2015届高一数学必修四第二章平面向量单元测试题
2015届高一数学必修四第二章平面向量单元测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列命题正确的是 （ ）A.单位向量都相等B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C.若a ，b 满足|a |＞|b |且a 与b 同向，则a ＞bD.对于任意向量a 、b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |2．如图，四边形ABCD 中，AB →＝DC →，则相等的向量是（ ）A. AD →与CB →B. OB →与OD →C. AC →与BD →D. AO →与OC →3．下列命题中，正确的是 （ ）A.若|a |＝|b |，则a ＝bB.若a ＝b ，则a 与b 是平行向量C.若|a |＞|b |，则a ＞bD.若a 与b 不相等，则向量a 与b 是不共线向量4．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3（a －b ），则 （ ）A.A 、B 、D 三点共线B.A 、B 、C 三点共线C.B 、C 、D 三点共线D.A 、C 、D 三点共线5．当|a |＝|b |≠0且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是 （ ）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等6．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量OB →，OC →，OD →，OE →，OF →，AB →，BC →，CD →，EF →，DE →，FA →中与OA →共线的向量有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个7．若M 是△ABC 的重心，则下列向量中与AB →共线的是 （ ）A. AB →＋BC →＋AC →B. AM →＋MB →＋BC →C. AM →＋BM →＋CM →D.3AM →＋AC →8．已知正方形的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于（ ）A.0B.3C. 2D.2 29．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则 （ ）A.a ＋b ＋c ＋d ＝0B.a －b ＋c －d ＝0C.a ＋b －c －d ＝0D.a －b －c ＋d ＝010．已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则下列各式：①EF →＝12 c －12 b ②BE →＝a ＋12b ③CF →＝－12 a ＋12b ④AD →＋BE →＋CF →＝0 其中正确的等式的个数为 （ ）A.1B.2C.3D.4 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则MN →＝__ _____.12．已知向量a 、b 不共线，实数x 、y 满足向量等式3x a ＋(10－y )b ＝2x b ＋(4y ＋4)a ，则x ＝_____，y ＝_____.13．设a 表示“向东走4 km”，b 表示“向北走4 km”，则a ＋b 表示_____________.14．a 、b 是给定的不共线的向量，且⎩⎨⎧2x －y ＝ax ＋2 y ＝b ，则向量x ＝_________，y ＝________.15．已知ABCDEF 为正六边形，且AC →＝a ，AD →＝b ，则用a ，b 表示AB →为___________.三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分14分）已知向量21e e 、不共线，（1）若21212125,82,2e e CD e e BC e e AB -=+-=+=，求证：A 、B 、D 三点共线；（2）若向量21e e -λ与21e e λ-共线，求实数λ的值；17．（本小题满分14分）如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，试用a 、b 表示BC →和MN →.18．（本小题满分14分）设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P =，则求点P 的坐标。
19．（本小题满分15分）已知向量[]π,0),2sin ,2(cos ),2sin ,2(cos∈-==x x x n x x m （1）若21-=⋅n m ，求x 的值；（2）若n m //，求x 的值；（3）若n m ⊥，求x 的值；20. (本小题满分18分）在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，与边AC 相交于点E ，△ABC 的中线AM 与DE 相交于点N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示DN →.21．（12分）设a,b是不共线的两个向量,已知,AB-akb=+=若A、B、C三点共线,求k的值.+=BC,,2a2babCD22．（14分）已知|a|=2，|b|=3，a与b夹角为45，求使向量a+λb 与λa+b的夹角是锐角时，λ的取值范围高一平面向量单元测试题（一）答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．D 2．D 3．B 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．B 10．C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．13（b －a ） 12．4 2 13．向东北方向走4√2 km. 14．25 a ＋15 b ，－15 a ＋25 b 15．a －12b 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，试用a 、b 表示BC →和MN →.【解法一】 连结CN ，则AN ∥＝ DC∴四边形ANCD 是平行四边形.CN →＝－AD →＝－b ，又∵CN →＋NB →＋BC →＝0∴BC →＝－CN →－NB →＝b －12a ∴MN →＝CN →－CM →＝CN →＋12AN →＝－b ＋14 a ＝14a －b 【解法二】 ∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0即：a ＋BC →＋（－12 a ）＋（－b ）＝0，∴BC →＝b －12a 又∵在四边形ADMN 中，有AD →＋DM →＋MN →＋NA →＝0，即：b ＋14 a ＋MN →＋（－12a ）＝0，∴MN →＝14a －b . 【评注】 比较两种解法，显然解法二更简捷.18．（本小题满分14分）已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证OA →＋OB →＋OC →＋OD→＝4OE →.【证明】 ∵E 是对角线AC 与BD 的交点，∴AE →＝EC →＝－CE →，BE →＝ED →＝－DE →.在△OAC 中，OA →＋AE →＝OE →，同理有OB →＋BE →＝OE →，OC →＋CE →＝OE →，OD →＋DE →＝OE →.四式相加可得：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OE →.19．（本小题满分14分）四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ，求证：EF →＝12（AB →＋DC →） 【证法一】 ∵E 、F 分别为DA 、BC 的中点.∴DE →＝EA →，FC →＝BF →又∵EF →＋FC →＋CD →＋DE →＝0 ①EF →＋FB →＋BA →＋AE →＝0 ②①＋②，得2EF →＋（FC →＋FB →）＋（CD →＋BA →）＋（DE →＋AE →）＝0∴2EF →＝－CD →＋（－BA →）＝DC →＋AB →∴EF →＝12（AB →＋DC →）【证法二】 连结EC ，EB∵EF →＋FC →＝EC → ①EF →＋FB →＝EB → ②①＋②，得2EF →＋0＝EC →＋EB →∴EF →＝12（EC →＋EB →） 又∵EC →＝ED →＋DC → ③EB →＝EA →＋AB → ④③＋④，得EF →＝12（ED →＋DC →＋EA →＋AB →），又∵ED →＋EA →＝0， ∴EF →＝12（AB →＋DC →）. 20．（本小题满分15分）在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，与边AC 相交于点E ，△ABC 的中线AM 与DE 相交于点N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示DN →.【解】 因为M 为BC 的中点，所以有BM →＝12 BC →＝12 （AC →－AB →）＝12（b －a ） AM →＝AB →＋BM →＝12（a ＋b ），因为DN →∥BM →，AN →∥AM →. 根据向量共线的充要条件，存在实数λ和μ，使得DN →＝λBM →＝12 λ（b －a ），AN →＝μAM →＝12μ（a ＋b ） 因为AN →＝AD →＋DN →＝14 a ＋12 λ(b －a )＝(14 －λ2 )a ＋λ2b 根据基本定理有⎩⎨⎧14 －λ2 ＝μ2 λ2 ＝μ2 ，解方程得λ＝μ＝14 ，可得DN →＝18（b －a ）. 21． (本小题满分15分）对于两个向量a ，b ，求证：||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.【证明】 （1）若a 、b 中有一个为0时，不等式显然成立.（2）若a ，b 都不等于0时，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b .①当a 、b 不共线时，如图（1）有||OA →|－|AB →||＜|OB →|＜|OA →|＋|AB →| （1）即：||a |－|b ||＜|a ＋b |＜|a |＋|b |.②当a 、b 共线时1°若a 、b 同向，如图（2）有 （2）|OB →|＝|OA →|＋|AB →|即：|a ＋b |＝|a |＋|b |.2°若a ，b 反向时，如图（3）有 （3）||OA →|－|AB →||＝|OB →|即：||a |－|b ||＝|a ＋b |综上可知：||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.15．【解】由A 、B 、C 三点共线，存在实数λ，使得BD AB λ= ∵ b a CD b a BC 2,-=+= ∴ b a CD BC BD -=+=2 故2a +k b =)2(b a -λ 又a,b 不共线 ∴ λ=1，k=－117．【解】∵ |a|=2，|b|=3 ，a 与b 夹角为 45∴ 3222345cos ||||=⨯==⋅ b a b a而（a+λb ）·（λa+b ）=3113933222222++=+++=+++λλλλλλλλb ba ab a 要使向量a+λb 与λa+b 的夹角是锐角，则（a+λb ）·（λa+b ）>0 即031132>++λλ 从而得6851168511+->--<λλ或。
高一下学期人教版A版必修4第二章平面向量单元测试及答案
必修4第二章平面向量单元测试班级 座位号 姓名 分数一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案一、选择题(每题5分，共50分)1.若向量a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A.6B.5C.4D.3 2.已知两个力1F 、2F 的夹角为90°，它们的合力F 的大小为10 N ，合力F 与1F 的夹角为60°，则1F 的大小为( )A.35 NB.5 NC.10ND.25 N 3.下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a ； ③若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；⑤若非零向量a ，b 满足||a ＋b ＝||a －b ，则a ⊥b ； ⑥对于任意向量a ，b ，有|a ＋b|≥|a －b|； 其中正确的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．54.若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o 180，且53||=b ，则=b ( )A )6,3(-B )6,3(-C )3,6(-D )3,6(-5.设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且AB =2AP ，则点P 的坐标为（ ）A (3,1)B (1,1)-C (3,1)或(1,1)- D 无数多个6.已知向量03≠=b a ，且关于x 的方程03222=⋅++b a a x x 有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,3πC. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32π,3π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,6π 7.已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，b a +λ与b 垂直，则λ等于( )A.－1B.1C.－2D.2 8.向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于A 2-B 2 C.21 D 12-9.已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为A (a ，0)、B (0，a )，其中常数a ＞0，点P 在线段AB 上，且有AB t AP = (0≤t ≤1)，则OP OA ⋅的最大值为( )A.aB.2aC.3aD.2a10.在△ABC 中,D 是BC 的中点,AB=4,AC=3,则=⋅BC AD ( ) A 7- B 2 C 27-D 72二、填空题(每题5分，共20分)11.已知a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则b 在a 方向上的投影为 . 12.已知向量(1,2)a →=，(2,3)b →=-，(4,1)c →=，若用→a 和→b 表示→c ，则→c =13.若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为14.已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________三、解答题(每题15分，共30分) 15.已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时， （1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？16.如图2，在平行四边形ABCD ， CD CF CB CE AD AB 32,31,====b a ，. (1)用a ，b 表示EF ;(2)若4,1==b a ，∠DAB =60°，分别求EF 和FE AC ⋅的值.图2参考答案及点拨一、1.C 点拨:()()()30318,33,68=+=⋅=⋅-x x c b a ， ∴x ＝4.故选C. 2.B 点拨:1F ＝⋅F cos60°＝5 N. 3.A4. A 设(,2),0b ka k k k ==-<，而53||=b ，则2535,3,(3,6)k k b ==-=-5.C 设(,)P x y ，由AB =2AP得2AB AP =，或2AB AP =-，(2,2),(2,)AB AP x y ==-，即(2,2)2(2,),3,1,x y x y =-==(3,1)P ；(2,2)2(2,),1,1,x y x y =--==-(1,1)P -6.B 点拨:设a ，b 的夹角为θ，∵关于x 的方程03222=⋅++b a a x x 有实根，∴∆＝b a a ⋅-2442≥0，即b a a ⋅≥62.∴θcos 62b a a ⋅≥，又∵03≠=b a .∴21cos ≤θ，∵π≤≤θ0，∴ππ≤≤θ3. 7.C 点拨:()23,4--+=+λλλb a ， ∵b a +λ与b 垂直，∴()()()()020********,423,4=+=---+=-⋅--+λλλλλ， ∴2-=λ.8.D (2,3)(1,2)(21,32)ma b m m m m +=+-=-+2(2,3)(2,4)(4,1)a b -=--=-，则121128,2m m m -+=+=-9.D 点拨: ∵AB t AP =，∴ ()()OB t OA t OA OB t OA AP OA OP +-=-+=+=1(),,at at a -=∴()t a OP OA -=⋅12，∵10≤≤t ，∴2a OP OA ≤⋅.10.c二、9.13 点拨: b 在a 方向上的投影为a b a ⋅=1313=13. 10. →→-b a 2 设c x a y b →=+，则(,2)(2,3)(2,23)x x y y x y x y +-=-+= 24,231,2,x y x y x y -=+===- 11.0120 221()0,0,cos 2a b a a b a a a b a ba bθ-+=+====-,或画图来做12.45-22222()2585a t b a t b a t a bt b t t +=+=++=++，当45t =-时即可三、13.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-（1）()ka b +⊥(3)a b -，得()ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-== （2）()//ka b +(3)a b -，得14(3)10(22),3k k k --=+=- 此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--，所以方向相反 14.答图2分析：（1）利用向量的三角形法则和向量相等及其运算即可得出; （2）利用数量积运算法则和性质即可得出. 解：（1）如答图2所示，.313231323132b a +-=+-=-=-=AD AB CB CD CE CF EF(2) ∵,60,4,1︒=∠==DAB b a ∴.260cos =︒⋅⋅=⋅b a b a∴3329194943132222=+⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=b b a a b a EF . 易知b a +=+=AD AB AC ，∴()43163232313132313222-=-+=-⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=⋅b b a a b a b a FE AC .。
高中数学必修四单元检测：平面向量(2)
平面向量单元测试题（2）1.已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（－2，1）、（3，4）、（－1，3），则第四个顶点D 的坐标为2.有下列命题：①++＝0；②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c ；③若a ＝（m ，4），则|a |＝23的充要条件是m ＝7；④若的起点为A （2，1），终点为B （－2，4），则与x 轴正向所夹角的余弦值是54.其中正确命题的序号是 3.已知a ＝（－2，5），|b |＝2|a |，若b 与a 反向，则b 等于4.已知|a |＝8，e 是单位向量，当它们之间的夹角为3π时，a 在e 方向上的投影为 5.若|a |＝|b |＝1，a ⊥b 且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为6.已知a ＝（3，4），b ⊥a ，且b 的起点为（1，2），终点为（x ，3x ），则b 等于7.等边△ABC 的边长为1，＝a ，＝b ，＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于8.把函数y ＝312-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为 9.已知向量e 1、e 2不共线，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，若a 与b 共线，则k 等于（ ）10.已知a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a －b |是a ⊥b 的A ．充分非必15要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件11.如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，＝a ，＝b ，则＝ .12.a 、b 、a －b 的数值分别为2，3，7，则a 与b 的夹角为 .13.把函数y ＝－2x 2的图象按a 平移，得到y ＝－2x 2－4x －1的图象，则a ＝ .14.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b ||a －b |的值是 .15、已知向量33(cos,sin )22x x a =，(cos ,sin )22x x b =-，]2,2[ππ-∈x ， (1)求证：()a b -⊥()a b +； (2)13a b +=，求cos x 的值16.已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝m a－b，c ⊥d，求m的值.17.设i、j分别是直角坐标系x轴、y轴上的单位向量，若在同一直线上有三点A、B、C，且＝－2i＋m j，＝n i＋j，＝5i－j，⊥，求实数m、n的值.。
高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案
一、选择题:( 本大题共10 小题,每题 4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的 .)1．设点P 〔3，-6〕，Q 〔-5，2〕，R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，那么R 点的横坐标为〔 〕。
A 、-9B 、-6C 、9D 、6 2． =(2,3), =(-4,7) ，那么 在 b 上的投影为〔 〕。
b A 、B、C 、D 、3．设点A 〔1，2〕，B 〔3，5〕，将向量按向量 =〔-1，-1〕平移后得向量为〔〕。
A 、〔2，3〕B 、〔1，2〕C 、〔3，4〕D 、〔4，7〕4．假设(a+b+c)(b+c-a)=3bc ，且sinA=sinBcosC ，那么 ABC 是〔 〕。
A 、直角三角形 B 、等边三角形C 、等腰三角形 D 、等腰直角三角形5．| |=4,| b|=3, 与b 的夹角为60°，那么| +b|等于〔 〕。
A 、B、C、D 、6．O 、A 、B 为平面上三点，点C 分有向线段所成的比为 2，那么〔 〕。
A 、B、C 、D、7．O 是 ABC 所在平面上一点，且满足条件 ， 那么点O 是 ABC 的〔 〕。
A 、重心 B 、垂心 C 、内心D 、外心 8．设 、b 、 均为平面内任意非零向量且互不共线，那么以下4个命题： (1)( ·b)2= 2·b 2 (2)| +b |≥| -b|(3)| +b|2=(+b)2(4)(b)-(a)b与不一定垂直。
其中真命题的个数是〔〕。
A、1B、2C、3D、49．在ABC中，A=60°，b=1，，那么等于〔〕。
A、B、C、D、10．设、b不共线，那么关于x的方程x2+b x+=0的解的情况是〔〕。
A、至少有一个实数解B、至多只有一个实数解C、至多有两个实数解D、可能有无数个实数解二、填空题：〔本大题共4小题，每题4分，总分值16分.〕.11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=22，那么ABCA=_________12．ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，那么用a，b表示AB为______.13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。
高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试卷及答案
高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．设3,sin 2α⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，1cos ,3α⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，且∥a b ，则锐角α为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．75︒D ．45︒2．下列命题正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1．3．设向量()2,3a m m =-+，()21,2b m m =+-，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()4,2,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()4,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()2,4AB =，()1,3AC =，则AD BD ⋅等于（ ）A ．8B ．6C ．8-D ．6-5．已知1=a ，6=b ，()2⋅-=a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 6．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．已知|a |＝5，|b |＝3，且12⋅-a b =，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．4-B ．4C ．125-D ．1258．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，()1OM OB OA λλ=+-⋅，且()1,2λ∈，则（ ） A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，B ，M 四点共线9．P 是△ABC 内的一点，()13AP AB AC =+，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为（ ） A ．32B ．2C ．3D ．610．在△ABC 中，2AR RB =，2CP PR =，若AP mAB nAC =+，则m n +等于（ ） A ．23B ．79 C ．89D ．111．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )等于（ ） A ．45-B ．35-C ．0D ．3512．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ．下面说法错误的是（ ） A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0 B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量()4,7--c =共线，则λ＝________． 14．a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________．15．已知向量a ＝(6,2)，14,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．16．已知向量()2,1OP =，()1,7OA =，()5,1OB =，设M 是直线OP 上任意一点(O 为坐标原点)，则MA MB ⋅的最小值为________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)如图所示，以向量OA =a ，OB =b 为边作AOBD ，又13BM BC =，13CN CD =，用a ，b 表示OM 、ON 、MN ．18．(12分)已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， 求：（1）(a －2b )·(a ＋b )； （2）|a ＋b |； （3）|3a －4b |．19．(12分)已知)1=-a ，12⎛= ⎝⎭b ，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求2k t t+的最小值．20．(12分)设()2,5OA =，()3,1OB =，()6,3OC =．在线段OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．(12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．22．(12分)已知线段PQ 过△OAB 的重心G ，且P 、Q 分别在OA 、OB 上，设OA =a ，OB =b ，OP m =a ，OQ n =b ．求证：113m n+=．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】31sin cos 23αα⨯=，sin 21α=，290α=︒，45α=︒．故选D ．2．【答案】C【解析】∵|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ，|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ，||+-=a b a b ． ∴0⋅a b =．故选C ． 3．【答案】A【解析】∵a 与b 的夹角大于90°，∴0⋅<a b ，∴()()()()221320m m m m -+++-<，即23280m m -<-，∴423m -<<．故选A ．4．【答案】A【解析】∵()1,1AD BC AC AB ==-=--，∴()()()1,12,43,5BD AD AB =-=---=--，∴()()1,13,58AD BD ⋅=--⋅--=． 故选A ． 5．【答案】C【解析】∵()22-=⋅-=a b a a b a ，∴3⋅a b =，∴31cos ,·162a b ⋅〈〉===⨯a b a b ，∴,3a b π〈〉=．故选C ． 6．【答案】B【解析】由向量共线定理知①正确；若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，所以②错误；在a ，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ， 所以③错误；若⋅⋅a b =a c ，则()0-=a b c ，所以()⊥-a b c ，所以④正确， 即正确命题序号是①④，所以B 选项正确． 7．【答案】A【解析】向量a 在向量b 上的投影为12cos ,43a b ⋅⋅〈〉=⋅==-=-a b a b a a a b b ． 故选A ． 8．【答案】B【解析】∵()()1OM OB OA OA OB OA λλλ=+-⋅=+-，∴AM AB λ=，λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上，故选B ． 9．【答案】C【解析】设△ABC 边BC 的中点为D ，则22ABC ABD ABP ABP S S ADS S AP==△△△△． ∵()1233AP AB AC AD =+=，∴32AD AP =，∴32AD AP =．∴3ABC ABP S S =△△．故选C ． 10．【答案】B【解析】2224133393AP AC CP AC CR AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，故有417939m n +=+=．故选B ． 11．【答案】B【解析】由已知得435=--b a c ，将等式两边平方得()()22435=--b a c ，化简得35⋅=-a c ．同理由534--c =a b 两边平方得a ·b ＝0，∴()35=⋅+=⋅-⋅a b c a b +a c ．故选B ． 12．【答案】B【解析】若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故A 正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故B 不正确．对于C ，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故C 正确．对于D ，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故D 正确．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．【答案】2【解析】∵a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，∴()()(),22,32,23λλλλλ=++++a b =． ∵向量λa ＋b 与向量()4,7--c =共线，∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0．∴λ＝2． 14．【答案】7 【解析】∵()222222125552511310134920⎛⎫==+-⨯+-⨯⨯--⋅=⎝=⨯- ⎪⎭a b a b a b a b ．∴|5a －b |＝7．15．【答案】2390x y --=【解析】设P (x ，y )是直线上任意一点，根据题意，有()()()23,12,30AP x y ⋅+=-+⋅-=a b ，整理化简得2390x y --=． 16．【答案】8-【解析】设()2,OM tOP t t ==，故有()()()2212,752,152012528MA MB t t t t t t t ⋅=--⋅--=-+=--， 故当t ＝2时，MA MB ⋅取得最小值8-．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】1566OM =+a b ，2233ON =+a b ，1126MN =-a b ．【解析】BA OA OB =-=-a b ．∴11153666OM OB BM OB BC OB BA =+=+=+=+a b ．又OD =+a b ．1122226333ON OC CN OD OD OD =+=+==+a b ，∴221511336626MN ON OM =-=+--=-a b a b a b ．18．【答案】（1）12；（2）（3）【解析】（1）1cos1204242⎛⎫⋅=︒=⨯⨯-=-⎪⎝⎭a b a b．(a－2b)·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12．（2）∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12．∴+=a b．（3）|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，∴34-=a b19．【答案】74 -．【解析】由题意有2=a，1=b．∵1102⋅=-=a b，∴⊥a b．∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b](－k a＋t b)＝0．化简得334t tk-=．∴()()222117432444k tt t tt+=+-=+-．即2t=-时，2k tt+有最小值为74-．20．【答案】存在，M点的坐标为(2,1)或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】设OM tOC=，t∈[0,1]，则()6,3OM t t=，即M(6t,3t)．()26,53MA OA OM t t=-=--，()36,13MB OB OM t t=-=--．若MA⊥MB，则()()()()263653130MA MB t t t t⋅=--+--=．即45t2－48t＋11＝0，13t=或1115t=．∴存在点M，M点的坐标为(2,1)或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】1417,,22⎛⎛⎫---⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】由向量2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为钝角，得()()121212122727t tt t+⋅+<+⋅+e e e ee e e e，即(2t e1＋7e2)·(e1＋t e2)<0．整理得：()222112222770t t t++⋅+<e e e e．(*)∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°．∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1，∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7<0．解得：172t -<<-．当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2) (λ<0)． 对比系数得270t t λλλ=⎧⎪=⎨⎪<⎩，∴14142t λ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴所求实数t 的取值范围是141417,,222⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 22．【答案】见解析． 【解析】证明 如右图所示， ∵()()1122OD OA OB =+=+a b ，∴()2133OG OD ==+a b ． ∴()111333PG OG OP m m ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭a b a a b ．PQ OQ OP n m =-=-b a ． 又P 、G 、Q 三点共线，所以存在一个实数λ，使得PG PQ λ=．∴1133m n m λλ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭a b b a ，∴11033m m n λλ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a +b ． ∵a 与b 不共线，∴103103m m n λλ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②，由①②消去λ得：113m n +=单元测试题二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．向量()2,3=a ，()1,2=-b ，若m +a b 与2-a b 平行，则m 等于（ ） A ．2-B ．2C ．12D ．12-2．设向量()1,0a =，11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，则下列结论中正确的是（ ）A ．=a bB ．⋅a bC ．-a b 与b 垂直D ．∥a b3．已知三个力()12,1=--f ，()3,2=-2f ，()4,3-=3f 同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力4f ，则4f 等于（ ） A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,24．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ，则++a b c 的模等于（ ）A ．0B ．2CD ．5．若a 与b 满足1==a b ，60,〈〉=︒a b ，则+⋅⋅a a a b 等于（ ）A ．12B ．32C ．1D ．26．若向量()1,1=a ，()1,1-b =，()1,2-c =，则c 等于（ ） A ．1322-+a bB ．1322-a bC ．3122-a bD ．3122-+a b7．若向量()1,1=a ，()2,5=b ，()3,x =c ，满足条件()830-⋅=a b c ，则x ＝（ ） A ．6B ．5C ．4D ．38．向量()4,3BA =-，向量()2,4BC =-，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰非直角三角形 B ．等边三角形 C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形9．设点A (1,2)、B (3,5)，将向量AB 按向量()1,1=--a 平移后得到A B ''为（ ） A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,7)10．若(),2λa =，()3,5-b =，且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA AB ⋅等于（ ） A ．2 B ．－2C ．cos AB AD ．与菱形的边长有关12．如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是（ ）A ．1213P P P P ⋅B ．1214P P P P ⋅C ．1215P P P P ⋅D ．1216P P P P ⋅二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知向量()2,1=-a ，()1,m =-b ，()1,2=-c ，若()+∥a b c ，则m ＝________． 14．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，2=a ，3=b ，则向量a 和向量b 的数量积⋅a b ＝________．15．已知非零向量a ，b ，若1==a b ，且⊥a b ，又知()()234k +⊥-a b a b ， 则实数k 的值为________．16．如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且()1,2=a ． （1）若5=c ，且∥c a ，求c ； （2）若5=b ，且()()22+⊥-a b a b ，求a 与b 的夹角．。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．1BCD ．32．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为12．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．14-B ．12-C ．0D ．123．已知ABC 是顶角A 为120°腰长为2的等腰三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A ．12-B ．32-C ．14-D ．-14．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）．A B ．5C ．D5．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ） A ．18-B ．116-C ．316-D ．06．已知向量(6,4),(3,),(2,3)a b k c =-==-，若//a b ，则b 与c 的夹角的余弦值为（ ） A ．1213B ．1213-C ．45-D ．457．在ABC ∆中，060BAC ∠=，5AB =，6AC =，D 是AB 上一点，且5AB CD ⋅=-，则BD 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．直线0ax by c与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（ ）A ．[2,6]-B ．[]2,4-C ．[]1,4D ．[1,4]-9．已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-10．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ） A ．1 B ．12C ．13 D ．2311．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（ ）A ．6B ．83C ．127D ．4二、填空题13．圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，且OA AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为_____.14．已知ABC ，AB AC ⊥，2AB =，12AC =，如果P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，那么PB PC ⋅的值等于________.15．在ABC 中，AB AC =，E ，F 是边BC 的三等分点，若3AB AC AB AC +=-，则cos EAF ∠=_______________16．设1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为23π，若12a e e =+，122b e e =-，则a 在b 方向上的投影为___________．17．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ，点C 在线段AB 上，若12AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________．18．已知向量(1,1,0)a →=，(1,0,2)b →=-，(,1,2)c x →=-，若,,a b c →→→是共面向量，则x =__________．19．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.20．已知,a b 都是单位向量，且a 与b 的夹角是120，||a b -=_________________.三、解答题21．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE . （2）当2AE EB =时，求证：AD CE ⊥.22．已知在等边三角形ABC 中，点P 为线段AB 上一点，且()01AP AB λλ=≤≤. （1）若等边三角形ABC 的边长为6，且13λ=，求CP ； （2）若CP AB PA PB ⋅≥⋅，求实数λ的取值范围.23．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，60DAB ∠=，点E 是线段BC 的中点.(1)求AC AE ⋅的值；(2)若AF AE AD λ=+，且BD AF ⊥，求λ的值. 24．设非零向量a ，b 不共线.（1）若(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，求实数t 的值；（2）若OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.求证：A ，B ，C 三点共线. 25．如图，在OAB 中，P 为线段AB 上一点，且OP xOA yOB =+.()1若AP PB =，求x ，y 的值；()2若3AP PB =，4OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60︒，求OP AB ⋅的值.26．已知单位向量1e ，2e ，的夹角为23π，向量12a e e λ=-，向量1223b e e =+. （1）若//a b ，求λ的值； （2）若a b ⊥，求||a .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】设a 、b 所成角为θ， 由||||2==a b ，2a b ，则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=，记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离， 由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点3,22Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上，()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR ==故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力.2．C解析：C 【分析】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为1cos 2a θ=，然后向量垂直转化为数量积为0可计算λ． 【详解】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为cos a θ，则1cos 2a θ=， ∵()()2a b a b λ+⊥-，∴()()()221322221(2)022a b a b a b a b λλλλλλ+⋅-=-+-⋅=-+-⋅==， 故0λ=， 故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示． （1）设,a b 向量的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是cos a b a bθ⋅=；（2）对两个非零向量,a b ，0a b a b ⊥⇔⋅=．3．A解析：A 【分析】以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出向量PA ，PB ，PC ，得到2()22(1)PA PB PC x y y ⋅+=--，进而可求出结果. 【详解】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,1)A ，(3,0)B ，(3,0)C ，设(,)P x y ，所以(,1)PA x y =--，(3,)PB x y =--，(3,)PC x y =-， 所以(2,2)PB PC x y +=--，2()22(1)PA PB PC x y y ⋅+=--2211122()222x y =+--≥-当1(0,)2P 时，所求的最小值为12-.故选：A 【点睛】方法点睛：向量求最值的方法有以下： 1.利用三角函数求最值； 2.利用基本不等式求最值； 3.建立坐标系求最值；本题的关键在于建立坐标系，列出相应的式子求解4．B解析：B 【分析】由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模. 【详解】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得a b +=5，选B.【点睛】求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+，二是利用性质2a a =，结合向量数量积求解. 5．C解析：C 【分析】建立平面直角坐标系，()0,P t ，t ≤，则 223(16⋅==-AP CP t t ，进而可求最小值. 【详解】以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，1(,0)2A ，1(,0)2B -，(0,2C ，设()0,P t ，其中2t ≤1(,)2AP t =-，(0,)2CP t ==，223(2416⋅=-=--AP CP t t ，当4t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为316-． 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.6．A解析：A 【分析】根据向量平行，由平面向量的坐标运算列方程求出k 的值，再利用平面向量夹角公式求解即可. 【详解】因为(6,4),(3,),a b k =-=且//a b ， 所以61202k k +=⇒=-，(3,2),(2,3)b c =-=-，12cos ,13c b c b c b⋅==， 故选：A. 【点睛】本题主要考查向量平行的性质，考查了平面向量数量积的坐标表示以及向量夹角公式的应用，属于基础题.7．C解析：C 【解析】在ABC ∆中，060BAC ∠=，5,6AB AC ==，D 是AB 是上一点，且5AB CD ⋅=-， 如图所示，设AD k AB =，所以CD AD AC k AB AC =-=-， 所以21()2556251552AB CD AB k AB AC k AB AB AC k k ⋅=⋅-=-⋅=-⨯⨯=-=-， 解得25k =，所以2(1)35BD AB =-=，故选C ．8．A解析：A 【分析】取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，由点到直线的距离公式可得1OA =，于是推出1cos 2AON ∠=，1cos 2MON ∠=-，而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-，()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-()224cos OM ON OPOP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠，其中cos [1,1]AOP ∠∈-，从而得解. 【详解】解：取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，则OA MN ⊥，∵222c a b =+，∴点O 到直线MN 的距离221OA a b==+，在Rt AON 中，1cos 2OA AON ON ∠==， ∴2211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-2()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠24cos AOP =-∠，当OP ，OA 同向时，取得最小值，为242-=-； 当OP ，OA 反向时，取得最大值，为246+=. ∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-. 故选：A. 【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.9．D解析：D 【分析】 根据题意得出()12BD BA BC =+，13AE BC BA =-，运用数量积求解即可． 【详解】解：等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 2=-．故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，关键是分解向量，属于中档题．10．D解析：D 【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】 在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=， 又由3BC =，所以13BD BC =, 由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+, 又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力.11．C解析：C【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较．【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+．同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．A解析：A【分析】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，由已知可得O 是'''A B C 的重心，由重心性质可得所求面积比．【详解】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，如图，∵2730OA OB OC ++=，∴O 是'''A B C 的重心，则''''''OA B OB C OC A S S S ==△△△，设''''''OA B OB C OC A S S S t ===△△△， 设,,OAB OAC y OBC S x S S z ===△△△，∵2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=， ∴''1''sin ''2141sin 2OA B OAB OA OB A OB S S OA OB AOB ⋅∠==⋅∠△△，即114x t =，同理16y t =，121z t =， 11161462121ABC S x y z t t t t =++=++=△， ∴6216121ABC OBC tS S t ==△△． 故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形问题中的优越性．二、填空题13．3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影 解析：3【分析】根据向量关系，即可确定ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果. 【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，故可得ABC 是以角A 为直角的直角三角形. 又因为OA AC =，且外接圆半径是2，故可得224BC OA AC ===， 则2223AB BC AC -=，3AB cos ABC BC ∠==， 故向量BA 在向量BC 方向上的投影为32332AB cos ABC ⨯∠==. 故答案为：3.【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.14．13【分析】由条件可得可得由可得出答案【详解】又故答案为：13【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用属于中档题 解析：13【分析】由条件可得0AB AC ⋅=，182AP AB AC =+，可得217AP =，由()()PB PC PA AB PA AC ⋅=+⋅+，可得出答案.【详解】 AB AC ⊥，2AB =，12AC =，4AB AC AP AB AC =+， 0AB AC ∴⋅=，182AP AB AC =+， 2222118641724AP AB AC AB AC ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， PB PA AB =+，PC PA AC =+，()()2PB PC PA AB PA AC PA PA AC PA AB ∴⋅=+⋅+=+⋅+⋅ 又42PA AC AC ⋅=-=-，2PA AB AB ⋅=-=- 172213PB PC ∴⋅=--=.故答案为：13.【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用，属于中档题.15．【分析】以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 根据得到再根据得到平行四边形ABCD 是菱形则设利用勾股定理分别求得的长度在中利用余弦定理求解【详解】如图所示：以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 则因为所解析：1314【分析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ，根据3AB AC AB AC +=-，得到3AD CB =， 再根据AB AC =，得到平行四边形ABCD 是菱形，则CB AD ⊥，设3CB =EF ，,AE AF 的长度，在AEF 中利用余弦定理求解.【详解】如图所示：以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ，则,AB AC AD AB AC CB +=-=， 因为3AB AC AB AC +=-， 所以3AD CB =，设3CB =3AD =，因为AB AC =，所以平行四边形ABCD 是菱形，所以CB AD ⊥，所以223333,22AB AC EF ⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以223321263AE AF ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2222121113993cos 2142121233AE AF EF EAF AE AF +-+-∠===⋅⋅. 故答案为：1314 【点睛】 本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】根据平面向量数量积的定义求出与并计算出平面向量的模再利用公式即可求解【详解】由平面向量的数量积的定义可得即所以在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义以及向量的 解析：714【分析】根据平面向量数量积的定义求出12e e ⋅与a b ⋅，并计算出平面向量b 的模b ，再利用公式，即可求解.【详解】由平面向量的数量积的定义，可得1221211cos 11()322e e e e π⋅=⋅=⨯⨯-=-， 222222111111()(2)22122a b e e e e e e e e ⋅=+-=+⋅-=--=， 22221112221(2)4444()172e e e e e e b =-=-⋅+=-⨯-+=，即7b =，所以a 在b 方向上的投影为127a b b⋅==故答案为：14. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义，以及向量的投影的应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 17．【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面向量几何 解析：116-【分析】由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1(2)3OC OA AC OA OB =+=+，则1(2)()3OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ， 所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，因为12AC CB =，所以111()(2)333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+， 所以()2211(2)()233OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=+⋅-=--⋅ 11291332⎡⎤⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦116=-，故答案为116-. 【点睛】 本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．18．-2【详解】由于不共线且和共面根据平面向量的基本定理有即即解得 解析：-2【详解】由于,a b 不共线，且和c 共面，根据平面向量的基本定理，有c ma nb =+，即()(),1,2,,2x m n m n -=--，即122x m n m n =--⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，解得1,112m n x ===--=-.19．【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示由已知条件得出点坐标圆M 的方程设由得出再设（为参数）代入中根据三角函数的值域可求得最大值【详解】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示因为在 解析：116【分析】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M 的方程，设(),P x y ，由AP AB AD λμ=+，得出134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再设3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），代入λμ+中，根据三角函数的值域，可求得最大值.【详解】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，因为在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，所以圆M 的半径为3+4512r -==， 所以()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()4,3D ，()3,1M ，圆M 的方程为()()22311x y -+-=， 设(),P x y ，又AP AB AD λμ=+，所以()()(),30,34,0x y λμ-=-+，解得134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又点P 是圆M 上的点，所以3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）， 所以()1sin 3cos 517sin 1+1+34312124+y x θθβθλμ+=+--+=-=，其中3tan 4β=， 所以，当()sin 1βθ-=时，λμ+取得最大值116， 故答案为：116.【点睛】本题考查向量的线性表示，动点的轨迹中的最值问题，属于中档题. 20．【分析】根据数量积公式得出的值再由得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了由数量积求模长属于中档题 3【分析】 根据数量积公式得出a b ⋅的值，再由2||()a b a b -=-得出答案.【详解】111cos1202a b ⋅=⨯⨯︒=- 22222||()2||2||1113a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=++= 3【点睛】本题主要考查了由数量积求模长，属于中档题.三、解答题21．（1）2AB b a =-，12CE a b =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出2CB b =，利用AB CB CA =-与12CE CA AB =+化简可得答案； （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ， 求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可得0AD CE ⋅=，进而可得答案. 【详解】（1）∵CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点，∴2CB b =，∴2AB CB CA b a =-=-，∵()1112222CE CA AE a AB a b a a b =+=+=+-=+. （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设()0,A a ，∴B 点坐标为(),0a ，另设点E 坐标为(),x y ，∵点D 是CB 的中点， ∴点D 坐标为,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又∵2AE EB =，∴()(),2,x y a a x y -=--，∴23a x =，3a y =， 所以,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()20233a a a AD CE a ⋅=⨯+-⨯=， ∴AD CE ⊥.【点睛】方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．22．（1）272）222⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）当13λ=时，可得出13CP AB AC =-，利用平面向量数量积的运算性质可计算得出CP ；（2）设等边三角形ABC 的边长为a ，由平面向量数量积的运算性质可将CP AB PA PB ⋅≥⋅表示为含λ的不等式，结合01λ≤≤可求得实数λ的取值范围.【详解】（1）由13λ=，得13AP AB =，13CP AP AC AB AC =-=-， 22222211212666cos60393369CP AB AC AB A C B AC A ∴=-+=⋅=⨯⨯⨯-⨯+- 4361228=+-=，因此，27CP = （2）设等边三角形ABC 的边长为a ，则()()222cos60CP AB CA AP AB AB AC AB AB AB AC a a λλλ⋅=+⋅=-⋅=-⋅=-2212a a λ=-， ()()222PA PB PA AB AP AB AB AB a a λλλλ⋅=⋅-=-⋅-=-，即2222212a a a a λλλ-+≥-，整理得22410λλ-+≤，解得2222λ+≤≤.01λλ≤≤∴⎪≤≤⎩1λ≤≤， 因此，实数λ的取值范围为22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．23．(1)18；(2)12λ=-. 【分析】(1)根据条件，可以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，从而可得出AC AE ，的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可；(2)可以得出(0BD =，(32)AF =+λ，然后根据BD AF ⊥，即可得出0BD AF ⋅=，进行向量数量积的坐标运算，即可求出λ的值.【详解】(1)以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(4,23)C ，3)E ，(2,3)D ，所以(423)，AC =，(33)，AE =， 所以4323318AC AE ⋅=⨯+⨯=； (2)(023)，BD =，(32323)，AF =+λλ，因为BD AF ⊥， 所以2333)0BD AF ⋅==λ，解得12λ=-. 【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，选择恰当的点作为坐标原点建系及正确的写出各点坐标是关键，属于中档题.本题也可以AB ,AD 作为基底，利用基底法求解. 24．（1）5±2）证明见解析.【分析】（1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t 的值；（2）根据条件得到2AC AB =且有公共点A ,即可得到结论.【详解】解：（1）∵(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，故2505t t -=⇒=±，即实数t 的值为：5±；（2）证明：∵OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.∴AB OB OA b =-=， 2AC OC OA b =-=，即2AC AB =且有公共点A ，故A ，B ，C 三点共线．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，用向量法证明三点共线，属于基础题． 25．()112x y ==；()23-. 【分析】 ()1用OA ，OB 表示出OP ，根据平面向量的基本定理得出x ，y 的值； ()2用OA ，OB 表示出OP ，AB ，代入数量积公式计算即可.【详解】解：()1若AP PB =，则OP OA OB OP -=-， 即1122OP OA OB =+，故12x y ==. ()2若3AP PB =，则33OP OA OB OP -=-， 即1344OP OA OB =+， 所以()221311344424OA OB OB OA O OP A OA O B B OB A ⎛⎫+⋅-=--⋅=⋅+ ⎪⎝⎭ 22221131113cos60442234244224OA OA OB OB -⋅⋅︒+=-⨯-⨯⨯⨯=-+⨯=-. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，考查向量的数量积运算，属于中档题.26．（1）23-；（2 【分析】 （1）由//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，建立方程组可得答案； （2）由已知求得12e e ⋅，再由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，可解得λ，再利用向量的模的计算方法可求得答案. 【详解】（1）因为//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，即()121223e e t e e λ+=-， 所以23t tλ=⎧⎨=-⎩，解得23λ=-； （2）由已知得122111cos 32e e π⋅=⨯⨯=-，由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，即()12+32302λλ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得4λ=， 所以124a e e =-，所以22121212||416821a e e e e e e =-=+-⋅=||21a =．【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)
一、选择题1．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（ ）AB．C ．10D ．202．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－13．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫=>⎪⎝⎭，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（ ） A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B．0,(1,)3⎛⋃+∞ ⎝⎭C．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．(1,)+∞4．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17115．已知平面向量a 与b 的夹角为23π，若(3,1)a =-，2213a b -=，则b （ ） A ．3B ． 4C ．3D ．26．已知1a =，2b=，则a b ab ++-的最大值等于（ ） A ．4B C ．D ．57．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==8．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,2]C ．22,222]-+D ．[222,2]-9．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =，2BC =，0GA GB GC ++=，则AB CG=（ ）A ．3B ．5C ．2D ．10210．如图，已知点D 为ABC 的边BC 上一点，3BD DC =，*()∈n E n N 为AC 边的一列点，满足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+，其中实数列{}n a 中，10,1n a a >=，，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．1321n -⋅-B ．21n -C ．32n -D ．1231n -⋅-11．已知向量(6,4),(3,),(2,3)a b k c =-==-，若//a b ，则b 与c 的夹角的余弦值为（ ） A ．1213B ．1213-C ．45-D ．4512．设O 为ABC 内一点,已知2332OA OB OC AB BC CA ++=++,则::AOB BOC COA S S S ∆∆∆= （ ）A ．1:2:3B ．2:3:1C ．3:1:2D ．3:2:1二、填空题13．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________. 14．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为_____． 15．如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8，若7CE DE =-，3BF FC =，则AF ·BE =_____.16．如图，在ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =，且34AE AB AC λ=+，则λ=___________.17．已知(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在a 方向上的投影为_________.18．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.19．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.20．在ABC △中，已知4CA =，3CP =23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.三、解答题21．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，若122F F =，椭圆的离心率为12e =． （1）求椭圆的标准方程．（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围． 22．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ； （2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积． 23．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-. （1）若()a b a λ+⊥，求实数λ的值；（2）若2c a b =-，2d a b =+，求向量c 与d 的夹角. 24．已知向量()cos ,sin m x x =-，()3,3n =，[]0,x π∈. （1）若m 与n 共线，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos sin sin 2b A C a B C b -=．（1）求B 的大小；（2）设1BA BC ⋅=-，D 为边AC 上的点，满足2AD DC =，求BD 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．2．A解析：A 【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置． 【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移， 到点A 时Z 最大， 而由x+y=11x ⎧⎨=⎩可得A （1，0）， 此时Z max ＝2． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
高中数学必修四第二章单元测试 平面向量
高中数学必修四第二章单元测试 平面向量一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．与向量a ＝(1，3)的夹角为30°的单位向量是( )A ．(12，32)或(1，3)B ．(32，12)C ．(0,1)D ．(0,1)或(32，12) 2．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22 C ．a －b 与b 垂直 D ．a ∥b3．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则a ＋b ＋c 的模等于( )A ．0B ．2＋ 2 C. 2 D ．225．若a 与b 满足|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则a ·a ＋a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2 6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32b C.32a －12b D ．－32a ＋12b 7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．38．向量BA →＝(4，－3)，向量BC →＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( )A ．等腰非直角三角形B ．等边三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形9．设点A (1,2)、B (3,5)，将向量AB →按向量a ＝(－1，－1)平移后得到A ′B ′→为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,7)10．若a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫103，＋∞B.⎣⎡⎭⎫103，＋∞C.⎝⎛⎭⎫－∞，103D.⎝⎛⎦⎤－∞，103A ．2B ．－2C ．|AB →|cos AD ．与菱形的边长有关12．如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.14．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________.15．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为________．16. 如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ；(2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角．18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ；(2)c ⊥d.19．(12分)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．21．(12分)已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB .22．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1.求证：△P 1P 2P 3是正三角形．答案1．D 2.C3．D [根据力的平衡原理有f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，∴f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．]4．D [|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝2 2.]5．B [由题意得a ·a ＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos 60°＝1＋12＝32，故选B.] 6．B [令c ＝λa ＋μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝－1λ－μ＝2， ∴⎩⎨⎧ λ＝12μ＝－32，∴c ＝12a －32b .] 7．C [∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.]8．C [∵BA →＝(4，－3)，BC →＝(2，－4)，∴AC →＝BC →－BA →＝(－2，－1)，∴CA →·CB →＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C ＝90°，且|CA →|＝5，|CB →|＝25，|CA →|≠|CB →|.∴△ABC 是直角非等腰三角形．]9．B [∵AB →＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量AB →后得A ′B ′→，A ′B ′→＝AB →＝(2,3)．]10．A [a·b ＝－3λ＋10<0，∴λ>103.当a 与b 共线时，λ－3＝25，∴λ＝－65.此时，a 与b 同向，∴λ>103.] 11．B [如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＝AO →＋OB →. CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →)＝－2＋0＝－2，故选B.]12．A [根据正六边形的几何性质．〈P 1P 2→，P 1P 3→〉＝π6，〈P 1P 2→，P 1P 4→〉＝π3，∴P 1P 2→·P 1P 6→<0，P 1P 2→·P 1P 5→＝0，P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·3|P 1P 2→|cos π6＝32|P 1P 2→|2， P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·2|P 1P 2→|·cos π3＝|P 1P 2→|2.比较可知A 正确．] 13．－1解析 ∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)．∵(a ＋b )∥c ，c ＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m －1)＝0.∴m ＝－1.14．3解析 a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝2·3·cos 30°＝3.15．6解析 由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝2k a 2－12b 2＝2k －12＝0，∴k ＝6.16．－12解析 因为点O 是A ，B 的中点，所以P A →＋PB →＝2PO →，设|PC →|＝x ，则|PO →|＝1－x (0≤x ≤1)．所以(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x (1－x )＝2(x －12)2－12. ∴当x ＝12时，(P A →＋PB →)·PC →取到最小值－12. 17．解 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－1，∴θ＝180°. 18．解 由题意得a·b ＝|a||b |cos 60°＝2×3×12＝3. (1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )．∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝95. (2)当c ⊥d 时，c·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0.19．解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝1－|b |2＝12，∴|b |2＝12，∴|b |＝22， 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×22＝22.∴θ＝45°. (2)∵|a |＝1，|b |＝22， ∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12.∴|a －b |＝22， 又|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52.∴|a ＋b |＝102， 设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55.即a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值为55. 20．解 (1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小．由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210，由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2.(2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5，∴由(AB →－tOC →)·OC→＝0得t ＝－115. 21．证明如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝OE →－OB →＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，∵BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)，∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2.同理由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2.解得x ＝65，∴y ＝85，即P ⎝⎛⎭⎫65，85. ∴AP →2＝⎝⎛⎭⎫652＋⎝⎛⎭⎫852＝4＝AB →2， ∴|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .22．证明 ∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，∴(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，∴|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2，∴OP 1→·OP 2→＝－12， cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12， ∴∠P 1OP 2＝120°.同理，∠P 1OP 3＝∠P 2OP 3＝120°，即OP 1→、OP 2→、OP 3→中任意两个向量的夹角为120°，故△P 1P 2P 3是正三角形．。
高一数学必修四单元测试第二章 平面向量
必修四 第二章 平面向量一、选择题1．已知向量,a b 满足||1,||2,a b ==且,a b ⊥则||a b +的值为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．222．在ABC ∆中11,,,33AP AB BQ BC == 记,,AB a BC b ==则PQ =（ ）A ．1133a b +B ．2133a b +C ．2233a b +D ．1233a b -3．已知向量,(1,2)(1,0),(3,4),a b c ==-=若λ为实数,()a b λ-∥,c 则λ=（ ）A ．14B ．12C ．1D ．24．已知向量,(,1)(2,1),a b λλ==+ 若||||a b a b +=-，则实数λ的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-5．已知||1,||6,()2,a b a b a ==⋅-=则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π6．已知向量a 与e 的夹角为60,︒||4,a e =为单位向量，则a 在e 方向上的投影与e 在a 方向上的投影分别为（ ） A ．323,2B ．12,2C ．3,232D ．2,27．对于向量,,a b c 和实数λ下列命题中为真命题的是（ ）A ．若0,a b ⋅=则0a =或0b =B ．若0,a λ=则0λ=或0a =C ．若22,a b =则a b =或a b =-D ．若,a b a c ⋅=⋅则b c =8．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形,则(2)(34)AB BC BC AC -⋅-=（ ）A ．132-B ．112-C ．362--D ．362-+9．已知,,,A B C D 为平面上的四个互异点,且满足(2)()0,DB DC DA AB AC +-⋅-=则ABC ∆的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形10．在边长为2的等边ABC ∆中, 点,,P Q G 分别是边,,AB BC CA 上的三点， 且1,2AP AB =11,34BQ BC CG CA ==则PQ PG ⋅=（ ）A ．512B ．712C ．34D ．111211．函数tan ()(14)42x y x ππ=-<<的图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则()OB OC OA +⋅=（ ） A ．2 B ．4 C ．6D ．812．如图所示，在直角梯形ABCD 中,0,0,AD AB AD DC ⋅=⋅=60,ACD ∠=︒||AB =3||3,DC =若线段BC 上存在点,E使,CE CB λ=且2,AE AB AC =⋅则λ的值为（ ） A ．1157+B ．6157-C ．8797- D ．18877-二、填空题13．已知(cos ,sin ),(1,1),a b αα==且a ∥,(0,)b απ∈则α= ． 14．在ABC ∆中，已知90,3,4,ACB CA CB ∠=︒==点E 是边AB 的中点，则CE AB ⋅= ．15．已知点G 为ABC ∆的重心，过点G 作一直线，与,AB AC 的两边分别交于两点,,M N且,,,,AM xAB AN yAC x y R ==∈则11x y += ．16．如图，已知O 为ABC ∆的外心,23,22,AB AC ==BAC ∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅的值为 ．三、解答题17． 已知向量(1,2),(3,4).a b ==-（1）求向量a b +与a b -的夹角； （2）若(),a a b λ⊥+求实数λ的值.18． 已知(2,0),(0,2),(cos ,sin ),O A B C θθ为坐标原点．（1）若1,3AC BC ⋅=-求sin cos θθ⋅的值；（2）若||7,OA OC += 且(,0),θπ∈-求OB 与OC 的夹角．19． 已知向量(4,1),(2,3),(7,1).OA OB OC m =-==-+（1）若ABC ∆中的内角A 为钝角,求实数m 的取值范围； （2）若ABC ∆为直角三角形, 求实数m 的值．20． 已知非零向量,a b 满足向量2a b -与b 垂直，集合2{|(||||)||||0}A x x a b x a b =+++=是单元素集合.（1）求向量a 与b 的夹角θ；（2）若关于t 的不等式||||a tb a mb -<-的解集为空集，求实数m 的值．21． 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2),a =-又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤．（1）若,AB a ⊥且||5||,AB OA =求向量OB ；（2）若向量AC 与向量a 共线，当4,k >且sin t θ取最大值4时，求OA OC ⋅．22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点,,,A B C 三点满足1233OC OA OB =+．（1）求证： ,,A B C 三点共线，并求||||AC BA 的值；（2）已知(1,cos ),(1cos ,cos ),(,),22A xB x x x ππ+∈-且函数()f x OA OC =⋅+2(2)||3m AB -⋅的最小值为1,2求实数m 的值．高一数学 单元检测试题必修四 第二章 平面向量1~12 BBBC CBBB BBDA13．4π 14．72 15．3 16．517．（1）135 ； （2） 1- ． 18．（1）518- ； （2）56π ．19．（1）9m <且1m ≠-； （2）9或29 20．（1）3π； （2）12．21．（1）(24,8)或(8,8)-- ； （2）32 ． 22．（1）23； （2）2 ．。
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7. ・一> r亠，则点O 是厶ABC W （ 、外心 4个命题：O 是厶ABC 所且满足条件C、内心 设八、b 、 均为平面内任意非零向量且互不共线, （1）（ ” • b ）2= ” 2 • b 2（2）|“ +b | > | “ -b |（4）（ b 厂）“ -（—a ） b 与『不A 8. D则下列（3）| 訂 +b | 2=（和 +b ）2定垂直。
其中真命题的个数是（ C9. 在厶ABC 中, A=60°, b=1,:;匸一 1 : L. _ : _ 等于(26^3~3~10.设订、b 不共线，则关于A 至少有一个实数解C 至多有两个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题 的方程 打x 2+b x+ T=0的解的情况是（11.在等腰直角三角形ABC 中，斜边 AC=2£2，贝U AB CA = ________12.已知ABCDE 为正六边形，且 AC =a , AD =b ,则用a , b 表示AB 为 ____________ . 13 .有一两岸平行的河流，水速为1，速度为*的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝第二章平面向量测试题、选择题：（本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设点 P (3, -6 ), Q (-5 , 2), R 的纵坐标为-9，且P 、Q R 三点共线，则R 点的横坐标为（ ）A -9 B、-6 C 、9 D 、6 2.已知卫=（2,3）, b =(-4,7)，贝U N 在b 上的投影为（ ）。
•-佢AV13B、 ： C 、 1D. 十—>3.设点A (1 , 2), B （ 3, 5）,将向量毘E 按向量d =（ -1 , -1 ）平移后得向量三丄为（）。
A (2, 3) B、(1, 2) C 、(3, 4) D 、(4, 7)4.若（a+b+c ）（b+c-a ）=3bc ，且 sinA=sinBcosC ，那么△ ABC >（）。
高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
姓名: 班级: 学号: 得分:一.选择题（5分×12=60分）:1．以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC M B ADC ．；－＋BM AD M B D ．；＋－CD OA OC3．已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为（ ） A ．6563B ．65C ．513D ．134． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）（A ）)(21→→-b a （B ）)(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 （D ）)(21→→+b a6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝ －5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（ ）（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）（A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（ ）（A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）10．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ ）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±11、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）A. 2-或0；B. 25；C. 2或25；D. 2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二. 填空题(5分×5=25分):13．若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ． 14．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．15、已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是_________________。