九年级数学上册第三章圆的基本性质微专题垂径定理有关的辅助线随堂练习含解析新版浙教版
九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理 第1课时 垂径定理同步练习 (新版)浙教版
第3章 圆的基本性质3.3 垂径定理 第1课时 垂径定理知识点1 圆的轴对称性 1．圆的对称轴有( ) A ．1条 B ．2条 C ．4条 D ．无数条2．下列说法中，正确的是( ) A ．直径是圆的对称轴B ．经过圆心的直线是圆的对称轴C ．与圆相交的直线是圆的对称轴D ．与半径垂直的直线是圆的对称轴 知识点2 垂径定理3．如图3－3－1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则CE ＝________，AC ︵＝________，BC ︵＝________，△OCE ≌________.3－3－13－3－24．如图3－3－2，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC 的长为( )A ．3 cmB ．4 cmC．5 cm D．6 cm5．如图3－3－3，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为( )A．2 B．4 C．6 D．83－3－33－3－46．如图3－3－4，若⊙O的半径为13 cm，P是弦AB上的一个动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦AB的长为________cm.7．如图3－3－5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8 cm，DC＝2 cm，则OC ＝________cm.图3－3－58．如图3－3－6，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE＝OF.求证：AB＝CD.图3－3－6知识点3 垂径定理在实际生活中的应用9．课本例2变式在半径为500 mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图3－3－7所示．若圆心O到水面AB的距离OC＝300 mm，则油面宽AB＝________mm.3－3－73－3－810．课本作业题第5题变式如图3－3－8，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，则排水管内水的深度为________m.11．如图3－3－9，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( )A．正方形 B．矩形C．菱形 D．非菱形的平行四边形3－3－9图3－3－1012．如图3－3－10所示，AB，AC为⊙O中互相垂直的两条弦，且AB＝AC，OM⊥AB，ON ⊥AC，垂足分别为M，N，OM＝3，则⊙O的半径为( )A．3 2 B．2 3 C．3 3 D．2 2图3－3－1113．2017·杭州模拟如图3－3－11，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC＝90°，OA ＝8，OC＝6，则AB＝________．14．2016·杭州大江东期中在直径为20的⊙O中，弦AB，CD相互平行．若AB＝16，CD ＝10，则弦AB，CD之间的距离是________．15．如图3－3－12，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．图3－3－1216．如图3－3－13是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且AB ＝26 m ，OE ⊥CD 于点E .水位正常时测得OE ∶CD ＝5∶24.(1)求CD 的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4 m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？图3－3－1317．如图3－3－14，在半径为5的扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，C 是AB ︵上的一个动点(不与点A ，B 重合)，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E .(1)当BC ＝6时，求线段OD 的长．(2)在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图3－3－14详解详析1．D 2.B3．DE AD ︵ BD ︵△ODE 4．B [解析] 如图，连结OA .∵AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ， ∴AC ＝12AB ＝12×6＝3(cm)．∵⊙O 的半径为5 cm ，∴OC ＝OA 2－AC 2＝52－32＝4(cm)． 故选B.5．D [解析] ∵CE ＝2，DE ＝8，∴CD ＝2＋8＝10，∴⊙O 的半径为5，∴OE ＝OC －CE ＝5－2＝3.∵CD ⊥AB ，∴AE ＝BE ，∠OEB ＝90°.在Rt △OEB 中，OB ＝5，OE ＝3，根据勾股定理，得BE ＝52－32＝16＝4，∴AB ＝4＋4＝8.故选D.6．247．5 [解析] 连结OA ，因为半径OC ⊥AB 于点D ，所以AD ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设⊙O的半径为x cm ，在Rt △OAD 中，OA 2＝OD 2＋AD 2，即x 2＝(x －2)2＋42，解得x ＝5，所以OC ＝5 cm.8．证明：∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ， ∴AE ＝BE ，CF ＝DF .在Rt △OBE 与Rt △ODF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ，OE ＝OF ，∴Rt △OBE ≌Rt △ODF ，∴BE ＝DF ，∴2BE ＝2DF ，即AB ＝CD . 9．80010．0.8 [解析] 如图，过点O 作OC ⊥AB ，C 为垂足，直线OC 交⊙O 于点D ，E ，连结OA ，则OA ＝0.5 m.∵OC ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝12AB ＝0.4 m.在Rt △AOC 中，OA 2＝AC 2＋OC 2， ∴OC ＝0.3 m ，∴CE ＝0.3＋0.5＝0.8(m)． 即排水管内水的深度为0.8 m.11C [解析] 由垂径定理知，OC 垂直平分AB ，即OC 与AB 互相垂直平分，所以四边形OACB 是菱形．12．A [解析] 要求圆的半径，连结OA ，构造直角三角形OMA ，已知OM ＝3，故只需求出AM 的长即可．由题意可得四边形OMAN 为正方形，故AM ＝OM ＝3，所以OA ＝3 2.13．12.8 [解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB ，可得AD ＝BD . 在Rt △AOC 中，OA ＝8，OC ＝6，根据勾股定理得AC ＝10.∵S △AOC ＝12OA •OC ＝12AC •OD ，∴OD ＝4.8.在Rt △AOD 中，根据勾股定理，得AD ＝OA 2－OD 2＝6.4，则AB ＝2AD ＝12.8.14．[全品导学号：70392103]5 3±6[解析] 过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交CD 于点F ，连结OA ，OC ，如图， ∵AB ∥CD ， ∴OF ⊥CD ，∴AE ＝BE ＝12AB ＝8，CF ＝DF ＝12CD ＝5.在Rt △AOE 中，OE ＝102－82＝6. 在Rt △OCF 中，OF ＝102－52＝5 3.当点O 在AB 和CD 之间时，EF ＝OE ＋OF ＝5 3＋6； 当点O 在AB ，CD 同一侧时，EF ＝OF －OE ＝5 3－6. ∴弦AB ，CD 之间的距离为5 3±6.15．解：(1)证明：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE ＝DE ，AE ＝BE ， ∴AE －CE ＝BE －DE ， 即AC ＝BD .(2)如图，连结OC ，OA . 由(1)可知，OE ⊥AB 且OE ⊥CD ， ∴CE ＝OC 2－OE 2＝82－62＝2 7，AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8，∴AC ＝AE －CE ＝8－2 7. 16．解：(1)如图，连结OD ， ∵直径AB ＝26 m ，∴OD ＝12AB ＝12×26＝13(m)．∵OE ⊥CD ，∴DE ＝12CD .∵OE ∶CD ＝5∶24，∴OE ∶DE ＝5∶12， 设OE ＝5x ，DE ＝12x ，∵在Rt △ODE 中，OE 2＋DE 2＝OD 2， ∴(5x )2＋(12x )2＝132， 解得x ＝1，∴CD ＝2DE ＝2×12×1＝24(m)．(2)由(1)得OE ＝1×5＝5(m)． 如图，延长OE 交⊙O 于点F ， 则EF ＝OF －OE ＝13－5＝8(m)． ∵84＝2(时)， ∴经过2小时桥洞会刚刚被灌满．17．[全品导学号：70392107]解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3. ∵∠BDO ＝90°，OB ＝5，BD ＝3，∴OD ＝OB 2－BD 2＝4，即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长保持不变．如图，连结AB .∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5，∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2.∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D ，E 分别是线段BC ，AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝5 22， ∴DE 的长保持不变，DE ＝5 22.。
九年级数学上册 第三章 圆的基本性质 微专题 圆周角定理的综合运用随堂练习(含解析)(新版)浙教版
微专题__圆周角定理的综合运用_一巧作辅助线教材P91作业题第5题)如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°.求∠CAD的度数．图1 教材母题答图解：如答图，连结DC.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝50°，∴∠CAD＝90°－∠ADC＝40°.【思想方法】利用圆周角定理，常见的辅助线作法有：①作半径，构造圆心角；②作弦，构造圆周角．[2016·泰安]如图2，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于( B )A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°图2 变形1答图【解析】如答图，连结OB.∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC＝AB，OC∥AB，又∵OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF＝∠AOF＝30°，由圆周角定理得∠BAF ＝12∠BOF ＝15°.故选B.如图3，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是( A ) A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°图3 变形2答图【解析】 如答图，连结OB ，OC ，则∠BOC ＝90°， 根据圆周角定理，得∠BPC ＝12∠BOC ＝45°.如图4，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为( B ) A ．68°B ．88°C ．90°D ．112°图4 变形3答图【解析】 如答图，以A 为圆心，AB 为半径画圆，则点C ，D 都在圆上， ∵∠CBD ＝2∠BDC ，∴CD ︵＝2BC ︵，∵∠BAC ＝44°，∴∠CAD ＝2∠BAC ＝88°.故选B.如图5，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB ＝AC ＝13，BC ＝24，求⊙O 的半径．图5 变形4答图解：如答图，连结AO ，BO ，AO 交BC 于点D . 则根据垂径定理的逆定理，得OA ⊥BC ，BD ＝CD ＝12BC ＝12.在Rt △ABD 中，由勾股定理得AD ＝AB 2－BD 2＝5. 设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OA －AD ＝r －5. 在Rt △OBD 中，由勾股定理得BD 2＋OD 2＝OB 2， 即122＋(r －5)2＝r 2，解得r ＝16.9， 即⊙O 的半径为16.9.如图6，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AB 交AC 于点D .若∠A ＝30°，OD ＝20，求CD 的长．图6 变形5答图解：如答图，连结BC .∵OD ⊥AB ，∠A ＝30°，OD ＝20，∴AD ＝2OD ＝40，∴OA ＝AD 2－OD 2＝20 3. ∵AB 是⊙O 的直径，∴AB ＝2OA ＝403，且∠ACB ＝90°， ∴BC ＝12AB ＝203，∴AC ＝AB 2－BC 2＝60，∴CD ＝AC －AD ＝60－40＝20.二 圆周角定理与直角三角形、全等三角形等知识的综合运用教材P93作业题第5题)一个圆形人工湖如图7所示，弦AB 是湖上的一座桥．已知AB 长为100 m ，圆周角∠C ＝45°.求这个人工湖的直径．图7 教材母题答图解：如答图，设圆心为O，连结OA，OB.∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°，∴OA＝AB2＝502(m)，∴这个人工湖的直径为2OA＝1002(m)．【思想方法】直角三角形与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度转换，利用直角三角形的相关知识求解．[2016·嘉善模拟]如图8，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE.若CE＝2，则BD的长为．图8 变形1答图【解析】如答图，延长BA，CE交于点M.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠CAM＝90°，∠BEC＝∠BEM＝90°，∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACM，∴△ABD≌△ACM，∴BD＝CM，∵BE平分∠ABC，∴∠EBM＝∠EBC，∵BE＝BE，∠BEC＝∠BEM，∴△BEC≌△BEM，∴EC＝EM，∴BD＝CM＝2CE＝2 2.如图9，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结AD，请添加一个条件__AB＝AC或BD＝CD或∠B＝∠C或∠BAD＝∠CAD__，使△ABD≌△ACD.图9如图10，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2 cm，求⊙O的半径．图10 变形3答图解：如答图，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，连结BD . ∵∠D ，∠C 所对的圆弧都为AB ︵， ∴∠D ＝∠C ＝30°.∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°， ∴AD ＝2AB ＝4(cm)，∴AO ＝12AD ＝2(cm)，即⊙O 的半径为2 cm.在⊙O 中，直径AB ＝4，CD ＝2，直线AD ，BC 相交于点E .(1)如图11①，∠E 的度数为__60°__；(2)如图②，AB 与CD 交于点F ，请补全图形并求∠E 的度数； (3)如图③，弦AB 与弦CD 不相交，求∠AEC 的度数．图11解：(1)如答图①，连结OD ，OC ，BD . ∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠DBC ＝30°， ∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠E ＝90°－30°＝60°，∴∠E 的度数为60°；(2)补全图形如答图②，直线AD ，CB 交于点E ，连结OD ，OC ，AC . ∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠DAC ＝30°， ∵∠DAC ＋∠DBC ＝12×360°＝180°，∴∠DBC＝150°，∴∠EBD＝180°－∠DBC＝30°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE＝90°，∴∠E＝90°－30°＝60°；(3)如答图③，连结OD，OC，BD.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BED＝60°，∴∠AEC＝60°.①②③变形4答图三圆周角定理的创新应用教材P92例3)如图12，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝50°.问：船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？图12解：当张角∠ASB<∠ACB时，船在弓形暗礁区外；当张角∠ASB＝∠ACB时，船在弓形暗礁区边上；当张角∠ASB>∠ACB时，船在弓形暗礁区内，∴要使船保证不进入暗礁区，必须使∠ASB<∠ACB，即∠ASB<50°.【思想方法】由圆周角定理知，同弧上的圆周角相等，应用在航海上，常常用来考查动点问题．如图13，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为( D )图13A.74 B ．1 C.74或1 D.74或1或94【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵在Rt △ABC 中，BC ＝2 cm ，∠ABC ＝60°， ∴∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝4(cm)． ①当∠BFE ＝90°时，∵在Rt △BEF 中，∠ABC ＝60°，则∠BEF ＝30°， ∴BE ＝2BF ＝2(cm)，∴AE ＝AB －BE ＝2(cm)，∴E 点运动的距离为2 cm 或6 cm ，故t ＝1 s 或3 s ， 由于0≤t ＜3，故t ＝3 s 不合题意，舍去， ∴当∠BFE ＝90°时，t ＝1 s ；②当∠BEF ＝90°时，同①可求得BE ＝12 cm ，此时AE ＝AB －BE ＝72(cm)，∴E 点运动的距离为72 cm 或92 cm ，∴t ＝74 s 或94s.综上所述，当t 的值为1或74或94时，△BEF 是直角三角形．故选D.[2016·山西]请阅读下列材料，并完成相应的任务．阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯学者Al －Biruni(973～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联一家出版社在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图14①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD .① ② ③图14下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程． 证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连结MA ，MB ，MC 和MG . ∵M 是ABC ︵的中点，∴MA ＝MC . …任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边三角形ABC 内接于⊙O ，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是．解：(1)证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连结MA ，MB ，MC 和MG . ∵M 是ABC ︵的中点，∴MA ＝MC .在△MBA 和△MGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝GC ，∠A ＝∠C ，MA ＝MC ，∴△MBA ≌△MGC (SAS )，∴MB ＝MG ， 又∵MD ⊥BC ，∴BD ＝GD ， ∴DC ＝GC ＋GD ＝AB ＋BD ；变形2答图(2)如答图，截取BF ＝CD ，连结AF ，AD ，CD ， 由题意，得AB ＝AC ，∠ABF ＝∠ACD ，在△ABF 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠ABF ＝∠ACD ，BF ＝CD ，∴△ABF ≌ACD (SAS )，∴AF ＝AD ， ∵AE ⊥BD ，∴FE ＝DE ，则CD ＋DE ＝BE ， ∵∠ABD ＝45°，∴BE ＝AB2＝2，则△BDC 的周长是2＋2 2.本文档仅供文库使用。
九年级数学上册第三章圆的基本性质3.5圆周角第1课时圆周角定理随堂练习(含解析)浙教版(2021年
九年级数学上册第三章圆的基本性质3.5 圆周角第1课时圆周角定理随堂练习（含解析）（新版）浙教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第三章圆的基本性质3.5 圆周角第1课时圆周角定理随堂练习（含解析）（新版）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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5__圆周角第1课时圆周角定理1．［2017·徐州］如图3－5－1，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB ＝( D ）A．28°B．54° C．18°D．36°【解析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB＝错误!∠AOB ＝错误!×72°＝36°。
图3－5－1 图3－5－22．如图3－5－2,BC是⊙O的直径,A是⊙O上异于B，C的一点，则∠A的度数为（ D )A．60°B．70° C．80°D．90°3．如图3－5－3，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA,若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（ A ）A．25°B．40° C．30°D．50°【解析】∵DE∥OA，∴∠AOD＝∠D＝50°，∴∠C＝12∠AOD＝25°。
故选A.图3－5－3 图3－5－44．[2017·广州]如图3－5－4，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连结CO，AD,∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（ D ) A．AD＝2OB B．CE＝EOC．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD【解析】∵AB⊥CD,∴错误!＝错误!，∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，∴∠OCE＝90°－40°＝50°.故选D。
九年级数学上册第3章圆的基本性质3.3垂径定理2练习新版浙教版word格式
3.3垂径定理(2)(见A本25页)A 练就好基础基础达标1．下列命题中，正确的是( B)A．平分弦的直径必垂直于这条弦B．平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．平分弦的直线必经过这个圆的圆心第2题图2．如图所示，已知⊙O的半径为6，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为( B)A. 5 B．2 5 C．27 D．103．已知⊙O中的一条弦AB与直径CD垂直相交于点E，并且CE＝1，DE＝3，那么弦AB的长等于( B)A. 3 B．2 3 C．2 D．44．如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AB ＝10 cm，CD＝6 cm，则AC的长为( D)A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm4题图5题图5．如图所示，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，MN分别为弧AB和弧AC的中点，OM，ON分别交AB，AC于点E，F，则∠MON的度数为( C)A．110°B．120°C．130°D．100°第6题图6．如图所示，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D.若AC＝8 cm，DE＝2 cm，则OD的长为 3 cm.7．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16 m，半径OA＝10 m，则中间柱CD的高度为__4__m.7题图8题图8．2017·西宁中考如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为．第9题图9．如图所示，残破的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB＝24 cm，CD＝8 cm.(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；(2)求(1)中所作圆的半径．解：(1)图略(2)连结OA，设OA＝x (cm)，AD＝12 (cm)，OD＝(x－8) cm.则根据勾股定理列方程x 2＝122＋(x －8)2. 解得x ＝13.∴圆的半径为13 cm.第10题图10．如图所示，AB 和CD 分别是⊙O 上的两条弦，过点O 分别作ON ⊥CD 于点N ，OM ⊥AB 于点M ，若ON ＝12AB.求证：OM ＝12CD.第10题答图证明：如图，因为 ON ⊥CD ，OM ⊥AB ，所以M ，N 分别是AB ，CD 的中点，又因为ON ＝12AB ，所以易证△ODN ≌△BOM ，即OM ＝12CD. B 更上一层楼 能力提升第11题图11．如图所示，⊙O 的半径是6，弦AB ＝10，CD ＝8，且AB ⊥CD 于点P ，则OP 的长为( B )A.30B.31 C ．7 D ．4 212．如图所示，AB ，AC 是⊙O 的弦，OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F.如果EF ＝3.5，那么BC ＝__7__．12题图13题图13．如图所示，在⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为__20__．第14题图14．如图所示，⊙O 的直径为8 m ，弦AB ，CD 相交于点P ，已知点C 是弧AB 的中点，弦CD 的长为4 3 m ，求∠APC 的度数．第14题答图解：如图，连结OC 交AB 于点E ， 过点O 作OF ⊥CD 于点F. ∵C 是AB ︵的中点， ∴OC ⊥AB ，即∠CEB ＝90°， ∵OF ⊥CD ， ∴CF ＝12CD ＝2 3 m.∵⊙O 的直径为8 m ，∴OC ＝4 m ， ∴OF ＝OC2－CF2＝2 m ＝12OC.∴∠C ＝30°，∴∠APC ＝90°－∠C ＝60°.C 开拓新思路 拓展创新15．如图所示，在半径为3的⊙O 中，B 是劣弧AC 的中点，连结AB 并延长到点D ，使BD ＝AB ，连结AC ，BC ，CD.如果AB ＝2，则CD ＝__43__．第15题图16．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆．(1)请分别作出图(1)中两个三角形的最小覆盖圆(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．图(1) 第16题图(2)若在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，则△ABC 的最小覆盖圆的半径是__2.5__；若在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，∠BAC ＝120°，则△ABC 的最小覆盖圆的半径是__3__．(3)如图(2)，用3个边长为1的正方形组成一个对称的图形，求该图形的最小覆盖圆的半径．图(2) 第16题图解：(1)作图略(3)如图，设OB ＝a ，则OC ＝2－a. ∵OA ＝OD ，∠DCO ＝∠ABO ＝90°，第16题答图∴12＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋(2－a)2，∴a ＝1316，∴OA ＝12＋a2 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13162＝51617. 即该图形最小覆盖圆的半径为51617.。
2019九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理(2)练习 (新版)浙教版
3.3垂径定理(2)(见A本25页)A 练就好基础基础达标1．下列命题中，正确的是( B)A．平分弦的直径必垂直于这条弦B．平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．平分弦的直线必经过这个圆的圆心第2题图2．如图所示，已知⊙O的半径为6，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为( B)A. 5 B．2 5 C．27 D．103．已知⊙O中的一条弦AB与直径CD垂直相交于点E，并且CE＝1，DE＝3，那么弦AB 的长等于( B)A. 3 B．2 3 C．2 D．44．如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AB＝10 cm，CD＝6 cm，则AC的长为( D)A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm4题图5题图5．如图所示，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，MN分别为弧AB和弧AC的中点，OM，ON分别交AB，AC于点E，F，则∠MON的度数为( C)A．110°B．120°C．130°D．100°第6题图6．如图所示，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D.若AC＝8 cm，DE＝2 cm，则OD的长为 3 cm.7．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16 m，半径OA＝10 m，则中间柱CD 的高度为__4__m.7题图8题图8．2017·西宁中考如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°，则CD 的长为．第9题图9．如图所示，残破的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D. 已知：AB ＝24 cm ，CD ＝8 cm.(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)； (2)求(1)中所作圆的半径． 解：(1)图略(2)连结OA ，设OA ＝x (cm)，AD ＝12 (cm)，OD ＝(x －8) cm.则根据勾股定理列方程x 2＝122＋(x －8)2. 解得x ＝13.∴圆的半径为13 cm.第10题图10．如图所示，AB 和CD 分别是⊙O 上的两条弦，过点O 分别作ON⊥CD 于点N ，OM ⊥AB 于点M ，若ON ＝12AB.求证：OM ＝12CD.第10题答图证明：如图，因为 ON⊥CD，OM ⊥AB ，所以M ，N 分别是AB ，CD 的中点，又因为ON ＝12AB ，所以易证△ODN≌△BOM，即OM ＝12CD.B 更上一层楼 能力提升第11题图11．如图所示，⊙O 的半径是6，弦AB ＝10，CD ＝8，且AB⊥CD 于点P ，则OP 的长为( B ) A.30 B.31 C ．7 D ．4 2 12．如图所示，AB ，AC 是⊙O 的弦，OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F.如果EF ＝3.5，那么BC ＝__7__．12题图13题图13．如图所示，在⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B＝60°，则BC 的长为__20__．第14题图14．如图所示，⊙O 的直径为8 m ，弦AB ，CD 相交于点P ，已知点C 是弧AB 的中点，弦CD 的长为4 3 m ，求∠APC 的度数．第14题答图解：如图，连结OC 交AB 于点E ，过点O 作OF⊥CD 于点F. ∵C 是AB ︵的中点， ∴OC ⊥AB ，即∠CEB＝90°， ∵OF ⊥CD ， ∴CF ＝12CD ＝2 3 m.∵⊙O 的直径为8 m ，∴OC ＝4 m ， ∴OF ＝OC 2－CF 2＝2 m ＝12OC.∴∠C ＝30°，∴∠APC ＝90°－∠C＝60°. C 开拓新思路 拓展创新15．如图所示，在半径为3的⊙O 中，B 是劣弧AC 的中点，连结AB 并延长到点D ，使BD ＝AB ，连结AC ，BC ，CD.如果AB ＝2，则CD ＝__43__．第15题图16．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆．(1)请分别作出图(1)中两个三角形的最小覆盖圆(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．图(1) 第16题图(2)若在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，则△AB C 的最小覆盖圆的半径是__2.5__；若在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，∠BAC ＝120°，则△ABC 的最小覆盖圆的半径是__3__．(3)如图(2)，用3个边长为1的正方形组成一个对称的图形，求该图形的最小覆盖圆的半径．图(2) 第16题图解：(1)作图略(3)如图，设OB ＝a ，则OC ＝2－a. ∵OA ＝OD ，∠DCO ＝∠ABO＝90°，第16题答图∴12＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋(2－a)2，∴a ＝1316，∴OA ＝12＋a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13162＝51617. 即该图形最小覆盖圆的半径为51617.。
2018年秋九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理 第2课时 垂径定理的逆定理同步练习 (新版)浙教
第2课时 垂径定理的逆定理知识点一 垂径定理的逆定理1平分弦(________)的直径________，并且平分________．1．如图3－3－9，⊙O 的直径CD 过弦AB 的中点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( )图3－3－9A ．9B ．8C ．6D ．4知识点二 垂径定理的逆定理2 平分弧的直径__________________．2．如图3－3－10，AB 是⊙O 的直径，B 是CD ︵的中点，AB ＝10 cm ，OE ＝3 cm ，则CD 的长为________cm .图3－3－10类型一 运用垂径定理的逆定理解决圆中的边角问题例1 [教材补充例题] 如图3－3－11，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC ，垂足为H ，D 是BC ︵的中点，连结AD ，OA .求证：AD 平分∠HAO .图3－3－11【归纳总结】借助垂径定理的逆定理添加辅助线的思路 (1)连结圆心与弦的中点；(2)连结圆心与弧的中点． 类型二 综合运用垂径定理及其逆定理解决问题例2 [教材例3拓展] 有一座桥，桥拱是圆弧形(水面以上部分)，测量时只测到桥下水面宽AB 为16 m(如图3－3－12)，桥拱最高处点C 离水面4 m.(1)求该桥拱的半径；(2)若大雨过后，桥下水面宽度为12 m ，则水面涨高了多少？图3－3－12 【归纳总结】垂径定理及其逆定理的相互关系在定理“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”中，为什么强调弦不是直径？详解详析【学知识】知识点一 不是直径 垂直于弦 弦所对的弧 1．[解析] B ∵CE＝2，DE ＝8，∴CD ＝10， ∴OB ＝OC ＝5，OE ＝5－2＝3. ∵直径CD 过弦AB 的中点E ， ∴CD ⊥AB ，∴AE ＝BE.在Rt △OBE 中，∵OE ＝3，OB ＝5， ∴BE ＝OB 2－OE 2＝4， ∴AB ＝2BE ＝8.知识点二 垂直平分弧所对的弦 2．[答案] 8 [解析] 连结OC ，∵AB 是⊙O 的直径，B 是CD ︵的中点， ∴直径AB⊥弦CD ， ∴CE ＝DE.在Rt △OEC 中，OE ＝3，OC ＝5， ∴CE ＝OC 2－OE 2＝4， ∴CD ＝2CE ＝8(cm)． 【筑方法】例1 证明：连结OD ，交BC 于点E. ∵D 是BC ︵的中点，∴OD ⊥BC. 又∵AH⊥BC，∴OD ∥AH ， ∴∠ODA ＝∠DAH.∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD，∴∠OAD ＝∠DAH， ∴AD 平分∠HAO.例2 解：(1)如图，设点O 为圆心，连结OA ，OC ，OC 交AB 于点D. 由题意，得AB ＝16 m ，CD ＝4 m ，AC ︵＝BC ︵， 所以OC⊥AB，所以AD ＝12AB ＝12×16＝8(m)．设⊙O 的半径为x m ，则在Rt △AOD 中， OA 2＝AD 2＋OD 2，即x 2＝82＋(x －4)2， 解得x ＝10.所以该桥拱的半径为10 m.(2)设水面上涨到EF 位置(如图)．此时EF ＝12 m ，EF ∥AB ，有OC⊥EF(设垂足为M)， 所以EM ＝12EF ＝12×12＝6(m)．连结OE ，则有OE ＝10 m ，所以OM ＝OE 2－EM 2＝102－62＝8(m)． 又因为OD ＝OC －CD ＝10－4＝6(m)， 所以OM －OD ＝8－6＝2(m)， 即大雨过后，水面涨高了2 m. 【勤反思】[小结] 垂直于弦 平分 垂直平分[反思] 因为如果不强调弦不是直径，那么会出现两条相互平分的直径不垂直，并且也不能平分弦所对的弧的情况．如图，弦AB 被CD 平分，但AB 与CD 不垂直，且AC ︵≠BC ︵.。
2019九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理(2)练习 (新版)浙教版
3.3垂径定理(2)(见A本25页)A 练就好基础基础达标1．下列命题中，正确的是( B)A．平分弦的直径必垂直于这条弦B．平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．平分弦的直线必经过这个圆的圆心第2题图2．如图所示，已知⊙O的半径为6，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为( B)A. 5 B．2 5 C．27 D．103．已知⊙O中的一条弦AB与直径CD垂直相交于点E，并且CE＝1，DE＝3，那么弦AB 的长等于( B)A. 3 B．2 3 C．2 D．44．如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AB＝10 cm，CD＝6 cm，则AC的长为( D)A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm4题图5题图5．如图所示，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，MN分别为弧AB和弧AC的中点，OM，ON分别交AB，AC于点E，F，则∠MON的度数为( C)A．110°B．120°C．130°D．100°第6题图6．如图所示，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D.若AC＝8 cm，DE＝2 cm，则OD的长为 3 cm.7．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16 m，半径OA＝10 m，则中间柱CD 的高度为__4__m.7题图8题图8．2017·西宁中考如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°，则CD 的长为．第9题图9．如图所示，残破的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D. 已知：AB ＝24 cm ，CD ＝8 cm.(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)； (2)求(1)中所作圆的半径． 解：(1)图略(2)连结OA ，设OA ＝x (cm)，AD ＝12 (cm)，OD ＝(x －8) cm.则根据勾股定理列方程x 2＝122＋(x －8)2. 解得x ＝13.∴圆的半径为13 cm.第10题图10．如图所示，AB 和CD 分别是⊙O 上的两条弦，过点O 分别作ON⊥CD 于点N ，OM ⊥AB 于点M ，若ON ＝12AB.求证：OM ＝12CD.第10题答图证明：如图，因为 ON⊥CD，OM ⊥AB ，所以M ，N 分别是AB ，CD 的中点，又因为ON ＝12AB ，所以易证△ODN≌△BOM，即OM ＝12CD.B 更上一层楼 能力提升第11题图11．如图所示，⊙O 的半径是6，弦AB ＝10，CD ＝8，且AB⊥CD 于点P ，则OP 的长为( B ) A.30 B.31 C ．7 D ．4 2 12．如图所示，AB ，AC 是⊙O 的弦，OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F.如果EF ＝3.5，那么BC ＝__7__．12题图13题图13．如图所示，在⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B＝60°，则BC 的长为__20__．第14题图14．如图所示，⊙O 的直径为8 m ，弦AB ，CD 相交于点P ，已知点C 是弧AB 的中点，弦CD 的长为4 3 m ，求∠APC 的度数．第14题答图解：如图，连结OC 交AB 于点E ，过点O 作OF⊥CD 于点F. ∵C 是AB ︵的中点， ∴OC ⊥AB ，即∠CEB＝90°， ∵OF ⊥CD ， ∴CF ＝12CD ＝2 3 m.∵⊙O 的直径为8 m ，∴OC ＝4 m ， ∴OF ＝OC 2－CF 2＝2 m ＝12OC.∴∠C ＝30°，∴∠APC ＝90°－∠C＝60°. C 开拓新思路 拓展创新15．如图所示，在半径为3的⊙O 中，B 是劣弧AC 的中点，连结AB 并延长到点D ，使BD ＝AB ，连结AC ，BC ，CD.如果AB ＝2，则CD ＝__43__．第15题图16．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆．(1)请分别作出图(1)中两个三角形的最小覆盖圆(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．图(1) 第16题图(2)若在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，则△AB C 的最小覆盖圆的半径是__2.5__；若在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，∠BAC ＝120°，则△ABC 的最小覆盖圆的半径是__3__．(3)如图(2)，用3个边长为1的正方形组成一个对称的图形，求该图形的最小覆盖圆的半径．图(2) 第16题图解：(1)作图略(3)如图，设OB ＝a ，则OC ＝2－a. ∵OA ＝OD ，∠DCO ＝∠ABO＝90°，第16题答图∴12＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋(2－a)2，∴a ＝1316，∴OA ＝12＋a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13162＝51617. 即该图形最小覆盖圆的半径为51617.。
九年级数学上册第三章圆的基本性质3.3垂径定理第2课时垂径定理的推论随堂练习(含解析)(新版)浙教版
第2课时垂径定理的推论1．下列命题中，正确的是( C )A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心D．弦垂线平分弦所对的弧2．如图3－3－15，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( D )图3－3－15A．8 B．2 C．10 D．53．已知圆的半径为2 cm，圆中一条弦长为2 3 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( A )A．1 cm B．2 cm C. 2 cm D. 3 cm第3题答图【解析】如答图，连结OC，由垂径定理及其逆定理，知OC⊥AB且O，C，D三点共线，连结OA.在Rt△AOC中，OC＝OA2－AC2＝22－（3）2＝1(cm)，∴CD＝OD－OC＝2－1＝1(cm)．故选A.4．如图3－3－16，在⊙O中(填写你认为正确的结论)：图3－3－16(1)若MN ⊥AB ，垂足为C ，MN 为直径，则__AC ＝BC ，AN ︵＝BN ︵，AM ︵＝BM ︵__； (2)若AC ＝BC ，MN 为直径，AB 不是直径，则__MN ⊥AB ，AN ︵＝BN ︵，AM ︵＝BM ︵__； (3)若MN ⊥AB ，AC ＝BC ，则__MN 过圆心，AN ︵＝BN ︵，AM ︵＝BM ︵__； (4)若AM ︵＝BM ︵，MN 为直径，则__AN ︵＝BN ︵，AC ＝BC ，MN ⊥AB __．5．如图3－3－17，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD ＝4，EM ＝8，则CED ︵所在的⊙O 的半径为__174__．图3－3－17 第5题答图【解析】 如答图，连结OC . ∵M 是CD 的中点，EM ⊥CD ， ∴EM 过⊙O 的圆心点O . 设半径为x ，∵CD ＝4，EM ＝8， ∴CM ＝12CD ＝2，OM ＝8－OE ＝8－x .在Rt △OCM 中，OM 2＋CM 2＝OC 2，即(8－x )2＋22＝x 2，解得x ＝174，∴CED ︵所在圆的半径为174.6．[2017·东台期中]某市新建一座圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A ，B ，C 三根木柱，使得A ，B 之间的距离与A ，C 之间的距离相等，并测得BC 长为120 m ，A 到BC 的距离为4 m ，如图3－3－18所示．(1)请你帮他们求出该湖的半径；(2)如果在圆周上再另取一点P ，建造一座连结B ，C ，P 三点的三角形艺术桥，且△BCP 为直角三角形，问：这样的P 点可以有几处？如何找到？图3－3－18 第6题答图解：如答图，设圆心为点O ，连结OB ，OA ，OA 交线段BC 于点D ， ∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴OA ⊥BC ， ∴BD ＝DC ＝12BC ＝60，∵DA ＝4 m ，在Rt △BDO 中，OB 2＝OD 2＋BD 2，设OB ＝x m ，则x 2＝(x －4)2＋602，解得x ＝452. ∴人工湖的半径为452 m ；(2)这样的P 点可以有2处，过点B 或点C 作BC 的垂线交圆于一点，此点即为P 点． 7．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”(如图3－3－19①)① ②图3－3－19阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO ⊥CD 于点A ，求间径就是要求⊙O 的直径．再次阅读后，发现AB ＝__1____寸，CD ＝__10__寸(一尺等于十寸)，通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O 的直径． 解：如答图，连结CO .第7题答图∵BO ⊥CD ， ∴CA ＝12CD ＝5寸．设CO ＝OB ＝x 寸，则AO ＝ (x －1)寸，∵在Rt △CAO 中，∠CAO ＝90°， ∴AO 2＋CA 2＝CO 2.∴(x －1)2＋52＝x 2，解得x ＝13， ∴⊙O 的直径为26寸．8．一条排水管的截面如图3－3－20所示，已知排水管的半径OA ＝1 m ，水面宽AB ＝1.2 m ，某天下雨后，排水管水面上升了0.2 m ，则此时排水管水面宽CD 等于__1.6__m.图3－3－20 第8题答图【解析】 如答图，连结OD ，OB ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，与CD 交于点F ， ∵OB ＝1 m ，EB ＝0.6 m ，由勾股定理得OE ＝0.8 m ，∵EF ＝0.2 m ，∴OF ＝0.6 m ， ∵在Rt △ODF 中，OF ＝0.6 m ，OD ＝1 m ， ∴FD ＝0.8 m ，∴CD ＝1.6 m.9．已知⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥弦CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，求AB ，CD 之间的距离． 解：当AB ，CD 如答图①所示时，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，交AB 于点F ，连结OA ，OC . ∵AB ∥CD ，OE ⊥CD ，∴OF ⊥AB .由垂径定理可知AF ＝12AB ＝12×24＝12(cm)，CE ＝12CD ＝12×10＝5(cm)．在Rt △CEO 中，OE ＝OC 2－CE 2＝132－52＝12(cm)， 同理，OF ＝OA 2－AF 2＝132－122＝5(cm)， ∴EF ＝OE －OF ＝12－5＝7(cm)；① ②第9题答图当AB ，CD 如答图②所示时，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，反向延长交AB 于点F ，连结OA ，OC ，可得OE ＝12 cm ，OF ＝5 cm ， ∴EF ＝OE ＋OF ＝12＋5＝17(cm)．综上所述，AB ，CD 之间的距离为7 cm 或17 cm.10．如图3－3－21，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB 所在⊙O 的半径．图3－3－21解：由垂径定理，得BF ＝12AB ＝1.5(m)，OE ⊥AB .设⊙O 半径为x (m)，则OF ＝(x －1) m.在Rt △OBF 中，由勾股定理得x 2＝1.52＋(x －1)2， 解得x ＝1.625.∴弧AB 所在⊙O 的半径是1.625 m.11．如图3－3－22，隧道的截面由AED ︵和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为12 m ，宽AB 为3 m ，隧道的顶端E (AED ︵的中点)高出道路(BC )7 m. (1)求AED ︵所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5 m ，宽2.3 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道？图3－3－22 第11题答图解：(1)如答图，设圆心为点O ，半径为R (m)，连结OE 交AD 于点F ，连结OA ，OD ，则OF ＝R －(7－3)＝(R －4) m.由垂径定理的逆定理，得OF 垂直平分AD ，则AF ＝6 m.由勾股定理，得AF 2＋OF 2＝OA 2，即62＋(R －4)2＝R 2，解得R ＝6.5， 即AED ︵所在圆的半径为6.5 m ；(2)如答图，在ED ︵上取H ，过点H 作GH ⊥OE 交OE 于点G ，则车宽GH ＝2.3 m ，圆的半径OH ＝6.5 m ，由勾股定理，得OG ＝OH 2－GH 2＝ 6.52－2.32≈6.08(m)，∴点G 与BC 的距离为7－6.5＋6.08＝6.58(m)＞6.5(m)， ∴这辆货运卡车能通过该隧道，但要小心．。
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微专题__垂径定理有关的辅助线
一 连半径构造直角三角形
(教材P78作业题第2题)
如图1，在⊙O 中，半径OC ⊥AB 于点D .已知⊙O 的半径为2，AB ＝3，求DC 的长(精确到0.01)．
图1 教材母题答图
解：如答图，连结OA .
∵OC ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝12×3＝32，
∴OD ＝OA 2
－AD 2
＝22
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫322
＝72，
∴DC ＝OC －OD ＝2－
7
2
≈0.68. 【思想方法】 求圆中的弦长或其他线段长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解．
[xx·呼和浩特]如图2，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为M ，若AB ＝12，OM ∶
MD ＝5∶8，则⊙O 的周长为( B )
A ．26π
B ．13π
C.96π5
D.3910π5
图2 变形1答图
【解析】 如答图，连结OA ，设OM ＝5x ，MD ＝8x ，∴OA ＝OD ＝13x ，又∵AB ＝12，由垂径定理可得AM ＝6，∴在Rt △AOM 中，(5x )2＋62＝(13x )2
，解得x ＝12，∴半径OA ＝132，根据周长
公式C ＝2πr ，∴⊙O 的周长为13π.
如图3，已知⊙O 的半径为5，点A 到圆心O 的距离为3，则过点A 的所有弦中，最
短的弦长为( C )
图3
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ＝8 cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则
AC 的长为( C )
A ．2 5 cm
B ．4 5 cm
C ．2 5 cm 或4 5 cm
D ．2 3 cm 或4 3 cm
【解析】 如答图，连结AC ，AO .
∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ， ∴AM ＝12AB ＝1
2×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm.
当点C 位置如答图①所示时， ∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，AB ⊥CD ， ∴OM ＝OA 2
－AM 2
＝52
－42
＝3(cm)， ∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)， ∴AC ＝AM 2
＋CM 2
＝42
＋82
＝45(cm)；
变形3答图
当点C 位置如答图②所示时，同理可得OM ＝3 cm ， ∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．
在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2
＋MC 2
＝42
＋22
＝25(cm)．故选C.
如图4，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为( B ) A.
2－12a B.2－24
a C ．(2－1)a
D ．(2－2)a
【解析】 从题目中很容易看出桌布刚好覆盖正方形桌子的桌面，桌子的边长为2
2
a ，用直径a 减去桌子的边长刚好为2x 的长度，∴x ＝2－2
4
a .故选B.
图4 图5
如图5，一块破残的轮片上，点O 是这块轮片的圆心，AB ＝120 mm ，C 是AB ︵
上的一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝20 mm ，则原轮片的半径是__100__mm.
如图6是某风景区的一个圆拱形门，路面AB 宽为2 m ，净高CD 为5 m ，则圆拱形门所在圆的半径为__2.6__m.
图6 变形6答图
【解析】 如答图，连结OA . 在Rt △OAD 中，AD ＝1
2
AB ＝1(m)．
设⊙O 的半径为R (m)，则OA ＝OC ＝R (m)，OD ＝(5－R ) m ， 由勾股定理，得OA 2
＝OD 2
＋AD 2
， 即R 2
＝(5－R )2
＋12，解得R ＝2.6.
如图7，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在这个三角形的高线AD 上，AB ＝10，BC ＝12，求⊙O 的半径．
图7 变形7答图
解：如答图，连结OB .
∵AD 是△ABC 的高线，△ABC 外接圆的圆心在AD 上，∴BD ＝1
2
BC ＝6.
在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2
－BD 2
＝100－36＝8. 设圆的半径是R ，则OD ＝8－R .
在Rt △OBD 中，由勾股定理，得R 2
＝36＋(8－R )2
， 解得R ＝254.即⊙O 的半径为25
4
.
二 作圆心到弦的垂线巧解题
教材P78作业题第6题)
已知：如图8，在⊙O 中，弦AB ∥CD .求证：AC ︵＝BD ︵
.
图8 教材母题答图
证明：如答图，过点O 作OE ⊥AB ，交⊙O 于点E ， ∵AB ∥CD ，∴OE ⊥CD ，则AE ︵＝EB ︵，CE ︵＝ED ︵
， ∴AE ︵－CE ︵＝EB ︵－ED ︵，即AC ︵＝BD ︵.
【思想方法】 当圆中出现弦时，通常作圆心到弦的垂线，或再连半径构造直角三角形，可通过垂径定理或勾股定理解题．
如图9，矩形ABCD 与⊙O 相交于点M ，N ，F ，E ，若AM ＝2，DE ＝1，EF ＝8，则MN 的长为( C ) A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
图9 变形1答图
【解析】 如答图，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G ，则MH ＝HN ，EG ＝GF ， ∵四边形ADGH 是矩形，∴AH ＝DG . ∵EG ＝1
2EF ＝4，∴DG ＝DE ＋EG ＝1＋4＝5，
∴AH ＝5.又∵AH ＝AM ＋MH ＝2＋MH ＝5，
∴MH ＝3，则MN ＝2MH ＝2×3＝6.故选C.
[xx·金华]如图10，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为( C ) A ．10 cm B ．16 cm C ．24 cm
D ．26 cm
图10 变形2答图
【解析】 如答图，在Rt △OCB 中，OC ＝5 cm ，OB ＝13 cm ，根据勾股定理，得BC ＝OB 2－OC 2
＝132
－52
＝12(cm)．∴AB ＝2BC ＝24(cm)．
[xx·西宁]如图11，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝ 2，BP ＝ 6，∠
APC ＝30°.则CD 的长为( C )
A.15
B ．2 5
C ．215
D ．8
图11
变形3答图
【解析】 如答图，作OH ⊥CD 于H ，连结OC ， ∵OH ⊥CD ，∴HC ＝HD ， ∵AP ＝2，BP ＝6，∴AB ＝8， ∴OA ＝4，∴OP ＝OA －AP ＝2， 在Rt △OPH 中，∵∠OPH ＝30°， ∴OH ＝1
2
OP ＝1，
在Rt △OHC 中，∵OC ＝4，OH ＝1，
∴CH ＝OC 2
－OH 2
＝15， ∴CD ＝2CH ＝215.
如图12，⊙O 的弦AB ，CD 反向延长交于点P ，AB ＝CD .求证：OP 平分∠BPD .
图12 变形4答图
证明：如答图，连结OB ，OD ，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥CD 于点N ， 则由垂径定理，得BM ＝12AB ，DN ＝1
2CD .
又∵AB ＝CD ，∴BM ＝DN .
由勾股定理，得OM 2
＝OB 2
－BM 2
，ON 2
＝OD 2
－DN 2
. ∵OB ＝OD ，BM ＝DN ，∴OM ＝ON . 又∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴OP 平分∠BPD .
如图13，有一石拱桥的桥拱是圆弧形，正常水位下水面宽AB ＝60 m ，水面到拱顶距离CD ＝18 m ，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m 时需要采取紧急措施，当水面宽
MN ＝32 m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
图13 变形5答图
解：不需要采取紧急措施．理由：
设OA ＝R (m)，在Rt △AOC 中，AC ＝1
2AB ＝30(m)，OC ＝(R －18) m.
由勾股定理，得OA 2
＝AC 2
＋OC 2
， 即R 2
＝302
＋(R －18)2，解得R ＝34. 如答图，连结OM ，设DE ＝x (m)．
在Rt △MOE 中，ME ＝1
2MN ＝16(m)，OE ＝(34－x )m.
由勾股定理，得OM 2
＝ME 2
＋OE 2
， 即342
＝162
＋(34－x )2，
解得x 1＝4，x 2＝64(不合题意，舍去)，∴DE ＝4 m.
∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．。