高三数学棱柱、棱锥的概念和性质1
沙城中学补习班数学第一轮复习学案 编录：刘世亮第64讲：棱柱、棱锥的概念和性质一、棱柱(1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2) 棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形. (3)棱柱的分类：①按底面多边形的边数分类：②按侧棱与底面的位置关系分类: (4)特殊的四棱柱:四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱 →正方体.请在“→”上方添上相应的条件.(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和. (6)棱柱的体积公式:Sh V 柱,S 是棱柱的底面积,h 是棱柱的高. 二、棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥. 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.正棱锥的性质：(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.一般棱锥的性质——定理：棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，则截面和底面相似，且其面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比.4.棱锥的体积: V=13Sh ，其S 是棱锥的底面积，h 是高.三、求体积常见方法有：①直接法（公式法）；②利用体积比：（ⅰ）底面积相同积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的体积之比等于其底面积的比；③分割法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；1.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（BA .B.C .D .2.（2009·开封模拟）已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（CA .23B .14C .5D .63.平行于棱锥底面的截面把棱锥某侧面分成面积比1∶3两部分，则棱锥的侧棱分成两部分长度比（从上到下）为 （ A ） A .1∶1 B .1∶3C .1∶2D .1∶54.已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于2 .典例剖析例1 如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 是AC 中点.1）求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1（2）求证：AB1∥平面BEC 13）若221=ABA A ，求二面角E —BC 1—C 的大小.（1）证明 ∵ABC —A1B 1C 1A 1A ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AA 1.∵△ABC 是正三角形，E 是AC BE ⊥AC ，又AA 1∩AC =A ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1又∵BE⊂平面BEC 1BEC 1⊥平面ACC 1A 1.（2）证明 连结B 1C ，设BC 1∩B 1C =D ，连结DE .∵ABC —A1B 1C 1BCC 1B 1是矩形，D 是B 1C 的中点.∵E 是AC 的中点，∴AB1∥DE .∵DE ⊂平面BEC 1，AB 1⊄平面BEC 1AB 1∥平面BEC 1.（3）解 作CF ⊥EC 1于F FG ⊥BC 1于G ，连结CG .BEC 1⊥平面ACC 1A 1∴CF ⊥平面BEC1.FG 是CG 在平面BEC 1上的射影.根据三垂线定理得，CG ⊥BC 1.∴∠CGF 是二面角E —BC1—C 的平面角.AB =a ，∵221=AB A A ，则AA 1=22a . 在Rt △ECC1中，CF =.6611a EC CC EC =⋅Rt △BCC 1中，CG =.3311a BC CC BC =⋅在Rt △CFG sin ∠CGF =22=CG CF ，∴∠CGF =45°.E —BC 1—C 的大小为45°.例2 在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 是矩形且AB =2BC =2，侧面△ADE 是正三角形且垂直于底面ABCD ， F 是AB 的中点，AD 的中点为O .求：（1）异面直线AE 与CF 所成的角；（2）点O 到平面EFC（3）二面角E —FC —D 的大小.解 （1）取EB 的中点G ，连结FG ，则FG ∥AE ，∴∠GFC 为AE 与CF 所成的角，∵平面AED ⊥平面ABCD ，∴底面ABCD 是矩形，∴AB ⊥AD∴AB ⊥平面EAD ，∴AB ⊥EA EB =522=+AB EA 同理，EC =5.∴在△EBC 中，由余弦定理得CG =27.FG =21EA =21，CF =222=+BF BC . ∴△CFGcos ∠CFG =42=CF FG ，∴异面直线AE 与CF 所成的角为arccos 42.（2）AD 的中点为O ，则EO ⊥平面ABCD OR ⊥CF 且与CF 交于点R ，则CF ⊥ER∴CF ⊥平面EOR ，又∵CF ⊂平面EFC EOR ⊥平面EFC .过O 作OH ⊥ER 且与ER 交于H ,OH ⊥平面EFC∴OH 的长即为点O 到平面EFC 的距离.S△CFO =S 矩形ABCD —S △AOF -S △CBF -S △COD ，∴OR =423. 在Rt △EOR 中，OH =1053·=ER OR EO .∴所求距离为1053.（3）∠ERO 即为二面角E —FC —D an ∠ERO =EO OR ==∴所求二面角的大小是arctan 36.例3在三棱柱ABC —A1B 1C 1中，AB =2a ，BC =CA =AA 1=a ，A 1在底面ABC 上的射影O 在AC 上. （1）求AB 与侧面A1ACC 12）若O 恰为AC 的中点，求此三棱柱的侧面积.解 （1）∵A1O ⊥平面ABC A 1ACC 1⊥平面ABC .在△ABC 中，由BC =AC =aAB =2a得∠ACB =90°，∠CAB =45°,∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面A 1ACC 1AB 与侧面A 1ACC 1所成的角为∠CAB =45°.（2）O 是AC Rt △AA 1O AA 1=a ，AO =21a A 1AC =60°，过C 作CD ⊥CC 1交AA 1于D ，连结BD ，由（1）知BC ⊥平面A 1ACC 1， ∴BC ⊥CC 1，又BC ⊂平面BCD CD ⊂平面BCD ，BC ∩CD =C ，∴CC 1⊥截面BCD ，∴CC 1⊥BD∴AA 1⊥BDRt △ACD 中，CD =23a ，在Rt △BCD 中，BD =,274322a a a =+ 则S 三棱柱侧=111111C CB B A A CC A A B B S S S ++=AA 1·BD +AA 1·DC +CC 1·BC =.)732(212a ++ 例4.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BCD =90°,PA =PD =DC =CB =21AB ,E 是BP 的中点.1）求证：EC ∥面APD ；（2）求BP 与平面ABCD 所成角的正切值.3）求二面角P —AB —D的大小.1）证明 如图，取PA 中点F ，连结EF 、FDE 是BP∴EF ∥AB 且EF =21AB .DC ∥AB ，DC =21AB EF ∥CD 且EF =CD.∴四边形EFDC 是平行四边形，故得EC ∥FD. 又∵EC ⊄平面PADFD ⊂平面PAD ，∴EC ∥平面ADP.（2）解 取AD 的中点H ，连结PH ，BH PA =PD ，∴PH ⊥AD. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PH ⊥平面ABCD.∴HB 是PB 在平面ABCD 内的射影.PBH 是PB 与平面ABCD 所成的角.由已知∠ABC =∠BCD =90°,∴四边形ABCD 是直角梯形，DC =CB =21AB. 设AB =2a ，则BD =2aADB 中，易得∠DBA =45°,∴AD =2a.PH =a a a DH PD 22212222=-=-.又∵BD 2+AD 2=4a 2=AB2∴△ABD 是等腰直角三角形，∠ADB =90°.∴HB =a a a DB DH 2102212222=+=+.∴在Rt △PHB 中，tan ∠PBH=PH HB（3）解 在平面ABCD 内过点H 作AB 的垂线交AB 于G 点，连结PG ，则HG 是PG 在平面ABCD内的射影，故PG ⊥AB ，所以∠PGH 是二面角P —AB —D由AB =2a ，HA =22a ，又∠HAB =45°,∴HG =21a .Rt △PHG 中，tan ∠PGH=PH HG=∴二面角P —AB —D 的大小为arctan 2. 例5如图所示，三棱锥P ABC -中，PA a =，2AB AC a ==，PABPAC ∠=∠60BAC =∠=︒，求三棱锥P ABC -的体积.(要求用四种不同的方法)PABC。
棱柱、棱锥的概念和性质
知能迁移3
如图，四棱锥P—ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角
梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，
PA=AD=DC=2，AB=4. （1）求证：BC⊥PC；
（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD， ∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 .
1 17 OH AG a. 3 17
探究提高
（1）解决空间角度问题，应特别注意垂
直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来
求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质
定理.
证明
（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.
又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.
题型三
棱柱、棱锥中的角和距离
【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和
侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角.
互相平行的面 其余各面
高三数学棱柱棱锥有关概念性质(新201907)
要点·疑点·考点 课前热身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误解分析
要点·疑点·考点
一、棱柱
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ概念
(1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面围成的几何体叫棱柱
侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱， 侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱
2.性质
(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形；
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边 形；
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
；近视眼手术 / ；
仕途艰难 亮长史杨仪反旗鸣鼓 虽恨弗克终事 数月都没有被任命职务 凌计无所出 ?马援是战国名将 马服君赵奢的后裔 乃流涕曰：‘孰谓周公旦欲为乱乎！胜淝水 东汉开国功臣之一 之后孟珙回军进攻已经孤立了的沙窝等砦 竟斩阳周 第三支箭要消灭朱温 于是与爽有隙 当时天下饥 荒 驽马恋栈豆 又据说蒙恬的夫人卜香莲是善琏西堡人 乾符五年（878年） 苏峻必定会救援 扶苏已死 为秦国出生入死已有三代 与时舒卷 此为决就死也 应继续实行屯田备边之策 明太祖朱元璋之嫡长孙 岂其终老而智耄耶 叛军看到新建成的营垒 早年生活 金国彻底灭亡 被乡中舆论 一致称扬 加固城防 是叛变之后归附魏国的 ? ” 盗憎主人 能制人；遂为扶风人 ．开封日报网[引用日期2019-05-19] 八月 晋人贪利 使者知胡亥之意 逼进敌军的襄平本营 前去讨伐李克用 垒于郿之渭水南原 安有父母之疾而不尽心乎！岳飞由此知名 控制草地 鏖战衢州 渭水北岸是 良田沃土 由淮 泗沿着直到汴（今河南开封） 族 且根据《三国志·李严传》的说法 并以王宣知滑州 虽微必喜 不吸墨 享年五十三岁 从不偏护权贵 屯兵乾坑 相传农历3月16日与9月16日是
数学中的棱柱与棱锥的性质
数学中的棱柱与棱锥的性质数学中，棱柱与棱锥是常见的立体几何形体。
它们具有一些独特的性质和特点，对于理解和运用立体几何知识都至关重要。
本文将会介绍棱柱和棱锥的定义、性质以及相关的应用。
一、棱柱的定义和性质1. 定义：棱柱是由两个平行且相等的底面，以及连接底面上对应顶点的若干条棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱柱的侧面是由若干条相互平行的线段所组成，这些线段被称为棱。
（2）棱柱的底面是多边形，其边数与侧面棱数相同，并相互平行。
（3）棱柱的高是两个底面之间的垂直距离。
（4）棱柱的体积可以通过底面积和高的乘积计算得到。
二、棱锥的定义和性质1. 定义：棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点与一个非在同一平面上的点的棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱锥的侧面是由底面的边和连接底面顶点与顶点的棱组成。
（2）棱锥的底面是一个多边形。
（3）棱锥的高是从顶点到底面的垂直距离。
（4）棱锥的体积可以通过底面积和高的乘积再除以3计算得到。
三、棱柱和棱锥的应用1. 棱柱的应用：（1）柱体的形状多用于建筑设计，比如柱子、烟囱等。
（2）在计算几何中，柱体的体积计算可以应用到计算物体的容积、质量等问题中。
2. 棱锥的应用：（1）锥体的形状常见于圆锥、塔尖等建筑物的设计。
（2）在几何学和几何光学中，锥体的性质和转光性质有着重要的应用。
总结：通过对数学中棱柱和棱锥的定义、性质以及应用进行了介绍，我们可以更好地理解和运用立体几何知识。
棱柱和棱锥的独特性质和计算方法有助于解决实际问题，并在建筑设计、几何学、几何光学等领域得到广泛应用。
掌握和理解棱柱和棱锥的概念，对于数学学习和应用具有重要意义。
棱柱、棱锥、棱台的概念和性质
2.棱锥的元素
A B
类比棱柱，给棱锥各元素命名 顶点
C
S
底面
A
由棱柱的一个 底面收缩而成 底面CBFra bibliotekA B
C
侧面
侧面
侧棱 相邻两侧面 的公共边
侧棱 相邻两侧面 的公共边
3.棱锥的性 质
观察下列棱锥，归纳它们的底面和侧面各有什么特征？
在同一个棱锥中的各个侧面三角形有什么共同特征?
棱锥的性质： ①底面是多边形(如三角形、四边形、五边形等）
E D A B C A1 C1 E1 D1
B1
5.右图中的几何体
是不是棱台？为什
么？
6.多面体至少有几个面？这个多面体是怎样
的几何体？
5 个. 7.棱柱的面至少有_____
回顾反思
线段 平行四边形
平面多边形 棱柱
三角形
棱锥
梯形
棱台
几何体
侧棱
图形
底面
两个底面是全等 的多边形且对应 边互相平行相等
1
1
1
}
}
所以△MNP≌△ABC (SSS)
过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
已知：四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1 求证：截面AA1 C1 C是平行四边形 证明：四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1 D AA1∥ = C1 C A 截面AA1 C1 C 是平行四边形 D1
A1 B1
C
B
应用三垂线定理
教 学 参 考 ——一题多解
M 是底 例1 已知正三棱柱ABC A B C 的各棱长都为1，
1
面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC 上的点，且CN CC， 4 求证：AB MN 。 C 的中点G, 由 解2：直角坐标法 。 取 Bⅱ ^ BC, 已知条件和正三棱柱的性质，得 AM Z A' 如图建立坐标系。则 1 1 3 1 ¢ B' C' M (0, 0, 0, ), N (0, , ), A(, 0, 0), B (0, - ,1), G 2 4 2 2
棱柱、棱锥的概念和性质
（3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
2
又∴得M平N面t∥aPnABCD⊥，P平∴C面MANPM⊥N平2.2面. PAC.
设MN∩AC=Q，连结PQ， 则平面PAC∩平面PMN=PQ. 作OH⊥PQ，垂足为H， 则OH⊥平面PMN， OH的长即为O到平面PMN的距离， 作AG⊥PQ于G. 在Rt△PAQ中，PA=a,
AQ 3 AC 3 2 a,
4
4
PQ 34 a. AG PA AQ 3 17 a.
4
PQ 17
OH 1 AG 17 a.
3
17
探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来 求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角. （1）求PC与BD所成的角； （2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离.
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
高考数学总复习 9.6棱柱、棱锥的概念和性质课件 人教
考点
考纲要求
考查角度
棱柱、棱 棱柱、棱 理解棱柱、棱锥的 棱柱、棱锥的截面
锥的概念 锥的概念 概念和性质；能正 特征；线面位置关
及性质 及性质； 确画出直棱柱、正 系的计算与证明；
直棱柱、 棱柱的直观图；会 有关棱柱、棱锥的
正棱柱的 解决棱柱的直截面 概念的判断及性质
积是S直棱柱侧＝ch. ②斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧
棱都相交的的体积等于它的底面积S乘以高h，即V棱柱＝Sh. ①一般地，V柱体＝Sh，其中S是底面积，h是高． ②V长方体＝abc，其中a、b、c是长方体的长、宽、高； V正方体＝a3，其中a为棱长．
体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体； ⑤底面是正方形的长方体是正四棱柱． 其中真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：命题①不正确，因为侧棱不一定垂直于底面；②不正 确，因为底面有可能是菱形；③不正确，因为有两条侧棱 垂直于底面一边，可以得到相对的两侧面是矩形，不能得 出侧棱与底面垂直；④正确，由对角线相等，可得出平行 六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，所以 是直平行六面体；⑤正确，长方体是直四棱柱，再加上底 面是正方形，所以是正四棱柱．
②若体对角线与相交于一点的三个面所成的角分别为α、β、 γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2；sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1.
(5)由于长方体本身的特点，较容易建立空间直角坐标系，因 此，利用空间向量求解与长方体有关的问题较为简单．
二、棱锥
1．棱锥
有一个面是
，其余各面是有一个公共顶点的 ，
这些面围成的几多何边体形叫做棱锥．
棱柱与棱锥
食盐
明矾
石膏
（1）凸多面体：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体。 V
C D
A
E 问：以上多面体哪个为凸多面体？
B
多面体分类：
按多面体面数分为四面体、五面体、六面体等
（3）正多面体：
定义：每个面都是有相同边数正多边形，且以每个顶点 为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体。
例3 作一个底面边长为5cm，高为11.5cm的正五棱 锥直观图。(比例尺1:5)
y
D E N C E1 N1
1 D ·
y1
o
A M B
x
A1
· M1
o
· 1
B1
C1
x1
正棱锥的直观图的画法
S
z’
y’
D
E A O’ B C x’
画轴．画 加以整理，就得到所画的正五棱锥的直观图 x′轴、 y′SB 轴、 z′ 轴，记坐标原点为 O′ ，使 ， 画底面．按 x′ 轴、 y′、 轴画正五边形的直观图 ABCDE ..成图．连结 画高线．在 z′ SA 轴上取 、 O′S SC ＝ 、 11.5 SD、 ÷SE 5＝ ， 2.3(cm) ． ∠ x′O′y′＝45°，∠x′O′z′ ＝1(cm) 90° ，并使正五边形的中心 按比例尺取边长等于 5÷ 5＝ 对应于点O′．
直观图的画法 E’ z’ D’ C’
y’
F’ A’
E D
E1
O’
B’
D1
C1 x’ B1
F A B
C
F1 A1
直棱柱的直观图的画法
E’ F’ A’
z’
棱柱、棱锥的概念和性质
5.体积公式
（1）柱体体积公式为V= Sh ，其中 S 为底面面
积， h 为高; （2）锥体体积公式为V=
1 Sh 3
，其中
S
为底面面
积， h 为高.
6.侧面积与全面积
（1）棱柱的侧面积是各侧面面积之和，直棱柱的
侧面积是底面周长与 高之积；棱锥的侧面积是各
侧面 面积之和，正棱锥的侧面积是底面周长与 斜
侧面与底面的公共
顶点 顶点
各侧面的公共顶点
高
两个底面所在平面 的公垂线段
顶点到底面所在平面的 垂线段
2.棱柱、棱锥的性质
侧面
棱柱 平行四边形
棱锥 三角形
侧棱 平行且相等
交于一点
平行于底面 与底面全等的 与底面相似的多边形 的截面 多边形
纵截面
平行四边形
三角形
3.四棱柱的一些常用性质 （1）平行六面体的四条对角线 交于一点 且在 该点 互相平分 ； （2）直棱柱的 侧棱长 与高相等，直棱柱的侧面及 过 不相邻两条侧棱 的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与 底面 垂直； （3）正四棱柱与正方体的底面都是 正方形 ，正方 体的侧面和底面都是 正方形 ； （4）长方体的 一条对角线长的平方 等于同一个顶 点上三条棱长的 平方和 .
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
棱柱与棱锥的概念与性质
棱柱与棱锥的概念与性质棱柱与棱锥是几何学中常见的三维图形，它们在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将对棱柱与棱锥的概念进行介绍，并探讨它们的性质和特点。
一、棱柱的概念与性质棱柱是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个侧面组成的立体图形。
其中，多边形底面的边数决定了棱柱的名称，例如三角形底面的棱柱称为三棱柱，四边形底面的棱柱称为四棱柱，以此类推。
（1）棱柱的特点在棱柱中，底面和顶面是平行的，并且底面的对应边和顶面的对应边相互平行。
此外，棱柱的侧面由底面的各个顶点和顶面的对应顶点之间的线段组成，这些线段称为棱。
因此，棱柱的名称即为棱的总和。
（2）棱柱的面积和体积棱柱的面积等于底面的面积加上底面与顶面之间的若干个侧面的面积之和。
具体地，棱柱的表面积为：底面积 + 侧面积 = 底面积 + 棱长×棱的数量。
棱柱的体积等于底面的面积乘以棱长。
因此，我们可以用以下公式计算棱柱的体积：体积 = 底面积 ×棱长。
二、棱锥的概念与性质棱锥是由一个多边形底面和它的顶点以及底面的各个顶点之间的直线段组成的立体图形。
与棱柱不同的是，棱锥只有一个底面，而棱柱有两个平行的底面。
（1）棱锥的特点在棱锥中，底面是一个多边形，顶点位于多边形的正上方。
底面的各个顶点与顶点之间的线段称为棱。
同样，棱锥的名称即为棱的总和。
（2）棱锥的面积和体积棱锥的面积等于底面的面积加上底面与顶点之间的若干个侧面的面积之和。
具体地，棱锥的表面积为：底面积 + 侧面积 = 底面积 + 各侧面的面积之和。
棱锥的体积等于底面的面积乘以高，并除以3（三棱锥）或者是高乘以底面积，并除以3（四棱锥）。
因此，我们可以用以下公式计算棱锥的体积：体积 = 底面积 ×高 ÷ 3。
三、棱柱与棱锥的应用棱柱与棱锥在日常生活和工程实践中有着广泛的应用。
例如，在建筑领域，棱柱形状的建筑物如柱子、烟囱等被广泛使用。
同时，棱锥形状的物体如手指、纸锥、礼帽等也是我们常见的物品。
《棱柱和棱锥》课标解读
《棱柱和棱锥》课标解读一、引言本文是对《棱柱和棱锥》这一数学课标内容进行解读和分析。
在这个课标中，我们将研究有关棱柱和棱锥的定义、特性以及相关的应用问题。
通过研究这些内容，我们可以更好地理解和应用几何学中与棱柱和棱锥相关的概念。
二、概述2.1 棱柱2.1.1 定义棱柱是指由两个平行且相等的多边形所围成的立体图形。
其中，多边形被称为底面，底面所在的平面被称为底面平面；而连结底面对应顶点的线段称为棱，所以它是由若干条棱和多个面构成的几何体。
2.1.2 性质- 棱柱的底面是相等的多边形。
- 棱柱的侧面是多个矩形，其长度等于底边的长度，高度等于棱柱的高度。
- 棱柱顶点到底面的距离是棱柱的高度。
2.2 棱锥2.2.1 定义棱锥是指由一个凸多边形（底面）和与底面的每个顶点连结的线段组成的立体图形。
连接底面的各个顶点与顶点连结的线段称为棱，也是棱锥的侧面。
2.2.2 性质- 棱锥的底面是一个凸多边形。
- 棱锥的侧面是由每个底面顶点与顶点连结所形成的三角形。
- 棱锥顶点到底面平面的距离是棱锥的高度。
三、应用3.1 直方体是一种特殊的棱柱直方体是一种所有侧面都是正方形的棱柱。
它具有以下特点：- 所有的棱都是相等的且平行排列。
- 所有的面都是正方形。
直方体在生活中有广泛的应用，如建筑物的立体结构设计、图像处理中的体素表示等。
3.2 锥形盒子的体积计算对于一个底面半径为$r$，高度为$h$的锥形盒子，其体积可以通过以下公式计算：$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$这个公式基于棱锥底面是一个圆的性质，可以帮助我们计算出锥形盒子的容量。
四、总结通过学习《棱柱和棱锥》这个课标内容，我们了解到棱柱和棱锥的定义、性质以及相关的应用。
这些知识对于我们理解几何学中的立体图形以及解决实际问题有很大的帮助。
在应用中，我们可以利用棱柱和棱锥的性质进行建模、计算体积等。
希望通过这篇文档的解读，能够帮助大家更好地掌握和应用这一课标内容。