第12讲 第2章第9节 子群的陪集
所以,
| G || a1H | | a2 H | | ar H | r | H | H (G : H )
推论
推论1 推论2 有限群子群的阶整除群的阶. 有 的阶数是n, 则对任意的 n aG , a e .
AB {ab | a A, b B} G
若 B {g} ，则
Ag AB {ag | a A}
gA BA {ga | a A}
二、陪集的引入
[0],[1], 引例 整数加群 ( z, ) ，模n的剩余类： 构成 ( z, ) 的一个分类：
Z n 0 , 1 , 2 , , n-1
} 是群 G 关于子群 H 的一
1
个左陪集代表系，则 {a
, b , c , } 是群
G 关于子群 H 的一个右陪集代表系.
定理 2
设 H G ，则群 G 的任何一个左（或右）
陪集都与H含有相同个数的元素. 证明: a G , 令 a : h ah，则它是H到aH一个映射且为满射. 又由群中消去律成立知它是单射，因而它是 H 到 aH 的一一映射; 同理， a : h ha 是 H 到 Ha 的一一 映射.
G aH bH cH 为群 G 关于子群 H 的左陪集分解，而称
{a , b, c, }
为群G 关于子群 H 的一个左陪集代表系. 群 G 中每个元素属于且只属于一个左陪集， 因此群 G 可以按照其子群 H 的左陪集分类.
上例中左陪集代表系同时是右陪集代表系。
G (1) H H (1)
h H , xa1 h h H , x ha x Ha
命题2：对任意群G, H G.
a, b G, 规定 a ～ b a1b H , 则它是G上一种等价关系.
进而可确定G的一种分类：
a G, a所在类[a] {ah | h H }=aH
第 9节
子群的陪集
子群陪集的概念是对群进行分类的有力工具， 它是由伽罗瓦于1830年首先引入群论的.子群的 陪集实际上就是群的基础集在某种等价关系下的 类.本节中将给出陪集的概念和相关的性质，对 有限群则给出重要的定理—拉格朗日定理，这也
是群论中一个定量的定理.
一、集合的积
设 G 为群, A, B 是群 G 的两个非空子集, 定义
上述猜测是不对的，引发下面两个问题 1）什么时候左陪集代表系同时是右陪集 代表系； 2）如何由一个给定的左陪集代表系得到 一个对应的右陪集代表系。
三、有关陪集的主要性质 定理1 设 H G ， H的左陪集的个数与右陪集
的个数相同，或者都为无限大或有限且相等。 证明 a G ,
G
Sl aH | a G , Sr Ha | a G 则 : aH Ha1 是 Sl 到 Sr 的一一 映射.
(13) H H (13)
(23) H H (23)
是否所有的左陪集代表系同时是右陪集代表 系吗？即 若 G H a1H a2 H ai H
则 G H Ha1 Ha2 Hai
G H (13) H (132) H G H H (13) H (132)
命题1：对任意群G, H G.
a, b G, 规定 a ~ b ab H
则 是G上一种等价关系. 进而可确定G的一种分类：
a G , a所在类 [a] {ha | h H }=Ha, 称为H的一个右陪集.
1
证明：首先 ～ 是G上一种等价关系.
(1)反身性：a G, aa1 e H ,a
定义 3 称群 G 的子群 H 的不同左(右) 陪集的个数(有限或无限)为 H 在 G 中的指数. 记作 [G : H ] . [G : H ] 3 例1中 G S3 ，H {(1),(12)}，
由此可知，
G aH
即
bH
cH
1
Hb
1
1
G Ha
Hc
1
1
{a, b, c ,
H G 定理 3(Lagrange定理) 对有限群 G ，
则 | G || H | [G : H ] 证明 因为 H G , 所以 H 也是有限群， 从而 H 在 G 中左陪集的个数也有限. 设 [G : H ] r ，且 G a1 H a2 H ar H
| a1H | | ar H || H |
～a
(2)对称性：a, b G, a ～ b, ab1 H ba 1 (ab1 )1 H
b～ a
(3)传递性：a, b, c G, a ～b, b
a～c
～ c, ab , bc H ac H
1
1
1
1
x [a] x与 a等价 xa H
称为H的一个左陪集.
注：对同一个群，由同一个子群确定的上述两种等价 关系未必相同，因此其左右陪集也不同。下面看一个 例子
例1 G S3 {(1), (12), (13),(23), (123),(132)} H {(1), (12)} H 在 G 中的全部不同的右陪集有:
H (1) {(1), (12)} H (12) H (13) {(13),(123)} H (123) H (23) {(23),(132)} H (132) H 在 G 中的全部不同的左陪集有: (1) H {(1), (12)} (12) H (13) H {(13),(132)} (132) H (23) H {(23),(123)} (123) H
右陪集的性质
1） a Ha 2）a H Ha H 3） b Ha Ha Hb ba H
1
4） Ha Hb
Ha Hb
同样的，对左陪集也有类似性质。
定义2 设 aH , bH , cH , 是子群 H 在群 G 中的所有不同的左陪集，称等式
,[n-1]
现利用群的观点，分析此分类的特点：
取H {hn | h Z } ( z, ), a, b Z , 有
a ~ b a b(mod n) n | a b a b H
即说明整数加群按上面同余关系分类 和利用子群分类 是一回事，将其推广至一般群：
| G || a1H | | a2 H | | ar H | r | H | H (G : H )
推论
推论1 推论2 有限群子群的阶整除群的阶. 有 的阶数是n, 则对任意的 n aG , a e .
AB {ab | a A, b B} G
若 B {g} ，则
Ag AB {ag | a A}
gA BA {ga | a A}
二、陪集的引入
[0],[1], 引例 整数加群 ( z, ) ，模n的剩余类： 构成 ( z, ) 的一个分类：
Z n 0 , 1 , 2 , , n-1
} 是群 G 关于子群 H 的一
1
个左陪集代表系，则 {a
, b , c , } 是群
G 关于子群 H 的一个右陪集代表系.
定理 2
设 H G ，则群 G 的任何一个左（或右）
陪集都与H含有相同个数的元素. 证明: a G , 令 a : h ah，则它是H到aH一个映射且为满射. 又由群中消去律成立知它是单射，因而它是 H 到 aH 的一一映射; 同理， a : h ha 是 H 到 Ha 的一一 映射.
G aH bH cH 为群 G 关于子群 H 的左陪集分解，而称
{a , b, c, }
为群G 关于子群 H 的一个左陪集代表系. 群 G 中每个元素属于且只属于一个左陪集， 因此群 G 可以按照其子群 H 的左陪集分类.
上例中左陪集代表系同时是右陪集代表系。
G (1) H H (1)
h H , xa1 h h H , x ha x Ha
命题2：对任意群G, H G.
a, b G, 规定 a ～ b a1b H , 则它是G上一种等价关系.
进而可确定G的一种分类：
a G, a所在类[a] {ah | h H }=aH
第 9节
子群的陪集
子群陪集的概念是对群进行分类的有力工具， 它是由伽罗瓦于1830年首先引入群论的.子群的 陪集实际上就是群的基础集在某种等价关系下的 类.本节中将给出陪集的概念和相关的性质，对 有限群则给出重要的定理—拉格朗日定理，这也
是群论中一个定量的定理.
一、集合的积
设 G 为群, A, B 是群 G 的两个非空子集, 定义
上述猜测是不对的，引发下面两个问题 1）什么时候左陪集代表系同时是右陪集 代表系； 2）如何由一个给定的左陪集代表系得到 一个对应的右陪集代表系。
三、有关陪集的主要性质 定理1 设 H G ， H的左陪集的个数与右陪集
的个数相同，或者都为无限大或有限且相等。 证明 a G ,
G
Sl aH | a G , Sr Ha | a G 则 : aH Ha1 是 Sl 到 Sr 的一一 映射.
(13) H H (13)
(23) H H (23)
是否所有的左陪集代表系同时是右陪集代表 系吗？即 若 G H a1H a2 H ai H
则 G H Ha1 Ha2 Hai
G H (13) H (132) H G H H (13) H (132)
命题1：对任意群G, H G.
a, b G, 规定 a ~ b ab H
则 是G上一种等价关系. 进而可确定G的一种分类：
a G , a所在类 [a] {ha | h H }=Ha, 称为H的一个右陪集.
1
证明：首先 ～ 是G上一种等价关系.
(1)反身性：a G, aa1 e H ,a
定义 3 称群 G 的子群 H 的不同左(右) 陪集的个数(有限或无限)为 H 在 G 中的指数. 记作 [G : H ] . [G : H ] 3 例1中 G S3 ，H {(1),(12)}，
由此可知，
G aH
即
bH
cH
1
Hb
1
1
G Ha
Hc
1
1
{a, b, c ,
H G 定理 3(Lagrange定理) 对有限群 G ，
则 | G || H | [G : H ] 证明 因为 H G , 所以 H 也是有限群， 从而 H 在 G 中左陪集的个数也有限. 设 [G : H ] r ，且 G a1 H a2 H ar H
| a1H | | ar H || H |
～a
(2)对称性：a, b G, a ～ b, ab1 H ba 1 (ab1 )1 H
b～ a
(3)传递性：a, b, c G, a ～b, b
a～c
～ c, ab , bc H ac H
1
1
1
1
x [a] x与 a等价 xa H
称为H的一个左陪集.
注：对同一个群，由同一个子群确定的上述两种等价 关系未必相同，因此其左右陪集也不同。下面看一个 例子
例1 G S3 {(1), (12), (13),(23), (123),(132)} H {(1), (12)} H 在 G 中的全部不同的右陪集有:
H (1) {(1), (12)} H (12) H (13) {(13),(123)} H (123) H (23) {(23),(132)} H (132) H 在 G 中的全部不同的左陪集有: (1) H {(1), (12)} (12) H (13) H {(13),(132)} (132) H (23) H {(23),(123)} (123) H
右陪集的性质
1） a Ha 2）a H Ha H 3） b Ha Ha Hb ba H
1
4） Ha Hb
Ha Hb
同样的，对左陪集也有类似性质。
定义2 设 aH , bH , cH , 是子群 H 在群 G 中的所有不同的左陪集，称等式
,[n-1]
现利用群的观点，分析此分类的特点：
取H {hn | h Z } ( z, ), a, b Z , 有
a ~ b a b(mod n) n | a b a b H
即说明整数加群按上面同余关系分类 和利用子群分类 是一回事，将其推广至一般群：
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子群的陪集
第二章：群的进一步讨论 Chapter 2 Extension of Group Theory
本章对群论作进一步的讨论，对群论中的某 些重要概念进行专题研究。
利用群G的一个子群H的陪集，定义商群和正 规子群. 利用商群和正规子群，定义群G的同态和 证明群同态基本定理——群论的基本定理. 最后讨 论群的直积和介绍群的一些应用.
|G|=
∑ x H ＝s H ＝m s
i＝1 i
s
由拉格朗日定理不难得到如下推论: 推论: (1)当|G|=n有限时，H≤G，|H|=m，则 m|n， 即子群H的阶是n的因子。 (2)当|G|=n有限时，任意x∈G，则o(x)|n，从而 xn=e。 (3). 当|G|=p为素数，则G=Cp是p阶循环群，即素 数阶群必为循环群。 例. 在例1中, |G|=|S3|=6 |H|=|xH|=|Hx|=2 则 [G:H]=6/2=3
一个群的左陪集aH和右陪集Ha一般情况下不一 定相等，但对于两个不同的左陪集xH、yH，考虑映 射f : xH→yH，对于xh∈xH，f(xh)=yh。 可以证明 f 是一个双射，从而 |xH|=|yH|=|eH|=|H|， 即每一个左陪集与H具有相同的基数。 同样地也可以证明，每一个右陪集与He=H也有 相同的基数，并且存在左陪集分解L(H)到右陪集R(H) 的双射φ: aH→Ha-1 ，从而L(H)与R(H)具有相同的基 数，称为H在G中的指数(index)，记作[G:H]。 当G为有限时，则子群H的阶数|H|和指数[G:H] 也是有限的，并且有下面的关系。
证明：⑴ a∈ aH.
事实上，a=ae∈ aH.
⑵ aH= H的充分必要条件是a∈H. 首先，若aH= H，根据⑴ a∈ aH，所以a∈H.
反之，若a∈H，则a-1∈H.从而 aHH H = H， H =( aa-1)H= a(a-1H) aH, 所以aH= H.
本章对群论作进一步的讨论，对群论中的某 些重要概念进行专题研究。
利用群G的一个子群H的陪集，定义商群和正 规子群. 利用商群和正规子群，定义群G的同态和 证明群同态基本定理——群论的基本定理. 最后讨 论群的直积和介绍群的一些应用.
|G|=
∑ x H ＝s H ＝m s
i＝1 i
s
由拉格朗日定理不难得到如下推论: 推论: (1)当|G|=n有限时，H≤G，|H|=m，则 m|n， 即子群H的阶是n的因子。 (2)当|G|=n有限时，任意x∈G，则o(x)|n，从而 xn=e。 (3). 当|G|=p为素数，则G=Cp是p阶循环群，即素 数阶群必为循环群。 例. 在例1中, |G|=|S3|=6 |H|=|xH|=|Hx|=2 则 [G:H]=6/2=3
一个群的左陪集aH和右陪集Ha一般情况下不一 定相等，但对于两个不同的左陪集xH、yH，考虑映 射f : xH→yH，对于xh∈xH，f(xh)=yh。 可以证明 f 是一个双射，从而 |xH|=|yH|=|eH|=|H|， 即每一个左陪集与H具有相同的基数。 同样地也可以证明，每一个右陪集与He=H也有 相同的基数，并且存在左陪集分解L(H)到右陪集R(H) 的双射φ: aH→Ha-1 ，从而L(H)与R(H)具有相同的基 数，称为H在G中的指数(index)，记作[G:H]。 当G为有限时，则子群H的阶数|H|和指数[G:H] 也是有限的，并且有下面的关系。
证明：⑴ a∈ aH.
事实上，a=ae∈ aH.
⑵ aH= H的充分必要条件是a∈H. 首先，若aH= H，根据⑴ a∈ aH，所以a∈H.
反之，若a∈H，则a-1∈H.从而 aHH H = H， H =( aa-1)H= a(a-1H) aH, 所以aH= H.
《子群的陪集》课件
《子群的陪集》PPT 课件
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。
子群的陪集
思考题 1 若 H G ,又设 a G ,那么“ Ha aH ”成立吗? 为什么?
答：由于 G 不一定是交换群,所以 Ha aH 未必成立.
比如,在引例 2 中, 123H 123,23，而 H 123 123,13，123H H 123
2020/6/18
二、陪集的性质． 1) a aH ．同理， a Ha 。 证明 因为 H 是子群， e H ，故 a aeaH . 2) aH aH H ． 证明 设 aH H ．则由 1)知，a aH ，故 a H ． 反之，设 a H ，但因 H 是子群，故 aH H ；
2020/6/18
五、Lagrange 定理 定理 5 (Lagrange 定理) 设 H G ,如果 G N, H n ,
且有G : H j ,那么 N nj.
2020/6/18
证明: G : H j ,这表明 H 在 G 中的右陪集只
有 j 个,从而有 G 的右陪集分解: G Ha1 Ha 2 Ha3 Ha j （其中 Ha1 H ） 由引理知, Ha1 Ha2 Ha j n 所以 G Ha1 j N nj . 由上等式“ N nj ”知子群 H 的阶 n 是 G 的 阶 N 的因子，于是可得到下面的推论
2020/6/18
是群 G 的陪集分解,那么
G H a1H a2 H a3 H am H
未必会是群的陪集分解.(即等号未必能成立). 四、右陪集与左陪集的对应关系
2020/6/18
定理
群 的任何两个陪集(包括左陪集与右陪集)含有相同个数的元素.
证明 设 为 的子群,
.令
;
.
如果
,
,则
XY xy x Z,y Y
特别地,如果Y y是一个单元集,而设 X x1, x2 , ,那么 X 与Y 的积为
答：由于 G 不一定是交换群,所以 Ha aH 未必成立.
比如,在引例 2 中, 123H 123,23，而 H 123 123,13，123H H 123
2020/6/18
二、陪集的性质． 1) a aH ．同理， a Ha 。 证明 因为 H 是子群， e H ，故 a aeaH . 2) aH aH H ． 证明 设 aH H ．则由 1)知，a aH ，故 a H ． 反之，设 a H ，但因 H 是子群，故 aH H ；
2020/6/18
五、Lagrange 定理 定理 5 (Lagrange 定理) 设 H G ,如果 G N, H n ,
且有G : H j ,那么 N nj.
2020/6/18
证明: G : H j ,这表明 H 在 G 中的右陪集只
有 j 个,从而有 G 的右陪集分解: G Ha1 Ha 2 Ha3 Ha j （其中 Ha1 H ） 由引理知, Ha1 Ha2 Ha j n 所以 G Ha1 j N nj . 由上等式“ N nj ”知子群 H 的阶 n 是 G 的 阶 N 的因子，于是可得到下面的推论
2020/6/18
是群 G 的陪集分解,那么
G H a1H a2 H a3 H am H
未必会是群的陪集分解.(即等号未必能成立). 四、右陪集与左陪集的对应关系
2020/6/18
定理
群 的任何两个陪集(包括左陪集与右陪集)含有相同个数的元素.
证明 设 为 的子群,
.令
;
.
如果
,
,则
XY xy x Z,y Y
特别地,如果Y y是一个单元集,而设 X x1, x2 , ,那么 X 与Y 的积为
2.9 子群的陪集——近世代数
第二章 群论
第九节 子群的陪集
主讲人：XXX
Email：XXX@
安阳师范学院·数学与统计学院
第九节 子群的陪集
02
目录
CONTENTS
1 2 3
集合的积 陪集的引入 子群的陪集定义和性质
第九节 子群的陪集
03
1、集合的积 设
G 为群, A, B 是群 G 的两个非空子集, 定义
AB {ab | a A, b B} G
a ~ b a b(mod n) n | a b a b H
第九节 子群的陪集
06
Z n 0 , 1 , 2 ,
, n-1
每个类 [i] 正好是子群 H 乘上这个类中任取定的一个元素,即
[i ] {nh i | h Z } i H i [0]
第九节 子群的陪集
12
由上例可以发现： (1) H 的一个陪集一般不是G 的子群， (2) G 的不同元素可能得到关于 H 的同一个左陪集(或右陪集)， (3) H 的左陪集 aH 一般不等于相应的右陪集 Ha， (4) |aH|=|Ha|.
左陪集有如下性质：
1) a aH 2) a H aH H 3) b aH aH bH
第九节 子群的陪集
16
定理3 (Lagrange) 设 G 是有限群，H 是 G 的子群，则 |G| = |H| ·[G:H] 其中 [G:H] 是 H 在G 中的不同左陪集(或右陪集) 个数， 称为 H 在G 中的指数.
证明 设[G:H] = r，且 a1, a2, …, ar 分别是 H 的 r个不同右陪集的代表
08
对任意的群 G，H 是G 的子群，a,bG, 规定
第九节 子群的陪集
主讲人：XXX
Email：XXX@
安阳师范学院·数学与统计学院
第九节 子群的陪集
02
目录
CONTENTS
1 2 3
集合的积 陪集的引入 子群的陪集定义和性质
第九节 子群的陪集
03
1、集合的积 设
G 为群, A, B 是群 G 的两个非空子集, 定义
AB {ab | a A, b B} G
a ~ b a b(mod n) n | a b a b H
第九节 子群的陪集
06
Z n 0 , 1 , 2 ,
, n-1
每个类 [i] 正好是子群 H 乘上这个类中任取定的一个元素,即
[i ] {nh i | h Z } i H i [0]
第九节 子群的陪集
12
由上例可以发现： (1) H 的一个陪集一般不是G 的子群， (2) G 的不同元素可能得到关于 H 的同一个左陪集(或右陪集)， (3) H 的左陪集 aH 一般不等于相应的右陪集 Ha， (4) |aH|=|Ha|.
左陪集有如下性质：
1) a aH 2) a H aH H 3) b aH aH bH
第九节 子群的陪集
16
定理3 (Lagrange) 设 G 是有限群，H 是 G 的子群，则 |G| = |H| ·[G:H] 其中 [G:H] 是 H 在G 中的不同左陪集(或右陪集) 个数， 称为 H 在G 中的指数.
证明 设[G:H] = r，且 a1, a2, …, ar 分别是 H 的 r个不同右陪集的代表
08
对任意的群 G，H 是G 的子群，a,bG, 规定
2：置换群和子群及其陪集
1 2 3 4 5 6 例6.3.3 σ = 3 2 4 1 5 6
=(1 3 4)=(3 4 1)=(4 1 3）。
定义6.3.3 M的两个轮换 σ=（a1…ar）和 τ=（b1…bs）说是不相杂或不相交， 如果 a1，… ， ar和b1，…，bs都不相同。
结论：若σ和τ是两个不相杂的轮换，则其乘法 适合交换律： στ=τσ
1
3
2
4
在该表示法中，我们从a向b引一箭头，就表示在 该置换下，a变到b。
总之，一个n元置换σ有一图形表达式 Gσ =α1z1 +α2z2 + … +αrzr 其中α1+2α2+…+rαr = n称为该置换的图型； 反之，给一个图型，即如上的图形表达式，就 相应有一个n元置换σ。因为n元置换最多只能出 现１个最长的圈zn，也最多只能出现n个最短的 圈z1，所以对于上列的图形表达式Gσ，总可写成
6.3.1 置换的定义
定义6.3.1 设M是一个非空的有限集合，M的一个一对一 变换称为一个置换。 设M的元素为a1，a2，…，an，则M的置换σ可以简记为
σ＝
a1 a 2 a n ,bi=σ（ai）,i=1,2…,n b b b n 1 2
因为置换按定义是一对一的，所以b1,b2,…,bn是 a1,a2,…,an的一个排列，由此可见，Ｍ的每个置 换对应a1,a2,…,an的一个排列，不同的置换对应 不同的排列,此外，a1,a2,…,an的任意排列也确 定M的一个置换，所以，M的置换共有n！个，其 中n是M的元数，M上的置换也称为n元置换。以下 用Sn表示这n！个置换作成的集合。
(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)。
近世代数课件-2-7子群的陪集
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§2.7 子群的陪集
一.等价关系与陪集 二.左陪集的定义与性质 三.右陪集的定义与性质 四.左、右陪集之间的关系 五.指数的定义与拉格朗日定理 六.子群乘积的性质
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一、等价关系和陪集
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一、等价关系、左陪集的定义与性质
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二、左陪集的定义与性质
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二、左陪集的定义与性质
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二、左陪集的定义与性质
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三. 右陪集的定义和性质
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三. 右陪集的定义和性质
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本节教学目的与要求： 辨清陪集的形成以及它们与母群的关系与子群H的联系；
了解群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项；掌握陪集 和陪集的代表元所形成的系列性质； 掌握Lagrange定理和推 论及其有关理论应用。
对陪集概念的了解和拉格朗日定理的应用是重点，学会并 掌握有关陪集理论的等式命题证明方法掌握其中的定理证明方 法是难点。
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三. 右陪集的定义和性质
注：例1中有
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四.左、右陪集之间的关系
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五. 指数的定义及Lagrange定理
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五. 指数的定义及Lagrange定理
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五. 指数的定义及Lagrange定理
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
§2.7 子群的陪集
一.等价关系与陪集 二.左陪集的定义与性质 三.右陪集的定义与性质 四.左、右陪集之间的关系 五.指数的定义与拉格朗日定理 六.子群乘积的性质
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一、等价关系和陪集
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一、等价关系、左陪集的定义与性质
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二、左陪集的定义与性质
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二、左陪集的定义与性质
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二、左陪集的定义与性质
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三. 右陪集的定义和性质
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三. 右陪集的定义和性质
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本节教学目的与要求： 辨清陪集的形成以及它们与母群的关系与子群H的联系；
了解群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项；掌握陪集 和陪集的代表元所形成的系列性质； 掌握Lagrange定理和推 论及其有关理论应用。
对陪集概念的了解和拉格朗日定理的应用是重点，学会并 掌握有关陪集理论的等式命题证明方法掌握其中的定理证明方 法是难点。
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三. 右陪集的定义和性质
注：例1中有
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四.左、右陪集之间的关系
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五. 指数的定义及Lagrange定理
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五. 指数的定义及Lagrange定理
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五. 指数的定义及Lagrange定理
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
近世代数复习
第一章集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。
第二章群的定义a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足1.“▫”满足结合律；2.{G，▫}中有单位元；3.{G，▫}每个元都与逆元则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。
b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。
群的性质1.单位元唯一；2.逆元唯一；3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1注：可以推广到无限：111211m1m1m21ma...aaa)...aa(aG,a..,------=⇒∈∀,.a,a215.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。
6.群满足左右消去律。
推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。
7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k n|k。
8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。
9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。
交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。
元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。
若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。
有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。
一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。
定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和ya = b§5变换群定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。
若是对于上述乘法来说G做成一个群，那么G只包含A的一一变换。
子群与陪集
定义7.4.2 由上述等价关系～决定的 G 中元素的每 个等价类，都称为子群H的一个右陪集。 以 a 为代表元的右陪集记为Ha。
• 用右陪集这个术语以及记号，是基于下面结论： 集合Ha恰好由在～下所有与 a等价的元素组成。 b～a ⇔ b ∘ a-1∈ H ⇔ b=h ∘a ⇔ b ∈ Ha h= b ∘a-1 h∈ H 故有 Ha={ h∘a | h ∈ H }
• 给定一个G的非空子集 S，则 S生成唯一的一个G 的子群H ；反之不然，即给定一个G的子群H ， 则一般来说生成 H 的子集不唯一。通常，称生成 H的子集中一个最小的子集为H 的生成元集。
• G的子群H的生成元集是不唯一的。
例. 几个重要的群： 一般线性群 GL(n,R) = { A | |A|≠0 }
7.4 子群与陪集
定义7.4.1 设( G, ∘)是群，H 是G的一个非空子集， 若H 关于运算 ∘ 构成一个群，则称H是( G, ∘)的一 个子群。
• 任何群( G, ∘)都至少有两个子群：群G本身，以及 只包含单位元的集合{e}。称为群 G的平凡子群。
定理7.4.1 群( G, ∘)的一个非空子集 H构成 G的子 群的充要条件是： （1）若a, b ∈ H, 则 a∘b ∈ H, （2）若a ∈ H, 则 a-1∈ H。 推论7.4.1 若 H是群( G, ∘)的一个子群，则H的单位 元就是G的单位元；H的任意一个元素在H中的逆 元就是它在G中的逆元。
例7.4.4 考察三次对称群S3及其子群 H={(1), (12)} S3的阶是6；H的阶是2；H有3个右陪集，因此 H 在 S3中的指数是3。 当然2和3都整除6，并且6=2x3。 S3的6个元素是(1), (12), (13), (23), (123), (132)，它 们的阶分别是1 2 2 2 3 3，都能整除S3的阶。 S3的6子群是{(1)}, {(1), (12)}, {(1), (13)}, {(1), (23)}, {(1), (123), (132)}, {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
D2-9子群的陪集
比如在引例 中， 2 （ ）H （ ），（ ） 123 { 123 23 }，而H (123 ) （ ）， 3)} { 123 (1 123 H H (1 2 3)。 （ ）
二、陪集的性质
二个右陪集相等是什么 意思？在什么条件下才 会发生呢？
明示2： 设H G , 令H {e , h1 , h2 , h3 ,}, 若取a , b G , 那么有
定理1： 设H G，且a , b G，那么
（）a Hb Ha Hb ab 1 H ; 1 （ ）b Ha Ha Hb ba 1 H . 2
证明：只需证明（ 1 ），同理可得（ 2 ）。 (i )a Hb Ha Hb .
a Hb ,由陪集的含义可知， 必存在h H使a hb ，即b h 1a。
定义2：子群的陪集） (
设H是群G的一个子群，任取 G , 那么 a 1、集合Ha {ha | h H }叫做H的一个右陪集，而 叫做这个 a 右陪集的代表元； 2、集合aH {ah | h H }叫做H的一个左陪集，而 叫做这个 a 左陪集的代表元 .
由此可见，子群 的陪集正是H与元素a相乘的积，当 从 H a 右方去乘H时，则得到右陪集。反 之得到左陪集。 （下面只对右陪集展开 讨论） .
第九节 子群的陪集
教学目的和要求：
第二章
在第一章中曾介绍了集合的分类与集合上的等价关系之间的 联系——他们是互相兼容的两个代数概念。本节中借用子群将 在群中引入一种特殊的等价关系，由此对群进行分类——群的 陪集分解，进而引出了拉格朗日(grange)定理,得到了“每个 子群（元素）的阶都是有限母群阶的因子”这一重要结论。导 致对子群更完美的刻划。本节要求： （1）了解陪集的形成过程，陪集与相应的子群和母群的关系； （2）掌握陪集的一系列性质和它的代表元所具有的特征； （3）在群G的陪集分解中，理解其左陪集和右陪集彼此的内涵 和产生的不同影响； （4）Lagrange定理的应用。
群论课件第二章
12
两个相继操作：先操作右（第二）因子，后操作左（第一）因子 例如：AB=D
B D A
BC=D
C D
B
作业：D2=？ D3=？DA=？AD=？
13
D3群的乘法表
14
3. 置换群
以变换位置的操作为群元，以相继操作为 群乘， 构成置换群
（1）置换操作
┌1 2 3┐
f=∣ ∣ └3 1 2┘ 位置1上的粒子换到位置3上了……
9
重排定理： Ak G = G Ak = G
求证: GAk = G 证明: 第一步：证明每个元素必出现在 GAk 中 （即证明若元素 X G，则必 X GAk） 令 Ar = X Ak-1 ∵ X，Ak-1 G, ∴ Ar G ( 封闭性 ) 则 X = ArAk G Ak 第二步：证明每个元素只出现一次 （即证明若又有一元素As G 使 AsAk = X, 则必有As =Ar ） ∵ AsAk = X, 又由前面可知 X = ArAk， ∴ ArAk = AsAk 则 Ar = Ar（AkAk-1）=（ArAk）Ak-1 =（AsAk）Ak-1 = As（AkAk-1）= As
不一定成立
----交换群或者阿贝尔群：满足交换律 （循环群都是阿贝尔群）
----非交换群：不满足交换律
按运算方法分：交换群和非交换群
4
1.3 群元的基本性质
1. 单位元
E-1 = E , E 的逆元仍为E
2. 逆元
(A-1)-1 = A, 逆元之逆元为元素本身
3. 乘积的逆元
(AB)-1 = B-1 A-1
28
3.2 共轭类
(1)定义：群G中所有互相共轭的元素形成的完全集 合----群中的共轭类，常用C表示 即 XCX-1=C X∈G 式中：C={C1,C2,…,Cn}, XCiX-1=Cj (i,j=1,2,…,n) (2)性质 ①单位元自成一类 ②不同的类中没有共同元 ③除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因为 这些类中不包含单位元 ④Abel群的每个元自成一类（请证明）