摩尔库伦主应力表达式
莫尔-库伦失效准则(2012)
莫尔-库伦失效准则Joseph F. Labuz •Arno Zang1、概述莫尔-库伦失效准则是一组在主应力空间内描述各向同性材料破坏状态的线性方程，中间主应力σ2产生的一切影响都可以忽略不计。
莫尔-库伦失效准则可以被写作最大主应力和最小主应力的函数或者任意主应力和破坏面上剪应力的函数。
当所有的主应力都是压力时，试验结果证明这个准则十分适用于单轴抗压强度远大于单轴抗拉强度的岩石材料，例如C0/T>10的情况。
由于理论上应有的单轴抗拉强度在试验中是被假定不考虑的，因此当有拉应力作用时，需要对准则做一些修正。
莫尔-库伦失效准则可以被认为是莫尔和库伦的共同贡献。
莫尔的条件是基于破坏只取决于σ1和σ3，破坏包络线的形状以及作用在破坏面上的相应σ和τ都可能是线性或者非线性这一假设（莫尔1900）。
库伦的条件是基于确定使材料在某个平面发生破坏的σ—τ临界关系而绘制的一组线性破坏包络线（库伦1776）。
保罗（1968）描述了一组考虑中间主应力影响的线性破坏包络线，Meyer和Labuz于2012年对其进行了补充。
2、背景库伦，在他的挡土墙研究中提出这样的关系：丨τ丨=S0+σtanφ（1）其中，S0是固有的剪切强度，也称内聚力，φ是内摩擦角，μ=tanφ为内摩擦系数。
与特雷斯卡准则只有一个材料系数不同，这个准则包含两个材料常数（Nadai1950）。
如图1所示，式（1）在莫尔图中表示为一条与σ轴倾角成φ角度的直线。
通过建立与该直线相切的莫尔圆（表示破坏时的应力状态），利用三角关系，可以得出由主应力表示的式（1）的变形：（σ1—σ3）=（σ1+σ3）sin φ+2S0 cos φ（2）莫尔破坏准则的一种形式就是：τm= f（σm）（3）其中，τm=（σ1—σ3）/2，σm=（σ1+σ3）/2。
已知式（3）所给的关系，莫尔包络线就可在图 1 σ—τ图中画出来，应力状态达到临界则发生破坏，直径（σ1—σ3）的圆与破坏包络线τ=g（σ）相切。
摩尔库伦屈服准则三维-概述说明以及解释
摩尔库伦屈服准则三维-概述说明以及解释1.引言1.1 概述摩尔库伦屈服准则是材料力学中一项重要的准则，用于描述材料在受到外力作用下变形和破坏的行为。
该准则由奥地利工程师摩尔库伦于1920年提出，经过多年的实验验证和理论推导，被广泛应用于材料科学与工程领域。
摩尔库伦屈服准则基于以下假设：材料在受力时，当其承受的正应力达到一定临界值时，就会发生可见的变形或破坏。
这个临界值称为屈服强度，是材料的一个重要力学性质。
摩尔库伦屈服准则从力学的角度出发，将材料的破坏看作是某一点处的应力超过了材料的屈服强度。
在实际应用中，我们可以通过在材料表面施加不同的载荷，然后测量应力和应变的关系来确定材料的屈服强度。
摩尔库伦屈服准则的应用非常广泛，涵盖了各个工程领域。
例如，它可以用于金属材料的设计和评估，帮助工程师选择合适的材料以承受特定的载荷。
此外，它还可以应用于弹性材料、塑性材料、复合材料等不同类型的材料，为工程设计和材料选择提供依据。
尽管摩尔库伦屈服准则在材料科学与工程领域具有广泛的应用，但其也存在一些局限性。
首先，该准则假设材料处于单轴应力状态，即只考虑一种应力方向的作用。
然而，在实际工程中，材料通常会承受多种应力方向的作用，这就需要根据实际情况进行修正和扩展。
此外，摩尔库伦屈服准则也未考虑到一些其他因素，如材料的疲劳性能、高温环境下的行为等，因此在实际应用中需要结合其他理论和实验数据进行综合考虑。
总之，摩尔库伦屈服准则是描述材料变形和破坏行为的一种重要方法。
它为工程师提供了一个分析和评估材料性能的工具，同时也为材料科学研究提供了理论基础。
然而，在实际应用中仍需要注意其局限性，并结合其他理论和实验数据进行综合考虑，以更准确地评估材料的力学性能。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以是对整篇文章的大致安排和组织方式的介绍。
以下是一个可能的内容示例："1.2 文章结构本文将主要围绕着摩尔库伦屈服准则展开深入探讨。
摩尔-库仑模型与其在FLAC3D中的应用
摩尔-库仑模型及其在FLAC3D 中的应用摘要: 本文首先阐述了塑性流动理论的增量方程，结合摩尔库仑破坏准则和拉伸破坏准则形成了FLAC 3D中采用的摩尔库仑本构模型，并指出不同的应力计算值I ij σ条件下N ij σ的计算方法。
最后通过模型试验与解析方法进行对比，发现FLAC 3D计算结果与简单模型下精确的解析解吻合较好，但在变性较大时逐渐出现一定偏差。
关键词: 摩尔-库仑模型，增量方程，流动法则，FLAC 3D1. 塑性流动理论的增量方程 一般情况下，破坏准则可表示为()0n f σ=（1）式中，f 为已知屈服函数，用来判定塑性流动开始产生。
在主应力空间中，为一曲面，落在曲面内的应力点为弹性状态。
塑性状态下的应变增量可表示为弹性应变增量和塑性应变增量之和：e p i i i εεε∆=∆+∆（2）弹性应变增量和弹性应力增量的关系表示为：()e i i n S σε∆=∆ （3）式中，i S 为弹性应变增量的线性方程。
流动法则规定了塑性应变增量向量的方向，即与塑性势面的方向垂直，表示为：p i igελσ∂∆=∂（4） 得到的新的应力矢量应满足屈服方程：()0n n f σσ+∆=（5）式（5）提供了一个估计塑性应变增量矢量的表达式。
将式（2）代入式（3），且考虑到i S 为线性函数，得：()()p i i n i n S S σεε∆=∆-∆（6）再将流动法则（4）代入得：()()i i n i ngS S σελσ∂∆=∆-∂（7） 假定破坏函数()n f σ为线性函数，式（5）可表示为：*()()0n n f f σσ+∆= （8）式中，*f 代表函数f 减去其常量值，*(.)(.)(0)n f f f =-。
对于位于屈服面上的应力点，()0n f σ=，式（8）可转化为，**(())(())0n n n ngf S f S ελσ∂∆-=∂（9） 此时，定义新的应力分量为：N i i i σσσ=+∆（10）()I i i i n S σσε=+∆ （11）根据式（11），可得：*()(())I n n n f f S σε=∆ （12）综合式（9），（12），可得λ：*()(())(0)In n n n f f S g f σλσ=∂∂-（13） 根据应力增量表达式（7），估算应力（11），新的应力（10）可表示为：()N I i i i ngS σσλσ∂=-∂（14） 2. 莫尔库伦模型（IN FLAC3D ）莫尔库伦模型的破坏包线包括两部分，一段剪切破坏包线和一段拉伸破坏包线。
摩尔库伦本构模型
摩尔库伦本构模型摩尔库伦本构模型是一个用于描述材料的力学行为的理论模型，通过将材料的应力与应变之间的关系表示出来，帮助我们理解材料的变形和力学性质。
在本文中，我将深入探讨摩尔库伦本构模型的原理、应用以及其在不同领域中的重要性。
首先，让我们来了解一下摩尔库伦本构模型的基本原理。
该模型建立在两个关键概念上：弹性变形和塑性变形。
弹性变形是指材料在受到外部力作用后，能够恢复到原始形状的性质。
而塑性变形则是指材料在受到外部力作用后，无法完全恢复到原始形状的性质。
在摩尔库伦本构模型中，用应力（stress）来表示外部力对材料的作用，而应变（strain）则表示材料的形变程度。
该模型使用应力-应变曲线来描述材料的力学性质，并根据曲线的形状将材料分为不同的类型，如弹性材料、刚性材料和塑性材料等。
摩尔库伦本构模型的应力-应变曲线通常分为两个阶段：线性弹性阶段和塑性阶段。
在线性弹性阶段，材料的应力与应变呈线性关系，这意味着材料在这个阶段内具有理想的弹性行为。
然而，一旦应力超过材料的屈服点，材料将进入塑性阶段，应力和应变之间的关系不再是线性的。
材料在塑性阶段内会发生一些不可逆的变形，例如材料的延展性增加或变薄。
在实际应用中，摩尔库伦本构模型被广泛用于材料力学的研究和设计中。
通过使用该模型，工程师可以对材料的力学性能进行准确的预测和分析，从而帮助他们选择合适的材料和优化设计。
该模型还可以应用于材料的加工过程中，通过控制应力和应变的分布来改善产品的质量和性能。
此外，摩尔库伦本构模型在材料科学和工程领域中的重要性不仅仅局限于力学性质的研究。
它还可以用于描述材料的热力学行为、电磁性质以及化学反应等方面。
例如，通过将应力-应变曲线与温度和时间的变化相结合，可以研究材料的热膨胀性质和热传导性能。
总结起来，摩尔库伦本构模型是一个重要的力学模型，用于描述材料的应力-应变关系和力学性质。
它可帮助我们理解材料的变形行为，为材料的选择、设计和加工提供依据。
一个新的D-P类准则及其应用
一个新的D-P类准则及其应用曾新发;彭振斌;何杰;彭凯【摘要】基于Mohr-Coulomb(M-C)准则及平面应变条件,建立了非关联流动法则的D-P准则.该准则引入了塑性体积应变,所求的塑性体积应变增量和M-C准则相等,在π平面上,当应力罗德角小于零时,建议的D-P准则与以往的外角外接圆及内切圆相比,能更好地反映土体应力应变的实际特性.在边坡稳定分析中,相比其他D-P 类准则,建议的D-P准则计算得到的边坡稳定安全系数与条分法结果十分吻合.在地基极限荷载的求解上,所得的极限荷载与滑移线场与Prandtl理论解趋于一致.【期刊名称】《东北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(034)012【总页数】5页(P1787-1791)【关键词】屈服准则;剪胀角;非关联流动法则;塑性势函数【作者】曾新发;彭振斌;何杰;彭凯【作者单位】中南大学地球科学与信息物理学院,湖南长沙410083;中南大学地球科学与信息物理学院,湖南长沙410083;湖南工业大学土木工程学院,湖南株洲412007;中国水电顾问集团中南勘测设计研究院,湖南长沙410014【正文语种】中文【中图分类】TU411.3极限荷载下滑移线场的解答有逾百年的历史，但对速度滑移线场及速度的求解还存在一些问题[1-2].求解一般采用正交流动法则，而岩土材料不服从上述法则.此外，关联流动法则下，速度矢量方向与速度滑移线成角(为内摩擦角)，这与速度矢量方向应在速度滑移线的切向方向相悖.目前岩土材料常采用摩尔-库仑准则(M-C)和德鲁克-普拉格准则(D-P)，M-C准则能较好地反映岩土材料拉压特性，但是在三维应力空间中屈服面存在奇异点导致数值计算不收敛，前人对此作了一些修正[3-6].经典D-P准则[7]在π平面上是M-C准则的内切圆，其他D-P类准则还有M-C 外角外接圆、内角外接圆、摩尔库仑等效面积圆[8]及张鲁渝的摩尔匹配圆[9]等.在边坡稳定分析中，经典D-P计算的塑性区域一般偏大，摩尔库仑等效面积圆与摩尔匹配圆计算的安全系数偏差分别在6%及3%左右.但摩尔匹配圆认为塑性体变为零，这与岩土材料在剪切过程中会产生一定体变相矛盾.有鉴于此，本文建立了非关联流动法则下D-P准则.理论和有限元数值分析结果表明，在边坡稳定分析中，该准则实现了与M-C准则精确匹配，在计算地基极限承载力等受压剪的问题方面，实现了与Prandtl解及应力滑移场的吻合.1 新D-P屈服准则的建立1.1 主要方程的推导在三维应力空间中D-P准则可写为(1)式中：I1,J2分别表示应力张力第一不变量、应力偏量第二不变量；aφ,k是材料参数.M-C准则与D-P准则应用广泛，但也各有其优缺点.本文在两者基础上，推导出一个新的非关联的D-P准则.众所周知，当σ1≥σ2≥σ3时，M-C准则写成主应力表达式为(2)式中：c,φ分别为黏聚力和内摩擦角.所谓屈服，对于弹塑性材料而言，就是材料发生塑性应变；对于理想弹塑性材料而言，屈服就意味着材料的破坏.可以这样理解，在非关联流动法则下，假定M-C准则的塑性势函数QMC与屈服函数FMC有类似的形式：(3)式中Ψ为剪胀角.同样，在非关联流动法则下，假定D-P准则的塑性势函数QDP与屈服函数FDP 有类似的形式：(4)式中aψ为材料参数，是关于ψ的函数.由塑性理论，M-C准则与D-P准则的塑性应变可分别写成(5)式中：为塑性应变增量的分量；σij为应力张量分量；dλ为比例系数.对式(3)求导有(6)令由式(4)得(7)式中si为偏应力张量.假定由M-C准则确定的主应变增量与由D-P准则确定的主应变增量相等：(8)将式(6)，(7)代入式(8)得(9)另有补充方程：s1+s2+s3=0.(10)由式(9)，(10)得aψ=sinψ/3.(11)在非关联流动法则下，剪胀角与内摩擦角的关系为ψ=φ/2[1]，将其代入式(11)得(12)为了确定式(1)中的参数aφ,k，由平面应变条件有在主应力空间中，应力偏量第二不变量：J2= [(σ11-σ22)2+(σ33-σ22)2+(13)由式(4)，(5)及有(14)进一步有s33=σ33-I1/3,(15)(16)由式(16)及I1=σ11+σ22+σ33得(17)进一步有(18)令(19)式中R代表摩尔圆的半径.将式(17)～(19)代入式(2)：(20)整理得(21)根据摩尔库伦准则，在破坏状态有(22)比较式(21)及(22)可得(23)将式(11)代入式(23)有(24)式(24)即为非关联流动法则的D-P准则.非关联流动法则下，塑性应变增量由塑性剪应变分量与塑性体应变分量组成，由可知该准则考虑了塑性体应变对屈服的影响.当塑性体应变为零时，可得aψ=0，代入式(23)有aφ=1/3sinφ,k=ccosφ.(25)式(25)为张鲁渝的摩尔匹配D-P准则.1.2 π平面上M-C与D-P的关系在偏平面上，摩尔库仑准则与D-P准则有如下关系，见图1.为方便起见，图1中只绘出了摩尔外角外接圆(DP1)、摩尔等效面积圆(DP2)、张鲁渝摩尔匹配圆(DP3)及本文的DP4.图1 π 平面上D-P准则与M-C准则的关系Fig.1 M-C criterion and D-P criteria on π plane需要指出的是，本文提出的DP4准则的aφ,k是在破坏状态及平面应变条件下得到的，对于理想弹塑性材料而言，也就是一个破坏准则.对于非平面应变条件，也可以作为近似计算.在平面应变条件下，应力罗德角θ大约在-13.0°～-20°之间[10-11]，有关研究表明，当应力罗德角θ接近-30°时，土体的实际破坏面略大于M-C破坏面[12]，然而由图1不难看出，当应力罗德角θ接近-30°时，本文建议的DP4准则略大于M-C屈服面，刚好可以反映土体的这一特性.2 算例分析2.1 边坡稳定有限元分析本文采用强度折减法[13]，参考文献[13]的算例进行该准则的可靠性验算.均质边坡，坡高H=20 m，土容重25 kN/m3，黏聚力42 kPa，内摩擦角17°，弹性模量1000 kPa，泊松比为0.3，坡度为45°，有限元计算网格如图2所示，作为对比，进行了不同坡高的计算，连同极限平衡条分法(Spencer法)的计算结果汇总如表1所示.图2 边坡稳定计算有限元网格Fig.2 Mesh for analysis of slope stabilization 表1 计算的安全系数对比Table 1 The comparison of calculated safe factors计算条件H=20mH=30mH=40mDP11.3681.1190.994DP21.1280.9230.820DP31.0680. 8680.771DP41.0590.8630.767Spencer法1.0620.8660.762|FDP1-FS|/FS28.8%29.3%30.5%|FDP2-FS|/FS6.2%6.6%7.6%|FDP3-FS|/FS0.6%0.2%1.2%|FDP4-FS|/FS0.3%0.3 %0.7%由表1可知，与Spencer 法相比，DP1所得的结果偏大，采用摩尔库仑等效面积圆DP2的结果误差在6%附近，采用摩尔匹配圆DP3准则的误差在1%左右，本文建议的DP4准则误差在0.5%左右.计算表明，采用本文建议的DP4准则较DP3准则得到的最危险滑移面更加接近Spence法的结果，如图3所示.图3 边坡滑动面的预测结果Fig.3 The predicted slip surface of slope2.2 地基承载力分析Prandtl在1920年依据塑性理论，对于一承受竖向均布荷载的半无限刚塑性无重地基，得到的地基承载力的理论解为qu=ccotφ[exp(πtanφ)tan2(π/4+φ/2)-1].(26)当φ=0时，qu=(2+π)c.式中：c为黏聚力;φ为摩擦角.其滑动区域由主动区(Ⅰ)、径向剪切区(Ⅱ)及被动区(Ⅲ)构成，见图4.图中，α表示Rankine 主动区(Ⅰ)与水平面的夹角，被动区与水平面的夹角为β，h为Rankine主动区深度，B为均布荷载的宽度，L为水平向塑性区范围.图4 Prandtl 理论解的几何模型Fig.4 The geometric pattern for Prandtl solution在地基承载力计算中，极限承载力采用有限元增量加载法[14]，计算的网格如图5所示，不同的准则可按文献[14]的方法进行等效转换.D-P屈服准则条件下计算的结果见表2，塑性区应力滑移线场中相关参数可以测量得出.图5 地基有限元网格Fig.5 Finite element mesh of foundation由表2可以看出，DP1计算的极限荷载与理论解相差较大，而DP3计算的结果与理论解基本一致；在变形方面，如水平向塑性区范围，DP1计算的结果与Prandtl 解比较接近，最大相差3.3%；DP3的结果相对偏差较大，最大相差21.1%.采用本文建议的DP4准则计算的承载力与变形结果与理论解十分接近，最大差分别为2%，3%.表2 有限元计算结果与Prandtl解比较Table 2 Comparative results between Prandtl and FEM solutionsφ/(°)计算条件极限承载力Pu/kPaα/(°)β/(°)hL0Prandtl51.445.045.00.50B1.00BDP160.245.548.20.52B1.03BDP352.245.544.00.49B0.98BDP452.245.544.00.49B0.98B15Prandtl109.8 52.537.50.65B1.99BDP1180.152.036.50.68B2.00BDP3110.052.045.00.71B1.57BDP4112.153.037.00.66B2.01B30Prandtl301.460.030.00.87B4.29BDP1445. 362.532.51.03B4.15BDP3310.463.445.01.00B3.51BDP4304.961.229.80.91B4. 30B3 结论1) 基于非关联流动法，建立了DP4准则，并在平面应变条件下得到了准则的参数aφ,k.该准则引入了体变，更加符合岩土材料的特性，所求的塑性体积应变增量和M-C准则相等.2) 计算表明，在边坡稳定分析中，与以往的D-P准则相比，该准则所得的安全稳定系数与极限平衡法更加接近.3) 在关联流动法则下，采用DP1计算的变形与Prandtl解相对较为接近，但承载力与Prandtl解相差很大.采用DP3所得的极限承载力的结果与Prandtl解较接近，但在变形(如塑性区的范围)方面，结果与理论解偏差过大.4) 本文建议的非关联流动准则(DP4)，无论是极限荷载还是滑动面破坏变形特性，所得的结果与Prandtl精确解极为接近.参考文献：[1] Zhao L H,Yang F.Construction of improved rigid blocks failure mechanism for ultimate bearing capacity calculation based on slip-linefield theory[J].Journal of Central South University,2013,20(4):1047-1057. 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10分钟认识剑桥模型
10分钟认识剑桥模型王川第一节：认识“临界状态”首先，大家一定接受以下两张图（无数实验已经证明过）：图1 摩尔库伦强度理论图2 土的压实曲线（e为孔隙比，p’为有效应力）那么，如果把τ换成偏应力q（其中q=σ1-σ3），把σ换成平均主应力p（其中p=(σ1+2σ3)/3，p’表示其有效应力），就得到三轴实验中的p-q曲线：图3 p-q曲线土样的体积由固体颗粒和空隙组成，由于固体颗粒不可压缩，故土样体积的变化完全取决于空隙的变化，即土样体积v和孔隙率e描述的物理意义等价。
那么，将图2中e替换为v，就得到v-logp曲线：图4 v-logp曲线与图1和图2一样，图3和图4同样经历了无数实验的验证，属于“事实”。
基于图3和图4的定量分析以及实验观察，可以得出一个结论，这个结论就是临界状态（critical state）：无论土样的初始状态和经历的应力路径如何，在剪切的最终阶段，只有剪应变在持续增加，而土样所受的有效应力和体积趋于不变。
临界状态由图3和图4同时确定，因此图3和图4中的曲线也叫临界状态线CSL （Critical State Line）。
将临界状态现象翻译成数学语言：（1）体积不变对应于，为p’引起的体积的改变；（2）剪应变在变对应于，为q引起的剪应变；（3）有效应力不变等价于q与p’的比值为常量。
若令在一般情况下，有（被叫做应力比），则可以定义临界状态下的应力比：（被叫做临界状态应力比）。
从图3中能看出，M为常量，即“有效应力不变”。
◆第二节：剑桥模型假设（1）所有的剪应变都不可恢复，即（为弹性剪应变），（为塑性剪应变）。
（2）假定塑性变性能增量可表示为：（这一假设看不懂没关系，继续往后看）。
（3）相关联流动法则：（与塑性力学中关联流动一致）。
◆第三节：剑桥模型推导从能量角度推导屈服函数：应变能的增量等于主应力p’和偏应力q所做的功，即（式1）因为：（此处用了假设1）所以：（式2）（此处用了假设2）由式1和式2得：（式3）根据（假设1），整理式3得：d为剪胀系数，表示塑性应变的方向（因为d体现了与的相对大小，与塑性力学中流动法则表达得意义一致）；为剪胀方程。
摩尔库伦弹塑性模型简介
6.3 Mohr －Coulumb 弹塑性模型简介6.3.1 弹性－理想塑性材料的力学行为弹塑性的基本准则是应变和应变增量可分解为弹性和塑性两部分:pe εεε+= •••+=pe εεε（3.1）利用Hook 定律将应力速率和弹性应变速率联系起来。
将式（3.2）带入Hook 定律可得：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==••••p eeeD D εεεσ,(3.2)根据经典塑性理论（Hill ，1950），塑性应变速率与屈服函数对于应力的导数成正比。
因此，塑性应变速率可表示为与屈服面垂直的矢量。
这一理论的经典形式采用了相关联的流动法则。
对于莫尔一库仑模型的屈服函数，相关联的流动法则计算出的土体的剪胀角偏大，因此，除屈服函数之外，引进了塑性势函数g 。
f g ≠的情形被称为不相关联的流动法则。
一般地，塑性应变速率可写作:,σλε∂∂=•g p（3.3）式中：λ是硬化参数，如材料只发生弹性变形，0=λ，然而在塑性变形的情况下λ是一个正值：0=λ 当0<f 或0'≤∂∂•εσeT D f （弹性）0>λ 当0=f 或0'>∂∂•εσeT D f （塑性）有效应力增量和应变速率之间的关系为：••⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=εσσασe T e e D f g D d D '',（3.5a ）''σσ∂∂∂∂=g Df d eT （3.5b ）式中α作为转换参数。
如果是弹性材料，0=α；如果材料表现出塑性，α为一非零常数。
以上所述的塑性理论仅限于光滑屈服面，并且不包含莫尔一库仑模型中所涉及到的多重屈服面。
为了解释这样的屈服面中包含两个或多个塑性势函数的流动法则，Koiter(l 960)和其他学者将塑性理论进行了推广。
+∂∂+∂∂=•'22'11σλσλεg g p（3.6）类似得，几个准独立的屈服函数（ 21,f f ）用来确定硬化参数（ 21,λλ）的大小。
莫尔-库伦强度理论
☺基本思想：岩石在不同的正应力和剪应力组合下，丧失承载 力沿某个面发生破裂。
f ( )
o
0.主要内容
➢平面应力状态 ➢莫尔强度理论 ➢莫尔-库伦强度理论 ➢深度分析 ➢应用
0.主要内容
➢平面应力状态 ➢莫尔强度理论
岩土力学
莫尔-库伦强度理论
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➢平面应力状态
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1.平面应力状态-计算图式
y
yx
xy
n
xy
n
x
n
x
xy
x
n
yx y
图1、平面应力状态
yx y
☺最后可得出
tan c
4.深度分析-主应力表达式
1 3
sin
c
cot
2
1
3
2
1 3
1 3 2c cot
tan c
o
c cot
c 1
1 2 2
1 2 2
1
1 1
sin sin
3
2c cos 1 sin
令， = 1 sin ; 1 sin
c
2c cos 1 sin
1
1= 3 c
cos2 sin2
cos 2
2
tg 45
1 sin 2
sin
2
cos
2
2
cos sin
22
sin cos
22
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摩尔库伦主应力表达式
摩尔库仑主应力表达式是描述岩石内部应力分布的一种数学模型。
摩尔库仑主应力表达式根据力学原理，将岩石内部应力分解为三个主
应力分量，并通过物理性质和地质力学条件来描述这三个主应力分量
的关系。
摩尔库仑主应力表达式的公式为：
σ1 = σv + (σH - σv) * cos^2(2φ) + ((σH - σv)/2) * (1 + cos(4β))
σ2 = σv + (σH - σv) * cos^2(2φ) - ((σH - σv)/2) * (1 + cos(4β))
σ3 = σv - (σH - σv) * cos^2(2φ)
其中，σ1、σ2、σ3表示三个主应力分量的大小；σv表示纵向
应力，即垂直于岩体主应力方向的应力；σH表示水平应力，即沿着岩体主应力方向的应力；φ表示主应力方向与水平面的夹角；β表示主
应力方向与测量地面的夹角。
在摩尔库仑主应力表达式中，主要有两个核心参数：φ和β。
φ
是主应力方向与水平面的夹角，它是通过测量地下岩层断层面或者构
造面的倾向和倾角计算得到的，可以反映岩石内部的构造应力作用。
β则是主应力方向与测量地面的夹角，它是通过实地测量获取的，可
以反映地下地质条件对岩石应力分布的影响。
摩尔库仑主应力表达式的推导基于弹性体力学理论和实际地质现
象的观测结果。
根据弹性力学理论，岩石内部的应力服从一种方向一
致的应力场，且主应力的差值为常数。
根据实际地质现象的观测结果，岩石内部的应力分布往往受到地质构造和地下地质条件的影响。
当地质构造变化明显时，主应力方向会随之改变，因此岩石内部
的主应力分量也会随之变化。
摩尔库仑主应力表达式可以将这种复杂
地质构造下的应力分布转化为简单的数学模型，从而为工程设计和地
质勘察提供基础数据。
摩尔库仑主应力表达式的应用广泛，可以用于地下工程、石油开采、岩石力学等领域。
通过测量地下应力场和岩石参数，可以计算得
到岩石内部的主应力分布，从而为工程设计和地质灾害预测提供理论
依据。
总之，摩尔库仑主应力表达式是描述岩石内部应力分布的一种数学模型，通过将岩石内部的应力分解为三个主应力分量，并根据地质构造和地下地质条件来描述这三个主应力分量的关系，为工程设计和地质勘察提供重要的理论依据。