乘幂反幂法
数值分析幂法和反幂法
数值分析幂法和反幂法数值分析中的幂法和反幂法是求解矩阵最大特征值和最小特征值的常用方法。
这两种方法在许多数值计算问题中都有着广泛的应用，包括图像压缩、数据降维、谱聚类等。
幂法（Power Method）是一种迭代算法，通过不断迭代矩阵与一个向量的乘积，来逼近原矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
其基本思想是，对于一个矩阵A和一维向量x，可以通过不断迭代计算Ax，Ax，Ax...，来使得向量x逼近最大特征值对应的特征向量。
具体的迭代过程如下：1.初始化一个向量x0（可以是单位向量或任意非零向量）2.令x1=Ax0，对向量进行归一化（即除以向量的范数）得到x13.重复步骤2，即令x2=Ax1，x3=Ax2...，直到收敛（即相邻迭代向量的差的范数小于一些阈值）为止4. 最终得到的向量xn就是A的最大特征值对应的特征向量在实际求解时，我们可以将迭代过程中的向量进行归一化，以防止数值溢出或下溢。
此外，为了提高迭代速度，我们可以选择使得xn与xn-1的内积大于0的方向作为迭代方向，这样可以使得特征值的模快速收敛到最大特征值。
幂法的收敛性是保证的，但收敛速度可能较慢，尤其是当最大特征值与其他特征值非常接近时。
此时可能需要使用一些改进的方法来加速收敛，例如Rayleigh商或位移策略。
相反，反幂法（Inverse Power Method）是求解矩阵的最小特征值和对应的特征向量的方法。
它的基本思想和幂法类似，但在每次迭代中，需要计算A和依其逆矩阵A-1的乘积。
迭代过程如下：1.初始化一个向量x0（可以是单位向量或任意非零向量）2.令x1=A-1x0，对向量进行归一化（即除以向量的范数）得到x13.重复步骤2，即令x2=A-1x1，x3=A-1x2...4. 最终得到的向量xn就是A的最小特征值对应的特征向量反幂法和幂法的区别在于迭代过程中乘以了A的逆矩阵，从而可以利用矩阵的特殊结构或性质来提高迭代速度。
同时，在实际求解时，可能需要将矩阵进行一些变换，以确保A-1存在或数值稳定性。
计算方法第七章(特征值与特征向量)
( j p, q) i 1, 2, , n
最后，雅可比方法的计算步骤可以归纳为： （1）确定非对角绝对值最大元位置（p，q），并计算sin和 cos的值； （2）计算迭代矩阵的元素；
（3）计算特征向量；
（4）与计算精度进行比较，以决定第三节 QR 分解方法 3.1 QR 分解 设 u 为n维实单位向量，称下面矩阵为Householder矩阵：
则
(2) (3) 1 a12 a13 (3) a 2 23 (3) Q2 A1 Q2Q1 A a33 (3) 0 a 3n
埃特金加速： 可以证明：乘幂法线性收敛
mk 1 1
2 mk 1 1
2 1
[ zk 1 10 ] i [ zk 10 ] i
2 1
称为收敛率
由于
zk
线性收敛于 x1 ，于是可以对之进行埃特金加速，
( zk )i ( zk 2 )i ( zk 1 )i2 Wi ( zk )i 2( zk 1 )i ( zk 2 )i
, a
(k) pq
0
第 k 步迭代矩阵的元素为：
a a a
(k ) pj
a a
( k 1) pj
cos a
2
( k 1) qj
sin a
(k ) jp
(k ) k 1) ( k 1) k) aqj a (pj sin aqj cos a (jq ( j p, q ) (k ) pp ( k 1) pp
cos 2a a
( k 1) pp
(k 1) pq
sin cos a
( k 1) pq
(k 1) qq
乘幂反幂法
当前位置：第7章>>第1节>>7.1.3逆幂法逆幂法是求实方阵按模最小特征值及相应的特征向量的一种反迭代方法。
1. 求A按模最小的特征值设非奇异矩阵A的n 个特征值为，其相应的特征向量为e ，则的特征值为其相应的特征向量仍为。
按模最大的特征值的倒数则为矩阵A按模最小的特征值。
利用乘幂法求按模最大的特征值。
任取初始非零初始向量，作迭代序列它等价于（7.5）我们可以通过反迭代过程，即解方程组.求得.当k 充分大时，则有在实际计算中，为了减少运算量，先将矩阵A作三角分解A=LR然后再求解方程组2．求在附近的特征值设与最接近的特征值为即有作矩阵，它的特征值和相应的特征向量为若用逆幂法于矩阵，则有则可求出矩阵的按模最小的特征值和相应的特征向量为于是得A在附近的特征值和相应的特征向量为（7.6）例3 用逆幂法求矩阵在3.4附近的特征值和相应的特征向量解对进行三角分解得：用半次迭代法，取，则得再解得再解得于是练习7.1 1.用乘幂法求矩阵按模最大特征值与特征向量. 乘幂法的计算公式设矩阵A的n个特征值按模的大小排列为：其相应的特征向量为且它们是线性无关的。
先任取非零初始向量，作迭代序列首先将表示为所以为了得出计算和的公式，下面分三种情况讨论1．为实根，且。
当不为0，k充分大时，则有所以（7.1）2．为实根，且。
当不为0，k充分大时，则有（7.2）于是得从而有（7.3）3．,且。
当k充分大时，则有在实际应用幂法时，可根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况。
若迭代向量各分量单调变化，且有关系式，则属于第1种情况；若迭代向量各分量不是单调变化，但有关系式，则属于第2种情况；若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式，则属于第3种情况；为了防止溢出，可采用迭代公式：（7.4）例2 乘幂法求矩阵按模最大特征值和相应特征向量。
解取，用乘幂法迭代公式计算列表如下：k1 1 11 0 12 -2 26 -8 620 -28 2068 -96 68232 -328 232792 -1120 7923.414 3.415 3.414所以事实上，矩阵的最大特征值为其相应的特征向量为。
4.2乘幂法和反乘幂法
2
k 2
rj cos( (k 2) )
再利用三角函数运算性质以及 1 , 2 复数表示，不难验证
xj
令
( k 2)
(1 2 ) x j
( k 1)
12 x j
(k )
0
p (1 2 )
q 12
由方程组
xj
( k 2)
k 1 k
(k )
[1v1 (1) 2v2 ]
(k ) k 1 1 1 1 k 1 k 1 1
x 1 x 2 v ( k 1) (k ) x 1 x 2 (1) 2v2
( k 1)
x( k 1) 1 x( k ) 当k无穷大时，可以用
n
必有
故只要k充分大，
(k )
x
[1v1 k ] 1v1
k 1 k 1
(k )
可把x 作为与1相应的特征向量 的近似。
由x
(k )
(1v1 k )
k 1
k
及 lim k 0
lim
k
x
(k ) k 1
1v1
即表明序列
x
(k ) k 1
越来越接近A的对应于
1的特征向量，也即当k 时
x
(k )
1 v1
k 1
主 特 征 值
1 ?(如何算)
由 x
( k 1)
v , 及 x
k 1 1 1 1
(k )
1v1
k 1
x 1 x
xi
(k )
( k 1) i (k ) i
(i 1, 2,...n)
计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算
n
使得u 0
i xi
i 1
n
n
uk Auk1 Aku0 Ak (i xi ) iik xi
i 1
i 1
1k [1x1
n i2
( i 1
)k i xi ]
由1 0, 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim(
对矩阵A1用乘幂法得 uk
A-1u
k
，
1
因为A1 的计算
比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
（如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk
u
k
，代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk，每
迭代一次要解一线性方程组。 由于矩阵在迭代过
程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只 要解两个三角形方程组。
且
2 p 2 n
2 n
2 n 2
1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1
因此，用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。
0
0.226
0.975
做正交相似变换后得到
3.366
A3 =R2 AR2T
0.0735
0.317
0.0735 1.780
0
0.317
0
1.145
雅可比方法是一个迭代过程，它生成的是一个矩阵的
序列 Ak，当k越大时Ak就越接近于对角矩阵，从而
《幂法和反幂法》课件
应用范围比较
总结词
幂法适用于求解特征值和特征向量，而反幂法适用于求解线性方程组和最小二 乘问题。
详细描述
幂法主要用于求解特征值和特征向量，在物理、工程和科学计算等领域有广泛 应用。反幂法适用于求解线性方程组和最小二乘问题，在统计学、机器学习和 数据分析等领域有广泛应用。
优缺点比较
总结词
幂法的优点在于能够求解特征值和特征向量，但缺点是计算复杂度高；反幂法的优点在于计算复杂度低，但缺点 是可能存在数值不稳定性。
幂法的性质
01
02
03
幂法具有高效性
相对于直接计算矩阵的幂 ，幂法可以大大减少计算 量和存储空间。
幂法具有收敛性
在适当的条件下，幂法能 够收敛到正确的矩阵幂的 结果。
幂法具有稳定性
在计算过程中，幂法能够 保持数值的稳定性，避免 误差的累积。
幂法的应用场景
数值分析
用于求解线性方程组、特 征值问题等数值计算问题 。
详细描述
幂法的优点在于能够精确求解特征值和特征向量，适用于需要高精度计算的情况。然而，由于其计算复杂度高， 对于大规模数据集可能效率较低。反幂法的优点在于计算复杂度相对较低，适用于处理大规模数据集。然而，反 幂法可能存在数值不稳定性，对于某些问题可能需要额外的数值稳定化技术。
04
幂法和反幂法的实现
05
幂法和反幂法的应用实 例
幂法在密码学中的应用
加密算法
幂法常被用于构造加密算法，如RSA算法。通过使用幂法，可以 快速地计算大数的幂次，从而实现高效的加密和解密过程。
密钥交换
在Diffie-Hellman密钥交换协议中，幂法被用于生成共享密钥，确 保通信双方安全地交换密钥。
数字签名
23_第八章8。1乘幂法与反幂法
(u
xx
u
yy
) u , ( x, y) ,
u 0, ( x, y ) 。
2
为了简单，取
（ x , y ) : 1 x , y 1 , 为 的边界。若取
x y h
0 . 25 , 以二阶均差代替二阶导
数，按自然次序离散化
K 0 1 5 10 15 (1.0000,1.0000,1) (0.9091,0.8182,1) (0.7651,0.6674,1) (0.7494,0.6508,1) (0.7483,0.6497,1) 2.7500000 2.5887918 2.5380029 2.5366256
20
矩阵 A 的主特征值和特征向量
应 用 乘 幂 法 可 得 矩 阵 A的 按 模 最
小的特征值及其特征向
量，称为反幂法，计算
公式为
v0 u 0 0, 1 v k A u k 1 , u v / max( v ), k 1 , 2 ....。 k k k
它 是 由 k个 盖 尔 圆 构 成 ， 则 在 这 个 连 通 部 分 中 有 且 仅 有 A的 k 个特征值（盖尔圆相重时重复计算，特征值相同时也重复计算）。
华长生制作 11
证 : 设 为 A 的任意一个特征值
, x 0 为对应的特征向量
,即
( I A ) x 0。
记 x ( x 1 , x 2 ,....., x n ) , x i max x k , 则 x i 0 ,
例 用幂法求矩阵
1 A 1 0 .5 1 1 0 . 25 0 .5 0 . 25 2
幂法和反幂法
此例中比值为 2 2 . 1 3
例2：用幂法计算下面矩阵的主特征值及对应的特征向量。
解： 取初始向量 01
2 4 A 3 9
4 16
v u 1 1 1 ,按(3.7)迭代5次得到数据T如下 表: 00
1 11
11
ukT
6 15 36
k
vkT
(规范化向量)
5 0.1859 0.4460 1 8.156 19.57 43.88
v (i) k 1 v (i) k
1?
即两相邻迭代向量的对应非零分量的比值一定收敛到主特征值？
不一定. 先讨论以下情况：
情形1: 设n n阶实矩阵A的特征值i (i 1, 2, , n) 满足 1 2 n 且与i (i 1, 2, , n)相应的特征
向量x1 , x2 , , xn 线性无关。
v (1) 2
v (1) 1
0.41 ,
v (2) 2
v (2) 1
0.41666,
v (1) 3
0.41260,
v (2) 3
0.41249,
v (1) 2
v (2) 2
v (1) 4
v (1) 3
0.41263,
v (2) 4
v (2) 3
0.41263,
问题:是否任何矩阵的幂法，当k比较大时，一定有
故按模特征值为:
1 43.88 对应的特征向量为:
u1 0.1859 0.4460 1.0000T
例3 用幂法求矩阵 的主特征值和主特征向量.
1 1 0.5 A 1 1 0.25
0.5 0.25 2
解 : 取初始向量u0 (1,1,1)T , 按(3.2)的计算结果如表9 1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当前位置：第7章>>第1节>>7.1.3
逆幂法
逆幂法是求实方阵按模最小特征值及相应的特征向量的一种反迭代方法。
1. 求A按模最小的特征值
设非奇异矩阵A的n 个特征值为，其相应的特征向量为e ，则的特征值为
其相应的特征向量仍为。
按模最大的特征值的倒数则为矩阵A按模最小的特征值。
利用乘幂法求按模最大的特征值。
任取初始非零初始向量，作迭代序列
它等价于
（7.5）
我们可以通过反迭代过程，即解方程组. 求得.
当k 充分大时，则有
在实际计算中，为了减少运算量，先将矩阵A作三角分解A=LR
然后再求解方程组
2．求在附近的特征值
设与最接近的特征值为即有
作矩阵，它的特征值和相应的特征向量为
若用逆幂法于矩阵，则有
则可求出矩阵的按模最小的特征值和相应的特征向量为
于是得A在附近的特征值和相应的特征向量为
（7.6）
例3 用逆幂法求矩阵在3.4附近的特征值和相应的特征向量
解对进行三角分解得：
用半次迭代法，取，则
得
再解
得
再解
得
于是
练习7.1 1.用乘幂法求矩阵按模最大特征值与特征向量
. 乘幂法的计算公式
设矩阵A的n个特征值按模的大小排列为：
其相应的特征向量为且它们是线性无关的。
先任取非零初始向量，作迭代序列
首先将表示为
所以
为了得出计算和的公式，下面分三种情况讨论
1．为实根，且。
当不为0，k充分大时，则有
所以（7.1）2．为实根，且。
当不为0，k充分大时，则有
（7.2）于是得
从而有
（7.3）3．,且。
当k充分大时，则有
在实际应用幂法时，可根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况。
若迭代向量各分量单调变化，且有关系式，则属于第1种情况；
若迭代向量各分量不是单调变化，但有关系式，则属于第2种情况；
若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式，则属于第3种情况；为了防止溢出，可采用迭代公式：
（7.4）
例2 乘幂法求矩阵按模最大特征值和相应特征向量。
解取，用乘幂法迭代公式
计算列表如下：
所以
事实上，矩阵的最大特征值为其相应的特征向量为。