空题11.54π 12.()22464x y +-= 13.6- 14.115．1⎫⎪⎪⎭， 三、解答题16.解：（1）解法一：所以圆C 的方程为 22(1)(1)5x y -+-=． …………………………………………6分 解法二：依题意易得线段AB 的中垂线方程为 32y x =-．…………………………………3分联立方程组 32y xy x =⎧⎨=-⎩解得 11x y =⎧⎨=⎩所以圆心 (1,1)C ，所以圆 的方程为 22(1)(1)5x y -+-=．………………………………………6分（2） 直线l 的倾斜角为45∴tan 451k == ………………………………………8分 ∴可设直线l 的方程为y x b =+ 由（Ⅰ）可知圆心C 到直线l 的距离d ………………………………………11分解得b =∴直线l 的方程为y x =± ………………………………………12分 17.解：（1） 5,3,4AC CB AB === ∴222AC BC AB =+ ∴AB BC ⊥………………2分 又 四边形11CBB C 是矩形∴1CB BB ⊥………………3分 又 1AB BB B = ∴BC ⊥平面11ABB A 又 BC ⊂平面1CA B∴平面1CA B ⊥平面11ABB A ………………………………………6分（2）取AB 的中点D ，连结1,A D CD160A AB ∠= ，1AA AB =∴1AA B ∆为正三角形∴1A B D A ⊥ …………………………8分 由（Ⅰ）可知BC ⊥平面11ABB ABC ⊂平面ABC∴平面ABC ⊥平面11ABB A 又 平面ABC 平面11=ABB A AB ∴1A D ⊥平面ABC∴CD 是1AC 在平面ABC 上的投影∴1ACD ∠是直线1AC 与平面ABC 所成的角 …………………………10分在Rt ∆1A CD 中，1A D CD ==∴11tan A D ACD CD ∠==∴直线1AC 与平面ABC …………………………12分 18. 解：（1）抛物线C 的准线方程为：2p x =- 由抛物线的定义可知：542p=- ∴2p =∴抛物线C 的标准方程为24y x =． …………………………………………4分 （2）由已知，(1,0)F ，直线AB 的方程为1y x =-，……………………6分联立214y x y x=-⎧⎨=⎩ 消y 得：2610x x -+=， 所以 126x x += ……………………………8分 所以128AB x x p =++= ， …………………10分又因为O 到直线AB 的距离d ==，所以182OMN S ∆== ． ……………………………………12分 19.解：（1）连接BD 交AC 于O ，连接OP四边形ABCD 为矩形∴O 为BD 的中点，又 P 是DF 中点∴//OP BF ………………………………2分ACP OP ⊂平面，ACP BF ⊄平面∴//BF ACP 平面 ………………………………3分 （2）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -,依题意得(000)A ，，，1,0,0B （），(1,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(,0,1)2E ，(0,0,1)F ，1(0,1,)2P ，………………………………………………4分易得1(0,1,)2AP = ，1(,2,1)2CE =-- …………………5分cos ,||||CE AP CE AP CE AP ⋅<>==⋅………………………6分∴所求异面直线CE 与AP7分 （3）由题意可知：AB PAD ⊥面平面DAP 的一个法向量为(1,0,0)AB =…………………………8分又可解得1(1,2,0),(0,1,)2AC AP ==故设平面APC 的一个法向量为(,,)n x y z =则00n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨令2x =，可得(2,1,2)n =- ……10分 于是2cos ,3||||AB n AB n AB n ⋅<>==⋅所以二面角D AP C --的余弦值为23…………………………12分 20. 解： (1)由题意可知：1c = …………………………1分222a c +=+ …………………………2分∴a∴b ==∴椭圆1C 的方程为：22132x y += ……………………………3分(2) 设点1122(,),(,)A x y B x y ，由方程组2210132x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得25630x x --= ………………4分求解可得1265x x +=，123-5x x ⋅= ………………………………5分= ………………………………6分（3）由方程组2222101x y x y ab +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得222222()2(1)0a b x a x a b +-+-= 设点1122(,),(,)A x y B x y ，222222(2)4()(1)0a a b a b =--+⋅->212222a x x a b +=+，221222(1)a b x x a b-⋅=+ ……………………………7分 以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，∴OA OB ⊥∴121212122()10x x y y x x x x +=-++= ∴22112a b +=① ……………………………8分 又e =∴221223b a ≤≤由①可知22221a b a =- ………………………………10分 ∴21122213a ≤≤-≤≤……………………………12分a≤≤2a。
天津市红桥区2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题 含答案
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
命题“2,11∀∈+≥"的否定是( )x R xA．2,11∃∈+≤x R xx R x∀∈+<B．2,11C．2,11∃∈+≥x R xx R x∃∈+<D．2,112。
已知点(2,3,5)A,(3,1,4)B，则,A B两点间的距离为( ）A2B6C．32D63。
若直线a，平面α满足aα⊄，则下列结论正确的是( ）A．直线a一定与平面α平行B．直线a一定与平面α相交C．直线a一定与平面α平行或相交D．直线a一定与平面α内所有直线异面4。
已知向量,,a b c是空间的一个基底，其中与向量a b+,a b-一定构成空间另一个基底的向量是( ）A．a B．b C。
c D．,,a b c都不可以5。
“,a b不相交”是“,a b异面”的( ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C. 充要条件D．非充分非必要条件6.若直线a平行于平面α，则下列结论正确的是（）A．直线a一定与平面α内所有直线平行B．直线a一定与平面α内所有直线异面C. 直线a一定与平面α内唯一一条直线平行D ．直线a 一定与平面α内一组平行直线平行7.设O 是空间一点，,,a b c 是空间三条直线，,αβ是空间两个平面，则下列命题中,逆命题不成立的是（ ） A ．当a b O =且a α⊂,b α⊂时,若,a c b c ⊥⊥,则c a ⊥B ．当ab O =且a α⊂，b α⊂时，若//,//a b ββ,则//αβC 。
当b α⊂时，若b β⊥则αβ⊥D ．当b α⊂时，且c α⊄时，若//c α，则//b c 8。
以下四个命题中,正确命题是（ ）A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线B ．若点,,,A BCD 共面,点,,,A B CE 共面，则,,,,A B C D E 共面 C 。
若直线,a b 共面，直线,a c 共面,则直线,b c 共面 D ．依次首尾相接的四条线段必共面第Ⅱ卷二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 9.写出命题:“若一个四边形两组对边相等，则这个四边形为平行四边形"的逆否命题是 ．10。
天津市六校2016-2017学年高二第二学期期中联考数学试卷文
2016-2017学年度第二学期期中六校联考高二数学(文)试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则AB = （ ） A ．}1{ B ．}4,1{C ．}2,1{D ． }2,1,0{ 2. 已知函数()f x 定义域为R, 命题p ：()121212,,()()()0x x R f x f x x x ∀∈--< 则p ⌝是( )A . ()121212,,()()()0x x R f x f x x x ∀∈-->B ． ()121212,,()()()0x x R f x f x x x ∃∈--≥C. ()121212,,()()()0x x R f x f x x x ∀∈--≥D. ()121212,,()()()0x x R f x f x x x ∃∈--<3.设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“022<--x x ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4． 已知研究x 与y 之间关系的一组数据如下表所示，则y 对x 的回归直线方程a bx y+=ˆ必过点（ ）A ．(2,2)B ．．(1,2) D 5.已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则A.x y z <<B.z x y <<C. y z x <<D. z y x <<6.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x 都有(2)()f x f x +=-，且当[0,2)x ∈时，2()l o g (1f x x =+），则(2015)(2018)f f +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．已知函数2()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为（ ）A．[2 B．(2 C ．[1,3] D ．(1,3)8．设x ，y ∈R ，a>1，b>1，若3x y a b ==，( ) A ．．二、填空题（填空题答案写在答题纸上，每题5分，共30分）9．计算复数：32i i -=+（i 为虚数单位） 10.数列{}n a 的第一项11a =，且nn n a a a +=+11(1,2,3...)n =，这个数列的通项公式n a = 11．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则不等式2)(≤x f 的解集是 12.若函数()|2|f x x a =+在区间),3[+∞上是增函数，则a 的取值范围是13．给出下列命题：①若0ab >，a b >，则11a b< ； ，则22b a >；③若a b >，c d >，则a c b d ->-；④对于正数.,,m b a 若b a <，则其中真命题的序号是：_________．14．已知偶函数()f x ，且当[]1 0x ∈-，时，()2f x x =，若在区间[]1 3-，内，函数()()()log 2a g x f x x =-+有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（解答题要写出必要的推理证明过程或必要的语言叙述）15．（本题满分13分） 已知复数3()z bi b R =+∈，且(13)i z +⋅为纯虚数．（1）求复数z ；（2，求复数w 的模。
2016学年天津市静海县六校联考高二下学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2015-2016学年天津市静海县六校联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．32．（5分）若f（x）=sinα﹣cosx，则f′（α）等于（）A．cosαB．sinα C．sinα+cosαD．2sinα3．（5分）下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1=1，a n=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD．以上均不正确4．（5分）用数学归纳法证明：1+++…+=时，由n=k 到n=k+1左边需要添加的项是（）A．B．C． D．5．（5分）已知复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i为虚数单位）为实数，则（+x）dx的值为（）A．2+πB．2+C．4+2πD．4+4π6．（5分）设a∈R，若函数y=x+alnx在区间（，e）有极值点，则a取值范围为（）A．（，e）B．（﹣e，﹣）C．（﹣∞，）∪（e，+∞）D．（﹣∞，﹣e）∪（﹣，+∞）7．（5分）已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）8．（5分）已知函数y=f（x）的图象为R上的一条连续不断的曲线，当x≠0时，f′（x）+＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或2二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）9．（5分）曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．10．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r=．11．（5分）若函数f（x）=（x﹣2）（x2+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为．12．（5分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax，若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是．13．（5分）函数f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=在区间（1，2）上都单调递减，则实数a的取值范围是．14．（5分）若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为．三、解答题（共6道题，共80分）15．（13分）当n∈N*时，，T n=+++…+．（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；（Ⅱ）猜想S n与T n的关系，并用数学归纳法证明．16．（13分）已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．17．（13分）已知函数f（x）=alnx++1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．18．（13分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．19．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx．a∈R（1）若函数f（x）在x∈（0，e]上的最大值为﹣3；求a的值；（2）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=x3++ax+b，g（x）=x3++lnx+b，（a，b为常数）．（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，﹣5），求b的值；（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）﹣x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．2015-2016学年天津市静海县六校联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选：B．2．（5分）若f（x）=sinα﹣cosx，则f′（α）等于（）A．cosαB．sinα C．sinα+cosαD．2sinα【解答】f'（x）=sinx，f'（α）=sinα．故选B．3．（5分）下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1=1，a n=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD．以上均不正确【解答】解：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出S n的表达式，属于归纳推理，符合要求．C选项由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πab，用的是类比推理，不符合要求．故选：B．4．（5分）用数学归纳法证明：1+++…+=时，由n=k到n=k +1左边需要添加的项是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵n=k 时，左边最后一项为，n=k +1时，左边最后一项为，∴从n=k 到n=k +1，不等式左边需要添加的项为．故选：D ．5．（5分）已知复数z=a +（a ﹣2）i （a ∈R ，i 为虚数单位）为实数，则（+x ）dx 的值为（ ） A ．2+π B ．2+C ．4+2πD ．4+4π【解答】解：∵复数z=a +（a ﹣2）i 为实数，∴a=2，∴（+x ）dx=dx +xdx ，由定积分的几何意义可知dx 表示圆x 2+y 2=4面积的四分之一，为π，∴（+x ）dx=π+=π+2故选：A ．6．（5分）设a ∈R ，若函数y=x +alnx 在区间（，e ）有极值点，则a 取值范围为（ ） A ．（，e ）B ．（﹣e ，﹣）C ．（﹣∞，）∪（e ，+∞）D ．（﹣∞，﹣e ）∪（﹣，+∞）【解答】解：函数y=f （x ）=x +alnx 在区间（，e ）有极值点⇔y′=0在区间（，e ）有零点．f′（x ）=1+=．（x ＞0）．∴，∴，解得．∴a取值范围为．故选：B．7．（5分）已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选：D．8．（5分）已知函数y=f（x）的图象为R上的一条连续不断的曲线，当x≠0时，f′（x）+＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或2【解答】解：∵f′（x）+＞0，令h（x）=xf（x）+1，∴h′（x）=f（x）+xf′（x），∴x＞0时，h（x）单调递增，x＜0时，h（x）单调递减，∴h（x）min=h（0）=1＞0，∴x≠0时，g（x）＞0恒成立，故零点的个数是0个，故选：A．二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）9．（5分）曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．【解答】解：因为直线2x﹣y+3=0的斜率为2，所以令y′==2，解得：x=1，把x=1代入曲线方程得：y=0，即曲线上过（1，0）的切线斜率为2，则（1，0）到直线2x﹣y+3=0的距离d==，即曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．故答案为：10．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r=．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为（S1+S2+S3+S4）r∴r=．故答案为：．11．（5分）若函数f（x）=（x﹣2）（x2+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为﹣5．【解答】解：∵函数f（x）=（x﹣2）（x2+c）在x=1处有极值，∴f′（x）=（x2+c）+（x﹣2）×2x，∵f′（2）=0，∴（c+4）+（2﹣2）×2=0，∴c=﹣4，∴f′（x）=（x2﹣4）+（x﹣2）×2x，∴函数f（x）的图象x=1处的切线的斜率为f′（1）=（1﹣4）+（1﹣2）×2=﹣5，故答案为：﹣5．12．（5分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax，若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是a＞．【解答】解：∵，∴函数的导数为f′（x）=﹣x2+x+2a，若函数f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在（，+∞）上有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a，∴只需f′（）＞0即可，由f′（）=﹣++2a=2a+＞0，解得a＞，当a=时，f′（x）=﹣x2+x﹣=﹣（3x﹣2）（3x﹣1），则当x＞时，f′（x）＜0恒成立，即此时函数f（x）在（，+∞）上为减函数，不满足条件．故答案为：a＞．13．（5分）函数f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=在区间（1，2）上都单调递减，则实数a的取值范围是（﹣1，1] ．【解答】解：∵f（x）=﹣x2+2ax的图象是开口朝下，以x=a为对称轴的抛物线，f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数，∴a≤1①；∵g（x）==﹣a+在区间（1，2）上都单调递减，∴有a+1＞0，解得a＞﹣1②；综①②，得﹣1＜a≤1，即实数a的取值范围是（﹣1，1]．故答案为：（﹣1，1]．14．（5分）若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为[﹣2，1）．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；故f（x）=x3﹣x在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；f（x）=x3﹣x=f（1）=﹣；故x=1或x=﹣2；故﹣2≤a＜1＜10﹣a2；解得，﹣2≤a＜1故答案为：[﹣2，1）．三、解答题（共6道题，共80分）15．（13分）当n∈N*时，，T n=+++…+．（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；（Ⅱ）猜想S n与T n的关系，并用数学归纳法证明．【解答】解：（Ⅰ）∵当n∈N*时，，T n=+++…+．∴S1=1﹣=，S2=1﹣+﹣=，T1==，T2=+=（2分）（Ⅱ）猜想：S n=T n（n∈N*），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+（n∈N*）（5分）下面用数学归纳法证明：①当n=1时，已证S 1=T1（6分）②假设n=k时，S k=T k（k≥1，k∈N*），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+（8分）则：S k=S k+﹣=T k+﹣（10分）+1=+++…++﹣（11分）=++…+++（﹣）=++…++=T k+1，由①，②可知，对任意n∈N*，S n=T n都成立．（14分）16．（13分）已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c﹣16∴，即，化简得解得a=1，b=﹣12（II）由（I）知f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）令f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）=0，解得x1=﹣2，x2=2当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣2，2）上为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数；由此可知f（x）在x1=﹣2处取得极大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值f（2）=c﹣16，由题设条件知16+c=28得，c=12此时f（﹣3）=9+c=21，f（3）=﹣9+c=3，f（2）=﹣16+c=﹣4因此f（x）在[﹣3，3]上的最小值f（2）=﹣417．（13分）已知函数f（x）=alnx++1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（）即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）整理得ln（a+1）＞﹣1∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．（13分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=．当x∈（0，）时，f′（x）＞0；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）单调增加，在（，+∞）单调减少．（Ⅱ）不妨假设x1≤x2．由于a≤﹣2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．所以|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．令g（x）=f（x）+4x，则+4=．于是g′（x）≤=≤0．从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≥g（x2），即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．19．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx．a∈R（1）若函数f（x）在x∈（0，e]上的最大值为﹣3；求a的值；（2）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=a+=，x＞0①当a≥0时，f′（x）＞0，f′（x）在（0，e]上单调递增，f（x）=f（e）=ae+1=﹣3，（舍去），②当a＜0f′（x）=0 时ⅰ）当，即时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，最大值则a=﹣e2，ⅱ）当时，即时，f′（x）≥0 f（x）在（0，e]上单调递增，f （x）最大值f（e）=ae+1=﹣3，（舍去），综上：函数f（x）在x∈[0，e]上的最大值为﹣3时a=﹣e2，（2）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，因为g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2…（9分）由（1）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣e﹣3，故a的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣3）20．（14分）已知函数f（x）=x3++ax+b，g（x）=x3++lnx+b，（a，b为常数）．（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，﹣5），求b的值；（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）﹣x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设g（x）在x=1处的切线方程为y=kx﹣5，因为，所以k=11，故切线方程为y=11x﹣5．当x=1时，y=6，将（1，6）代入，得．…（3分）（Ⅱ）f'（x）=3x2+5x+a，由题意得方程有唯一解，即方程有唯一解．令，则h'（x）=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1），所以h（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数．又，故实数b的取值范围是．…（8分）（Ⅲ）F（x）=ax﹣x2﹣lnx，所以．因为F（x）存在极值，所以在（0，+∞）上有根，即方程2x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根，则有△=a2﹣8≥0．显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正根．记方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1，x2，则=＞，解得a2＞16，满足△＞0．又，即a＞0，故所求a的取值范围是（4，+∞）．…（14分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
天津一中2017-2018高二数学上学期期中试题文科附答案
天津一中2017-2018高二数学上学期期中试题（文科附答案）天津一中2017-2018-1高二年级数学学科（文科）模块质量调查试卷本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。
第I卷1页，第II卷至2页。
考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。
一、选择题：1．已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面、，则下列命题中的真命题是A．若m，n，，则mn.B．若m，n∥，，则mn.C．若m∥，n∥，∥，则m∥n.D．若m∥，n，，则m∥n.2．已知直线xa2y60与直线(a2)x3ay2a0平行，则a的值为A．0或3或1B．0或3C．3或1xy30D．0或13．已知x,y满足约束条件3xy50，则zx2y的最大值是x30A．0B．2C．5D．64．若过定点M(1,0)且斜率为k的直线与圆x24xy250在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是A．0k5B．5k0C．0k13D．0k55．在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2,AA11，则点A到平面A1BC的距离为33A．B．42C．33D．346．若直线yxb与曲线y34xx2有公共点，则b的取值范围是A．122,122B．= 673;12,3C．1,122D．122,3xy4,7．设不等式组yx0,表示的平面区域为D.若圆C:x12y 1483;12r2x10不经过区域D上的点,则r的取值范围是r0A．22,25B．22,32C．32,25D．0,2225,8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A．32B．23C．22D．29．若直线ax2by20(a,b0)始终平分圆x2y24x2y8 0的周长，则11的最小值为2ab15A．B．22322C．2D．3210．已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，ACD135，则异面直线AB与CD 所成角的余弦值为1231A．4B．4C．4D．2二、填空题：11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（单位：cm3）．12．已知点A(1,1)和圆C：(x5)2(y7)24，从点A发出的一束光线经过x轴反射到圆周C的最短路程．13．已知圆C：(x1)2y225与直线l：mxym20，当m时，圆C被直线l截得的弦长最短．14．已知直线axy20与圆心为C的圆x12yɦ 85;a24相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a．15．正方形AP1P2P3的边长为4，点B,C分别是边P1P2,P2P3的中点，沿AB,BC,CA折成一个三棱锥PABC（使P1,P2,P3重合于P），则三棱锥PABC的外接球表面积为．16．若关于x的不等式k．三、解答题：9x2k(x2)2的解集为区间a,b，且ba2，则17．本市某玩具生产公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产A,B,C三种玩具共100个，每天生产时间不超过10小时，且C种玩具至少生产20个，已知生产这些玩具每个所需工时（分钟）和所获利润如下表：玩具名称ABC工时（分钟）574利润（元）5[63（Ⅰ）用每天生产A种玩具个数x与B种玩具个数y表示每天的利润（元）（Ⅱ）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？18．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，AA1AC2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点.（Ⅰ）求证：C1F//平面ABE；（Ⅱ）求点C到平面ABE的距离.19．如图所示，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝2，AD＝2，PA＝PD＝5，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅰ）若二面角P­AD­B为60°.（i）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正切值．20．已知圆C的圆心在直线l1:xy10上，与直线l2:4x3y140相切，且截直线l3:3x4y100所得弦长为6 （Ⅰ）求圆C的方程（Ⅱ）过点M(0,1)是否存在直线L，使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由新新特特特特王新王wxckt@126.一、选择题参考答案1．A2．D3．C4．A5．B6．D7．D8．B9．C10．B二、填空题11．1212．813．114．41515．2416．2三、解答题17．解：（Ⅰ）C玩具有（100-x-y）个∴w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300 （Ⅱ）5x7y4(100xy)1060 x3y200100xy 20xy80x,yNx,yN3y=-2x+w-3002yx3w1003x3y200xy80x20y60M(20,60)wmax220360300 520(元)答：每天生产A种玩具20件，B种玩具60件，C种玩具20件，利润最大，为520元。
2016-2017天津市六区县高二下期中数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．复数等于（ ）A ．4iB ．﹣4iC ．2iD ．﹣2i 2．正弦函数是奇函数，因为f （x ）=sin （x +1）是正弦函数，所以f （x ）=sin （x +1）是奇函数．以上推理（ ）A ．结论正确B ．大前提错误C ．小前提错误D ．以上都不对3．当x 在（﹣∞，+∞）上变化时，导函数f′（x ）的符号变化如下表：则函数f （x ）的图象的大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数y=f（x）（x∈R ）上任一点（x 0，f （x 0））处的切线斜率k=（x 0﹣2）（x 0+1）2，则函数f （x ）的极值点的个数（ ）A ．0个B ．1个C ．两个D ．三个 5．若（2x +）dx=3+ln2，则a 的值是（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．26．已知函数有最大值﹣4，则a 的值为（ ）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣47．设f（x），g（x）在[a，b]上可导，且f'（x）＞g'（x），则当a＜x＜b时有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）＜g（x）C．f（x）+g（b）＞g（x）+f（b）D．f（x）+g（a）＞g（x）+f（a）8．将正奇数1，3，5，7，…排成五列（如表），按此表的排列规律，2017所在的位置是（）A．第一列B．第二列C．第三列D．第四列二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为．10．若函数f（x）=e x﹣ax（x＞0）有极值，则实数a的取值范围是．11．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式，则f'（2）的值等于．12．底面是正方形，容积为16的无盖水箱，它的高为时最省材料．13．若曲线f（x）=ax3+ln（﹣2x）存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是．14．定义：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称函数y=f（x）在区间[a，b]上的一个双中值函数，已知函数f（x）=x3﹣x2是区间[0，a]上的双中值函数，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知曲线C1：y2=2x与C2：y=在第一象限内交点为P．（1）求过点P且与曲线C2相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S．16．（13分）设．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；（2）当时，求f（x）的极大值和极小值．17．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．（1）其求函数f（x）的极值；（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点求实数a的取值范围．18．（13分）已知数列，，…，，…，S n为该数列的前n项和，（1）计算S1，S2，S3，S4，（2）根据计算结果，猜想S n的表达式，并用数学归纳法进行证明．19．（14分）已知直线l：y=x+m与函数f（x）=ln（x+2）的图象相切于点P．（1）求实数m的值；（2）证明除切点P外，直线l总在函数f（x）的图象的上方；（3）设a，b，c是两两不相等的正实数，且a，b，c成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+．（1）当a＜0时，证明函数f（x）在（0，+∞）是单调函数；（2）当a＜e时，函数f（x）在区间[1，e]上的最小值是，求a的值；（3）设g（x）=f（x）﹣，A，B是函数g（x）图象上任意不同的两点，记线段AB的中点的横坐标是x0，证明直线AB的斜率k＞g'（x0）．2016-2017学年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．复数等于（）A．4i B．﹣4i C．2i D．﹣2i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】化简分式，分子、分母分别平方，化简可得结果．【解答】解：．故选C．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．2．正弦函数是奇函数，因为f（x）=sin（x+1）是正弦函数，所以f（x）=sin（x+1）是奇函数．以上推理（）A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．以上都不对【考点】F5：演绎推理的意义．【分析】根据题意，分析所给推理的三段论，找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可得答案．【解答】解：根据题意，该推理的大前提：正弦函数是奇函数，正确；小前提：f（x）=sin（x+1）是正弦函数，因为该函数f（x）=sin（x+1）不是正弦函数，故错误；结论：f（x）=sin（x+1）是奇函数，故错误．故选：C．【点评】本题考查演绎推理的基本方法，关键是理解演绎推理的定义以及三段论的形式．3．当x 在（﹣∞，+∞）上变化时，导函数f′（x ）的符号变化如下表：则函数f （x ）的图象的大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】52：函数零点的判定定理；51：函数的零点．【分析】f′（x ）在（﹣∞，1）上小于0，在（1，4）上大于0，故f （0）是函数的极小值，同理可得f （4）是函数的极大值，由此得出结论．【解答】解：由图表可得函数f′（x ）在（﹣∞，1）上小于0，在（1，4）上大于0，即函数f （x ）在（﹣∞，1）上是减函数，在（1，4）上是增函数，故f （0）是函数的极小值．同理，由图表可得函数f′（x ）在（1，4）上大于0，在（1，4）上小于0， 即函数f （x ）在（1，4）上是增函数，在（4，+∞）上是增函数，可得f （4）是函数的极大值，故选C ．【点评】本题考查函数零点的定义和判定定理，属于基础题．4．已知函数y=f （x ）（x ∈R ）上任一点（x 0，f （x 0））处的切线斜率k=（x 0﹣2）（x 0+1）2，则函数f （x ）的极值点的个数（ ）A ．0个B ．1个C ．两个D ．三个【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可知函数的导函数为（x0﹣2）（x0+1）2 ，求出函数的单调区间，求出函数的极值点的个数即可．【解答】解：由题意可知函数的导函数为f′（x）=（x0﹣2）（x0+1）2，令f′（x）＞0，解得：x＞2，∴f（x）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f（x）在极小值是f（2），故函数f（x）的极值点的个数是1个，故选：B．【点评】此题主要考查函数导函数的性质及函数的单调性，考查函数的极值点，是一道基础题．5．若（2x+）dx=3+ln2，则a的值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【考点】67：定积分．【分析】将等式左边计算定积分，然后解出a．【解答】解：因为（2x+）dx=3+ln2，所以（x2+lnx）|=a2﹣1+lna=3+ln2，所以a=2；故选D．【点评】本题考查了定积分的计算；关键是正确找出被积函数的原函数．6．已知函数有最大值﹣4，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【考点】5A：函数最值的应用．【分析】利用换元法，结合基本不等式，根据函数有最大值﹣4，即可求得a的值．【解答】解：令x﹣1=t（t＞0），则x=t+1，∴y==a×（+2）∵t＞0，∴≥2，∴ +2≥4∵知函数有最大值﹣4，∴a=﹣1故选B．【点评】本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．7．设f（x），g（x）在[a，b]上可导，且f'（x）＞g'（x），则当a＜x＜b时有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）＜g（x）C．f（x）+g（b）＞g（x）+f（b）D．f（x）+g（a）＞g（x）+f（a）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】比较大小常用方法就是作差，构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），研究F （x）在给定的区间[a，b]上的单调性，F（x）在给定的区间[a，b]上是增函数从而F（x）＞F（a），整理后得到答案．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣g（x），∵在[a，b]上f'（x）＞g'（x），F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＞0，∴F（x）在给定的区间[a，b]上是增函数．∴当x＞a时，F（x）＞F（a），即f（x）﹣g（x）＞f（a）﹣g（a）即f（x）+g（a）＞g（x）+f（a）故选：D．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中根据已知条件构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），进而判断其单调性是解答本题的关键．8．将正奇数1，3，5，7，…排成五列（如表），按此表的排列规律，2017所在的位置是（）A．第一列B．第二列C．第三列D．第四列【考点】F1：归纳推理．【分析】该数列是等差数列，a n=2n﹣1，四个数为一行，由通项公式算多少行比较容易；偶数行在第一列有数，并且，数的大小都是从右往左逐增．从而能求出2017是哪列．【解答】解：由题意，该数列是等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴由公式得n=（2017+1）÷2=1008，∴由四个数为一行得1008÷4=252，∴由题意2017这个数为第252行2列．故选：B【点评】本题考查了数字的排列规律，找到相应行和相应列的规律是解决问题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为﹣2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】由已知得=+，从而得到，由此求出a=﹣2．【解答】解：==+，∵复数为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用．10．若函数f（x）=e x﹣ax（x＞0）有极值，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导，原函数有大于0的极值点等价于导函数f′（x）=0有大于零的根【解答】解：∵y=e x﹣ax，∴y'=e x﹣a．由题意知e x﹣a=0有大于0的实根，由e x=a，得a=e x，∵x＞0，∴e x＞1．∴a＞1．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，求解过程中用到了分离参数的方法．属于中档题11．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式，则f'（2）的值等于．【考点】63：导数的运算．【分析】求导数，然后令x=1，即可求出f′（1）的值，再代值计算即可【解答】解：∵f（x）=+3xf′（1），∴f′（x）=﹣+3f′（1），令x=1，则f′（1）=﹣1+3f′（1），∴f′（1）=，∴f′（2）=﹣+=故答案为：．【点评】本题主要考查导数的计算，要注意f′（1）是个常数，通过求导构造关于f′（1）的方程是解决本题的关键．12．底面是正方形，容积为16的无盖水箱，它的高为2时最省材料．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设底面是正方形为x，则它的高为，从而它的表面积S=x2+，由此利用基本不等式能求出结果．【解答】解：设底面是正方形为x，∵容积为16，∴它的高为，∵底面是正方形，容积为16的无盖水箱，∴它的表面积S==x2+=≥=，∴当x2=，即x=时，最省材料．故答案为：．【点评】本题考查无盖长方体水箱用料最省时它的高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意长方体的结构特征的合理运用．13．若曲线f（x）=ax3+ln（﹣2x）存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是（0，+∞）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求函数f（x）=ax3+ln（﹣2x）的导函数f′（x），再将“线f（x）=ax3+ln （﹣2x）存在垂直于y轴的切线”转化为f′（x）=0有正解问题，最后利用数形结合或分离参数法求出参数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=3ax2+（x＜0），∵曲线f（x）=ax3+ln（﹣2x）存在垂直于y轴的切线，∴f′（x）=3ax2+=0有负解，即a=﹣有负解，∵﹣＞0，∴a＞0，故答案为（0，+∞）．【点评】本题考察了导数的几何意义，转化化归的思想方法，解决方程根的分布问题的方法．14．定义：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称函数y=f（x）在区间[a，b]上的一个双中值函数，已知函数f（x）=x3﹣x2是区间[0，a]上的双中值函数，则实数a的取值范围是．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题目给出的定义得到，即方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质能求出a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2，∴f′（x）=3x2﹣2x，∵函数f（x）=x3﹣x2是区间[0，a]上的双中值函数，∴区间[0，a]上存在x1，x2（0＜x1＜x2＜a），满足，∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个不相等的解，令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a），则，解得，∴实数a的取值范围是（）．故答案为：（）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）（2017春•天津期中）已知曲线C1：y2=2x与C2：y=在第一象限内交点为P．（1）求过点P且与曲线C2相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】（1）先通过解方程组求交点P的坐标，再根据导数的几何意义求出函数在x=2处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．（2）先确定积分区间，再确定被积函数，从而可求由两条曲线曲线C1：y2=2x与C2：y=所围图形的面积．【解答】解：（1）曲线C1：y2=2x与C2：y=在第一象限内交点为P（2，2）C2：y=的导数y'=xy'|x=2=2而切点的坐标为（2，2）∴曲线C2：y=在x=2的处的切线方程为y﹣2=2（x﹣2），即2x﹣y﹣2=0．（2）由曲线C1：y2=2x与C2：y=可得两曲线的交点坐标为（0，0），（2，2）∴两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积：S=（﹣）dx=（×x﹣）=．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，定积分在求面积中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．16．（13分）（2011秋•北碚区校级期末）设．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；（2）当时，求f（x）的极大值和极小值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当a=1时，先对函数求导，然后可求切线斜率，可求切线方程（2）当时，对函数求导，结合导数研究函数的单调性，进而可求函数的极大与极小值【解答】解：（1）当a=1时，切线斜率∴切点为（﹣1，）∴切线为（2）当时，x ＜﹣2时，f′（x ）＞0；﹣2＜x ＜3时，f′（x ）＜0；x ＞3时，f′（x ）＞0 ∴x=﹣2时，f （x ）的极大值为8，x=3时，f （x ）的极小值为【点评】本题主要考查了导数的基本应用：求解切线方程，求解函数的单调性，求解函数的极大与极小值17．（13分）（2014•青岛一模）已知函数f （x ）=x 2﹣2lnx ，h （x ）=x 2﹣x +a ． （1）其求函数f （x ）的极值；（2）设函数k （x ）=f （x ）﹣h （x ），若函数k （x ）在[1，3]上恰有两个不同零点求实数a 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】（I ）先在定义域内求出f′（x ）=0的值，再讨论满足f′（x ）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值；（II ）先求出函数k （x ）的解析式，然后研究函数k （x ）在[1，3]上的单调性，根据函数k （x ）在[1，3]上恰有两个不同零点，建立不等关系，最后解之即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x ）=2x ﹣，令f′（x ）=0，∵x ＞0，∴x=1， 所以f （x ）的极小值为1，无极大值．（Ⅱ）∵又∵k （x ）=f （x ）﹣g （x ）=﹣2lnx +x ﹣a ，∴k′（x ）=﹣+1，若k′（x ）=0，则x=2当x∈[1，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，3]时，f′（x）＞0．故k（x）在x∈[1，2）上递减，在x∈（2，3]上递增．（10分）∴，∴，∴2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．所以实数a的取值范围是：（2﹣2ln2，3﹣2ln3]（15分）【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．18．（13分）（2012春•莘县期末）已知数列，，…，，…，S n为该数列的前n项和，（1）计算S1，S2，S3，S4，（2）根据计算结果，猜想S n的表达式，并用数学归纳法进行证明．【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．【分析】（1）按照数列和的定义计算即可（2）按照数学归纳法的证明步骤进行证明．【解答】解：（1）S1==，S2==，S3=S2+=，S4=S3+=．推测S n=（n∈N*）．用数学归纳法证明如下：…（1）当n=1时，S1==，等式成立（2）假设当n=k时，等式成立，即S k=，那么当n=k+1时，=S k+S k+1=+====也就是说，当n=k+1时，等式成立．根据（1）和（2），可知对一切n∈N*，等式均成立…（10分）【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：（1）检验n=1成立（2）假设n=k时成立，由n=k成立推导n=k+1成立，要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推．19．（14分）（2017春•天津期中）已知直线l：y=x+m与函数f（x）=ln（x+2）的图象相切于点P．（1）求实数m的值；（2）证明除切点P外，直线l总在函数f（x）的图象的上方；（3）设a，b，c是两两不相等的正实数，且a，b，c成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）设切点为P（x0，x0+m），根据切点在两条曲线上，及f（x）=ln （x+2）于点P处的导数为1，列式求得m=1．（2）构造函数g（x）=x+1﹣ln（x+2），证明g（x）＞0即可．（3）可得．b2=ac，即．，且函数f（x）=ln（x+2）是增函数，故ln[ac+2（a+c）+4]＞ln（b2+4b+4），f（a）+f（c）＞2f（b）．【解答】解：（1）设切点为P（x0，x0+m），则f'（x0）=1．由，有，解得x0=﹣1，于是m﹣1=0，得m=1．…（2分）（2）构造函数g（x）=x+1﹣ln（x+2），其导数．当x∈（﹣2，﹣1）时，g'（x）＜0；当x∈（﹣1，+∞）时，g'（x）＞0；所以g（x）在区间（﹣2，﹣1）单调递减，在区间（﹣1，+∞）单调递增．所以g（x）＞g（﹣1）=0．因此对于x∈（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞），总有x+1＞ln（x+2），即除切点（﹣1，0）外，直线l总在函数f（x）的图象的上方．…（7分）（3）因为a，b，c是两两不相等的正实数，所以．又因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，于是．而f（a）+f（c）=ln[（a+2）（c+2）]=ln[ac+2（a+c）+4]，2f（b）=2ln（b+2）=ln（b2+4b+4）．由于ac+2（a+c）+4=b2+2（a+c）+4＞b2+4b+4，且函数f（x）=ln（x+2）是增函数，因此ln[ac+2（a+c）+4]＞ln（b2+4b+4），故f（a）+f（c）＞2f（b）．…（14分）【点评】本题考查了导数的综合应用，考查了转化思想、不等式的性质，属于中档题．20．（14分）（2017春•天津期中）已知函数f（x）=lnx+．（1）当a＜0时，证明函数f（x）在（0，+∞）是单调函数；（2）当a＜e时，函数f（x）在区间[1，e]上的最小值是，求a的值；（3）设g（x）=f（x）﹣，A，B是函数g（x）图象上任意不同的两点，记线段AB的中点的横坐标是x0，证明直线AB的斜率k＞g'（x0）．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f'（x），讨论其符号，确定单调区间（2）在[1，e]上，分如下情况讨论：当1＜a＜e时，a≤1时，求出最值，列式计算，（3）．又，不妨设x2＞x1，要比较k与g'（x0）的大小，即比较与的大小，又因为x2＞x1，令h（x）=lnx﹣，则h′（x）=根据h（x）在[1，+∞）上的单调性即可得出结论．【解答】（1）解：．因为a＜0，x＞0，所以f'（x）＞0．∴函数f（x）在（0，+∞）是单增函数；…（2分）（2）解：在[1，e]上，分如下情况讨论：当1＜a＜e时，函数f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，单调递减，在（a，e]上有f'（x）＞0，单调递增，∴函数f（x）的最小值为，得．…（8分）当a≤1时，函数f（x）在[1，e]上有f'（x）＞0，单调递增，∴函数f（x）的最小值为f（1）=a=＞1，故不存在综上，得．（3）证明：，．又，不妨设x2＞x1，要比较k与g'（x0）的大小，即比较与的大小，又因为x2＞x1，所以即比较ln与=的大小．令h（x）=lnx﹣，则h′（x）=，∴h（x）在[1，+∞）上是增函数．又，∴h（）＞h（1）=0，∴，即k＞g'（x0）．…（14分）【点评】本题考查了导数的综合应用，考查了分类讨论思想、转化思想，属于难题．。