带电体的静电能
带电体系的静电能
中图分 类号 ：０ ４ ． ４１ １
一
文献 标识码 ：Ａ
文章编 号 ：１ Ｏ — ６ ２ ２ ０ ）Ｏ —ｏ ５ — ｏ ８ １ ９（ ０ ７ ３ ０ ３ ３ Ｏ
个 带 电体 系 的能量可 分为势 能和 动 能 。在 静 电学 中 ，由于 电荷 之 间处于相 对静 止状 态 ，无 需讨 论
或 Байду номын сангаас
ｑ ｕｚ ＝ １ ： －
＿ｑ ｑ ２ ｌ
由于这类 做功 改变 了体系 的静 电能 ，属于两 个 电荷 之 间相互 作用 能 的变 化 ，因而又 可 以用体 系的相 互作 用能来表示 ，即
Ｗｍ ：
业
ｒ
： （２ｕｌ＋ｑ ｕ２ ｑ ２ ２ １ （） ） ４
ｑ刀 ０
这一相互 作用 能 的积 累显 然 是 由外 力做功或 第一 个 电荷 的 电场 力做负 功转变 而来 的 ，故 这也 是体系 静 电能的另一 个称呼 。 ３多个点 电荷 系统 的相互作 用 能 ．
收 稿 日期 ： ２ ０ － ｌ＿ ｌ ０６－ ２ ３
作者简介：张进明 （ ９１ ） １６－ ，河北涿鹿人 ，张家口职业技术学院教育教学研 究室，副主任，副教授。
５ ３
维普资讯
邢台职业技术学院学报
ｑｚ ｔ １ ｑｌ ｕ ｚ＝ ｑ２
２０ ０ ７年 第 ３期
由上所 述不 难理解 ，电场 力做 功 与体系 的 电势 能完全 遵 守“ 能原 理” 功 而互 相转 化 ，若用 Ｗ 琳表示 外
力做功，其转换关系就是 ｈ ｗ ＝一 （ ＝一 ｑ ＵＡ—ＵＢ ＝一 ｕＡ ） ｑ Ｂ＝ｑ ＵＢ
1.7静电能
F− − q +q
P
F+
x
∂W ∂ F =− = (P ⋅ E) ∂x ∂x
肖 利
吉林师范大学物理学院 电磁学多媒体课件
∂W ∂ F =− = ( P ⋅ E ) = ∇（P ⋅ E） ∂x ∂x 力的大小与场强的变化率成正 ∂E ∂E < 0 F = −P 比 ∂x ∂x 力的方向指向场强大的一侧
一维点阵的总相互作用能： 一维点阵的总相互作用能：
W = NW0 = −2 N (ln 2)
e2 4πε 0 r
计算两个电偶极子的相互作用能， 例1.7-3计算两个电偶极子的相互作用能，设两电偶子的电矩分别为P 和 P ，相 计算两个电偶极子的相互作用能 1 2 决定。 对位置由 r21决定。
ˆ ˆ 1 3( p ⋅ er )er − P E= 3 4πε 0 r
（1）静电能 ）
−q
0
W = − qϕ (r ) + qϕ r + l +q θ ϕ(r + l ) E ∂ϕ ϕ(r ) ϕ ( r + l ) = ϕ( r ) + l = ϕ ( r ) + (∇ ϕ ) l l r ∂l r +l
l
∂ϕ ϕ (r + l ) = ϕ (r ) + = ϕ ( r ) + (∇ ϕ ) l l ∂l
P2 E21 P 1
r21
E 21 =
ˆ ˆ 3( P1 ⋅ er 21 )er 21 − P1 4πε 0 r21
3
W21 = − P2 ⋅ E21 ˆ ˆ 3( P ⋅ er 21 )( P2 ⋅ er 21 ) − P ⋅ P2 1 1 =− 3 4πε 0 r21 W21 = W12
均匀带电球体静电能的计算方法
均匀带电球体静电能的计算方法
均匀带电球体是静电学中的一个重要概念，计算其静电能是静电学中的一个重要问题。
均匀带电球体静电能的计算方法可以通过电场能和电势能的概念来进行计算。
首先，我们可以通过球体电荷的分布来计算球体周围的电场强度。
对于均匀带电球体来说，其电场强度在球体外部可以用库仑定律来描述，即E=kq/r^2，其中E为电场强度，k为库仑常数，q为球体的电荷量，r为距离球心的距离。
然后我们可以通过球体电荷的分布来计算球体内部的电场强度，进而计算出整个球体的电场能。
其次，我们可以通过球体电荷的分布来计算球体周围的电势。
对于均匀带电球体来说，其电势在球体外部也可以用库仑定律来描述，即V=kq/r，其中V为电势，k为库仑常数，q为球体的电荷量，r 为距离球心的距离。
然后我们可以通过球体电荷的分布来计算球体内部的电势，进而计算出整个球体的电势能。
最后，通过计算球体的电场能和电势能，我们可以得到整个均匀带电球体的静电能。
静电能是由电场能和电势能组成的，通过以上的计算方法，我们可以得到均匀带电球体的静电能的具体数值。
总之，通过电场能和电势能的概念，我们可以计算出均匀带电球体的静电能。
这不仅是静电学理论的重要问题，也对于理解电荷分布和电场分布有着重要的意义。
通过这样的计算方法，我们可以更深入地理解均匀带电球体的静电特性，为静电学的研究提供了重要的理论基础。
带电体系的静电能
解:(1)根据空腔导体的静电性质和球对称性,两空腔内表面的 电荷面密度分别是
1
Q1
4R12
和 2
Q2
4R22
又根据电荷守恒定律,导体外表面的的电量Q=Q1+Q2,由于 球对称性,导体外表面的电荷面密度是
Q1 Q2
的电容分别为
C1
0
S d
,
C2
0
S 2d
板极上带电± Q时所储的电能为
W1
1 2
Q2
0C1
1 2
Q2d
0S
，W2
1 2
Q2 2d
0S
故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的增量 为
W＝W2－W1
1 2
Q2d
0S
（2）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板时 所加外力应等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以
（c）圆柱电容器
C
2 0L
ln( R2 )
R1
（F）电容器的联接 （G）电容器的能量
（1）串联
1 1
C i Ci
（2）并联
C Ci
W
Q2
1 CU 2
i
1 QU
2C 2
2
(H) 点电荷系的静电能
1n W 2 i1 qiVi
4.例题
例1.如图所示,一个半径为R的中性导体球,内部有两个球 形空腔,半径分别为R1和R2,在空腔中心分别放置点电 荷Q1和Q2,试求:
F A W Q2
d d 20S
第二章小结
带电体系的静电能、带电体在外电场中的能量
解：相邻顶点之间的距离为b
面对角线长度为 2b
12对 12对
12e2k / b 12e2k /
1
4 0
2b
体对角线长度为 3b 4对 4e2k / 3b
中心到顶点距离 3b / 2 8对 8(2e2 )k / 3b / 2
总相 互作
用能
we
1
4 0
12e2 (
b
12e2 2b
4e2 3b
32e2 )
静
dq(U U ) u(t)dq
电
能
We
Q
u(t)dq
0
Q q(t) dq 1 Q2
0C
2C
电量 0——>Q
2013/3/13
电容器储能公式的推广
孤立导体
Q=CU
We
1 2
Q2 C
1 CU 2 2
1 QU 2
一组导体1、2、…、n
1
We 2
n i
1 QiUi 2
i
Ui edS
U (r l) U (r) U l l
U(r) l U
U (r l )
U (r )
W ql U P U p E(r) pE cos
2013/3/13
带电体系在外场中受的力或力矩与静电
势能的关系——虚功原理 p271/p61
设处在一定位形的带电体系的电势能为W，当它 的位形发生微小变化
3b
0.344e2
0b
2013/3/13
自能和相互作用能
相互作用能：把每一个带电体看作一个不 可分割的整体，将各带电体从无限远移到 现在位置所做的功等于它们的相互作用能。
自能：把全部电荷从无限分散的情况下聚 集到带电体上的过程中外力克服电场力所 做的功。
静电场的能量
= W互 + W自
5
W互是带电系统内N个带电体之间的相互作用能， 简称为系统的互能。
W自是每个带电体的静电能之和，简称为自能。
静电能 = 自能 + 相互作用能
⑵ 点电荷的自能
设想点电荷q是由半径为R（ R → 0 ）的均匀带电
球收缩半径而成，则球内一点产生的电势为
∫ ∫ ∫ U =
∞r r E ⋅ dl =
12
例1 如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶 点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个 点电荷+2e，求此带电系统的相互作用能量 。
解：法一
8个顶点上的负电荷的相 互作用能为12对，即
e2 12
4πε 0 d
6个面上对角顶点负电荷的相 互作用能为12对，即
12 e2 4πε0 2d
−e −e
R 0
Qr 4πε 0 R 3
2
4π
r 2dr
+
ε0 2
∞ R
Q 4πε 0 r 2
2
4π
r 2dr
= 3Q2
20πε 0 R
20
例4 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，所带电荷为Q。 若在两球壳间充以电容率为ε的电介质，求此电容器贮存 的电场能量。
解：由高斯定理， r
w1 = 0 (r < R1)
w4 = 0 (r > R2 )
w2
=
1 ε E2 2
=
32π
q2 2ε0ε r1r 4
(R1 < r < R)
w3
=
32π
q2 2ε 0ε r 2r 4
(R < r < R2 )
静电场的能量
4、当存在电介质时：
e
0 rE2
2
1 E 1 DE
22
各向同性均 匀电介质
5:
e
0 E2
2
e E 2
e不符合叠加原理
例如：
P
? p
6 ：非均匀变化的电磁场中，求任意带电系统 在整个电场中储存的能量
微元分析法
We
V edv
V
1
2
0
r
E
2dv
特例：当介质均匀
We
V
1DE 2
dv
E ：积分所在处 dv 的场强
点电荷间的相互作用能
1.2 多个点电荷
推广至由n个点电荷组成的系统，其相互作用能
（电势能）为
W
1 2
n
i 1
qiVi
Vi是除qi外的其它所有电荷在qi 所在处产生的电势。
1.3、 推广到电荷连续分布的带电体Q的电能
取体积元，有电荷 qi, v 很小，qi dq
其中：
W
1 2
n i1
q i U i
E
2dv
积分区域包括电场所在的整个空间，包括球内球外
在球内、球外分别取体积元 dV
We
球内
1
2
0
E
2dv
球外
1
2
0E
2dv
3Q2
20 0R
• 场是物质存在的一种形式。所以场具有能 量。由于带电球体在球内外都会产生电场， 所以电能应包括球内和球外能量的总和。
1 2
U dq
(1)U是由空间所有带电体在dq处共同产生的
电势的代数和。(关键就是写U）
（2）积分遍积电荷所在处。
物理-静电场的能量
力需克服静电场力作的功dw;
再计算电量由0累积到Q的过程，外力的总功：
Q
dW 0 dW
如：前面例1（均匀带电球面的静电能）
Q
W
q
dq Q2
0 4 0 R
8 0R
++ +
+O
+Q
+ +
+R +
+++
三、连续分布电荷系统的静电能
思路(二)：考察带电体上所电荷元间
的相互作用能 带电体上任到一个电荷元dq，设
4 0r
q1q2
4 0
dr r r2
q1q2
4 0r
一、电荷系统的自能与相互作用能
3、带电体系的总静电能
q2 q3 q1
qi
qn
某电荷系统A
每个带电体的自能 电荷系统的总能
所有带电体的相互作用能
一、电荷系统的自能与相互作用能
例3：求两个半径分别为 R1、R2，电量为 Q1、Q2，相 距为 d(d R1, R2 ) 的两个均匀带电球面的静电能。
Q1 + +
+ +
O1
+ + +
+ R1 +
+++
d( R1, R2 )
+ +
+
+ O2
+ Q2
+ +
+ R2 +
+++
自能：
W1
Q1 8 0R1
W2
Q2 8 0R2
;
相互作用能： W12
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带电体的静电能
1. 点电荷之间的相互作用能（e W ）：设两点电荷1q ,2q 。
我们知道1q 通过激发1E 作用于2
q （2q 则通过激发2E 作用于1q ），2q 在1E 中具有电势能21W ，1q 在2E 中具有电势能12W ，并有21W =12W 。
即1q ,2q 组成的系统确定的电势能W=12W =21W 是1q ,2q 共有的，称电势能W 是1q ,2q 的相互作用能。
2. 带电体系的自能（s W ）：由点电荷i q 组成的点电荷系，它们之间相互作用的相互作用能之和称为该系统的自能。
（对于孤立的由若干个电荷连续分布的带电体组成的系统可看
成点电荷系）。
3. 静电能（W ）:对于孤立的带电体它的自能就是它的静电能。
但对于（孤立的）由若干
个电荷连续分布的带电体组成的系统中的任一个带电体，它不仅具有自能，还具有其它带电体对它的作用能，这两部分能量之和是这个带电体的静电能。
但从整体看，系统的自能就是系统的静电能。
需要注意的是：带电体的静电能并不等于带电体的各部分在电
场中具有的电势能之和W '（点电荷系则i i
i
W q u '=
∑，i
u 是i
q 处其它电荷产生的电势
之和，对于连续带电体则过渡到积分：W udq '=⎰
，积分包含线、面、体形式），W 与W '
存在着简单倍数关系。
4. 带电体的静电能的计算：
（1） 点电荷系{}|1,2,...,i q i n =：由静电能W 的定义我们知112n
i ij i j i
W q u =≠=∑∑,其中ij
u 是点电荷j q 在i q 处产生的电势。
所以1
12n
i i i W q u ==∑(其中i u 是除i q 其它电荷在i q 处
产生的电势之和)，即W=12
W '。
（2） 单一电荷连续分布的带电体：1
2W udq =
⎰
，积分遍及整个带电区域，其中u 为电荷元dq 处的电势，这个电势是由整个带电体产生的，dq 处的电势可以认为不含有
dq 的贡献（dq 产生的电势du 较其它电荷元产生的电势来说是一个无穷小量）
（3） 若干个电荷连续分布的带电体组成的系统：1
2
W udq =
⎰，这时积分遍及所有的带电体。
值得考虑的一个问题：系统中任一带电体（以下记为1）的静电能怎么求？上面提到过，此时带电体的静电能包含两方面，一个是它的自能,1s W ，别一个是其它带电
体对它的作用能,1e W 。
1
,1,1s e W W W =+
11
2
s W u dq =
⎰,其中1u 是带电体1在dq 处产生的电势，1
e W u dq '=⎰，
其中1
u ' 是除1外其它带电体在dq 处产生的电势1111
2W u dq u dq '=+⎰
⎰，两项积分只遍及带电体1。
显然11
2W W udq ≠=
⎰
（这里的积分是遍及所有带电体）。
那么W 的它的结构是什么样的呢？
设该系统由n 个电荷连续分布的带电体组成，i u ，i u '分别为带电体i 、除去i 的其它带电体在i 上电荷元dq 处产生的电势，u 为某一电荷元dq 处的总电势。
11122n
i i W udq udq =∴==∑⎰⎰，而11
()22i i i i i
udq u dq u dq '=+⎰⎰⎰其中积分只遍及
带电体i 。
i i j
i j j i
j i i
i i
u dq u
dq u dq ≠≠'==∑∑⎰⎰⎰其中i j u 是带电体j 在带电体i 的电荷元dq
处产生的电势，显然
,i j
e ij
i
u
dq W =⎰，
,e ij
W 指的是带电体j 与带电体i 之间
的相互作用能，又,1
2i s i i
u dq W =⎰，,s i W 表示的是带电体i 的自能，所以：
,,,,,111
11
()()22n
n n
s i e ij s i e i s i e i i j i i W W W W W W W =≠===+=+=+∑∑∑∑，其只,e i W 是其它带电
体对i 的作用能，e W 是系统的作用能。
5. 带电体的自能与带电体所激发的电场具有的能量之间的关系：
1122
s e V V W w dV D EdV =
=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰积分遍及了电场弥漫的整个空间区域（比如平
行板电容器所具有的电势能与它在两极板间产生的电场能量是相等的）。
定性分析似乎也可以解释5.式：（单一带电荷连续分布的带电体）设想这个带电体由电荷元
}{|1,2,...,i
dq i n =构成，取这些电荷元彼此相距无限远时系统电势能为0。
我们逐一将这
些电荷元移动，直至聚集成带电体的原状，这个过程要克服电场力做功，显然A=s W ，A 是外力所做的功。
这似乎暗示了带电体所激发的电场总能来自构成带电体的那部分能量，即带电体所拥有的自能。
（若干电荷连续分布的带电体系统）也可以类似的分析只不过情况比上述的复杂了点，由
,1
n
s i e i W W W ==+∑我们可以看出：我们让彼此相距无限远的电荷元先各自逐一的聚集成
带电体i （i=1,2,...n ）,这些带电体也是彼此相距无限远的，然后再将这些带电体移至原来的各自的位置，这个过程外力做的功可以分成两部分。
一部分是聚集过程做的功，显然
1,1
n
s i i A W ==∑，另一部分是移动带电体所做的功2e A W =，仍有A W =。