第9章第6讲 双曲线

第6讲双曲线基础知识整合1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做01双曲线.这两个定点叫做双曲线的02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的03焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)当04a<c时，M点的轨迹是双曲线；(2)当05a＝c时，M点的轨迹是两条06射线；(3)当07a>c时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0) 图形性质范围x≥08a或x≤09－a，y∈R x∈R，y≤10－a或y≥11a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)渐近线12y＝±ba x13y＝±ab x离心率e＝ca，e∈14(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的15实轴，它的长|A1A2|＝162a；线段B 1B 2叫做双曲线的17虚轴，它的长|B 1B 2|＝182b ；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长a ，b ，c 的关系 19c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A ．22 B ．1 C ． 2 D ．2答案 C解析 由题意可得ba ＝1，∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋12＝ 2.故选C ．2．(2019·北京高考)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率是5，则a ＝( ) A ． 6 B ．4 C ．2 D ．12答案 D解析 由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1，得b 2＝1，∴c 2＝a 2＋1.∴5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.结合a >0，解得a ＝12.故选D ．3．(2019·宁夏模拟)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对答案 B解析 根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒|PF 2|＝1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B ．4．(2019·湖北荆州模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54 C ．43D ．53答案 D解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53.故选D ．5．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________.答案 y ＝±2x解析 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2＝1(b >0)，解得b＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .6．已知曲线方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________．答案 λ<－2或λ>－1解析 ∵方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.核心考向突破考向一 双曲线的定义例1 (1)(2019·山西太原模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2，则|PF 2|＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题意得2a ＝23，解得a ＝3.因为|PF 1|＝2，所以点P 在双曲线的左支上．所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 2|＝8.故选C ．(2)(2019·河南濮阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝4，F 1是左焦点，P 1，P 2是右支上的两个动点，则|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．16 答案 C解析设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|－|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|)≥8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是8.故选C．(1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解本题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．[即时训练] 1.已知动点M(x，y)满足(x＋2)2＋y2－(x－2)2＋y2＝4，则动点M的轨迹是()A．射线B．直线C．椭圆D．双曲线的一支答案 A解析设F1(－2,0)，F2(2,0)，由题意知动点M满足|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是射线，故选A．2．已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________.答案9解析设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|P A|最小时满足|PF|＋|P A|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|P A|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.考向二双曲线的标准方程例2(1)已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1D ．x 2－y 248＝1答案 A解析 由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵在双曲线中，c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．(2)(2020·河北石家庄毕业班摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A ．7x 216－y 212＝1 B ．y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D ．3y 223－x 223＝1答案 C解析 因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为x 2－y23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C ．求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴还是在y 轴，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．注意：①双曲线与椭圆标准方程均可设为mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)，其中m >0且n >0，且m ≠n 时表示椭圆；mn <0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．②常见双曲线设法：(ⅰ)已知a ＝b 的双曲线，可设为x 2－y 2＝λ(λ≠0)； (ⅱ)已知过两点的双曲线，可设为Ax 2－By 2＝1(AB >0)； (ⅲ)已知渐近线为x m ±y n ＝0的双曲线，可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)．③双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必须结合其他已知条件综合判断．④判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．[即时训练] 3.(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 29＝1 D ．x 29－y 23＝1答案 C解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2， ∴e 2＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，即b 2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )， ∵b 2a 2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ，则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C ．4．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3,0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为__________.答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 设动圆M 的半径为R ，则|MC |＝2＋R ，|MA |＝R ，所以|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．角度1 例3 (1)(2019·全国卷Ⅲ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5答案 A解析 令双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，∴c a ＝2，即离心率e ＝ 2.故选A ．(2)若斜率为2的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)答案 D解析 因为斜率为2的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，所以ba >2，则e ＝c a ＝1＋b 2a 2>1＋2＝3，所以双曲线离心率的取值范围是(3，＋∞)，故选D ．求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．[即时训练] 5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A ． 6B ． 3C ． 2D ．33答案 B解析 如图所示，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝2c cos30°＝433c ，|MF 2|＝2c ·tan30°＝233c ，∴2a ＝|MF 1|－|MF 2|＝433c －233c ＝233c ⇒e ＝ca ＝ 3.6．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)答案 D解析 依题意，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b 2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e<2，e 2－2e －1<0，(e －1)2<2，所以1<e <1＋2，故选D ． 角度2 双曲线的渐近线问题例4 (1)(2020·贵州综合测试一)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±13x B ．y ＝±33x C ．y ＝±3x D ．y ＝±3x 答案 B解析 由题可知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，圆心为(2,0)，半径为1，易知圆心到渐近线的距离d ＝2b a 2＋b2＝1，故4b 2＝a 2＋b 2，即3b 2＝a 2，则b a ＝33，故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，选B ．(2)(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50°D ．1cos50°答案 D解析 由题意可得－ba ＝tan130°，所以e ＝ 1＋b 2a 2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos130°|＝1cos50°.故选D ．(1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝±b a x . (2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a满足关系式e 2＝1＋k 2.[即时训练] 7.(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x答案 A解析 ∵e ＝c a ＝3，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3－1＝2，∴ba ＝ 2.因为该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A ．8．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．2 2D ．3 2答案 A解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ．考向四 直线与双曲线的位置关系例5 已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点P (2,1)，且其中一焦点F 到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P 作两条相互垂直的直线P A ，PB 分别交双曲线Γ于A ，B 两点，求点P 到直线AB 距离的最大值．解 (1)∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2,1)，∴4a 2－1b 2＝1.不妨设F 为右焦点，则F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，∴b ＝1，a 2＝2，∴所求双曲线的方程为x 22－y 2＝1.(2)当直线AB 的斜率不存在时，设A (x 0，y 0)(y 0>0)，则B (x 0，－y 0)，P A →＝(x 0－2，y 0－1)，PB →＝(x 0－2，－y 0－1)，∵P A →·PB →＝0，∴(x 0－2)2－(y 0－1)(y 0＋1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－4x 0－y 20＋5＝0，x 202－y 20＝1，得⎩⎨⎧x 0＝6，y 0＝17或⎩⎨⎧x 0＝2，y 0＝1(舍去)，即A (6，17)，B (6，－17)，此时点P 到AB 的距离为6－2＝4.当直线AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m 代入x 2－2y 2＝2中，整理得(2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0. ∴x 1＋x 2＝－4km2k 2－1，①x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.②∵P A →·PB→＝0， ∴(x 1－2，y 1－1)·(x 2－2，y 2－1)＝0，∴(x 1－2)(x 2－2)＋(kx 1＋m －1)(kx 2＋m －1)＝0， ∴(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋m 2－2m ＋5＝0.③ 将①②代入③，得m 2＋8km ＋12k 2＋2m －3＝0， ∴(m ＋2k －1)(m ＋6k ＋3)＝0. 而P ∉AB ，∴m ＝－6k －3，从而直线AB 的方程为y ＝kx －6k －3.将y ＝kx －6k －3代入x 2－2y 2－2＝0中，得(1－2k 2)x 2＋(24k 2＋12k )x －72k 2－72k －20＝0，判别式Δ＝16(17k 2＋18k ＋5)>0恒成立， ∴y ＝kx －6k －3即为所求直线． ∴P 到AB 的距离d ＝|2k －6k －3－1|1＋k2＝4|k ＋1|k 2＋1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫d 42＝k 2＋1＋2kk 2＋1＝1＋2k k 2＋1≤2. ∴d ≤42，即此时点P 到直线AB 距离的最大值为4 2.∵42>4，故点P 到直线AB 距离的最大值为4 2.求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是：(1)设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．(2)利用点差法．[即时训练] 9.设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B ．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，取P A →＝512PB →，求a 的值．解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎨⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，所以e >62且e ≠2，即e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，因为P A →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， 由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，由a >0，解得a ＝1713. 课时作业1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0<m <3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2答案 B解析 c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 2．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0,3)，则k 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．653 D ．－63答案 B解析 ∵双曲线8kx 2－ky 2＝8，焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为y 2－8k－x 2－1k＝1，又c ＝3，∴－8k －1k ＝9，解得k ＝－1. 3．(2019·湖南永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线x 23－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是( )A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－x 23＝1C ．x 2－y 2＝2D ．y 2－x 2＝2答案 D解析 由已知，双曲线焦点在y 轴上，且为等轴双曲线，故选D ． 4．(2019·辽宁凌源联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的顶点(a,0)到渐近线y ＝b a x 的距离为b2，则双曲线C 的离心率是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析 因为顶点(a,0)到渐近线y ＝b a x 的距离d ＝ab a 2＋b 2＝b 2，所以a c ＝12，所以e ＝ca ＝2.故选A ．5．(2019·山东滕州月考)已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )A ．23B ．1C ．2D ．4 答案 D解析 由双曲线x 225－y 29＝1，知a ＝5，由双曲线定义，得|MF 2|－|MF 1|＝2a ＝10，得|MF 1|＝8，所以|NO |＝12|MF 1|＝4.6．虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24 答案 B解析 由于2b ＝2，e ＝ca ＝3，∴b ＝1，c ＝3a ，∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24.由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22，① |BF 2|－|BF 1|＝22，②由①＋②，得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B ．7．(2019·全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( )A ．32B ．52C ．72D ．92答案 B解析 由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点，知|OF |＝3，所以|OP |＝|OF |＝3.不妨设点P在第一象限，P (x 0，y 0)，x 0>0，y 0>0，则⎩⎨⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2143，53，所以S △OPF ＝12|OF |·y 0＝12×3×53＝52.故选B ． 8．过双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的右焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得|AB |＝6，若这样的直线有且只有两条，则a 的取值范围是( )A ．(0,1]∪(3，＋∞)B ．(0,1)∪(3，＋∞)C ．(0,1)D ．(3，＋∞)答案 B解析 若A ，B 在同一支上，则有|AB |min ＝2b 2a ＝6a ； 若A ，B 不在同一支上，则|AB |min ＝2a .依题意， 得6a 与2a 不可能同时等于6，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a >6，6a <6或⎩⎪⎨⎪⎧2a <6，6a>6，解得a >3或0<a <1，故选B ．9．已知点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是( )A ．6B ．8C ．10D ．12答案 C解析 由题意可知点C 3，C 2分别是双曲线C 1：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线的左支上，则|PC 2|－|PC 3|＝8.|PQ |max ＝|PC 2|＋1，|PR |min ＝|PC 3|－1，所以|PQ |－|PR |的最大值为(|PC 2|＋1)－(|PC 3|－1)＝|PC 2|－|PC 3|＋2＝8＋2＝10.故选C ．10．(2019·河南豫南、豫北联考)已知直线y ＝x ＋1与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 的横坐标为1，则该双曲线的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5答案 B解析 由题意得M (1,2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入双曲线方程，两式相减并整理得y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a 2＝k AB ·k OM ＝2.∴b 2＝2a 2，即c 2－a 2＝2a 2，∴e ＝ 3.故选B ．11．(2020·安徽淮南联考)已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 的周长的最小值为( )A ．4＋ 2B ．4(1＋2)C ．2(2＋6)D ．6＋3 2答案 B解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F (6，0)，设其左焦点为F ′.△APF 的周长l ＝|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a ＋|PF ′|，要使△APF 周长最小，只需|AP |＋|PF ′|最小．如图，当A ，P ，F ′三点共线时l 取到最小值，且l min ＝2|AF |＋2a ＝4(1＋2)．故选B ．12．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2答案 C解析 由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a . 在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝b c ，∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝bc ，∴b 2＋4c 2－(6a )22b ·2c ＝b c⇒c 2＝3a 2，∴e ＝ 3.故选C ．13．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案 x 24－y 2＝1解析 根据渐近线方程为x ±2y ＝0，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以42－4×(3)2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±2x解析 根据已知可得，|PF 2|＝b 2a 且|PF 1|＝2b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba ＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .15．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．答案 2解析 解法一：由F 1A →＝AB →，得 A 为F 1B 的中点．又O 为F 1F 2的中点，∴OA ∥BF 2. 又F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°. ∴|OF 2|＝|OB |，∴∠OBF 2＝∠OF 2B ． 又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形．如图1所示，∵点B 在直线y ＝－ba x 上，∴－b a ＝－3，∴离心率e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2. 解法二：∵F 1B →·F 2B →＝0， ∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c . 如图2，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝ba ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2， ∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)． 又F 1A →＝AB →，∴A 为F 1B 的中点． ∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝bc －a ，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝ca＝2.16．(2020·泉州摸底)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b 2a ，P 为双曲线C 右支上一点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________．答案5＋12 5－12解析 由F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b 2a ，可得2c ＝2b 2a ＝2c 2－2a 2a ，化简得e 2－e －1＝0.∴e >1，∴e ＝1＋52.设△PF 1F 2的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，S △IPF 1＝12|PF 1|·r ，S △IPF 2＝12|PF 2|·r ，S △IF 1F 2＝12·2c ·r ＝cr ，由S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2得，12|PF 1|·r ＝12·|PF 2|·r ＋λcr ，故λ＝|PF 1|－|PF 2|2c ＝a c ＝11＋52＝5－12.17．平面内一动点P 与两定点(－1,0)，(1,0)的斜率之积为2. (1)求动点P 的轨迹曲线C 的方程；(2)过点M (1,1)能否作一条直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，若能，求出l 的方程，若不能，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，则y x ＋1·y x －1＝2，化简得x 2－y 22＝1(x ≠±1)．(2)假设能，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1，x 22－y 212＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－12(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，所以直线l 的方程为y ＝2x －1.将y ＝2x －1代入x 2－y 22＝1，得2x 2－4x ＋3＝0，此方程无解，与假设矛盾，所以不存在直线l .18．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解 (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程，得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ， ∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，将其代入双曲线方程，得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2.②又a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式， 整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0.∵e >1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.19．(2019·承德模拟)已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值． 解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，半实轴长a ＝ 2.又焦距2c ＝4，所以半虚轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)． (2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2， 从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2. 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k 2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0.所以OA →·OB →>2. 综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB→取得最小值2. 20．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知，得a ＝3，c ＝2.由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点， ∴⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0， 可得m 2>3k 2－1且k 2≠13.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为B (x 0，y 0)． 则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k 2， y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2. 由题意，知AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k (k ≠0，m ≠0)，整理得3k 2＝4m ＋1.②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4. 又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，∴m >－14， 又k 2≠13，∴m ≠0，∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)．。