2017届技能高考数学测试题(三角函数)
高考数学三角函数大题
三角函数大题真题感悟【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为（1）求sinBsinC ；（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长【2016，17】的内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．(1)若PB ＝，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．23sin aAABC C B A ,,c b a ,,c A b Ba C )cos cos (cos 2C 7cABC 233ABC 312【2012，17】已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，．（1）求A；（2）若，△ABC的面积为，求，．[微题型1]三角形基本量的求解【例2－1】(2016·四川卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos Aa＋cos Bb＝sin Cc.(1)证明：sin Asin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tan B.a b ccos3sin0a C a Cb c2a3b c[微题型2]求解三角形中的最值问题【例2－2】(2016·淄博模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且acos C ＋3asin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.[微题型3]解三角形与三角函数的综合问题【例2－3】(2016·四川成都诊断二)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx)，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f(x)＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f(B)＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值.【训练2】(2016·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小.1.(2016·北京卷)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac.(1)求角B的大小；(2)求2cos A＋cos C的最大值.2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin Bsin C 的值.3.(2015·山东卷)设f(x)＝sin xcos x －cos 2x ＋π4.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若f A2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.4、（陕西高考）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c（1）若,,a b c 成等差数列，证明：sin sin 2sin A C A C（2）若,,a b c 成等比数列，求cos B 的最小值【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为（1）求sinBsinC ；（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长【解析】（1）面积．且，，，由正弦定理得，由得．（2）由（1）得，，，，又，，，，由余弦定理得①由正弦定理得，，②由①②得，，即周长为．【2016，17】的内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．【解析】⑴，由正弦定理得：，∵，，∴∴，，∵，∴⑵由余弦定理得：，，，∴，∴，∴周长为【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.23sin aA∵ABC △23sin aSA1sin 2Sbc A ∴21sin 3sin 2abc A A∴223sin 2abc A ∵223sin sin sin sin 2AB C A sin 0A 2sin sin 3B C2sin sin 3B C1cos cos 6B C∵πAB C ∴1cos cos πcos sin sinC cos cos 2AB C B C B B C∵0πA，∴60A 3sin 2A1cos 2A 2229abcbc sin sin a b B Asin sin a cC A∴22sin sin 8sin abcB C A33bc∴333abcABC △333ABC C B A ,,c b a ,,c A b B a C )cos cos (cos 2C 7cABC 233ABC 2cos cos cos C a Bb Ac2cos sin cos sin cos sin C A B B A C 2cos sin sin C A BC πABC 0πA B C 、、，sin sin 0ABC2cos 1C1cos 2C0πC，π3C2222cos c abab C 221722abab237a b ab 1333sin 242S ab Cab6ab 2187ab5abABC △57a b c 3(1)若PB ＝，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°. 在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝，故P A ＝.(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得，化简得cos α＝4sin α，所以tan α＝，即tan ∠PBA ＝.【2012，17】已知，，分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，．（1）求A ；（2）若，△ABC 的面积为，求，．【解析】（1）根据正弦定理，得，，，因为，所以，即，（1）由三角形内角和定理，得，代入（1）式得，化简得，因为，所以，即，而，，从而，解得．（2）若，△ABC 的面积为，又由（1）得，则，化简得，12117323cos 30424723sin sin150sin(30)33434a b c cos 3sin 0a C a C b c2a 3b c R Cc Bb Aa 2sin sin sin A R asin 2B R bsin 2C R c sin 2cos 3sin 0a C a C b c 0sin 2sin 2sin )sin 2(3cos )sin 2(C R BR C A R C A R 0sin sin sin sin 3cos sin CB C A CA C A C A C ABsin cos cos sin )sin(sin 0sin sin cos cos sin sin sin 3cos sin C CA C A C A C A C C A CA sin sin cos sin sin 30sin C 1cos sin 3A A 21)6sin(AA6566A66A3A2a 33A43cos233sin 21222abc cbbc 8422cbbc从而解得，．2b 2c。
高考数学三角函数与解三角真题100题含答案
高考数学三角函数与解三角真题训练100题含答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知2sin 3且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A B ． CD ．2．在ABC ∆中,1,2,60a c B ︒===,则b = A．1BC D ．33．函数tan 2y x =的周期为 A ．2π B ．π C ．2π D ．4π4．下列三角函数值的符号判断错误的是( ) A ．sin1650> B ．cos 2800> C ．tan1700>D ．tan 3100<5．计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ）A ．12B ．12-C D ． 6．函数2cos 1([0,2])=+∈y x x π的单调递减区间为（ ） A ．[0,2]πB ．[0,]πC ．[,2]ππD ．3[,]22ππ7．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是A B C D8．已知扇形的半径为2，面积为23π，则该扇形的圆心角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 9．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是 A ．1y x=B ．y ln x =C ．sin y x =D ．2x y -=10．在ABC 中，已知60,2A a b ===，则B =（ ）A ．30或150B ．60C ．30D ．60或12011．一艘向正东航行的船，看见正北方向有两个相距海里的灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的北偏西，另一灯塔在船的北偏西，则这艘船的速度是每小时A ．海里B ．海里C ．海里D ．海里12．函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．2π13．若复数cos sin z i αα=+，则当2απ<<π时，复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．在ABC 中，若(sin sin )(sin sin )sin (sin sin )A B A B C C B +-≤-，则A 的取值范围是 A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭15．已知角α终边经过点()1,m -，且3sin 5α=-，则tan α=（ ）A ．34±B ．34C ．34-D ．4316．设sin35sin72sin55sin18a =︒︒-︒︒，cos3214sin172cos188b ︒-=︒︒，221tan 361tan 36c -︒=+︒，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>17．将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 18．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8，……为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的高为（ ）A B C ．134D ．13219．若一扇形的中心角为2，中心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为 A ．2B ．1C ．21sin 1D ．21cos 120．在中，则A ．B ．C ．D ．21．已知，则sinxcosx+1等于A ．B ．C ．D ．22．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 3cos 0a B b A +=，则tan A =（ ） A ．3B ．13C ．13-D ．3-23．函数3cos y x x =-的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．24．已知2{|0}1x A x x -=<+，{}|cos ,B y y x x A ==∈ ，则A B =（ ） A ．(cos2,1]B ．[cos2,1]C ．(1,2]-D ．(1,cos2]-25．已知3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且212sin 5cos 9αα-=，则cos2=α（ ） A ．13B ．79-C ．79D ．1826．cos160sin10sin20cos10-=（ ）A ．BC ．12-D ．1227．函数y ＝sin （x π6-）的图象与函数y ＝cos （2x π3-）的图象A ．有相同的对称轴，但无相同的对称中心B ．有相同的对称中心，但无相同的对称轴C ．既有相同的对称轴，也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心，也无相同的对称轴28．已知6x π=-为函数()sin f x a x x =的图象的一条对称轴，若()()120f x f x +=，且()f x 在()12,x x 单调，则()12f x x +=（ ）A ．0B ．1CD ．229．当θ取遍全体实数时，直线πcos sin 4)4x y θθθ+=+ 所围成的图形的面积是（ ） A ．πB ．4πC ．9πD ．16π30．已知α为锐角，3cos 5α=，则tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．12C ．2D ．331．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如下图所示，下列说法错误．．的是（ ）A ．函数()y f x =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 C ．函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．该图象对应的函数解析式为2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭32．在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos c a a B -=，则ba的取值范围是（ ）A ．(B ．C ．(D ．()0,133．已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x x =B ．()||sin 2f x x x =C ．()cos 2f x x x =D ．()||cos2f x x x =34．下列区间中，使函数cos y x =为增函数的是 A ．[0,]πB ．3[,]22ππC ．[,2]ππD ．[,]22ππ-35．已知α△3π,π2⎛⎫⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )A ．7B ．17C ．-17D ．-736．在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()P ，则cos2=α（ ）A ．12-B ．12C ．D 37．函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴正半轴两交点之间的最小距离为π2，若要将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位得到()g x 的图象，则()g x 的单调递增区间为A ．()π2ππ,π63k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．()π7ππ,π1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ZC ．()5πππ,π1212k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭ZD ．()πππ,π66k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z38．在ABC ∆中，15,10,60,a b A ===︒则cos B =（ ）A B C ．D 或39．“34πθ=”tan 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件40．已知点(cos ,sin )P θθ与点(cos()sin())66Q ππθθ+⋅+，关于x 轴对称，则（ ）A ．1sin(2)62πθ+=B ．1cos(2)62πθ+=C ．sin 2sin(2)3πθθ=+D ．cos 2cos(2)3πθθ=+41．函数21()cos cos 2f x x x x =+-在下列某个区间上单调递增，这个区间是 A ．-03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．-33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦42．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．π6B ．π6-C ．π3D ．π3-43．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（ ） A ．3B ．32π- C ．532π- D ．32π-44．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，已知15A =，2a =，则b cc b+的值为（ ）A B ．C D ．45．已知抛物线的焦点F 到准线l 的距离为p ，点A 与F 在l 的两侧，⊥AF l 且2AF p =，B 是抛物线上的一点，BC 垂直l 于点C 且2BC p =，AB 分别交l ，CF 于点,DE ，则BEF ∆与BDF ∆的外接圆半径之比为A ．12B C D ．2二、填空题46．已知tan α=[],αππ∈-，则α=______． 47．22cot csc αα-=______________. 48．已知复数ππsini cos 33z =+，则z =________． 49．函数()sin cos f x x x =+的值域为___________. 50．函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是________.51．某饭店顶层旋转餐厅的半径为20米，该餐厅每分钟旋转112弧度，则餐厅边缘一点1小时所转过的弧长是____________米.52．若πsin 47α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=______．53．ABC 中，3A π=，4B π=，BC =，则ABC 的周长是______．54．如图，为测量一个旗杆AB 的高度，在C 处测得杆顶的仰角为60︒，后退40米到达D 处测得塔顶的仰角为30，则旗杆的高度为___________米.55．已知()1cos 753α︒+=，则()()sin 15cos 105αα-︒+︒-的值是________．56________ . 57．在中，若＝＝，则的形状是_________三角形．58．三角形ABC 的内角A ，B 的对边分别为,a b ，若()cos sin 02a A b B ππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，则三角形ABC 的形状为__________．59．设ABC 分别为,,a b c 内角,,A B C 的对边.已知a =4b =，c =则C =_____. 60．若函数1()2cos f x x =+，则3f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭________．61．若4sin 5α，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α等于_________. 62．已知ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sin 1cos sin 2cos A A B B +=-，3cos 5A =，6ABCS=，则=a ______．63．在ABC 中，60A ︒∠=，3AC =，面积为332，那么BC 的长度为_________． 64．函数2sin cos 1y x x =-+的最大值为___________ .65．已知函数()sin(3)5f x x π=+的图象关于直线()0x m m π=<<对称，则m 的最大值为___________.66．在△ABC 中，AB =2，AC =3，△BAC =120°，点D 在边BC 上，且AD 平分△BAC ，则AD 的长为________67．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为676π，PB ⊥平面ABC ，10PB =，150BAC ∠=︒，则BC 的长为___________.68．已知函数()sin f x x =，若对任意的实数(,)46αππ∈--，都存在唯一的实数(0,)m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最大值是____.69．将函数2()2sin sin 21f x x x =+-图像先向左平移4π个单位，再将每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若1()2g α=，,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos α=______.70．已知函数y =sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则φ=______．71．若函数()sin 2cos 2f x x x =+在[0,]2m和[3,]m π上均单调递增，则实数m 的取值范围为________．72．某城市的电视发射搭建在市郊的一座小山上. 如图所示，小山高BC 为30米，在地平面上有一点A ，测得,A C 两点间距离为50米，从点A 观测电视发射塔的视角（CAD ∠）为45︒，则这座电视发射塔的高度为_________米.73．在ABC 中，若3BC =，AC =2B A =，则cos A =___________.74．为创建全国文明城市，上饶市政府决定对某小区内一个近似半圆形场地进行改造，场地如图，以O 为圆心，半径为一个单位，现规划出以下三块场地，在扇形AOC 区域铺设草坪，OCD 区域种花，OBD 区域养殖观赏鱼，若AOC COD ∠=∠，且使这三块场地面积之和最大，则cos AOC ∠=___________.三、解答题75．已知()()sin cos 2ππαπααπ⎛⎫--+<< ⎪⎝⎭，求下列各式的值： (1)sin cos αα-；(2)33sin +cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．76．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos 5A =，1tan()3B A -=．（1）求tan B 的值；（2）若13,c =求ABC ∆的面积．77．已知4tan 3α=-，且α是第四象限角，求cot ,cos ,csc ααα的值.78．已知α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 2cos cos cos 5αβαβ=⎧⎪⎨=⎪⎩(1)求αβ+的值； (2)证明：04παβ<-<，并求()sin αβ-的值．79．已知、、分别是的三个内角、、所对的边 （1）若面积求、的值；（2）若，且，试判断的形状．80．已知函数()2cos cos 3f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． （1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间；（2）△ABC 内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若()1,f B b c ===a 的值．81．2022年是上海浦东开发开放32周年，浦东始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我国超大城市的民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老码头､旧仓库变身步行道､绿化带等.现有一足够大的老码头，计划对其进行改造，规划图如图中五边形ABCDE 所示，线段BE 处修建步行道，BDE 为等腰三角形，且1112CDE π∠=，3BCD π∠=，4CBD π∠=，CD =.(1)求步行道BE 的长度；(2)若沿海的ABE △区域为绿化带，23π∠=BAE ，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周长与面积. 82．已知23sin 2sin 12αα=-(1)求sin 2cos2αα+的值；(2)已知(0,)απ∈，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22tan tan 10ββ--=，求αβ+的值.83．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222b c a +=. （1）求角A 的大小；（2）若a =1)b +的取值范围.84．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记1n n n P AP θ+∠=，n *∈N .（1）若31arctan 3θ=，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为(，求n θ的最大值及相应n 的值.85．在△3sin 4cos a C c A =；△2sinsin 2B Cb B +这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．然后解答补充完整的题，在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知______，a =（1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点，MC MB =，2ABM π∠=，求边c ．86．一艘海轮从A 出发，沿北偏东70︒的方向航行1)n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东10︒的方向航行2n mile 到达海岛C ．(1)求AC 的长；(2)如果下次航行直接从A 出发到达C ，应沿什么方向航行？87．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos 0a c B b A -+=． (1)求B ；(2)从以下条件中选择两个，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积． △若5a =；△3b =；△23C π=；△△ABC 的周长为9．88．在△sin sin sin sin a A b B A c C ⎫+=+⎪⎪⎝⎭，△22cos b c A a =+，△222cos sin sin sin cos A A B B C +=+，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并加以解答.在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且______. (1)求角C 的大小；(2)若AC π4B =，求AB 的长度. 89．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且满足cos cos 2A aB b c=-+． （1）求角A 的大小； （2）求sin sin B C 的最大值．90．在△ ABC 中，C 为锐角，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 是外接圆半径，已知向量(,),(cos ,cos )m a b n B A ==，且m n R ⋅=. （△）求角C ；（△）若2b =，△ ABC cos()3B π+的值.91．已知向量()sin ,cos a m x x =，()cos ,cos b x n x =，()f x a b =⋅，且()f x 的图像过点12π⎛ ⎝⎭和点1,82π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求m ，n 的值及()f x 的最小正周期； （2）若将函数()y f x =的图像向左平移8π个单位长度，得到函数y g x 的图像，求()g x 在,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的值域和单调递减区间.92．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2A =，3AB AC ⋅=． （1）求ABC ∆的面积； （2）若1c =，求a 的值．93．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a B b A c C +=. (1)求角C 的大小；(2)若4CA CB ⋅=，6a b +=，求c . 94．正方体1111ABCD A B C D -中：（1）求AC 与1A D 所成角的大小；（2）若F 分别为AD 的中点，求1BD 与CF 所成角的余弦值.参考答案：1．B【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】由2sin3且,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则cosα===所以2sintancosααα-====.故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了计算求解能力，属于基础题.2．C【解析】根据由余弦定理,可得2222cosb ac ac B=+-,代入数据,即可求得答案.【详解】由余弦定理,得2222cos3b ac ac B=+-=,∴b=故选:C.【点睛】本题考查了根据余弦定理求三角形边长,解题关键是掌握余弦定理,考查了计算能力,属于基础题.3．A【解析】【分析】利用正切型函数的周期公式可计算出函数tan2y x=的周期.【详解】由题意可知，函数tan 2y x =的周期为2T π=.故选A. 【点睛】本题考查正切型函数周期的计算，利用正切型函数的周期公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】根据各角度所在象限，即可判断各个选项的正误，即可得答案. 【详解】165°是第二象限角，因此sin165°>0，故A 正确； 280°是第四象限角，因此cos280°>0，故B 正确； 170°是第二象限角，因此tan170°<0，故C 错误； 310°是第四象限角，因此tan310°<0，故D 正确． 故选：C 5．B 【解析】先用诱导公式将sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒化为cos47cos73+sin 43sin17-︒︒︒︒，然后用余弦的差角公式逆用即可. 【详解】sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒cos43cos17+sin 43sin17=-︒︒︒︒1cos 43cos17sin 43sin17)co (s602=︒︒-︒︒=-︒--=故选：B 【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】函数2cos 1y x =+的单调递减区间与函数cos y x =相同，求得cos y x =的单调区间界，既得答案. 【详解】由题可知函数2cos 1y x =+的单调递减区间与函数cos y x =相同 因为函数cos y x =在[0,2]xπ内的单调递减区间为[0,]π所以函数2cos 1y x =+的单调递减区间为[0,]π. 故选：B 【点睛】本题考查余弦函数的单调区间，属于简单题. 7．B 【解析】 【详解】试题分析：2x 2＋3x －2＝0的根为－1，12，所以三角形的两边夹角的余弦是12，由余弦定B ．考点：本题主要考查余弦定理的应用．点评：简单题，注意到三角形中，角的取值范围是（0，π），因此，三角形内角的余弦不可能为－1. 8．C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式先求出弧长，进而求出圆心角的弧度. 【详解】设该扇形的弧长、半径及圆心角的弧度分别为,,l r α，则r =2，扇形面积2112232223323l S lr l l r ππππα==⨯⨯=⇒=⇒===. 故选：C. 9．B 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A ，y 1x=，为反比例函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意； 对于B ，y ＝lnx ，为对数函数，在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意； 对于C ，y ＝sin x ，为正弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意； 对于D ，y ＝2﹣x ＝（12）x ，是指数函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；故选B ． 【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键掌握常见函数的单调性，属于基础题． 10．C 【解析】 【分析】利用正弦定理求解以及用三角形的大边对大角进行检验. 【详解】因为在ABC 中，60,2A a b ===， 由正弦定理有：sin sin a bA B=， 所以sin 1sin2b A B a ===， 解得30B =或150，又因为a b >可得A B > 所以150B =不符合题意，舍去. 可得30B =，故A ，B ，D 错误. 故选：C . 11．C 【解析】 【详解】试题分析：设两灯塔分别为,A B ,这艘船初始位置为O ,航行半小时后所在位置为C ,OB OC ⊥ 且10AB =海里, 15,150A ACB ABC ∠=∠=∠=．所以可得10BC AB ==,60OCB ∠=, 所以在Rt BOC ∆中1cos601052OC BC ==⨯=海里,所以这艘船的速度51012V ==/海里小时．故C 正确． 考点：解三角形． 12．C 【解析】 【分析】化简()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，画出函数图像得到答案.【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数图像为将()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在x 轴下方的部分向上翻折形成，如图所示：根据图像知函数周期为π. 故选：C .【点睛】本题考查了三角函数周期，画出函数图像是解题的关键. 13．B 【解析】根据角的范围，结合复数的几何意义，即可判断出点的符号，进而得复数z 在复平面内对应的点所在象限. 【详解】复数cos sin z i αα=+，在复平面内对应的点为()cos ,sin αα， 当2απ<<π时，cos 0,sin 0αα<>，所以对应点的坐标位于第二象限， 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数符号的判断，属于基础题. 14．C 【解析】 【分析】利用正弦定理得到222a b c bc -≤-，再利用余弦定理得到1cos 2A ≥，计算得到答案. 【详解】 根据正弦定理：222(sin sin )(sin sin )sin (sin sin )A B A B C C B a b c bc +-≤-⇒-≤-根据余弦定理：2222212cos cos 023a b c bc A b c bc A A π=+-≤+-⇒≥⇒<≤ 故答案选C 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生对于正余弦定理的灵活运用和计算能力. 15．B 【解析】 【分析】由任意角的三角函数的定义列方程求出m ，从而可求出tan α， 【详解】因为角α终边经过点()1,m -，且3sin 5α=-，35=-，所以229125m m =+，且0m <， 解得34m =-，所以3tan 14m m α==-=- 故选：B. 16．C【解析】 【分析】利用三角变换化简,,a b c ，再根据正弦函数的单调性可得正确的选项. 【详解】sin35cos18cos35sin18sin17a =︒︒-︒︒=︒，2cos3212sin 16sin164sin172cos1884sin8cos8b ︒-︒===︒︒︒︒︒，22221tan 36cos 36sin 36cos 72sin181tan 36c -︒==︒-︒=︒=︒+︒， 因为016171890︒<︒<︒<︒<︒，故sin16sin17sin18︒<︒<︒. 故c a b >>， 故选：C. 17．A 【解析】 【分析】图象平移后解析式为sin 226y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由关于y 轴对称得2,62k k ϕππ+=+π∈Z ，结合ϕ的取值范围，即可求出ϕ的值. 【详解】()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度后得()sin 2sin 2266x x y ππϕϕ⎡⎤⎛⎫++=++ ⎪⎢⎥⎣⎝=⎦⎭，图象关于y 轴对称，则2,62k k ϕππ+=+π∈Z ，即,62k k ϕππ=+∈Z ，因为02πϕ<≤，所以当0k =时，6π=ϕ， 故选: A. 【点睛】本题考查了三角函数的图象平移变换，考查了三角函数的性质.本题的关键是写出平移后的函数的解析式. 18．B 【解析】 【分析】根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，即可求出圆锥的底面半径与高． 【详解】解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， 即接下来的圆弧对应的圆面半径是5813+=，对应的弧长是11321342l ππ=⨯⨯=， 设圆锥底面半径为r ，则1322r ππ=，解得134r =，所以圆锥的高为h ． 故选：B ． 19．C 【解析】 【分析】根据扇形的中心角以及弦长,求出扇形的半径和弧长,利用扇形的面积公式求解即可. 【详解】由题得因为扇形的中心角为2, 中心角所对的弦长为2.故扇形的半径1sin1r =,故扇形的弧长为122sin1sin1⨯=.故扇形面积为211212sin1sin1sin 1⨯⨯= 故选：C 【点睛】本题考查了扇形的相关计算,属于基础题型. 20．A 【解析】 【详解】试题分析：由题根据正弦定理可得1.sin 45sin 60b b ︒=∴=︒，故选A. 考点：正弦定理 21．A 【解析】 【详解】试题分析：由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．解：△，则sinxcosx+1=+1=+1=+1=，故选A ．考点：同角三角函数基本关系的运用． 22．D 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理可得()sin sin 3cos 0B A A +=，根据三角形内角的性质易知sin 0B ≠，即可求tan A . 【详解】由sin 3cos 0a B b A +=，结合正弦定理有sin sin 3sin cos 0A B B A +=， △()sin sin 3cos 0B A A +=，又0B π<<，即sin 0B ≠， △sin 3cos 0A A +=，可得tan 3A =-. 故选：D. 23．D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义可判断()f x 为奇函数，进而排除选项A 、B ，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除选项C ，从而可得答案. 【详解】解：因为()3cos y f x x x ==-，所以()()()3cos 3cos f x x x x x -=---=， 所以()()f x f x -=-，又()f x 定义域为R ， 所以()f x 为奇函数，其图象关于原点中心对称， 所以排除选项A 、B ，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，从而可得选项D 正确，故选：D. 24．A 【解析】分别根据分式不等式求解以及余弦的值域求解计算集合,A B ,再求交集即可. 【详解】{}2{|0}|121x A x A x x x -=<==-<<+,{}{}|cos ,|cos21B y y x x A y y ==∈=<≤. 故A B =(cos2,1]. 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解以及根据定义域求余弦函数的值域方法,同时也考查了交集的运算,属于基础题. 25．D 【解析】 【分析】利用同角公式化正弦为余弦，求出cos α的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】依题意，原等式化为：()2121cos 5cos 9αα--=，整理得：()()4cos 33cos 10αα+-=，因为3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α<，△3cos 4α=-，所以21cos 22cos 18αα=-=. 故选：D. 26．C 【解析】 【分析】先根据诱导公式化角，再根据两角和正弦公式求结果. 【详解】()1cos160sin10sin20cos10cos20sin10sin20cos10sin 10202-=--=-+=-,选C.【点睛】本题考查诱导公式以及两角和正弦公式，考查基本求解能力，属基础题. 27．A 【解析】 【详解】试题分析：函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴为2,6223k x k x k Z πππππ-=+⇒=+∈ 函数cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴为,33x k x k k Z ππππ-=⇒=+∈；当0k =时，二者有相同的对称轴3x π=；同理，由三角函数的性质可得函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心为,0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心为5,0,6k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，二者没有相同的对称中心考点：三角函数的对称轴，对称中心 28．C 【解析】 【分析】由()sin f x a x x =)x θ-，tan θ=6x π=-是()f x 的图象的一条对称轴，可求得a ，再由()()120f x f x +=，且()f x 在()12,x x 单调， 则11(,())x f x ，22(,())x f x 两点关于()f x 图象的对称中心对称，求得答案. 【详解】由()sin f x a x x =)x θ-， 由6x π=-是()f x 的图象的一条对称轴，则62k ππθπ--=+，得23k πθπ=--，又tan θ==1a =，则()sin f x x x =2sin()3x π=-，若()()120f x f x +=，且()f x 在()12,x x 单调，则11(,())x f x ，22(,())x f x 两点关于()f x 图象的对称中心对称，即1233,2x x k k Z πππ-+-=∈，得12223x x k ππ+=+，则()12f x x +=22sin(2)33k πππ+-= 故选：C. 【点睛】本题考查了辅助角公式，正弦型函数的对称轴和对称中心的应用，还考查了学生的分析理解能力，转化能力，属于中档题.29．D 【解析】 【详解】因为sin cos 4sin cos x y θθθθ+=++，所以(1)sin (1)cos 4x y θθ-+-=，也即)4θϕ+=1=4=，这表示的以(1,1)C 为圆心，4为半径的圆，所以当θ取遍全体实数时，直线πcos sin 44x y θθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 所围所围成的图形（圆）的面积是16S π=，应选答案D ．30．D 【解析】 【分析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得tan 2α，再根据两角和正切公式求结果.【详解】△α为锐角，3cos 5α=，△4sin 5α， 则2sin 2sincos 222tan2cos2cos 22αααααα==4sin 1531cos 215αα===++， △1tantan1422tan 31421tan tan 1422παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--. 故选：D 【点睛】本题考查同角三角函数关系、二倍角公式、两角和正切公式，考查基本分析求解能力，是基础题. 31．A 【解析】 【分析】根据函数图像解出函数解析式后，对选项逐一判断 【详解】由图可知2A =，4()312T πππ=⨯-=，故2ω=，将(,2)12π代入解得3πϕ=故2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 正确对于A ，令2[2,2],322x k k k Z πππππ+∈-++∈，解得5[,],1212x k k k Z ππππ∈-++∈，故A 错误对于B ，令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得对称轴为,122k x k Z ππ=+∈，故B 正确 对于C ，令2,3x k k Z ππ+=∈，解得对称中心为,0,62k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确 故选：A 32．B 【解析】 【分析】化简已知得2B A =,根据已知求出A 的范围和2cos bA a=，即得b a 的取值范围.【详解】由正弦定理得2cos c a a B -=．sin 2sin cos sin sin cos cos sin C A B A A B A B =+=+()sin sin A B A ∴=-． 22B A π∴=<，因为32C A ππ=-<，02A π<<，64A ππ∴<<，所以sin sin 22cos sin sin b B AA a A A===∈．故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化，考查三角恒等变换和余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 33．B 【解析】 【分析】利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项．【详解】由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A ，选B ． 故选：B ． 【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．. 34．C 【解析】 【详解】由余弦函数的图像可知其增区间为[2,2]()k k k Z πππ-+∈，则当1k =函数增区间为[,2]ππ，应选答案C ． 35．B 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力. 36．B 【解析】 【分析】由三角函数的定义求出cos a ，再由二倍角公式求出cos2a ． 【详解】cos α==21cos 22cos 12αα=-=. 故选：B. 37．C 【解析】 【分析】根据题意，求得T π=，得到函数的解析式()sin(2)6f x x π=+，再根据图象的变换求得函数()sin(2)3g x x π=+，再由函数的单调性，即可求解函数的单调区间.【详解】由函数()sin()6f x wx π=+的图象与x 轴正半轴两交点之间的最小距离为2π，即22T π=，即T π=，所以2w ππ=，解得2w =，即()sin(2)6f x x π=+， 将函数()f x 的图象向左平移12π个单位得到()sin[2()]sin(2)1263g x x x πππ=++=+， 令222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 即函数的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质，对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数；另外在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言. 38．B 【解析】 【分析】根据正弦定理得到sin B =cos B 得到答案. 【详解】10sin B =，故sin B =，且60B <︒，故cos B .故选：B . 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 39．A 【解析】 【分析】先看34πθ=tan 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭成立时，能否推出34πθ=，即判断必要性，由此可得答案. 【详解】当34πθ=31tan 224πππθθ⎛⎫⎛⎫+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即“34πθ=”tan 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的充分条件；tan 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin tan =cos θθθθ=，则sin 0θ= 或cos θ=，则k θπ= 或32,4k k Z πθπ=±∈,tan 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭成立，推不出34πθ=一定成立，故“34πθ=”tan 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的必要条件， 故选：A. 40．D 【解析】 【分析】依题意可得cos cos 6πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，sin sin 6πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，从而得到2,12k k Z πθπ=-+∈，即可求出sin 26πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、cos 26πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后利用二倍角公式求出cos2θ与sin2θ即可；【详解】解：由已知可知：cos cos 6πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，sin sin 6πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2,12k k Z πθπ=-+∈．所以sin 2sin 4sin 006k πθπ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，cos 2cos 4cos 016k πθπ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，sin22sin cos 2sin cos sin 2663πππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2222cos2cos sin cos sin cos 2663πππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：D ． 41．A 【解析】 【详解】△函数()21cos cos 2f x x x x =+- △()sin(2)6f x x π=+令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，则,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.△当0k =时，36x ππ-≤≤，即函数()f x 的一个单调增区间为[,]36ππ-. 故选A. 42．B 【解析】 【分析】结合函数图像，由周期求出ω，再由()16f π=求出ϕ的值.【详解】由图像可知：2()6122T πππ=⨯+=,故2==4Tπω， 又()16f π=，所以4+=+2()62k k Z ππϕπ⨯∈，2()6k k Z πϕπ∴=-+∈又||2ϕπ<，故：6πϕ=-.故选：B 43．C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出tan α，结合诱导公式即可得解，注意角所在的象限.【详解】解：因为角α的终边上一点()sin3,cos3P ， 所以cos31tan 0sin 3tan 3α==<， 又cos30,sin30<>， 所以α为第四象限角， 所以23,Z 2k k παπ=+-∈，又因02απ≤≤， 所以532πα=-. 故选：C. 44．B 【解析】 【分析】由已知结合三角形的面积公式及余弦定理可得221sin152cos152bc b c bc ︒=+-︒，化简即可求解 【详解】解：15A =，2a =，∴221sin152cos152bc b c bc ︒=+-︒，22sin152cos15bc b c ∴︒+︒=+，2214cos152bc b c ⎫∴︒+︒=+⎪⎪⎝⎭ ()224sin 1530bc b c ∴︒+︒=+整理可得，22b c +=，∴22b c bc bc+=则b c c b+=故选：B ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于中档题【解析】【详解】由题得如图，3,3,,2,AFBC ,FC 2B p p AF BC p EF FC FE p 所以为平行四边形，又⎛⎫====∴= ⎪⎝⎭，11,23AD AM AD AB BD BC ==∴=,A B =所以，,AF AD p DF AD p ∴===又为中垂线，所以，由正弦定理得，122,2sin sin EF DF R R EBF EBF==∠∠,所以BEF BDF 、的外接圆半径之比为EF DF =故选B 点睛：考察正弦定理和三角想外接圆半径的关系，正弦定理的值是三角形外接圆的直径，做此类型得题多化草图分析理解题意46．23π或3π- 【解析】【分析】根据正切函数值及角的所属范围求角即可.【详解】πtan π,3a k k Z α==-∈又[]ππ,π3αα∈-∴=- 或2π3α=. 故答案为：2π3或π3-. 47．1-【分析】将余切和余割都转化为正弦和余弦，然后利用同角三角函数的基本关系式进行化简，由此求得表达式的结果.【详解】 依题意，原式22222cos 1sin 1sin sin sin ααααα-=-==-. 故填：1-.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于基础题.48．1【解析】【分析】先结合三角函数值化简复数z ，进而求出复数的模【详解】△1sin i cos i 33π2πz =+=△1z ==. 故答案为：149．[【解析】【分析】化简得())4f x x π=+，即得解. 【详解】由题得())4f x x π=+，所以当sin()14x π+=-时，()=min f x当sin()14x π+=时，()max f x所以函数的值域为[.故答案为：[50．π【解析】【详解】1()sin cos 2sin 222f x x x x =+=+，T=22ππ=. 51．100【解析】【分析】求出圆心角的弧度数后，利用弧长公式可求得结果.【详解】 依题意可得圆心角的弧度数160512α=⨯=弧度，又半径20r =米 根据弧长公式可得餐厅边缘一点1小时所转过的弧长l r α=⋅205100=⨯=米.故答案为：10052．3349- 【解析】【分析】将题干条件展开，平方后即可得到答案.【详解】因为)πsin sin cos 4ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以()224sin cos 7αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以161sin 249α+=，故33sin 249α=-． 故答案为：3349-53【解析】【分析】用正弦定理和两角和公式计算即可.【详解】依题意，43C πππ⎛⎫∠=-+ ⎪⎝⎭，由正弦定理得：,sin sin BC AC AC A B==，,2sin 2sin cos cos sin sin sin 433434AB BC AB C A πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ABC 的周长=AB BC AC ++=；.54．【解析】【分析】 利用AB 表示出BC ，BD ，让BD 减去BC 等于40即可求得AB 长．【详解】解：设m AB h =，则BC =，BD =，40=，h ∴=，故答案为：55．23- 【解析】【分析】利用诱导公式可求()1sin 153α-︒=-，()1cos 1053α︒-=-，从而可求三角函数式的值. 【详解】因为()1cos 753α︒+=， 所以()()()1sin 15sin 7590cos 753ααα⎡⎤-︒=︒+-︒=-︒+=-⎣⎦ ()()()1cos 105cos 18075cos 753ααα⎡⎤︒-=︒-︒+=-︒+=-⎣⎦. 所以()()2sin 15cos 1053αα-︒+︒-=-.故答案为：23-. 【点睛】本题考查诱导公式的应用，注意对已知的角和未知的角的关系进行分析，从而选择合适的诱导公式进行化简，本题属于基础题．56．sin3cos3-【解析】利用诱导公式和完全平方公式将式子化成|sin3cos3|-，再根据绝对值内数的正负去绝对值.【详解】原式sin3cos3===-,又sin30>,cos30<,△sin3cos30->,△原式sin3cos3=-.故答案为：sin3cos3-.【点睛】本题考查诱导公式的应用、三角函数值的大小比较，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意sin3表示3弧度角的正弦值.57．等边【解析】【详解】试题分析:由正弦定理可得,则,故是等边三角形.故应填答案等边.考点：正弦定理及运用．58．等腰三角形或直角三角形【解析】【分析】利用三角形内角和以及诱导公式将原式化简为cos cos a A b B =，再利用正弦定理、二倍角公式化简即可.【详解】试题分析：将原式化简为cos cos a A b B =，根据正弦定理sin cos sin cos A A B B =，化简为11sin2sin222A B =， 因为,(0,)A B π∈，所以即有22A B =或22A B π+=A B =或2A B π+=,所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.59．56π（或150°） 【解析】利用已知条件通过余弦定理直接求解即可.【详解】因为cos C =，()0,C π∈，所以56C π=， 故答案为：56π（或150）. 【点睛】本题主要考查三角形的解法，余弦定理的应用，属于基础题.60【解析】【分析】根据题意，结合导数运算法则，直接求解即可.【详解】 由1()2cos f x x=+，得()2sin ()2cos f x x x '=+，因此223122f π⎛⎫'== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭61．2425【解析】【分析】由同角三角函数基本关系求出cos α的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为4sin 5α，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α==， 所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=， 故答案为：2425. 62．4【解析】【分析】 利用两角的正弦公式以及正弦定理得出2a b c =+，根据已知条件求出sin A 的值，结合三角形的面积公式可求得bc 的值，再利用余弦定理可求得a 的值. 【详解】由sin 1cos sin 2cos A A B B+=-得2sin sin cos sin cos sin A A B B A B -=+， 则()2sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin A B A B A B B A B B C =++=++=+，即2a b c =+，由3cos 05A =>可知A 为锐角，则4sin 5A =， 16sin 2ABC S bc A ∴==⋅△得15bc =， 由余弦定理得()22222316244855a b c bc b c bc a =+-⋅=+-=-， 即2348a =，解得4a =．故答案为：4.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.63．。
高考数学《三角函数》选择题
高考数学《三角函数》选择题一、单选题1．（湖北武汉市·高三月考）设函数()()()2sin 10f x x ωϕω=+->，若对于任意实数ϕ，()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．816,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．164,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．820,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】t x ωϕ=+，只需要研究1sin 2t 的根的情况，借助于sin y t =和12y =的图像，根据交点情况，列不等式组，解出ω的取值范围． 【解析】令()0f x =，则()1sin 2x ωϕ+=，令t x ωϕ=+，则1sin 2t ，则问题转化为sin y t =在区间3,44ππωϕωϕ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上至少有两个，至少有三个t ，使得1sin 2t ，求ω的取值范围． 作出sin y t =和12y =的图像，观察交点个数，可知使得1sin 2t的最短区间长度为2π，最长长度为223ππ+，由题意列不等式的：3222443πππωϕωϕππ⎛⎫⎛⎫≤+-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1643ω≤<．故选B ．【点睛】研究y =Asin (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法（令t x ωϕ=+），转化为研究sin y t =的图像和性质较为方便．2．（安徽淮北市·高三一模（理））函数()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．1+BC ．D ．3【答案】B【分析】利用诱导公式及二倍角公式可得()2sin sin 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令4x πθ=+，将函数转化为()2sin sin 2f θθθ=+，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值，即可得解；【解析】∵()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴()2sin sin 22sin 2sin cos 44444f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令4x πθ=+， 则()2sin 2sin cos 2sin sin 2f θθθθθθ=+=+，则()()222cos 2cos 222cos 12cos 4cos 2cos 2f θθθθθθθ'=+=-+=+-，令()0f θ'=，得cos 1θ=-或1cos 2θ=，当11cos 2θ-<<时，()0f θ'<；1cos 12θ<<时()0f θ'>，∴当1cos 2θ=时，()f θ取得最大值，此时sin 2θ=，∴()max 1222222f x =⨯+⨯=，故选B ．【点睛】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值．3．（天津滨海新区·高三月考）将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B ．80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．280,,199⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦D ．(]0,1【答案】A【分析】根据图象变换求出()g x 的解析式，利用周期缩小ω的范围，再从反面求解可得结果． 【解析】将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，得到5cos()6y x π=-的图象， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω，周期2T πω=，∵函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，∴3222T ππ-≤，得2T π≥，得22ππω≥，得01ω<≤， 假设函数()gx 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有零点， 令()0g x =，得562x k ππωπ-=+，k Z ∈，得43k x ππωω=+，k Z ∈， 则43232k ππππωω<+<，得8282933k k ω+<<+，k Z ∈， 又01ω<≤，∴2293ω<<或819ω<≤，又函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，且01ω<≤， ∴209ω<≤或2839ω≤≤，故选A ． 【点睛】关键点点睛：求出函数()g x 的解析式，利用间接法求解是解决本题的关键．4．（中学生标准学术能力3月测试）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）．A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A【分析】由于log )(0)(-=-<a y x x 关于原点对称得函数为log (0)a y x x =>，由题意可得，cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像在0x >的交点至少有3对，结合函数图象，列出满足要求的不等式，即可得出结果．【解析】log )(0)(-=-<a y x x 关于原点对称得函数为log (0)a y x x =>． ∴cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像在0x >的交点至少有3对，可知()0,1a ∈，如图所示，当6x =时，log 62a >-，则0a <<a 的取值范围为0,6⎛ ⎝⎭，故选A ． 【点睛】本题考查函数的对称性，难点在于将问题转换为cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像在0x >的交点至少有3对，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题． 5．（江苏徐州市·徐州一中高三期末）已知函数()f x 在()0,1恒有()()2xf x f x '>，其中()f x '为函数()f x 的导数，若α，β为锐角三角形两个内角，则（ ）A ．22sin (sin )sin (sin )f f βααβ>B ．22cos (sin )sin (cos )f f βααβ>C ．22cos (cos )cos (cos )f f βααβ>D ．22sin (cos )sin (cos )f f βααβ>【答案】B【分析】构造函数()()2()01f x g x x x=<<，求导可知函数()g x 在()0,1 上为增函数，由已知条件可知022ππβα<-<<，即0cos sin 1βα<<<，再根据函数()gx 在()0,1上的单调性即可得解．【解析】设()()2()01f x g x x x =<<，则()()()()()243220x f x x f x x f x f x g x x x''⋅-⋅⋅-⋅'==>∴函数()gx 在()0,1上单调递增．α， β为锐角三角形两个内角，则2παβ+>∴022ππβα<-<<，由正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 则0cos sin sin 12πββα⎛⎫<=-<<⎪⎝⎭∴()()cos sin g g βα<，即()()22cos sin cos sin f f βαβα<∴()()22sincos cos sin f f αββα⋅<⋅，故选B ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，同时也涉及了三角函数的变换及其性质，考查构造思想及转化思想，考查化简变形能力及逻辑推理能力，属于中档题．6．（和平区·天津一中高三月考）已知函数()sin (0,)=->∈f x x x x ωωωR 的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移3π个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的结论，其中所有正确结论的序号是（ ） ①函数()g x 是奇函数 ②()g x 的图象关于直线6x π=对称③()g x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ④当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]0,2 A ．①③ B ．③④C ．②D ．②③④【答案】C【分析】先根据辅助角公式化简()f x ，然后利用已知条件求解出ω的值，再根据图象的变换求解出()g x 的解析式；①根据()gx 解析式判断奇偶性；②根据6g π⎛⎫⎪⎝⎭的值判断对称性；③采用整体替换的方法判断单调性；④利用换元法的思想求解出值域．【解析】∵()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，又()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，∴2222T ππω==，∴2ω=，∴()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()f x 向左平移3π个单位得到2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标伸长到原来2倍得到()2sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，①()2sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为非奇非偶函数，故错误； ②()max2sin 2663g g x πππ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴6x π=是()g x 的一条对称轴，故正确； ③∵,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴20,33x ππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又∵2sin y t =在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先增后减，∴()g x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是增函数，故错误； ④当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，,362x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()max 2sin22g x π==，此时6x π=；()min 2sin16g x π==，此时6x π=-，∴()g x 的值域为[]1,2，故错误；故选C ． 【点睛】思路点睛：求解形如()sin y A ωx φ=+的函数在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：（1）先确定t x ωϕ=+这个整体的范围；（2）分析sin y A t =在（1）中范围下的取值情况；（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的x 的取值．7．（辽宁高三二模）若1tan 23=α，则()5πsin 12sin 3παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-（ ） A ．13-B ．3-C ．13D ．3【答案】A【分析】先根据诱导公式化简得()5πsin 1cos 12sin 3πsin αααα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭=-，再结合半角公式整理得()5πsin 1cos 112tan sin 3πsin 23ααααα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==-=--． 【解析】由诱导公式化简整理得：()5πsin 1cos 12sin 3πsin αααα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭=-， 由于2cos 12sin,sin 2sincos222ααααα=-=，∴()25πsin 12sin cos 1122tan sin 3πsin 232sin cos 22αααααααα⎛⎫+-- ⎪-⎝⎭===-=--⋅，故选A ． 【点睛】题考查诱导公式化简，半角公式，同角三角函数关系，考查运算求解能力，本题解题的关键在于寻找α与2α之间的关系，从半角公式入手化简整理．考生需要对恒等变换的相关公式熟记． 8．（安徽皖北协作区3月联考（文））已知函数1()sin (sin cos )2f x x x x ωωω=+-()0ω>在区间(0,)π上恰有1个最大值点和1个最小值点，则ω的取值范围是（ ） A ．711,88⎛⎫⎪⎝⎭B ．711,88⎛⎤⎥⎝⎦C ．79,88⎛⎤⎥⎝⎦D ．79,88⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】化简得到()224f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据最值点，得352242πππωπ<-≤，解得答案．【解析】11cos 2sin 21()sin (sin cos )2222224x x f x x x x x ωωπωωωω-⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭， ()0,x π∈，()20,2x ωωπ∴∈，2,2444x πππωωπ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭()f x 在 (0,)π上恰有1个最大值点和1个最小值点， 352242πππωπ∴<-≤，解得71188ω<≤．故选B ．【点睛】方法点睛：本题考查了根据三角函数的最值求参数，研究三角函数的性质基本思想是将函数转化为()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的形式，热后应用整体思想来研究其相关性质，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于一般题．9．（内蒙古赤峰市·高三月考（文））已知函数()sin()(0,)2f x A x A πωϕϕ=+><的图像如图所示，且()f x 的图像关于点()0,0x 对称，则0x 的最小值为（ ）A ．23πB ．6π C ．3πD ．56π 【答案】B【分析】先由函数图像求出函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据函数关于()0,0x 对称求出06x k ππ=-，从而当0k =时，0x 取得最小值为6π．【解析】由题可知4112,2363A T πππ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，21Tπω∴==， 则()()2sin ,2sin 233f x x f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，232k ππϕπ∴+=+， 又2πϕ<，6πϕ∴=，()2sin 6f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由()f x 的图像关于点()0,0x 对称，可得0066x k x k ππππ+=∴=-，，∴当0k =时，0x 取得最小值为6π，故选B ．【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ．(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．10．（北京海淀区·高三期中）函数①()sin cos f x x x =+，②()sin cos f x x x =，③21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是（ ）A ．①②B ．②C ．③D ．②③【答案】D【解析】对于①()sin cos f x x x =+，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期为π，但不是奇函数；对于②()sin cos f x x x =，1()sin 22f x x =，周期为22T ππ==； 又()()11()sin 2=sin 222f x x x f x =-=---，故()sin cos f x x x =符合题意； 对于③21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，211()cos cos 2sin 24222f x x =x =x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由②推导过程可知：21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭周期是π且为奇函数，符合题意，故选D ．【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题：(1) 求周期用2T πω=；(2)判断奇偶性，一般用()()f x f x =-或()()f x f x =-．11．（内蒙古赤峰市·高三月考（理））已知()22ππα∈-,，1cos()65πα+=，则sin(2)3πα+=（ ）A B ．5C ．25D ．25-【答案】C 【解析】由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，可得2,633πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又11cos cos 6523ππα⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，2,633πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 65πα⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭，sin 22sin cos 366πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)角的范围的判断；(2)根据条件选择合适的公式进行计算．12．（河南九师联盟3月联考）已知函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间(),2ππ上不存在零点，则ω的取值范围是（ ） A ．70,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．1170,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C ．117,,112612⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D ．17,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【分析】由()f x 在区间(),2ππ上不存在零点，计算出01ω<≤，再计算出函数()f x 的零点为()6k x k Z ππωω=+∈，根据零点所在的范围，判断出ω的取值范围． 【解析】函数()f x 的最小正周期为2T πω=，由函数()cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(),2ππ上不存在零点，可得22T ππ≥-，∴01ω<≤，函数()f x 的零点为()32x k k Z ππωπ+=+∈，即()6k x k Z ππωω=+∈，若()26k k Z ππππωω<+<∈，则()126k k Z ωω<+<∈，∴()6161126k k k Z ω++<<∈， ∵01ω<≤，∴0,1k =，当0k =时，得11126ω<<，当1k =时，得77126ω<<， 又01ω<≤，∴7112ω<≤． ∵函数()f x 在(),2ππ上不存在零点，∴在(]0,1内去掉上述范围，得符合条件的ω取值范围为1170,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故选B ． 【点睛】三角函数求ω的范围：①利用周期求ω的范围：利用周期公式，借助于平移或诱导公式即可解决；②已知值域求ω的范围：运用整体思想，将值域问题转化为基本函数sin y x =上结合推行即可解决；③已知零点情况求ω的范围． 13．（江西八校4月联考（文））函数()1cos 2f x x x x π⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】求出函数()f x 的定义域，分析函数()f x 的奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项． 【解析】函数()1cos 2f x x x x π⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为{}0x x ≠， ()()11cos cos 22x x f x x x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数()f x 为奇函数，排除BC 选项；当01x <<时，2110x x x x--=<，022x ππ<<，则cos 02x π⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴()0f x <，排除D 选项．故选A ． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象． 14．（天一大联考（理））若函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值点，则ω的取值范围是（ ） A ．1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．17,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．70,6⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】依据函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可知2ω≤，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知76ππω≥，最后计算可知结果． 【解析】∵()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，∴T π≥，则2ππω≥，由此可得2ω≤． ∵当32x k ππωπ+=+，即()6k x k Z ππω+=∈时，函数取得极值，欲满足在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值点，∵周期T π≥，故在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值，故第一个极值点63x ππω=<，得12ω>．又第二个极值点776122x πππω=≥>， 要使()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，必须76ππω≥，得76ω≤．综上可得，ω的取值范围是17,26⎛⎤ ⎥⎝⎦．故选C ．【点睛】思路点点睛：第一步：先根据函数在所给区间单调判断ω；第二步：计算对称轴；第三步：依据函数在所给区间存在极值点可得63ππω<，76ππω≥即可． 15．（江西八校联考（文））在ABC 中，3AB =，5BC =，D 为BC 边上一点，且满足32BD DC =，此时23ADC ∠=π，则AC 边长等于（ ） AB ．72C ．4D【答案】D【分析】本题首先可以结合题意绘出图像，然后根据32BD DC =求出BD 、DC 长，再然后在ABD △中通过余弦定理求出AD ，最后在ADC 中通过余弦定理即可求出AC 长． 【解析】如图，结合题意绘出图像，∵5BC =，32BD DC =，∴3BD =，2DC =，∵23ADC ∠=π，∴3ADB π∠=，在ABD △中，2222cos AD BD AB AD BD ADB ，即222133232ADAD ，解得3AD =或0（舍去），3AD =， 在ADC 中，2222cos AD DCACAD DC ADC ，即2221322322AC ，解得AC D ．【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形相关问题的求解，主要考查余弦定理解三角形，考查的公式为2222cos a b c ab C +-=，考查计算能力，是中档题．16．（湖南衡阳市·高三一模）已知函数()cos f x x ω=（0>ω），将()f x 的图像向右平移3ωπ个单位得到函数()gx 的图像，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图像的连续相邻三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】先由平移变换得到()cos 3g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在同一坐标系中作出两个函数图像，设D 为AC 的中点，由cos cos 3x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，cos x ω=±，然后根据ABC 为钝角三角形，只须4ACB π∠<，由tan 1BDACB DC∠=<求解． 【解析】由题意得，()cos 3g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，作出两个函数图像，如图：A ，B ，C 为连续三交点，（不妨设B 在x 轴下方），D 为AC 的中点， 由对称性，则ABC 是以B 为顶角的等腰三角形，2AC T πω==，由cos cos 3x x πωω⎛⎫=-⎪⎝⎭，整理得cos x x ωω=，解得tan x ω=，则cos x ω=，即2C B y y =-=，∴2B BD y ==ABC 为钝角三角形，则4ACB π∠<，∴tan 1BD ACB DC ∠==<，解得0ω<<，故选B ． 【点睛】关键点点睛：本题关键是将ABC 为钝角三角形，转化为4ACB π∠<，利用tan 1BDACB DC∠=<而得解．17．（天津南开区·高三一模）已知函数()()cos 0f x x x ωωω->满足()()124f x f x -=，且12x x -的最小值为2π，则8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A B ．1C D ．2【答案】A 【分析】化简函数()f x 的解析式，由题意可知，12x x -的最小值为2T ，可求得ω的值，进而可计算出8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值．【解析】()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，则()max 2f x =，()min 2f x =-，且()()()()12max min 4f x f x f x f x -==-，设函数()f x 的最小正周期为T ，则1222T x x π-==，2T ππω∴==，可得2ω=，()2cos2f x x x ∴-，因此，cos 844f πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．故选A ．【点睛】方法点睛：求三角函数周期的方法： （1）定义法：利用周期函数的定义求解； （2）公式法：对形如()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+（A 、ω、ϕ为常数，0A ≠，0ω≠）的函数，周期2T ωπ=；（3）图象法：通过观察函数的图象求其周期．18．（江西八校4月联考（理））在ABC 中，内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，若角A ､C ､B 成等差数列，角C 的角平分线交AB 于点D ，且CD =3a b =，则c 的值为（ ）A ．3B ．72C ．3D ．【答案】C【解析】∵CD 是ACB ∠平分线，∴3BD BC a DA AC b ===，34BD c =，14AD c =， 角A ､C ､B 成等差数列，∴2A B C +=，而A B C π++=，∴3C π=，在BCD △中．2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅∠，即22293233166c a a a a π=+-=+-， DCA △中中，2222cos DA CD CA CD CA DCA =+-⋅∠，即22213cos 33166c b b b π=+-=+-，由222293316133163a a c b b c a b ⎧-+=⎪⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得4433a b c ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．故选C ．【点睛】方法点睛：本题考查余弦定理解三角形，解题方法是由等差数列得出6C π=，由角平分线得6ACD BCD π∠=∠=，同时由解平分线定理得3BDAD=，然后在两个三角形中应用余弦定理求解． 19．（华大新高考联盟）已知ABC 中，D 、E 分别是线段BC 、AC 的中点，AD 与BE 交于点O ，且90BOC ∠=°，若2BC =，则ABC 周长的最大值为（ ）A．2+B．2+C．2+D．2+【答案】A【分析】推导出O 为ABC 的重心，可得出3AD =，利用平面向量加法的平行四边形法则可得出2AD AB AC =+，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理可得出224022AB AC =+，利用基本不等式可求得+AB AC 的最大值，即可得解．【解析】在ABC 中，D 、E 分别是线段BC 、AC 的中点，AD 与BE 交于点O ，则O 为ABC 的重心，∵90BOC ∠=°，故112OD BC ==，则33AD OD ==． ()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，2AD AB AC ∴=+，∴()222242AD AB ACAB AC AB AC =+=++⋅，即2222222242cos 22AB AC BC AD AB AC AB AC BAC AB AC AB AC AB AC +-=++⋅⋅∠=++⋅⋅⋅ 2222222224AB AC BC AB AC =+-=+-，∴()()22222222240222AB AC AB AC AB ACAB AC AB AC AB AC =+=+++≥++⋅=+，AB AC ∴+≤，当且仅当AB AC ==因此，ABC周长的最大值为2．故选A ．【点睛】方法点睛：求三角形周长的最值是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解． 20．（江西八校4月联考（文））若0.212021a =，2021sin 5b π=，2021log 0.21c =，则（ ） A ．c a b << B ．b a c << C ．b c a << D ．c b a <<【答案】D【解析】由题得20212021log 0.21log 10c =<=，0.210202120211a =>=，2021sinsin(404)sin (0,1)555b ππππ==+=∈，∴a b c >>．故选D ． 21．（陕西下学期质检（文））如图，已知A ，B 分别是半径为2的圆C 上的两点，且45ACB ∠=︒，P 为劣弧AB 上一个异于A ，B 的一点，过点P 分别作PM CA ⊥，PN CB ⊥，垂足分别为M ，N ，则MN 的长为（ ）A ．2BC ．2D ．32【答案】B【分析】∵PM CA ⊥，PN CB ⊥可知，MN 为四边形PMCN 的外接圆的一条弦，且外接圆直径为PC =2，故联想到正弦定理来解题．【解析】∵PM CA ⊥，PN CB ⊥，∴P ，N ，M ，C 四点在以PC 为直径的圆上．由题意可知2PC =，∴MNC 外接圆的直径为2，则由正弦定理可得2sin 45MN=°．故选B ．22．（浙江新高考测评）如图，D 是ABC 外一点，若90ABC ∠=︒，tan DAB ∠=，5AB =，7AD =，105CDB ∠=°，则CD =（ ）A ．B ．4C ．D ．8【答案】C【分析】由tan DAB ∠=1cos 7BAD ∠=，在ABD △中结合正余弦定理求解即可．【解析】由tan DAB ∠=1cos 7BAD ∠=．在ABD △中，由余弦定理得8BD ==， ∴2222225871cos 22582AB BD AD ABD AB BD +-+-∠===⋅⨯⨯，则60ABD ∠=︒．∵90ABC ∠=︒，∴30CBD ∠=︒．在BCD △中，1803010545BCD ∠=--=°°°°，∴由正弦定理得sin 8sin 30sin sin 45BD CBD CD BCD ∠===∠°°，故选C ．【点睛】方法点睛：用正、余弦定理解决平面多边形问题时，应把多边形分割为多个三角形，通过各个三角形之间的关系解决问题．23．（山西临汾市·高三一模（理））已知()()()2sin 0f x x ωϕω+>＝同时满足以下条件：①当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为2π； ②71212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③()04f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭． 若()f x a =在[]0,π有2个不同实根m ，n ，且3m n π-≥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．[)0,1C ．(D ．[)1,1-【答案】D 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+满足，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为1222ππω⨯=，∴2ω=，函数()()2sin 2f x x ϕ=+．∵71212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图象关于直线3x π=对称，故有232k ππϕπ⨯+=+，即6k ϕπ=π-，k Z ∈． 又()04f f π⎛⎫>⎪⎝⎭，即2sin 2sin 2cos 2πϕϕϕ⎛⎫>+= ⎪⎝⎭，即sin cos ϕϕ>，故56πϕ=， 函数()52sin 26x x f π⎛⎫+⎝=⎪⎭． ()f x a =在[] 0,π有2个不同实根m ，n ，且3m n π-≥，根据5552,2666x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 7112sin 2sin 166ππ==-，552sin 2sin 22sin 21666πππππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴11a -≤<，故选D ． 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关三角函数的问题，解题思路如下： （1）由条件①确定ω的值；（2）由条件②确定出函数图象的一条对称轴，结合条件③求得ϕ的值；（3）得到函数的解析式之后利用函数值相等的条件，结合自变量的范围和限制条件，求得参数a 的取值范围．24．（内蒙古高三月考（文））已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的图象如图所示，且()f x 的图象关于点0(,0)x 对称，则0x 的最小值为（ ）A ．23π B ．56π C ．3πD ．6π【答案】D【解析】由图可知2A =，又函数()sin()f x A x ωϕ=+过点(0,1)和,23π⎛⎫⎪⎝⎭，2sin 12sin 23ϕπωϕ=⎧⎪∴⎨⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎩， 又0,||2πωϕ><，6πϕ∴=，16,k k Z ω=+∈，结合图像可知31134632T πππ=-=，则2T π=，故21T πω==，()2sin 6f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，令,6x k k Z ππ+=∈，解得,6x k k Z ππ=-+∈，即函数()f x 的对称中心为,06k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k Z ∈，令0k =时，6x π=-，故0x 的最小值为6π．故选D ．【点睛】思路点睛：求()0,0()y Asin x B A ωϕω+=+>>解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M m A ，2M mB +=． (2)求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=． (3)求φ，常用方法如下：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．25．（天津高三月考）设函数()sin()1,0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭的最大值为2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为2π，且()f x 的图象关于直线12x π=对称，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()y f x =在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．要得到sin 21y x =+的图象，只需将()f x 图象向右平移3π个单位【答案】C【分析】依题意可求得A ，ω，ϕ，从而可求得()f x 的解析式，从而可以对函数的单调区间、对称中心、对称轴、平移一一判断．【解析】由已知：3A =，2ω=，3πϕ=，∴()3sin(2)13f x x π=++，令3222232k x k πππππ+++，得7()1212k x k k Z ππππ++∈，故选项A 错误； 根据函数()f x 的解析式可知对称中心的纵坐标一定是1，故选项B 错误； 令2()32x k k Z πππ+=+∈，解得()122k x k Z ππ=+∈，当1k =-时，符合题意，故选项C 正确； 对于选项D ，需将()f x 图象向右平移6π个单位才能得到sin 21y x =+，故选项D 错误．故选C ． 【点睛】解决本题的关键是要求出()sin()1f x A x ωϕ=++的解析式，然后要对单调性、对称性以及平移很熟悉．26．（华大新联盟）若sin170tan10λ︒+︒=，则实数λ的值为（ ）A B ．2 C D 【答案】D【解析】依题意，sin10sin10cos103λ︒︒+=︒sin10cos10cos10︒︒︒=︒，sin10︒cos10cos10︒︒=︒，()202cos10sin 30sin10cos302sin 20︒︒︒=︒︒=-︒2=，则λ=D ． 27．（浙江温州市·高三二模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列条件使得ABC 无法唯一确定的是（ ） A ．3,15,25a B C ==︒=︒ B ．3,4,40a b C ===︒ C ．3,4,40a b A ===︒ D ．3,4,40a b B ===︒【答案】C【分析】对于A ：用正弦定理判断；对于B ：先由余弦定理，再用正弦定理可以求出角A 、B ，进行判断； 对于C ：由正弦定理4sin 40sin =3B ⨯，根据大边对大角，这样的角B 有2个，进行判断；． 对于D ：由正弦定理计算3sin 40sin =4A ⨯，由大边对大角，这样的角A 有1个，进行判断． 【解析】对于A ：∵3,15,25aBC ==︒=︒，∴A =140°，由正弦定理得：sin sin sin a b cA B C==， ∴33sin sin15,sin =sin 25sin sin140sin sin140a ab Bc C A A =⨯=⨯=⨯⨯， ∴ABC 唯一确定；故A 正确． 对于B ：∵3,4,40a b C ===︒， 由余弦定理，可得：222cos40=2524cos40c a b ab =+--，由正弦定理：sin sin sin a b c A B C ==，有：3424cos 40sin sin 40A B ==，可以求出角A 、B ，∴ABC 唯一确定；故B 正确． 对于C ：∵3,4,40a b A ===︒，由正弦定理：sin sin sin a b cA B C ==，有：34sin 40sin B=， ∴4sin 40sin =3B ⨯， ∵3,4,a b ==∴a b <∴40A B =<，这样的角B 有2个，∴ABC 不唯一，故C 错误． 对于D ：∵3,4,40a b B ===︒，由正弦定理：sin sin sin a b cA B C ==，有：34sin sin 40A =，∴3sin 40sin =4A ⨯，∵3,4,a b ==∴a b <∴40AB <=，这样的角A 有唯一一个，∴角C 唯一，∴ABC 唯一，故D 正确，故选C ．【点睛】判断三角形解的个数的方法：（1）画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数：①若无交点，则无解；②若有一个交点，则有一个解；③若有两个交点，则有两个解；④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解．（2）公式法：运用正弦定理进行判断：①a ＝bsinA ，则有一个解；②b ＞a ＞bsinA ，则两个解；③a ≥ b ，则无解．28．（湖北十一校三月联考）已知,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=（ ）A ．7B ．43 C ．17D ．125【答案】A【解析】∵,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3,424πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又4sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3cos 45πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则4tan 43πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴4tan tan 1443tan tan 744411tan tan344ππθππθθππθ⎛⎫+--- ⎪⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪⎛⎫⎝⎭-++ ⎪⎝⎭．故选A ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换，解题的关键是利用同角关系求出cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用凑角=44ππθθ+-去求值，出考查运算求解能力，属于基础题．29．（浙江新高考测评）已知1x ，2x ，是函数()()()tan 0,0f x x ωϕωϕπ=-><<的两个零点，且12x x -的最小值为3π，若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后得到的图象关于原点对称，则ϕ的最大值为（ ） A ．34πB ．4π C ．78π D ．8π 【答案】A【分析】由已知得函数()f x 的周期，求出ω，再利用图像的平移变换规律写出函数()f x 平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果． 【解析】由题意知函数()f x 的最小正周期3T π=，则3=ππω，得3ω=，()()tan 3f x x ϕ∴=-． 将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到tan 3tan 3124y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 要使该图象关于原点对称，则42k ππϕ-=，k Z ∈，∴42k ππϕ=-，k Z ∈，又0ϕπ<<，∴当1k =-时，ϕ取得最大值，最大值为34π．故选A ．【点睛】思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数()f x 的最小正周期，进而求出ω，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题．30．（吉林延边朝鲜族自治州·高三月考（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且cos 2cos()a b A c c A C =++，则B 的大小为（ ） A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 【答案】B【解析】∵cos 2cos()a b A c c A C =++，∴sin sin cos 2sin sin cos()A B A C C B =+-π，即sin sin cos 2sin sin cos A B A C C B=-， ∴sin cos 2sin cos sin cos A B C B B A =-，∴sin cos sin cos 2sin cos A B B A C B +=， 即sin()2sin cos A B C B +=，∴sin 2sin cos C C B =，又(0,)C π∈，∴sin 0C ≠，∴1cos 2B =， 又(0,)B π∈，∴3B π=．故选B ．【点睛】方法点睛：对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．31．（湖北八市三月联考）函数0,0()sin ,0ln x f x x x x x=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】0x ≠时，sin()sin ()()ln ln x x x xf x f x x x----+-===--，(0)0f =，∴()f x 是奇函数，排除A ，B ；1sin06662πππ-=->，ln 06π<，故06f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C ，故选D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 二、多选题：32．（广东汕头市·高三一模）知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中正确的是（ ） A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点 B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 的图象关于4x π=对称，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【分析】令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，可判断A 选项正误；根据已知条件求出ω的取值范围，可判断C 选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D 选项的正误． 【解析】令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦， 作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点，A 选项正确；对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4254ππωππ≤+<，解得151988ω<≤，C 选项正确； 对于B 选项，若151988ω<≤，则2192154604πππππω≤+<+，∴函数()f x 在区间20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B选项错误； 对于D 选项，若()f x 的图象关于4x π=对称，则()442k k Z ωππππ+=+∈，()14k k Z ω∴=+∈．52361812T ππππω∴=≥-=，12ω∴≤，()41k k Z ω=+∈，max 9ω∴=． 当9ω=时，()sin 94f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当5,1836x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，339442x πππ<+<，此时，函数()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，合乎题意，D 选项正确．故选ACD ． 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．33．（湖北荆门市·高三月考）已知函数()2sin sin 2f x x x =-，则下列结论正确的有（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在[],ππ-上有2个零点C ．函数()f x 的图象关于(π对称D ．函数()f x 的最小值为【答案】BC【分析】根据正弦函数的周期性可判断A 错误；利用数形结合思想，画出2sin y x =和函数sin 2y x =的图象，可判断()f x 在[],ππ-上有2个零点；验证()()2f x f x π-+=可判断出函数()f x的图象关于(π对称；求导，判断函数()f x 的单调性及最值，判断D 选项是否正确．【解析】对于A 选项，函数()()()(2)2sin 2sin 242sin sin 2f x x x x x f x πππ+=+-+=-=，故2π为()f x 的一个周期，又sin y x =的最小正周期为2π，sin 2y x =的最小正周期为π，故函数()f x 的最小正周期为2π，故A 错误；对于B 选项，令()2sin sin 20f x x x =-=得，2sin sin 2x x =-2sin y x =和函数sin 2y x =-[],x ππ∈-时，两图象有两个交点，故B 正确；对于C 选项，()()(2)2sin 2sin 222sin sin 2f x x x x x πππ-=---=+⎡⎤⎣⎦，∴()(2)f x f x π-+=，故()f x 的图象关于点(π中心对称；对于D 选项，()22()2cos 2cos 22cos 4cos 24cos 2cos 2f x x x x x x x '=-=--=-++()()22cos 1cos 1x x =-+-，当()0f x '>时，2cos 10x +>，得1cos 2x >-，得222233k x k ππππ-+<<+，k Z ∈；当()0f x '<时，1cos 2x <-，得242233k x k ππππ+<<+，k Z ∈； 故函数()f x 在222,233x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭上递增，在242,233x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭上递减；又242233f k f k ππππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当223x k ππ=-+处取得最小值，故()min 222sin 2sin 22332f x k k ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 错误；故选BC ． 【点睛】本题考查三角函数图象性质的运用，考查利用导数分析函数的最值，难度较大，解答本题的主要思路如下：①判断函数的零点个数问题时，可采用数形结合思想，将问题转化为两个函数图象的交点个数问题； ②若函数()f x 满足()()22f a x f x b -+=，则函数()f x 关于点(),a b 中心对称；③对于函数()f x 最值问题，可运用导数，分析清楚函数()f x 的单调区间是关键，然后得出()f x 的最值．34．（湖南长沙市·长沙一中高三月考）将函数()()πcos 02f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()gx 为奇函数B ．π02g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．当5ω=时，()gx 在()0,π上有4个极值点D ．若()g x 在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为5【答案】BCD【解析】∵()()πcos sin 02f x x x ωωω⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，∴()sin ()2g x x πω⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，且(0)1g =-， ∴()1222k k Z πωπ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，即14k ω=-为奇数，∴()sin ()cos 2g x x x πωω⎡⎤=-=±⎢⎥⎣⎦为偶函数，故A 错．由上得：ω为奇数，∴()cos 022g ππω⎛⎫-=±-= ⎪⎝⎭，故B 对． 由上得，当5ω=时，5()sin(5)cos52g x x x π=-=-，25T π=，由图像可知()g x 在()0,π上有4个极值点，故C 对，∵()g x 在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，∴π052T πω-≤=，解得：05ω<≤，又∵14k ω=-，∴ω的最大值为5，故D 对，故选BCD ．【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，奇偶性，极值点，单调区间，属于难题． 35．（山东烟台市·高三一模）已知函数()2sin cos 1f x x x +=-，则（ ）A ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．直线2x π=是()f x 图象的一条对称轴C ．方程()1f x =在[]0,π上有三个实根D ．()f x 的最小值为1-【答案】BC【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；利用函数对称性的定义可判断B 选项的正误；当[]0,x π∈时，解方程()1f x =，可判断C 选项的正误；利用最小值的定义结合反证法可判断D 选项的正误．【解析】对于A 选项，142f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则42f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是增函数，A 选项错误；对于B 选项，()()()()2sin cos 12sin cos 12sin cos 1f x x x x x x x f x πππ-=-+--=+--=+-=， ∴直线2x π=是()f x 图象的一条对称轴，B 选项正确；对于C 选项，由()2sin cos 12f x x x =+-=，可得cos 22sin x x =-，显然22sin 0x -≥，等式cos 22sin x x =-两边平方得22cos 44sin 8sin x x x =+-， 整理可得25sin 8sin 30x x -+=，解得3sin 5x =或sin 1x =．当[]0,x π∈时，0sin 1x ≤≤，则3sin 5x =或sin 1x =． 方程3sin 5x =在[]0,x π∈时有两解，方程sin 1x =在[]0,x π∈时只有一解． ∴方程()1f x =在[]0,π上有三个实根，C 选项正确；对于D 选项，假设()f x 的最小值为1-，即()1f x ≥-，即2sin cos 0x x +≥，且存在x ∈R ，使得2sin cos 0xx +=，此时sin cos 0x x ==，这与22sin cos 1x x +=矛盾，假设不成立，D 选项错误．故选BC ．【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．36．（江苏常州市·高三一模）函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称 C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称。
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题二 三角函数、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质课时作业
一讲三角函数的图象与性质课时作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第一讲三角函数的图象与性质课时作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第一讲三角函数的图象与性质课时作业文的全部内容。
第一讲三角函数的图象与性质课时作业文1．（2016·西安质检)将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是( )A．x＝－π12B．x＝错误!C．x＝错误!D．x＝错误!解析：将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin错误!的图象，由错误!x＋错误!＝错误!＋kπ，k∈Z，得x＝错误!＋2kπ，k∈Z,∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝2π3.故应选D.答案：D2．(2016·贵阳监测）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ)错误!的部分图象如图所示,如果x1，x2∈错误!,且f（x1）＝f(x2），则f(x1＋x2)＝( )A.错误!B。
错误!C。
错误!D．1解析：由题图可知,错误!＝错误!－错误!＝错误!,则T＝π，ω＝2，又错误!＝错误!，∴f(x)的图象过点错误!，即sin错误!＝1，得φ＝错误!，∴f(x)＝sin错误!。
而x1＋x2＝－错误!＋错误!＝错误!，∴f（x1＋x2）＝f错误!＝sin错误!＝sin 错误!＝错误!.答案：B3．（2016·高考山东卷)函数f（x)＝(错误!sin x＋cos x）·（错误!cos x－sin x）的最小正周期是（）A。
历届高考数学《三角函数的图像与性质》试题精选
历届高考中的“三角函数的图像与性质”试题精选（自我测试）(卷A)一、选择题：（每小题5分，计50分） 1.（2007江苏）下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 2.（2007江西文）若0＜x ＜2π，则下列命题中正确的是（ ） A ．sin x ＜x π2 B ．sin x ＞x π2 C ．sin x ＜x π3 D ．sin x ＞x π33（2007福建理)已知函数f(x)＝sin()()的最小正周期为，则该函数的图象（ ）A 关于点（，0）对称 B 关于直线x ＝对称 C 关于点（，0）对称 D 关于直线x ＝对称4.（2007江苏）函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ）A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 5．（2005福建理）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ ）A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==6．（2003全国理，广东）函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．27.( 2007广东文)已知简谐运动()2sin()(||)32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为（ ）8.（2005浙江理）已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( )(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋19．（2005全国Ⅰ卷文、理）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为( )（A ）2 （B ）32 （C ）4 （D ）3410. (2002年广东、江苏、河南，全国文、理，全国新课程文、理，天津文、理)在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（ ）(A))45,()2,4(ππππ (B)),4(ππ (C))45,4(ππ (D))23,45(),4(ππππ 二.填空题: （每小题5分，计20分） 11.（2006湖南文） 若)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a = .12.（2004全国Ⅲ卷理）函数x x y cos 3sin +=在区间]2,0[π上的最小值为 .13.（2005上海文、理）函数()[]sin 2sin 0,2f x x xx π=+∈的图像与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是____________14.（2007四川理）下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|.③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数).2sin(π-=x y 在（0，π）上是减函数。
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题04 三角函数与解三角形(原卷版) Word版无答案
一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知()23tantan 1,sin 3sin 222ααβαβ+==+，则()tan αβ+=2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】直线3=y 与曲线)0(sin 2>=ωωx y 相距最近的两个交点间距离为6π，则x y ωsin 2=的最小正周期为 ． 3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知θ是第三象限角，且52cos 2sin -=-θθ，则=+θθcos sin4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知312sin =α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos 2πα=_____▲____．5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ．7. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若将函数)4sin(πω+=x y 的图象向左平移6π个单位长度后，与函数)4cos(πω+=x y 的图象重合，则正数ω的最小值为_____________.8. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)()22ππθ-<<的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，则φ的值为 ▲ ．9. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 10. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】已知函数b a x b x a x f ,(cos sin )(+=为常数，且R x a ∈≠,0），若函数)4(π+=x f y 是偶函数，则)4(π-f 的值为 ．11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设α为锐角，若31)6sin(=-πα，则αcos 的值为 ． 12. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】如图，在平面四边形ABCD 中，若090,2,2,1=∠===ACD DC AD BC AB ，则对角线BD 的最大值为 ．13. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】将函数3cos sin y x x x的图像向左平移0m m个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知sin 2cos αα+=，那么tan2α的值为_______.15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知]4,4[ππθ-∈，且314cos -=θ，则=--+)4(sin )4(sin 44πθπθ ．16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知1sin tan(),(,)72ααβαπ=+=∈π，那么tan β的值为_______.二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）在ABC △中，角CB A 、、分别是边c b a 、、的对角，且b a 23=， （Ⅰ）若 60=B ，求C sin 的值； （Ⅱ）若2cos 3C=，求sin()A B -的值． 2. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）如图，290,,3OC km AOB OCD πθ=∠=∠=,点O 处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r 随时间t 变化函数为3r =，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C 点处开始沿CD 方向飞行,其飞行速度为15/min km ．(Ⅰ) 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且4πθ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由.3. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若()f C =a =1c =，求b的值.4. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A 、、分别是边c b a 、、的对角，且(cos ,sin ),(cos ,sin ),cos2,sin sin 3sin sin A A B B C A B A B =-=⋅=+=m n m n ，（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若3c =，求ABC ∆的面积．5. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，等边三角形OAB 的边O C DEAB长为4km.现在线段OB 上取一点D （不含线段OB 端点）建发电站向,A B 两点供电．如果线段DB 上每公里建设费用为a 万元（a 为正常数），线段AD 上每公里建设费用为3a 万元，设ADO θ∠=，建设总费用为S 万元.(Ⅰ) 写出S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围； （Ⅱ）AD 等于多少时，可使建设总费用S 最少？6. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）已知角α终边逆时针旋转6π与单位圆交于点 且2tan()5αβ+=. （1）求sin(2)6πα+的值，（2）求tan(2)3πβ-的值.7. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积是30，内角C B A ,,所对边长分别是c b a ,,，且144-=⋅AC AB ． （1）求A cos 的值；（2）若4=-b c ，求a 的值．9. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分） 已知函数2()sin(2)cos 6f x x x π=+-．(1)求()f x 的最小正周期及2[,]123x ππ∈时()f x 的值域；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为c b a ,,，其中角C 满足423)4(-=+πC f ，若ABC S ∆，2=c ，，求)(,b a b a >的值．10. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】（本小题满分14分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.11. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知函数()2sin cos()3f x x x ωωπ=+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值.12. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分14分）在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值． 13. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】(本小题满分14分)已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B Cc B A--=+． ⑴求角A 的值；⑵若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ∆的形状．14. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）若A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、．若向量2(cos ,cos 1)22A A m =-，向量(1,cos 1)2An =+，且21m n ⋅=-．（1）求A 的值；（2）若a =S =b c +的值．15. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分14分)已知函数2()2sin cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满足()26A f π-=sin sin B C +=，求bc 的值． 16. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，已知A C B cos 1)cos(-=-，且c a b ,,成等比数列.（1）求C B sin sin ⋅之值； （2）求角A 的大小； （3）求C B tan tan +的值。
数学高职高考专题复习-三角函数
高考三角函数问题专题复习一、三角函数基础题1、已知角α的终边通过点P(-3,4),则sinα+cosα+t an α= ( )A.1523-B.1517-C.151-D.15172、π617sin = ( )A.21 B.23- C.21- D.23-3、x y 2sin 21=的最小正周期是 ( ) A.2πB.πC.2πD. 4π 4、设tan α=2，且sin α＜0，则cos α的值等于 ( ) A.55 B.51- C.55- D.51 5、y=cos 2(2x)的最小正周期是 ( )A .2πB. πC.4πD.8π 6、命题甲：sin x=1，命题乙：x=2π，则 ( )A.甲是乙充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充分必要条件D.甲不是乙的必要条件也不是乙的充分条件 7、命题甲：A=B ，命题乙：sinA=sinB,则 ( ) A.甲不是乙的必要条件也不是乙的充分条件 B.甲是乙的充分必要条件C.甲是乙的必要条件但不是充分条件D.甲是乙的充分条件但不是必要条件 8、函数y=sin x 在区间________上是增函数. ( ) A.[0,π] B.[π,2π] C.]25,23[ππ D .]87,85[ππ 9、函数)43tan(π+=x y 的最小正周期为 ( )A.3πB.πC.32π D.3π10、设角α的终边通过点P （-5，12），则cot α+sin α等于 ( ) A.137 B.-137 C.15679 D.- 1567911、函数y=cos3x -3sin3x 的最小正周期和最大值分别是 ( )A.32π, 1 B.32π, 2 C.2π, 2 D.2π, 1 12、若23cos ],2,[-=∈x x ππ ,则x 等于 ( ) A.67π B.34π C.35π D.611π 13、已知57cos sin ,51cos sin =-=+αααα，则tan α等于 ( )A.34-B.-43C.1D.- 114、150cos = ( )A.21 B.23 C.﹣21 D. ﹣2315、在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC=1，则sin A 等于 ( )A.0B.1C.23 D.2116、在]2,0[π上满足sinx≤-0.5的x 的取值范围是区间 ( ) A.[0,6π] B.[6π,65π] C.]67,65[ππ D .]611,67[ππ17、使等式cosx=a -2有意义的a 的取值范围是区间 ( )A .[0，2] B.[1，3] C.[0，1] D.[2，3]18、=-+-)690sin(495tan )585cos( ( )A .22 B.32C.32-D.219、如果51cos sin =+x x ，且0≤x<π，那么tanx= ( ) A .34- B.43- C.43 D.3420、要得到)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数y=sin2x 的图象 ( )A .向右平行移动3π个单位 B.向右平行移动6π个单位C.向右平行移动12π个单位 D.向左平行移动12π个单位 21、已知πα 0，53cos =α，那么=+)sin(πα ( )A .-1 B.53- C.54 D.54-22、tan165°-tan285°= ( )A .32- B.31+ C.32 D.32+23、函数y=2sin2xcos2x 是 ( )A .周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为4π的奇函数 D.周期为4π的偶函数24、在△ABC 中，已知∠BAC=120o ，AB=3，BC=7，则AC=____________.25、在△ABC 中，AB=3，BC=5，AC=7，则cosB=________.26、在△ABC 中，已知AB=2，BC=3，CA=4，则cosA=____ ______.27、函数y=x x cos sin 3+的值域是___ ______. 28、函数y=sinx-3cosx 的最小正周期是___________. 29、设38πα-=，则与α终边相同的最小正角是_________. 30、cos 2398o +cos 2232o =___________. 31、函数tan(3)4y x π=+的最小正周期是 .二、三角函数式的变换及其应用32、015tan 115tan 1-+= ( ) A.3- B.33 C.3 D.33- 33、已知=-=θθπθπθθsin cos ,24,81cos sin 那么且 ( ) A .23 B.23- C.43 D.43-34、当=+∈≠xx x x ，Z k k x co s 3co s si n 3si n )(2时π ( ) A .-2cos2x B.2cos2x C.4cos2x D.-4cos2x 35、=++-)67sin()67sin(θπθπ ( ) A .23B.θcosC.θcos -D.θ2cos 3 36、已知=--==)tan(,21tan ,3tan βαβα则 ( ) A .-7 B.7 C.-5 D.137、=+2280cos 1( )A .cos14° B.sin50° C.cos50° D.cos140° 38、如果=-=+=ββααβα那么且是锐角,1411)cos(,734sin ,， ( ) A .3π B.4π C.6π D.8π39、如果=++-x x x sin 1sin 1,20那么π( )A .2cosx B.2sinx C.2sin 2x D.2cos 2x40、当=--=+)tan 1)(tan 1(43βαπβα，时 ( )A .21 B.31C.1D.2 41、在△ABC 中，已知cosAcosB=sinAsinB ，那么△ABC 是 ( ) A .直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.不等边锐角三角形42、在△ABC 中，已知cosA=135，cosB=53，那么cosC= ( ) A .6563- B.6563 C.6533- D.653343、已知sin α.+cos α.=53,则sin2α.=_______.44、函数y=2cosx -cos2x 的最大值是___ _____. 45、如果51cos sin =+αα (0＜α＜π＝，那么tg α的值是____ ____.46、设0＜α＜2π，则2cos2sin sin 1ααα--等于______ __________.三、三角函数综合题47、在ABC 中，已知∠A=45o ，∠B=30o ,AB=2,求AC.48、在ABC 中，已知∠A=60o ，且BC=2AB ，求sinC.49、设函数θθθθθcos sin 25cos sin 2)(++=f , ]2,0[πθ∈，(Ⅰ)求)12(πf ; (Ⅱ)求函数f(θ)的最小值.50、已知sin α=54，α是锐角，求1)28(cos 22--απ的值。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：1 三角函数定义的应用 含解析
I ．题源探究·黄金母题 【例1】已知角α的终边经过点()3,4P --，求角α的正弦、余弦和正切值． 【解析】由已知可得：()()220345OP x =-+-=．如图，设角α的终边与单位圆交于点(),P x y ．分别过点0,P P 作x 轴的垂线00,,MP M P 则0004,,3,M P MP y OM ==-= ,OM x OMP =-∆∽00OM P ∆，于是， 0004sin 15MP M P y y OP OP α-====-=-； 003cos 15OM OM x x OP OP α-====-=-；sin 4tan cos 3y x ααα===．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第12页例2．【母题评析】本题考查任意角终边上任意一点三角函数的定义．【思路方法】一般地，设角α的终边上任意一点P 的坐标为(),x y ，它与原点的距离为r，则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠．【变式】已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a ≠，求sin ,cos ,tan ααα的值．（人教版A 版必修4第20页习题A 组第2题）II ．考场精彩·真题回放【例2】【2013新课标全国II 卷】设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin cos θθ+= ．【解析】11tan 11tan ,,tan ,421tan 23πθθθθθ+⎛⎫+=∴=∴=- ⎪-⎝⎭Q Q 为第二象限角，设角θ的终边上有一点()()3,0,10,P k k k r k ->∴【命题意图】本题主要考查三角函数的定义的应用，考查考生基本计算能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】解答此类问题的关键是正确运用三角函数的定义，注意角所在的象限．10sin ,cos ,sin cos 51010y x r r θθθθ∴====-∴+=-．III ．理论基础·解题原理 任意角αα−−−−→唯一对应的终边的位置−−−−→唯一对应终边与单位圆的交点坐标，即任意角α−−−−→唯一对应终边与单位圆的交点坐标．一、三角函数的单位圆定义法设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么：正弦sin y α=；余弦cos x α=；正切tan (0)yx xα=≠． 即：正弦、余弦、正切都是以角（实数）为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们称它们为三角函数．（单位圆定义法） 二、三角函数的终边定义法设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+>，则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠． 三、三角函数线如图（I ）～（IV ），设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合且与单位圆交于点A ，终边与单位圆交于点(),P x y ，过点P 作PM 垂直x 轴于点M ，过点A 作x 轴垂线与角α的终边或其延长线交于点T ，则有向线段,,MP OM AT 分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线，即正弦线：sin MP y α==；余弦线：cos OM x α==；正切线：tan (0)yAT x xα==≠．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，考查对基础知识的识记与理解，考查考生基本计算能力． 【技能方法】（1）已知角α的终边上一点P 的坐标求角α的三角函数值，可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的终边定义法求解；（2）已知角α的终边所在的直线方程求角α的三角函数值，则可先设出终边上一点的坐标，求出点到原点的距离，然后利用三角函数的终边定义法求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可以直接写出角α的三角函数值；（3）各象限三角函数值符号规律的口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 【易错指导】当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况讨论，机械地使用三角函数的定义会出现错误．V ．举一反三·触类旁通【例3】【2016新课标Ⅱ学易大联考三】已知函数()sin 2()f x x ＝＋ϕ（0ϕ<<π），若角ϕ的终边经过点(3,3)，则()4f π的值为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．23 【命题意图】本题考查诱导公式、三角函数的定义等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力． 【答案】A【例4】【2016年湖北龙泉中学高三月考】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 24πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．7210-B ．210C ．210-D ．210【答案】D【解析】由题意可知2tan =θ，))2sin 2sin 2cos 2sin cos cos 422πθθθθθθ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭102221tan )1(tan 222)1(tan cos 222=-++=-+=θθθθ，所以本题的正确选项为D ． 【例5】【2016届湖南省四大名校高三3月联考数学（理）试卷】在直角坐标系中，P 点的坐标为34,,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭是第三象限内一点，1OQ =， 且34POQ π∠=，则Q 点的横坐标为 （ ）A ．B ．． D ．【答案】A【解析】由题设可设)sin ,(cos ),sin ,(cos ααθθP Q ，则Z k k ∈+=-==,245,54sin ,53cos ππαθαα，所以Z k k ∈++=,245παπθ，所以cos(cos =θ102754225322)45-=⨯-⨯-=+απ，故应选A ． 【例6】【2015-2016福建师大附中高一下期中考数学】若点(sin cos ,2cos )P θθθ位于第三象限，那么角θ终边落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】由题设0sin ,0cos ><θθ，故角θ的终边在第二象限．故应选B ．【例7】【2015-2016学年湖南衡阳一中高一下期末数学试卷】已知角α的终边过点(8,3)P m ，且4cos 5α=-，则m 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ． 2【答案】A【解析】由题设549648cos 2-=+=m mα可得21±=m ，经检验21-=m 成立，应选A ．【例8】【2015-2016学年西藏山南二中高一下期末数学试卷】若角600o的终边上有一点(4,)a -，则a的值是（ ）A ．．-．±．0 【答案】B【解析】由题意得tan 6004tan 604aa =-⇒=-=-oo B ． 【方法点睛】利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．【例9】【2015-2016学年黑龙江鹤岗一中高二下期末理科数学试卷】已知角α的终边过点()m m P 34，-()0m <，则ααcos sin 2+的值是（ ）A ．1B ．52C ．52- D ．－1 【答案】C【解析】因m m m r 591622-=+=，故54cos ,53sin =-=αα，所以52cos sin 2-=+αα，故选C ．【例10】【2015-2016学年西藏日喀则一中高二下期末文科数学试卷】已知角α终边与单位圆221x y +=的交点为1,2y ⎛⎫P ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12C ．-．1【答案】A 【解析】因21cos =α，故sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭211cos 22cos 2-=-=αα，故应选A ． 【例11】【2016届吉林四平一中高三五模文科数学试卷】已知锐角α的终边上一点(1cos 40,sin 40)P +o o ，则锐角α=（ ）A ．80oB ．70oC ．20oD ．10o【答案】C【解析】sin 4040tan tan tan 20,201cos 402αα====+o o o oo．【例12】【2015-2016学年海南省国兴中学高一下第一次月考数学试卷】已知()P y 为角β的终边上的一点，且sin β=，则y的值为（ ） A ．12±B ．12C ．12- D ．2± 【答案】B 【解析】13133sin 2=+=y y β，解得21=y ，故选B ． 【例13】【2015-2016学年湖北省黄冈市蕲春县高一下期中数学试卷】已知α为锐角，且α5的终边上有一点)130cos ),50(sin(00-P ，则α的值为（ ）A ．08 B ．044 C ．026 D ．040 【答案】B【解析】利用诱导公式，可以将点P 化简为P （cos220°，sin220°），因为0°＜α＜45°， 所以5α=220°，所以α=44°．故选B【例14】【2015-2016学年湖南省株洲市十八中高一下期中理科数学试卷】若,54cos ,53sin -==αα则在角α终边上的点是（ ）A ． )3,4(-B ． )4,3(-C ． )3,4(-D ． )4,3(- 【答案】A【解析】由三角函数定义可知，角终边上的点(),x y满足3445y r xrr ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以43x y =-⎧⎨=⎩，点为)3,4(-．【例15】【2015-2016学年湖南省株洲市十八中高一下期中理科数学试卷】已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】因为点P （tan α，cos α）在第三象限，所以，tan α＜0，cos α＜0，则角α的终边在第二象限．【例16】【2015-2016学年湖南省醴陵二中、四中高一下期中数学试卷】若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）A ．5(,)(,)424ππππU B ．35(,)(,)244ππππU C ．)23,45()2,4(ππππY D ．33(,)(,)244ππππU 【答案】A 【解析】由题意得sin cos 0tan 0ααα->⎧⎨>⎩，由[0,2)απ∈可得α的取值范围是5(,)(,)424ππππU 【例17】【2015-2016学年福建省晋江市季延中学高一下期中数学试卷】已知正角α的终边上一点的坐标为（32cos ,32sinππ），则角α的最小值为（ ） A ．65π B ．32π C ．35π D ．611π【答案】D【解析】由题点坐标为；（32cos ,32sinππ），1)2-， 则：111sin ,26y r παα==-= 【例18】【2016届湖北省襄阳五中高三5月高考模拟一文科数学试卷】在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(3,1)P --，则sin(2)2πα-=（ ） A ．3 B ．3- C ．12 D ．12- 【答案】D 【解析】因33tan =α，则67πα=，故sin(2)2πα-21-=，选D ． 【例19】【2015-2016学年吉林省松原市扶余一中高一下期中数学试卷】若角α的终边过点P （2cos120°，sin225°），则cosα=（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】【例20】【2016届河北省衡水中学高三下学期猜题理科数学试卷】若点55(sin,cos )66ππ在角α的终边上，则sin α的值为（ ） A ．3．12- C ．12 D 3【答案】A ．【解析】根据任意角的三角函数的定义，5cos 36sin 12πα==-，故选A ． 【例21】【2015-2016学年贵州花溪清华中学高一5．28周练】若角α和β的终边关于直线0x y +=对称， 且3πα=-，则β角的集合是 ．【答案】|2,6k k Z πββπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭【解析】根据象限角可得3-πα=关于0=+y x 对称的一个角是6πβ-=，那么根据终边相同的角的集合的表示为|2,6k k Z πββπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． 【例22】【2015-2016学年江苏省连云港东海县房山高中高一下期中数学试卷】已知角的终边过点(1,2)P -，则sin α的值为 ．【答案】5【解析】由题角的终边过点(1,2)P -： 因为：sin yrα=，r ==则；sin 5α= 【例23】【2015-2016学年北京市怀柔区高一上期末数学试卷】已知角α的终边经过点1(2P ，则tan α的值为____________． 【答案】3 【解析】3tan ==xyα 【例24】【2015-2016学年福建师大附中高二下期末文科数学试卷】设0<a ，角α的终边经过点(3,4)P a a -，则αsin =__________． 【答案】45-【解析】44sin 55a a α===--． 【例25】【2015-2016学年广东仲元中学高二上期末数学试卷】在平面直角坐标系xoy 中，以x 的非负半轴为始边作两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆交于点A ，B ，已知A 的横坐标为55，B 的纵坐标为102，则=+βα2______． 【答案】43π【解析】由三角函数的定义可知：cos 5α=，sin 10β=，sin5α∴=，cos 10β=， 4sin25α∴=，23cos 212(55α=-⨯=-，472322sin(2)()55αβ∴+=⨯+-⨯=，324παβ∴+=． 【例26】【2015-2016学年内蒙古赤峰二中高一上第二次月考文数学卷】已知角α的终边上一点()3,,0P y y -≠，且2sin 4y α=，求cos ,tan αα的值． 【答案】6155.cos ,tan ,43y αα==-=-或6155,cos ,tan 43y αα=-=-=．【例27】【2015-2016学年甘肃省金昌市永昌一中高一上学期期末考】已知角α的终边在直线y=x 上，求sinα，cosα，tanα的值．【答案】sinα=﹣，cosα=﹣，ta nα=【解析】试题分析：分类讨论，取特殊点的坐标，由三角函数定义可得． 试题解析：直线y=x ，当角α的终边在第一象限时，在α的终边上取点（1，），则sinα=，cosα=，tanα=；当角α的终边在第三象限时，在α的终边上取点（﹣1，﹣），则sinα=﹣，cosα=﹣，tanα=．【例28】【2015-2016学年福建省清流县一中高一上学期期中考试数学试卷】 （1）已知角α的终边经过一点)0)(3,4(>-a a a P ，求ααcos sin 2+的值； （2）已知角α的终边在一条直线x y 3=上，求αsin ，αtan 的值．【答案】（1）25-；（2）3tan=α，当0>a时，23sin=α；当0<a时，23sin-=α．。
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黄梅理工2017届高三数学测试题（三角函数）
一、选择题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.下列说法中正确的是 ( ).
A 、60-︒角的终边在第一象限
B 、390︒是与30︒终边相同的角
C 、150︒=32
π D 、0180-角不是界限角.
2.下列说法中正确的是( )
①如果∂角是第四象限的角，则角α-是第一象限的角 ②5cos1803sin 902tan 06sin 270︒-︒+︒-︒=2
③已知角α的终边上的点P 的坐标为（-3，4），则sin α=-4
5
④已知α
为第一象限的角，化简tan =cos α
A 、①②
B 、①③
C 、②③④
D 、②④
3.已知sin 0,tan 0θθ<>
化简的结果为( )
A 、cos θ
B 、 cos θ-
C 、 cos θ±
D 、以上都不对
4.若)2,4(π
πα∈，则αααtan ,cos ,sin 的大小顺序是（ ）
A 、αααtan cos sin >>
B 、αααtan cos sin <<
C 、αααsin tan cos >>
D 、αααcos sin tan >> 5.若点A （tanx,cosx ）是第二象限的点，则角x 是（ ）
A 、第一象限角
B 、第二象限角
C 、第三象限角
D 、第四象限角 6.下列说法中正确的是（ ）
A 、②④
B 、①④
C 、①③
D 、②
二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
7.若扇形的半径为5cm ，圆心角为30°，则该扇形的弧长l = ，扇形面积S = 。
8.，求下列各式的值：已知3tan =a a a a a cos 4sin 3cos sin +-= ，a a sin 11
sin 11-++= 。
9.在[]0,2π内，适合关系式1
sin 2
x =-的角x 是_________________________
10.与1130°角终边相同的最小正角是 。
三、解答题：（每小题6分，共36分，写出必要的解答过程）
11.（1）化简：)
sin()
tan()2tan()cos(a a a a +---ππππ
（2）化简：)
3tan()cos()
tan()tan()2sin(πππππ-+-+-a a a a a
（3）的值。
求)
120cos(225tan 330cos )45sin(0
00
0--。