二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分知识讲解
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2109二重积分的极坐标变换
积的 8 倍, 而这部分是以z =
c
1−
x2 a2
−
y2 b2
为曲顶,
=D
( x , y)
0≤ y≤ b a
a2
−
x2
,
0
≤
x
≤
a
为底的曲顶柱体,
所以
∫∫ = V 8 c 1 − x2 − y2 dxdy .
D
a2 b2
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
除变量作相应的替换外, 还须把“面积微元”dxdy 换
成 r drdθ .
下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分 来计算.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
1. 常用的是将 ∆ 分解为 rθ 平面中的θ 型区域. (i) 若原点 O ∉ D , 则 θ 型区域必可表示成(图21-27)
广义极坐标变换
二重积分的广义极坐标变换
当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时, 可考虑用如
下的广义极坐标变换:
x = ar cosθ ,
T
:
y
=
br
sinθ
,
0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ θ ≤ 2π ,
并计算得
a cosθ −ar sinθ = J (r , θ ) = abr .
bsinθ br cosθ
第九讲 二重积分的极坐标变换
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
重积分的变量变换.
o
f ( x, y)dxdy
D
f (r cos , r sin )rdrd
D
d 2( )
1( )
f (r cos ,
r sin ) r dr.
r 2( )
A
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
r ( )
D： ,
D
其中正号及负号分别由 t 从 变 到时，是对
应于 LD 的正向或是负方向所决定．由（6）及
（7）得到
D =
L
xu,
v
y u
du
y v
dv
= 令
Pu,
L
v
xu, v xu,
v
y du u
y
u
xu,v y dv
v
Qu, v xu,
v
y v
在平面 uv 上对上式应用格林公式，得到
D
vdv
1
sin
1.
20
2
二、利用极坐标系计算二重积分
面积元素
d r drd . 或 dxdy r drd .
f ( x, y)dxdy
D
f (r cos , r sin )rdrd .
D
r ri ri r ri
o
i i
i D
i A
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
x, y u, v
0，
= f xu,v, yu,v Ju,vdudv
D
定理21.13 设 f (x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x(u, v), y y(u, v) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x(u, v), y(u, v) 在 D 上具有一阶连续偏导数； (2) 在 D 上雅可比式 J (u, v) (x, y) 0;
21_4二重积分的变量变换
2 0
1 0
r 1 r dr
2
4 3
abc .
4 3
特别当 a
b c R
时, 得到球的体积为
R .
3
二、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
D
f ( r cos , r sin ) rdrd
d
2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin ) rdr .
§4 二重积分的变量变换
本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并 用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标 变换方法作了详细的讨论.
一、二重积分的变量变换公式 二、二重积分的极坐标变换 三、二重积分的广义极坐标变换
返回
一、二重积分的变量变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续,
例8 求椭球体
x a
2 2
y b
2 2
z c
2 2
1
的体积.
解 由对称性, 椭球体的体积 V 是第一卦限部分体
积的 8 倍, 而这部分是以
z c 1
x a
2 2
y b
2 2
为曲顶,
b D ( x , y ) 0 y a
a x , 0 x a
,
其中 D 为圆域:
x
2
y
1.
解 由于原点为 D 的内点, 故由 (12) 式, 有
D
d 1 x
2
y
2
0
2π
1 0
r 1 r dr
2
4 3
abc .
4 3
特别当 a
b c R
时, 得到球的体积为
R .
3
二、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
D
f ( r cos , r sin ) rdrd
d
2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin ) rdr .
§4 二重积分的变量变换
本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并 用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标 变换方法作了详细的讨论.
一、二重积分的变量变换公式 二、二重积分的极坐标变换 三、二重积分的广义极坐标变换
返回
一、二重积分的变量变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续,
例8 求椭球体
x a
2 2
y b
2 2
z c
2 2
1
的体积.
解 由对称性, 椭球体的体积 V 是第一卦限部分体
积的 8 倍, 而这部分是以
z c 1
x a
2 2
y b
2 2
为曲顶,
b D ( x , y ) 0 y a
a x , 0 x a
,
其中 D 为圆域:
x
2
y
1.
解 由于原点为 D 的内点, 故由 (12) 式, 有
D
d 1 x
2
y
2
0
2π
利用极坐标系计算二重积分
利用极坐标系计算二重积分二重积分可以用极坐标系来计算。
极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，其中点的位置由距离原点的距离和与正x轴的夹角表示。
极坐标与直角坐标系之间的转换关系如下：x = r * cosθy = r * sinθ其中，x和y是直角坐标系下的坐标，r是点到原点的距离，θ是点与正x轴的夹角。
对于二重积分∬f(x, y)dA，在极坐标下可以表示为∬g(r,θ)rdrdθ，其中，g(r, θ)是将f(x, y)用极坐标来表示。
下面我们将详细介绍如何利用极坐标系计算二重积分。
首先，将被积函数f(x,y)转换为极坐标形式g(r,θ)。
具体来说，我们将x和y替换为r和θ，然后利用极坐标与直角坐标的转换关系，将f(x,y)表示为g(r,θ)。
这个转换过程需要根据具体的被积函数进行分析和计算。
接下来，我们需要确定积分区域。
在极坐标系下，积分区域可以用极坐标表示。
通常情况下，我们将极坐标的范围确定为r的区间[a,b]和θ的区间[α,β]，其中a、b、α和β都是常数。
这样，二重积分就变成了在确定的极坐标区域上的积分。
然后，我们将二重积分∬f(x, y)dA 转换为极坐标下的二重积分∬g(r, θ)rdrdθ。
这个过程需要用到雅可比行列式的公式，即 dA = r dr dθ。
最后，我们按照以下步骤来计算极坐标下的二重积分：1.确定极坐标的范围[a,b]和[α,β]。
2.将被积函数f(x,y)转换为极坐标形式g(r,θ)。
3. 利用雅可比行列式的公式，将二重积分∬f(x, y)dA 转换为∬g(r, θ)rdrdθ。
4.根据极坐标下的积分区域，确定积分范围。
5.将极坐标下的二重积分分解成两个单重积分，先对θ进行积分，再对r进行积分。
6.依次进行积分计算，最后得到结果。
需要注意的是，在进行计算时，要注意被积函数的连续性和积分区域的对称性，以便简化计算。
综上所述，利用极坐标系计算二重积分的步骤包括确定被积函数的极坐标形式、确定积分区域、转换为极坐标下的二重积分、分解为两个单重积分、依次进行积分计算。
二重积分的变量变换
则有
f ( x , y )dxdy f ( x(u, v ), y(u, v )) | J ( u, v ) |dudv .
D
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例1 求
e
D
x y x y
dxdy , 其中
y
1
D是由 x 0, y 0, x y 1 所围的区域(图21-23). 解 为了简化被积函数, 令
0
4 3 2 R r r dr R . 3 2 3
2 2
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o
2 cos
D
2
x
D
x y d
2 2
d
2 2
0
r rdr
32 16 8 3 3 2 2 cos d 0 cos d . 9 3 3 2
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例5 计算
I
D
d 1 x y
2 2
,
其中 D 为圆域: x y 1.
二、二重积分的极坐标变换
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数
的形式为 f ( x 2 y 2 ) 时, 采用极坐标变换
x r cos , T : 0 r , 0 2π , y r sin ,
变换 T 的函数行列式为
(8)
往往能达到简化积分区域或被积函数的目的. 此时,
T : x x ( u , v ), y y( u , v ) 将 uv 平面由按段光滑封
闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成 xy 平面上 的闭区域 D, 函数 x( u , v ), y( u , v ) 在 内分别具有 一阶连续偏导数且它们的函数行列式
二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分教案资料
数学分析—电子教案
M a th em a tica l A n a lysis
二重积分的变量变换公式 用极 坐标计算二重积分
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则
Df(x,y)dxdy f(x(u,v),y(u,v))J(u,v)dudv
D
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 在uov坐标面, 用上平行于坐标轴的
x y
例1. 计算 e x y dxdy
D
x + y = 1 所围区域.
其中D 是 x = 0, y = 0,
y 1
解 令 uxy,vxy, 则
x 1 (u v), y 1 (v u),
2
2
11
J(u,v) 2 1
2 1
1, 2
22
O
1x
v 1
1 O 1 u
x y e x y dxdy
(i) 若原点在 D 外，D :r 1 () r r 2 (),,
则
Байду номын сангаас
f(rco ,srsin )rdrd
D
d
r2()f(rco,srs in)rdr
r1()
rr2()
D
r r1()
(ii) 若原点在 D 内，则
O
x
D f(rco ,srsin )rdrd
r r()
2
d
r()f(rco,srsin )rdr
y2 mx
O
x
v
D
Om n u
二、用极坐标计算二重积分
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时,
M a th em a tica l A n a lysis
二重积分的变量变换公式 用极 坐标计算二重积分
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则
Df(x,y)dxdy f(x(u,v),y(u,v))J(u,v)dudv
D
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 在uov坐标面, 用上平行于坐标轴的
x y
例1. 计算 e x y dxdy
D
x + y = 1 所围区域.
其中D 是 x = 0, y = 0,
y 1
解 令 uxy,vxy, 则
x 1 (u v), y 1 (v u),
2
2
11
J(u,v) 2 1
2 1
1, 2
22
O
1x
v 1
1 O 1 u
x y e x y dxdy
(i) 若原点在 D 外，D :r 1 () r r 2 (),,
则
Байду номын сангаас
f(rco ,srsin )rdrd
D
d
r2()f(rco,srs in)rdr
r1()
rr2()
D
r r1()
(ii) 若原点在 D 内，则
O
x
D f(rco ,srsin )rdrd
r r()
2
d
r()f(rco,srsin )rdr
y2 mx
O
x
v
D
Om n u
二、用极坐标计算二重积分
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时,
第二节利用极坐标计算二重积分
2 2 2
+∞
− x2
∫∫e
− x2 − y2
dxdy
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R ， ≥ 0，y ≥ 0}, x
S = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤ R},
D1
dxdy .
R
D S2 D
R
∴ ∫∫ e
D1
显然有 D1 ⊂ S ⊂ D2 .
3. 二重积分在极坐标下的 变换公式： 变换公式： ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ . D D F(ρ，) θ θ的二次积分， 4. 计算方法：化为关于 ρ， 的二次积分， 计算方法： . 一般是先对 ρ，再对θ积分
特别： 特别：
如果积分区域可表示为 D: ϕ1(θ)≤ρ≤ϕ2(θ), α≤θ≤β, 则 : ≤ ,
二、利用极坐标系计算二重积分
二重积分在直角坐标下的计算公式
(1)∫∫ f ( x，)dσ = ∫a dx∫ϕ ( x) f (x，)dy ( X型区域 ), y y
b
ϕ2 ( x)
1
(2)∫∫ f ( x，)dσ = ∫a dy∫ ( x) f ( x，)dx ( Y型区域 ). y y ψ
b D
D
极坐标下对 r的积分 .
解：
∫∫ f (
D
x + y )dxdy =
2 2
∫0
2π
dθ ∫0 f (r )rdr
1
1
= 2π ∫0 rf ( r )dr .
例7. 求I = ∫∫ e
D
max{ x 2， 2 } y
+∞
− x2
∫∫e
− x2 − y2
dxdy
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R ， ≥ 0，y ≥ 0}, x
S = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤ R},
D1
dxdy .
R
D S2 D
R
∴ ∫∫ e
D1
显然有 D1 ⊂ S ⊂ D2 .
3. 二重积分在极坐标下的 变换公式： 变换公式： ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ . D D F(ρ，) θ θ的二次积分， 4. 计算方法：化为关于 ρ， 的二次积分， 计算方法： . 一般是先对 ρ，再对θ积分
特别： 特别：
如果积分区域可表示为 D: ϕ1(θ)≤ρ≤ϕ2(θ), α≤θ≤β, 则 : ≤ ,
二、利用极坐标系计算二重积分
二重积分在直角坐标下的计算公式
(1)∫∫ f ( x，)dσ = ∫a dx∫ϕ ( x) f (x，)dy ( X型区域 ), y y
b
ϕ2 ( x)
1
(2)∫∫ f ( x，)dσ = ∫a dy∫ ( x) f ( x，)dx ( Y型区域 ). y y ψ
b D
D
极坐标下对 r的积分 .
解：
∫∫ f (
D
x + y )dxdy =
2 2
∫0
2π
dθ ∫0 f (r )rdr
1
1
= 2π ∫0 rf ( r )dr .
例7. 求I = ∫∫ e
D
max{ x 2， 2 } y
二重积分的坐标变换(课堂PPT)
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
D1
S
D2
又 I e x2 y2 dxdy Rex2dxRey2dy( Rex2dx)2
0
0
0
S
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结束
由上题结论
I1
D1
e x2 y2 dxdy
2d
Rer2rdr
(1eR2
)
00
4
I2 ex2 y2dxdy
f (x, y)dxdyf(rcos,rsin )rdrd d
dr r
D
D
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结束
极坐标变换的适用情形:
积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如 f(x2 y2)
注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”：
1. 坐标变 xy换 rrsc： ions
2. 微元变 dd 换 x d ： rydrd
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由rar2cao2s,
得 交 点 A(a,), 6
所 求 面 积 d xd4ydxdy
D
D1
4
6d
a
2co2s
rdr
0a
a2( 3). 3
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二、二重积分的换元法
0
0
极坐标系下区域的面积 rdrd. D
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若 f ≡1 则可求得D 的面积
D d
1 22()d 20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
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形, 其对应顶点为Mi (xi , yi ) (i 1, 2,3, 4)
y
M3
D M 4
M1 M2
令 h2 k2, 则
o
x
x2
x1
x(u
h,
v)
x(u,
v)
x u
(u, v)
h
o(
)
x4 x1 同理得 y2 y1
x(u,v k)
y u
(u,
)r
d
O
r
0
D
x
(iv) 若区域 D 可表示为
2(r) r r2
D : 1(r) 2(r), r1 r r2,
f (r cos , r sin )r d r d r r1
D
O
r1 r d r 2(r) f (r cos , r sin )d
D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
J (x, y) cos (r, ) sin
r sin
r cos
r
D f (x, y) d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
x y
xy e x y dxdy
e
u v
1
dudv
1
1
dv
u v
e v du
D
D
2
20
v
1 2
u
1 0
(ve
v
)
|vv
dv
1 2
1 v(e - e1 )dv
0
e - e1
4
例2. 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线 y x, y x
在uov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
形, 其顶点为
v
vk v
M 4 M 3
D
M1 M 2
o u u h u
M1 (u, v) ,
M 2 (u h,v),
T
M3 (u h,v k), M 4 (u,v k).
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边
所围区域 D 的面积. (0 m n, 0 )
解 令 u y2 , x
v y x
y y x y x
y2 nx D
y2 mx
O
x
v
D
Om
nu
二、用极坐标计算二重积分
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时,
D
R cos R2 r 2 r d r 0
R2 r2 r d r d
z
4 R3( 2 )
3 23
y r Rcos o
y
D
R
xx
例5. 计算
rR
其中 D : x2 y2 R2 .
例1. 计算 e x y dxdy
D
x + y = 1 所围区域.
其中D 是 x = 0, y = 0,
y 1
解 令 u x y, v x y, 则
x 1 (u v), y 1 (v u),
2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
11
J(u, v)
2 1
2 1
1, 2
22
O
1x
v
1
1 O 1 u
x u
h
y u
k
x v
h
y v
k
x x
u y
v y
hk J (u,v) hk
u v
因此面积元素的关系为 d J (u, v) d u d v
从而得二重积分的换元公式:
D f (x, y) d x d y f (x(u,v), y(u,v)) J (u,v) d u d v
则
D f (r cos , r sin )r d r d
d
r2( ) f (r cos , r sin )r d r
r1 ( )
r r2( )
D
r r1( )
(ii) 若原点在 D 内，则
O
x
D f (r cos , r sin )r d r d
(2) 在 D上 雅可比行列式 J (u, v) (x, y) 0; (u, v)
y D
(3) 变换T : D D是一一对应的 , o
x
则
D f ( x, y)d x d y f ( x(u,v), y(u,v)) J(u,v) d ud v
D
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
x r cos , y r sin
J ( x, y) cos (r, ) sin
r sin r cos
r
D f ( x, y)d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
(i) 若原点在 D 外，D : r1( ) r r2( ), ,
§4 二重积分的变量变换
二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分
一、二重积分的变量变换公式
v
定理21.13 设 f ( x, y)在闭域D上连续,
D
变换:
T
:
x y
x(u, v) y(u, v)
(u,v) D D
o
u
满足 (1) x(u,v), y(u,v) 在 D上一阶偏导数连续; T
2
d
r ( )
f (r cos , r sin )r d r
0
0
r r( ) D
O
x
(iii) 若原点在 D 的边界上，则
r r( )
D f (r cos , r sin )r d r d
d
r ( )
f
(r
cos
,r
sin
v)
h
x(u, v)
o()
x v
(u,
v)
k
o( )
y4
y1
y v
(u,
v)
k
o( )
当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四
边形, 故其面积近似为
M1M 2 M1M 4
x2 x1 x4 x1
y2 y1 y4 y1
r1
1(r )
D
1(r) x
r1
r2
例3. 计算
I
d
D 1 x2 y2
其中 D : x2 y2 R2 .
例4. 求球体
被圆柱面
x2 y2 R x 所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解 由对称性可知
V 4
D
R2 x2 y2 d 4
y
M3
D M 4
M1 M2
令 h2 k2, 则
o
x
x2
x1
x(u
h,
v)
x(u,
v)
x u
(u, v)
h
o(
)
x4 x1 同理得 y2 y1
x(u,v k)
y u
(u,
)r
d
O
r
0
D
x
(iv) 若区域 D 可表示为
2(r) r r2
D : 1(r) 2(r), r1 r r2,
f (r cos , r sin )r d r d r r1
D
O
r1 r d r 2(r) f (r cos , r sin )d
D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
J (x, y) cos (r, ) sin
r sin
r cos
r
D f (x, y) d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
x y
xy e x y dxdy
e
u v
1
dudv
1
1
dv
u v
e v du
D
D
2
20
v
1 2
u
1 0
(ve
v
)
|vv
dv
1 2
1 v(e - e1 )dv
0
e - e1
4
例2. 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线 y x, y x
在uov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
形, 其顶点为
v
vk v
M 4 M 3
D
M1 M 2
o u u h u
M1 (u, v) ,
M 2 (u h,v),
T
M3 (u h,v k), M 4 (u,v k).
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边
所围区域 D 的面积. (0 m n, 0 )
解 令 u y2 , x
v y x
y y x y x
y2 nx D
y2 mx
O
x
v
D
Om
nu
二、用极坐标计算二重积分
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时,
D
R cos R2 r 2 r d r 0
R2 r2 r d r d
z
4 R3( 2 )
3 23
y r Rcos o
y
D
R
xx
例5. 计算
rR
其中 D : x2 y2 R2 .
例1. 计算 e x y dxdy
D
x + y = 1 所围区域.
其中D 是 x = 0, y = 0,
y 1
解 令 u x y, v x y, 则
x 1 (u v), y 1 (v u),
2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
11
J(u, v)
2 1
2 1
1, 2
22
O
1x
v
1
1 O 1 u
x u
h
y u
k
x v
h
y v
k
x x
u y
v y
hk J (u,v) hk
u v
因此面积元素的关系为 d J (u, v) d u d v
从而得二重积分的换元公式:
D f (x, y) d x d y f (x(u,v), y(u,v)) J (u,v) d u d v
则
D f (r cos , r sin )r d r d
d
r2( ) f (r cos , r sin )r d r
r1 ( )
r r2( )
D
r r1( )
(ii) 若原点在 D 内，则
O
x
D f (r cos , r sin )r d r d
(2) 在 D上 雅可比行列式 J (u, v) (x, y) 0; (u, v)
y D
(3) 变换T : D D是一一对应的 , o
x
则
D f ( x, y)d x d y f ( x(u,v), y(u,v)) J(u,v) d ud v
D
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
x r cos , y r sin
J ( x, y) cos (r, ) sin
r sin r cos
r
D f ( x, y)d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
(i) 若原点在 D 外，D : r1( ) r r2( ), ,
§4 二重积分的变量变换
二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分
一、二重积分的变量变换公式
v
定理21.13 设 f ( x, y)在闭域D上连续,
D
变换:
T
:
x y
x(u, v) y(u, v)
(u,v) D D
o
u
满足 (1) x(u,v), y(u,v) 在 D上一阶偏导数连续; T
2
d
r ( )
f (r cos , r sin )r d r
0
0
r r( ) D
O
x
(iii) 若原点在 D 的边界上，则
r r( )
D f (r cos , r sin )r d r d
d
r ( )
f
(r
cos
,r
sin
v)
h
x(u, v)
o()
x v
(u,
v)
k
o( )
y4
y1
y v
(u,
v)
k
o( )
当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四
边形, 故其面积近似为
M1M 2 M1M 4
x2 x1 x4 x1
y2 y1 y4 y1
r1
1(r )
D
1(r) x
r1
r2
例3. 计算
I
d
D 1 x2 y2
其中 D : x2 y2 R2 .
例4. 求球体
被圆柱面
x2 y2 R x 所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解 由对称性可知
V 4
D
R2 x2 y2 d 4