全国初中竞赛试题1
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案
1. 角函数的计算和证明问题
在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：
(1)三角函数的单调性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大;cosa与ctga随a的值增大而减小;当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.
注意到sin45=cos45= ,由(1)可知,当时0sina;当45
(2)三角函数的有界性|sina|1,|cosa|1,tga、ctga可取任意实数值(这一点可直接利用三角函数定义导出).
例1(1986年全国初中数学竞赛备用题)在△ABC中，如果等式sinA+cosA= 成立，那么角A是( )
(A)锐角 (B)钝角 (C)直角
分析对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论.
解当A=90时，sinA和cosA=1;
当45 ，cosA0，
sinA+cosA 当A=45时，sinA+cosA= 当00,cosA sinA+cosA ∵ 1, 都大于 .
淘汰(A)、(C)，选(B).
例2(1982年上海初中数学竞赛题)ctg6730的值是( )
(A) -1 (B)2- (C) -1
(D) (E) 分析构造一个有一锐角恰为6730的Rt△，再用余切定义求之.
解如图36-1，作等腰Rt△ABC，设B=90，AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC，则AD=AC= ，D=22.5,DCB=67.5.这时，
ctg6730=ctgDCB= 选(A).。
全国 初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试4月13日上午8：30—9：30一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1、设a 2 + 1 = 3 a ，b 2 + 1 = 3 b ，且a ≠ b ，则代数式21a +21b的值为（ ） （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11 2、如图，设AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE 的长为（ ） （A ）185 （B ）4 （C ）215 （D ）2453、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ） （A ）15 （B ）310 （C ）25 （D ）124、在△ABC 中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）（A ）BM > CN （B ）BM = CN （C ）BM < CN （D ）BM 和CN 的大小关系不确定 5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ ） （A ）(98) 3 （B ）(98) 4 （C ）(98) 5 （D ）986、已知实数x ，y 满足( x 22008x -y 22008y -) = 2008， 则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（ ）（A ）– 2008 （B ）2008 （C ）– 1 （D ）1CBFDA E二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1、设a 512-5432322a a a a a a a +---+-= 。
2、如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且5∠MAN = 135°，则四边形AMCN 的面积为 。
初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)
初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)初中数学奥林匹克竞赛全真试题（全国联赛卷）（详解版）一、填空题1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b，那么a + b 等于_____.答案：-12. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1（m、n 都不为 0），若 m + n 等于 8，则 m - n 等于_____.答案：73. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=3，Sn=15，则 n 的值是_____.答案：64. 在△ABC 中，已知 a=4，b=4，c=8，若 AB+AC=9，则∠B =_____.答案：45°二、选择题5. 已知 A、B 两点的坐标分别为（3，1）、（5，-1），则 AB 是_______.A. 水平的直线B. 斜率为 1 的直线C. 斜率为 -1/3 的直线D. 竖直的直线答案：B6. 若正方形的边长为 x，周长为 5x，则 x 的值等于_______.A. 4B. 5C. 8D. 10答案：A7. 已知tanα=2，cotβ=-3，则 tan（α-β）等于_______.A. 5B. -5C. -1/5D. 1/5答案：B8. 把一个正整数分成 K 份，第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的（）A. 1/2B. 3/2C. 2/3D. 3/4答案：B三、解答题9. 已知函数 f(x)=2x+1，若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，求该曲线上点 P 的坐标答：设点 P 的坐标为 (x,y)，因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得，即 y=12-4/3x，由函数 f(x)可得 12-4/3x=2x+1，故 x=7，代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。
点 P的坐标即为 (7, 8)。
10. 已知△ABC 中，a=3，b=3，∠A=120°，求 B 的坐标答：由△ABC 中 A 的坐标为（0，0），a=3，b=3 可知 C 的坐标为（3，0），∠A=120°，∠C=60°，因为∠B=60，则以 C 为外接圆圆心，半径为3 的圆○上可得点B，即B(√3，1)，综上所述，点B 的坐标为（√3，1）。
全国初中数学奥林匹克竞赛试题
1、若一个正多边形的每个内角都等于150度，则这个正多边形是（）边形。
A. 六B. 七C. 八D. 九解析：正多边形的内角和外角互补，即内角加外角等于180度。
已知内角为150度，则外角为180-150=30度。
正多边形的所有外角之和为360度，因此这个正多边形有360/30=12个边，但考虑到是内角为150度，实际应为正多边形的边数n满足(n-2)*180/n=150，解得n=12/3+2=6。
（答案：A）2、在直角坐标系中，点A(3,4)关于原点对称的点B的坐标是（）。
A. (-3,-4)B. (3,-4)C. (-3,4)D. (4,-3)解析：在直角坐标系中，任意一点关于原点对称的点的坐标，横纵坐标都会变成相反数。
因此，点A(3,4)关于原点对称的点B的坐标应为(-3,-4)。
（答案：A）3、若一个数的平方等于它本身，则这个数是（）。
A. 1B. -1C. 0或1D. 0，1或-1解析：设这个数为x，则x2=x，移项得x2-x=0，即x(x-1)=0，解得x=0或x=1。
因此，这个数是0或1。
（答案：C）4、下列四个数中，最大的是（）。
A. 1/2B. -1/2C. 0D. -1解析：正数总是大于0，0总是大于负数。
在给出的四个数中，1/2是正数，-1/2和-1是负数，0是零。
因此，1/2是最大的。
（答案：A）5、若a，b，c为三角形的三边，且a=3，b=4，则c的取值范围是（）。
A. 1<c<7B. 3<c<4C. 4<c<7D. 无法确定解析：根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
因此，a+b>c，a-b<c，即3+4>c，4-3<c，所以1<c<7。
（答案：A）6、下列哪个选项中的两个数互为相反数（）。
A. 2和-3B. -2和-2C. 3和-3D. 2和1/2解析：相反数的定义是，如果两个数的和等于零，那么这两个数互为相反数。
2023年全国初中语文知识竞赛试题及答案
2023年全国初中语文知识竞赛试题及答
案
第一题
问：中国古代四大美男子指的是哪四位？
答：杨贵妃、王昭君、貂蝉、西施。
第二题
问：《红楼梦》是谁的作品？
答：《红楼梦》是清代作家曹雪芹的作品。
第三题
问：中国古代四大名著分别是哪些？
答：中国古代四大名著分别是《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》。
第四题
问：李白是哪个朝代的诗人？
答：李白是唐朝的诗人。
第五题
问：古代文学作品《论语》是谁的著作？
答：《论语》是孔子的著作。
第六题
问：中国古代的四大发明是指哪四种？
答：中国古代的四大发明是指造纸术、指南针、火药和印刷术。
第七题
问：中国古代的四大美女指的是哪四位？
答：中国古代的四大美女指的是西施、王昭君、貂蝉和杨贵妃。
第八题
问：元曲是哪个时期的文学作品？
答：元曲是元代的文学作品。
第九题
问：唐诗是哪个朝代的文学作品？
答：唐诗是唐朝的文学作品。
第十题
问：《木兰诗》是谁的作品？
答：《木兰诗》是唐代的作品。
以上是2023年全国初中语文知识竞赛的部分试题及答案。
祝贺所有参加竞赛的同学们，希望你们取得好成绩！。
全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4..2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为 （ ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ ）4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB ＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，___P_A_C_B求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积._ Q_I _ P_ C_ A_M_B第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。
全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分,共30分。
）1（甲）．如果实数a ，b ，c 22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（ ）．（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D)a 1（乙）．如果22a =-11123a+++的值为（ ）．（A)2- （B 2 （C ）2 （D ）222（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2）,那么另一个交点的坐标为（ )． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） (C ）（－2,3） （D ）（3，2）2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y )的个数为（ ）． （A ）10 （B ）9 (C ）7 （D ）53（甲)．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<,那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( )． (A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D)143（乙）．如图,四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为( ）． (A)23 （B)4 （C ）52 （D)4。
54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说:“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是( ）．OAB CED(A ）1 （B ）2 （C ）3 (D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D) 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，,则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． (A ）0p （B ）1p (C ）2p （D ）3p 5（乙）．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后,黑板上剩下的数是（ ）．(A ）2012 (B ）101 （C ）100 （D ）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x "到“结果是否>487？"为一次操作。
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案全国初中数学竞赛试题及答案一、选择题1、在一张纸上，我们画了一个圆和一条直径，直径与圆相交于A、B 两点。
如果我们在这张纸上连续地画了8个点，使得这些点都在圆上，那么这8个点的最密集分布是（）。
A. 像一个“十”字形，两边各4个点 B. 像一个“十”字形，两边各3个点 C. 像一个“米”字形，上面各4个点 D. 像一个“米”字形，上面各3个点答案：C 解析：根据圆的对称性，我们可以得知，直径两侧的点到圆心的距离相等，因此在一个“十”字形中，中间的交点是最密集的。
而在“米”字形中，上面的4个点距离交点的距离相等且最短，因此是最密集的。
2、在一个等边三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。
现在以D为圆心，DE为半径画圆弧，交AB于G。
则△DFE的面积是阴影部分面积的（）。
A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 6倍答案：C 解析：由题意可知，DE是△ABC的中位线，因此DE=1/2AB。
而△DFE是直角三角形，斜边DE是直径，因此∠DFE=90°。
所以，△DFE的高是DE的一半，即1/4AB。
因此，△DFE的面积是1/2×1/2AB×1/4AB=1/8AB²。
而阴影部分的面积是△ABC面积的一半，即1/2×1/2AB×√3/2AB=√3/4AB²。
所以，△DFE的面积是阴影部分面积的4倍。
3、在一个等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1。
现在以这个三角形的顶点为圆心，1为半径画圆弧，则这三个圆弧的长度之和为（）。
A. 3π/2 B. π C. 2π D. 5π/2 答案：C 解析：根据题意，我们可以得到三个圆弧的半径都是1。
其中第一个圆弧的长度为1/4×2π×1=π/2，第二个圆弧的长度也为π/2，第三个圆弧的长度为1/4×2π×√2=π√2/2。
2023全国初中生数学竞赛(初二)决赛试题
2023全国初中生数学竞赛(初二)决赛试题第一试一、填空题（每题8分，共64分）1．函数()cos f x x =的图象与直线(0)y kx k =>恰有四个不同交点，设四个交点中横坐标的最大值为α，则tan αα⋅=________.2．已知正三棱锥P -ABC ，M 是侧棱PC 的中点，PB ⊥AM ．若N 是AM 的中点，则异面直线BN 与PA 所成角的余弦值为________.3．已知数列{}n a 满足则11a =，1(2)1n n na n a +=++，则n a =________.4．已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，90DAB ∠=︒．P 、Q 分别是腰AD 、BC 上的点，且BPA DPC ∠=∠，AQB DQC ∠=∠，若23AB CD =，则OP OQ=________.5．在1，2，3，…，10这10个正整数中任取4个，记ξ为这四个数中两数相邻的组数，则ξ的数学期望E ξ=________.6．14cos124cos36tan 78+︒+︒=︒________.7．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b+->>的焦点，P 是M 上一点，△12PF F 的周长是6，且41a c+的最小值是3，过(4,0)Q -的直线交M 于不同两点A 、B ，则||||QA QB ⋅的取值范围是________.8．已知复数a 、b 、c 满足22222211i a ab b b bc c c ca a ++=⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩，则ab bc ca ++=________.二、解答题（共56分）9．（16分）已知实数122018,,,x x x 满足201810i i x ==∑，2018212018i i x ==∑，求122018x x x 的最大值．10．（20分）已知直线y x =与曲线2:2()(0)M y p x a a =->相切．（1）若F 是曲线M 的焦点，P 是M 上任意一点，求||||PF PO 的最小值；（2）已知直线y kx =分别与曲线M 及曲线2:2()N y p x a =-+分别交于H 、I ．若Q 是圆22(4)1x y +-=上任意一点，且2a p =，求QH QI ⋅ 的最大值．其中H 、I 关于原点O 对称．11．已知x ，y ，0z >，且1xy yz zx ++=，求222115111x y z +++++的最大值。
2021年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)(1)
2021年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：1．已知x ，y 为整数，且满足(1x ＋1y ) (1x 2＋1y 2)＝－23(1x 4－1y 4)，则x ＋y 的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2．已知非负实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则t ＝2xy ＋yz ＋2xz 的最大值为（ ）A ．47B ．59C ．916D ．12253．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，BE ⊥AC 于E ，交AD 于P ，已知BP ＝3，PE ＝1，则AE ＝（ ）A ．62B ．2C ．3D ．64．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ）A ．12B ．25C ．23D ．345．设[t ]表示不超过实数t 的最大整数，令{t }＝t －[t ].已知实数x 满足x 3＋1x3＝18，则 {x }＋{1x}＝（ ） A ．12 B ．3－5 C ．12(3－5) D ．16．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝1，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, ∠ADE ＝90° ,则BE 的长为（ ）A ．4－23B ．2－3C ．12(3－1) D ．3－1二、填空题：1．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，1 a ＋b －c ＋ 1 a ＋c －b ＋ 1 b ＋c －a ＝1，则abc ＝__2．使得不等式917＜n n ＋k ＜815对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为________．3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB ＝BC ，∠BPC ＝108°，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则∠P AC ＝________．FB D 4．已知正整数a ，b ，c 满足: 1＜a ＜b ＜c ，a ＋b ＋c ＝111，b 2＝ac ，则b ＝________．第一试 参考答案一、选择题1.C2.A3.B4.B5.D6.A二、填空题1. 02. 1443. 48°4. 36第二试 （A ）一、 设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b+的值．二、如图，在□ABCD 中， D 为对角线BD 上一点，且满足∠ECD ＝∠ACB , AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：∠DFE ＝∠AFB三、设n 是整数，如果存在整数x ，y ，z 满足n ＝x 3＋y 3＋z 3－3xyz ，则称n 具有性质P . 在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.第二试 （A ）答案一、解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=，联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =.若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根；若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以 2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====.二、证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠.又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，所以△ECD ∽△DAF ，所以ED CD AB DF AF AF==.又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故 DFE AFB ∠=∠.三、解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P .取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质P . 为了一般地判断哪些数具有性质P ，记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则 33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+-3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++ 2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ① 不妨设x y z ≥≥，N 如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+；如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .因此，1，5和2014都具有性质P .若2013具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得32013()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++.注意到3|2013，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P .第二试 （B ）试题及答案一．同（A ）卷第一题.二．如图，已知O 为△ABC 的外心，AB AC =，D 为△OBC 的外接圆上一点，过点A 作直线OD 的垂线，垂足为H .若7BD =，3DC =，求AH .解 延长BD 交⊙O 于点N ，延长OD 交⊙O 于点E ，由题意得NDE ODB OCB OBC CDE ∠=∠=∠=∠=∠，所以DE 为BDC ∠的平分线.又点D 在⊙O 的半径OE 上，点C 、N 在⊙O 上，所以点C 、N 关于直线OE 对称，DN DC =.延长AH 交⊙O 于点M ，因为O 为圆心，AM OD ⊥，所以点A 、M 关于直线OD 对称，AH MH =.因此MN AC AB ==.又FNM FAB ∠=∠，FBA FMN ∠=∠，所以△ABF ≌△NMF ，所以MF BF =，FN AF =.因此，AM AF FM FN BF BN BD DN BD DC =+=+==+=+ 7310=+=，即210AH =，所以5AH =.三．设n 是整数，如果存在整数x ，y ，z 满足n ＝x 3＋y 3＋z 3－3xyz ，则称n 具有性质P ..（1）试判断1，2，3是否具有性质P ；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P ； 取1x y ==，0z =，可得33321103110=++-⨯⨯⨯，所以2具有性质P ；若3具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得33()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++， 从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|3，这是不可能的，所以3不具有性质P .（2）记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则 33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+-3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++ 2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ① 不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+；如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .又若33|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++，则33|()x y z ++，从而3|()x y z ++，进而可知39|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++.综合可知：当且仅当93n k =+或96n k =+（k 为整数）时，整数n 不具有性质P . 又2014＝9×223＋7，所以，在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数共有224×2＝448个.。
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全国初中数学竞赛模拟试题（一）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．设a 、b 、c 为实数，abc ≠0，且a ＋b ＝c ，则bca cb 2222－＋＋cab ac 2222－＋＋abc b a 2222－＋的值为 （ ）（A ）－1（B ）1（C ）2（D ）32．设x ，y ，z 为实数，且有x ＞y ＞z ，那么下列式子中正确的是 （ ）（A ）x ＋y ＞y ＋z （B ）x －y ＞y －z （C ）xy ＞yz （D ）z x ＞zy3．在△ABC 中，BC ＝3，内切圆半径r ＝23，则cot 2B ＋cot 2C 的值为 （ ）（A ）23（B ）32（C ）233（D ）324．已知a ＝213213－＋－－，则aa －＋11的值为（ ）（A ）3－2 （B ）3＋2 （C ）2－3 （D ）－2－35．已知M 、N 为平面上相异的两点，有m 条直线过M 而不过N （称为M 类直线），有n 条直线过N 而不过M （称为N 类直线）．若每条M 类直线与每条N 类直线均相交，又每条直线被其上的交点连同M 点或N 点分成若干段，则这m ＋n 条直线被分成的总段数是 （ ）（A ）2mn（B ）(m ＋1)(n ＋1) （C ）2(mn ＋m ＋n )（D ）2(m ＋1)(n ＋1)6．若ab ≠1，且有5a 2＋2001a ＋9＝0及9b 2＋2001b ＋5＝0，则ba的值是（ ）（A ）59（B ）95（C ）－52001（D ）－92001二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．化简11111122－＋－－＋－－＋＋a a a aa a （0＜｜a ｜＜1）的结果是____________．2．梯形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＜BC ），AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为____________． 3．如图，梯形ABCD 的对角线交于O ，过O 作两底的平行线分别交两腰于M 、N ．若AB ＝18，CD ＝6，则MN 的长为____________．4．设m 2＋m －1＝0，则m 3＋2m 2＋1999＝__________．5．已知整数x 、y 满足15xy ＝21x ＋20y －13，则xy ＝__________． 6．已知x ＝2323+-，y ＝2323-+，那么22y x x y ＋＝__________．ABCDM NO三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．某新建储油罐装满油后发现底部匀速向外漏油，为安全并减少损失，需将油抽干后进行维修．现有同样功率的小型抽油泵若干台，若5台一起抽需10小时抽干，7台一起抽需8小时抽干．需在3小时内将油罐抽干，至少需要多少台抽油泵一起抽？2．求二次函数y＝x2＋mx＋n在－3≤x≤－1的最大值和最小值．3．从1到n的n个连续自然数之积称为n的阶乘，记为n！（如5！＝5×4×3×2×1）．问：1999！的尾部有多少个连续的零？说明你的理由．全国初中数学竞赛模拟试题（二）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．方程19＋x ＋395＋x ＝12的实数解个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2．设a ＝531，b ＝341，c ＝451，则a ，b ，c 的大小关系是 （ ）（A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）c ＜b ＜a （D ）b ＜c ＜a3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分如图．则a 的取值范围是 （ ） （A ）－1≤a ＜0 （B ）a ＞－1（C ）－1＜a ＜0 （D ）a ≤－14．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120º，D 点在BC 边上，且BD ＝1，DC ＝2，则AD 的值为 （ ） （A ）0.5 （B ）1 （C ）1.5 （D ）2 5．已知α、β是方程x 2－7x ＋8＝0的两根，且α＞β，则2＋3β2的值为（ ）（A ）81(403－8517)（B ）41(403－8517)（C ）95 （D ）176．如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么2ba ＋，2c b ＋，2a c ＋（ ）（A ）都不是整数 （B ）至少有两个整数（C ）至少有一个整数 （D ）都是整数 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．若a 、b 为整数，且x 2－x －1是ax 17＋bx 16＋1的因式，则a ＝__________． 2．我国古算经《九章算术》上有一题：有一座方形的城（见右图），城的各边的正中央有城门，出南门正好20步的地方有一棵树．如果出北门走14步，然后折向东走1775步，刚好能望见这棵树，则城的每边的长为____________． 3．设△ABC 的内切圆⊙O 切BC 于点D ，过D 作直径DE ，连AE ，并延长交BC 于点F ．若BF ＋CD ＝1998，则BF ＋2CD ＝__________．4．如右图，设△ABC 为正三角形，边长为1，P ，Q ，R 分别在AB ，BC ，AC 边上，且AR ＝BP ＝CQ ＝31．连AQ ，BR ，CP两两相交得到△MNS ，则△MNS 的面积是____________． 5．如图，正方形ABCD 的边AB ＝1， 和都是以1为半径的圆弧．则无阴影的两部分面积之差为____________．6．若x 2＋xy ＋y ＝14，y 2＋xy ＋x ＝28，则x ＋y的值为ABPQRMNSD__________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．如图，矩形ABCD 中，DE ＝BG ，且∠BEC ＝90º，EFGHABCD S S ＝n （S ABCD 表示四边形ABCD的面积，下同），ABBC ＝λ，已知n 为自然数，λ为有理数．求证：λ也为自然数．2．A 、B 、C 三人各有苹果若干，要求互相赠送，先由A 给B 、C ，所给的苹果数等于B 、C 原来各有的苹果数；依同法再由B 给A ，C 现有个数，后由C 给A 、B 现有个数．互送后每人恰好各有64个，问原来A 、B 、C 三人各有多少个苹果？3．设S 是由1，2，3，…，50中的若干个数组成的一个数集（数的集合），S 中任两数之和不能被7整除．试问S 中最多能由1，2，3，…，50中的几个数组成（S 中含数的个数的最大值）？证明你的结论．AC DEFGH全国初中数学竞赛模拟试题（三）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．若1))(())(())((＝＋＋＋＋＋＋＋＋y x z y zxx z y x yz z y x z xy ，则x 、y 、z 的取值情况是 （ ）（A ）全为零（B ）只有两个为零（C ）只有一个为零（D ）全不为零2．若x ，y ，x －y 都是有理数，则x ，y的值是 （ ）（A ）二者均为有理数（B ）二者均为无理数（C ）仅有一个为有理数（D ）以上均有可能3．设n 为自然数，则n 2＋n ＋2的整除情况是 （ ）（A ）既不能被2整除，也不能被5整除 （B ）能被2整除，但不能被5整除（C ）不能被2整除，但能被5整除 （D ）既能被2整除，又能被5整除 4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用一个半小时；若往返都坐车，全部行程则只需半个小时．如果往返都步行，那么需用的时间是 （ ）（A ）1小时（B ）2小时（C ）2.5小时（D ）3小时5．如图，正方形ABCD 及正方形AEFG ，连接BE 、CF 、DG ．则BE ∶CF ∶DG 等于 （ ）（A ）1∶1∶1 （B ）1∶2∶1（C ）1∶3∶1（D ）1∶2∶16．如果a ，b 是质数，且a 2－13a ＋m ＝0，b 2－13b ＋m ＝0，那么ab ＋ba 的值为（ ）（A ）22123（B ）22125或2（C ）22125（D ）22123或2二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．已知实数x 满足xx x x －＝－132⋅，则x 的取值范围是____________．2．如果对于一切实数x ，有f (x ＋1)＝x 2＋3x ＋5，则f (x －1)的解析式是________________．3．已知实数x 、y 满足条件2x 2－6x ＋y 2＝0，则x 2＋y 2＋2x 的最大值是____________． 4．方程332-＝3x －3y 的有理数解x ＝__________，y ＝__________．5．如图，从直角△ABC 的直角顶点C 作斜边AB 的三等分点的连线CE 、CF ．已知CE ＝sin α，CF ＝cos α（α为锐角），则AB ＝__________．ABCDEFG C6．用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于______________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．如图，D 为等边△ABC 的BC 边上一点，已知BD ＝1，CD ＝2，CH ⊥AD 于点H ，连结BH ．试证：∠BHD ＝60º．2．已知函数y ＝－21x 2＋213的自变量在a ≤x ≤b 时，2a ≤y ≤2b ，试求a 、b 之值．3．一个自然数若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“聪明数”．例如，16＝52－32就是一个“聪明数”．试问： （1）1998是不是“聪明数”？说明理由．（2）从小到大排列，第1998个“聪明数”是哪一个自然数？A H全国初中数学竞赛模拟试题（四）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．99个连续自然数之和等于abcd ．若a 、b 、c 、d 皆为质数，则a ＋b ＋c ＋d 的最小值等于 （ ）（A ）63 （B ）70（C ）86（D ）972．设P 、Q 分别是单位正方形BC 、CD 边上的点，且△APQ 是正三角形，那么正三角形的边长为 （ ）（A ）26－ （B ）326＋ （C ）25－ （D ）325＋3．实数a 、b 、c 两两不等，且三点的坐标分别为：A （a ＋b ，c ），B （b ＋c ，a ），C （c ＋a ，b ），则这三点的位置关系是 （ ）（A ）组成钝角三角形 （B ）组成直角三角形 （C ）组成等边三角形（D ）三点共线4．对任意给定的△ABC ，设它的周长为l ，外接圆半径为R ，内切圆的半径为r ，则（ ）（A ）l ＞R ＋r（B ）l ≤R ＋r（C ）6l ＜R ＋r ＜6l （D ）以上均不对5．平面上有P 、Q 两点，以P 为外心、Q 为内心的三角形的数量为 （ ）（A ）只能画出一个 （B ）可以画出2个 （C ）最多画出3个（D ）能画无数个6．如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为 （ ）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ∶AB ＝1∶2，MN ∥BD 且平分AC ．若梯形ABCD 的面积等于ab ，S △AMN ＝ba ，则ab ＋ba ＝__________． 2．不等式｜x ＋7｜－｜x －2｜＜3的解是____________． 3．若自然数n 能使［n］整除n ，则n 的所有表达式为_____________．4．小李用5000元买了一年期的某种债券，到期后从本利和中支取2000元用于购物，把剩下的钱又买了这种一年期债券，若这种债券的利率不变，到期后得本利和为3498元，那么这种债券的年利率是__________．5．圆内接凸四边形ABCD 的边AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝1∶9∶9∶8，AC 交BD 于P ，则S △PAB ∶S △PBC ∶S △PCD ∶S △PDA ＝____________．6．销售某种商品，如果单价上涨m %，则售出的数量就将减少150m ．为了使该商2 134 … … BAMCDN品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为____________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．如图，∠CAB ＝∠ABD ＝90º，AB ＝AC ＋BD ，AD 交BC 于P ，作⊙P 使其与AB 相切．试问：以AB 为直径作出的⊙O 与⊙P 是相交？是内切？还是内含？请作出判断并加以证明．2．设α、β是整系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，且α2＋β2＜4，试求整数对（a ，b ）的所有可能值．3．a 、b 、c 为互不相等的数，若以下三个等式中有任意两个等式成立，求证：第三个等式也成立．(b 2＋bc ＋c 2)x 2－bc (b ＋c )x ＋b 2c 2＝0； (c 2＋ca ＋a 2)x 2－ca (c ＋a )x ＋c 2a 2＝0； (a 2＋ab ＋b 2)x 2－ab (a ＋b )x ＋a 2b 2＝0．D全国初中数学竞赛模拟试题（五）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．边长都是质数的凸四边形ABCD ，且AB ∥CD ，AB ＋BC ＝AD ＋CD ＝20，AB ＞BC ，则BC ＋AD ＝ （ ） （A ）6或14 （B ）6 （C ）14 （D ）102．直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形，其中一个是等边三角形，如果它的中位线的长为123，那么它的下底的长为 （ ） （A ）163 （B ）183 （C ）203 （D ）2233．在等腰Rt △ABC 的斜边AB 所在的直线上有点P 满足S ＝AP 2＋BP 2，则 （ ）（A ）对P 有无限多个位置，使得S ＜2CP 2（B ）对P 有有限个位置，使得S ＜2CP 2（C ）当且仅当P 为AB 的中点，若P 与顶点A ，B 之一重合时，才有S ＝2CP 2 （D ）对直线AB 上的所有点P ，总有S ＝2CP 2 4．若14＋＋x x ＜3＜xx 3＋，则正整数x 的值是 （ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）65．若方程3x ＋by ＋c ＝0与cx －2y ＋12＝0的图形重合，设n 为满足上述条件的（b ，c ）的组数，则n 等于 （ ）（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）有限多个但多于26．如图，若PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB ＝4，PD ＝3，则AD ·DC 等于 （ ）（A ）6 （B ）7 （C ）12 （D ）16 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．若自然数a ，x ，y 满足62－a ＝x －y ，则a 的最大值是____________． 2．如右图，已知ABCDEF 是正六边形，M ，N 分别是边CD 和DE 的中点，线段AM 与BN 相交于P ，则PNBP＝____________．3．关于自变量x 的二次函数y ＝x 2－4ax ＋5a 2－3a 的最小值m 是a 的函数，且a 满足不等式0≤a 2－4a －2≤10，则m 的最大值等于________．4．方程xy ＋3x ＋2y ＝10的正整数解为__________．5．甲、乙二人在圆形跑道上从同一点A 同时出发，并按相反方向跑步，甲的速度为每秒5m ，乙的速度为每秒7m ，到他们第一次在A 点处再度相遇时跑步就结束，则从他们开始相遇到结束共相遇了n 次，这里n ＝__________． 6．在直角坐标系xOy 中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5），Q （2，1）ABCD PA BE FPN的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP ＋MQ 取最小值时，点M 的横坐标x ＝__________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．在锐角三角形ABC 中，∠BAC ，∠ABC ，＜ACB 的平分线分别与△ABC 的外接圆交于D ，E ，F ．连EF ，FD ，DE 分别交AD ，BE ，CF 于A 1，B 1，C 1．求证：△ABC 的内心I 也是△A 1B 1C 1的内心．2．设有三个相似三角形，且较小的两个三角形可以互不重合地放在大三角形的内部．试证明，两个小三角形的周长之和不超过大三角形的周长的2倍．3．若不等式组⎩⎨⎧05)25(20222＜＋＋＋，＞－－k x k x x x 的整数解只有x ＝－2，求实数k 的取值范围．AB CD E F I A 1B1C 1全国初中数学竞赛模拟试题（六）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．某校初三（1）班的同学打算在星期天去登山，他们计划上午8∶30出发，尽可能去登图中最远处的山，到达山顶后开展1个半小时的文娱活动，于下午3点以前必须回到驻地．如果去时的平均速度是3.2千米／时，返回时的平均速度是4.5千米／时，则能登上的最远的那个山顶是 （ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 2．方程2x 2＋7x ＋21＝515722＋＋x x 的有所实根之和为 （ ） （A ）－11（B ）－7（C ）－211（D ）－273．设a ＞0，则方程2x a －＝2－｜x ｜有不等实根，那么a 的取值范围是 （ ） （A ）a ＞0 （B ）0＜a ＜1 （C ）a ＝1 （D ）a ≥14．三角形ABC 的三条边长为连续的自然数，且它的最大角是最小角的两倍，那么它的最大边与最小边的比值是 （ ） （A ）2（B ）35（C ）23（D ）575．某厂一只计时钟要69分钟才能使分针与时针相遇一次．如果每小时付给工人计时工资4元，超过规定时间的加班每小时应付计时工资6元，工人按此钟做完规定的8小时工作，应付工资 （ ） （A ）34.4元 （B ）34.6元 （C ）34.8元 （D ）35元6．若a ，b 是正数，且满足12345＝(111＋a )(111－b )，则a 与b 之间的大小关系是 （ ） （A ）a ＞b （B ）a ＝b （C ）a ＜b （D ）不能确定 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，且x ＝｜｜a a＋｜｜b b ＋｜｜c c ，y ＝a (b1＋c1)＋b (c1＋a1)＋c (a1＋b1)，则代数式x 19－96xy ＋y 3＝__________．2．如图，在长为9，宽为8的矩形纸片上紧贴三条边剪下一个圆，在剩下的纸片上如果再剪两个小圆O 1，O 2，那么这两个小圆的最大直径d ＝__________．3．已知α，β是方程x 2＋x －1＝0的两个实根，则α4－3β＝________．4．如图，四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于F ，若DF ＝BF ，AF ＝2EF ，则S △ACD ∶S △ABC ∶S △ABD ＝__________． 5．已知抛物线y ＝x 2＋kx ＋4－k 交x 轴于整点A ，B ，与y 轴交于点C ，则S △ABC＝__________．驻地M 9千ABCDEF6．已知实数a，b满足a2＋ab＋b2＝1，且t＝ab－a2－b2，那么t的取值范围是____________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．四边形ABCD中，O是AB的中点，以O为圆心的半圆（其直径小于AB）与边AD，DC，CB分别相切于E，F，G．求证：AB2＝4AD·BC．A2．设直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边为c，且a，b，c均为自然数，a 为质数．证明：2(a＋b＋1)必是一个完全平方数．3．19支足球队举行单循环赛，已知每支球队至少和其余13支球队进行过比赛，求证：必可找到四个球队，它们之间任何两队都已赛过．全国初中数学竞赛模拟试题（七）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．已知a －a1＝b1－b ＝3，且a ＋b ≠0，则3b a －3a b 的值是 （ ）（A ）521 （B ）1321 （C ）533 （D ）13332．在△ABC 中，F 分AC 为1∶2，G 是BF 的中点，E 是AG 与BC 的交点，那么E 分BC 所成的比为 （ ） （A ）83 （B ）52 （C ）41 （D ）313．如图，△ABC 为锐角三角形，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，则S △AEF ∶S △ABC 的值为 （ ）（A ）sin A （B ）cos A （C ）sin 2A （D ）cos A4．⊙O 1和⊙O 2的半径分别是R 和r ，O 1O 2＝d ，若关于x 的方程x 2－2Rx ＋r 2－2rd ＋d 2＝0有两个相等的实根，那么此两圆 （ ） （A ）相交 （B ）内切 （C ）外切 （D ）内切或外切 5．P 为△ABC 内一点，连结PA ，PB ，PC ，把三角形的面积三等分，则P 点是△ABC 的 （ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）垂心 （D ）重心 6．某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元，则其中500元按第②条给予优惠，超过500元部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款168元与423元．如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是 （ ） （A ）522.8元 （B ）510.4元 （C ）560.4元 （D ）472.8元 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．已知四个实数的乘积为1，其中任意一个数与其余三个数的积的和都等于1000．则此四数的和是__________．2．某学校新造5个教室后，每个班级的平均人数减少6人，再造5个教室后，每个班级的平均人数又减少4人．在这个变化过程中，学校人数保持不变，这个学校有__________名学生．3．如果xy ＝a ，xz ＝b ，yz ＝c ，而且它们都不等于0，那么x 2＋y 2＋z 2＝__________． 4．已知二次函数y ＝2x 2－4mx ＋m 2的图像与x 轴有两个交点A ，B ，顶点为C ．若△ABC 的面积为42，那么m ＝__________．5．如图，圆与正三角形ABC 的三边交于六个点，如果AG ＝2，GF ＝13，FC ＝1，HI ＝7，则DE ＝__________．6．一个正整数，若分别加上100与168，则可得到两个完全平方数．这个正整数为__________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．如图，已知AB ，CD 是半径为5的⊙O 中互相垂直的弦，垂足为P ，E 为AB 的AB C EF ABCDE F GH I中点，PD＝AB，且OE＝3，试求CP＋CE的值．2．试问周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？请说出你的理由．3．证明：在任意11个整数中必有6个整数的和能被6整除，但任意10个整数未必有此性质．全国初中数学竞赛模拟试题（八）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．若x ＝546923＋，则25x 4－1996x 2＋144＝ （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）469 （D ）19962．作两条直线将正方形分成四个全等的图形的作法有 （ ） （A ）1种 （B ）2种 （C ）3种 （D ）无穷多种 3．已知cb a abcc b a ＋＋－＋＋3333＝3，则(a －b )2＋(b －c )2＋(a －b )(b －c )的值为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44．凸五边形ABCDE 中，有∠A ＝∠B ＝120º，EA ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝DE ＝4，则五边形的面积为 （ ） （A ）10（B ）73（C ）15（D ）935．梯形ABCD 的对角线相交于O ，OA ＞OC ，OB ＞OD ．在AO 上取点E ，使AE ＝OC ，又在BO 上取点F ，使BF ＝OD ，则△AFC 的面积S 1与△BED 的面积S 2的关系为 （ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2（D ）不能确定6．①在实数范围内，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为x ＝aac b b 242－－±；②在△ABC 中，若AC 2＋BC 2＞AB 2，则△ABC 是锐角三角形；③在△ABC 和△A 1B 1C 1中，a 、b 、c 分别为△ABC 的三边，a 1、b 1、c 1分别为△A 1B 1C 1的三边．若a ＞a 1、b ＞b 1、c ＞c 1，则△ABC 的面积S 大于△A 1B 1C 1的面积S 1．以上三个命题中，假命题的个数是 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．n （n ≥3）边形的内角中，锐角最多有__________个．2．在凸四边形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝1，∠ABC ＝30º，∠BCD ＝60º．如果四边形ABCD 的面积是2313，那么AB ＝________．3．正数a ，b ，c 满足⎩⎨⎧22210c b a c b a ＝＋＝＋＋，则ab 的最大值为__________．4．正三角形ABC 内接于圆O ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，延长MN 交圆O 于点D ，连结BD 交AC 于点P ，则PAPC ＝__________．5．有两条公路OM ，ON 相交成30º角，沿公路OM 方向80米A 处有一所小学，当拖拉机沿ON 方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响．已知拖拉机的速度为18千米／小时，那么拖拉机沿ON 方向行驶将给小学带来噪音影响时间为__________秒． 6．已知x ，y 是正整数，并且xy ＋x ＋y ＝23，x 2y ＋xy 2＝120，则x 2＋y 2＝__________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）ABC DOEFA1．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝125，CD ＝DA ＝80．问对角线BD 能否把梯形分成两个相似的三角形？若不能，给出证明；若能，求出BC ，BD 的长．2．已知关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0有两个不相等的实根，证明：当k ≠0时，方程x 2＋px ＋q ＋k (2x ＋p )＝0也有两个不等实根，且有一根在x 2＋px ＋q ＝0的两根之间．3．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点，而顶点均为整点的多边形称为整点多边形．求证：整点凸五边形上必可找到一个四边形至少覆盖5个整点．AB CD 125 80 80全国初中数学竞赛模拟试题（九）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．19961996的十位上的数字是 （ ） （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 2．如果凸n 边形F （n ≥4）的所有对角线都相等，那么 （ ） （A ）F 是四边形 （B ）F 是五边形 （C ）F 是四边形或五边形 （D ）F 是边相等或内角相等的多边形3．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，那么关于x 的方程x 2＋(a ＋b ＋c )x ＋(a 2＋b 2＋c 2)＝0 （ ） （A ）有两个负根 （B ）有两个正根 （C ）有两个同号实根 （D ）无实根 4．使得正n 边形的每个内角都是整数度数的n 的个数是 （ ） （A ）16 （B ）18 （C ）20 （D ）225．在｛1，2，…，100｝这100个整数中，任取k 个数，使得在这k 个数中，总有两个数字之和等于另两个不同的数字之和．那么，满足条件的最小的k 的取值是 （ ） （A ）21 （B ）24 （C ）27 （D ）306．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上一点．下面四种情况中，△ABD ∽△ACB 不一定成立的情况是 （ ）（A ）AD ·BC ＝AB ·BD （B ）AB 2＝AD ·AC （C ）∠ABD ＝∠ACB （D ）AB ·BC ＝AC ·BD二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．若360x＝3，360y＝5，则)1(32172y yx －－－＝__________． 2．如图所示，□ABCD ，A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥A 4B 4∥BC ，C 1D 1∥C 2D 2∥AB ，把□ABCD 共划分成15个小平行四边形，若四边形C 2A 4D 1B 1面积为S 1，S □MNPQ ＝S 0，则S □ABCD ＝__________． 3．若x ＝21－x41，1－2x ＋22x 2－23x 3＋24x 4－…－21995x 1995的值为____________．4．在Rt △ABC 中，∠B ＝90º，AB ＝4，BC ＝2，D 为Rt △ABC 内任意一点，过D 分别作三角形三边的平行线EF 、MN 、PT ，设S 为△DEP 、△DMF 和△DNT 的面积之和，则S 的最小值是__________．5．如图，B 是半径为3的⊙O 的直径AC 上的一点，BC ＝2，以AB ，BC 为直径作⊙O 1，⊙O 2，⊙P 分别与⊙O 1，⊙O 2，⊙O 相切，则⊙P 的半径r 的长为__________． 6．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P ．则点P到两圆外公切线的距离为__________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 1．如图，O 是△ABC 内任意一点，直线AO ，BO ，CO 分别与三边相交于P ，Q ，R ．若a ＞b ＞c ，求证：OP ＋OQ ＋OR ＜a ．A BCD E FA A 1 A 2 A 3 A 4A1 22．设方程x2＋ax＋1＝b的两个根均是自然数，证明：a2＋b2是合数．3．在一个8×8即棋子A B，跳入3B．所有棋子只有这一种走法，但可以向上，向左，向右跳动棋子．按以下要求设计一种初始状态：（1）走棋之前，前4行无棋子；（2）经过一系列走步后，只有第一行剩一枚棋子；（3）初始状态所用的棋子数最少．请画出初始状态所用的棋子分布图，并做简要的走步说明．全国初中数学竞赛模拟试题（十）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．在△ABC 中，∠C ＝90º，∠A 的平分线交BC 于D ，则CDAC AB －等于（ ）（A ）sin A （B ）cos A （C ）tan A （D ）cot A2．若x 0是方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根，则△＝b 2－4ac 与Q ＝(2ax 0＋b )2的关系是 （ ）（A ）△＜Q （B ）△＝Q （C ）△＞Q （D ）不确定3．若x －y ＝2，x 2＋y 2＝4，则x 2000＋y 2000的值是（ ）（A ）4（B ）20002（C ）22000（D ）420004．若⊙O 内切于△ABC 的三边，切点为X ，Y ，Z ，则△XYZ 满足 （ ）（A ）每个角都等于60º （B ）有一个角是钝角（C ）与△ABC 相似（D ）每个角等于△ABC中另两个角和的一半5．将从19到96的两位数依次写下组成一个自然数N ，N ＝19202122…949596．如果N 的质因数分解式中3的最高次幂是3k ，那么k ＝ （ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）36．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90º，∠ABC ＝15º，BC ＝1，则AC 的长为 （ ） （A ）2＋3（B ）－3 （C ）0.3 （D ）3－2二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．162001199919971995＋•••＝__________．2．正△ABC 的边长为1，P 是AB 边上的一点，PQ ⊥BC ，QR ⊥AC ，RS ⊥AB （Q 、R 、S 为垂足），若SP ＝41，则AP ＝__________．3．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝∠ADC ＝120º，则BD ＝__________． 4．设t 是与332121＋－最接近的整数，则t23－等于__________．5．在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝20º，在AB 边上取一点M ，使得BM ＝AC ，则∠AMC 的度数等于__________．6．已知点P 在直角坐标系中的坐标为（0，1），O 为坐标原点，∠QPO ＝150º，且P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为__________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）ACD1．已知正整数p ，q 都是质数，并且7p ＋q 与pq ＋11也都是质数，计算(p 2＋q p )(q 2＋p q )之值．2．如图，设H 是等腰△ABC 之垂心，在底边BC 保持不变的情况下让点A 到底边BC 的距离变小，这里乘积S △ABC ·S △BHC 的值怎样变化（变大？变小？不变？），试说明理由．3．将平面上每一点都以红蓝两色之一着色．证明：存在着斜边长为2000、一个锐角为30º的直角三角形，三个顶点同色．A B C H。