2015年解放军高中士兵考学数学真题

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军考数学高中士兵考军校综合测试卷及答案

2021年军考-高中学历士兵考军校-数学综合测试卷一．选择题（共9小题）1．设集合2{|}M x x x ==，{|0}N x lgx =，则(M N =)A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[0，1)D ．(-∞，1]2．函数221(2x y -=的单调递减区间为()A ．(-∞，0]B．[0，)+∞C ．(-∞D ．，)+∞3．设02x π<<，则“2cos x x <”是“cos x x <”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知1t >，2log x t =，3log y t =，5log z t =，则()A ．235x y z<<B ．523z x y<<C ．352y z x <<D ．325y x z<<5．若关于x 的不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-，1]都成立，则实数a 的取值范围是()A ．[4-，3]-B ．{3}-C ．{3}D ．[3，4]6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，312S =，且1a ，2a ，6a 成等比数列，则10(a =)A ．33B ．28C ．4D ．4或287．一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是()A ．14B ．12C ．18D ．138．2251lim 25n n n n →∞--+的值为()A ．15-B ．52-C ．15D ．529．已知圆22:(1)1M x y -+=，圆22:(1)1N x y ++=，直线1l ，2l 分别过圆心M ，N ，且1l 与圆M 相交于A ，B 两点，2l 与圆N 相交于C ，D 两点，点P 是椭圆22149x y +=上任意一点，则PA PB PC PD +的最小值为()A ．7B ．8C ．9D ．10二．填空题（共8小题）10．49log 43log 2547lg lg ++=．11．已知22sin 3α=，1cos()3αβ+=-，且α，(0,)2πβ∈，则sin β=．12．若函数3()2()f x x ax a R =--∈在(,0)-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1-，2]上的最小值为．13．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．14．73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是．15．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈，且11a =，则n a =．16．已知函数()f x 对任意的x R ∈，都有11()()22f x f x +=-，函数(1)f x +是奇函数，当1122x-时，()2f x x =，则方程1()2f x =-在区间[3-，5]内的所有零点之和为．17．已知点O 为坐标原点，圆22:(1)1M x y -+=，圆22:(2)4N x y ++=，A ，B 分别为圆M 和圆N 上的动点，OAB ∆面积的最大值为．参考答案与解析一．选择题（共9小题）1.【解答】解：由2{|}{0M x x x ===，1}，{|0}(0N x lgx ==，1]，得{0MN =，1}(0⋃，1][0=，1]．故选：A ．2.【解答】解：令22t x =-，则1()2t y =，即有y 在t R ∈上递减，由于t 在[0x ∈，)+∞上递增，则由复合函数的单调性，可知，函数y 的单调减区间为：[0，)+∞．故选：B ．3.【解答】解：由2x x =得0x =或1x =，作出函数cos y x =和2y x =和y x =的图象如图，则由图象可知当2cos x x <时，2B x x π<<，当cos x x <时，2A x x π<<，AB x x <，∴“2cos x x <”是“cos x x <”的充分不必要条件，故选：A ．4.【解答】解：1t >，0lgt ∴>．又0235lg lg lg <<<，2202lgt x lg ∴=>，3303lgt y lg =>，505lgtz lg =>，∴5321225z lg x lg =>，可得52z x >．29138x lg y lg =>．可得23x y >．综上可得：325y x z <<．故选：D ．5.【解答】解：令3()41f x x ax =+-，[1x ∈-，1]．不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-，1]都成立，即()0f x 对任意[1x ∈-，1]都成立，取4a =-，则3()441f x x x =--，此时11()022f -=>，排除A ．取3a =，则3()431f x x x =+-，此时1()102f =>，排除CD ．故选：B ．6.【解答】解：设数列{}n a 为公差为d 的等差数列，当0d =时，312S =，即1312a =，即有1014a a ==；当0d ≠时，1a ，2a ，6a 成等比数列，可得2216a a a =，即2111()(5)a d a a d +=+，化为13d a =，311331212S a d a ∴=+==，11a ∴=，3d =，1019328a ∴=+⨯=．综上可得104a =或28．故选：D ．7.【解答】解：设三段长分别为x ，y ，1x y --，则总样本空间为010101x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩．其面积为12，能构成三角形的事件的空间为111x y x y x x y y y x y x +>--⎧⎪+-->⎨⎪+-->⎩，其面积为18，则这三段可以组成三角形的概率是118142p ==．故选：A．8.【解答】解：222215515limlim 152522n n n n n n n n→∞→∞--==-+-+．9.【解答】解：圆22:(1)1M x y -+=的圆心(1,0)M ，半径为1M r =；圆22:(1)1N x y ++=的圆心为(1,0)N -，半径为1N r =；所以22()()()1PA PB PM MA PM MB PM PM MA MB MA MB PM =++=+++=-，22()()()1PC PD PN NC PN ND PN PN NC ND NC ND PN =++=+++=-，P 为椭圆22149x y +=上的点，∴222221022()89y PA PB PC PD PM PN x y +=+-=+=+；由题意可知，33y -，21088189y ∴+，即PA PB PC PD +的最小值为8．故选：B ．二．填空题（共8小题）10.【解答】解：原式71243115310072244log log lg -=++=-++=．故答案为：154．11.【解答】解：22sin 3α=，(0,2πα∈，1cos 3α∴==，α∴，(0,2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，又1cos()3αβ+=-，sin()3αβ∴+=．则11sin sin[()]sin()cos cos()sin ()33βαβααβααβα=+-=+-+=--⨯．故答案为：429．12.【解答】解：3()2()f x x ax a R =--∈，2()3(0)f x x a x ∴'=-<，①当0a 时，2()30f x x a '=->，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，又(0)20f =-<，()f x ∴在(,0)-∞上没有零点；②当0a >时，由2()30f x x a '=->，解得33x <或33x >（舍)．()f x ∴在(,)3-∞上单调递增，在(3，0)上单调递减，而(0)20f =-<，要使()f x 在(,0)-∞内有且只有一个零点，3(()()20333f a ∴-=--⨯--=，解得3a =，3()32f x x x =--，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，[1x ∈-，2]，当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,2)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．又(1)0f -=，f （1）4=-，f （2）0=，()min f x f ∴=（1）4=-．故答案为：4-．13.【解答】解：根据题意，可得排法共有112654180C C C =种．故答案为：180．14.【解答】解：73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数可这样求得：第一个括号7(1)x -中提供x 时，第二个括号3(1)x +只能提供常数，此时展开式中x 的系数是：1637(1)17C -=；同理可求，第一个括号7(1)x -中提供常数时，第二个括号3(1)x +只能提供x ，此时展开式中x 的系数是7123(1)13C -=-，所以展开式中x 的系数是16371273(1)1(1)14C C -+-=．故答案为：4．15.【解答】解：数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈，可得1111n n S S +-=，所以1{}n S 是等差数列，首项为1，公差为1，所以11(1)1nn n S =+-=，1n S n =，1111(1)n a n n n n -=-=--，2n ，(*)n N ∈，所以1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩，故答案为：1,11,2(1)n n n n =⎧⎪-⎨⎪-⎩．16.【解答】解：根据题意，因为函数(1)f x +是奇函数，所以函数(1)f x +的图象关于点(0,0)对称，把函数(1)f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点(1,0))对称，则(2)()f x f x -=-，又因为11()()22f x f x +=-，所以(1)()f x f x -=，从而(2)(1)f x f x -=--，再用x 替换1x -可得(1)()f x f x +=-，所以(2)(1)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称，如图所示，函数()f x 在区间[3-，5]内有8个零点，所有零点之和为12442⨯⨯=．故答案为：4．17.【解答】解：如图以OM 为直径画圆，延长BO 交新圆于E ，AO 交新圆于F 点，连接FE ，NF ，MF ，则MF 与OA 垂直，又MA MO =，F 为AO 的中点，由对称性可得OF OB =，由1sin 2ABO S OA OB AOB ∆=∠，1sin()2EAO S OE OB AOB π∆=-∠1sin 2OE OB AOB =∠，可得2ABO EAO EFO S S S ∆∆∆==，当EFO S ∆最大时，ABO S ∆最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF 的面积的最大值，由圆内接三角形A B C '''的面积1sin 2S a b C '''=，2sin a A ''=，2sin b B ''=，3sin sin sin 2sin sin sin 2()3A B C S A B C '+'+''''=，由()sin f x x =，[0x ∈，]π，为凸函数，可得sin sin sin 3sinsin 3332A B C A B C π'+'+''+'+'==，当且仅当3A B C π'''===时，取得等号，可得3sin sin sin 2()23A B C '+'+'=．即三角形OEF 的面积的最大值为．进而得到ABO S ∆最大值为3333242⨯=，故答案为：332。

军考真题数学【完整版】

2017年军考真题士兵高中数学试题关键词：军考真题，德方军考，大学生士兵考军校，军考数学，军考资料一、单项选择（每小题4分，共36分）．1. 设集合A={y|y=2x ，x ∈R}，B={x|x 2﹣1＜0}，则A ∪B=（）A ．（﹣1，1）B ．（0，1）C ．（﹣1，+∞）D ．（0，+∞）2. 已知函数f （x ）=a x +log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为（log a 2）+6，则a 的值为（）A ．B ．C ．2D ．43. 设a b 、是向量，则||=||a b 是|+|=|-|a b a b 的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．已知421353=2,4,25a b c ==，则（）A ．b<a<cB ．a<b<cC ．b<c<aD ． c<a<b 5. 设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A ．B ．C ．D ．6. 设数列{a n }是首项为a 1、公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=（）A ．2B ．C ．﹣2D ．﹣7. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A ．B ．C ．D ．18. 已知A ，B ，C 点在球O 的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为（）A ．12πB ．16πC ．36πD ．20π9. 已知2017ln f x x x =+（）（），0'2018f x =（），则0x =（） A. 2e B.1 C. ln 2 D. e二、填空题（每小题4分，共32分）10. 设向量，，且，则m=．12. 已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为．13. 已知函数f（x）=，则f（f（））= ．14. 在的展开式中x7的项的系数是．15. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼﹣15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是_______。

2015年军队院校招生文化科目统一考试第一次士兵高中数学模拟试题

绝密★启封前二〇一五年军队院校招生文化科目统一考试第一次士兵高中数学模拟试题组卷人：魏学锐2014.10一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把该选项的代号写在答题卡指定位置上。

）1、设集合{}(){}R x x y y x N R x x y y M ∈,1, , ∈,12+==+==，则N M （）A {}1,0B {}0C ∅D {}12、已知集合M={0,2,3},P={x|x=ab,a,b ∈ M},则集合P 的非空子集个数为（）A 、4B 、8C 、16D 、153、设a 、b 都是实数，则“)1lg()1lg(22+<+b a ”是“b a <”的（）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件4、设a ＞0，a ≠1，则“函数f(x)=x a 在R 上是减函数”，是“函数g(x)=(2-a)3x 在R 上是增函数”的（）A 、充分必要条件B 、必要不充分条件C 、充分不必要条件D 、既不充分也不必要条件5、若则,8.0log ,6log ,log 273===c b a π （）A. c b a >>B. c a b >>C. b a c >>D. a c b >>６、设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当x ≥ 0时，b x x f x ++=22)(（b 为常数），则()=-1f （）A 3B 2C -1D -37、函数1ln +=x y 的反函数是（）A.)(1R x e y x ∈=+B.)∈(1-R x e y x =C.)1(1>=+x e y xD.)1(1->=x e y x8、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3S =9，6S =36，则987a a a ++=（）A.63B.45C.36D.279、设｛n a ｝是公差不为零的等差数列，1a ＝２且631a a a ，，成等比数列，则｛n a ｝的前ｎ项和n S ＝（）474.2n n A + 353.2n n B + 432.2n n C + n n D +2.二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，把答案填在答题卡指定位置上）1、已知集合， {0,1}=M 则满足}210{，，=N M 的集合N 的个数为______.2、p: x1、x2是方程06-52=+x x 的两根，q : x1+x2=-5，则p 是q 的__________条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选一个填写）3、设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则a=_________. 4、若函数)(x f 的反函数2-11)(x x f +=（x<0)，则)2(f 的值为_______.5、函数x43x -x -2+=y 的定义域为_____. 6、若函数m x x x f +=2-)(2在）∞,2[+上的最小值为-2，则实数m 的值为______.7、在等差数列}{n a 中，,27,39963741=++=++a a a a a a 则}{n a 的前9项之和S 9为___.8、在等比数列}{n a 中，553=•a a ，则7531a a a a •••=_____.三、计算题，本题共两小题.（16分）1.（本小题共7分）求解方程：235x x =.2.（本小题共9分）求解方程：()2313log 13log 133=⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x .四、（12分）若n S 是公差不为0的等差数列}{n a 的前n 项和（n=1,2,3,...)，且421,,S S S 成等比数列。

2015年解放军军考数学真题及参考答案

bn ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn 。 an
五、（14 分）袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为七分之一，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 ξ 表示取球终止所需要的取球次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量 ξ 的概率分布和数学期望；（3）求甲取到白球的概率．
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2015 年士兵高中军考数学真题答案
一、选择题 1-5BAABD 二、填空题 1.120° 2. 6-9DBDC
2 3
3.
3 2 2
4. x y

2
1 0
5.-20
6.19
7.x+2y-5=0
8.2
三、计算题 1.
2. （1）
（2）
四、
5/9
五、
6/9
六、
七、
7/9
八、
6.等差数列 xn 中， x3 x11 8 ，数列 yn 等比数列，且 y7 x7 ，则 y 6 y8 的值为______ A．4 B．6 C．12 D． 16
7.连续两次掷骰子得到的点数分别为 m 和 n，若记向量 a m, n 与 b 1,2 的夹角为，则为锐角的概率是____ A．
2015 年士兵高中军考数学真题
解放军军考数学真题，解放军士兵考军校资料，解放军 2015 数学，德方军考，解放军军考真题，解放军军考资料德方军考寄语首先预祝你 2018 年军考取得好成绩！军考真题的参考意义巨大，希望你好好利用这份军考真题。如果你有些军考真题不会做，可以下载军考通 APP，上面有真题讲解的视频课。此外，还有军考考点精讲、教材习题精讲和专项突破视频课程，相信对你的军考备考会很有帮助，现在军考通 APP 视频课免费公开了 20%。

[原创]部队战士考学之数学基础训练素材之高中课本题详细解析之函数及其表示1.2函数及其表示doc高中

2［原创］部队战士考学之数学基础训函数及其表示doc 高中数学1 . 2函数及其表示1. 2. 1函数的概念练习〔第19页〕1.求以下函数的定义域:1得该函数的定义域为 {x| 3x1}.1 •解：〔1〕要使原式有意义，那么 4x 7 0,即得该函数的定义域为 {x|x〔2〕要使原式有意义，那么x 0，即3 02.函数 f(x) 3x 2 2x ,〔1〕求 f (2), f ( 2), f (2) f( 2)的值; 〔2〕求 f(a), f(a), f (a) f ( a)的值.2.解:〔1〕由 f (x)3x 2 2x ,得 f (2)3 2218,〔2〕同理得f( 2) 3 (那么 f(2) f( 2) 即 f (2)18, f( 2)由 f(x) 3x 22x , 同理得f( a) 那么f (a) f ( a)即 f(a) 3a22) 2 ( 2) 18 8 26, 8, f (2) f(得 f(a)3 2) 26; a 2 2 a3a 2 2a ,a)2 2 ( a) 3a 2 2a , 2 2 2(3a2a) (3a 2a) 6a ,2 22a, f( a) 3a 2a, f (a) f ( a) 6a .练素材之高中课本题详细解析之函数及其表示 1. 2〔2〕f(x).，厂x1〕f(x) 4x 73 •判定以下各组中的函数是否相等，并讲明理由：〔1〕表示炮弹飞行高度 h 与时刻t 关系的函数〔2〕f(x) 1 和 g(x) x 0 •3•解：〔1〕不相等，因为定义域不同，时刻t〔2〕不相等，因为定义域不同， g(x)2 2h 130t 5t 和二次函数 y 130x 5x ；0 ；x (x 0) •1. 2. 2函数的表示法练习〔第23页〕1 •如图，把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料，假如矩形的一边长为xcm ,1 •解：明显矩形的另一边长为.502 x 2cm ,即 y x . 2500 x 2 (0 x 50) •2 •以下图中哪几个图象与下述三件事分不吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.〔1〕我离开家不久，发觉自己把作业本忘在家里了，因此返回家里找到了作业本再上学;〔2〕我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时刻；〔3〕我动身后，心情轻松，慢慢行进，后来为了赶时刻开始加速.〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕2.解：图象〔A 〕对应事件〔2〕，在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化;图象〔B 〕对应事件〔3〕，刚刚开始慢慢行进，后来为了赶时刻开始加速；图象〔D 〕对应事件〔1〕，返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象〔C 〕我动身后，以为要迟到，赶时刻开始加速，后来心情轻松，慢慢行进.3.画出函数y |x 2|的图象.x 2,x 2 上「^一y |x 21x 2,x 2，图象如下所示.面积为ycm 2，把y 表示为x 的函数. y x 502 x 2 x 2500 x 2，且 0 x 50,x〔1〕f (x)2xx 1,g(x)1〔2〕f (x) x 2,g(x) ( x)4 ；4•设A {x|x 是锐角}, B {0,1}，从A 到B 的映射是”求正弦'’，与 A 中元素60相对的B 中的元素是什么？与 B 中的元素上2相对应的A 中元素是什么?2解：因为sin 6。

部队高中士兵军考数学模拟试题(二)

高中学历士兵考军校数学科目测试题关键词：士兵考军校试题军考数学试卷军考教材士兵考军校教材军考复习资料解答题（18、19题，每题11分；20-24题，每题12分；共82分）18.已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|，求f(x)的最小值m.19.已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x).（1）求f5π4⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.20.已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).21.某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（1）恰有2人申请A 片区房源的概率；（2）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望.22.已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e)＝2(e ＝2.71828…是自然对数的底数).（1）求实数b 的值；（2）求函数f (x )的单调区间.23.如下图所示，在三棱柱ABC -111A B C 中，1CC 平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点，AB=BC =，AC =1AA =2.（1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）求二面角B-CD -C 1的余弦值；（3）证明：直线FG 与平面BCD 相交.24.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过A (2，0)，B (0，1)两点. （1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.。

2015年武警军考数学真题及答案

�� ∴ cos (2�� − ) = cos 2�� ∙ cos + sin 2�� ∙ sin 6 6 6 = −4∙
1 √3 2
+
√15 1 ∙2 4
=
√15−√3 . 8
18.解：（1）方程�� 2 − 5�� + 6 = 0的两根为��1 = 2，��2 = 3.由题意得��2 = 2，��4 = 3. 设数列{�� }的公差为��，则��4 − ��2 = 2��，即3 − 2 = 2��，∴ �� = 2. ��1 = ��2 − �� = 2 − = .∴ �� = ��1 + (�� − 1)�� = + (�� − 1) ∙ = �� + 1.
�� （2）求数列{ �� }的前��项和.
�� 2
19.已知向量 a=(cos �� ， sin ��)，b=(cos �� ， sin ��)，0＜�� ＜��＜��. （1）若|�� − ��| = √2，求证：a⊥b；（2）设 c=（0,1），若 a+ b=c，求��和 ��的值.
��
3�� + 1 > 0，解之得0 ≤ �� ≤ 1，∴ D = [0,1]. (�� + 1)2 ≤ 3�� + 1.

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四．（12 分）已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 2 an ，数列 {bn } 满足 b1 1, b3 b7 18. ，且 bn 1 bn 1 2bn . （1）求数列 {an } ， {bn } 的通项公式；（2）若 c n =
bn ，求数列{ cn }的前 n 项和. an
3. " k h" 是“直线 y x 2 与圆 ( x k ) 2 ( y h) 2 2 相切”的（ A. 充分不必要条件 C. 充要条件 4.若 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
ln 3 ln 4 ln 5 , , ，则有（） 3 4 5 A. b c a B. c b a
log 3 x, x 0
, 且 f (0) 2, f (1) 3 ，则 f ( f (3)) x a b, x 0
三．（16 分）计算题，本题共 2 个小题. 1.（6 分）解不等式 x + 3 - x - 2 ≥ 3
2.（10 分）在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，已知 cos 2 A 3 cos( B C ) 1 （1）求角 A 的大小；（2）若 ABC 的面积 S 5 3 , b 5, ，求 sin B sin C 的值.
2015 年数学真题
一．选择题（36 分）
1.设集合 P= {5, log 2 (a 3)} ，集合 Q {a, b} ，若 P Q {2} ，则 P Q （ A. {1,2,4} B. {1,2,5} C. {1,2,3} D. {2,3,5} ））
2.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，它在 [0,) 上递减，那么一定有（ A. f ( 2) f ( a 2 2a 3) C. f ( 2) f ( a 2 2a 3) B. f ( 2) f ( a 2 2a 3) D. f ( 2) f ( a 2 2a 3) ）
ADC 45, AD=AC=1，O 为 AC 的中点，PO 垂直于底面 ABCD，PO=2，M 为 PD 的中
点；（1）证明：PB//平面 ACM；（2）证明：AD 平面 PAC；（3）求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值.
（3）是否存在实数 m，使得函数 g ( x ) f / ( x ) mx 在区间[1,2]上有最小值-5？若存在，请求出 m 值，若不存在，说明理由.
x2 y2 6 七．（12 分）已知椭圆 C： 2 2 1( a b 0) 的离心率为，短轴的一个端点到右 a b 3

.
1 ，则 sin( ) 2
2 2
.
3.若直线 ax 2by 2 0(ab 0) 始终平分圆 x y 4 x 2 y 8 0 ，则值为 .
/
1 1 的最小 2a b
.
4.已知函数 f ( x ) f (0) cos x sin x, 则函数 f ( x ) 在 x0 5.设 (5 x
8.一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为 2cm 的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为
5 36
B.
7 36
C.
பைடு நூலகம்1 6
2 9
2cm 的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为（
A.
） D. ( 2 4 2 )cm
2
2cm 2
B. (1 2 2 )cm
2
C. (1 4 2 )cm
2
9.已知 k N , a, b R ，若 lim A. -1 B. 1 C.-k
焦点的距离为 3 ；（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为积的最大值.
3 ，求 ABC 面 2
八．（ 14 分）如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，
*
(1 x) k a b 则 ab=（ x 0 x
D.k
）
二．填空题（32 分）
1.已知向量 a , b 满足 a 1, b 2 且 ( a b )( a 2 b ) 6 ，则向量 a , b 的夹角为 2.若 cos cos sin sin
5.已知双曲线
C. a c b
D. c a b
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的准线分 2 a b
别交于 P、Q 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率是 2，三角形 POQ 的面积为 3 ，则 p= （ A. 4 ） B. 3 C. 1 D. 2 ）
六．（14 分）已知 f ( x )
1 3 1 2 ax x cx d (a, c, d R) ，满足 f (0) 0 ， f / (1) = 0 且 3 4
f / ( x) 0 在 R 上恒成立.
（1）求 a，c，d 的值；（2）若 h( x )
3 2 b 1 x bx (b R) ，解不等式 f / ( x) h( x) 0 ； 4 2 4
6.等差数列 {xn } 中，x3 x11 8 ，数列 { y n } 为等比数列，且 y 7 x7 ，则 y6 y8 的值为（ A. 4 B. 6 C. 12 D. 16
→
7.连续两次掷骰子，得到的点数分别为 m 和 n，若记向量 a ( m, n) 与向量 b = (1,-2) 的夹角为，则为锐角的概率（ A. ） D.
处的切线方程式 2
3
1 n ) 的二项展开式的各项系数之和为 A，二项式系数之和为 B，若 A-B=240，则 x
该二项展开式中的常数项为 . 6.一个盒子中有 3 个分别标有 1,2,3 的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子，共取 3 次，则取到的小球标号最大是 3 的取法有 .种. 7.已知 PQ 是圆 x 2 y 2 9 的弦，PQ 的中点是（1,2），则直线 PQ 的方程是 8.已知 f ( x ) . .
五．（14 分）袋中黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球，都是白球的概率是
1 ；现有甲乙 7
两个人从袋中轮流摸取一球，甲先取乙后取，然后甲再取· · ·取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取到的机会是相等的.用表示取球终止时所需要的取球次数; （1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量的概率分布和期望. （3）求甲取到白球的概率.