浙江省宁波市2015届高三一轮复习阶段性考试(月考)数学理试题 Word版含答案

浙江省宁波市2015届高三一轮复习阶段性考试数学理试题本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合M ={x |1122x -<<}，N ={x | x 2 ≤ x }，则M ∩N = （A ）1[1,)2- （B ）1(,1]2-（C ）1[0,)2 （D ）1(,0]2-2．设a ＞1＞b ＞0，则下列不等式中正确的是 （A ）(-a )7＜(-a )9 （B ）b - 9＜b - 7（C ）11lg lg a b > （D ）11ln ln a b>3．已知R α∈，cos 3sin αα+，则tan 2α=（A ）43 （B ）34 （C ）34- （D ）43-4．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6(第4题图)5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 （A ）若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ （B ）若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥ （C ）若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α （D ）若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ6．已知某锥体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该锥体的体积为 （A ）23cm （B ）43cm （C ）63cm （D ）83cm 7．251(1)(2)x x--的展开式的常数项是（A ）48 （B ）﹣48 （C ）112 （D ）﹣1128．袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是 （A ）14 （B ）13 （C ）27 （D ）3119．已知实系数二次函数()f x 和()g x 的图像均是开口向上的抛物线，且()f x 和()g x 均有两个不同的零点．则“()f x 和()g x 恰有一个共同的零点”是“()()f x g x +有两个不同的零点”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设F 1、F 2是椭圆Γ的两个焦点，S 是以F 1为中心的正方形，则S 的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有（S 的各边可以不与Γ的对称轴平行）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（第6题图）正视图侧视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分)二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分． 11．已知复数z 满足22z z +-= i （其中i 是虚数单位），则z = ▲ ． 12．设25z x y =+，其中实数,x y 满足68x y ≤+≤且20x y -≤-≤，则z 的取值范围是▲ ．13．已知抛物线23x y =上两点,A B 的横坐标恰是方程2510x x ++=的两个实根，则直线AB 的方程是 ▲ ．14．口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X ，则随机变量X 的数学期望是 ▲ ．15．已知直线10x y --=及直线50x y --=截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积是 ▲ ．16．在△ABC 中，∠C=90︒，点M 满足3BM MC =，则sin ∠BAM 的最大值是 ▲ ． 17．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数．．．．x 、y ，使得AO x AB y AC =+，且21x y +=，则cos ∠BAC = ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分） 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 5B c =，11cos 14B =．（I ）求角A 的大小；（II ）设BC 边的中点为D ，AD =ABC ∆的面积． 19．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==错误！未找到引用源。

．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈． （I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．20．（本题满分15分）如图所示，PA ⊥平面ABCD ，△ABC 为等边三角形，PA AB =，AC ⊥CD，M 为AC 中点．（I ）证明：BM ∥平面PCD ；（II ）若PD 与平面PAC 所成角的正切值C -PD -M 的正切值．21．（本题满分15分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，其右焦点F 与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线12,l l 交于点F ，其斜率12,k k 满足1234k k =-．设1l 交椭圆Γ于A 、C 两点，2l 交椭圆Γ于B 、D （I ）求椭圆Γ的方程；（II ）写出线段AC 的长AC 关于1k 的函数表达式，并求四边形ABCD 面积S 的最大值．22．（本题满分14分）已知R λ∈，函数(1)()ln 1x f x x x λλ-=-+-，其中[1,)x ∈+∞．（Ⅰ）当2λ=时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）在函数ln y x =的图像上取点(,ln )n P n n ()n N *∈，记线段P n P n +1的斜率为k n ，12111n nS k k k =+++．对任意正整数n ，试证明： （ⅰ）(2)2n n n S +<； （ⅱ）(35)6n n n S +>．PABCDM（第20题图）浙江省宁波市2015届高三一轮复习阶段性考试数学理试题参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分．1．C 2．D 3．A 4．C 5． B 6．A 7．B 8．D 9．D 10．B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．11．2 12．[21，31] 13．5310x y ++= 14．7315．27π 16．35 17．23三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分） 解：（Ⅰ）由11cos 14B =，得sin B = ……………………1分又sin 5B c =，代入得37a c =，由sin sin a cA C=，得3sin 7sin A C =， ……………………3分 3sin 7sin()A A B =+， 3sin 7sin cos 7cos sin A A B A B =+ ………5分得tan A =23A π= ……………………7分（Ⅱ）22192cos 4AB BD AB BD B +-=， ……………………9分22771119()266144c c c c +-=，3c =，则7a =……………………11分1153sin 3722S ac B === ……………………14分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分230n n T b -+=，113n b ∴==当时，， 112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分（Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分当n 为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-……………13分（法二）132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． ……………13分12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数 ……………14分20．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）证明：因为M 为等边△ABC 的AC 边的中点，所以BM ⊥AC ．依题意CD ⊥AC ，且A 、B 、C 、D 四点共面，所以BM ∥CD ． …………3分 又因为BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BM ∥平面PCD ． …………5分（Ⅱ）因为CD ⊥AC ，CD ⊥PA ，所以CD ⊥平面PAC ，故PD 与平面PAC 所成的角即为∠CPD ．……………7分 不妨设PA =AB =1，则PC由于tan CD CPD PC ∠==， 所以CD9分PABCDM（第20题图）F E（方法一）在等腰Rt △PAC 中，过点M 作ME ⊥PC 于点E ，再在Rt △PCD 中作EF ⊥PD 于点F ．因为ME ⊥PC ，ME ⊥CD ，所以ME ⊥平面PCD ，可得ME ⊥PD ．又EF ⊥PD ，所以∠EFM 即为二面角C -PD -M 的平面角． ……………12分 易知PE =3EC ，MEEF=34=，所以tan ∠EFM=ME EF ==， 即二面角C -PD -M．……………15分（方法二）以A 点为坐标原点，AC 为x 轴，建立 如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz ． 则P （0,0,1），M （1,0,02），C （1,0,0），D ．则(1,0,1)PC =-，1)PD =-，1(,0,1)2PM =-．若设1111(,,)n x y z =和2222(,,)n x y z =分别是平面PCD 和平面PMD的法向量，则11111110000x z n PC x z n PD ⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩，可取1(1,0,1)n =．由2222222100200x z n PM n PD x z ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+-=⎩，可取2(2,n =． ………12分所以121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>===故二面角C -PD -M． ……………15分21．（本题满分15分）解：（Ⅰ）设右焦点(,0)F c （其中c，依题意12c a =，3a c +=，所以2,1a c ==． ……………3分所以b ，故椭圆Γ的方程是22143x y +=． ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F （1,0）．将通过焦点F 的直线方程(1)y k x =-代入椭圆Γ的方程22143x y +=，可得2222(34)8(412)0k x k x k +-+-=， 其判别式22222(8)16(3)(34)144(1)k k k k ∆=--+=+． 特别地，对于直线1l ，若设1122(,),(,)A x y C x y ，则12|||AC x x =-1= ，110k R k ∈≠且. ………………10分又设3344(,),(,)B x y D x y ，由于B 、D 位于直线1l 的异侧，所以133(1)k x y --与144(1)k x y --异号．因此B 、D 到直线1l 的距离之和d =+34||x x =-2=………12分综合可得，四边形ABCD的面积121||2S AC d =⋅． 因为1234k k =-，所以22121232||2t k k k k =+≥=，于是()S f t == 当3[,)2t ∈+∞时，()f t 单调递减，所以当32t =，即12{,}{k k =时， 四边形ABCD……………15分 22．（本题满分14分）解：（Ⅰ）=2λ时， 2(1)()ln (1)1x f x x x x -=-≥+，求导可得 22212(1)2(1)(1)()0(1)(1)x x x f x x x x x +---'=-=≥++ ……………3分所以，()f x 在(1,)+∞单调递增，故()f x 的最小值是(1)0f =．…………5分（Ⅱ）依题意，ln(1)ln 1ln(1)1n n n k n n n+-==++-．……………6分（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取2λ=，则当1x >时()0f x >，即2(1)ln 1x x x ->+． 于是 12(11)12ln(1)2111n n n n+-+>=+++，即知1212n n k +<．…………8分所以 11121(2)22nnn i i i i n n S k ==++=<=∑∑． ……………9分（ⅱ）取3λ=，则3(1)()ln (1)2x f x x x x -=-≥+，求导可得 2213(2)3(1)(1)(4)()(2)(2)x x x x f x x x x x +----'=-=++ 当(1,2)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(1,2)单调递减． 所以，(1,2]x ∈时，()(1)0f x f <=，即3(1)ln 2x x x -<+．……………12分 注意到，对任意正整数n ，11(1,2]n+∈，于是 13(11)13ln(1)13112n n k n n n+-=+<=+++，即知1313n n k +>． ……………13分所以 11131(35)36nnn i i i i n n S k ==++=>=∑∑． ……………14分。