株洲市二中2013届高三第二次月考文科数学试卷

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2013年高考文科数学真题及答案全国卷

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2} 【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。

【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}．2．(2013课标全国Ⅰ，文2)212i1i +(-)＝( )．A.B ．11+i 2- C ． D ．【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。

【解析】212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-.3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13. 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．B ．C ．12y x =±D ．【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵5e =5c a =2254c a =.∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =.∵双曲线的渐近线方程为by x a=±，∴渐近线方程为12y x =±.故选C.5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q 【答案】B【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。

湖南省株洲市第二中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题(B)含答案

湖南株洲第二中学2022-2023学年上学期教学质量检测高三数学试题（B ）（答案在最后）一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={0,1,2,3,4,5}，B={1,3,6,9},C={3,7,8}，则 ()=C B A A ．{1,2,6,5} B ．{3,7,8} C ．{1,3,7,8}D ．{1,3,6,7,8}2．与圆224240x y x y +-++=关于直线30x y -+=成轴对称的圆的方程是 A ．22810400x y x y +-++= B ．22810200x y x y +-++= C ．22810400x y x y ++-+=D ．22810200x y x y ++-+=3．已知c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距，则b c a +的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．)+∞C ．(D ．(4．已知实数a ，b ，0a >，0b >，则“2a b +<”是（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()()()2|| 1.00125()e ,log 3,log 8,2x f x x a f b f c f ===-=-，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>6．已知A 、B 、C 是半径为3的球O 的球面上的三个点，且120ACB ∠=，AB =2AC BC +=，则三棱锥O ABC -的体积为（）A B C D7．过点22M p ，作抛物线2)20(x py p ＝的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p 的值是( ) A ．1B ．2C ．1或2D ．-1或2 8．已知奇函数()f x 在R 上是减函数.若()2log 4.6a f =，22log 9b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0.92c f =--，则a ､b ､c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >>D ．c a b >>二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列说法正确的是（）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“423a <<”是“()()22123a a ---<-”的充要条件 C ．命题“x R ∀∈，210x +<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≥”D ．已知函数()y f x =的定义域为R ，则“()00=f ”是“函数()y f x =为奇函数”的必要不充分条件 10．对于函数()sin cos sin cos 2x x x xf x ++-=，下列结论正确的是（）A ．()f x 是以2π为周期的函数B ．()f x 的单调递减区间为()52,2Z 24k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的最小值为-1D ．()f x ≥的解集是()32,2Z 44k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 11．在数列{}n a 中，已知1210,,,a a a ⋯是首项为1，公差为1的等差数列，10101101(),,,n n n a a a ++⋯是公差为n d 的等差数列，其中N*n ∈，则下列说法正确的是（）A ．当1d =时，2020a =B ．若3070a =，则2d =C ．若1220320a a a +++=，则3d =D ．当01d <<时，()101101n a d<-＋ 12．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为棱CC 1上的动点，AM ⊥平面α，下面说法正确的是（）A．若N 为DD 1中点，当AM +MN 最小时，CM=2B ．当点M 与点C 1重合时，若平面α截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大C ．若点M 为CC 1的中点，平面α过点B ，则平面α截正方体所得截面图形的面积为92D ．直线AB 与平面α所成角的余弦值的取值范围为⎣⎦三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n a S n ++=∈N ，则{}n a 的通项公式为n a =______．14．下列四个命题中：⊥已知()()()sin cos 21,sin cos 2πααπαπα-+-=++则tan 1α=-；⊥()00tan 30tan 30-=-=⊥若sin α=则1cos 2;2α=-⊥在锐角三角形ABC 中，已知73sin ,cos ,255A B ==则119sin .125C =其中真命题的编号有_______. 15．已知定义在[2,2]-上的函数()g x 为奇函数,且在区间[0,2]上单调递增,则满足(1)()g m g m -<的m 的取值范围为______16．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知{}n a 是递增的等差数列，12,a a 是方程2430x x -+=的两根．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-. （1）求函数()f x 的解析式；并写出函数的单调区间；（2）函数()f x 在区间[3,]a -上的最小值为()g a ，求()g a 的值域.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C x y -=．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥；（3）设椭圆222:41C x y +=，若M ，N 分别是1C ，2C 上的动点，且OM ON ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值．20．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos sin b a C A =，点M 是BC 的中点. （⊥）求A 的值；（⊥）若a =AM 的最大值.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F ，2F是椭圆的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB （O 为坐标原点）的面积的最大值．22．已知函数()2ln bf x ax x x =-+.（1）若()f x 在1x =，12x =处取得极值. ⊥求a 、b 的值；⊥若存在01[,2]4x ∈，使得不等式0()0f x c -≤成立，求c 的最小值；（2）当b a =时，若()f x 在(0,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围.参考答案1．C2．C3．D4．C5．D 6．B因为AB =120ACB ∠=，所以，ABC 的外接圆半径为12sin120==r ，所以，三棱锥O ABC -的高为h = 在ABC 中，由余弦定理可得()22222232cos120AB AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC ==+-⋅=++⋅=+-⋅，所以，()231AC BC AC BC ⋅=+-=，所以，13sin12024ABC S AC BC =⋅=△，因为1133O ABC ABC V S h -=⋅=△ 故选：B. 7．C由题意得22x y p=，x y p '=，设切点分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以切线方程为别为111()x y y x x p-=-，222()x y y x x p -=-，化简可得11x x y y p =-，22x x y y p =-由于两条切线都过M 点，所以1122x p y p -=-，2222xp y p-=-，所以点11(,)A x y ，22(,)B x y 都在直线220x y p p -+=上，所以过A ，B 两点的直线方程为220x y p p -+=，联立22+2=0=2x y p p x py-⎧⎪⎨⎪⎩，消去x 得2234840py p y y p --+=，方程2234840py p y y p --+=的判别式2232484464640p p p p由已知2124812p y y p++==，解得1p =或=2p ，故选：C. 8．B解：因为奇函数()f x 在R 上是减函数.若()2log 4.6a f =，222229log log log 992b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()0.90.922c f f =--=，⊥0.9229log 4.6log 222>>>， ⊥()()0.9229log 4.6log 22f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即c b a >>. 故选：B. 9．ACD解：对于A ：21a >，解得1a >或1a <-，所以“1a >”是“21a >”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：()()22123a a ---<-，则12310230a a a a ⎧->-⎪-≠⎨⎪-≠⎩解得423a <<且32a ≠，故B 错误；对于C ：全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题“x R ∀∈，210x +<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≥”正确；对于D ：因为函数()y f x =的定义域为R ，若函数()y f x =为奇函数，则()00f =，若()00f =得不到()y f x =为奇函数，若()2f x x =，故“()00f =”是“函数()y f x =为奇函数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：ACD 10．AD依题意，()sin(2)cos(2)sin(2)cos(2)2()2x x x x f x f x πππππ+++++-++==，()f x 是以2π为周期的函数，A 正确；5sin ,2244()(Z)3cos ,2244x k x k f x k x k x k ππππππππ⎧+≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪-<<+⎪⎩，函数sin y x =在5[2,2]24k k ππππ++()k ∈Z 上单调递减，函数cos y x =在[2,2]4k k πππ+()k ∈Z 上单调递减，B 不正确；函数cos y x =在3[2,2]4k k πππ-()k ∈Z 上单调递增，因此，324x k ππ=-()k ∈Z 时，min 2()f x =C 不正确；由()2f x ≥得522(Z)442sin k x k k x ππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或322(Z)442cos k x k k x ππππ⎧-<<+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解522(Z)442sin k x k k x ππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩得322(Z)44k x k k ππππ+≤≤+∈，解322(Z)44cos k x k k x ππππ⎧-<<+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩得22(Z)44k x k k ππππ-≤<+∈，综上得：322(Z)44k x k k ππππ-≤≤+∈，()f x ≥的解集是3[2,2](Z)44k k k ππππ-+∈，D 正确. 故选：AD 11．ACD对于A ，当1d =时，1n d =，可知数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以201(201)120a =+-⨯=，故A 正确；对于B ，由已知1010a =，101120,,,a a a ⋯是公差为d 的等差数列，则201010a d =+，202130,,,a a a ⋯是公差为2d 的等差数列，则23010101070a d d =++=，即260d d +-=，解得：2d =或3d =-，故B 错误；对于C ，1220110101010101032022d da a a ++++=⨯+⨯+=++，解得：3d =，故C 正确；对于D ，210(1)110101010101011n nn d a d d d d d+-=++++=<--，故D 正确；故选：ACD 12．AC对于A ，由展开图如下，当AM MN +最小时，2CM AC DN AD ===得2CM =A 正确对于B ，如图，取各边中点连接成六边形EFGHIJ ，由立体几何知1CC ⊥平面1A BD ，1CC ⊥平面EFGHIJ ，截面1A BD周长为3=8= 截面EFGHIJ6=62=对于C ，取1111,A D A B 中点分别为EF ，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，(2,2,1)AM =--，(2,2,0)DB =，(1,0,2)DE =，由数量积可知,AM BD AM DE ⊥⊥，而BD DE D ⋂=，故AM ⊥平面BDEF ，截面BDEF 为等腰梯形，2,2,5EF DB ED FB ====面积为19932222⨯=，故C 正确对于D ，设(0,2,)M t(0,2,0)AB =，平面α的一个法向量为(2,2,)AM t =-故直线AB 与平面α所成角的正弦值2232sin []2448t t θ==⨯+++ 则26cos [θ∈，故D 错误13．112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭当1n =时，112a S +=，得11a =，当2n ≥时，由()2n n a S n ++=∈N ，得112n n a S --+=，所以110n n n n a S a S --+--=，所以120n n a a --=，所以112n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：112n -⎛⎫⎪⎝⎭14．⊥⊥对于⊥：因为()()()sin -cos 21,sin cos 2πααπαπα+-=++所以sin cos 1,sin cos 2αααα+=-所以sin 11cos ,sin 21cos αααα+=-即tan 11,tan 12αα+=-解得tan 3α=-，故⊥不正确；对于⊥：因为()()()000sin 30sin 30tan 30tan 30cos30cos 30---===-=-故⊥正确；对于⊥：因为sin α=所以221cos 212sin 122αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭，故⊥正确；对于⊥：因为在锐角三角形ABC 中， 73sin ,cos ,255A B ==所以00,0222A B C πππ<<<<<<，，所以244cos ,sin ,255A B ===所以 ()()sin sin +sin +C A B A B π⎡⎤=-=⎣⎦ 73244117sin cos +cos sin +255255125A B A B ==⨯⨯=，故⊥不正确，故答案为：⊥⊥． 15．1(,2]2⊥()g x 为奇函数，且在[0,2]上为增函数， ⊥()g x 在[2,2]-上为增函数．⊥(1)()g m g m -<，⊥1-212-22m m m m -<⎧⎪≤-≤⎨⎪≤≤⎩，解得122m <≤．故答案为1(,2]2．16815解：设顶角为θ，由余弦定理可得：2236121221212cos θ=+-⨯⨯⨯，解得：7cos 8θ=， 15sin θ∴ 再由正弦定理可得62sin R θ=， 215R ∴=， 815R ∴=81517．（1）221,n n a n S n =-=；（2）21n nT n =+ （1）⊥{}n a 是递增的等差数列, ⊥12a a <，又12,a a 是方程2430x x -+=的两根，⊥121,3a a ==， ⊥21312d a a =-=-=， ⊥1(1)221n a n n =+-⨯=-. （2）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+, ⊥11111111(1...)(1)2335212122121n nS n n n n =-+-++-=-=-+++.18．（1）()224,04,0x x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，单调递增区间为(],2-∞-，[)2,∞+；单调递减区间为[]22-,；（2）[]4,3-（1）当0x <时，0x -> ()()()2244f x x x x x ∴-=---=+()f x 为奇函数 ()()24f x f x x x ∴=--=--()f x 为R 上的奇函数 ()00f ∴=，满足()24f x x x =--()224,04,0x x x f x x x x ⎧->∴=⎨--≤⎩f x 的单调递增区间为(],2-∞-，[)2,∞+；单调递减区间为[]22-,（2）当31a -<<-时，()()min 39123f x f =-=-+=，即()3g a =当10a -≤≤时，()()2min 4f x f a a a ==--，即()24g a a a =-- ()[]0,3g a ∴∈ 当02a <<时，()()2min 4f x f a a a ==-，即()24g a a a =- ()()4,0g a ∴∈-当2a ≥时，()()min 2484f x f ==-=-，即()4g a =- 综上所述：()g a 的值域为[]4,3- 19．（1）根据题意可得1C的左顶点为(，设直线方程为y x =，与另一条渐近线y =联立求得交点坐标为1()2，所以对应三角形的面积为112228S =⨯=；（2）设直线PQ 的方程是y x b =+，因直线与已知圆相切，1=，即b =由2221y x b x y =+⎧⎨-=⎩得()22210x bx b --+=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122x x b +=，212(1)x x b ⋅=-+，则()()2222212121212221220OP OQ x x y y x x b x x b b b b b ⋅=+=+++=--++=-=，故OP OQ ⊥；（3）当直线ON 垂直于x 轴时，1ON =，OM =MN =则O 到直线MN的距离为1d ==当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y kx =（显然22k >），则直线OM 的方程为1=-y x k.由y kx =与椭圆方程联立，得2214x k =+，2224k y k =+，所以22214k ON k+=+. 同理222121k OM k +=-. 设O 到直线MN 的距离为d ，则由221122OM ON OM d ON ⋅=+，得2221113d OMON=+=．综上，O 到直线MN 3 20．（⊥）3A π=；（⊥）32. （⊥）由已知及正弦定理得3sin sin cos sin B A C C A =. 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠，⊥tan 3,0A A π=<<，即3A π=.（⊥）方法一：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=， ⊥222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，⊥226b c +≤.⊥AM 是BC 边上的中线，⊥在ABM ∆和ACM ∆中，由余弦定理得，22332cos 4c AM AM AMB =+-∠，⊥22332cos 4b AM AM AMC =+-∠.⊥ 由⊥⊥，得22239244b c AM +=-≤，当且仅当3b c ==AM 取最大值32.方法二：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=， ⊥222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，⊥226b c +≤.⊥AM 是BC 边上的中线，⊥2AB ACAM +=，两边平方得 ()22214AM b c bc =++，⊥22239244b c AM +=-≤，当且仅当b c ==AM 取最大值32.21．(1)2214x y +=；(2)1. (1)椭圆C 的半焦距为c，离心率c e a ==，因过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的弦长为1，将x c =-代入椭圆C 方程得：2b y a =±，即221b a =，则有222221c e a b a a b c ⎧==⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)由(1)知，2F ，依题意，直线l 的斜率不为0，则设直线l的方程为x my =+()11,A x y ，()22,B x y ，由2244x y x my ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩x 并整理得：()22410m y ++-=，12y y +=，12214y y m =-+， OAB的面积2122121122S OF y OF y y =+=-，12y y -==设)1t t =≥，221m t =-，1224433t y y t t t-===++，3t t+≥，当且仅当t =，22m =时取得“=”，于是得1243y y t t-=≤+12312S y =-≤，所以OAB 面积的最大值为1.22．（1）11,33--，7126n -+；（2）[2(0)，，-∞⋃+∞ 试题分析：（1）⊥先求()f x ' ，根据函数在11,2x x ==处取得极值，则()110,()02f f ''==，代入可求得,a b 的值；⊥转化为()min c f x ≥，从而求函数()f x 在区间1[,2]4上的最小值，从而求得c 的值；（2）当a b =时，()2ln af x ax x x=-+，⊥当0a =时，符合题意； ⊥当0a ≠时，分0,0a a ><讨论()f x 在(0,)+∞上正负，以确定函数的单调性的条件，进而求出a 的取值范围．试题解析：（1）⊥⊥()21b f x ax nx x =-+，⊥()21'2b f x a x x=++，⊥()f x 在1x =，12x =处取得极值，⊥()10f '=，102f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，即2102420a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，⊥所求a 、b 的值分别为11,33--.⊥在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在0x ，使得不等式()00f x c -≤成立，只需[]min c f x ≥（），由()()()2222211211231'3333x x x x f x x x x x x ---+=--+=-=-，⊥当1142x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()0f x '<，故()f x 在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，是单调递减；当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()0f x '>，故()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增；当[]12x ∈，时，()0f x '<，故()f x 在[]12，是单调递减；⊥12f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极小值，()1111711221223236f n n f n ⎛⎫=+=-=-+ ⎪⎝⎭，且()321321411422f f n ne n ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又3160e -＞，⊥321140ne n ＞-，⊥[]2min f x f =（）（），⊥()7126min c f x m ⎡⎤≥=-+⎣⎦，⊥c 的取值范围为7126n ，⎡⎫-++∞⎪⎢⎣⎭，所以c 的最小值为7126n -+.（2）当a b =时，222ax x a f x x （）++='， ⊥当0a =时，()1f x nx =，则()f x 在()0,+∞上单调递增；⊥当0a >时，⊥0x >，⊥220ax x a ++>，⊥()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增；⊥当0a <时，设()22g x ax x a =++，只需0≤，从而得a ≤()f x 在()0,+∞上单调递减；综上得，a 的取值范围是[0⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，，点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中（1）⊥考查了函数取得极值的性质，若函数在0x 处取得极值，则0()0f x =，但0()0f x '=，0x 不一定是函数的极值点，即某点的导数为0是该点为极值的必要不充分条件；⊥注意是“存在14x ∈[,2]，使得0()c f x ≥成立，等价于()min c f x ≥”（2）结合极值考查了函数的额单调性，需要分类讨论思想在解题中的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力．。

2024学年湖南省株洲市茶陵县二中高三下学期期末教学质量检测试题(一模)数学试题

2024学年湖南省株洲市茶陵县二中高三下学期期末教学质量检测试题（一模）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．[)2,+∞C ．(D ．(]1,22．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29B ．30C ．31D ．323．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（）A ．[)0,+∞B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4．已知函数()ln af x x a x =-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 5．若函数2()xf x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．24(,)e +∞ B ．24(0,)e C ．2(0,4)e D ．(0,)+∞6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．27．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（）. A ．7388BA BC - B ．3788BA BC - C ．3788BA BC + D ．7388BA BC +8．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合AB 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为A ．()0,2B ．(]2,4C ．[)4,+∞D ．(),0-∞9．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,77710．若2nx ⎛⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（）A ．7B ．6C ．5D ．411．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（）A ．3215B ．6415C ．5D ．612．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（）A ．1B ．53C ．2D ．73二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期11月月考(第二次大联考)数学试题含答案

湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期第二次大联考（11月）数学试题（答案在最后）本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本式卷和答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本式卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，则集合A B 中所含整数的个数为A.2 B.3C.4D.52.已知3i12iz -=+，则z 的虚部为A.75B.75-C.15-D.153.“202520251ab>”是“33a b >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()1sin 104θ︒+=-，则()sin 2110θ︒+=A.78B.18C.18-D.78-5.经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A ，B ，通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为(4,3),(2,10)A B s s == ，设光子B 相对光子A 的位移为s ，则s 在A s上的投影向量的坐标为A.43,55⎛⎫⎪⎝⎭B.(2,7)- C.5239,2525⎛⎫⎪⎝⎭ D.43,2525⎛⎫⎪⎝⎭6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为1,2d a =也为等差数列，则d 的值为A.2B.3C.4D.87.已知函数1()ln 2(1)x f x x m x m+=+≠+关于点(,4)n 中心对称，则曲线()y f x =在点(n m -，())f n m -处的切线斜率为A.14 B.74C.38D.1388.ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πcos cos 2,3b Cc B A +==，则ABC 的内切圆半径的最大值为A.2B.3C.2D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数x ，y 满足21x y +=，则A.81xy B.1412x y+ C.22142x y +D.1(1)4x y +10.三棱台111ABC A B C -中，112AB A B =，设AB 的中点为1,E AA 的中点为1,F A E 与BF 交于点1,G A C 与1C F 交于点H ，则A.直线GH 与直线1BB 异面B.1//GH BC C.线段AE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PCD.线段BE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PC11.设函数2()e ,x f x nx n n +=-+∈N ，记()f x 的最小值为n a ，则A.122a a >- B.1n a n +C.()()n f a f n > D.n m n ma a a +>+三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知命题：“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，则a 的取值范围是______．13.已知P 为边长为4的正六边形ABCDEF 内部及其边界上的一点，则AP AB ⋅的取值范围是______.14.三棱锥P ABC -中，AB AC AB AC ==⊥，平面PBC ⊥平面ABC ，且PB PC =.记P ABC -的体积为V ，内切球半径为r ，则21r V-的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()2cos 2,(0,π)f x x x x =+∈.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，求m 的取值范围.16.（本小题满分15分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S n a =+.（1）探究数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为单调数列；（2）求数列{}2na n a ⋅的前n 项和nT .17.（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是菱形，四面体11A BC D 的体积与四面体111A B BC 的体积之差为12,A BD 的面积为（1）求点A 到平面1A BD 的距离；（2）若11111,,2A B A D A B A C BD =⊥=，求锐二面角11A BD C --的余弦值．18.（本小题满分17分）已知函数2()ln 2x f x ax ax x =+-在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，且21x x <.（1）求a 的取值范围；（2）当21(1,e)x x ∈时，证明：122eln ln e 1x x <+<+.19.（本小题满分17分）对于(2,3,)m m = 项数列{}n a ，若满足111m miii i a am ==-=-∑∑，则称它为一个满足“绝对值关联”的m 阶数列．（1）对于一个满足“绝对值关联”的m 阶数列{}n a .证明：存在,{1,2,,}i j m ∈ ，满足0i j a a <；（2）若“绝对值关联”的m 阶数列{}n a 还满足(1,2,,)i a i m λ=，则称{}n a 为“绝对值λ关联”的m 阶数列．①请分别写出一个满足“绝对值34关联”的4阶数列和满足“绝对值1关联”的5阶数列（不必论证，符合要求即可）；②若存在“绝对值λ关联”的n 阶数列(2)n ，求λ的最小值（最终结果用常数或含n 的式子表示）．三湘名校教育联盟•2025届高三第二次大联考•数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C 【解析】由题意可得{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，可得{30}A B x x =- ∣ ，故集合A B 中所含整数有3,2,1,0---，共4个，故选C.2.【答案】A 【解析】由题意可得3i (3i)(12i)32i 6i 17i 12i (12i)(12i)555z ------====++-，故17i 55z =+，其虚部为75，故选A.3.【答案】A 【解析】由202520251ab> 及指数函数的单调性可得0a b > ，令函数3()f x x =，易得()f x 单调递增，故当0a b > 时，一定有33a b >，故充分性成立，但由33a b >只能推出a b >，即必要性不成立，故“20252025a b >1 ”是“33a b >”的充分不必要条件，故选A.4.【答案】A 【解析】由题意可得()1sin 104θ︒+=-，故()()()()2sin 2110sin 90220cos 22012sin 10θθθθ︒︒︒︒︒+=++=+=-+2171248⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故选A.5.【答案】C 【解析】由向量(4,3),(2,10)A B s s == ，可得(2,10)(4,3)(2,7)B A s AB s s ==-=-=-，所以s 在A s 上的投影向量为218135239(4,3),55252525A A A A As s s s s s ⋅-⎛⎫⋅=⨯=⋅= ⎪⎝⎭ ，故选C.6.【答案】C 【解析】易知232222n n d S a n d n d ⎛⎫-=+-+- ⎪⎝⎭也为等差数列，则232222d n d n d ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭为完全平方，则2322(2)02d d d ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得4d =，故选C.7.【答案】D 【解析】因为()f x 关于点(,4)n 中心对称，所以函数1()()4ln224x n g x f x n x n x m n ++=+-=++-++为奇函数，则240n -=，即2n =，且3ln 2x y x m +=++为奇函数，所以23m +=-，解得5m =-，故1()ln 5x f x x +=+-2,7x n m -=，且6()2(1)(5)f x x x '=-+-，故切线斜率为13(7)8f '=，故选D.8.【答案】B 【解析】设ABC 的内切圆半径为r ，由题意可得cos cos 2b C c B +=，由余弦定理可得2222a b c b ab +-⋅+2222222222222a c b a b c a c b c a ac a a +-+-+-⋅=+==，而11sin ()22ABC S bc A a b c r ==++ ，故2r =⋅2bcb c ++，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则224b c bc bc =+- ，当且仅当b c =时等号成立，而4=2()3b c bc +-，则b c +=，其中4bc ，故33222bc r b c =⋅=++=(24)t t < ，故24(2)6263t r t t -=⋅=-+ .故选B.9.【答案】AC 【解析】对于A ：因为21x y +=18xy ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故A 正确；对于B ：1424(2)8666x y x y x y x y x y y x +++=+=+++=+，当且仅当8x yy x =，即x =1,22y =时取等号，故B 错误；对于C ：因为22x y +，则22142x y + ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故C 正确；对于D ：因为2112(1)1(1)2(1)2222x y x y x y ++⎡⎤+=⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦，当且仅当21x y =+，即1,02x y ==时取等号，这与x ，y 均为正数矛盾，故1(1)2x y +<，故D 错误，故选AC.10.【答案】AD 【解析】如图所示，对于A ，因为1BB ⊂/平面11,BC F BB 平面1BC F B =，故1BB 与平面1BC F 的交点为B ，且是唯一的.又因为B ，G ，H 三点不共线，所以GH 不经过点B ，又GH ⊂平面1BC F ，所以直线GH 与直线1BB 没有交点，即直线GH 与直线1BB 异面，故A 正确；对于B ，因为AB 的中点为1,E AA 的中点为F ，所以点G 是1A AB 的重心，:1:2FG GB =，若1//GH BC ，则1:1:2FH HC =，事实上：()()1111111222A H A C A A AC A F A C A F λλλλ==+=+=+112AC λ ，所以H 是1FC 的中点，1:1:2FH HC =不成立，故B 错误；对于CD 选项，如图，取线段BF 的中点Q ，连接1AQ 并延长，交BE于点P ，下证1//BC 平面1A PC ：由H 为1C F 的中点可知1//HQ BC ，又1BC ⊂/平面1,A PC HQ ⊂平面1A PC ，所以1//BC 平面1A PC ，故D 正确，C 错误；故选AD.11.【答案】BCD 【解析】由题意可得()e xf x n '=-，当(,ln )x n ∈-∞时，()0,()f x f x '<单调递减，当(ln ,)x n ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，故2(ln )ln n a f n n n n n ==+-．对于A ：12212,62ln 2,22a a a a ==---=-2ln 20>，即122a a <-，故A 错误；对于B ：设函数2()1ln ,,()2ln 1F x x x x x F x x x '+=--∈=--N ，设函数1()2ln 1,()2,1g x x x g x x x '=--=- 时，则()0()g x g x '>⇒单调递增，故()(1)10g x g =>⇒ ()0()F x F x '>⇒单调递增，故22()(1)01ln 0ln 11n F x F n n n n n n n n a n =⇒--⇒+-+⇒+ ，故B 正确；对于C ：易知ln n n >，又因为()f x 在(ln ,)x n ∈+∞上单调递增，故(ln )()(1)f n f n f n <<+ ()n f a ，故()()n f a f n >，故C 正确；对于D ：[ln ln()][ln n m m n a a a m n m n m n m n +--=+-+++-ln()]n m +，只需证明ln ln()0n m n m +-+>即可，而ln ln e n n m m +=，由e 1(1)x x x >+易得e n m >(1)m n m mn m n +=++，故ln ln()0n m n m +-+>，同理可得ln ln()0m n n m +-+>，故n m n a a +>+m a ，故D 正确，故选BCD ．12.【答案】（8,0-]【解析】因为命题“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，当0a =时，20-<成立，当0a ≠时，则280a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得80a -<<，故a 的取值范围是(8,0]-，故答案为(8,0]-.13.【答案】[-8，24]【解析】由题意可得AB 的模为4，根据正六边形的特征及投影的定义可以得到AP 在AB方向上的投影长度的取值范围是[2,6]-，由数量积定义可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影长度的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是[8,24]-，故答案为[8,24]-.14.62+【解析】设三棱锥P ABC -的高为h ，依题意，可取BC 中点O ，连接OA ，OP ，则OA =1,OB OC OP h ===，则PBC 的面积为1,2h BC h ABC ⋅= 的面积112OA BC ⋅=，由21PA PB h ==+可得PBA 的面积为2212h +，于是三棱锥P ABC -2211h h +++，由等体积可知)2211133r hh h +++=⨯，所以2222222122122h h h r h h ++++==+，故21r V-=2222123221122h h h h h ++-+-=+.设函数22211()2x f x x +=+，且0x >，则()f x '=()2222222212121212x x x x x x +=++++，当3,()0,()2x f x f x '<<单调递减，3()02x f x '>>，()f x 单调递增，所以3()622f x f =+ ，所以62h =时，21r V -取得最小值62+62．15.【解析】（1）由题意可得π()32cos 22sin 2,(0,)6f x x x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，………………2分令π2,(0,π)6z x x =+∈，则π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为π13πsin ,,66y z z ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的单调递减区间是π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…………………………………………5分且由π3π22z ，得π2π63x ，所以()f x 的单调递减区间是π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………………………7分（2）当π,12x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2,2636x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在区间π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，……9分即sin y z =在ππ,236m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1，又因为π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3ππ13π2,266m +< ……12分即2ππ3m < ，故m 的取值范围为2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………………………………………………13分16.【解析】（1）由题意得2(1)n n S n a =+，当2n 时，112n n S na --=，………………………………1分两式作差得112(1),(1)n n n n n a n a na n a na --=+--=，……………………………………………………3分所以11n n a a n n -=-，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，………………………………………………………………5分无单调性，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是单调数列.……………………………………………………………………6分（2）由（1）可得111n a a n ==，所以n a n =，故22an n n a n ⋅=⋅．……………………………………8分所以231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，①……………………………………………………………10分23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，②………………………………………………12分①-②得()231112122222222(1)2,12n nn n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=---⋅- ……………14分所以1(1)2 2.n n T n +=-⋅+…………………………………………………………………………………15分17.【解析】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，设四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh =（其中S 为菱形ABCD 的面积，h 为四棱柱ABCD -1111A B C D 的高），…………………………………………1分所以1ABDA 的体积为111236S h V ⋅=，同理四面体111A B BC 的体积为111236S h V ⋅=……………2分又因为四边形ABCD 是菱形，所以111122AO OC AC A C ===，所以点A 到平面1A BD 的距离为点1C 到平面1A BD 距离的一半，所以四面体11A BC D 的体积是四面体1ABDA 的体积的两倍，即13V ．……4分设点A 到平面1A BD 的距离为d ，则1111233663V V V d =-==⋅………………………………5分解得3d =分（2）如图，连接1OA ，由111A B A C ⊥得1A B AC ⊥，又四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又11,,A B BD B A B BD =⊂ 平面1A BD ，所以AC ⊥平面1A BD ，又1AO ⊂平面1A BD ，所以1A O AC ⊥，………………………………………………………………………………………………8分又11,A B A D BO BD ==，所以1A O BD ⊥，…………………………………………………………9分又,,BD AC O BD AC =⊂ 平面ABCD ，所以1A O ⊥平面ABCD ，以点O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由（1）知12V =，且菱形ABCD的面积为S =，所以h ==………………………………11分依题意，1(0,0,0),((0,1,0),(O C B C -，易得平面1A BD的一个法向量为(0,0)OC =，…………………………………………………12分设平面1BC D 的一个法向量为(,,)n a b c =，又1(0,1,0),(OB OC ==- ，所以100OB n OC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00b a c =⎧⎨-=⎩，取(1,0,1)n = ，…………………………………………………13分故111cos ,2||n OC n OC n OC ⋅<>===⋅ ，……………………………………………………14分故锐二面角11A BD C --的余弦值为2.…………………………………………………………………15分【评分细则】本题第二问若考生通过利用几何法来求解二面角11A BD C --的平面角为11π4A OC ∠=，或者利用余弦定理等来直接求解二面角的余弦值，只要过程合理，最终答案正确均给满分，若过程有误或证明过程不严谨酌情扣一定的分数．18【解析】(1)易得()f x 定义域为(0,),()ln f x x a x '+∞=-，显然0a ≠.…………………………1分①当0a <时，()f x '单调递增，不可能有两零点，不合题意.…………………………………………2分②当0a >时，令函数()()g x f x '=，易得()x a g x x'-=，故(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减(,)x a ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，……………………………………………………………4分当e a 时，有()()(1ln )0g x g a a a =- ，不可能有两零点；当e a >时，有()0,(1)10g a g <=>，由零点存在性定理可得()g x 在区间(1,)a 必有一个零点1x ．……………………………………………6分()2(2ln )g a a a a =-，令函数()2ln a a a ϕ=-，则2()10a aϕ'=->，即()a ϕ单调递增，故()(e)a ϕϕ>=e 20->，即()20g a >，故()g x 在(,)a +∞上有零点2x ，综上(e,)a ∈+∞．…8分（2）依题意有()()120g x g x ==，即1122ln ln 0x a x x a x -=-=，故得12211221ln ln ln ln x x x x a x x x x -====-2121ln x x x x -，…………………………………………………………10分因此2121122111ln ln ln 1x x x x x x x x x x ==--，令21(1,e)x t x =∈.则1ln ln 1t x t =-，同理2ln ln 1t t x t =-，故12eln ln x x +=e ln 1t t t +-，欲证122eln ln e 1x x <+<+，即证112ln (e 1)e e t t t t t --<<+++，……12分令函数1()ln 2e t m t t t -=-+，函数1()(e 1)ln ,(1,e)e t n t t t t -=+-∈+，只需证明()0,()0m t n t >>即可，又22222(e)2(e 1)(1)e 1()0(e)(e)t t t m t t t t t '+-+-+-==>++，……………………………………………………14分故()m t 是增函数，故()(1)0m t m >=，又222222(e 1)(e)1e ()e 1(e)(e)t t n t t t t t t '⎛⎫+-+==+-- ⎪++⎝⎭，令函数22e ()e 1h t t t =+--，则22e ()10h t t '=->，故()h t 单调递增，故()(1)0h t h >=，………………16分因此21()()0(e)n t h t t '=>+，故()n t 单调递增，故()(1)0n t n >=，故122eln ln e 1x x <+<+得证.17分【评分细则】第一问若考生求完导后用参变分离的方法来求参数范围，只要最终答案正确均给分，第二问也可用其他方法来证明，逻辑正确，严谨可酌情给分．19.【解析】（1）因为{}n a 为满足“绝对值关联”的m 阶数列，假设0i a ，则11110m m m m i i i i i i i i a a a a====-=-=≠∑∑∑∑1(2)m m - ，不满足题意，同理若0i a ，则111101(2)m m m mi i i i i i i i a aa a m m ====-=-+=≠-∑∑∑∑ ，也不满足题意，………………………………4分所以12,,,m a a a 中必有一些数小于0，也必有一些数大于0，不妨设121,,,0,,,,0l k k m a a a a a a +>< （其中1l k m << ），故存在{1,2,,},{,1,,}i l j k k m ∈∈+ ，满足0i j a a <．………………6分（2）①一个满足“绝对值34关联”的4阶数列为：3333,,,4444--；（答案不唯一，符合要求即可）8分一个满足“绝对值1关联”的5阶数列为：222,,,1,1333--；（答案不唯一，符合要求即可）……10分②设(1,2,,)i a i n λ= ，且111n n i i i i a an ==-=-∑∑．不妨设1212,,,0,,,,0k k k n a a a a a a ++< ，其中1k n < ，并记11,k n i i i i k a x a y ==+==∑∑，为方便起见不妨设x y （否则用i a -代替i a 即可），于是得11,n n i i i i ax y a x y ===+=-∑∑，因为111n n i i i i a a n ==-=-∑∑，即()()1x y x y n +--=-，所以11,22n n y x --=，一方面有1()2n y n k λ-=- ，另一方面12n x k λ- .所以1()n n k k n λλλ--+= ，即1n n λ- ，当且仅当n k k -=，即2n k =时等号成立.………13分（i ）当n 为偶数时，设*2,n s s =∈N ，则有前s 项为正数，后s 项为负数的数列111,,,n n n n n n --- ，111,,,n n n n n n ------ 是“绝对值1n n -关联”的n 阶数列，又1n n λ- ，所以λ的最小值为1n n -；……………………………………………………………………14分（ii ）当n 为奇数时，设*21,n s s =+∈N ，则11(),22n n y n k x k λλ--=- 等价于21s s k λ+- 且s k λ ，即λ不小于21s s k +-与s k中的最大者．……………………………………………………15分当k s =或1s +时，两者中的最大者均为1，有1λ ，当k s <或1k s >+时，有1s k >或121s s k>+-，则有1λ>，所以取k s =或1s +时，λ可能取得最小值1，且有前s 项为正数，后1s +项为负数数列1111,1,,1,,,,111n n n n n n ------+++ 符合题意，所以λ可以取得最小值1．…………………………………………………………………………………………16分综上所述λ的最小值为()*1,21,21n n s s n n s -⎧=⎪∈⎨⎪=+⎩N .……………………………………………………17分。

2013年湖南高考数学文科试卷带详解

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i(1i)z =+(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【测量目标】复数代数形式的四则运算及复平面．【考查方式】给出复数的乘法形式，间接地考查了复数的代数与几何之间的关系．【参考答案】B【试题解析】 i(1i)1i z =+=-+，∴复数z 对应复平面上的点是(1,1)-，该点在第二象限．2．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【测量目标】命题的基本关系，充分、必要条件．【考查方式】主要考查命题的基本关系以及充分必要条件．【参考答案】A【试题解析】设{|12}A x x =<<，{|2}B x x =<，∴A B Ü，即当0x A ∈时，有0x B ∈，反之不一定成立．因此“12x <<”是“2x <”成立的充分不必要条件．3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n = ( ) A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 【测量目标】分层抽样．【考查方式】根据分层抽样的特点，结合实际问题用比例法求解样本容量的多少．【参考答案】D 【试题解析】3=601208060n++，13n ∴= 4．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2f g -+=，()()114f g +-=，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1【测量目标】函数的奇偶性、函数的求值．【考查方式】给出两个奇、偶函数的关系式，结合奇、偶函数的性质求解g (1)．【参考答案】B【试题解析】根据奇、偶函数的性质，将(1)f -和(1)g -转化(1),(1)f g -为列方程再求解． (f x ）是奇函数，(1)(1).f f ∴-=-又()g x 是偶函数， (1)(1)g g ∴-=，（步骤1） (1)(1)2,(1)(1)2f g g f -+=∴-= ． ①（步骤2）又(1)(1)4,(1)(1)4f g f g +-=∴+=． ②（步骤3）由①②，得(1)3g =．（步骤4）5．在锐角三角形ABC 中，角,A B 所对的边长分别为a ，b ．若2sin a B =，则角A 等于( ) A ．π3 B ．π4 C ．π6 D ．π12【测量目标】正弦定理．【考查方式】给出三角形的边角之间的关系，根据正弦定理，求出其中一个角的大小．【参考答案】A【试题解析】在△ABC 中，2sin ,2sin a R A b R B ==(R 为△ABC 的圆半径)，2sin ,2sin sin a B A B B =∴=sin A ∴=，又△ABC 为锐角三角形，π3A ∴=．6．函数()ln f x x =的图象与函数2()44g x x x =-+的图象的交点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【测量目标】函数的图像与性质，数形结合思想．【考查方式】给出对数函数和二次函数，考查了两个函数的图像与交点．【参考答案】C【试题解析】22()44(2)g x x x x =-+=-在同一平面直角坐标系内画出函数()ln f x x =与2()(2)g x x =-的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．第6题图7．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 ( )A B ．1 C D 【测量目标】空间几何体三视图的判断，柱、锥、台、及简单组合体的表面积、体积的求法．【考查方式】给出正方体的三视图面积，间接地考查了对正方形三视图的认识，并求出正视图的面积．【参考答案】D【试题解析】由于该正方形的俯视图是面积为11的矩形，所以8．已知,a b 是单位向量，0∙=a b ，若向量c 满足0--=c a b ，则c 的最大值为 ( )A 1-BC 1D 2 【测量目标】向量的运算律、向量的数量积及模．【考查方式】给出模为零的向量，间接地考查了向量的运算律、数量积及模的综合应用，并求出其中一个向量的模．【参考答案】C【试题解析】 ,a b 是单位向量， ∴1==a b ，（步骤1）又0∙=a b ，∴⊥a b ，（步骤2）∴+=a b ．（步骤3） ∴22222()+21--=-∙+∙++=c a b c c a b αb a b ．22()10∴-∙++=c c a b ，22()1∴∙+=+c a b c ．（步骤4） ∴21+c 2cos θ=+c a b (θ是c 与+a b 的夹角)．（步骤5）∴21+c cos θ=…，∴210-+c …．（步骤6）∴11c 剟，∴c 1．（步骤7） 9．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB= ( )A ．12 B ．14C D【测量目标】几何概型．【考查方式】给出事件发生的概率并与代数相结合，求出几何概型的概率．【参考答案】D【试题解析】由于满足条件的点P 发生的概率为12，点P 在边CD 上运动，根据图形的对称性当点P 在靠近点D 的CD 边的14分点时，EB AB =（当P 点超过点E 向点D 运动时，PB AB >）．设AB x =，过点E 作EF AB ⊥交AB 于点F ，则34BF x =．在Rt FBE △中，222222716EF BE FB AB FB x =-=-=，即EF x =，AD AB ∴=第9题图二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ===，则()U A B ð= ．【测量目标】集合的表示、集合的基本运算，数形结合思想．【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的补集、交集运算．【参考答案】{6,8}【试题解析】因为{2,3,6,8},{2,3}U A ==，所以{6,8}U A =ð，所以(){6,8}{2,6,8}{6,8}U A B == ð． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线121,:x s l y s =+⎧⎨=⎩（s 为参数）和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行，则常数a 的值为．【测量目标】参数方程、两直线的位置关系，转化思想的应用．【考查方式】参数方程与直角坐标方程的互化，间接考查了直线方程与直线位置的关系．【参考答案】4 【试题解析】由21,x s y s=+⎧⎨=⎩消去参数s ，得21x y =+．由,21x at y t =⎧⎨=-⎩消去参数t ，得2x ay a =+．12l l ∥，21, 4.2a a ∴=∴=12．执行如图所示的程序框图，如果输入a =1，b =2，则输出的a 的值为．【测量目标】循环结构的程序框图．【考查方式】程序框图的逻辑关系，并根据程序框图求出a 的值．第12题图【参考答案】9【试题解析】当1,2a b ==时，8a >不成立，执行a a b =+后a 的值为3．当3,2a b ==时，8a >不成立，执行a a b =+后a 的值为5．当5,a =2b =时，8a >不成立，执行a ab =+后a 的值为7．当7,a =2b =时，8a >不成立，执行a a b =+后a 的值为9．由于98>成立，故输出的a 值为9．13．若变量,x y 满足约束条件28,04,03x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟则x y +的最大值为______．【测量目标】线性规划知识求最值．【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最大值．【参考答案】6【试题解析】根据不等式组出其平面区域，令z x y =+，结合直线z x y =+的特征求解．如图，画出不等式组表示的平面区域，平行移动z x y =+经过点(4,2)A 时，z 取最大值6．第13题图14．设12,F F 是双曲线C 22221x y a b-= ()0,0a b >>的两个焦点．若在C 上存在一点P ．使12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=，则C 的离心率为___________．【测量目标】双曲线的定义及其相关性质．【考查方式】给出双曲线上的点到两焦点之间直线的关系，根据双曲线的定义及性质求解其离心率．1【试题解析】如图，利用12PF PF ⊥及1230PF F ∠=，求出a ，c 的关系式．设点P 在双曲线右支上． 12PF PF ⊥，122F F c =，且1230PFF ∠= ，∴2PF c =，1PF =．又点P 在双曲线右支上，∴12PF PF-1)c =2a =．∴c e a==1=．第14题图 15．对于12100{,,,}E a a a = 的子集12{,,,}k i i i X a a a = ，定义X 的“特征数列”为12100,,,x x x ，其中121k i i i x x x ==== ．其余项均为0，例如子集23{,}a a 的“特征数列”为0，1，0，0， 0⑴子集135{,,}a a a 的“特征数列”的前三项和等于___________；⑵若E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p ⋅⋅⋅ 满足11p =，11i i p p ++=，199i剟；E 的子集Q 的“特征数列” 12100,,,q q q ⋅⋅⋅满足11q =，121j j j q q q ++++=，198j剟，则P Q 的元素个数为_________．【测量目标】集合的子集、交集定义的理解以及数列中项、项数概念的理解及应用．【考查方式】根据给定“特征数列”的新定义，明确其性质，结合集合及数列性质求解．【参考答案】⑴2 ⑵17【试题解析】子集中元素的个数为“特征数列”中项1的个数，并且1所在的项记为“特征数列”中的第i 项． ⑴子集{}135,,a a a 的“特征数列”中共有3个1，其余均为0，该数列为1,0,1,0,1,0,0,,0. 故该数列前3项的和为2．⑵E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p 中，由于11p =，11(199)i i p p i++=剟，因此集合P 中必含有元素1a ．又当1i =时，121p p +=，且11p =，故20p =同理可求得31p =，40p =，51p =，60p =，…．故E 的子集P 的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,1,0,,1,0 ，即{}1,35799,,,,.P a a a a a =⋅⋅⋅E 的子集Q 的“特征数列”12100,,,q q q ⋅⋅⋅中，由于11q =，121j j j q q q ++++=(198)j剟，因此集合Q 中必含有元素1a ．当1j =时，1231q q q ++=，当2j =时，2341q q q ++=，当3j =时，3451q q q ++=，…故11q =230q q ==，41q =，560q q ==，71q =，…．故，所以E 的子集Q 的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0,,0,1⋅⋅⋅，即{}14710100,,,,,Q a a a a a =⋅⋅⋅．因为1001(1)3n =+-⨯，故34n =，所以集合Q 中有34个元素，其下标为奇数的有17个．因此，P Q {}17131997,,,,,a a a a a =⋅⋅⋅共有17个元素．三、解答题；本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数π()cos cos()3f x x x =⋅-．⑴求2π()3f 的值； ⑵求使 1()4f x <成立的x 的取值集合．【测试目标】三角函数的定义及性质，三角函数的恒等变换．【考查方式】利用三角函数的恒等变换将函数转化成正弦函数，根据三角函数图像的性质求出x 的范围．【试题解析】(1)ππ()cos (cos cossin sin )33f x x x x =⋅⋅+⋅111(sin 2cos 2)2224x x =⋅+⋅+ 1π1sin(2)264x =++2π13π1()sin3224f ⇒=+14=-，所以2π1()34f =-．（2）由（1）知，1π11()sin(2)2644f x x =++<1π11cos(2)2344x ⇔-+<，即πcos(2)03x -<于是ππ3π2π22π232k x k +<-<+5π11π(π,π),1212x k k k ⇒∈++∈Z ．故使1()4f x <成立的x 的取值集合为5π11π,1212x kx x kx k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ． 17．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，AB AC ==13AA = ，D 是BC 的中点，点E 在棱1BB 上运动．⑴证明：1AD C E ⊥；⑵当异面直线AC ，1C E 所成的角为60时，求三棱柱111C A B E -的体积．【测量目标】空间点、线、面的之间的位置关系，线线、线面、面面垂直与平行第17题图的性质与判定，异面直线所成角，三棱柱的体积．【考查方式】根据线面垂直推导到线线垂直，求出三棱柱111E A B C -的高1EB 再求体积．【试题解析】⑴AB AC = ，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥．(步骤1) ① 又在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，而AD ⊂平面11BB C C ，∴1AD BB ⊥．（步骤2） ② 由①②，得AD ⊥平面11BB C C ，由E 点在棱1BB 上运动，得1C E ⊂平面11BB C C 1C E AD ∴⊥．（步骤3）⑵11CA C A ∥，1160AC E ∴∠=⇒在11Rt AC E △中，1A E =，（步骤4） ⇒在11Rt A B E △中，12EB =．（步骤5） 111ABC A B C - 是直棱柱，1EB ∴是三棱柱111E A B C -的高．（步骤6） 11111111111212333C A B E E A B C A B C V V S EB --==⨯⨯=⨯⨯=△．所以三棱柱111C A B E -的体积是23．（步骤7）18．（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． ⑴完成下表，并求所种作物的平均年收获量；⑵在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg 的概率．【测量目标】频数分布表及平均数、简单随机事件的概率．【考查方式】考查识图能力及数据处理能力及分类讨论思想，结合图形解决概率与统计的相关知识，根据图形找出Y 对应的频数．【试题解析】(1) 由图知，三角形中共有15个格点，与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4，0)，(0，4)．与周围格点的距离不超过１米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0，0)， (1，3)， (2，2)，(3，1)．与周围格点的距离不超过１米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1，0)， (2，0)， (3，0)，(0，1，) ，(0，2)，(0，3)．与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1)， (1，2)， (2，1)．如下表所示：平均年收获量5124844564234615u ⨯+⨯+⨯+⨯==．(2)在15株中，年收获量至少为48kg 的作物共有246+=个．所以，15株中任选一个，它的年收获量至少为48kg 的概率60.415p ==． 19．（本小题满分13分）设n S 为数列{}n a 的前项和，已知01≠a ，112n n a a S S -=∙，*n ∈N ．⑴求1a ，2a ，并求数列{}n a 的通项公式； ⑵求数列{}n na 的前n 项和．【测量目标】等比数列的公式、性质及数列的前n 项和的公式、性质．【考查方式】利用递推公式1n n n a S S -=-(2)n …消去n S 得到关于n a 的通项公式，并用错位相减法求{}n na 的前n 项和．【试题解析】⑴ 11S a = ∴令1n =，得21112a a a -=.1,011=≠⇒a a (步骤1)令2n =，得2221a S -=21a =+22a ⇒=．（步骤2）当2n …时，由21nn a S -=，1121n n a S ---=两式相减，得122n n n a a a --=，即12n n a a -=．（步骤3）于是{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列．（步骤4）因此，12,n na n -*=∈N ，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（步骤5） ⑵由⑴知，12n n na n -=⋅．记数列{}12n n -⋅的前n 项和为n T ，于是21122322n nT n -=+⨯+⨯++⨯ ①2321222322n n T n ⇒=⨯+⨯+⨯++⨯ ② （步骤6）①－②，得21122...22n n nT n --=++++-⋅212n n n =--⋅(1)21,n n T n n *⇒=-⋅+∈N ．（步骤7） 20．（本小题满分13分）已知1F ，2F 分别是椭圆E ：2215x y +=的左、右焦点1F ，2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．⑴求圆C 的方程；⑵设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b ．当ab 最大时，求直线l 的方程．【测量目标】点关于直线对称点的求法，圆的方程，直线与椭圆的位置关系，直线的方程以及利用函数求最值问题．【考查方式】考查了对称思想在求解实际问题中的应用，求出圆C 的方程．由勾股定理求出弦长b ，根据焦半径的公式求出弦长a ，构造函数判断单调性，求出ab 最大值，求出l 的方程．【试题解析】⑴先求圆C 关于直线20x y +-=对称的圆D ，由题意知，圆D 的直径为12F F ，所以圆D 的圆心是(0,0)D，半径2r c ==，（步骤1）圆心0,0D （）与圆心C 关于直线02=-+y x 对称(2,2)C ⇒． ⇒圆的方程是22(2)(2)4x y -+-=（步骤2）⑵由⑴知2(2,0)F ，根据题可设直线l 方程为:2,x my m =+∈R ．这时直线l 可被圆和椭圆截得2条弦，符合题意．圆C :4)2()2(22=-+-y x 到直线l的距离d =．（步骤3）⇒在圆中，由勾股定理，得22222444(4)11m b m m =-=++．（步骤4）直线与椭圆相较于点1122(,),(,)E x y F x y ，联立直线与椭圆方程，得22(5410m y my ++-=）12x x ⇒+12()4m y y =++2445m mm -=++2205m =+，由椭圆的焦半径公式得：12)a x x =+=2215m m +=+2215m ab m +∴=+25m =+（步骤5）令()0f x x =…()y f x ⇒=在[0,3]上单调增，在[3,)+∞单调减，（步骤6）令()(3)f x f …⇒当23m =时，取ab最大值，这时直线方程为2x =+，所以当取ab最大值，直线方程为2x =+．（步骤7） 21．（本小题满分13分）已知函数21()e 1xx f x x-=+．⑴求()f x 的单调区间；⑵证明：当时1212()()()f x f x x x =≠时，120x x +<．【测量目标】导数的运算，导数研究函数的单调性，导数在不等式证明问题中的应用．【考查方式】考查导数的运算、利用导数求函数单调区间的方法、构造函数判断函数大小的方法．【试题解析】⑴ 函数的定义域,-∞+∞（）， 2211()e e 11x x x x f x x x '--⎛⎫'=+ ⎪++⎝⎭222(11)e 1)(1)e 21)x x x x x x x -+-⋅+--⋅=+（（22232e 1)x x x x x --+=⋅+（（步骤1） 22420∆=-⨯< ，∴当(,0)x ∈-∞时，()0,()f x y f x '>=单调递增，当时(0,)x ∈+∞，()0,()f x y f x '=…单调递减．∴()y f x =在(,0)-∞上单调递增，在(0)x ∈+∞，上单调递减．（步骤2） ⑵当1x <时，由于2101x x ->+，e 0x >，故()0f x >；同理，当1x >时，()0f x <．（步骤3）当1212()()()f x f x x x =≠时，不妨设12x x <，由⑴知，1(,0)x ∈-∞，2(0,1)x ∈．（步骤4）下面证明：(0,1)x ∀∈，()()f x f x <-，即证2211e e 11x x x x x x --+<++⇔1(1)e 0e x x x x ---<．（步骤5）令1()(1)e ex x x g x x +=--，则2()e (e 1)x x g x x -'=--．（步骤6）当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，从而()(0)0g x g <=，即1(1)e 0e x xx x +--<． (0,1)x ∴∀∈，()()f x f x <-．（步骤7）而2(0,1)x ∈，22()()f x f x ∴<-，从而12()()f x f x <-．（步骤8）由于1x ，2(,0)x -∈-∞，()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以12x x <-，即120x x +<．（步骤9）。

湖南省株洲市南方中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试卷数学

湖南省株洲市南方中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试卷数学一、单选题1．若集合{}234,,,A i i i i =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B ⋂等于（）A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．φ2．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为2，方差为12，则另一组数据132x -，232x -，332x -，432x -，532x -的平均数、标准差分别为（）A ．2，12B ．2，1C ．4，2D ．4，923．已知奇函数()()22cos x xf x m x -=+⋅，则m =（）A ．1-B ．0C ．1D ．124．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A ．24B ．32C ．96D ．1285．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD 与平面ATBS 的夹角为45°，则cos ASB ∠=（）A ．13B C D 6．在ABC V 中，角A 为π3，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知AD =()1R 3AB AD AC λλ=-∈ ，则AB AD ⋅= （）A ．1B ．32C ．9D7．设椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点1F .若点2F 关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，且211212F F F P a =⋅ ，则C 的离心率为（）A ．13B ．23C ．12D ．258．在锐角ΔA 中，2A B =，则ABAC的取值范围是A ．()1,3-B ．()1,3C．D ．()1,2二、多选题9．已知随机变量()2~1,X N σ，记(1),(13)>-=<<=P X a P X b ，则（）A ．(3)<=P X aB ．12a b -=C ．(21)2()-=E X E XD ．(21)4()D X D X -=10．已知当π()0,x ∈时，()cos f x x =，并且满足(2π)(2π),(π)(π)0f x f x f x f x +=-++-=，则下列关于函数()f x 说法正确的是（）A ．3π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．周期2πT =C ．()f x 的图象关于πx =对称D ．()f x 的图象关于(π0)-，对称11．已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，且满足11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-，则（）A ．01q <<B ．9910110a a -<C ．100T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198三、填空题12．若52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则2a =.13．若直线20(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=所截得的弦长为4，则23ab+的最小值为．14．已知函数()e ln 1ax f x x x ax =---，若函数()f x 的最小值恰好为0，则实数a 的最小值是.四、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．(1)若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．(2)若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．16．人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m （*m ∈N ）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当X 0=时，答题也结束，机器人挑战失败.(1)当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；(2)当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.17．正数数列{}{},n n a b 满足118,16a b ==，且1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列．(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)求证：1211111113n a a a ++⋅⋅⋅⋅<---．18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点()1,0E ，它的一条渐近线的倾斜角为120︒．(1)过点（2,0)-作直线l 交双曲线C 于,M N 两点（不与点E 重合），求证：EM EN ⊥；(2)若过双曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为,A B ，且分别在第一象限和第四象限，若1,,23AP PB λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦uu u r uu r ，求AOB V 面积的取值范围．19．已知函数()sin xf x x=.(1)判断函数()f x 在区间()0,3π上极值点的个数并证明；(2)函数()f x 在区间(0,)+∞上的极值点从小到大分别为123,,,,,n x x x x ，设(),n n n a f x S =为数列{}n a 的前n 项和.①证明：120a a +<；②问是否存在*n ∈N 使得0n S ≥？若存在，求出n 的取值范围；若不存在，请说明理由.。

湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及复习资料

湖南省2009年普通高中学业水平考试数学一、选择题1. 已知集合A={-1，0，1，2}，B={-2，1，2}则A I B=（A{1} B.{2} C.{1，2} D.{-2，0，1，2} 2.若运行右图的程序，则输出的结果是（） A.4， B. 9 C. 13 D.223.将一枚质地均匀的子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（） A.31 B.41 C.51 D.614.4cos4sinππ的值为（）A.21B.22C.42D.25.已知直线l 过点（0，7），且与直线y=-4x+2平行，则直线l 的方程为（） A.y=-4x-7 B.y=4x-7 C.y=-4x+7 D.y=4x+76.已知向量),1,(),2,1(-==x b a 若⊥，则实数x 的值为（） A.-2 B.2 C.-1 D.17.已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为（） A.（1，2） B.（2，3） C.(3,4) D. (4,5)8.已知直线l ：y=x+1和圆C ：x 2+y 2=1,则直线l 和圆C 的位置关系为（） A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 9.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（） A.xy )31(= B.y=log 3x C.xy 1= D.y=cosx10.已知实数x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,0,0,1y x y x 则z=y-x 的最大值为（）A.1B.0C.-1D.-2 二、填空题11.已知函数f(x)=⎩⎨⎧<+≥-),0(1)0(2x x x x x 则f(2)=___________.12.把二进制数101（2）化成十进制数为____________.13.在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a,b,A=600,a=3,B=300,则b=__________. 14.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为_________.15.如图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，若,AM AC AB λ=+则实数λ=________.三、解答题16.已知函数f(x)=2sin(x-3π), (1)写出函数f(x)的周期；（2）将函数f(x)图像上所有的点向左平移3π个单位，得到函数g(x)的图像，写出函数g(x)的表达式，并判断函数g(x)的奇偶性.2 223 3ABMC17.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理.为了较合理地确定居民日常用水量的标准，有关部门抽样调查了100位居民.右表是这100位居民月均用水量（单位：吨）的频率分布表，根据右表解答下列问题：（1）求右表中a 和b 的值；（2）请将下面的频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数.18.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AB. （1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求异面直线BC 与PD 所成的角.19.如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居分组频数频率 [0,1) 10 0.1 [1,2) a 0.2 [2,3) 30 0.3 [3,4) 20 b [4,5) 10 0.1 [5,6) 10 0.1 合计10010 1 2 3 4 5 60.3 0.4 频率/组距月均用水量BCDAP室的一面墙AD 的长为x 米（2≤x ≤6）. (1)用x 表示墙AB 的长；（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元，请将墙壁的总造价y(元)表示为x(米)的函数；（3）当x 为何值时，墙壁的总造价最低？20.在正项等比数列{a n }中，a 1=4,a 3=64. (1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)记b n =log 4a n ,求数列{b n }的前n 项和S n ;(3)记y=-λ2+4λ-m,对于（2）中的S n ,不等式y ≤S n 对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，求实数m 的取值范围. 参考答案AEx一、选择题二、填空题11.2 12.5 13.1 14.3π 15.2 三、解答题 16.（1）2π（2）g(x)=2sinx ,奇函数. 17.（1）a=20,b=0.2 (2)2.5吨 18.（1）略（2）450 19.（1）AB=24/x; (2)y=3000(x+x16) (3)x=4,y min =24000. 20.(1)a n =4n ; (2)S n =2)1(+n n (3)m ≥3.2010年湖南省普通高中学业水平考试试卷数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共3页。

湖南省株洲市醴陵市第二中学2024学年高三5月毕业考试数学试题理试题

湖南省株洲市醴陵市第二中学2024学年高三5月毕业考试数学试题理试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．32．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++=3．已知1011M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 24．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，则（）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><5．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．1126．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（）A ．2-B ．2C ．43-D ．437．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为 A ．24(4)2h 2π+π+B ．216(2)4h π+π+C ．2(8421)h π+π+D ．2(2216)h π+π+8．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（） A ．12B ．14C ．15D ．1109．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（） A ．()()⋅f x g x 是偶函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是奇函数D ．()()f x g x ⋅是奇函数10．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）A ．16B ．12C ．8D ．611．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112B ．10102C ．10092D ．1008212．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省株洲市第二中学2022-2023学年高三上学期12月月考化学试题(B)

湖南株洲第二中学2022-2023学年上学期教学质量检测高三化学试题（B）一、单选题：本题共14小题，42分1．汽车尾气中的含氮氧化物(NOx)、碳氢化合物(CxHy)、碳等，直接排放容易形成“雾霾”。

因此，不少汽车都安装尾气净化装置(净化处理过程如图)。

下列有关叙述错误的是A．尾气形成“雾霾”与汽油(属于碳氢化合物)未充分燃烧有关B．尾气处理过程中，氮氧化物(NO x)被还原C．Pt-Rh 催化剂在处理尾气的反应前后质量未变化，说明它并没有参与化学反应D．使用新能源电动汽车能有效控制雾霾2．谚语、古诗词、古文等都是我国传统文化的瑰宝。

下列有关解读错误的是A．“三月打雷麦谷堆”，在雷电作用下实现了氮的固定过程B．“朝坛雾卷，曙岭烟沉”，雾有丁达尔现象是因为胶体粒子对光有散射作用Fe OC．“司南之杓(勺)，投之于地，其柢(勺柄)指南”，司南中“杓”的材质为23D．“如握盐雪不冰，强烧之，紫青烟起…云是真硝石也”，利用焰色试验检验硝石(KNO3)真伪3．设N A为阿伏伽德罗常数的数值，下列说法正确的是（）A．常温常压下，8gO2含有8N A个质子B．分子总数为N A的CO2和NO2混合气体中含有的氧原子数为2N AC．标准状况下，22.4L盐酸含有N A个HCl分子D．分子总数为N A的CO、N2混合气体体积约为22.4L，质量为28g4．下列离子方程式书写正确的是()A．Na2S2O3溶液与稀H2SO4反应的离子方程式：S2O32- + 6H+ =2S↓ +3H2OB．向饱和Na2CO3溶液中通入过量CO2，CO32-+CO2+H2O═2HCO3-C．CuSO4与过量浓氨水反应的离子方程式:Cu2++2NH3·H2O= Cu(OH)2↓+2NH4+D．Fe与稀硝酸反应，当n(Fe)∶n(HNO3)=1∶2时，3Fe+2NO3-+8H+═3Fe2++2NO↑+4H2O 5．下列实验操作正确的是()A．用洁净的玻璃棒蘸取试液，点在湿润的pH试纸上测定试液pHB．将称量好的固体直接加入容量瓶中，加水溶解并稀释至刻度，配制成一定物质的量浓度的溶液C ．欲从碘水中分离出I 2，可将适量的CCl 4加入碘水中振荡静置分层后分液D ．为减小中和滴定误差，锥形瓶必须洗净并烘干后才能使用6．据科学家预测，月球的土壤中吸附着数百万吨的氦(3He)，每百吨氦(3He)核聚变所释放出的能量相当于目前人类一年消耗的能量。

2013年高考全国Ⅱ文科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅱ，文1，5分】已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N = （）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，所以M N {2,1,0}=--，故选C ．（2）【2013年全国Ⅱ，文2，5分】21i=+（）（A）（B ）2 （C（D ）1 【答案】C【解析】22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-+-+，所以21i=+C ．（3）【2013年全国Ⅱ，文3，5分】设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由23z x y =-得32y x z =-，即233z y x =-．作出可行域如图，平移直线233zy x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ，代入直线23z x y =-得32346z =⨯-⨯=-，故选B ．（4）【2013年全国Ⅱ，文4，5分】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（）（A）2 （B1 （C）2 （D1【答案】B【解析】因为,64B C ππ==，所以712A π=．由正弦定理得sin sin 64b c =，解得c =．所以三角形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯．因为7231s i n s i n (()1232222πππ=++，所以13s i n ()312b c A =++，故选B ．（5）【2013年全国Ⅱ，文5，5分】设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（）（A（B ）13（C ）12 （D【答案】D【解析】因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=，所以212tan 30,PF c PF ===．又122PF PF a +==，所以c a ==，故选D ．（6）【2013年全国Ⅱ，文6，5分】已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）23【答案】A【解析】因为21cos2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A ．（7）【2013年全国Ⅱ，文7，5分】执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =（）（A ）1111234+++ （B ）1111232432+++⨯⨯⨯ （C ）111112345++++ （D ）111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，此时满足条件输出1111223234S =+++⨯⨯⨯，故选B ．（8）【2013年全国Ⅱ，文8，5分】设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】D【解析】因为321lo g 21lo g 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大．又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D ．（9）【2013年全国Ⅱ，文9，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分)，故选A ．（10）【2013年全国Ⅱ，文10，5分】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为（）（A ）1y x =-或1y x =-+ （B）1)y x =-或1)y x =- （C）1)y x -或1)y x =- （D）1)y x =-或1)y x =-【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为10（,），准线方程为1x =-，设11A x y （，），22B x y （，），则因为3AF BF =，所以12131x x +=+（），所以1232x x =+，因为123y y =，129x x =，所以13x =，213x =，当13x =时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =1(,3A B ，此时AB k =线方程为1)y x -．若1y =-，则1(3,),()3A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l 的方程是1)y x -或1)y x =-，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，文11，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，文12，5分】若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（）（A ）(,)-∞+∞ （B ）(2,)-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)-+∞【答案】D【解析】解法一：因为20x >，所以由2()1x x a -<得122x x x a --<=，在坐标系中，作出函数 (),()2xf x x ag x -=-=的图象，当0x >时，()21x g x -=<，所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，故选D ．解法二：由题意可得，()102xa x x ⎛⎫>-> ⎪⎝⎭．令()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，该函数在(0)∞，＋上为增函数，可知()f x 的值域为()1∞－，＋，故1a >-时，存在正数x 使原不等式成立，故选D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2013年全国Ⅱ，文13，5分】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是______．【答案】15【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有2510C =种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为21105=．（14）【2013年全国Ⅱ，文14，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__ ____．【答案】2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+ ，BD BA AD AD DC =+=-，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．（15）【2013年全国Ⅱ，文15，5分】已知正四棱锥O ABCD -则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为_______．【答案】24π【解析】设正四棱锥的高为h ，则213h ⨯=，解得高h =．所以OA =2424ππ=．（16）【2013年全国Ⅱ，文16，5分】函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_______．【答案】56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅱ，文17，12分】已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由题意，211113a a a =，即2111()1012()a d a a d ＋＝＋．于是1225(0)d a d ＋＝．又125a ＝，所以0d ＝ (舍去)，2d =-．故227n a n =-+．（2）令14732n n S a a a a -=+++⋯+．由（1）知32631n a n -=-+，故32{}n a -是首项为25，公差为6-的等差数列．从而()()2132656328n n S a a n n n -=+=-+=-+．（18）【2013年全国Ⅱ，文18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．（1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）设12AA AC CB ===，AB =1C A DE -的体积．解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA CD ⊥．由已知AC CB =，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．又1AA AB A = ，于是CD ⊥平面11ABB A ．由12AA AC CB ===，AB =得90ACB ∠=︒，CD1A D =DE =13A E =，故22211A D DE A E +=，即1D E A D ⊥．所以111132C A DE V -⨯=．（19）【2013年全国Ⅱ，文19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率．1解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=．所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．（20）【2013年全国Ⅱ，文20，12分】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为．（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =P 的方程．解：（1）设()P x y ，，圆P 的半径为r ．由题设222y r +=，223x r +=．从而2223y x +=+．故P 点的轨迹方程为221y x -=．（2）设00()P x y ，=．又P 点在双曲线221y x -=上，从而得002210||11x y y x -=⎧⎨-=⎩ 由00220011x y y x -=⎧⎨-=⎩得0001x y =⎧⎨=-⎩，此时，圆P 的半径r =3．由00220011x y y x -=-⎧⎨-=⎩得001x y =⎧⎨=⎩，此时，圆P的半径r =．故圆P 的方程为()2213x y +-=或()2213x y ++=．（21）【2013年全国Ⅱ，文21，12分】已知函数2()x f x x e -=．（1）求()f x 的极小值和极大值；（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为()-∞+∞，，()()2x f x e x x -'=--．① 当)0(x ∈-∞，或2()x ∈+∞，时，()0f x '＜；当)2(0x ∈,时，()0f x '＞．所以()f x 在()0-∞,，(2)+∞，单调递减，在(0)2,单调递增．故当0x =时，()f x取得极小值，极小值为()00f =；当2x =时，()f x 取得极大值，极大值为()224f e -=．（2）设切点为()()t f t ，，则l 的方程为()()()y f t x t f t ='-+．所以l 在x 轴上的截距为()()223'()22f t t t t t f t t m t t -=+=-++--=．由已知和①得()02()t ∈-∞+∞ ，，．令()()20h x x x x+=≠，则当0()x ∈+∞，时，()h x的取值范围为⎡⎤+∞⎣⎦；当2()x ∈-∞-，时，()h x 的取值范围是()3-∞-，．所以当()02()t ∈-∞+∞ ，，时，()m t的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，．综上，l 在x轴上的截距的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号．（22）【2013年全国Ⅱ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且··BC AE DC AF =，B ， E ，F ，C 四点共圆．（1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽，所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒．所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有CE DC =又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M 点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b cb c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。

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正
视侧
视
俯视图
株洲市二中2013届高三年级第二次月考
数学试卷（文科）
一、选择题：（解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 1．函数x
x x f 2
)1ln()(-+=的零点所在的区间是（） A ．)1,2
1(
B ．)1,1(-e
C ．)2,1(-e
D ．)
,2(e
2．已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，则直线21//l l 的一个充分条件是 ( )
A ．α//1l 且α//2l
B ．α⊥1l 且α⊥2l
C ．α//1l 且α⊄2l
D ．α//1l 且α⊂2l
二、填空题（解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
3.若集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，则B A 等于． 4．复数
11i
i
-+ 的虚部为．
5．程序框图如图所示，其输出结果A= ．
6．已知2
22
10)x y a a
-=>12双曲线（的两个焦点分别为F ,F ,P 为双曲线上一点，，
90PF 21=∠F 则|PF ||PF |21的值为．
7．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图所对应的三角形是边长为1的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，则这个几何体的体积等于．
8．已知实数x 、y 满足,033042022⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥+-≥-+y x y x y x 所表示的平面区域为M 。

若函数1)1(++=x k y 的图象经过区域M ，则
实数k 的取值范围是．
9．已知()f x 是定义在R 上的函数，对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +=+，若函数(1)f x -的图象关于
直线1x =对称，则）（2012f 等于．
10．极坐标方程θρsin 6=与参数方程123x pt
y t =+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数，R p ∈）所对应曲线的交点个数
为．
11．设等比数列{}n a 的公比1
2
q =，前n 项和为n S ，则44S a 的值为．
12.朱大有通过做游戏的方式来确定中秋节活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于21，
则去赏月；若此点到圆心的距离小于41
，
则去打篮球；否则在家看书，则大有不在家看书的概率为。

13. 设ABC ∆是边长为1的正三角形,则CA CB +
= 。

14.给出下列命题：
①已知 a b m ，，都是正数，且
a m a
b m b
+>+，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若()0x R f x '∀∈≥，，则(1)(2)f f <一定成立；
③命题“x R ∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题； ④“1x ≤，且1y ≤”是“2x y +≤”的充分不必要条件.
其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
15．若对任意,x A y B ∈∈，（,A RB R ⊆⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y 为关于,x y 的二元
函数。

定义：满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数,x y 的广义“距离”:
(1)非负性：
(,)0f x y ≥,当且仅当x y =时取等号；(2)对称性：(,)(,)f x y f y x =;
(3)三角形不等式：
(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立．给出三个二元函数:①2(,)()f x y x y =-;②(,)f x y x y =-;
③(,)f x y =
．
请选出所有能够成为关于,x y 的广义“距离”的序号_____________．
三、解答题：（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
16．（本题满分12
分）已知向量2(2cos ,)m x = ，(1,sin 2)n x = ，函数()f x m n =⋅
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值． 17．（本题满分12分）已知ABCD 为平行四边形，
2
AB =
，BC =45ABC ∠=︒，BEFC 是长方形，S 是EF 的中点，
,5=BE 平面⊥BEFC 平面ABCD ，
（Ⅰ）求证：SA BC ⊥；
（Ⅱ）求直线SD 与平面BEFC 所
成角的正切值．
18．（本题满分12分）为了解学生身高情况，某校以%10 的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，
测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校男生的人数; （2）估计该校学生身高在170~185cm 之间的概
率
（3）从样本中身高在
180~190cm 之间的男
生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm 之间的概率
19．（本小题满分13分）市二中为了解决教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一栋总建筑面积为a （m 2）的宿舍楼，已知土地的征用费为2388元/m 2,且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍。

经工程技术人员核算，第1、2层的建筑费用相同，都为445元/m 2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m 2,试设计
F
E
D
C
B
S
这栋宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用。

（总费用为建筑费用和征地费用之和）
20 （本小题满分13分）
已知()()2,ln 2
3
+-+==x ax x x g x x x f
(Ⅰ)如果函数()x g 的单调递减区间为⎪⎭
⎫
⎝⎛-
1,31,求函数()x g 的解析式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数y=()x g 的图像过点P(1,1)的切线方程; (Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'
+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.
21.（本小题满分13分）
在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点,A B 的坐标分别为()1,0A -，()1,0B ，平面内两点,G M 同时满足
下列条件：①0GA GB GC ++= ；②MA MB MC ==
；③//GM AB
（1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；
（2）过点()3,0P 的直线与（1）中的轨迹交于,E F 两点，求PE PF
的取值范围。

株洲市二中2013届高三第二次月考
文科数学答卷
时量：
120分钟分值：150分
一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）
（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
10、11、
12、13、14、
15、；。

三、解答题（共6小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．。