1.3标量函数的梯度

合集下载

1.3 标量场的梯度

1 1 R r r 2 R 3 R R R | r r |3
f ( R) f ( R)R
df df R R dR dR R df df R R dR dR R
21:38:25
f ( R) f ( R)R
14
2 2 ( x , y , z ) x y z 描述了空间标量例4 设一标量函数
12
产生场的场源所在的空间位置点称为源点，记为 ( x, y, z)或r
场所在的空间位置点称为场点，记为 ( x, y, z )或r 源点到场点的距离为 R | r r | 从源点指向场点的矢量为 R r r x
源点
z
R
场点Leabharlann rory表示对（x, y, z）运算,表示对（x, y, z）运算。
u u u u e x ey ez x y z u gradu
u gradu e l | gradu || el | cos l
标量场u的梯度，用 gradu 表示
| el | 1
u | gradu | cos l
梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。
同一个温度场中，其等温面沿不同方向的变化率不同： L1的方向导数为-3/10 L2的方向导数为-3/20 L3的方向导数为-3/8
2
1.3 标量场的梯度
若M0为标量场u(M)中的一点，标量场u(M)在点M0处沿l方向的方向导数为
u l
M0
u (r )
M M0
l
u(M ) u(M 0 ) lim l 0 l
l 2 2 x 2y 1 2

本科-工程电磁场03-标量场函数的梯度

2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
10
工程电磁场
主讲人：王泽忠
当 l 与坐标轴方向一致（如 x 轴），
则
u l

G
ex

u x
（方向导数作为偏导数理解）
当 l 方向与 G 方向一致时，方向导数值达到最大，
最大的方向导数为 G 。 G 是矢量 G 的模
梯度定义：
在标量场中任一点 M 处，如果存在矢量 G ，
主讲人：王泽忠
3） gradu v gradu gradv
4） graduv ugradv vgradu
5） grad( u ) 1 (vgradu ugradv) v v2
u u(M) u(M0 )
若当沿着 l , M M0 时，
比式 u u(M) u(M0 ) 的极限存在，怎么样？
l
l
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
3
工程电磁场
就称此极限值为
主讲人：王泽忠
函数 uM 在点 M0 处沿 l 方向的方向导数，
记作 du dl M0
9
工程电磁场
主讲人：王泽忠
根据矢量点积计算公式，可以看出
u l

u x
cos
u y
cos
u z
cos
Gຫໍສະໝຸດ el令表示矢量 G 与单位矢量 el 之间的夹角，
根据矢量点积的计算式，得
u l

G
el

G cos
对给定函数和给定点，G 是固定值，
随着 l 方向改变，变化，方向导数值随之变化

2.2数量场的方向导数和梯度.

3）在球面坐标系中：
3、梯度的性质
1）标量场的梯度是矢量场，它在空间某点
的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。
2）标量场在某个方向上的方向导数，是梯
度在该方向上的投影。
3）标量场的梯度垂直
于通过该点的等值面（或切平面）
4、梯度运算的基本公式
5.
梯度的重要性质
0
证：
ˆ x x x ˆ y y y
标量场梯度的旋度恒等于零。
ˆ z z z
2 2 2 2 2 ˆ( ˆ( ˆ( x F F) y F F) z F F) yz zy zx xz xy yx
2.2 标量场的方向导数和梯度
一、方向导数 1、定义：在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还需要知道场在不同方向上场变化的情况。应用方向性导数可以描述标量场在空间某个方向上变化的情况。
方向性导数表示场沿 l 方向的空间变化率。
u u lim | l M l 0 l
l
3、梯度的运算
1）在直角坐标系中：
u u u u ex ey ez x y z u 1 u u u er e ez r r z u 1 u 1 u u er e e r r r sin
2）在柱面坐标系中：
=0
例题：
若 R r r ' ，R R
在处理相对坐标的函数的梯度运算时，算子与算子 ' 可以互换，但改变其前的正负号。
证明：
1 1 ( ) '( ) R R
ex ey ez 说明： x y z ' ex ey ez x ' y ' z '

方向导数及梯度参考资料

1.3 标量场的梯度（Gradient of a Scalar Field
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。 ? 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
? 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
4/8/2020
26
§1.4 矢量的通量和散度
? 引入哈密顿算符 ? （矢性微分算符）
直角坐标内，
? ?e ? ?e ? ? ? e x ?x y ?y z ?z
则有: div ? ? ?
A
A
4/8/2020
27
§1.4 矢量的通量和散度
b.圆柱坐标
? ?A?
1?
? ??
(?A ? ) ?
1
?A? (
?r ?l
M
?
?r
? e?l
r 的梯度为
grad r
? ? r ? 1 (xe? ? ye? ? ze? )
rx
y
z
点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, r ? x2 ? y2 ? z2 ? 2
所以r在M点处的梯度为
gradr ? ? r ?
1 e?x ? 2
1 2
e?z
4/8/2020
14
而所以
RR
(2) ? ( 1 ) ? ? R ? ? e?R
R
R3
R2
(3) ? f (R) ? ?? ' f (R)
说明：
?? ?e? ?e ??e
?
' ? ?x?
x
e
??y?
y

N0.3-4--第一章标量场的梯度矢量场的散度旋度亥姆定理及矢量场的分类

div A = A
可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A ± B ) = A ± B (φ A ) = φ A ± A φ
20
1.2通量散度、通量、 §1.2通量、散度、散度定理
三、高斯散度定理
矢量场的散度代表其通量的体密度,因此散度的体积分等于穿过包围该体积封闭面的总通量:
（1）开曲面：沿封闭曲线 n的取法：
l 的绕行方向按右手螺旋的拇指方向
（2）封闭面：取为封闭面的外法线方向外法线方向
14
矢量A穿过整个曲面S的通量:
Φ = ∫ A ds = ∫ A nds
s s
如果S是一个封闭面, 则
Φ = ∫ A ds
S
15
1.2通量散度、通量、 §1.2通量、散度、散度定理
22
1.2通量散度、通量、 §1.2通量、散度、散度定理
同理
D y
q r 2 3y 2 = y 4π r5
D z q r 2 3z 2 = z 4π r5
故
Dx D y Dz q 3r 2 3( x 2 + y 2 + z 2 ) D = + + = =0 5 x y z 4π r
可见，除了点电荷所在源点 (r = 0)外，空间各点的电通密度散度均为，它是管形场。空间各点的电通密度散度均为0，可见，
（C点）
电偶极子的电力线和等位线 17
1.2通量散度、通量、 §1.2通量、散度、散度定理
b) 散度的分量表示式
穿过包围点P(x,y,z)的无穷小体积 v = xyz 的通量：的通量：计算 A 穿过包围点的无穷小体积右边向外流出的通量： A 穿过右边右边

完整版电磁场理论复习总结

完整版电磁场理论复习总结1.1 标量场和⽮量场1.2 三种常⽤的正交坐标系1.3标量场的梯度哈密顿算符：(⼀e —e —e z)x y z2.梯度的垄本运算公式1) VC-0 (C^S)2) V(Cu)⼆CVw3) V((/ ⼟巧⼆可肿⼟V7附4) V(/a T) = Z/V V +T V;/5) VF(u) = F r(u)Vu6) V(-) = -l(rV?/-i/Vv)v vFF cF7) ^7(^ v) = —Vw + — Vvdu dv式中：U育常報；级⽢为半标变最遢載;3”梯度的重要性质16CJ55 「「⼩V x V/z = 0产⽣场的场源所在的空闾位国点称为源点上记为am或7 场所在的疇间⾫置点称为场贞「记为(x,y\2｝或⼫源点到场点的距S?j?=|r-r| 从源点指向场点的⽮量为^ = r-F例3求鸥叫哙呻?刃畑％&R⾐⽰对仗」4运算R表⽰对运算.R^r-r1^J(x-A?)r+(y-/>:BR 、BR 、BR—MY臥叫帝M还W(R) = ARWR = ^-\R(lii dii fir ?S A dS A. A y A zdivA lim ——V 0 V x y zdivA A x A y A z Ax y zA e x( A z A y) e y( A x A z) e z(⼊sy z z x x y1) V Y C=02) Vx(i = A3) V x(H ±B) —V XJ1±V>.54) V x (u = uV y /< + V u KX B)=2J-V XJ4-J4-V X5l f ***** 4；jd' V x Vy - 0! 7)V (VxJ)-O：W屜囲焉唉屋?熾常数，址为标量函数「du电磁总复习第⼀章⽮量分析l ?Eit ⼗dit ?duIt= 0 r ——+ 0 L ——+&——标量场⼼的梯度. ex cy czV u =—yir rotAc'R ex R_y-y r漁—R 忑RVR = -RR'⽮童场的雄度1.4⽮量场的通量与散度三. 散度的运算公式])V C-02)V(Arl) = )tV^4) V (u A) =wV .4 + 4 Vw 沐为常数」为标量函数)- (IA5) V J(rt) - V// —du四、⾼斯定理(散度定理)L v知⼀丄％物理詳5G穿过⼀封闭曲⾓的总谓呈等于⽮虽散度的休秘分1.5⽮量场的环流与旋度-------------------- V VV v ?c A dl rotA nlim --S 0Sr r re x e y e zir irot A Ax y zA x A y A z4-症度计算相关公式:标葷场的梯度的旌度恒为零1G:2D3*酶点录场点df Rmax三、斯托克斯定理物理含义；—个⿂量场旋度的⾯税分導于演⽮量沿此由⾯周界的曲线眦四、⽮量场擬度的重要性质⼙（Vxj^O任意⽮量场I?度的散度等于議⽮量场有两种不同性质的源：（1）散度源（标量）（2）旋度源（⽮量）。

1-3梯度-散度-旋度

∂ ∂φ
如何记忆？
d ⇒∇ dl
笛卡儿坐标系中微分长度 G G
G
G
dl = axdx + aydy + azdz
∇
=
G ax
∂ ∂x
+
G ay
∂ ∂y
+
G az
∂ ∂z
dU ⇒ ∇ dl
柱面坐标系中微分长度
G dl
=
G ar
dr
+
G aφ
(
r
⋅
dφ
)
+
G az
dz
∇
=
G ar
∂ ∂r
+
G aφ
1 r
v∫
GG A • dS
=
∫ (∇ •
AG) dV
=
∫ 源dV
S
V
V
Example: Net positive flux
v∫
G A
•
G dS
>
0
S
Streamlines are directed away from the origin
4
矢量的“环量”
矢量的环量：该矢量沿闭合路径的标量线积分
G
GG
∫ 矢量 A沿G闭合路径 C的环量＝ A •dl
G ∇×B
=
G∂ ax(∂y
Bz
−
∂ ∂z
By)
G +ay
∂ ( ∂z
Bx
−?Bz
)
+aGz(∂∂x
By
−?Bx)
∇
=
G ax
∂ ∂x
+
G ay

标量场函数的梯度

。
M0
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
4
工程电磁场
主讲人：王泽忠
u lim u(M) u(M0 )
l M0
MMo
l
= lim u MMo l
du dl
M0
方向导数：标量场函数在一点M0 处沿某一方向 l 对距离的变化率
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
工程电磁场
主讲人：王泽忠
工程电磁场
王泽忠
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
1
工程电磁场
主讲人：王泽忠
1.3 标量场的方向导数和梯度
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
2
工程电磁场
主讲人：王泽
忠
1．方向导数的定义
要了解u M 沿任意方向的变化情况
需要计算u M 沿任意方向的导数
5
工程电磁场
主讲人：王泽
忠沿 l 方向是增加的
u 越大，增加得越快
l
u
当
l
Mo 0 ，沿 l 方向是减小的
u 越大，减小得越快 l
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
6
工程电磁场
主讲人：王泽
忠
u u u u
偏导数 x , y , z 是 l 的特例：
当 l 指向 x 轴正方向时， u u
M0
cos u y
M0
cos u z
M0
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
9
工程电磁场
主讲人：王泽

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

en
gradu gradu
记忆！！
（三）哈密顿（Hamilton）算子
➢ 引入一个算子
ex x ey y ez z 称为哈密顿算子。读作“del（德尔）”或
“nabla（那勃拉）”
直角坐标下的具体实例
u
(ex
x
ey
y
ez
)u z
u x
ex
u y
ey
u z
ez
gradu u
(四) 梯度运算基本公式
函数u(x,y,z) 沿其中哪个方向的变化率最大?
G
u x
ex
u y
ey
u z
ez
u l
G el
G
cos G, el
u G l max
u(x,y,z)沿G方向变化率最大矢量G的模也正好就是该最大变化率。
(二)梯度的性质 ➢ 一个标量函数（标量场）的梯度是一个矢量函数。
在给定点，梯度的方向就是函数变化率最大的方向，它的模恰好等于函数在该点的最大变化率的数值。又因函数沿梯度方向的方向导数
22
cos
1
1
12 22 22 3
cos 2 cos 23
3
u (u , u , u )(cos, cos , cos )
l x y z = 1 1 0 2 1 2 1 23 3 23 2
三、梯度(Gradient)
（一）梯度的定义：大小？方向？
el
l l
cos ex cos ey cos ez
1.3 标量函数的梯度
一、标量场？的等值面
➢ 在直角坐标系中，某一物理标量函数u可表示为
u ux, y, z
u u r, r = (x, y,z)
➢ u的等值面：随着C的取值不同，给出一组曲面
ux, y, z C
三维等值面互不相交二维等值线也是互不相交的
【例】设点电荷位于直角坐标系的原点，在它周围空
1 R
x
x2
y
y2
z
z2
1
2
x
x
x2
y
y2
z
z
2
1 2
ex
y
x
x2
y
y2
z
z2
1 2
ey
z
x
x2
y
y2
z
z2
1
2
ez
x
x ex
y
y ey
z
z ez
3
x
x2
y
y2
z
z2
2
1 R
R R3
eR R2
1 R
x
x2
y
y2
z
z2
12 ຫໍສະໝຸດ xxx2y
y2
z
z2
1
2
ex
y
x
x2
l = (cos, cos , cos )
l
u (u , u , u )(cos, cos , cos )
l x y z
➢ 意义
u 0 ，说明函数ux, y, z 沿 l 方向是增加的；
l
u 0 l
，说明函数 ux, y, z沿 l方向是减小的；
u 0 ，说明函数 ux, y, z沿 l 方向无变化。
间的任一点的电位是
x, y, z
q
40 x2 y2 z2
式中q 和0是常数。试求等电位面方程。
【解】令 x, y, z C（ C常数）即得到等电位面方程
C
q
40 x2 y2 z2
2
或
x2
y2
z2
q
4 0C
二、方向导数
➢ 目的：在研究标量场u时，需要了解标量函数在场中各个点地邻域内沿每一方向的变化情况。
➢ 定义：等值面沿某一给定方向的变化率。
u lim u M u M0
l l0 M0
l
其中参量定义描述：
M0 x0, y0, z0 M x0 x, y0 y, z0 z
l x2 y2 z2
x l cos, y l cos , z l cos l = (cos, cos , cos )
y
y2
z
z2
1
2
ey
z
x
x2
y
y2
z
z2
1 2
ez
'
1 R
R R3
eR R2
l
➢ 详细推导：
u u M u M0
u x u y u z O(l)
x M0
y M0
z M0
lim u M u M0 u cos u cos u cos
l 0
l
x M0
y M0
z M0
推广至任意点
u u cos u cos u cos
l x
y
z
➢ 向量表示法
u gradu 0
l max
梯度总是指向函数增大的方向。 ➢ 函数在给定沿任意方向的方向导数等于函数的梯
度在该方向上的投影
➢ 在任一点，标量场的梯度垂直于过该点的等值面，也就是垂直于过点的等值面的切平面。根据解析几何知识，过等值面点切平面的法线矢量是
u u u
n
x
ex
y
ey
z
ez
M
l
【例】求函数u x2 y2 z2 在点M 1,0,1 沿l ex 2ey 2ez 方向的方向导数。
【解】u
x
x x2 y2 z2
u y
y x2 y2 z2
u z
z x2 y2 z2
在点M 1,0,1有
(u , u , u ) ( 1 , 0, 1 )
x y z
C 0 （C为常数）
Cu Cu（C为常数）
u v u v
uv vu uv
u v
1 v2
vu
uv
f u f uu
结论：与对一般函数求导数的法则类似。
【例1-6】R x x2 y y2 z z2 试证明：
1 R
1 R
其中
ex
x
ey
y
ez
z
【解】