棱柱棱锥的概念和性质
棱柱、棱锥的概念和性质
知能迁移3
如图，四棱锥P—ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角
梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，
PA=AD=DC=2，AB=4. （1）求证：BC⊥PC；
（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD， ∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 .
1 17 OH AG a. 3 17
探究提高
（1）解决空间角度问题，应特别注意垂
直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来
求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质
定理.
证明
（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.
又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.
题型三
棱柱、棱锥中的角和距离
【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和
侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角.
互相平行的面 其余各面
棱柱、棱锥的有关概念及性质 PPT课件 人教课标版
4.三棱锥S-ABC是底面边长为a的正三角形，A
在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心.
(1)证明三棱锥S—ABC是正三棱锥；
(2)设BC中点为D，若
HD 3 ，求侧棱与 HB 4
底面所成的角.
【解题回顾】(1)证明一个三棱锥是正三棱 锥，必须证明它满足正三棱锥的定义. (2)在找线段关系时常利用两个三角形相似.
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56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。
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57、理想的路总是为有信心的人预备着。
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58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。
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59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。
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60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。
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61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
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62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。
13、人生最大的错误是不断担心会犯错。
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14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。
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15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。
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16、心态决定命运，自信走向成功。
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17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。
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18、励志照亮人生，创业改变命运。
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2.正棱锥 (1)概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，且 顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥 叫正棱锥
(2)性质：①各侧棱相等，各侧面都是全等的等
正棱锥的斜高 ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成 一直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧棱在底面
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1.下列四个命题中：
高三数学棱柱棱锥有关概念性质
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深圳代理记账
一、代理记帐的含义 《会计法》第36条明确规定：“不具备设置条件的应当委托经批准设立从事会计代理记帐业务的中介机构代理记帐。”代理记帐是指将本企业的会计核算、记帐、报税等一系列的会计全部委托给专业 成，本企业只设立出纳人员，负责日常货币收支业务和财产保管等。 二、代理记帐的内容 1.审核原始凭证；2.填制会计凭证；3.登记会计帐簿；4.编制会计报表；5.填制纳税申报表和各种税费缴款书；6.纳税申报；7.装订会计凭证；8.财务政策传递；9.日常电话答疑
三、代理记帐的服务方式 代理记帐业务一般分为送达和上门服务两种方式，其中：送达是指将准备好的原始凭证等资料送到代理记帐机构或代理记帐机构派人去住所取资料，在代理记帐机构进行记帐；上门服务是指代理 指派会计人员到住所进行记帐。 四、代理记帐所需资料 1、股东投资款单—银行单据（新成立的）；2、银行回单（包括支票头、银行进账单、电汇单等，支票头请用铅笔填写）；3、银行对帐单（每月初五号左右打上月银行对账单）；4、费用发票（ 租、水电管理费、交通费、通讯费、住宿餐饮、过桥路费、汽油费等）另请留意：超市购物小票请集中换成发票，发票的内容填为办公用品或商品；5、固定资产发票（包括电脑、打印机、办公家 车、房产及单价超过2000元以上的办公用品）6、员工工资表（请注明是否要交个人所得税）7、取得的购进商品成本发票（请在右上角用铅笔注明是用现金、银行存款、应收款等结算方式）；8、 的销售发票（请在右上角用铅笔注明是用现金、银行存款、应收款等结算方式） 幼儿教育加盟
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一、棱柱
1.概念
(1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面围成的几何体叫棱柱
棱柱棱台棱锥知识点总结
棱柱棱台棱锥知识点总结一、棱柱的定义和性质1. 棱柱的定义：棱柱是一个多边形和一个平行于它的平面所围成的几何图形。
2. 棱柱的特征：（1）棱柱的底面是一个多边形，顶面与底面平行，并且顶面的每个点和底面的对应点之间的连线都垂直于底面。
（2）如果底面是正多边形，棱柱就称为正棱柱；如果底面是不规则多边形，棱柱就称为斜棱柱。
（3）棱柱的高等于顶面到底面的距离，底面的面积乘以高就是棱柱的体积。
二、棱台的定义和性质1. 棱台的定义：棱台是由平行多边形和连通它们的矩形棱所围成的空间图形。
2. 棱台的特征：（1）如果底面和顶面都是正多边形，且它们的对边平行，那么这个棱台称为正棱台；如果底面和顶面是正多边形，但它们不一定平行，那么这个棱台称为斜棱台。
（2）棱台的体积等于底面积与高的乘积，而斜棱台的体积还需要乘以一个高与底面中较大边的比值。
三、棱锥的定义和性质1. 棱锥的定义：棱锥是由一个多边形和以它为底的三棱锥棱所围成的几何图形。
2. 棱锥的特征：（1）如果底面是正多边形，棱锥称为正棱锥；如果底面不是正多边形，那么棱锥就称为斜棱锥。
（2）棱锥的体积等于底面积与高的乘积，并除以3。
（3）棱锥的侧棱的延长线与底面平面的交点称为顶点。
四、棱柱、棱台、棱锥的计算公式1. 棱柱的体积公式：V=Sh，其中V表示棱柱的体积，S表示底面的面积，h表示高。
2. 棱台的体积公式：V=(S1+S2+√S1S2)h/3，其中V表示棱台的体积，S1和S2表示底面和顶面的面积，h表示高。
3. 棱锥的体积公式：V=Sh/3，其中V表示棱锥的体积，S表示底面的面积，h表示高。
以上就是关于棱柱、棱台、棱锥的知识点总结，希望对你有所帮助。
如果还有其他问题，欢迎继续提问。
数学中的棱柱与棱锥的性质
数学中的棱柱与棱锥的性质数学中，棱柱与棱锥是常见的立体几何形体。
它们具有一些独特的性质和特点，对于理解和运用立体几何知识都至关重要。
本文将会介绍棱柱和棱锥的定义、性质以及相关的应用。
一、棱柱的定义和性质1. 定义：棱柱是由两个平行且相等的底面，以及连接底面上对应顶点的若干条棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱柱的侧面是由若干条相互平行的线段所组成，这些线段被称为棱。
（2）棱柱的底面是多边形，其边数与侧面棱数相同，并相互平行。
（3）棱柱的高是两个底面之间的垂直距离。
（4）棱柱的体积可以通过底面积和高的乘积计算得到。
二、棱锥的定义和性质1. 定义：棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点与一个非在同一平面上的点的棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱锥的侧面是由底面的边和连接底面顶点与顶点的棱组成。
（2）棱锥的底面是一个多边形。
（3）棱锥的高是从顶点到底面的垂直距离。
（4）棱锥的体积可以通过底面积和高的乘积再除以3计算得到。
三、棱柱和棱锥的应用1. 棱柱的应用：（1）柱体的形状多用于建筑设计，比如柱子、烟囱等。
（2）在计算几何中，柱体的体积计算可以应用到计算物体的容积、质量等问题中。
2. 棱锥的应用：（1）锥体的形状常见于圆锥、塔尖等建筑物的设计。
（2）在几何学和几何光学中，锥体的性质和转光性质有着重要的应用。
总结：通过对数学中棱柱和棱锥的定义、性质以及应用进行了介绍，我们可以更好地理解和运用立体几何知识。
棱柱和棱锥的独特性质和计算方法有助于解决实际问题，并在建筑设计、几何学、几何光学等领域得到广泛应用。
掌握和理解棱柱和棱锥的概念，对于数学学习和应用具有重要意义。
三年级数学认识几何中的棱柱与棱锥
三年级数学认识几何中的棱柱与棱锥几何是数学的一个重要分支，它研究的是图形的形状、大小、相对位置等性质。
在三年级数学学习中，我们开始接触了几何中的一些基本概念，比如点、线、面等。
今天，我们要进一步认识几何，探讨一下棱柱与棱锥这两个重要的几何概念。
一、棱柱的认识及性质1. 棱柱的定义棱柱是一种由两个平行多边形底面围成的立体图形。
棱柱的侧面是由棱连接两个底面的对应顶点所形成的，每条连接两个底面对应顶点的线段被称为棱。
2. 棱柱的性质（1）棱柱的底面是相似的多边形。
（2）棱柱的侧面是矩形。
（3）棱柱的棱和底面垂直。
（4）棱柱的高是连接两个底面的垂直线段。
二、棱锥的认识及性质1. 棱锥的定义棱锥是一种由一个多边形底面和每个底面顶点到一个点（顶点）的直线段所围成的立体图形。
2. 棱锥的性质（1）棱锥的底面是一个多边形。
（2）棱锥的侧面是由棱和顶点连接而成的三角形。
（3）棱锥的高是连接底面重心与顶点的直线段。
三、棱柱与棱锥的区别1. 形状区别棱柱的底面和顶面都是多边形，而棱锥的底面是一个多边形，顶面是一个点。
2. 侧面区别棱柱的侧面是矩形，而棱锥的侧面是三角形。
3. 应用区别棱柱的应用场景较多，比如圆柱、立方体等都属于棱柱的特例。
棱锥的应用场景相对较少，比如一些塔楼的形状就类似于棱锥。
四、实例分析案例一：儿童玩具积木儿童玩具积木常使用棱柱形的积木块，因为棱柱的底面具有平稳的性质，利于稳定玩具结构。
案例二：蛋糕结构蛋糕通常采用棱锥形的结构设计，底面是一个圆形或者椭圆形的多边形，顶部是尖锐的顶点，能够很好地装饰和制作成各种形状。
五、总结通过对棱柱与棱锥的认识，我们了解到它们是几何学中的两个重要概念。
棱柱的底面与顶面都是多边形，而棱锥的顶面是一点。
此外，棱柱的侧面是矩形，而棱锥的侧面是三角形。
我们可以通过实际生活中的例子来更好地理解和应用这些几何概念，比如儿童玩具积木和蛋糕的结构设计等。
因此，在三年级数学学习中，我们需要进一步掌握棱柱与棱锥的形状特征及其性质，通过实际问题的应用，培养我们的几何思维能力。
棱柱、棱锥、棱台的概念和性质
2.棱锥的元素
A B
类比棱柱，给棱锥各元素命名 顶点
C
S
底面
A
由棱柱的一个 底面收缩而成 底面CBFra bibliotekA B
C
侧面
侧面
侧棱 相邻两侧面 的公共边
侧棱 相邻两侧面 的公共边
3.棱锥的性 质
观察下列棱锥，归纳它们的底面和侧面各有什么特征？
在同一个棱锥中的各个侧面三角形有什么共同特征?
棱锥的性质： ①底面是多边形(如三角形、四边形、五边形等）
E D A B C A1 C1 E1 D1
B1
5.右图中的几何体
是不是棱台？为什
么？
6.多面体至少有几个面？这个多面体是怎样
的几何体？
5 个. 7.棱柱的面至少有_____
回顾反思
线段 平行四边形
平面多边形 棱柱
三角形
棱锥
梯形
棱台
几何体
侧棱
图形
底面
两个底面是全等 的多边形且对应 边互相平行相等
1
1
1
}
}
所以△MNP≌△ABC (SSS)
过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
已知：四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1 求证：截面AA1 C1 C是平行四边形 证明：四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1 D AA1∥ = C1 C A 截面AA1 C1 C 是平行四边形 D1
A1 B1
C
B
应用三垂线定理
教 学 参 考 ——一题多解
M 是底 例1 已知正三棱柱ABC A B C 的各棱长都为1，
1
面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC 上的点，且CN CC， 4 求证：AB MN 。 C 的中点G, 由 解2：直角坐标法 。 取 Bⅱ ^ BC, 已知条件和正三棱柱的性质，得 AM Z A' 如图建立坐标系。则 1 1 3 1 ¢ B' C' M (0, 0, 0, ), N (0, , ), A(, 0, 0), B (0, - ,1), G 2 4 2 2
棱柱、棱锥的概念和性质
（3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
2
又∴得M平N面t∥aPnABCD⊥，P平∴C面MANPM⊥N平2.2面. PAC.
设MN∩AC=Q，连结PQ， 则平面PAC∩平面PMN=PQ. 作OH⊥PQ，垂足为H， 则OH⊥平面PMN， OH的长即为O到平面PMN的距离， 作AG⊥PQ于G. 在Rt△PAQ中，PA=a,
AQ 3 AC 3 2 a,
4
4
PQ 34 a. AG PA AQ 3 17 a.
4
PQ 17
OH 1 AG 17 a.
3
17
探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来 求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角. （1）求PC与BD所成的角； （2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离.
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
高考数学总复习 9.6棱柱、棱锥的概念和性质课件 人教
考点
考纲要求
考查角度
棱柱、棱 棱柱、棱 理解棱柱、棱锥的 棱柱、棱锥的截面
锥的概念 锥的概念 概念和性质；能正 特征；线面位置关
及性质 及性质； 确画出直棱柱、正 系的计算与证明；
直棱柱、 棱柱的直观图；会 有关棱柱、棱锥的
正棱柱的 解决棱柱的直截面 概念的判断及性质
积是S直棱柱侧＝ch. ②斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧
棱都相交的的体积等于它的底面积S乘以高h，即V棱柱＝Sh. ①一般地，V柱体＝Sh，其中S是底面积，h是高． ②V长方体＝abc，其中a、b、c是长方体的长、宽、高； V正方体＝a3，其中a为棱长．
体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体； ⑤底面是正方形的长方体是正四棱柱． 其中真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：命题①不正确，因为侧棱不一定垂直于底面；②不正 确，因为底面有可能是菱形；③不正确，因为有两条侧棱 垂直于底面一边，可以得到相对的两侧面是矩形，不能得 出侧棱与底面垂直；④正确，由对角线相等，可得出平行 六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，所以 是直平行六面体；⑤正确，长方体是直四棱柱，再加上底 面是正方形，所以是正四棱柱．
②若体对角线与相交于一点的三个面所成的角分别为α、β、 γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2；sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1.
(5)由于长方体本身的特点，较容易建立空间直角坐标系，因 此，利用空间向量求解与长方体有关的问题较为简单．
二、棱锥
1．棱锥
有一个面是
，其余各面是有一个公共顶点的 ，
这些面围成的几多何边体形叫做棱锥．
棱柱与棱锥的性质与判定
棱柱与棱锥的性质与判定棱柱和棱锥是几何学中常见的立体图形，它们在形状和性质上有着一些明显的区别。
本文将介绍棱柱和棱锥的特点，并讨论如何对它们进行判定。
一、棱柱的性质与判定棱柱是由两个相等且平行的多边形底面以及连接底面相对顶点的侧面组成的立体图形。
棱柱的性质如下：1.底面特征：棱柱的底面是相同的多边形，可以是三角形、四边形、五边形等等。
底面的形状决定了棱柱的名字，例如三角形底面的棱柱叫做三棱柱，四边形底面的棱柱叫做四棱柱，以此类推。
2.侧面特征：棱柱的侧面是由连接底面相对顶点的边所组成的。
所有的侧面都是平行并且相等的。
3.顶点连接：棱柱的顶面是由连接底面相对顶点的线段所组成的。
顶面和底面平行，并且相等。
对于给定的图形，我们可以通过以下判定条件来判断其是否为棱柱：1.底面：首先，确定图形的底面是否是相同的多边形。
2.侧面：然后，检查图形的侧面是否由连接底面相对顶点的边组成，并且侧面之间是否平行且相等。
3.顶点连接：最后，确认图形的顶面是由连接底面相对顶点的线段组成的，并且顶面和底面平行且相等。
如果以上条件都满足，则可以确定该图形为棱柱。
二、棱锥的性质与判定棱锥是由一个多边形底面以及连接底面顶点到一个顶点的侧面线段组成的立体图形。
棱锥的性质如下：1.底面特征：棱锥的底面是一个多边形，可以是三角形、四边形、五边形等等。
2.侧面特征：棱锥的侧面是由连接底面顶点到顶点的线段组成的。
所有的侧面都会汇聚在顶点处。
3.顶点连接：棱锥的顶点是连接底面顶点到顶点的线段的终点。
对于给定的图形，我们可以通过以下判定条件来判断其是否为棱锥：1.底面：首先，确定图形的底面是否为一个多边形。
2.侧面：然后，检查图形的侧面是否由连接底面顶点到顶点的线段组成。
3.顶点连接：最后，确认图形的顶点是连接底面顶点到顶点的线段的终点。
如果以上条件都满足，则可以确定该图形为棱锥。
总结：通过对棱柱和棱锥的性质与判定进行了分析，我们可以清楚地区分它们。
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知能迁移3 如图，四棱锥P—ABCD中， PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角 梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°， PA=AD=DC=2，AB=4.
（1）求证：BC⊥PC； （2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值； （3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD，
所以
AF
2 6，即点A到平面PBC的距离为 3
2
3
6
.
题型四 棱柱、棱锥的体积和面积
【例4】（12分）如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形， 其中BD是圆的直径， ∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP∽△BAD. （1）求线段PD的长； （2）若PC= 11R,求三棱锥P-ABC的体积. 思维启迪 解答本题时求线段PD的长只需利用 △ADP与△BAD相似即可求出，而求三棱锥P— ABC的体积需先证明PD⊥平面ABC，即PD为三棱 锥的高即可求解.
∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 . 取AB的中点E，连结CE，由题意 可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2.
又 BE 1 AB 2, 2
所以 CE 1 AB . 2
则△ABC为等腰直角三角形，
所以AC⊥BC. 又因为PA⊥平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内 的射影，BC 平面ABCD，由三垂线定理得BC⊥PC. （2）解 由（1）可知，BC⊥PC，BC⊥AC， PC∩AC=C， 所以BC⊥平面PAC. 又因为PC是PB在平面PAC内的射影， 所以∠CPB是PB与平面PAC所成的角. 又CB=2 2 ，PB2=PA2+AB2=20，
高积的一半 .
（2）全面积等于侧面积与底面积之和，即S全= S侧 + S底 .
基础自测
1.以下命题中正确的是
（ C）
A.有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面
都是平行四边形的多面体是棱柱
B.有一个面是多边形，其他面都是三角形的多面
体是棱锥
C.有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D.长方体一定是正四棱柱
为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下5
个命题中：
①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等
或互补；
③底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥；
④底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥；
⑤等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上.
其中真命题为
（写出所有真命题的序号）.
思维启迪 结合“等腰四棱锥”的概念，逐一进行 判断. 解析 ①真.因为“等腰四棱锥”四条侧棱长都相 等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上 的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面 所成的角都相等； ②假.如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在 底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰 四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不 都相等或互补.故是假命题； ③假.如当底面是正方形时，底面四边形存在外接 圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个 四棱锥显然不是“等腰四棱锥”；
2.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（ B） A.棱柱有一条侧棱与底面垂直
B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直
C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直
D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直
3.已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为
24，则这个长方体的一条对角线长为
（C）
A . 2 3 B .14 C . 5 D . 6
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
解 （1）∵侧面PAB和侧面PAD都垂直于底面AC， 且两侧面交于PA，∴PA⊥底面AC. 又BD⊥AC，∴BD⊥PC， 即PC与BD所成的角为90°. （2）∵PA⊥底面AC， ∴∠PCA是PC与底面AC所成的角，∠PBA为PB与底 面AC所成的角. ∴在Rt△PAB中，PA=AB=a，∴AC= 2 a， 得tanPCA 2.
∴PB=2 5 ，sin∠CPB= 10 , 5
即PB与平面PAC所成角的正弦值为 10 . 5
（3）解 由（2）可知，BC⊥平面PAC，BC
平面
PBC,
所以平面PBC⊥平面PAC.
过A点在平面PAC内作AF⊥PC于F，
所以AF⊥平面PBC.
则AF的长即为点A到平面PBC的距离.
பைடு நூலகம்
在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2 2 ，PC=2 3 ，
题型二 棱柱、棱锥中的平行与垂直
【例2】如图所示，在直三棱柱ABC— A1B1C1中，∠ACB=90°,AB=2,BC=1, AA1= 3 .
（1）证明：A1C⊥平面AB1C1； （2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点
E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理；
如图所示，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE， ∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点, ∴EF∥AB1. ∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1. ∵EF∩FD=F，∴平面EFD∥平面AB1C1. ∵DE 平面EFD，∴DE∥平面AB1C1. 探究提高 在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面 的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与 性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确 把握.如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊 梯形的使用等.
2 （3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
又MN∥BD，∴MN⊥平面PAC. ∴平面PAC⊥平面PMN.
设MN∩AC=Q，连结PQ，
则平面PAC∩平面PMN=PQ.
作OH⊥PQ，垂足为H，
则OH⊥平面PMN，
OH的长即为O到平面PMN的距离，
作AG⊥PQ于G.
在Rt△PAQ中，PA=a, AQ3AC3 2a,
棱柱、棱锥的概念和性质
要点梳理
1.棱柱、棱锥的定义
平行 平行
多边形 有一个公共顶 点
互相平行的面
多边形
两个侧面的公共边
侧面与底面的公共
顶点
各侧面的公共顶点
两个底面所在平面 顶点到底面所在平面的
的公垂线段
垂线段
2.棱柱、棱锥的性质
平行四边形
三角形
与底面全等的 与底面相似的多边形 多边形
3.四棱柱的一些常用性质 （1）平行六面体的四条对角线 交于一点 且在 该点 互相平分 ； （2）直棱柱的 侧棱长 与高相等，直棱柱的侧面及 过 不相邻两条侧棱 的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与 底面 垂直； （3）正四棱柱与正方体的底面都是 正方形 ，正方 体的侧面和底面都是 正方形 ； （4）长方体的 一条对角线长的平方 等于同一个顶 点上三条棱长的 平方和 .
4
4
PQ 34a.AGPAAQ3 17a.
4
PQ 17
OH1AG 17a. 3 17
探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来 求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角. （1）求PC与BD所成的角； （2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离. 思维启迪 在（3）中，关键是确定O在平面PMN中 的射影的位置，故最好能找到过O且垂直于平面 PMN的平面，而平面PAC正是我们需要的平面.
若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所
成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ= ；1
若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所
成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ= 2.
4.正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究 对象 (1)定义： 底面是 正多边形 ，并且顶点在底面上的射影是底 面的 中心 ，这样的棱锥叫做 正棱锥 . (2)性质： ①侧面是 全等的等腰三角形，与底面所成二面角 均 相等 ； ②侧棱均 相等 ，侧棱与底面所成的角均 相等 ； ③平行于底面的截面也是 正多边形 ；纵截面是 等 腰三角形 ； ④正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面 外接圆半径、底面内切圆半径.
棱到与它相对的面之间的距离为
（ D）
A . 1 B .2 C .3 D .6
解析 由体积公式V=Sh可得底面积为S V 2 3, h
若设底面三角形的边长为a，则有 3a2 2 3, 所 4
以a=2 2 ，故侧棱到相对面的距离为 3 a 6. 2
题型一 棱柱、棱锥的概念和性质
【例1】 如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它
4.（2009·陕西文，11）若正方体的棱长为2，则以
该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积