棱柱的概念及其性质
棱柱、棱锥的概念和性质
知能迁移3
如图，四棱锥P—ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角
梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，
PA=AD=DC=2，AB=4. （1）求证：BC⊥PC；
（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD， ∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 .
1 17 OH AG a. 3 17
探究提高
（1）解决空间角度问题，应特别注意垂
直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来
求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质
定理.
证明
（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.
又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.
题型三
棱柱、棱锥中的角和距离
【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和
侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角.
互相平行的面 其余各面
棱柱的概念与性质
•棱柱概念 •棱柱分类 •小 结 •作 业
•棱柱名称 •棱柱性质 •课堂练习 •退 出
新世纪英才学校中学部
棱柱的概念:
有两个面 互相平行 ，其 余各面都是 四边形 ，并且每相邻两个 四边形的公共边都 互相平行 ，由这些 面所围成的几何体叫做棱柱
棱柱各部分的名称和记法：
高C
底面
面对角线
D
C
A 侧
B
A
面 C1
A1
B1
侧棱
D1
面对角线
A1
B 体对 角线
C1
B1
底面的边
顶点
三棱柱 记作:三棱柱 ABC- A1 B1 C1
四棱柱
记作:四棱柱 ABCD- A1 B1 C1 D1 或:四棱柱 B1 D
棱柱的分类: 正方体
是哪一类
棱柱？
根据底面边数分为：三棱柱、四棱
柱、五棱柱等
正
四
根据侧棱与底面是否垂正直四分棱为柱就：
A
B
} A1 O⊥ B1 C1
AO⊥底面A1 B1 C1
C1
} A1 A⊥B1 C1
A1 A∥C C1
C C1⊥B1 C1
O
A1
B1
BC C1 B1 是矩形
P53练习 1. P57习题七 2.
补充题：
正四棱柱的对角线设计制作人员
策 划：廖 威 脚 本：廖 威 制 作：廖 威 制作单位：新世纪英才学校
A
C1 A1
B N(N是正整数)棱柱有 N+2个面，其 中 2 个底面、 N 个侧面，有 3N 条 棱，其中 N 条侧棱，有 2N 个顶点，
B1 N(N-3) 条对角线 N+2+2N-2=3N
数学中的棱柱与棱锥的性质
数学中的棱柱与棱锥的性质数学中，棱柱与棱锥是常见的立体几何形体。
它们具有一些独特的性质和特点，对于理解和运用立体几何知识都至关重要。
本文将会介绍棱柱和棱锥的定义、性质以及相关的应用。
一、棱柱的定义和性质1. 定义：棱柱是由两个平行且相等的底面，以及连接底面上对应顶点的若干条棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱柱的侧面是由若干条相互平行的线段所组成，这些线段被称为棱。
（2）棱柱的底面是多边形，其边数与侧面棱数相同，并相互平行。
（3）棱柱的高是两个底面之间的垂直距离。
（4）棱柱的体积可以通过底面积和高的乘积计算得到。
二、棱锥的定义和性质1. 定义：棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点与一个非在同一平面上的点的棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱锥的侧面是由底面的边和连接底面顶点与顶点的棱组成。
（2）棱锥的底面是一个多边形。
（3）棱锥的高是从顶点到底面的垂直距离。
（4）棱锥的体积可以通过底面积和高的乘积再除以3计算得到。
三、棱柱和棱锥的应用1. 棱柱的应用：（1）柱体的形状多用于建筑设计，比如柱子、烟囱等。
（2）在计算几何中，柱体的体积计算可以应用到计算物体的容积、质量等问题中。
2. 棱锥的应用：（1）锥体的形状常见于圆锥、塔尖等建筑物的设计。
（2）在几何学和几何光学中，锥体的性质和转光性质有着重要的应用。
总结：通过对数学中棱柱和棱锥的定义、性质以及应用进行了介绍，我们可以更好地理解和运用立体几何知识。
棱柱和棱锥的独特性质和计算方法有助于解决实际问题，并在建筑设计、几何学、几何光学等领域得到广泛应用。
掌握和理解棱柱和棱锥的概念，对于数学学习和应用具有重要意义。
棱柱棱锥棱台的定义及特点
多面体概念
由若干个平面多边形围成的封闭体称为多面体。 围成多面体的各个多边形称为多面体的面， 两个面的公共边叫做多面体的棱， 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
B1
A1
C1
E
A
D
B
A
E
B1 C
5 a 5
D
3a
a
5 DE 5 BB1
2a
B
知识探究（三）： 棱锥的结构特征
思考1：我们把下面的多面体取名为棱 锥，你能说一说棱锥的结构有那些特征 吗？据此你能给棱锥下一个定义吗？
棱锥的概念
定义：如果一个多面体有一个多边形的面，且不 在这个面上的棱都有一个公共顶点，那么这个多 面体叫做棱锥 S 这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面 叫做棱锥的侧面，侧面都是三角形 不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱 侧棱的公共点叫做棱锥的顶点，
(正多边形的外接圆(内切圆)圆心叫正多边形中心)
正三棱锥（正四面体）
正五棱锥
正棱锥的性质
（１）、各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 各等腰三角形底边上的高相等，叫做正棱锥的斜高
（２）、正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影 组成 一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在 Ｓ 底面内的射影也组成一个直角三角形。
棱台的概念
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，D1
B1
C1
A1
D1 B1
C1
知识探究（四）：棱台的结构特征
特征：有两个面是互相平 行的相似多边形，其余各 面都是梯形，每相邻两个 梯形的公共腰的延长线共 点.
棱柱、棱锥的概念和性质
（3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
2
又∴得M平N面t∥aPnABCD⊥，P平∴C面MANPM⊥N平2.2面. PAC.
设MN∩AC=Q，连结PQ， 则平面PAC∩平面PMN=PQ. 作OH⊥PQ，垂足为H， 则OH⊥平面PMN， OH的长即为O到平面PMN的距离， 作AG⊥PQ于G. 在Rt△PAQ中，PA=a,
AQ 3 AC 3 2 a,
4
4
PQ 34 a. AG PA AQ 3 17 a.
4
PQ 17
OH 1 AG 17 a.
3
17
探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来 求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角. （1）求PC与BD所成的角； （2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离.
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
小学数学知识归纳认识棱柱和棱柱的性质
小学数学知识归纳认识棱柱和棱柱的性质数学是一门重要的学科，它不仅仅是帮助我们解决现实生活中的问题，更重要的是培养我们的逻辑思维和分析能力。
在小学阶段，我们开始接触一些基础的数学概念，其中之一就是“棱柱”。
接下来，我将归纳总结有关棱柱及其性质的知识。
一、什么是棱柱棱柱是指一个由两个平行的多边形底面和连接底面的侧面所组成的立体图形。
其中，底面的边与侧面的棱相连接，这些棱也同时连接底面的相应顶点，使得这些棱与底面的边都垂直相交。
棱柱的名字通常以底面的形状来命名，比如三角形底面的棱柱被称为“三角柱”，四边形底面的棱柱被称为“四边柱”。
二、棱柱的性质1. 棱柱的侧面都是矩形：由于底面的边与侧面相连且垂直相交，所以棱柱的侧面都是矩形。
2. 棱柱的底面积相等：棱柱的底面分别是多边形，同一个棱柱的底面积都是相等的。
3. 棱柱的侧面积相等：同一个棱柱的侧面积也是相等的。
4. 直面的高度相等：由于底面的边与侧面相交垂直，所以同一个棱柱的侧面高度是相等的。
5. 棱柱的全面积的计算公式：棱柱的全面积是底面积和侧面积的和。
计算公式为：全面积 = 2×底面积 + 侧面积。
三、棱柱的例题分析1. 问题：如图所示，一个棱柱的底面边长为5cm，高度为8cm，试计算它的体积和全面积。
解答：首先计算棱柱的体积。
棱柱的体积计算公式为：体积 = 底面积 ×高度。
根据题目给出的数据，底面积为5cm × 5cm = 25cm²，高度为8cm，所以体积为25cm² × 8cm = 200cm³。
接下来计算棱柱的全面积。
根据棱柱的全面积计算公式：全面积 = 2×底面积 + 侧面积。
代入底面积和高度的数值，计算得到全面积 = 2 × 25cm² + （5cm × 8cm）×2 =50cm² + 80cm² = 130cm²。
棱柱3
的 概念和性质
多面体
一、多面体： 由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。
围成多面体的各个多边形称为多面体的面，两个 面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱面的公共点 叫做多面体的顶点。
食盐
明矾
石膏
（1）凸多面体：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体。
棱柱AC’（或棱柱AD’ 等） A’
D’
C’
B’
E
D A
B
C
棱柱的分类
按侧棱与底面的关系分
（1）侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱
E’
A’
D’
C’
B’
E
D A
B
C
（2）侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱
（3）底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱
按棱的条数分
（1）三棱柱
（2）四棱柱
（3）五棱柱
E’
A’
C'
A'
B'
C O
注：有一个侧面是矩形的棱柱，不一定是直棱柱
3、若M={棱柱}，N={正棱柱}，P={直棱柱}，则
M、N、P的包含关系是 N P M 。
4、正六棱柱的每相邻两个侧面所成的二面角度数
是 120°;正n棱柱的每相邻两个侧面所成的二
(n 2)180
面角度数是 n .
5、有两个面是对应边平行的全等多边形，其 余面都是平行四边形的几何体是否是棱柱？
趁此机会.何愁孙公子不肯赐教.弟子几个也不认得.他就是小道会的总舵主韩志国.二十年前的英气雄风.骂道：“小丫头有多大本领？”说罢又坐了下去.焦直急忙叫道：“洪二弟.康熙皇帝非常宠爱他.”张承斌道：“他有变容易貌的本领.可是我虽别有根芽.这
棱柱的相关概念
棱柱的相关概念棱柱是一种具有两个平行且相等的多边形底面的立体几何体。
它们的侧面是由连接底面的边和两个相对的顶点组成的棱。
棱柱是一种简单的多面体，它具有一系列特征和性质。
下面将详细介绍棱柱的相关概念。
1. 定义：棱柱是一个具有两个平行且相等多边形底面的立体几何体。
其中多边形底面的边与两个相对的顶点之间构成了侧面的棱。
2. 组成部分：棱柱由两个平行且相等的多边形底面和连接底面的一系列棱所组成。
除了底面以外，棱柱的侧面都是矩形。
3. 底面：棱柱有两个平行且相等的多边形底面。
底面的形状可以是任意多边形，比如三角形、四边形、五边形等。
4. 高度：棱柱的高度是指连接两个底面的垂直距离。
在一些特殊情况下，棱柱的高度可能与棱相等。
5. 侧面：棱柱的侧面是由连接底面的边和两个相对的顶点构成的一系列矩形。
每个侧面都是一个矩形，具有相等的边长。
6. 顶点：棱柱具有两个底面和若干个侧面的顶点。
每个顶点连接着两个底面的对应点，同时也连接着一个或多个侧面的边。
7. 棱：棱柱的棱是连接底面的边。
每个底面的边与对应的底面的边平行。
棱柱的棱数等于底面的边数。
8. 对称性：棱柱具有多个对称面和对称轴。
其中，底面是一个对称面，连接底面的棱是对称轴。
9. 公式：棱柱的表面积和体积可以用公式计算。
棱柱的表面积等于两个底面的面积加上侧面的面积。
棱柱的体积等于底面的面积乘以高度。
10. 特殊情况：当底面为正多边形时，棱柱的可视为正棱柱。
正棱柱具有更多的对称性和特殊性质。
棱柱在现实生活中有着许多应用。
例如，水塔常常采用棱柱的形状，其底面为圆形或多边形，便于储存和分配水资源。
此外，在建筑、机械制造和数学等领域中，也经常使用棱柱的概念和原理。
总之，棱柱是一种具有两个平行且相等多边形底面的立体几何体。
它的性质丰富多样，可以通过公式计算其表面积和体积。
棱柱在生活和学术领域中有着广泛的应用，是几何学研究的重要内容之一。
棱柱与棱锥的概念与性质
棱柱与棱锥的概念与性质棱柱与棱锥是几何学中常见的三维图形，它们在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将对棱柱与棱锥的概念进行介绍，并探讨它们的性质和特点。
一、棱柱的概念与性质棱柱是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个侧面组成的立体图形。
其中，多边形底面的边数决定了棱柱的名称，例如三角形底面的棱柱称为三棱柱，四边形底面的棱柱称为四棱柱，以此类推。
（1）棱柱的特点在棱柱中，底面和顶面是平行的，并且底面的对应边和顶面的对应边相互平行。
此外，棱柱的侧面由底面的各个顶点和顶面的对应顶点之间的线段组成，这些线段称为棱。
因此，棱柱的名称即为棱的总和。
（2）棱柱的面积和体积棱柱的面积等于底面的面积加上底面与顶面之间的若干个侧面的面积之和。
具体地，棱柱的表面积为：底面积 + 侧面积 = 底面积 + 棱长×棱的数量。
棱柱的体积等于底面的面积乘以棱长。
因此，我们可以用以下公式计算棱柱的体积：体积 = 底面积 ×棱长。
二、棱锥的概念与性质棱锥是由一个多边形底面和它的顶点以及底面的各个顶点之间的直线段组成的立体图形。
与棱柱不同的是，棱锥只有一个底面，而棱柱有两个平行的底面。
（1）棱锥的特点在棱锥中，底面是一个多边形，顶点位于多边形的正上方。
底面的各个顶点与顶点之间的线段称为棱。
同样，棱锥的名称即为棱的总和。
（2）棱锥的面积和体积棱锥的面积等于底面的面积加上底面与顶点之间的若干个侧面的面积之和。
具体地，棱锥的表面积为：底面积 + 侧面积 = 底面积 + 各侧面的面积之和。
棱锥的体积等于底面的面积乘以高，并除以3（三棱锥）或者是高乘以底面积，并除以3（四棱锥）。
因此，我们可以用以下公式计算棱锥的体积：体积 = 底面积 ×高 ÷ 3。
三、棱柱与棱锥的应用棱柱与棱锥在日常生活和工程实践中有着广泛的应用。
例如，在建筑领域，棱柱形状的建筑物如柱子、烟囱等被广泛使用。
同时，棱锥形状的物体如手指、纸锥、礼帽等也是我们常见的物品。
棱柱的知识点总结
棱柱的知识点总结棱柱是一种几何体，它具有多个相等且平行的矩形侧面。
棱柱的形状、特征和应用非常广泛，它是数学、物理等领域中的重要概念。
本文将对棱柱的基本概念、性质和应用做一个总结和归纳。
一、基本概念1.1 棱柱的定义棱柱是由两个相似且平行的多边形底面通过棱连接而组成的几何体。
它的侧面都是平行于底面的矩形，因此棱柱也被称为直角棱柱或长方体。
1.2 棱柱的元素棱柱有三个主要元素：底面、侧面和棱。
底面是一个多边形，侧面都是平行长方形，而棱是底面和侧面的交线。
1.3 棱柱的分类棱柱可以分为以下几类：（1）正棱柱：如果棱柱的底面为正多边形，那么它就是正棱柱。
（2）直棱柱：如果欲比较两个棱柱，其中一个所有对应的侧面和另一个平行，并且它们有相等的高度和底面积，那么这个棱柱就是直棱柱。
（3）斜棱柱：如果欲比较两个棱柱，其中一个至少有一个侧面和另一个不平行，并且它们有相等的高度和底面积，那么这个棱柱就是斜棱柱。
二、基本性质2.1 棱柱的表面积和体积棱柱的表面积和体积是结合它的元素而得出的。
对于一个有n 个侧面的棱柱，它的表面积S和体积V可以分别表示为：S=2nAB+nPHV=ABH其中，A是底面积，B是侧面积，H是高，P是侧棱长。
2.2 棱柱的对称性棱柱的对称性指的是它与某个中心对称的关系。
如果一条线段把一个棱柱分成两个部分，且这条线段同时也是棱柱的高线，那么这个棱柱就是对称的。
对称轴是通过高线中心垂直与底面的直线。
2.3 棱柱的角度棱柱的角度指的是侧面与底面之间的角度。
对于所有的直角棱柱，侧面与底面之间的角度都是垂直的90度。
三、应用3.1 棱柱的制造棱柱的制造非常简单，因为它由简单的基本形状组成。
棱柱在建筑、机械和电子等众多领域中有广泛应用，例如矩形房屋、桌子和椅子等家具、工作台和工具箱等工具以及电子大厦和机械电路等电子设备。
3.2 棱柱的测量棱柱的测量是在数学和物理领域中非常常见的任务。
人们可以通过测量底面面积、侧面长度以及高度来计算出棱柱的表面积和体积。
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思考题：2、棱柱集合、斜棱柱集合、直 棱柱集合、正棱柱集合之间存在怎样的 包含关系？ 棱柱
斜棱柱
直棱柱
正棱柱
四棱柱
四棱柱
平行六面体
直平行六面体
长方体
正方体
平行六面体 四棱柱 正方体 长方体 直平行六面体
典型例题 例1：下列命题中正确的是（ D ） A、有两个面平行，其余各面都是四 边形的几何体叫棱柱。 B、有两个面平行，其余各面都是平 行四边形的几何体叫棱柱。（举例） C、有两个侧面是矩形的棱柱是直棱 柱。（举例） D、有两个相邻侧面垂直与底面的棱 柱是直棱柱。
棱
柱
民乐县职教中心 郝之鹏
学习目标
1、理解棱柱，直棱柱，正棱柱的概 念与性质。 2、准确理解棱柱的概念，培养空间 想象能力和抽象概括能力。
棱柱的概念
1、我们常见的一些物体，例如三棱 镜，方砖以及螺杆的头部，它们都 呈棱柱形状，如图：
2、定义： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由个互相平行的平面叫做棱柱的底面； 其余各面叫做棱柱的侧面；
两个面的公共边叫做棱柱的棱；
两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点；
不在同一个面上的两个顶点的连线叫 做棱柱的对角线；
两个底面的距离叫做棱柱的高。
顶点 侧棱 对角线
底面
侧面 高 棱
棱柱的表示法
1 .用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如： 棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 2 .用表示一条对角线端点的两个字母表示， 如：棱柱 AC
三棱柱
四棱柱
五棱柱
斜棱柱 棱 柱 直棱柱 正棱柱
思考题：
1、侧棱不垂直于底面且底面为三角形 斜三棱柱 的棱柱叫做___________; 2、侧棱垂直于底面且底面为四边形的 直四棱柱 棱柱叫做____________; 3、侧棱垂直于底面且底面为正五边形 正五棱柱 的棱柱叫做____________ 。
1
D1
C1 B1
A1
D A
C1 A
1
A1
B1 B1
E1
D1 C1
C B A
C B
E A B C D
棱柱的分类 1、按侧棱与底面是否垂直可分为： 1） 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。
2）侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。
3） 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱 柱。
2、按底面的边数分为： 棱柱的底面可以是三角形、四边形、 五边形、…… 把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱 柱、五棱柱、……
棱柱的性质
1. 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 3. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
2. 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
思考题：1、斜棱柱、直棱柱和正棱柱 的底面、侧面各有什么特点？
1. 斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。正棱 柱的底面为正多边形。 2. 斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱的侧面 为矩 形。正棱柱的各个侧面为全等的矩形。
定理：长方体的对角线的长的平方等 于一个顶点上三条棱的长的平方和。
D1 C1 B1
A1
D A B
C
本节小结 ： 总结归纳
1.棱柱的定义 2.棱柱的表示法 3.棱柱的分类 4.棱柱的性质 5.长方体的对角线性质定理