§1.2 标量场及其梯度
工程数学 标量场及其梯度
CQU
（6）梯度运算的几个基本关系式 • 相对坐标标量函数 f (r−r′)
∇f = −∇ ′f
证明 ：在直角坐标系中f (r−r′) = f (x− x′，y− y′，z− z′ ) 上式重写为
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ex + ey + e z = −( ex + ey + ez ) ′ ′ ′ ∂z ∂y ∂x ∂y ∂z ∂x
R = ( x − x ′) e x + ( y − y ′) e y + ( z − z ′) e z
R = [( x − x ′) 2 + ( y − y ′) 2 + ( z − z ′) 2 ]1/2
则
∂R 1 = [( x − x′) 2 + ( y − y′) 2 + ( z − z′) 2 ]−1/2 ∂x 2
∇f
P 1
= 4e 2-1-1 (2 e x − e y + e z ) = 4(2 e x − e y + e z )
R12 (−3 − 1) e x + (5 − 1) e y + (6 + 1) e z = = R12 [(−4) 2 + 4 2 + 7 2 ]1/2 = − 4 ex + 4 ey + 7 ez 81 = − 4 ex + 4 ey + 7 ez 9
1.2 标量场及其梯度
CQU
(2)方向导数与梯度的关系 偏导数
∂f ∂f ∂y ∂x 、
∂f 、 ∂z
分别叫做 ƒ 在x、y、z 方向
上的方向导数，用梯度表示为
∂f = (∇f ) x = ∇f e x ∂x ∂f = (∇f ) y = ∇f e y ∂y ∂f = (∇f ) z = ∇f e z ∂z
场论,标量场的梯度, 矢量场的散度和旋度ppt课件
若S 为闭合曲面
SA dS
在直角坐标系中，通量可以写成
ψ AdS Axdydz Aydzdx Azdxdy
S
S
物理意义：表示流入和流出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。 20
L
28
旋度的定义和运算
1、定义：
为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS 趋近于零, 取极限
curl(A)• nˆ lim L A dl
ΔS0 ΔS
这个极限的意义就是在一个点上的环流的面密度, 或称环量强度。Curl(A)叫做旋度。任 意方向的曲面的环流强度是旋度在这个方向上面的投影。
矢量a的旋度是一个矢量其大小是矢量a在给定点处的最大环量面密度其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时该面元矢量的方向因为旋度代表单位面积的环量因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲此式称为斯托克斯stokes定理
普通物理II: 数学准备(矢量代数)
场的定义,描述和类型
矢量运算: A B; A B; A • B; A B
y
Ay (Q)
Ay y
y
右+左 上+下
前+后
Ay xyz Ay V
y
y
Az xyz Az V
z
z
Ax xyz Ax V
x
x
z
A'
Q’
nˆQ
A Q (x, y, z) y
nˆQ'
x
(x, y y, z)
TotalFlux ( Ax Ay Az )V x y z
矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解教学内容
矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解1.梯度 gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy 处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。
如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。
可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。
梯度的数值有时也被成为梯度。
在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]2.散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分中：设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
1.2 标量场及其梯度
1.2 标量场及其梯度1.2.1 标量场的概念定义：在区域V 内的某种物理系统，其特性可以用标量函数ƒ(r ，t )来描述。
对于V 中任意一点r ，若ƒ(r ，t )有确定值与之对应，就称这个标量函数ƒ(r ，t )是定义于V 上的标量场。
由定义可知标量场有两个特点：①具有单值性；②占有一个空间。
标量场有两种：恒稳标量场ƒ(r )，时变标量场ƒ(r , t )表示。
标量场ƒ(r , t ) 在某时刻空间的分布可用等值面予以形象描绘。
它是该时刻ƒ(r )为同一值所有点构成的空间曲面。
在直角坐标中ƒ(r )的等值面方程ƒ(x,y,z ) = C (1.2.1)其中C 为常数。
绘制等值面的原则：应使相邻等值面的值差保持为定值。
等值面与平面相交所得的截迹线——等值线，一系列等值面（线）的疏密程度能定性反映标量场的变化情况，不同值的等值面（线）不能相交。
1.2.2 标量场的梯度（1）对于定义在V 中连续、可微的标量场ƒ(x,y,z )，考察它在(x,y,z )点邻域内沿某一方向的变化情况，如图所示。
由 (x ,y ,z ) 点到(x+dx ，y+dy ，z+dz ) 点的微分位移用线元矢量表示d l = d xe x +d y e y +d z e z （1.2.2）标量场的相应微增量zzf y y f x x f f d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=, z +d z )(1.2.3) 改写上式为()z y x z y x z y x zfy f x f f e e e e e e d d d )(d ++⋅∂∂+∂∂+∂∂=l e e e d )(⋅∂∂+∂∂+∂∂=z y x zfy f x f括号内的矢量称为标量场ƒ(x,y,z )在点(x,y,z )的梯度，记作f ∇)(z y x zfy f x f f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇（1.2.4）于是，标量场微增量可写为ld d ⋅∇=f f（1.2.5）（2）讨论：① 上式的表达形式与坐标系无关，它是标量场梯度的定义式。
标量场梯度的定义与计算
弟为最大的方向导数。
思考：什么情况下，方向导数为零呢？
sd 为零，即等值面上任意线段上
的方向导数为零。
b・梯度定义
定义：标量场中某点梯度的大小为该
点最大的方向导数，其方向为该点所
在等值面的法线方向。
d。
数学表达式:
grad^
=
八a dn n
C.梯度的计算:
挪 d，dn d， 八
梯度
al
u —=---- cos
解：根据梯度计算公式
疽卵—ax +云 ^^y az ox 8y 8z
=6 xyz & + 3x2 z z(ay + 9 x2
yz 位
, grad I 尹=12% + 3 句 + 18ciz
在不同的坐标系中，梯度的计算公式:
在直角坐标系中: 在柱坐标系中:
海八 海八 海八
v^=—a +—a y +—a ox Sy
W牛r or
Hale Waihona Puke Sz也"淨z在球坐标系中:
w=迎晶+
SR R
海a+
sin先 a
+普 +寿 在任意正交曲线坐标系中：坐标变量（"i，"2,"3），拉梅系数（如h2,h3） ou2 a 2 h ou3 a 3 h h Ou
小结：
1.标量场的等值面
2.标量场梯度的定义grad^ =翌％ dn
3. 标量场梯度的计算w=普&
+ + h % a 2 h m a 3
学a
， d l d n d / d n
在直d 角坐= 标gr系ad中，：- d挪l =g皿斜+灯
第3讲 矢量分析(2)
P 穿出该六面体的净通量为
Fx Fy Fz S F dS x xyz y xyz z xyz
根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为
F lim
S
F dS V
V 0
Fx Fy Fz x y z
u • 0 —— u(M)沿l 方向无变化。 l
方向导数的概念
问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？
3. 标量场的梯度
标量场的场函数为 ( x, y, z, t ) a.方向导数：
d 空间变化率，称为方向导数。 dl
P1
dn
P
P2
dl
d 为最大的方向导数。 dn
0
0 d
b.梯度 定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数， 其方向为该点所在等值面的法线方向。 d ˆ an 数学表达式： grad dn
计算
d d d n d cos d a a ˆn ˆl dn dl d n dl d n d grad d l
l1 l2 l3 l4
Fy1y Fz 2 z Fy 3 y Fz 4 z
Fy1 Fy M
Fy z
M
z 2
z
3
4 z M
C 2
Fz y Fz 2 Fz M y M 2 Fy z Fy 3 Fy M z M 2 F y Fz 4 Fz M z y M 2
Si
散度定理是闭合曲面积分
与体积分之间的一个变换关系。
散度体积分=闭合面通量
三. 矢量场的环流和旋度
1. 矢量场的环流与旋涡源
等值面与梯度和通量与散度
§2
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个
场。
如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
如果场与时间无关，称量是
§2
F dS
S
S F endS
通量的物理意义 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果
0
0
0
通过闭合曲面有 净的矢量线穿出
有净的矢 量线进入
进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场 的源的关系。
§2
§2
§2
2. 矢量场的通量 问题：如何定量描述矢量场的大小？
F(x, y, z)
引入通量的概念。
通量的概念
d S F dS S F endS
其中： dS endS ——面积元矢量；
e ——面积元的法向单位矢量； n
d F endS ——穿过面积元 的通dS量。
en
dS
面积元矢量
如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对
l M0 l0 l x
y
z
式中： cos、cos、cos —— 的方l 向余弦。
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。
•
u——0u(M)沿 l
l 方向增加；
l • u——0u(M)沿 方向减小；
l
l • u ——0u(M)沿 方向无变化。
l
特点：方向导数既与点M0有关，也与
矢量分析
二、方向导数 在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同 方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变 化的规律。
取等位面 u 1、定义：
x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
（2）球面坐标系下矢量运算
v ˆ ˆ ˆ A = er Ar + eθ Aθ + eϕ Aϕ v ˆ ˆ ˆ B = er Br + eθ Bθ + eϕ Bϕ
v v ˆ ˆ ˆ A ± B = er ( Ar ± Br ) + eθ ( Aθ ± Bθ ) + eϕ ( Aϕ ± Bϕ )
v v A• B = Ar Br + Aθ Bθ + Aϕ Bϕ
e 单位矢量：ˆ ρ
ρ
,φ
ˆ , eφ
,z
ˆ , ez
0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ φ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞
ˆ ˆ ˆ e z = e ρ × eφ ˆ ˆ ˆ e ρ = eφ × e z ˆ ˆ ˆ eφ = e z × e ρ
ˆ ˆ ˆ ↑ e ρ 、eφ 、e z
分别代表ρ、φ、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
ˆ 由于 θ、ϕ 不是常矢量，与 er
ˆ ∂er ˆ =eθ ∂θ ˆ ∂ eθ ˆ = −er ∂θ ˆ ∂ eϕ = 0 ∂θ
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1、标量场定义及图示
对于区域V 内的任意一点r，若有某种物理量的一个确定的数值或标量
函数ƒ(r)与之对应，我们就称这个标
量函数ƒ(r)是定义于V 内的标量场。
o r
f (r)
V
标量场有两种：
与时间无关的恒稳标量场，用ƒ(r) 表示；
与时间有关的时变标量场，用ƒ(r,t )表示。
§1.2标量场及其梯度
等值线
标量场的图示--等值线(面)。
const
z y x f )( ,,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？作图原则：
1）等值线(面)不能相交，
2）相邻等值线（面）差值为常数。
2、梯度
点位移导致ƒ的改变(x ,y ,z )
(x +d x ,y +d y ,z +d z )
ƒ+dƒƒd l y
z x
o 线元矢量：
d l =d x
e x +d y e y +d z e z (1)梯度的导出
右图中，由(x,y,z ) 点到邻近的(x +dx,y +dy,z +dz )点的微分位移d l 将导致场函数有一微分增量d f
标量场的相应微增量d ƒ则为：
z z f y y f x x f f d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=l e e e d )(d ⋅∂∂+∂∂+∂∂=z y x z
f y f x f f )(z y x z
f y f x f f gradf e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇=标量场ƒ(x,y,z )在(x,y,z )点的梯度(gradient ) 定义为：
l d d ⋅∇=f f
因此⋅
∂∂+∂∂+∂∂=)(d z y x z f y f x f f e e e （d x e x +d y e y +d z e z ）(x ,y ,z )
(x +d x ,y +d y ,z +d z )ƒ+dƒƒd l 梯度定义式
（梯度定义式）
(2)方向导数与梯度的关系
偏导数、、分别叫做ƒ 在x 、y 、z 方向上的方向导数，用梯度表示为
x f ∂∂y f ∂∂z
f ∂∂⎪⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎪
⎬
⎫
∇=∇=∂∂∇=∇=∂∂∇=∇=∂∂⋅⋅⋅z z y y x x f f z f
f f y f f
f x f e e e )()()(推广到ƒ(x ,y ,z )在某点沿任意矢量
l 方向的方向导数，则应表为l
l f f l f
e ⋅∇=∇=∂∂)(式中，e l 是l 的单位矢量。
（3）梯度的物理意义
•标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标的函数；
•梯度的大小为该点标量函数f的最大变化率，即该点最大方向导数；
•梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等
值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.
例1 电位场的梯度
•与过该点的等位线垂直；
•数值等于该点的最大方向导数；
•指向电位减少的方向。
电位场的梯度
（4）哈密顿算子▽（读作del 或nabla ）直角坐标系中的具体形式为
z
y x z y x ∂∂
+∂∂+∂∂=∇e e e 使用算符时注意几点：
∇•单独存在没有任何意义；
•算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必须视为矢量，并令它具有矢量的一般特性，即，。
•在不同坐标系中，算符有不同的表达形式。
∇2∇=∇⋅∇0=∇⨯∇∇
（5）梯度的基本运算公式
=∇c （c 为常数）
f c cf ∇=∇)(g
f g f ∇±∇=±∇)(g
f f
g g f ∇+∇=∇)(()2
)(g g f f g g f ∇-∇=∇
u
u f u f ∇'=∇)()(
（6）梯度运算的几个基本关系式
•相对坐标标量函数 f (r -r ')
f
f ∇'-=∇证明：在直角坐标系中f (r -r ') =f (x -x '，y -y '，z -z '))(z y x z y x z f y f x f z f y f x f e e e e e e '
∂∂+'∂∂+'∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂z f z f y f y f x f x f '
∂∂-=∂∂'∂∂-=∂∂'∂∂-=∂∂,,令x -x '=X ，y -y '=Y ，z -z '=Z ，应用复合函数求导法则可得;X )(X X X ∂∂=∂'-∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂=∂∂f x x x f x f x f X
)(X X X ∂∂-='∂'-∂⋅∂∂='∂∂⋅∂∂='∂∂f x x x f x f x f 即有x f x f '∂∂-=∂∂上式重写为等式若成立，则应有
同理可得z f z f y f y f '
∂∂-=∂∂'∂∂-=∂∂,证毕。
f
f ∇'-=∇
•相对位置矢量R =r -r '的模R =|r -r '|
R R
R e R ==∇231R
R R R e R -=-=∇在直角坐标中z y x z z y y x x e e e R )()()('-+'-+'-=••1/2222])()()[(z z y y x x R '-+'-+'-=R x x R x x z z y y x x x z z y y x x x R )()(221])()()[(])()()[(2221/222221'-='-⋅='-+'-+'-∂∂'-+'-+'-=∂∂⋅-则
同理有于是,R y y y R )('-=∂∂R z z z R )('-=∂∂R
z y x z
y x R z z y y x x R z R
y R x R R e R
e e e e e e =='-+'-+'-=∂∂+∂∂
+∂∂=∇])()()[(1
根据算符的微分特性可得
222111
R R R R R R R
e R -=⋅-=∇-=∇（
R ≠0）231R
R R R e R -=-=∇
例2求f = 4e 2x -y+ z 在点P 1（1，1，-1）处的由该点指向P 2（-3，5，6）方向上的方向导数。
)(24e )(24e )(e 4)(4e 2222z y x z x-y z x-y z x-y z x-y z y x f e e e +-=+-∇=∇=∇=∇++++)4(2)(24e 1121z y x z y x --P f e e e e e e +-=+-=∇974481744]744)[(1)(6)1(5)13(1/2222121212z y x z y x z y x R e e e e e e e e e R e ++-=++-=++-++-+--==解：
于是，f 在P 1 处沿R 12 方向上的方向导数为：
[]9
20
714)1()4(294
9
7
44
)(24 121211-=⨯+⨯-+-⨯=++-+-=∇=∂∂⋅⋅z
y x z y x P
P f R f e e e e e e e
例3应用标量场的梯度与该标量场的等值面处处正交的概念，求两曲面x 2 +y 2+z 2=9 和x 2+y 2=z+3在P (2,-1,2)处相交的锐角。
S 1S 2θ∇f 1(2,-1,2)∇f 2(2,-1,2)解：将这两个曲面分别看作是两个标量场的等值面，对应的两个标量场函数为：
f 1= x 2 + y 2 + z 2 f 2 = x 2+y 2-z
求P 点处的梯度
P ()
z y x x z y x f e e e e e e 424222p z y p 1+-=++=∇()z y x x y x f e e e e e e 124122p z
y p 2--=-+=∇()6
364242221==+-+=∇f ()()211242222=-+-+=∇f θcos 2121f f f f ∇∇=∇∇⋅
θ
cos 2121f f f f ∇∇=∇∇⋅()()
2138
2164
41621624424cos 12121=-++=-+-=∇∇∇∇=-⋅⋅z y x z y x f f f f e e e e e e θ2138
cos 1-=∴θ。