小世界网络上的谣言传播动力学

小世界网络上的谣言传播动力学Damián H. ZanetteConsejo Nacional de Investigaciones Científicas y TécnicasCentro At´omico Bariloche and Instituto Balseiro8400 Bariloche, Río Negro, Argentina(2008. 2. 1)我们研究小世界网络上的一个谣言传播的传染病类似模型的动力学。

该模型在定位和传播制度间为我们展示了一个转变，在网络随机性的一个有限值情况下。

在这里，用数值方法我们对两个制度之间的演变进行一次定量表征。

动态小世界的转化，在这里，小世界网络的淬至无序被个体间随机变化的联系所取代，还被详细分析以及被拿来与一个平均场近似法作比较。

Ⅰ. 介绍这些网络背后真正的社会互动，它们的节点代表单一的个体，而它们的链接连结被希望有互动的个体，随着时间改变并很大程度地依靠相关交互的种类。

然而，通常社会网络显示两个特殊的、与社会互动性质紧密相关的拓扑性质。

第一，它们高度聚集，即一个指定个体的两个随机被选的邻居有相对较大的可能轮流成为彼此的邻居。

第二，网络中任意两个节点间的距离，作为测量的最小链接数路径连接这两个节点，与节点或链接总数相比，一般而言是非常小的。

这究竟是所谓的小世界效应。

小世界网络(SWN s )构成抓住这两个属性的社会网络的数学模型[1]。

它们是部分无序的网络，并插入规律点阵和完全随机图之间。

实际上，连接超过最近邻居的N-节点的规律点阵拥有高集群，但是节点间的平均距离为N 。

另一方面，随机网络中的平均距离为InN << N ，但一个指定节点的两邻居彼此是邻居的可能性为1-N 。

对于有节制的无序，SWN s 持有有序和随机网络的两个理想特性[2-5]，因此对社会过程的数学研究是一个方便的工具[6]。

小世界网络由一个具有适度地高连通性的有序点阵开始创建，这确保了高集群。

然后，每个链接以可能性p 被远离，再被两个随机选择的节点重新连接。

这个过程在网络的另外两个远距离领域间创造了一个捷径。

可能性p 测量的是结果图的无序或随机的程度。

对于p =0.，规则被完全保存；p =1，得到一个随机图。

然而，要注意平均连通性是个常量。

的SWN s 拓扑性质，例如节点间的平均距离，向随机性为1~-N p 的随机图展示了：一个来自于在规律点阵里发现的行为的交叉。

在一个无限大的网络的限制下，一个决定性的、两个制度间的转变发生在0=c p 时[7,8]。

发生在相同临界点的类似转变被找到：对于在SWN s 上的一些简单的动力学过程，如伊辛类自旋系统[5]和全体耦合振子。

相比较而言，最近这已被证明：其他种类的过程展现了一个从本质上讲不一样的动力学制度之间的转变，当随机性是一个有限值时。

特别是，在一个流行病模型中，一个本是敏感的、受到感染后的个体经历了一次病周期又恢复到敏感状态，在有限值p 时一次转变发生在接下来两个制度之间：一个是不同个体的生病周期存在着时间上的不正确性(低p )；另一个则是周期同步(高p )[9]。

此外，对于谣言传播，类传染病模型中一个数量上相似的转变已经在，谣言处于小范围(低p )和谣言的传播超过了网络的有限部分(高p )这两个制度间被找到[10]。

谣言传播模型中发现的转变的临界现象性质已被有限大小的规模分析方法有力地证明了[10]。

这篇文章，另一方面，主要集中在对相同模型的动力学性质的详细描述上，着重于小世界拓扑学介绍的影响。

下一章节，我们将介绍该模型并概括定位和传播制度间的决定性的转变的主要结果。

文章的核心——三、四部分，致力于在我们的模型的数个参量和描述它的演变进程的恰当的工程量之间建立联系。

在淬火小世界网络和所谓的动力学小世界中，互动链接中淬火混乱被互动伙伴的随机选择所代替。

我们强调这两种情况的异同之处。

最后，我们概括及讨论主要结果。

Ⅱ.谣言传播模型考虑一个由N 个个体组成的群体，这里，每一个时刻，每个个体采取三分之一可能的状态。

在第一个状态，该个体还没有听到这个谣言。

第二个状态，该个体知道了这个谣言并愿意将之传播。

最后，第三个状态，该个体早已听过该谣言，已对它没了兴趣并不去传播。

同样，SIR 流行病模型[11]，这三个状态分别被称作：敏感的，被感染，不听话。

起初，只有一个个体被感染，而剩余群体是易受感染的。

动力学规则如下表现[12]。

在每一个时刻，一个个体i 从被感染群体中被随机选择。

该个体接触它的一个邻居j 。

如果j 处于敏感态，i 传播该谣言，则j 被感染。

另一方面，如果j 已经被感染或者不听话，然后i 对谣言失去兴趣并成为不听话。

在定性关系中，动力学如下被概括。

演变的第一个态，被感染个体数增加并且在一个更低的速率，不听话群体也在增长。

结果，被感染个体之间以及他们与不听话个体之间的接触变得频繁起来。

最终，被感染群体开始下降并消失，然后演变停止。

最后，该群体被分成一个R N 不听话个体的组合，他们在演变期间的某些阶段已被感染过，和一个敏感个体的组合，他们从未听过该谣言。

这已被证明[13]：接触可以在此群体中的任意两个个体间被建立，不听话个体部分N N r R =在演变最后接近一个明确的限制*r ，对于逐渐变大的系统，∞→N 。

这部分由超越方程的重要的解决方案给定：*r =)2ex p(1*r --即*r ≈0.796。

换句话说，群体的20%从不知道该谣言。

在个体间的接触沿着社会上貌似合理的结构(即小世界网络)强加的链接被建立的情况，我们对此很感兴趣。

就像“介绍”中所改进的，s BWN 的构建从一个规则格子开始，带着某个个体在每个节点。

我们选择一个有着周期边界条件的一维数组，这里每个节点都连接着它的2K 最近邻居，即顺时针方向和逆时针方向连接K 最近邻居。

然后每个节点i 的每个K 顺时针方向链接以p 的可能性被再次呼叫到一个随机选择的节点j ，不属于i 的街坊。

一条捷径因此被创建。

我们避免节点间双重的和重复的连接，并抛弃实现，这里s BWN 被分离。

早先的集中在对最终状态的描述上的对此系统的分析，揭露了一次在两个分化良好的制度之间起决定性作用的转变的重现，在随机的一个有限值c p [10]。

c p p <时，不听话个体的最终数量R N ，是系统的许多实现的平均值，是独立的人口数量。

因此，随着∞→N ，比率N N r R /=会逐渐消失。

在这样的限制条件下，只有极小部分的人知道该谣言，且他们仍然局限在它的起源的一小附近。

另一方面，cp p >时，r 的平均值会随着N 的增大而逐渐接近一个常量。

在2=K 的特殊情况下，有限大小的规模分析表明，对于渐近的大系统，γ|~|c p p r - Pc ≈0.19，与γ≈2.2。

K 值越大，c p 越小。

而γ，相反，则几乎趋于无限大。

对于给定值K 、p 和N ，在我们的系统的大系列的实现中，RN 值的分布)(R N f 给出了定位传播转变的起源的提示。

图1给出了：2=K 的那些分布中，p 的两个值——小于和大于转变——以及N 的三个值。

每个实现中，SWN 都会被再造。

c p p <时，分布近似于指数，且与依靠N 。

结果，R N 的值也是独立于系统的规模，就如上所述，比率N N r R /=随着N 的增大而减小。

具体来说，对于大值N ，有1~-N r 。

c p p <时的一个典型实现中，谣言因为地方层面和中断的稀缺密度网络的高互联性而依然处于小范围内。

在个体的小组织间出现的传递会很快的对谣言失去兴趣，以致使传播到更远的地方成为不可能。

与之相比，c p p >时，分布呈双峰式，两个极大值被一个局部极小值隔开。

小R N 制度依然独立于N ，并获得一个极大值近似于R N =O 。

另一方面，对于大值R N ，我们发现了一个额外的类碰撞结构，此结构随着系统规模而变化。

尤其是，它的极大值max R N 随着N 的增大而向右转移，此时，max RN ≈0.25N 。

同时，由于撞击以下的区域几乎是恒定不变的，因此，该附加结构产生一个规则N 贡献给R N 的平均值。

所以，r 在转变中是有限的。

当在一个属于小RN 制度的实现中，谣言在c p p <情况下仍然是小范围时，一次典型的实现贡献出包括通过数个中断间传播，由此到达系统中更远区域的撞击。

图1 演变结尾，不听话个体的数量的标准频率分布)(R N f ，RN ，对于2=K 和小世界随机的两个值，05.0=p 和3.0=p 。

不同的符号对应310=N (三角形)，410=N (正方形)和510=N (圆形)。

频率计数由每个参数集的105实现系列获得。

c p p ≈时，分布(图1中没有显示)展示了对于R N 的中等值的冥律依赖，α-RR N N f ~)((5.1≈α)。

冥律制度终止在一个平稳的中断，它会随着系统规模的增大而向右偏移，近似5.0N [10]。

我们的模型的定位传播转变已依据静态特征而被描述过，即最后的不听话人群R N ，当所有的相互作用的项目停止后被测量。

在下一章，我们集中在我们的主要兴趣上，研究传播过程的动力学。

Ⅲ.被感染人群的演变在我们的模型中，传播过程的一个完全描述由被感染人群的演变给出。

首先，所有的人皆是敏感的，除了一个已感染个体。

然后，在每个演变步骤中，要么以敏感人群为代价，被感染个体数量I n 增大到1+I n ，要么I n 减小到1-I n ，相应地，不听话人群上升。

因此，敏感和不听话个体两者数量的演变是含蓄的，在I n 的演变中。

为了给出时间函数I n ，我们必须考虑到被感染个体种类的数量，因此，一个演变步骤的实时持续改变了。

实际上，每个演变步骤中，时间的更新根据)(0t n t t t I +→这里的常量0t 修理时间单元。

我们设定10=t ，那么时间单元与一单个已感染个体联系她的一个邻居所需的典型时间有关。

图2.，作为在510节点的小世界网络(2=K ，(a)05.0=p 和(b)3.0=p )中，两个单一实现中的一个时间函数，被感染个体的数量)(t n I 的演变。

图2表明，作为在510节点的小世界网络(2=K ，(a)05.0=p 和(b)3.0=p )中，两个单一实现中的一个时间函数，被感染个体的数量的演变。

05.0=p 时，不听话个体的最终数量为32=R N ；3.0=p 时，22258=R N 。

后者实现属于)(R N f 中对于相应值p 的大R N 撞击结构。

对于相同随机但在小RN 区域的实现，定性地相似于在图2a 中展示的。

(3)图.3 总时间T 上升到受感染人口的灭绝，作为一个不听话个体R N 的最终数量的函数，对K = 2和310=N （三角形）、410(正方形)和510(圆形)的网络来说。