2020届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学(文)试题(解析版)
2020届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学（文）试题一、单选题1．设集合[]A 1,2=，2B {x Z |x 2x 30}=∈--<，则A B (⋂= ) A ．[]1,2 B ．()1,3-C ．{}1D ．{}1,2【答案】D【解析】解一元二次不等式可得集合B ，利用交集定义求解即可. 【详解】集合[]A 1,2=，{}2B {x Z|x 2x 30}{x Z|1x 3}0,1,2=∈--<=∈-<<=， {}A B 1,2∴⋂=．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了集合的表示及集合的交集运算，属于基础题. 2．若512iz i=-（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．2i - B ．2i +C ．2i --D ．2i -+【答案】C【解析】由复数除法法则计算出z ，再由共轭复数概念写出共轭复数． 【详解】55(12)212(12(12)i i i z i i i i +===-+--+，∴2z i =--． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题． 3．已知向量a ，b 满足||1a =，2a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．0【答案】A【解析】由向量数量积的运算法则计算．【详解】(2)a a b ⋅-=22221(2)4a a b -⋅=⨯--=．故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算法则，属于基础题． 4．已知sin()2sin 2παα-=，则tan 2α的值为 ( )A ．43-B ．34-C ．165D ．12【答案】A【解析】根据诱导公式可化简已知条件得tan α，再利用二倍角的正切公式求得结果. 【详解】由题意得：sin cos 2sin 2πααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ 1t a n 2α⇒=- 22tan 14tan 211tan 314ααα-∴===---本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用二倍角的正切公式求值问题，关键是能够利用诱导公式化简已知条件，得到正切值.5．函数y ＝331x x -的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝1113--＝32＞0，故再排除B ；当x→＋∞时，3x－1远远大于x 3的值且都为正，故331xx -→0且大于0，故排除D ，选C.6．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．56【答案】C【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C. 【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.7．已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．516B ．54C ．52D ．5【答案】A【解析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值. 【详解】22221114log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222244416log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22216log 516log 5log 116522161615log 0,log 2255216f⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫>∴====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A. 【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.8．高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便。
某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A ．① B ．②C ．④D ．⑤【答案】C【解析】利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果． 【详解】（1）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s ，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s ，所以疏散1000名乘客④比①快60s ．（2）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s ，同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s ，所以疏散1000名乘客②比⑤快80s ．（3）同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s ，同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s ，所以疏散1000名乘客①比③快100s ．（4）同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s ，同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s ，所以疏散1000名乘客④比②快60s ．（5）同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s ，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s ，所以疏散1000名乘客⑤比③快20s ．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是④． 【点睛】本题考查推理的应用，考查分析判断的能力，解题的关键是读懂题意，然后得到每两个安全出口疏散1000名乘客所用时间的大小关系，比较后可得结果． 9．已知函数()sin()6f x x πω=+(0)>ω的最小正周期为π，若()f x 在[0,)x t ∈时所求函数值中没有最小值，则实数t 的范围是( )A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．5,36ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】首先根据函数的最小正周期为π，求得2ω=，根据函数在给定区间上没有最小值，结合函数的图象，得出532662t πππ<+≤，从而求得结果. 【详解】因为函数()sin()6f x x πω=+(0)>ω的最小正周期为π，所以2ω=， 当[0,)x t ∈时，2[,2)666x t πππ+∈+，因为[0,)x t ∈时所求函数值中没有最小值，所以532662t πππ<+≤，解得233t ππ<≤，所以t的取值范围是2 (,] 33ππ，故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦函数的图象和性质，函数的最小正周期以及函数的最值，属于简单题目.10．已知函数是定义在上的奇函数，，且时，，则( )A．4 B．C．D．【答案】D【解析】先利用得到函数的周期性，再利用函数的奇偶性和对数运算进行求解．【详解】因为函数满足，所以，即函数是以为周期的周期函数，又函数是定义在上的奇函数，且时，，所以．故选D．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用以及对数运算，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力，属于中档题．本题的易错点在于“正确根据判定函数是以为周期的周期函数，而不是图象关于直线对称”，在处理函数的周期性和对称性时，要注意以下结论：若函数满足或，则函数的图象关于直线对称；若函数满足或，则函数是以为周期的周期函数.11．若双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x+-+=所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（）A B．3C D 【答案】B【解析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出2213ba=，再求双曲线C的离心率得解. 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由对称性，不妨取by x a=，即0bx ay -=． 又曲线22420x y x +-+=化为()2222x y -+=， 则其圆心的坐标为()2,0． 由题得，圆心到直线的距离1d ==，1d ==．解得2213b a =，所以e ==== 故选：B ． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 12．已知函数211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x =>，其中R a ∈．若()f x 的图象在点()()11,A x f x 处的切线与g x （）的图象在点()()22,B x f x 处的切线重合，则a 的取值范围为（） A ．(1ln 2,)-++∞B ．(1ln 2,)--+∞C ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．(ln 2ln3,)-+∞【答案】A【解析】先根据导数的几何意义写出函数()f x 在点A 与函数()g x 在B 处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出222111ln 12a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭，令21t x =，则102t <<，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a 的取值范围．【详解】∵211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x => ∴()()11022f x x x '=+<，()()10g x x x'=>，函数()f x 在点()()11,A x f x 处的切线方程为：()2111111114222y x x a x x x ⎛⎫⎛⎫-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()g x 在点()()22,B x f x 处的切线方程为：()2221ln y x x x x -=-， 两直线重合的充要条件是1211122x x +=①，2121ln 14x a x -+=-②， 由①及120x x <<得21102x <<， 故22222211111ln 1ln 122a x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令21t x =，则102t <<，且21ln 12a t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， 设()21ln 12h t t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，102t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()()()221112121t t t t h t t t t t+---'=--==， 当102t <<时，()0h t '<恒成立，即()h t 单调递减， ()11ln 22h t h ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，0x →时，()h t →+∞，即a 的取值范围为(1ln 2,)-++∞，故选A. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法，属于中档题.二、填空题13．曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为__________. 【答案】45°【解析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k ＝y ′|x ＝1，再结合正切函数的值求出角α的值即可． 【详解】y ′＝3x 2﹣2，切线的斜率k ＝3×12﹣2＝1．故倾斜角为45°． 故答案为45°． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，以及利用斜率求倾斜角，本题属于基础题． 14．在ABC ∆中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b ,.c 已知ABC ∆的面积为2b c -=,14cosA =-,则a 的值为______．【答案】【解析】根据三角形的面积，以及14cosA =-，求出bc ，再结合余弦定理，即可得出结果. 【详解】因为14cosA =-，所以sin A又ABC ∆所以1si 8n 2∆===ABC S bc A bc ， 故8bc =，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，所以22()22cos 416424=-+-=++=a b c bc bc A ，因此a =故答案为【点睛】本题主要考查解三角形，熟记三角形的面积公式与余弦定理即可，属于常考题型. 15．正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCDV -=，则球O 的体积是______． 【答案】323π【解析】正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积． 【详解】∵正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，∴球心O是正方形ABCD 对角线交点，PO 是棱锥的高，设球半径为R ，则AB =，22)2ABCD S R ==，211162333P ABCD ABCD V S PO R R -==⨯⨯=，2R =，∴3344322333V R πππ==⨯=球．故答案为：323π．【点睛】本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题．解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系．16．已知函数()log (3)1a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则121m n++的最小值为_____． 【答案】43【解析】先由函数()f x 得到定点A 坐标，再把A 代入直线，得到,m n 的关系，再由基本不等式得到答案. 【详解】函数()log (3)1a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点()2,1--， 所以()2,1A --,将()2,1A --代入到直线40mx ny ++=中，得到24m n +=， 即()216m n ++=所以121m n ++()1111622m n m n ⎛⎫+⨯⨯ ⎪+⎝=++⎭⎡⎤⎣⎦()4112261m nm n +⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦()14222263≥+⨯+= 当且仅当1,32m n ==时，等号成立.所以答案为：43【点睛】本题考查对数函数过定点，基本不等式求最小值，属于中档题.三、解答题17．已知等差数列n {}a 满足4357,219a a a =+=。
2020年陕西省汉中市高考数学一模试卷(文科)
2020年陕西省汉中市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设集合A＝[1, 2]，B＝{x∈Z|x2−2x−3<0}，则A∩B＝（）A.(−1, 3)B.[1, 2]C.{1, 2}D.{1}2. z=5i1−2i（i是虚数单位）则z的共轭复数为（）A.2+iB.2−iC.−2+iD.−2−i3. 已知向量a→,b→满足|a→|=1,a→⋅b→=−2，则a→⋅(2a→−b→)=()A.−4B.4C.2D.04. 已知sin(α−π2)＝2sinα，则tan2α的值为（）A.−34B.−43C.12D.1655. 函数y=x33x−1的图象大致是（）A.B.C.D. 6. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是______________.7. 已知函数f(x)={(12)x,x≥0f(x+2),x<0，则f(log215)=()A.54B.516C.5D.528. 地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A.BB.AC.ED.D9. 已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，若f(x)在x∈[0, t)时函数值没有最小值，则实数t的范围是（）A.(0,23π] B.(0,π6] C.(π3,23π] D.(π3,5π6]10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(32+x)=f(x−32)，且x∈(−32,0)时，f(x)＝log2(−3x+1)，则f(2020)＝（）A.log27B.4C.−2D.211. 若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线(x−2)2+y2＝2所截得的弦长为2．则该双曲线的离心率为（）A.2√33B.√3C.2√55D.√512. 已知函数f(x)=14x2+12x+a(x<0)，g(x)＝lnx(x>0)，其中a∈R．若f(x)的图象在点A（x1, f(x1)）处的切线与g(x)的图象在点B（x2, g(x2)）处的切线重合，则a的取值范围是（）A.(−1−ln2, +∞)B.(−1+ln2, +∞)C.(ln2−ln3, +∞)D.(−34,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上）曲线y＝x3−2x+4在(1, 3)处的切线的倾斜角为________．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为√15，b−c＝2，cosA=−14，则a的值为________2√6．正四棱锥P−ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果V P−ABCD=163，则球O 的体积是________323π ．已知函数f(x)＝log a (x +3)−1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +4＝0上，其中mn >0，则1m+1+2n 的最小值为________．三、解答题（共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题）已知等差数列{a n }满足a 4＝7，2a 3+a 5＝19． (Ⅰ)求通项a n ；(Ⅱ)设{b n −a n }是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n }通项公式及前n 项和T n ．2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和中位数a(a 的值精确到0.01)；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5, 7, 5)，[7.5, 8.5)的学生中抽取9名参加座谈会．(i)你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；(ii)座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),(n =a +b +c +d)． 临界值表：如图，在四面体PABC 中，PA ＝PC ＝AB ＝BC ＝5，AC ＝6，PB ＝4√2，线段AC ，AP 的中点分别为O ，Q ．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）求四面体POBQ 的体积． 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长是短轴长的√3倍，焦距为2√2． （1）求椭圆的方程；（2）已知定点E(−1, 0)，若直线y ＝kx +2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．已知函数f(x)＝lnx +ax −1(a ∈R)． (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)的图象与x 轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x 1，x 2，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<1x 1+1x 2．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为{x =−√33ty =2+√63t （其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝3sinθ． （1）求C 1和C 2的直角坐标方程；（2）设点P(0, 2)，直线C 1交曲线C 2于M ，N 两点，求|PM|2+|PN|2的值． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x −2|+|x −3|． （1）求不等式f(x)<2的解集；（2）若f(x)≥a|2x +1|的解集包含[3, 5]，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020年陕西省汉中市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复三的刺算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】平面射量长量化的性置及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】三角都数升恒害涉换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】古典因顿二其比率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】进行简根的合情亮理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】三角于数的深期两及其牛法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】抽象函表及声应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】圆于虫锥春线接综合问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上）【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】余于视理正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】球的体都连表面积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题）【答案】此题暂无答案【考点】等差明列政快比数坏的综合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】频率都着直方图独根性冬验【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】柱体三锥州、台到的体建计算平面因平面京直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与椭常画位置关系椭明的钾用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】此题暂无答案【考点】圆的较坐标停程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
陕西省汉中市2020届高三上学期(11月)联考数学(文)试题
且 b 1，则 c 的最小值为______.
三、解答题：
2
17.已知函数 f x 2 cos x 0, 0 的图象经过点 0,1 ，函数 g x tan x 的部分图
象如图所示.
1.求 ， ；
2.若
f
2
2 2
sin
4
6 4
，
得
sin
4
3 2
， 所 以 2k
4
3
或
2k 2 k Z ，即 2k 7 或 2k 11 k Z .
4
3
12
12
所以 sin
2
高三数学试卷（文科） 第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数 f x x 1 ln 4 x 2 的定义域是（ ） x 1
A.1, 2
B. 2, 2
C. 1, 2
D. 2, 1 1, 2
2.已知向量 a ， b 满足 a b 1, 5 ， a 2b 2,1 则 b （ ）
6
sin
4
k
7 6
6
sin
7 6
6
sin
4 3
3 2
，
或
sin
2
6
sin
4
k
2020年陕西省汉中市高考数学一模试卷(文科)(含解析)
2020年陕西省汉中市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合A ＝[1, 2]，B ＝{x ∈Z|x 2−2x −3<0}，则A ∩B ＝（ ） A.[1, 2] B.(−1, 3) C.{1} D.{1, 2}2.z =5i1−2i （i 是虚数单位）则z 的共轭复数为（ ） A.2−i B.2+i C.−2−i D.−2+i3.已知向量a →,b →满足|a →|=1,a →⋅b →=−2，则a →⋅(2a →−b →)=() A.4 B.−4 C.0 D.24.已知sin(α−π2)=2sinα，则tan2α的值为（ ） A.−43 B.−34C.165D.125.函数y =x 33x −1的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是______________.7.已知函数f(x)={(12)x ,x ≥0f(x +2),x <0，则f(log 215)=()A.516B.54C.52D.58.地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A.AB.BC.DD.E9.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，若f(x)在x∈[0, t)时函数值没有最小值，则实数t的范围是（）A.(0,π6] B.(0,23π] C.(π3,5π6] D.(π3,23π]10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(32+x)=f(x−32)，且x∈(−32,0)时，f(x)＝log2(−3x+1)，则f(2020)＝（）A.4 B.log27 C.2 D.−211.若双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线(x−2)2+y2＝2所截得的弦长为2．则该双曲线的离心率为（）A.√3B.2√33C.√5 D.2√5512.已知函数f(x)=14x2+12x+a(x<0)，g(x)＝lnx(x>0)，其中a∈R．若f(x)的图象在点A（x1, f(x1)）处的切线与g(x)的图象在点B （x2, g(x2)）处的切线重合，则a的取值范围是（）A.(−1+ln2, +∞)B.(−1−ln2, +∞)C.(−34,+∞) D.(ln2−ln3, +∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上）13.曲线y ＝x 3−2x +4在(1, 3)处的切线的倾斜角为________．14.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为√15，b −c ＝2，cosA =−14，则a 的值为________2√6．15.正四棱锥P −ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P−ABCD =163，则球O 的体积是________323π．16.已知函数f(x)＝log a (x +3)−1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +4＝0上，其中mn >0，则1m+1+2n 的最小值为________．三、解答题（共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题）17.已知等差数列{a n }满足a 4=7，2a 3+a 5=19． (1)求通项a n ；(2)设{b n −a n }是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n }通项公式及前n 项和T n ．18.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x ¯和中位数a(a 的值精确到0.01)；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5, 7, 5)，[7.5, 8.5)的学生中抽取9名参加座谈会． (i)你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；(ii)座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),(n =a +b +c +d)． 临界值表：19.如图，在四面体PABC中，PA＝PC＝AB＝BC＝5，AC＝6，PB＝4√2，线段AC，AP的中点分别为O，Q．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求四面体POBQ的体积．20.已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的√3倍，焦距为2√2．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1, 0)，若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C，D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．21.已知函数f(x)＝lnx+ax−1(a∈R)．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)的图象与x轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x1，x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1<1x1+1x2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为{x=−√33ty=2+√63t（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝3sinθ．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）设点P(0, 2)，直线C1交曲线C2于M，N两点，求|PM|2+|PN|2的值．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|x−2|+|x−3|．（1）求不等式f(x)<2的解集；（2）若f(x)≥a|2x+1|的解集包含[3, 5]，求实数a的取值范围．2020年陕西省汉中市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合A ＝[1, 2]，B ＝{x ∈Z|x 2−2x −3<0}，则A ∩B ＝（ ） A.[1, 2] B.(−1, 3) C.{1} D.{1, 2}【解答】 ∵集合A ＝[1, 2]，B ＝{x ∈Z|x 2−2x −3<0}＝{x ∈Z|−1<x <3}＝{0, 1, 2}， ∴A ∩B ＝{1, 2}．2.z =5i1−2i （i 是虚数单位）则z 的共轭复数为（ ） A.2−i B.2+i C.−2−i D.−2+i【解答】∵z =5i1−2i =5i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i(1+2i)5=−2+i ，∴z ¯=−2−i ．3.已知向量a →,b →满足|a →|=1,a →⋅b →=−2，则a →⋅(2a →−b →)=() A.4 B.−4 C.0 D.2【解答】向量a →,b →满足|a →|=1,a →⋅b →=−2，所以：a →⋅(2a →−b →)=2|a →|2−a →⋅b →=2+2=4， 4.已知sin(α−π2)=2sinα，则tan2α的值为（ ） A.−43 B.−34C.165D.12【解答】解：由sin(α−π2)=−cosα=2sinα， 可得：tanα=−12， 故tan2α=2tanα1−tan 2α=−43． 故选A .5.函数y =x 33x −1的图象大致是（ ）A. B.C. D.【解答】函数的定义域为{x|x ≠0}，排除A ． 当x →−∞时，y →+∞，排除B ，当x →+∞时，x 3<3x −1，此时y →0，排除D ，6.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是______________. 【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有C 42=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法， 红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法， 所以所求的概率为46=23． 故答案为：23. 7.已知函数f(x)={(12)x ,x ≥0f(x +2),x <0，则f(log 215)=()A.516 B.54C.52D.5【解答】根据题意，函数f(x)={(12)x ,x ≥0f(x +2),x <0，又由log 215=−log 25，则−3<log 215=−log 25<−2， 则f(log 215)＝f(−log 25)＝f(2−log 25)＝f(4−log 25)＝f(log 2165)=(12)log 2165=2log 2516=516，8.地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A.AB.BC.DD.E【解答】同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，得到D疏散乘客比A快；同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，得到A疏散乘客比E快；同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，得到A疏散乘客比C快；同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D疏散乘客比B快．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．9.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，若f(x)在x∈[0, t)时函数值没有最小值，则实数t的范围是（）A.(0,π6] B.(0,23π] C.(π3,5π6] D.(π3,23π]【解答】由题意，2πω=π，得ω＝2．∴f(x)=sin(2x+π6)．当x∈[0, t)时，2x+π6∈[π6, 2t+π6)，∵f(x)在[0, t)上没有最小值，∴5π6<2t+π6≤3π2，∴π3<t≤2π3，∴t的取值范围为：(π3, 2π3]，10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(32+x)=f(x−32)，且x∈(−32,0)时，f(x)＝log2(−3x+1)，则f(2020)＝（）A.4 B.log27 C.2 D.−2【解答】根据题意，f(x)满足f(32+x)=f(x−32)，即f(x+3)＝f(x)，函数f(x)是周期为3的周期函数，则f(2020)＝f(1+2019)＝f(1)，又由f(x)为奇函数，则f(1)＝−f(−1)＝−log2(3+1)＝−2，故选：D．11.若双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线(x−2)2+y2＝2所截得的弦长为2．则该双曲线的离心率为（）A.√3B.2√33C.√5 D.2√55【解答】双曲线C:x 2a −y2b=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为：bx+ay＝0，圆(x−2)2+y2＝2的圆心(2, 0)，半径为√2，双曲线的一条渐近线被圆(x−2)2+y2＝2所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：√(√2)2−12=1=√22，4b2c=4c2−4a2c=1，解得：e=ca =2√33，12.已知函数f(x)=14x2+12x+a(x<0)，g(x)＝lnx(x>0)，其中a∈R．若f(x)的图象在点A（x1, f(x1)）处的切线与g(x)的图象在点B （x2, g(x2)）处的切线重合，则a的取值范围是（）A.(−1+ln2, +∞)B.(−1−ln2, +∞)C.(−34,+∞) D.(ln2−ln3, +∞)【解答】由题意知，x 1<0<x 2，当x 1<0时，函数f(x)在点A （x 1, f(x 1)）处的切线方程为y −(14x 12+12x 1+a)＝(12x 1+12)(x −x 1)；当x 2>0时，函数g(x)在点B （x 2, g(x 2)）处的切线方程为y −lnx 2=1x 2(x −x 2)．两直线重合的充要条件是1x 2=12x 1+12①，lnx 2−1=−14x 12+a ②，得a ＝lnx 2+(1x 2−12)2−1＝−ln 1x 2+(1x 2−12)2−1，令t =1x 2，由①及x 1<0<x 2知，则0<t <12，且a ＝t 2−t −lnt −34，设ℎ(t)＝t 2−t −lnt −34(0<t <12)， 则ℎ′(t)＝2t −1−1t =2t 2−t−1t=(t+1)(2t−1)t ，当t ∈(0, 12)时，ℎ′(t)<0，ℎ(t)在(0, 12)为减函数， 则ℎ(t)>ℎ(12)＝ln2−1，又t →0时，ℎ(t)→+∞． ∴a >ln2−1，则a 的取值范围是(ln2−1, +∞)．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上）曲线y ＝x 3−2x +4在(1, 3)处的切线的倾斜角为________． 【解答】y′＝3x 2−2，切线的斜率k ＝3×12−2＝1． 故倾斜角为45∘．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为√15，b −c ＝2，cosA =−14，则a 的值为________2√6． 【解答】由于cosA =−14，则π2<A <π， 利用sin 2A +cos 2A ＝1，解得sinA =√154， 由于△ABC 的面积为√15，所以12bcsinA =√15，解得bc ＝8． 由于b −c ＝2，所以(b −c)2＝4，整理得b 2+c 2＝20，所以a 2＝b 2+c 2−2bccosA =20+2×8×14=24， 解得a ＝2√6．正四棱锥P −ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P−ABCD =163，则球O 的体积是________323π． 【解答】如图，正四棱锥P −ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，∴PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，VP −ABCD =163，∴13⋅2R 2⋅R =163，解得：R ＝2，球O 的体积：V =43πR 3=323π，已知函数f(x)＝log a (x +3)−1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +4＝0上，其中mn >0，则1m+1+2n 的最小值为________． 【解答】由f(x)＝log a (x +3)−1知，f(x)过定点A(−2, −1)． 因为点A 在直线mx +ny +4＝0上，所以2m +n ＝4， 又mn >0，所以m >0，n >0， 所以1m+1+2n =(1m+1+2n )(m+13+n6)=23+n6(m+1)+2(m+1)3n≥23+2√n6(m+1)⋅2(m+1)3n=43，当且仅当n6(m+1)=2(m+1)3n，即m =12，n ＝3时取等号，所以1m+1+2n 的最小值为43．三、解答题（共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题） 已知等差数列{a n }满足a 4=7，2a 3+a 5=19． (1)求通项a n ；(2)设{b n −a n }是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n }通项公式及前n 项和T n ． 【解答】解：(1)∵a 4=7，2a 3+a 5=19． {a +3d =7,2(a 1+2d)+a 1+4d =19,解得d =2，a 1=1， ∴a n =2n −1.(2)∵{b n −a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴b n −a n =2n ， ∴b n =2n +2n −1，∴T n =(2+22+...+2n )+[1+3+...+(2n −1)] =2(1−2n )+1+2n −1⋅n=2n+1+n 2−2.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x ¯和中位数a(a 的值精确到0.01)；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5, 7, 5)，[7.5, 8.5)的学生中抽取9名参加座谈会． (i)你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；(ii)座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),(n =a +b +c +d)． 临界值表：【解答】该组数据的平均数x ¯=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯因为0.03+0.1+0.2+0.35＝0.68>0.5，所以中位数a ∈[8.5, 9.5)， 由0.03+0.1+0.2+(a −8.5)×0.35＝0.5，解得a =0.5−0.330.35+8.5≈8.99；(i)每周阅读时间为[6, 5, 7.5)的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5, 8.5)的学生中抽取6名．………………………………理由：每周阅读时间为[6, 5, 7.5)与每周阅读时间为[7.5, 8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1:2进行名额分配．……………………(ii)由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200×(0.03+0.1+0.2)＝66人，超过8.5小时的共有200−66＝134人． 于是列联表为：………… K 2的观测值k =200×(40×74−26×60)266×134×100×100≈4.432>3.841，……所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．… 如图，在四面体PABC 中，PA ＝PC ＝AB ＝BC ＝5，AC ＝6，PB ＝4√2，线段AC，AP的中点分别为O，Q．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求四面体POBQ的体积．【解答】证明：因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，在Rt△PAO中，PA＝5，OA＝3，且PA为直角三角形的斜边，由勾股定理，得PO＝4，因为BA＝BC，O是AC的中点，所以BO⊥AC．在Rt△BAO中，因为BA＝5，OA＝3，由勾股定理，得BO＝4．因为PO＝4，OB＝4，PB＝4√2，有PO2+OB2＝PB2，则PO⊥OB，且BO∩AC＝O，BO，AC⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC，而PO⊂平面PAC，故平面PAC⊥平面ABC．由（1）可知平面PAC⊥平面ABC．因为平面ABC∩平面PAC＝AC，BO⊥AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥平面PAC，因为在△AOP中，Q是AP的中点所以S△PQ0=12S△PA0＝3，所以V P−OBQ＝V B−POQ=13S△PQ0⋅BO=13×12S△PA0×4=13×3×4＝4．已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的√3倍，焦距为2√2．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1, 0)，若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C，D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．【解答】解：(1)依题意c=√2，{a =√3b,a 2−b 2=2,解得{a =√3,b =1, ∴椭圆方程是x 23+y 2=1； (2)假若存在这样的k 值，由{y =kx +2,x 2+3y 2=3得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0． ∴Δ=(12k)2−36(1+3k 2)>0①，设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，则{x 1+x 2=−12k1+3k 2,x 1x 2=91+3k 2,②而y 1y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4. 要使以CD 为直径的圆过点E(−1, 0)， 即CE ⊥DE ，则y 1x1+1⋅y 2x2+1=−1，即y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0,∴(k 2+1)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0③，将②式代入③整理解得k =76，经验证，k =76，使①成立． 故存在k =76，使得以CD 为直径的圆过点E ． 已知函数f(x)＝lnx +ax −1(a ∈R)． (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)的图象与x 轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x 1，x 2，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<1x 1+1x 2．【解答】（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f ′(x)=1x +a =ax+1x．当a ≥0时，f ′(x)>0，f(x)在(0, +∞)上单调递增；…………………………当a <0时，由f ′(x)＝0，得x =−1a ． 若x ∈(0,−1a )，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 若x ∈(−1a ,+∞)，f ′(x)<0，f(x)单调递减 综合上述：当a ≥0时，f(x)在(0, +∞)上单调递增； 当a <0时，f(x)在(0,−1a )单调递增，在(−1a ,+∞)上单调递减．………………（2）证明：由(Ⅰ)知，当a≥0时，f(x)在(0, +∞)上单调递增，不满足条件．当a<0时，f(x)的极大值为f(−1a)=−ln(−a)，由已知得−ln(−a)＝0，故a＝−1，此时f(x)＝lnx−x+ 1．……………………不妨设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)x2−x1<1x1+1x2等价于ln x2x1<x2x1−x1x2+x2−x1，即证：ln x2x1−x2x1+x1x2<x2−x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯令g(x)=lnx−x+1x(x> 1)，………………………………………………………故g(x)在(1, +∞)单调递减，所以g(x)<g(1)＝0<x2−x1．所以对于任意互不相等的正实数x1，x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1<1x1+1x2成立．…[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为{x=−√33ty=2+√63t（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝3sinθ．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）设点P(0, 2)，直线C1交曲线C2于M，N两点，求|PM|2+|PN|2的值．【解答】直线C1的参数方程为{x=−√3t3y=2+√63t（其中t为参数），消去t可得√2x+y−2=0．由ρcos2θ＝3sinθ，得ρ2cos2θ＝3ρsinθ，代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得曲线C2的直角坐标方程为x2＝3y；将直线C1的参数方程{x=−√33ty=2+√63t代入x2＝3y，得t2−3√6t−18=0，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t 1+t 2=3√6，t 1t 2＝−18，∴|PM|2+|PN|2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=90． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x −2|+|x −3|． （1）求不等式f(x)<2的解集；（2）若f(x)≥a|2x +1|的解集包含[3, 5]，求实数a 的取值范围． 【解答】f(x)={2x −5,x >31,2≤x ≤35−2x,x <2 ，由f(x)<2，解得32<x <72，即不等式f(x)<2的解集是{x|32<x <72}；f(x)≥a|2x +1|的解集包含[3, 5]，即当x ∈[3, 5]时不等式恒成立， 当x ∈[3, 5]时，f(x)＝2x −5，f(x)≥a|2x +1|，即2x −5≥a(2x +1)， 因为2x +1>0，所以2x−52x+1≥a ，令g(x)=2x−52x+1=1−62x+1，x ∈[3, 5]，易知g(x)在[3, 5]上单调递增， 所以g(x)的最小值为17，因此a ≤17，即a 的取值范围为a ∈(−∞,17]．。
2024届陕西省汉中市高三上学期一模文数试题及答案
汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学（文科）本试卷共23小题，共150分，共4页.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,0,1,2,023A B x x =-=<-<，则A B = （ ）A. {0,1}B. {1,0}- C. {1,0,1}- D. {0,1,2}2. 已知()2i 1z +=，则复数z 的虚部为（ ）A. 15-B.15C. 1i5- D.1i 53. 已知向量(2,)m λ= ，(2,4)n λ=--，若m与n共线且同向，则实数λ值为（ ）A. 2B. 4C. 2- D. 2-或44. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）的A. 283π+B. 82π+C. 243π+D. 42π+5. 已知1sin cos 2x x -=，则sin 2x =（ ）A.12B.14C.34D.6. 为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为45，乙每轮猜对的概率为34.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ）A.35B.1920C.720D.1207. 已知:01p x <<；:q x m >，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A. 0m ≥ B. m 1≥ C. 0m ≤ D. 1m £8. 已知双曲线221mx y +=的一条渐近线的斜率为2，则m =（ ）A. －4B. 4C. 14-D.149. 下列函数中，在()0,∞+上是减函数且是偶函数的是（ ）A. 2()1f x x =+ B. 3()f x x =- C. 1()lg||f x x = D. ||()2x f x =10. “欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数4sin()y x ωϕ=+π0,||2ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象上，且图象过点π,224⎛⎫ ⎪⎝⎭，相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，则使得函数单调递增的区间的是（ ）A. ππ,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. π5π,824⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 5π3π,248⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 5π3π,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦11. 已知F 是抛物线C ：22y px =的焦点，2x =-是抛物线C 的准线，点()0,N t （0t ≠）连接FN 交抛物线C 于M 点，0MN MF +=，则OFN △的面积为（ ）A. 6B. 3C.D. 12. 设定义在R 上的函数()f x 满足()()23e -'+=xf x f x x ，且()00f =，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x R 上单调递减 B. ()f x 在R 上单调递增C. ()f x 在R 上有最大值D. ()f x 在R 上有最小值第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知单位向量a ，b 满足()2+⊥ a b b ，则a 与b的夹角为__________.14 函数2log (1),()4,0x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则2(3)(log 3)f f -+=__________.15. 已知ABC 中，=3AB ，=2AC ，60A ∠=︒，则ABC 的外接圆面积为___________.16. 已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．18. 某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样，回答问题统计结果如图表所示．在.组别分组回答正确人数回答正确的人数占本组的概率第1组[15，25)50.5第2组[25，35)a 0.9第3组[35，45)27x 第4组[45，55)b 0.36第5组[55，65]3y（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖.求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19. 如图，在四棱锥P -ABCD ABCD 是平行四边形，120BCD ︒∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PB =2.AB AC PA ===（1）求证：BD ⊥平面PAC（2）过AC 的平面交PD 于点M ，若——12P AC PAC D M V V =，求三棱锥P AMC -的体积．20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>；，与直线:0l x y -=有且只有一个公共点.（1）求椭圆E 的方程；的的（2）过点()1,0M 的直线2l 与椭圆E 交于两点,A B ，若2AM MB →→=，求直线2l 的方程21. 已知函数()()ln f x a x a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32f x a <-+．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系：xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足3OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C ．（Ⅰ）求2C 的参数方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线y x =与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，将曲线1C 、2C 的方程转化为极坐标方程后，求AB ．[选修4-5：不等式选讲]23. 设函数()|21|||,f x x x a a R =-++∈（1）当1a =时，解不等式()3f x ≥；（2）若存在x R ∈，使得()1f x a ≤-成立，求a 的取值范围.汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学（文科）本试卷共23小题，共150分，共4页.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,0,1,2,023A B x x =-=<-<，则A B = （ ）A. {0,1} B. {1,0}- C. {1,0,1}- D. {0,1,2}【答案】A 【解析】【分析】将集合B 化简，再结合集合的交集运算即可得到结果.详解】将集合B 化简可得{}12B x x =-<<，则{}0,1A B = 故选:A2. 已知()2i 1z +=，则复数z 的虚部为（ ）A. 15-B.15C. 1i5- D.1i 5【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算及定义计算即可.【【详解】由()2i 1z +=可得12i 21i 2i 555z -===-+，即虚部为15-.故选：A3. 已知向量(2,)m λ= ，(2,4)n λ=--，若m与n共线且同向，则实数λ的值为（ ）A. 2 B. 4C. 2- D. 2-或4【答案】C 【解析】【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(2,)m λ= ，(2,4)n λ=--，∵m 与n共线且同向∴(2)80λλ-+=，解得2λ=-或4λ=，当4λ=时，m与n共线且反向，舍去，故选：C ．4. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A. 283π+B. 82π+C. 243π+D. 42π+【答案】A 【解析】【详解】根据三视图可知：该几何体是一个圆锥和正方体的组合体.圆锥的体积为212π12π33⨯⨯=，正方体的体积为8，故几何体的体积为：283π+故选：A5. 已知1sin cos 2x x -=，则sin 2x =（ ）A.12B.14C.34D.【答案】C 【解析】【分析】将条件等式两边平方，利用22sin cos 1x x +=，结合二倍角公式，即可求解.【详解】因为1sin cos 2x x -=，所以221sin cos 2sin cos 4x x x x +-=，所以3sin 24x =．故选：C.【点睛】本题考查应用同角间的三角函数关系、三角恒等变换求值，属于基础题．6. 为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为45，乙每轮猜对的概率为34.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ）A.35B.1920C.720D.120【答案】B 【解析】【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为1，间接法可得.【详解】设事件A =“甲猜对”，B =“乙猜对”，C =“几何队至少猜对一个成语”，所以()()43,54P A P B ==，则()()11,54P A P B ==.由题意知，事件,A B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立，法一：()()()C AB AB AB = ，且,,AB AB AB 两两互互斥，则()()()()()()()(()()P C P AB P AB P AB P A P B P A P B P A P B =++=++1341431954545420=⨯+⨯+⨯=.法二：事件C 的对立事件C =“几何队一个成语也没有猜对”，即C AB =，则1119()1()1(1((15420P C P C P AB P A P B =-=-=-=-⨯=.故选：B.7. 已知:01p x <<；:q x m >，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A. 0m ≥ B. m 1≥ C. 0m ≤ D. 1m £【答案】C 【解析】【分析】根据充分，必要条件与集合的包含关系，即可求解.【详解】若p 是q 的充分条件，则{}{}01x x x x m <<⊆>，所以0m ≤.故选：C8. 已知双曲线221mx y +=的一条渐近线的斜率为2，则m =（ ）A. －4 B. 4C. 14-D.14【答案】A 【解析】【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出m 的值.【详解】根据221mx y +=,得到211x m=-,则焦点在y轴，故渐近线为y =，2=，故4m =-.故选：A9. 下列函数中，在()0,∞+上是减函数且是偶函数的是（ ）A. 2()1f x x =+B. 3()f x x =- C. 1()lg||f x x = D. ||()2x f x =【答案】C 【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，2()1f x x =+，是偶函数，在区间(0,)+∞上是增函数，不符合题意；对于B ，3()f x x =-，是奇函数，不符合题意；对于C ，1()lg||f x x =，是偶函数，在区间(0,)+∞上是减函数，符合题意；对于D ，||()2x f x =，是偶函数，但在区间(0,)+∞上是增函数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握幂指对函数的性质，属于基础题．10. “欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数4sin()y x ωϕ=+π0,||2ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象上，且图象过点π,224⎛⎫ ⎪⎝⎭，相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，则使得函数单调递增的区间的是（ ）A. ππ,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. π5π,824⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 5π3π,248⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 5π3π,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据已知得出函数的周期，求出ω，根据点的坐标，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值.然后得出函数的单调区间，即可得出答案.【详解】由已知可得，π22T =，所以πT =，2π2Tω==，()4sin 2y x ϕ=+.又图象过点π,224⎛⎫⎪⎝⎭，所以有π4sin 212ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，π1sin 122ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为π2ϕ<，所以5ππ7π121212ϕ-<+<，所以ππ126ϕ+=，所以π12ϕ=，π4sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,2122k x k k -+≤+≤+∈Z 可得，7π5πππ,2424k x k k -+≤≤+∈Z ，所以，函数的单调递增区间为7π5ππ,π,2424k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .当1k =-时，单调递增区间为31π19π,2424⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；当0k =时，单调递增区间为7π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当1k =时，单调递增区间为17π29π,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦；对于A 项，19ππ7π24324-<-<-，故A 项错误；对于B 项，因为7ππ5π24824-<<，故B 项正确；对于C 项，因为5π3π17π24824<<，故C 项错误；对于D 项，因为5π5π17π24824<<，故D 项错误.故选：B.11. 已知F 是抛物线C ：22y px =的焦点，2x =-是抛物线C 的准线，点()0,N t （0t ≠）连接FN 交抛物线C 于M 点，0MN MF += ，则OFN △的面积为（ ）A. 6B. 3C.D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出抛物线方程，进一步求出,M N 的坐标，最终求出答案.【详解】∵2x =-是抛物线C 的准线，∴4p =，抛物线28y x=∴(2,0)F ∵0MN MF += 为∴M 为NF 的中点，即M 的横坐标为14p =，代入28y x =，得到y =，∴M∴N∴122OFN S =⨯⨯=△.故选：D.12. 设定义在R 上的函数()f x 满足()()23e -'+=xf x f x x ，且()00f =，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 在R 上单调递减B. ()f x 在R 上单调递增C. ()f x 在R 上有最大值D. ()f x 在R 上有最小值【答案】C【解析】【分析】根据已知可得()3e =+xf x x c ，由()00f =求出c 可得()3e x x f x =，利用导数判断()f x 单调性可得最值情况.【详解】因为()()23e -'+=x f x f x x ，所以()()2e e 3x xf x f x x +='，可得()()(2e e e 3''⎡⎤=+=⎣⎦x x x f x f x f x x ，可得()3e =+xf x x c （c 为常数），因为()00f =，所以()00e 00=+=f c ，解得0c =，所以()3e x x f x =，()()2233e e e e3e --⨯'==x x x x x x x x x f x ，当3x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当3x <时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()f x 在3x =时有极大值即最大值()33333e e27==f ，无最小值.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键点是利用已知构造()()()2e e e 3''⎡⎤=+=⎣⎦x x x f x f x f x x ，求出()f x .的的第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知单位向量a ，b 满足()2+⊥ a b b ，则a 与b 的夹角为__________.【答案】2π3【解析】【分析】利用向量垂直点乘等于零和数量积公式求解.【详解】因为a ，b 是单位向量，所以1a b == ，因为()2+⊥ a b b ，所以()20a b b +⋅= ，所以220a b b ⋅+= ，所以22cos ,0a b a b b ⋅⋅<>+= ，所以2cos ,10a b <>+= ，所以1cos ,2a b <>=- ，因为[],0,πa b <>∈r r ，所以2π,3a b <>= .14. 函数2log (1),0()4,0x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则2(3)(log 3)f f -+=__________.【答案】11【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】依题意2(3)(log 3)f f -+=()2222log 32log 3log 32222log 134log 22222311++=+=+=+=.故答案为：11【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查对数运算，属于基础题.15. 已知ABC 中，=3AB ，=2AC ，60A ∠=︒，则ABC 的外接圆面积为___________.【答案】7π3【解析】【分析】利用余弦定理求解边长BC ，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.【详解】解：根据题意，由余弦定理可得2222cos 7BC AB AC AB AC A BC =+-⨯⨯=⇒=，该ABC 的外接圆的半径为r ，则由正弦定理得：27π2πsin 3BC r r S r A ===⇒=⇒==.故答案为：7π3.16. 已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.【答案】163##153【解析】【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为2464V R ππ==球，所以正三棱锥外接球半径4R =，如图所示，设外接球圆心为O ，过PO 向底面作垂线垂足为D ，(04)OD a a =≤<，要使正三棱锥体积最大，则底面ABC 与P 在圆心的异侧，因为-P ABC 是正三棱锥，所以D 是ABC 的中心，所以4,OP OA AD ====，又因为23ADB π∠=，所以AB BC AC ===，)21sin 1623ABC S AB AC a π=⨯⨯⨯=-△，所以())232116(4)416643P ABC ABC V S PD a a a a a -=⨯⨯=-⨯+=--++△，令32()41664,(04)f a a a a a =--++≤<，2()3816(34)(4)0f a a a a a =--+=--+='解得4a =-或43，当40,3a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()0f a '>；当4,43a ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，()0f a '<，所以()f a 在40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭递增，在4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故当43a =时，正三棱锥的体积P ABC V -最大，此时正三棱锥的高为416433a OP +=+=，故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为163.故答案为：163三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）3(1)12n a n n =+-⨯=+；（2）2101【解析】【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2n n b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+112532101=+=．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．18. 某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样，回答问题统计结果如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖.求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【答案】（1）18,9,0.9,0.2a b x y ====（2）2人，3人，1人（3）35【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，以及频率、频数的计算方法，即可求解；（2）根据第2，3，4组回答正确的人的比，结合分层抽样的方法，即可求解；（3）抽取的6人中，第2组的记为a 1，a 2，第3组的记为b 1，b 2，b 3，第4组的记为c ， 利用列举法求得基本事件的总数和所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【小问1详解】解：第1组人数为5100.5=，所以总人数100.1010n ==；第2组人数为1000.220⨯=，所以200.918a =⨯=；第3组人数为1000.330⨯=，所以270.930x ==；第4组人数为1000.2525⨯=，所以250.369b =⨯=；第5组人数为1000.1515⨯=，所以30.215y ==.【小问2详解】解：第2，3，4组回答正确的人的比为18:27:92:3:1=，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．【小问3详解】解：抽取的6人中，第2组的记为a 1，a 2，第3组的记为b 1，b 2，b 3，第4组的记为c ，则从6人中任取2人的所有可能的情况有15种，分别为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c )，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，c )，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c )，(b 2，b 3)，(b 2，c )，(b 3，c )．其中第2组至少有1人的情况有9种，分别为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c )，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，c )． 由古典摡型的概率计算公式，可得所求概率为93155=.19. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ︒∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PB = 2.AB AC PA ===（1）求证：BD ⊥平面PAC（2）过AC 的平面交PD 于点M ，若——12P AC PAC D M V V =，求三棱锥P AMC -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）由菱形的性质有BD AC ⊥，勾股定理知PA AB ⊥，结合面面垂直的推论可得PA BD ⊥，根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由PA ⊥面ABCD 即可计算P ACD V -，结合已知条件可求三棱锥P AMC -的体积；【详解】（1）由题意知：底面ABCD 是菱形，且 2.AB AC ==∴BD AC ⊥，又在△PAB 中2AB PA ==，PB =90PAB ∠=︒，∴PA AB ⊥，又面PAB ⊥面ABCD ，面PAB 面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ，∴PA ⊥面ABCD ，而BD ⊂面ABCD ，有：PA BD ⊥，PA AC A = ，∴BD ⊥平面PAC ；（2）由（1）知：PA ⊥面ABCD ，有11||222sin 6036P ACD ACD V PA S -=⋅=⨯⨯⨯⨯︒= ，而——M PAC P AMC V V =，且——12P AC PAC D M V V =，∴—P AMC V =体积公式求三棱锥的体积.20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>；，与直线:0l x y -=有且只有一个公共点.（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()1,0M 的直线2l 与椭圆E 交于两点,A B ，若2AM MB →→=，求直线2l 的方程【答案】（1）2214x y +=；（20±=.【解析】【分析】（1）由题得椭圆方程为222440x y b +-=，再把y x =+代入并整理，根据0∆=得解；（2）先分析直线2l 的斜率不为0，再设直线的方程为1x ty =+，联立椭圆方程得到韦达定理，再由2AM MB →→=得t 的值，即得解.【详解】解：（1）由椭圆E，得222223,44a b a b a -==故椭圆方程为22222221,4404x y x y b b b+=+-=，把y x =+2252040x b ++-=，因为E 与1l 有且只有一个公共点，所以0∆=，解得1b =，所以椭圆的方程为2214x y +=.（2）当直线2l 的斜率为0时，则A ，B 的坐标为()()2,0,2,0-，不符合2AM MB →→=，故直线2l 的斜率不为0，设直线的方程为1x ty =+，代入椭圆方程得()224230t y ty ++-=则()2241240t t ∆=++>，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122223,44t y y y y t t +=-=-++()()11221,,1,AM x y MB x y →→=--=-，由2AM MB →→=，得122y y -=得122242,44t t y y t t -==++，代入，得()22228344t t t --=++，解得t =故直线2l的方程为+1x y =0±=.【点睛】方法点睛：求直线的方程，一般利用待定系数法，先定式（从直线的五种方程中选择一种作为直线的方程），后定量（再求出待定系数的值）.21. 已知函数()()ln f x a x a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32f x a <-+．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后对a 分类讨论，结合导数的符号判断单调区间即可；（2）转化为证明函数的最大值小于32a -+，构造函数利用导数确定函数的最值可得证.【小问1详解】()1a a x f x x x-'=-=，0x >当0a ≤时，()0f x '≤，则()f x 在()0,∞+上单调递减当0a >时，令()0a x f x x-'==，解得x a =，当0x a <<时，()0f x ¢>，则()f x 在()0,a 上单调递增当x a >时，()0f x '<，则()f x 在(),a +∞上单调递减综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递增，()f x 在(),a +∞上单调递减【小问2详解】由（1）得：()()()max ln f x f a a a a a==--要证：()32f x a <-+，即证：()2ln 2200a a a a a -+-<>即证：2ln 20a a a--+<令()()2ln 20g a a a a a =--+>，()()()221a a g a a -='+当02a <<时，()0g a '>，则()g a 在()0,2上单调递增；当2a >时，()0g a '<，则()g a 在()2,+∞上单调递减；所以，()()max 2ln210g a g ==-<从而命题得证．【点睛】关键点点睛：利用导数证明不等式时，一般需要对结论进行合适的转化，本题转化为只需()f x 的最大值小于32a -+，对不等式适当变形，构造函数是解决问题的第二个关键所在，一般需利用导数研究函数的单调性及最值.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系：xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足3OP OM = ，P 点的轨迹为曲线2C ．（Ⅰ）求2C 的参数方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线y x =与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，将曲线1C 、2C 的方程转化为极坐标方程后，求AB ．【答案】（Ⅰ）3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（Ⅱ）2【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系应用，把参数方程和直角坐标方程进行转换．（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【详解】解：（Ⅰ）设(),P x y 由于P 点满足3OP OM = ，所以,33x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于点M 在1C 上，所以cos 31sin 3x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得2C 的参数方程3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（Ⅱ）曲线1C 的参数方程转换为极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程转换为极坐标方程为6sin ρθ=，直线y x =转换为极坐标方程为π6θ=．所以2sin π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1A ρ=，同理6sin π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3B ρ=，故312A B AB ρρ=-=-=．【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用，其中涉及到轨迹方程的求解、极坐标中两点间的距离求的解，难度一般.极坐标系中，极角相同的两点间的距离等于极径差的绝对值.[选修4-5：不等式选讲]23. 设函数()|21|||,f x x x a a R=-++∈（1）当1a =时，解不等式()3f x ≥；（2）若存在x R ∈，使得()1f x a ≤-成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1x ≥或1x ≤-；（2）14a ….【解析】【分析】（1）当1a =时，利用零点法进行分类，求出不等式()3f x ≥的解集；（2）若存在x R ∈，使得()1f x a ≤-成立，即min |1|()a f x -…，根据1,2a -之间的大小关系，进行分类，最后求出a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时，1()211322113x f x x x x x ⎧⎪=-++⇔⎨⎪-++⎩………，或1121123x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-⎩…或11213x x x -⎧⎨---⎩……，即121x x ⎧⎪⎨⎪⎩……，或1121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-⎩…，或11x x -⎧⎨-⎩……，即1x ≥或1x ≤-.（2）即min |1|()a f x -…，当12a =-时，min 1(),()|1|2f x f f x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭…恒成立；当12a >-时，31,1()1,2131,2x a x a f x x a a x x a x ⎧⎪-+--⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪+-⎪⎩……，可知min 11()22f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，得1142a >-…；当12a <-时，131,21()1,231,x a x f x x a x a x a x a ⎧-+-⎪⎪⎪=--<<-⎨⎪+--⎪⎪⎩……，同理min 11()22f x f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，得12a <-.综上，a 的取值范围为14a ….【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了不等式存在性问题，正确的分类是解题的关键.。
2020届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学(理)试题(解析版)
陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试试题数学（理）一、单选题1．设集合[]A 1,2=，2B {x Z |x 2x 30}=∈--<，则A B (⋂= )A ．[]1,2B ．()1,3-C ．{}1D ．{}1,2【答案】D【解析】解一元二次不等式可得集合B ，利用交集定义求解即可. 【详解】Q 集合[]A 1,2=，{}2B {x Z|x 2x 30}{x Z|1x 3}0,1,2=∈--<=∈-<<=， {}A B 1,2∴⋂=．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了集合的表示及集合的交集运算，属于基础题. 2．若512iz i=-（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．2i - B ．2i +C ．2i --D ．2i -+【答案】C【解析】由复数除法法则计算出z ，再由共轭复数概念写出共轭复数． 【详解】55(12)212(12(12)i i i z i i i i +===-+--+，∴2z i =--． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．3．已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，2a b ⋅=-r r ，则(2)a a b ⋅-=rr r （ ）A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】A【解析】由向量数量积的运算法则计算．【详解】(2)a a b ⋅-=rr r 22221(2)4a a b -⋅=⨯--=r r r ．故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算法则，属于基础题． 4．已知sin()2sin 2παα-=，则tan 2α的值为 ( )A ．43-B ．34-C ．165D ．12【答案】A【解析】根据诱导公式可化简已知条件得tan α，再利用二倍角的正切公式求得结果. 【详解】由题意得：sin cos 2sin 2πααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ 1tan 2α⇒=- 22tan 14tan 211tan 314ααα-∴===---本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用二倍角的正切公式求值问题，关键是能够利用诱导公式化简已知条件，得到正切值.5．函数3sin 2xy x =的图象可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <判断选项. 【详解】3xy =是偶函数，sin 2y x =是奇函数，()3sin 2xf x x =是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π ，当(,)2x ππ∈时，30x y =>，sin 20y x =<3sin 20xy x ∴=<，排除C.故选：D . 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项. 6．在二项式252()x x-的展开式中，x 的系数为（ ）A ．﹣80B ．﹣40C ．40D ．80【答案】A【解析】根据二项展开式的通项，可得10315(2)r r rr T C x -+=-，令3r =，即可求得x 的系数，得到答案. 【详解】由题意，二项式252()x x-的展开式的通项为251031552()()(2)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-， 令3r =，可得3345(2)80T C x x =-=-，即展开式中x 的系数为80-，故选A.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰．2019年，为响应党中央提出的“防治土地荒漠化 助力脱贫攻坚战”的号召，当地政府积极行动，计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10％．已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠化土地面积（万平方公里）为（ ）. A ．470.9⨯ B ．570.9⨯ C ．670.9⨯ D ．770.9⨯【答案】C【解析】得出n 年后的沙漠化土地面积y 关于n 的函数，从而得出答案． 【详解】设从2019年后的第n 年的沙漠化土地面积为y ， 则y ＝7×（1﹣10%）n ，故2025年的沙漠化土地面积为7×0.96． 故选：C ． 【点睛】本题考查了指数增长模型的应用，属于基础题． 8．已知函数()()(0) ,2f x sin x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，为了得到()2g x sin x =的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】A【解析】利用函数()f x 的图象求得,ωϕ的值，再利用左加右减的平移原则，得到()f x 向右平移6π个单位得()2g x sin x =的图象. 【详解】因为712344T πππ-==， 所以22T ππωω==⇒=. 因为7()112f π=-， 所以7322,122k k Z ππϕπ⋅+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以() 23f x sin x π⎛⎫⎪⎝=⎭+. 所以() 2() 2663f x sin x sin x g x πππ⎛⎫⎛⎪-=-+⎫==⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象向右平移6π个单位 可得()2g x sin x =的图象. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的图象提取信息求,ωϕ的值、图象平移问题，考查数形结合思想的应用，求解时注意是由哪个函数平移到哪个函数，同时注意左右平移是针对自变量x 而言的.9． 甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b∈{1,2,3}，若|a －b| ≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 A ． B ． C ． D ． 【答案】D【解析】试题分析：从1，2，3三个数中任取两个则|a-b|≤1的情况有1，1；2，2；3，3；1，2；2，1；2，3；3，2；共7种情况，甲乙出现的结果共有3×3=9，故出他们”心有灵犀”的概率为.【考点】主要考查了组合及古典概型的概率问题.点评：P （A ）=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目．m 表示事件A 包含的试验基本结果数．10．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2．则双曲线C 的离心率为（ ）ABC．D【答案】B【解析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出2213b a =，再求双曲线C 的离心率得解. 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由对称性，不妨取by x a=，即0bx ay -=． 又曲线22420x y x +-+=化为()2222x y -+=， 则其圆心的坐标为()2,0． 由题得，圆心到直线的距离1d ==，1d ==．解得2213b a =，所以3e ====． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则132931242830a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值为（ ）A ．165 B ．1615 C ．1629 D ．1631【答案】B【解析】由题意女子每天织布数成等差数列，且1315,390a S ==，由于131230a a a a +=+，且()()131230133124301615,22a a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=。
陕西省汉中市部分学校2022-2023学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题及参考答案
陕西省汉中市部分学校2022-2023学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题及参考答案满分：150分时间：120分钟一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,2,3,4A =，2{|log ,}B y y x x x A ==-∈，则A B = （）A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}1,2,3D ．{}1,3,42．已知复数z 满足()12i 1i 0z +--=，则z 的虚部为（）A ．15B ．1i5-C ．15-D ．353．已知函数21,[0,1]()(1),(1,)x x f x f x x ∞⎧-∈=⎨-∈+⎩，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．0B ．1C 1D 1-4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1053S S =，则6a =（）A B ．2C ．4D ．15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(),0∞-上单调递减，设31log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，322b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，232c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b<<B ．c b a<<C ．b c a <<D ．b a c<<6．已知tan 34πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 2θ=（）A ．45B ．45-C ．35D ．35-7．已知0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则随机选取1个x ，取到的x 使sin 2x ≥的概率为（）A ．16B ．14C ．13D ．128．如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段8AB =，,,C O D 为线段AB 的四等分点，则该圆台的表面积为（）A ．5πB ．172πC ．6πD ．11π9．若直线():340R l x y a a ++=∈与圆22:9O x y +=交于不同的两点AB ，且，则=a （）A．±B．±C．±D ．5±10．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且2PA AB BC ===，三棱锥P ABC -外接球的体积等于（）AB ．20π3CD ．20π11．已知双曲线()0,012222>>=-b q by a x C ：的左、右焦点分别为21,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点B A ,，若2ABF ∆是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（）A ．3BCD ．212．已知函数12ln ,(e)ey a x x =-≤≤的图象上存在点M ，函数21y x =+的图象上存在点N ，且M ，N 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（）A ．21e ,2⎡⎤--⎣⎦B ．213,e ⎡⎤--+∞⎢⎥⎣⎦C ．213,2e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D ．2211e ,3e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量,a b 满足||1a =，||a b -= 若,a b 所成的角为60°，则a b ⋅=_________.14．已知x ，y 满足约束条件220201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，且2z x y =-的最大值为_________.15．设函数()x x f x ae e -=+在点()()0,0f 处的切线经过点()1,1，则实数=a _________.16．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l于点C ，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为___________.三、解答题：（本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）某小学认真贯彻教育部门“双减”工作的精神，执行相关措施一段时间后，为了解“双减”工作的实际效果，在该校随机抽取了100名小学生，调查他们周末完成作业的时间（以下简称作业时间，单位：h ），将统计数据按[)0,0.5，[)0.5,1，…，[]4,4.5分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值；(2)设该校有1200名学生，估计全校学生作业时间不低于2h 的人数；(3)估计该校学生作业时间的中位数．18．（12分）已知函数()22sin cos cos f x x x x =+（1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递减区间；（2）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满足26A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且sin sin B C +=ABC ∆的面积.19．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，且AD BC ⊥，四边形11ABB A 为正方形.（1）求证：1//A C 平面1AB D ；（2）若60BAC ∠= ，4BC =，求点1A 到平面1AB D 的距离.20．（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，且短轴长等于双曲线：2213y x -=的实轴长.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B 为椭圆C 上关于原点O 对称的两点，在圆D ：228x y +=上存在点P ，使得PAB △为等边三角形，求直线AB 的方程.21．（12分）已知函数()()1ln R f x ax x a =--∈.(1)讨论函数()f x 的单调性(2)当e 1x y >>-时，证明不等式()()e ln 1e ln 1x yy x +>+成立.（求导公式()()1ln 11x x'+=+）选做题（10分）请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为12x ty t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=-.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若点P 的坐标为(-1，2)，求PA PB -.23．选修4-5：不等式选讲设函数()223f x x x =+--．(1)求不等式()1f x >的解集；(2)若()f x 的最大值为m ，实数a ，b 满足2227a b m +=，求()222a b -+的最小值．参考答案1．A 2．C 3．D4．B5．C6．A 7．C8．D9．A 10．C11．B12．A13．1；14．72；15．12；16．16317．【解析】(1)根据频率分布直方图，()0.10.20.40.50.3520.10.050.51a +++++++⨯=，解得0.15a =；(2)样本中作业时间不低于2h 的频率为()0.350.150.150.10.050.50.4++++⨯=，故估计该校1200名学生中，作业时间不低于2h 的人数为12000.4480⨯=；(3)因为前三组频率之和为()0.10.20.40.50.350.5++⨯=<，前四组频率之和为0.350.50.50.60.5+⨯=>，故中位数在第四组中，设中位数为m ，则()0.35 1.50.50.5m +-⨯=，解得 1.8m =．故估计该校学生作业时间的中位数为1.8；综上，0.15a =，作业时间不低于2h 的人数为480，估计该校学生作业时间的中位数为1.8.18．【解析】（1）()22sin cos cos f x x x x =+sin 22x x =+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 最小正周期为22T ππ==.由3222232k x k πππππ+≤+≤+（k Z ∈），解得：71212x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦,（k Z ∈），即()f x 的单调递减区间为71212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,（k Z ∈）；（2）由2sin 22sin 26263A A f A πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦A 为锐角，所以3A π=，由正弦定理可得2sin a R A ==sin sin 214b c B C R ++==，所以13b c +=，由余弦定理得，()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +--+-===，所以40bc =，所以1sin 2ABC S bc A ∆==.19．【解析】（1）连接1BA ，交1AB 于点E ，再连接DE ，由已知得，四边形11ABB A 为正方形，E 为1A B 的中点，∵D 是BC 的中点，∴1//DE AC ，又DE ⊂平面1AB D ，1AC⊄平面1AB D ，∴1//A C 平面1AB D ；（2）∵在直三棱柱111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ，且BC 为它们的交线，又AD BC ⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ，又∵1B D ⊂平面11BCC B ，∴1AD B D ⊥，且23AD =，125B D =；同理可得，过D 作DG AB ⊥于点G ，则DG ⊥面11ABB A ，且3DG =.设1A 到平面1AB D 的距离为h ，由等体积法可得：1111A AB D D AA B V V --=，即111111113232AD DB h AA A B DG ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，即2325443h ⋅⋅=⋅⋅，∴455h =.即点1A 到平面1AB D 的距离为455.20．【解析】(1)依题意有222321c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，3c =.∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=(2)∵点P 在圆D ：()22222x y +=上，∴22OP =又∵PAB △为等边三角形，且O 为线段AB 的中点，∴3OP OA =，263OA =①当直线AB 的斜率不存在时，A ，B 为椭圆C 的上下顶点，∴2613OA =≠，不符合题意；②当直线AB 的斜率存在时，设()11,A x y ，直线AB 的方程为y kx =联立22,1,4y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得12241x k =+，12241k y k =+∴2221121262413k OA x y k +=+==+，解得55k =±,∴直线AB 的方程为：55y x =±21．【解析】(1)函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减，当0a >时，令()0f x '=，1x a=，1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减，当0a >时，()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()f x 在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.(2)将要证明的不等式()()e ln 1e ln 1x yy x ⋅+>⋅+变形为()()ln 1ln 1e e y xy x ++>，题目转化为由e 1x y >>-时，证明()()ln 1ln 1e e y xy x ++>，构造函数()()ln 1e tt g t +=，故只需要证明函数()g t 在()e 1,-+∞上单调递减即可.()()()()211e ln 1e ln 111e e t t t t t t t t g t ⋅-+⋅-+++'==，令()()1ln 11h t t t =-++，则()()()22112111t h t t t t +'=--=-+++，当e 1t >-时，很显然()0h t '<；故函数()h t 在()e 1,∞-+上单调递减，故()()1e 110e h t h <-=-<，故导函数()()0et h t g t '=<在()e 1,-+∞上恒成立，故函数()g t 在()e 1,-+∞上单调递减，∴e 1x y >>-时，()()e ln 1e ln 1x yy x ⋅+>⋅+.22．【解析】解：（1）直线l 的参数方程，消去参数t ，得直线l 的普通方程为30x y -+=；由曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=-，得24cos ρρθ=-，所以曲线C 的直角坐标方程为2240x y x ++=；（2）直线l的参数方程可写为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，代入2240x y x ++=，得210t ++=，设A ，B 两点的参数为12,t t，则12121t t t t +=-=.所以1212PA PB t t t t -=-=-==23．【解析】(1)()5,2322331,2235,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=+--=--<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，由()1f x >，得251x x ≤-⎧⎨->⎩或322311x x ⎧-<<⎪⎨⎪->⎩或3251x x ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩，解得243x <<，即不等式的解集为243x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．(3)由（1）可得()f x 的函数图象如下所示：所以()max 3722f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即72m =，则22217a b m +==，()222a b -+的几何意义为圆221a b +=上的点(),P a b 到点()2,0A 距离的平方，显然2OA =，所以min 1PA OA r =-=，即()222ab -+的最小值为1．。
2020年陕西省汉中市高考数学一模试卷(文科)
【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交集运算，及一元二次不等式解法，需要一定推理能力与计算能力，属于基础题，较为简单．【解析】根据题目得B ={x ∈Z |x 2﹣2x ﹣3<0}={x ∈Z |﹣1<x <3}={0，1，2}， 所以A ∩B ={1，2}．故选D ．【点评】首先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．【答案】C 2020年陕西省汉中市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A =[1，2]，B ={x ∈Z |x 2﹣2x ﹣3<0}，则A ∩B =（ ） A ．[1，2] B ．（﹣1，3）C ．{1}D ．{1，2}2．z 5i12i=-（i 是虚数单位）则z 的共轭复数为（ ） A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2﹣iD ．﹣2+i【命题意图】本题主要考查了复数除法运算，考查共轭复数的定义，属于基础题，较为简单． 【解析】z ()()()()5i 12i 5i 12i 5i 2i 12i 12i 12i 5++====-+--+，则2i z =--．故选C ． 【点评】通过复数的除法运算化简求值，再根据共轭复数的定义即可得到结果．3．已知向量a b rr ，满足12a a b =⋅=-r r r ，，则()2a a b ⋅-=r r r （ ）A ．4B ．﹣4C ．0D ．2【答案】A【命题意图】该题主要考查向量的数量积的定义与应用，需要计算能力，属于基础题，较为简单．【解析】已知a b rr ，满足12a a b =⋅=-r r r ，.因此()222||224a a b a a b ⋅-=-⋅=+=r r r r r r ，故选A ．【点评】通过向量的数量积的定义，代入化简求值． 4．已知sin （2πα-）=2sin α，则tan2α的值为（ ） A ．43-B ．34-C ．165D ．12【答案】A【命题意图】本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系式，倍角的正切函数公式化简求值中的应用，需要转化思想，属于基础题，较为简单．【解析】sin （2πα-）=﹣cos α=2sin α，则tan α12=-，因此tan2α22tan 413tan αα==--．故选A ．【点评】根据诱导公式，同角三角函数基本关系式求tan α12=-，再由倍角的正切函数公式计算即可．5．函数y 331x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【命题意图】本题考查函数图象的判别，根据函数的定义及基本性质与函数取值的极限思想结合最后得到结论．【解析】由题意可知函数定义域为{x |x ≠0}，因此排除A ． 当x →﹣∞时，y →+∞，排除B ，当x →+∞时，x 3<3x ﹣1，而y →0，排除D ，故选C ．【点评】首先由函数的定义域，确定取值范围跟符号，排除法即可．6．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．56【答案】C【命题意图】该题主要考查古典概型概率计算公式，需要对公式进行把握，属于基础题，较为简单． 【解析】解法一：通过红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则余下的2种花种在另一个花坛中，共有24C =6种方法，其中红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，而红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，因此所求的概率为4263=．解法二：根据列举法得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，共有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12）， 因此P 4263==．故选C ． 【点评】通过等可能事件古典概型基本事件比总事件即可得到概率．7．已知函数()()10220xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，，，则215f log ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．516B ．54 C ．52D ．5【答案】A【命题意图】本题考查分段函数带入求值问题，以及对数的计算，属于基础题，较为简单．【解析】因为函数()()10220xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，，，且log 215=-log 25，则﹣3<log 215=-log 25<﹣2， 因此f （log 215）=f （﹣log 25）=f （2﹣log 25）=f （4﹣log 25）=f （log 2165）2216551615()2216log log ===，故选A ．【点评】由题意可知，根据对数的运算性质分析可得﹣3<log 215=-log 25<﹣2，再根据此结合函数的解析式计算可得答案．8．地铁某换乘站设有编号为 A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号 A ，B B ，C C ，D D ，E A ，E 疏散乘客时间（s ）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A ．A B ．B C ．D D ．E【答案】C【命题意图】本题考查合理推理，需要一定的推理论证能力，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题，较为简单．【解析】当开放A 、E 两个安全出口，疏散乘客所需的时间为200s ，当开放D 、E 两个安全出口，疏散乘客所需的时间为140s ，得到D 疏散乘客比A 快； 当开放A 、E 两个安全出口，疏散乘客所需的时间为200s ，当开放A 、B 两个安全出口，疏散乘客所需的时间为120s ，得到A 疏散乘客比E 快； 当开放A 、B 两个安全出口，疏散乘客所需的时间为120s ，当开放B 、C 两个安全出口，疏乘客所需的时间为220s ，得到A 疏散乘客比C 快； 当开放B 、C 两个安全出口，疏散乘客所需的时间为220s ，当开放C 、D 两个安全出口，疏散乘客所需的时间为160s ，得到D 疏散乘客比B 快． 综上所述，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D ．故选C ． 【点评】根据表格两两进行比较即可，最终得出结果． 9．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若f （x ）在x ∈[0，t ）时函数值没有最小值，则实数t 的范围是（ ） A ．06π⎛⎤ ⎥⎝⎦， B ．203π⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．536ππ⎛⎤⎥⎝⎦， D ．233ππ⎛⎤⎥⎝⎦， 【答案】D【命题意图】该题考查三角函数的图象与性质，需要数形结合思想，属中档题，有一定难度． 【解析】根据题意可知，2ππω=，得ω=2．因此f （x ）sin 26x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．在x ∈[0，t ）上，2x 6π+∈[6π，2t 6π+）， 由于f （x ）在[0，t ）上没有最小值，因此56π<2t 362ππ+≤，则3π<t 23π≤，所以t 的取值范围为：（3π，23π]，故选D ． 【点评】根据周期求得ω，得函数解析式，在x ∈[0，t ）上得2x 6π+∈[6π，2t 6π+），由f （x ）在[0，t ）上没有最小值，则56π<2t 362ππ+≤，即可求解．10．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且302x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，f （x ）=log 2（﹣3x +1），则f （2020）=（ ） A ．4 B ．log 27C ．2D ．﹣2【答案】D【命题意图】该题考查函数的周期性与奇偶性的应用，需要计算函数解析式及求值，属于基础题，较为简单．【解析】由题意可知f （x ）满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得f （x +3）=f （x ），因此函数f （x ）是周期为3的周期函数，f （2020）=f （1+2019）=f （1），又因为f （x ）为奇函数，f （1）=﹣f （﹣1）=﹣log 2（3+1）=﹣2，故选D ．【点评】由题意得：f （x +3）=f （x ），即函数f （x ）是周期为3的周期函数，从而f （2020）=f （1+2019）=f （1），再结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．11．若双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的一条渐近线被曲线（x ﹣2）2+y 2=2所截得的弦长为2．则该双曲线的离心率为（ ）A B ．3C D ．5【答案】B【命题意图】该题考查双曲线的性质，以及离心率的求法，和圆的方程，属于基础题，需要一定计算能力．【解析】设曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的一条渐近线为：bx +ay =0，（x ﹣2）2+y 2=2的圆心（2，0），又因为双曲线的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=2所截得的弦长为2，=1=，22222444b c a c c -==1，得：e c a ==，故选B ． 【点评】由圆心与双曲线的渐近线的距离关系，列出关系式，求解离心率． 12．已知函数f （x ）14=x 212x ++a （x <0），g （x ）=ln x （x >0），其中a ∈R ．若f （x ）的图象在点A （x 1，f （x 1））处的切线与g （x ）的图象在点B （x 2，g （x 2））处的切线重合，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1+ln2，+∞）B ．（﹣1﹣ln2，+∞）C ．34⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，D ．（ln2﹣ln3，+∞）【答案】A【命题意图】本题考查切线方程的求法及转化思想，以及求函数最值使用倒数，属于中档题，有一定难度．【解析】根据题意可知，x 1<0<x 2，在x 1<0上，f （x ）在点A （x 1，f （x 1））处的切线方程为y ﹣（14x 1212+x 1+a ）=（12x 112+）（x ﹣x 1）； 在x 2>0上，g （x ）在点B （x 2，g （x 2））处的切线方程为y ﹣ln x 221x =（x ﹣x 2）． 当两直线重合时，2112x =x 112+①，ln x 2﹣114=-x 12+a ②， 因此a =ln x 2+（2112x -）2﹣1=﹣ln 21x +（2112x -）2﹣1， 当t 21x =时，因为①及x 1<0<x 2知，则0<t 12<，且a =t 2﹣t ﹣ln t 34-， 假设h （t ）=t 2﹣t ﹣ln t 34-（0<t 12<）， 那么h ′（t ）=2t ﹣1()()2121121t t t t t t t-+---==<0， 因此h （t ）在（0，12）上单调递减， 则h （t ）>h （12）=ln2﹣1，又t →0时，h （t ）→+∞． 因此a >ln2﹣1，则a ∈（ln2﹣1，+∞）．故选A ．【点评】根据题意x 1<0<x 2，求函数f （x ）在点A 处的切线方程与g （x ）在点B 处的切线方程，又根据斜率相等且在y 轴上的截距相等得a =ln x 2+（2112x -）2﹣1=﹣ln 21x +（2112x -）2﹣1，令t 21x =，即 t >0，又因a =t 2﹣t ﹣ln t 34-，再根据导数求得h （t ）=t 2﹣t ﹣ln t 34-的最小值，可得答案． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上） 13．曲线y =x 3﹣2x +4在（1，3）处的切线的倾斜角为 ． 【答案】45°【命题意图】该题考查了导数的几何意义，利用导数求切线方程倾斜角，该题属于基础题，较为简单． 【解析】'()f x =3x 2﹣2，则斜率k =3×12﹣2=1．因此倾斜角为45°．故答案为：45°．【点评】想求点（1，3）的切线倾斜角，根据导数为切线方程斜率即可得到斜率，该正切值求出角α的值即可．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC b ﹣c =2，cos A 14=-，则a 的值为 ．【答案】【命题意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，涉及三角恒等变换，考查运算能力即转化能力，属于基础题． 【解析】因为cos A 14=-，所以2A ππ<<，又因sin 2A +cos 2A =1，得sin A =，由题意1sin 2bc A =bc =8． 因为b ﹣c =2，得（b ﹣c ）2=4，则b 2+c 2=20，因此a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A 12028244=+⨯⨯=，a ．故答案为：．【点评】通过三角函数恒等变换求出A 的正弦值，再通过三角形面积公式求bc 的值，通过余弦定理求出结果．15．正四棱锥P ﹣ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P ﹣ABCD 163=，则球O 的体积是 ． 【答案】323π【命题意图】该题考查球的内接球问题，需要球的表面积、体积公式，并考查学生空间想象能力，是基础题，较为简单．【解析】如图所示，正四棱锥P ﹣ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在一个圆上，点P 在球面上， 因此PO ⊥底面ABCD ，PO =R ，S ABCD =2R 2，VP ﹣ABCD 163=， 因此13•2R 2•R 163=，则R =2， 则V 43=πR 3323=π，故答案为：323π．【点评】根据题意，则PO ⊥平面ABCD ，OP 是半径，根据体积求出半径，然后求出球的体积． 16．已知函数f （x ）=log a （x +3）﹣1（a >0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +4=0上，其中mn >0，则121m n++的最小值为 ． 【答案】43【命题意图】该题考查了函数过定点问题和通过基本不等式求最值，需要转化思想和计算能力，属中档题，需要注意符号问题．【解析】根据f （x ）=log a （x +3）﹣1可知，f （x ）过定点A （﹣2，﹣1）． 且点A 在直线mx +ny +4=0上，则2m +n =4， 根据mn >0，则m >0，n >0，因此121211136m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭()()21224361333m n m n +=++≥+=+， 当且仅当()()21613m n m n+=+，即m 12=，n =3时取等号，因此121m n ++的最小值为43．故答案为：43． 【点评】根据f （x ）得定点A ，将点A 代入mx +ny +4=0中，得2m +n =4，根据121211136m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭通过基本不等式求得最小值． 三、解答题（共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题）17．已知等差数列{a n }满足a 4=7，2a 3+a 5=19． （Ⅰ）求通项a n ；（Ⅱ）设{b n ﹣a n }是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n }通项公式及前n 项和T n ．【命题意图】本题考查等差数列等比数列的通项公式，求和公式，以及分组求和方法的应用，属于基础题．【解析】（1）由题意得，()113722419a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，则d =2，a 1=1，因此a n =2n ﹣1，（2）由{b n ﹣a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 又因b n ﹣a n =2n ，因此b n =2n +2n ﹣1，（8分），得T n =（2+22+…+2n ）+[1+3+…+（2n ﹣1）]()212121122n n n -+-=+⋅-=2n +1+n 2﹣2.【点评】（1）根据等差数列的通项公式得d ，a 1的方程组，即可求解；（2）根据等比数列的通项公式求b n ﹣a n ，通过等差与等比数列的求和公式利用分组求和．18．2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和中位数a （a 的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5，7，5），[7.5，8.5）的学生中抽取9名参加座谈会．（i ）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii ）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时理工类专业 40 60 非理工类专业附：()()()()()()22n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++，．临界值表： P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【命题意图】本题考查独立性检验的应用，列出观测表，通过数据计算出K2．考查学生的计算能力，属于基础题．【解析】（1）平均数为60.0370.180.290.35100.19110.09120.049 x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，又因0.03+0.1+0.2+0.35=0.68>0.5，因此中位数a∈[8.5，9.5），根据0.03+0.1+0.2+（a﹣8.5）×0.35=0.5，得得0.50.338.58.990.35a-=+≈；（2）（i）在[6，5，7.5）学生抽取3名，在[7.5，8.5）学生抽取6名．因为[6，5，7.5）与[7.5，8.5）是差异明显的两层，为提高样本的代表性，保持样本结构与总体结构的一致性，最好采用分层抽样的方法抽取样本；又因为两者频率分别为0.1，0.2，因此按照1：2进行名额分配．（ii）根据频率分布直方图知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200×（0.03+0.1+0.2）=66人，超过8.5小时的共有200﹣66=134人．则阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时理工类专业4060非理工类专业2674则()22200407426604.432 3.84166134100100k⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．【点评】（1）通过定义代入数值计算即可，（2）首先完善列联表，再计算K2的观测值，根据独立性检验即可判断19．如图，在四面体P ABC中，P A=PC=AB=BC=5，AC=6，PB，线段AC，AP的中点分别为O，Q．（1）求证：平面P AC⊥平面ABC；（2）求四面体POBQ的体积．【命题意图】该题考查直线与平面垂直的判定定理，三棱锥体积的求法，点到平面的距离，需要空间想象能力以及计算能力，属于中档题．【解析】（1）因为P A=PC，O是AC的中点，则PO⊥AC，在直角△P AO中，P A=5，OA=3，又因P A为直角三角形的斜边，根据勾股定理，得PO=4，因BA=BC，O是AC的中点，所以BO⊥AC．在直角△BAO中，因为BA=5，OA=3，由勾股定理，得BO=4．由于PO=4，OB=4，PB，有PO2+OB2=PB2，则PO⊥OB，且BO∩AC=O，BO，AC⊂平面ABC，则PO⊥平面ABC，而PO⊂平面P AC，故平面P AC⊥平面ABC．（2）由（1）可知面P AC⊥面ABC．因面ABC∩面P AC=AC，BO⊥AC，BO⊂面ABC，因此BO⊥面P AC，又因在△AOP中，Q是AP的中点所以S△PQO12=S△P AO=3，则V P﹣OBQ=V B﹣POQ13=S△PQO•BO1132=⨯S△P AO×413=⨯3×4=4．【点评】（1）先证PO ⊥AC ，PO ⊥OB ，再得PO ⊥平面ABC ， P AC ⊥平面ABC 可证．（2）根据V P ﹣OBQ =V B ﹣POQ ，求解可得．20．已知椭圆2222x y a b+=1（a >b >0． （1）求椭圆的方程；（2）已知定点E （﹣1，0），若直线y =kx +2（k ≠0）与椭圆交于C ，D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．【命题意图】该题考查椭圆方程的几何性质，圆的性质，直线的垂直斜率的关系，联立方程韦达定理等内容，需要一定计算能力，是中档题．【解析】（1）c =222a a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此2213x y +=； （2）若存在k ，联立22233y kx x y =+⎧⎨+=⎩得（1+3k 2）x 2+12kx +9=0． △=（12k ）2﹣36（1+3k 2）>0①设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则1221221213913k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩②()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++解得k=-1，故存在k 使得以CD 为直径的圆过点E ． 【点评】（1）c =222a a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩求得a ，b ；（2）由题意CE ⊥DE ，则1212111y y x x ⋅=-++，联立方程通过韦达定理代入可解得k 值； 21．已知函数f （x ）=ln x +ax +1（a ∈R ）．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）若函数f （x ）的图象与x 轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x 1，x 2，都有()()21211211f x f x x x x x -<+-． 【命题意图】本题考查导数与单调性极值最值的关系以及方程不等式解法，分类讨论等内容，需要一定计算能力，转化思想跟推理能力，属于难题．【解析】（Ⅰ）f （x ）定义域（0，+∞），()11'ax f x a x x +=+=． a ≥0，f '（x ）>0，f （x ）在（0，+∞）上单增；a <0，由f '（x ）=0，得1x a=-． 若10x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，f '（x ）>0，f （x ）单增； 若1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，，f '（x ）<0，f （x ）单减 综上：当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单增；当a <0时，f （x ）在10a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单增，在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单减． （Ⅱ）证根据（Ⅰ）知，a ≥0，f （x ）在（0，+∞）上单增，舍去．a <0，f （x ）的极大值为()1ln f a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 因﹣ln （﹣a ）=0，故a =﹣1，则 f （x ）=ln x ﹣x +1．设0<x 1<x 2，则()()21211211f x f x x x x x -<+-， 即22121112ln x x x x x x x x <-+-，则22121112ln x x x x x x x x -+<-， 令()1ln (1)g x x x x x=-+>， 故g （x ）在（1，+∞）单调递减，所以g （x ）<g （1）=0<x 2﹣x 1．因此对于任意互不相等的正实数x 1，x 2，都有()()21211211f x f x x x x x -<+-恒成立． 【点评】（Ⅰ）()11'ax f x a x x+=+=．对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出． （Ⅱ）根据（Ⅰ）得，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单增，舍．当a <0时，f （x ）的极大值为()1ln f a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又因﹣ln （﹣a ）=0，故a =﹣1，则f （x ）=ln x ﹣x +1．设0<x 1<x 2，则()()21211211f x f x x x x x -<+-，转化为22121112ln x x x x x x x x <-+-，即证：22121112ln x x x x x x x x -+<-．令()1ln (1)g x x x x x=-+>，研究单调性极值得出．[选修4–4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ=3sin θ．（1）求C 1和C 2的直角坐标方程；（2）设点P （0，2），直线C 1交曲线C 2于M ，N 两点，求|PM |2+|PN |2的值．【命题意图】本题考查极坐标方程，参数方程化直角坐标方程，直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，属于中档题．【解析】（1）直线C 123x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），消去t20y +-=．ρcos 2θ=3sin θ，则ρ2cos 2θ=3ρsin θ，x =ρcos θ，y =ρsin θ代入，推出曲线C 2的直角坐标方程为x 2=3y ；（2）直线C 1的参数方程23x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入x 2=3y ，即2180t --=，根据M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则12t t +=t 1t 2=﹣18，因此2221212||()290PM PN t t t t +=+-=．【点评】（1）直线C 1的参数方程消参，得C 1的普通方程；ρcos 2θ=3sin θ两边乘ρ，代入x =ρcos θ，y =ρsin θ，得C 2的直角坐标方程； （2）将直线C 1的参数方程32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入x 2=3y ，转化为关于t 的一元二次方程，通过根与系数的关系结合参数t 的几何意义求|PM |2+|PN |2的值．[选修4–5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x ﹣2|+|x ﹣3|．（1）求不等式f （x ）<2的解集；（2）若f （x ）≥a |2x +1|的解集包含[3，5]，求实数a 的取值范围．【命题意图】考查绝对值不等式，参数分离法，不等式恒成立问题，构造函数求最值等，难度较大．【解析】（1）f （x ）253123522x x x x x ->⎧⎪=≤≤⎨⎪-<⎩，，，， f （x ）<2，得3722x <<，不等式f （x ）<2的解是37{|}22x x <<； （2）f （x ）≥a |2x +1|的解包扩[3，5]，当x ∈[3，5]时不等式恒成立，当x ∈[3，5]时，f （x ）=2x ﹣5，f （x ）≥a |2x +1|，即2x ﹣5≥a （2x +1），因2x +1>0，因此2521x a x -≥+， 令()25612121x g x x x -==-++，x ∈[3，5]，且 g （x ）在[3，5]上单调递增， 得g （x ）的最小值为17，因此17a ≤，即a 的取值范围为17a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，． 【点评】（1）将绝对值不等式改写成分段函数求出即可；（2）f （x ）≥a |2x +1|解包扩[3，5]，当x ∈[3，5]时不等式恒成立，参数分离a ，构造g （x ）求出最小值，即求a 的范围．。
陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测数学(文)试题
2022届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测数学（文）试题一、单选题1．设集合{}14A x x =<<，{2B x x =<或}5x >，则A B ⋃=（ ） A ．{}12x x << B ．{2x x <或}5x > C ．{12x x <<或}5x > D ．{4x x <或}5x >【答案】D【分析】利用并集的运算求解即可.【详解】集合{}14A x x =<<，{2B x x =<或}5x >， 则A B ⋃={4x x <或}5x >， 故选：D2．己知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若3iiz +=，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i +D ．3i -【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，即可得到其共轭复数； 【详解】解：因为()2i 3i ii3i 13i z ++===-，所以13i z =+； 故选：A3．已知函数3()sin 3f x x x =+-，若()3f t =，则()f t -=（ ） A ．3- B ．6- C ．9- D ．0【答案】C【分析】由()3f t =得3sin 6t t --=-，进而代入即可得()f t -. 【详解】由33()sin 363sin f t t t t t =+-⇒+==，故3sin 6t t --=-，()()333()sin sin 3=63=9f t t t t t -=--=-------+， 故选：C4．命题:p 抛物线24x y =的焦点为(1,0)，命题:q 曲线221x y -=，则下列为真命题的是（ ）A ．q ⌝B ．()p q ⌝∧C ．p q ∧D ．()p q ∨⌝【答案】B【分析】利用抛物线的标准方程求出焦点坐标及双曲线的离心率公式，进而可以判断命题真假，结合复合命题真假性关系即可求解.【详解】由24x y =，得24p =，解得2p =，所以抛物线24x y =的焦点为0,1，所以p 为假命题，则p ⌝为真命题；由221x y -=，得1,1a b ==，所以2222c a b =+=，即c =221x y -=的离心率为c e a ===q 为真命题，则q ⌝为假命题；故A 不正确； 因为p ⌝为真命题，q 为真命题，所以()p q ⌝∧为真命题；故B 正确； 因为p 为假命题，q 为真命题，所以p q ∧为假命题；故C 不正确； 因为p 为假命题，q ⌝为假命题，所以()p q ∨⌝为假命题；故D 不正确； 故选：B.5．己知m ，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,m n αα⊂，则//m nB ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβC ．若//,//m m αβ，则//αβD ．若,m n αα⊥⊥，则//m n【答案】D【分析】根据空间中位置关系的性质定理和判定定理可判断各选项的正误. 【详解】对于A ，若//,m n αα⊂，则//m n 或异面，故A 错误. 对于B ，若,αγβγ⊥⊥，则//αβ或,αβ相交，故B 错误. 对于C ，若//,//m m αβ，则//αβ或,αβ相交，故C 错误.对于D ，由线面垂直的性质可得若,m n αα⊥⊥，则//m n ，故D 正确， 故选：D.6．若双曲线2221y x b-=则该双曲线的离心率为（ ）A ．12 B C ．2 D 【答案】C【分析】写出双曲线的焦点，渐近线后，列方程求出b ，然后根据离心率定义计算.【详解】依题意得，双曲线的一条渐近线为0bx y -=，一个焦点为)，根据点b ==，于是2c ，离心率2ce a==.故选：C7．函数1()cos (33,f x x x x x ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭且0)x ≠的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，再由()0,1x ∈，()0f x <可得结果. 【详解】由题可知函数的定义域为[)(]3,00,3-关于原点对称，()()()11cos cos f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()f x f x -=-，可知该函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除AC ； 又当()0,1x ∈时，1()cos 0f x x x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，排除D.故选：B.8．在ABC 中，若18a =，24b =，44A =︒，则此三角形解的情况为（ ） A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不能确定 【答案】B【分析】计算sin b A ，然后与a 比较，简单判断即可. 【详解】由sin 24sin 4424sin 45b A a b =<<< 所以这样的三角形有两个 故选：B9．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，且543PA AB BC ===，，，则这个“阳马”的外接球表面积为（ ） A ．5π B ．200πC ．50πD ．100π【答案】C【分析】把四棱锥P ABCD -补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥P ABCD -的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积． 【详解】把四棱锥P ABCD -补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥P ABCD -的外接球直径，设球半径为R ，则2222(2)50R PA AB BC =++=， 球表面积为24π50πS R ==． 故选：C ．10．已知直线240(0,0)mx ny m n +-=>>过函数log (1)2a y x =-+（0a >，且1a ≠）的定点T ，则14m n+的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．322+D ．36+【答案】C【分析】根据()log 12a y x =-+求出点T ，再代入直线方程得到12nm +=，最后利用基本不等式里“1”的妙用求最值.【详解】函数()log 12a y x =-+过定点()2,2，所以()2,2T ， 将()2,2T 代入直线240mx ny +-=，得424m n +=，即12nm +=， 因为0m >，0n >， 所以1414441223223222n m n m n m m n m n n m n m⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当42m nn m=，即21m =-，422n =-时“=”成立. 故选：C.11．已知过抛物线2:4C y x =的焦点F 且倾斜角为60︒的直线交C 于A ，B 两点，Q 为AB 的中点，P 为C 上一点，则||||PF PQ +的最小值为（ ） A ．83B ．53C ．8D ．5【答案】A【分析】根据给定条件，求出点Q 的横坐标，再借助抛物线的定义求解作答. 【详解】抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ，准线1x =-，直线AB ：3(1)y x =-， 由23(1)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去y 并整理得：231030x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则12103x x +=，线段AB 的中点Q 的横坐标12523Q x x x +==， 过点Q 作准线1x =-的垂线，垂足为D ，交抛物线C 于点P ，连PF ，如图，于是8||||||||||3PF PQ PD PQ QD +=+==，在抛物线C 上任取点P '，过P '作准线1x =-的垂线，垂足为D ，连,,P F P Q D Q '''，则有||||||||||||P F P Q P D P Q D Q QD ''''''+=+≥≥，当且仅当点P '与点P 重合时取等号， 所以||||PF PQ +的最小值为83.故选：A12．已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，()5f x x =，若()()(),(1)x f mx f x m ϕ=->则下列结论错误．．的是（ ） A ．sgn()x 的最大值是1 B ．sgn[()]f x 是R 上的奇函数 C ．sgn[()]sgn[()]f x x ϕ=D ．sgn[()]sgn[()]f x x ϕ=-【答案】D【分析】根据函数定义，得到sgn()x 的最大值，判断A 正确；先化简()1,0sgn[()]sgn 50,01,0x f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩，再利用函数奇偶性判断B 选项；按照函数定义，得到1,0sgn[()]0,01,0x x x x ϕ>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，从而得到C 正确，D 错误.【详解】因为101>>-，所以sgn()x 的最大值为1，A 正确； 当50x >，即0x >时，()sgn 51x =， 当50x =，即0x =时，()sgn 50x =， 当50x <，即0x <时，()sgn 51x =-，故()1,0sgn[()]sgn 50,01,0x f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩，定义域关于原点对称，且()sgn[()sgn ]5f x x --=，当50x ->，即0x <时，()sgn 51x -=， 当50x -=，即0x =时，()sgn 50x -=， 当50x -<，即0x >时，()sgn 51x =-，所以()1,0sgn[()]sgn 50,0sgn[()]1,0x f x x x f x x <⎧⎪-=-===-⎨⎪->⎩所以sgn[()]f x 是R 上的奇函数，B 正确；()()()()5555,1x f mx f x mx x m x m ϕ=-=-=->，因为1m ，所以550m ->，当()550m x ->，即0x >时，()sgn 1x ϕ=⎡⎤⎣⎦， 当()550m x -=，即0x =时，()sgn 0x ϕ=⎡⎤⎣⎦， 当()550m x -<，即0x <时，()sgn 1x ϕ=-⎡⎤⎣⎦故1,0sgn[()]0,01,0x x x x ϕ>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，所以sgn[()]sgn[()]f x x ϕ=，C 正确，D 错误； 故选：D二、填空题13．已知向量(2,1),(3,)a b m →→=-=，且()a b a →→→+⊥，则实数m =___________. 【答案】1【分析】先求出+=(1,1)a b m →→+，再解方程1(2)1(1)0m ⨯-+⨯+=即得解. 【详解】解：由题得+=(1,1)a b m →→+， 因为()a b a →→→+⊥，所以()=0a b a →→→+， 所以1(2)1(1)0,1m m ⨯-+⨯+=∴=. 故答案为：114．己知实数x ，y 满足不等式组34044040x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为___________.【答案】8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，求出最大值即可得到结论． 【详解】解：不等式组对应的平面区域如图：由40440x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得4x y =⎧⎨=⎩，即()4,0A ， 由2z x y =-得2y x z =-，则由图象可知当直线2y x z =-， 当经过点()4,0A 时，直线的截距最小，此时z 取最大值． 即max 4208z =⨯-=，故答案为：815．已知角θ的终边经过点(2,1)P -，则22cos 2sin cos 2θθθ-=___________.【答案】23【分析】利用三角函数定义求出tan θ，再利用二倍角公式化简，结合齐次式法计算作答.【详解】因角θ的终边经过点(2,1)P -，则1tan 2θ=-，所以2222222222112()cos 2sin cos 2sin 12tan 221cos 2cos sin 1tan 31()2θθθθθθθθθ-⨯----====----. 故答案为：2316．如图，己知是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点，M ，N 为椭圆上两点，满足12//F M F N ，且221::1:2:3F N F M F M =，则12F MF ∠的余弦值为___________.【答案】140.25 【分析】延长1MF 与椭圆交于点L ，由椭圆对称性有12F L F N =，设21F N F L t ==可得24F L ML t ==、22F M t =，应用余弦定理即可求12F MF ∠的余弦值．【详解】解：延长1MF 与椭圆交于点L ，又12//F M F N ，∴根据对称性可知，12F L F N =，设21F N F L t ==，则22F M t =，13F M t =，从而2125a F M F M t =+=，故24F L t =， 在2LMF 中，注意到24F L t ML ==，∴22222221cos 24MF ML LF LMF MF ML +-∠==⋅，在12MF F △中，有1221cos cos 4F MF LMF ∠=∠=．故答案为：14三、解答题17．己知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足39a =，___________.在①36S a =，②430S =，③25845a a a ++=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） (1)求{}n a 的通项公式；(2)设2na n nb a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)3n a n =；(2)()28338172n n n nT +=-+.【分析】（1）根据等差数列的基本量的运算可得133a d =⎧⎨=⎩，进而即得；（2）利用分组求和法即得.【详解】(1)设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , 若选择条件①36S a =，则由39a =，得11129335a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得133a d =⎧⎨=⎩，33(1)3n a n n ∴=+-=；若选择条件②430S =，则由39a =，得1129434302a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得133a d =⎧⎨=⎩，33(1)3n a n n ∴=+-=；若选择条件③25845a a a ++=，则由39a =，得()11293445a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得133a d =⎧⎨=⎩，33(1)3n a n n ∴=+-=；(2)由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有3n a n =，则3223n a nn n b a n =+=+，{}n b ∴的前n 项和()123n 88883(123)n T n =+++++++()()n 2818(1)83338118272n n n n n -++=+⨯=-+-. 18．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为200的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高二年级共有学生840人，高三年级共有960人，抽取的样本中高一年级有50人.如表是根据抽样调查情况得到的高一学生日睡眠时间（单位：h ）的频率分布表.(1)求该校高一学生的总数；(2)求频率分布表中实数m ，n ，s 的值；(3)已知日睡眠时间在区间[6.5,7)内的6名高一学生中，有2名女生，4名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率. 【答案】(1)600人； (2)4,0.08,12m n s ===; (3)815.【分析】（1）根据抽样比，即可求解高一学生总数；（2）首先根据频率计算频数s ，再根据频率和为1，以及频数和为50，计算,m n ； （3）首先编号，再通过列举基本事件的方法，计算古典概型的概率. 【详解】(1)设该校高一学生的总数为x ， 由题意5020050840960x -=+，解得600x =， ∴该校高一学生总数为600人. (2)由题意0.2450s=，解得12s ， 450(68119)4,0.0850m s n =-++++===. (3)记6名高一学生中女生为A ，B ，男生为1，2，3，4从中任选2人的基本事件有：AB ，A 1，A 2，A 3，A 4，B 1，B 2，B 3，B 4，12，13，14，23，24，34共有15个，记事件M = “选中的2人恰好为一男一女”事件M 包含的基本事件有A 1，A 2，A 3，A 4，B 1，B 2，B 3，B 4，共8个， 故8()15P M =. 19．在三棱锥P ABC -中，PAC △和PBC 是边长为2的等边三角形，2AB =，,E D 分别是,AB PB 的中点.(1)求证：//ED 平面PAC ； (2)求三棱锥P ABC -的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)13【分析】（1）利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解;（2）根据等腰三角形的三线合一定理及勾股定理的逆定理，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半及线面垂直的判定定理，结合棱锥的体积公式即可求解. 【详解】(1)因为,E D 分别为,AB PB 的中点，所以//ED PA 又PA ⊂平面PAC ，ED ⊂/平面PAC 所以//ED 平面PAC . (2)连接EC ，EP ，如图所示因为AC CB =，E 为AB 中点，所以EC AB ⊥，因为AC CB ==2AB =，所以222AC CB AB +=，即90ACB ∠=︒, 所以AC BC ⊥, 所以112122EC AB ==⨯=.同理，,1PE AB PE ⊥=，又PC = 所以2222PC EC PE =+=，即90PEC ∠=︒ 所以PE EC ⊥， 又因为ABEC E =，,AB EC ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC .所以PE 为三棱锥P ABC -的高，且1EP =， 所以11112113323P ABC ABCV SEP -=⋅=⨯⨯⨯⨯=.故三棱锥P ABC -的体积为13.20．已知函数3()(0)f x ax cx d a +≠=+是R 上的奇函数，当2x =时，()f x 取得极值16-. (1)求()f x 的单调区间和极大值；(2)证明：对任意12,[1,1]x x ∈-，不等式()()1222f x f x -≤恒成立.【答案】(1)函数的单调递减区间是()2,2-，单调递增区间是(),2-∞-和()2,+∞， ()16f x =极大值(2)见解析【分析】（1）根据函数的奇偶性求解d 的值，进而根据函数的极值得到关于a ，c 的方程组，解方程组得到a ，c 的值，从而得到函数的解析式，对函数求导，根据导函数的符号得到函数单调性和极大值.（2）根据（1）中的结论得到函数在闭区间上的单调性，从而得到函数在闭区间上的最大值和最小值，作差并取绝对值证明结论.【详解】(1)（1）由奇函数的定义，应有()(),f x f x x -=-∈R ，即33()(),0a x c x d ax cx d d -+-+=---∴=.因此，3()f x ax cx =+，由条件()216f=-为()f x 的极值，得()()20216f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，即1208216a c a c +=⎧⎨+=-⎩，解得1,12a c ==-，32()12,()3123(2)(2)f x x x f x x x x ∴=-=-=+-'，令()3(2)(2)0f x x x '=+-=，则有122,2x x =-=， 列表如下：由表知：函数的单调递减区间是(2,2)-，单调递增区间是(,2)-∞-和(2,)+∞， ()(2)16f x f =-=极大值.(2)证明：由（1）知，3()3f x x x =-的单调递减区间是(2,2)-， ()f x ∴在[1,1]-是减函数，且()f x 在[1,1]-上的最大值为(1)11M f =-=，()f x 在[1,1]-上的最小值为(1)11m f ==-，∴对任意12,[1,1]x x ∈-，恒有()()1211(11)22f x f x M m -≤-=--=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12(F F 且经过点P .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，求AOB 面积的最大值（O 为坐标原点） 【答案】(1)22196x y +=【分析】（1）根据椭圆的定义可得3a =，进而可求其方程，（2）根据弦长公式和点到直线的距离可表达三角形的面积，结合不等式即可求解最大值.【详解】(1)由椭圆的定义，可知1222426a PF PF =+=+= 解得3a =，又2226b a =-=. ∴椭圆C 的标准方程为22196x y +=.(2)设直线l 的方程为y x m =+，联立椭圆方程，得22563180x mx m ++-=， 2236603600m m =-+>△，得m <<设()()1122,,,A x y B x y ，则212126318,55m m x x x x -+=-⋅=，||AB ∴=点(0,0)O 到直线:0l x y m +-=的距离d ，11||22AOB S AB d ∴=⋅==△152≤==当且仅当2215,(m m m -=<，即215,2m m ==时取等号； AOB ∴22．已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)若点(1,0)M ，直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，求11||||MP MQ +的值. 【答案】(1)10x +-=，22(2)4x y -+=；【分析】（1）消参可得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的转化公式可求圆的直角坐标方程；（2）直线参数方程代入圆的方程可得关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系及几何意义求解.【详解】(1)由直线l的参数方程112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t可得：10x -= 即直线l的普通方程为10x -=，由4cos ρθ=可得24cos ρρθ=，即224x y x +=， 所以圆C 的直角坐标方程：22(2)4x y -+=. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得：221242t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即230t +-=， 设P ､Q 关于(1,0)M 的参数分别是12,t t ，121230t t t t ∴+==-<，故1t 与2t 异号， 121211|||||||||||| t t MP MQ MP MQ MP MQ t t -+∴+====23．已知函数()||f x x a =-.(1)若不等式()2f x ≤的解集为{}|15x x ≤≤，求实数a 的值；(2)在（1）的条件下，若不等式(2)(2)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)3a =； (2)12m ≤.【分析】（1）公式法求绝对值不等式解集，根据已知解集列方程求参数； （2）借助题设及绝对值的定义将函数化为分段函数，再求其最小值进行求解： 【详解】(1)由()2f x ≤得：2x a -≤，解得22a x a -≤≤+， 又不等式()2f x ≤的解集为{|15}x x ≤≤， 所以21{25a a -=+=，解得3a =；(2)当3a =时()3=-f x x ，设()()()22g x f x f x =++，则()()()334,23222312,1234,1x x g x f x f x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=++=-+-=-<<⎨⎪-+≤⎪⎪⎩，所以()g x 的最小值为3122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当不等式()()22f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，实数m 的取值范围是12m ≤.。
陕西省汉中市城固县第一中学2020年高三数学文测试题含解析
陕西省汉中市城固县第一中学2020年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等比数列{a n}的前n项和为S n，已知，，则（）A．B．C．14 D．15参考答案：D2. 若集合，，则满足条件的实数的个数有A．个 B 个C．个 D 个参考答案：C略3. 如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为( )A． B．C． D．参考答案：【知识点】空间几何体的结构G4D蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆直径为1.鸡蛋的表面积为，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为.而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为.【思路点拨】先求出球心到截面的距离为，再求球心到底面的距离为。
4. 已知斐波那契数列的前七项为1、1、2、3、5、8、13．大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（）层．A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C由题设知，斐波那契数列的前6项之和为20，前7项之和为33，由此可推测该种玫瑰花最可能有7层．5. 设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】解出不等式，得出解集，再利用集合的包含关系得出两条件的充分必要性关系.【详解】解不等式，得或，是的真子集，因此，“”是“”的必要不充分条件，故选：B.6. 在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式.如：设a，b是非零实数，且满足，则（）A. 4B.C. 2D.参考答案：D【分析】已知，对左边分式的分子分母同时除以，令=tan,构造成“”的结构，利用正切的和角公式化简，然后求出tan的值。
陕西省汉中市2020届高三数学上学期教学质量第一次检测考试试题文(含解析)
陕西省汉中市2020届高三数学上学期教学质量第一次检测考试试题文（含解析）一、选择题1.设集合[]A 1,2=，2B {x Z |x 2x 30}=∈--<，则A B (⋂= )A. []1,2B. ()1,3-C. {}1D. {}1,2【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得集合B ，利用交集定义求解即可. 【详解】Q 集合[]A 1,2=，{}2B {x Z|x 2x 30}{x Z|1x 3}0,1,2=∈--<=∈-<<=， {}A B 1,2∴⋂=．故选D ．【点睛】本题主要考查了集合的表示及集合的交集运算，属于基础题. 2.若512iz i=-（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A. 2i - B. 2i +C. 2i --D. 2i -+【答案】C 【解析】 【分析】由复数除法法则计算出z ，再由共轭复数概念写出共轭复数． 详解】55(12)212(12(12)i i i z i i i i +===-+--+，∴2z i =--． 故选：C ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．3.已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，2a b ⋅=-r r ，则(2)a a b ⋅-=rr r （ ）A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】A 【解析】 【分析】由向量数量积的运算法则计算．【详解】(2)a a b ⋅-=rr r 22221(2)4a a b -⋅=⨯--=r r r ．故选：A ．【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算法则，属于基础题． 4.已知sin()2sin 2παα-=，则tan2α的值为 ( )A. 43-B. 34-C.165D.12【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式可化简已知条件得tan α，再利用二倍角的正切公式求得结果.【详解】由题意得：sin cos 2sin 2πααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ 1tan 2α⇒=-22tan 14tan 211tan 314ααα-∴===---本题正确选项：A【点睛】本题考查利用二倍角的正切公式求值问题，关键是能够利用诱导公式化简已知条件，得到正切值.5.函数y ＝331x x -的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】C 【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝1113--＝32＞0，故再排除B ；当x→＋∞时，3x－1远远大于x 3的值且都为正，故331x x -→0且大于0，故排除D ，选C.6. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A.13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C. 【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举. 【此处有视频，请去附件查看】7.已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.516B.54C.52D. 5【答案】A【解析】 【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值. 【详解】22221114log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，222244416log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，()22216log 516log 5log 116522161615log 0,log 2255216f⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫>∴====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ， 故选A.【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.8.高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便．某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A. ① B. ②C. ④D. ⑤【答案】C 【解析】 【分析】利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果． 【详解】（1）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s ，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s ，所以疏散1000名乘客④比①快60s ．（2）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s ，同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s ，所以疏散1000名乘客②比⑤快80s ． （3）同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s ，同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s ，所以疏散1000名乘客①比③快100s ． （4）同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s ，同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s ，所以疏散1000名乘客④比②快60s ． （5）同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s ，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s ，所以疏散1000名乘客⑤比③快20s ． 综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是④．【点睛】本题考查推理的应用，考查分析判断的能力，解题的关键是读懂题意，然后得到每两个安全出口疏散1000名乘客所用时间的大小关系，比较后可得结果． 9.已知函数()sin()6f x x πω=+(0)>ω的最小正周期为π，若()f x 在[0,)x t ∈时所求函数值中没有最小值，则实数t 的范围是( ) A. 0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B. 20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 5,36ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D.2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数的最小正周期为π，求得2ω=，根据函数在给定区间上没有最小值，结合函数的图象，得出532662t πππ<+≤，从而求得结果. 【详解】因为函数()sin()6f x x πω=+(0)>ω的最小正周期为π，所以2ω=， 当[0,)x t ∈时，2[,2)666x t πππ+∈+，因为[0,)x t ∈时所求函数值中没有最小值，所以532662t πππ<+≤，解得233t ππ<≤，所以t 的取值范围是2(,]33ππ，故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦函数的图象和性质，函数的最小正周期以及函数的最值，属于简单题目.10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，33()()22f x f x +=-，且3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2()log (31)f x x =-+，则(2020)f =( )A. 4B. 2log 7C. 2D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】先利用33()()22f x f x +=-得到函数的周期性，再利用函数的奇偶性和对数运算进行求解． 【详解】因为函数()f x 满足33()()22f x f x +=-，所以(3)()f x f x +=，即函数()f x 是以3为周期的周期函数，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2()log (31)f x x =-+，所以2(2020)(1)(1)log 42f f f ==--=-=-．故选D ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用以及对数运算，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力，属于中档题．本题的易错点在于“正确根据33()()22f x f x +=-判定函数()f x 是以3为周期的周期函数，而不是图象关于直线32x =对称”，在处理函数的周期性和对称性时，要注意以下结论：若函数()f x 满足()()f a x f a x =-+或(2)()f a x f x -=，则函数()f x 的图象关于直线x a =对称；若函数()f x 满足()()f x a f x a +=-或(2)()f a x f x +=，则函数()f x 是以2a 为周期的周期函数.11.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2．则双曲线C 的离心率为（ ）【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出2213b a =，再求双曲线C 的离心率得解.【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由对称性，不妨取by x a=，即0bx ay -=． 又曲线22420x y x +-+=化为()2222x y -+=， 则其圆心的坐标为()2,0． 由题得，圆心到直线的距离1d ==，1d ==．解得2213b a =，所以e ==== 故选B ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 12.已知函数211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x =>，其中R a ∈．若()f x 的图象在点()()11,A x f x 处的切线与g x （）的图象在点()()22,B x g x 处的切线重合，则a 的取值范围为（） A. (1ln 2,)-++∞ B. (1ln 2,)--+∞ C. 3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. (ln 2ln3,)-+∞【答案】A 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义写出函数()f x 在点A 与函数()g x 在B 处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出222111ln 12a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，令21t x =，则102t <<，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a 的取值范围． 【详解】∵211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x =>∴()()11022f x x x '=+<，()()10g x x x '=>，函数()f x 在点()()11,A x f x 处的切线方程为：()2111111114222y x x a x x x ⎛⎫⎛⎫-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()g x 在点()()22,B x f x 处的切线方程为：()2221ln y x x x x -=-， 两直线重合的充要条件是1211122x x +=①，2121ln 14x a x -+=-②， 由①及120x x <<得21102x <<， 故22222211111ln 1ln 122a x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令21t x =，则102t <<，且21ln 12a t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， 设()21ln 12h t t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，102t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()()()221112121t t t t h t t t t t+---'=--==， 当102t <<时，()0h t '<恒成立，即()h t 单调递减， ()11ln 22h t h ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，0x →时，()h t →+∞，即a 的取值范围为(1ln 2,)-++∞，故选A.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法，属于中档题. 二、填空题13.曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为__________. 【答案】45° 【解析】 【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k ＝y ′|x ＝1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．【详解】y ′＝3x 2﹣2，切线的斜率k ＝3×12﹣2＝1．故倾斜角为45°． 故答案为45°．【点睛】本题考查了导数的几何意义，以及利用斜率求倾斜角，本题属于基础题． 14.在ABC ∆中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b ,.c 已知ABC ∆的面积为2b c -=,14cosA =-,则a 的值为______．【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积，以及14cosA =-，求出bc ，再结合余弦定理，即可得出结果.【详解】因为14cosA =-，所以sin A ，又ABC ∆所以1si 8n 2∆===ABC S bc A ， 故8bc =，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，所以22()22cos 416424=-+-=++=a b c bc bc A ，因此a =故答案为【点睛】本题主要考查解三角形，熟记三角形的面积公式与余弦定理即可，属于常考题型. 15.正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCDV -=，则球O 的体积是______． 【答案】323π【解析】 【分析】正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积．【详解】∵正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，∴球心O 是正方形ABCD 对角线交点，PO 是棱锥的高，设球半径为R ，则AB =，22)2ABCD S R ==，211162333P ABCD ABCD V S PO R R -==⨯⨯=，2R =，∴3344322333V R πππ==⨯=球． 故答案为：323π．【点睛】本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题．解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系．16.已知函数()log (3)1a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则121m n++的最小值为_____． 【答案】43【解析】 【分析】先由函数()f x 得到定点A 坐标，再把A 代入直线，得到,m n 的关系，再由基本不等式得到答案.【详解】函数()log (3)1a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点()2,1--，所以()2,1A --,将()2,1A --代入到直线40mx ny ++=中，得到24m n +=， 即()216m n ++=所以121m n ++()1111622m n m n ⎛⎫+⨯⨯ ⎪+⎝=++⎭⎡⎤⎣⎦()4112261m nm n +⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦()14222263≥+⨯+= 当且仅当1,32m n ==时，等号成立.所以答案为：43【点睛】本题考查对数函数过定点，基本不等式求最小值，属于中档题. 三、解答题17.已知等差数列n {}a 满足4357,219a a a =+=． （1）求通项n a ；（2）设{}n n b a -是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{}n b 通项公式及前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）221nn b n =+-，1222n n T n +=+-．【解析】 【分析】(1)根据等差数列通项公式，结合条件建立关于首项与公差的方程组()1113722419{a d a d a d +=+++=，求解即可；（2）可先求出{}n n b a -的通项，再解出数列{}n b 通项公式，求其前n 项和则运用分组求和的方法求解即可．【详解】（1）由题意得()1113722419{a d a d a d +=+++=，解得112a d =⎧⎨=⎩，()1212 1.n a n n ∴=+-=-（2）2,nn n b a -=221n n b n ∴=+-，()()222?213?2n-1n n T ⎡⎤∴=+++++++⎣⎦，∴1222n n T n +=+-．【点睛】本题考查了等差数列、等比数列通项公式及分组求和法，比较基础，难度不大，关键是掌握基本公式即可．18.2019年2月13日《西安市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5,7.5)，[7.5,8.5)的学生中抽取9名参加座谈会．（i ）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii ）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？（精确到0.1）阅读时间不足8.5小时 阅读时间超过8.5小时 理工类专业 40 60 非理工类专业附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++（n a b c d=+++）.临界值表：【答案】（1）9, （2）（i）每周阅读时间为[6.5,7.5)的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5,8.5)的学生中抽取6名．理由见解析, （ii）有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．【解析】【分析】（1）取各区间中点值乘以频率再相加即得；（2）（i）两组差异明显，用分层抽样计算．（ii）求出两组的人数，填写列联表，计算2K 可得．【详解】（1）60.0370.180.290.35100.19110.09120.049⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）（i）每周阅读时间为[6.5,7.5)的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5,8.5)的学生中抽取6名．理由：每周阅读时间为[6.5,7.5)与每周阅读时间为[7.5,8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1:2进行名额分配（ii）22⨯列联表为：非理工类专业 26 742K 2200(40742660) 4.4 3.84166134100100⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关． 【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样，考查独立性检验．属于基础题．19.如图，在四面体PABC 中，5PA PC AB BC ====，6AC =，42PB =，线段AC ，AP 的中点分别为O ，Q ．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）求四面体POBQ 的体积． 【答案】（1）证明见解析, （2）4 【解析】 【分析】（1）由PA PC AB BC ===，O 是AC 中点，可得,PO AC BO AC ⊥⊥，再勾股定理证明PO BO ⊥，即可得线面垂直，从而有面面垂直；（2）由（1）得BO ⊥平面PAC ，从而P OBQ B POQ V V --=可计算出体积． 【详解】（1）证明:因为PA PC =，O 是AC 的中点，所以PO AC ⊥. 在Rt PAO ∆中，5PA =，3OA =，且PA 为直角三角形的斜边， 由勾股定理，得4PO =.因为BA BC =，O 是AC 的中点，所以BO AC ⊥.在Rt BAO △中，因为5BA =，3OA =，由勾股定理，得4BO =.因为4PO =，4OB =，42PB =222PO OB PB =＋，则PO OB ⊥.且BO AC O ⋂=，,BO AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC . 而PO ⊂平面PAC ，故平面PAC ⊥平面ABC . （2）由（1）可知平面PAC ⊥平面ABC .因为平面ABC I 平面PAC AC =，BO AC ⊥，BO ⊂平面ABC ， 所以BO ⊥平面PAC ，因为在AOP V 中，Q 是AP 的中点所以132PQO PAO S S ==△△ 所以111143443323P OBQ B POQ PQO PAO V V S BO S --==⋅=⨯⨯=⨯⨯=△△. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查棱锥的体积计算．立体几何中的线面、面面关系的证明可根据其判定定理进行，即先证得定理需要的条件，然后得出结论，注意条件缺一不可．三棱锥的体积计算中用换底法，关键是要棱锥的高容易确定计算．20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆的方程； （2）已知定点()1,0E-，若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于,C D 两点.问:是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由.【答案】（1）2213x y +=,（2）存在76k =，使得以CD 为直径的圆过点E【解析】 【分析】（1）题中两个条件为2222a a b c ⎧=⎪⎨-==⎪⎩，从而可解得,a b 得椭圆方程； （2）以CD 为直径的圆过点()1,0E-，即CE DE ⊥，设()11,C x y ，()22,D x y ，则()()1212110y y x x +++=，为此由直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，注意>0∆，代入()()1212110y y x x +++=计算出k ，满足>0∆即存在，否则不存在．【详解】（1）依题意222a a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程是2213x y +=（2）假若存在这样的k 值，由222330y kx x y =+⎧⎨+-=⎩得()22131290k x kx +++=. ∴()22(12)36130k k∆=-+>①设()11,C x y ，()22,D x y ，则1221221213913k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩②而()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x ⋅=++=+++要使以CD 为直径的圆过点()1,0E-，当且仅当CE DE ⊥时，则1212111y y x x ⋅=-++，即()()1212110y y x x +++= ∴()()()2121212150k x x k x x +++++=③将②式代入③整理解得76k =.经验证，76k =，使①成立. 综上可知，存在76k =，使得以CD 为直径的圆过点E 【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．椭圆中的存在性问题，一般是假设存在，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理得1212,x x x x +，代入题中的另外的条件求出参数k （若不能求出，说明假设错误，不存在），这是解析几何中的“设而不求”思想．21.已知函数()ln 1()f x x ax a R =++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的图像与x 轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数1x ，2x ，都有()()21211211f x f x x x x x -<+-.【答案】（1）当0a ≥时，()f x 在()0+∞，上单调递增； 当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.,(2)见解析 【解析】 【分析】 （1）求导函数'()f x ，按0a ≥和0a <分类讨论，确定'()f x 的正负，从而确定单调性；（2）由（1）知0a <时()f x 有极㰁值，才可能满足题意，极大值为0，求得1a =-，()ln 1f x x x =-+.不妨设120x x <<，则()()21211211f x f x x x x x -<+-，等价于22121112lnx x x x x x x x <-+-，即证：22121112ln x x xx x x x x -+<- 令()()1ln 1g x x x x x=-+>，由于210x x ->，因此只要证得()0<g x （(0,1)x ∈）即可．【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，()11ax f x a x x+'=+=.当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调递增； 当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-. 若10,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增； 若1+x a⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，，()0f x '<，()f x 单调递减 综合上述：当0a ≥时，()f x 在()0+∞，上单调递增； 当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）由（1）知，当0a ≥时，()f x 在()0+∞，上单调递增，不满足条件； 当0a <时，()f x 极大值为()1ln f a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 由已知得()ln =0a --，故1a =-，此时()ln 1f x x x =-+.不妨设120x x <<，则()()21211211f x f x x x x x -<+-等价于22121112lnx x x x x x x x <-+-，即证：22121112ln x x xx x x x x -+<- 令()()1ln 1g x x x x x=-+>， ()22222131112410x x x g x x x x x ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'=--=-=-< 故()g x 在()1,+∞单调递减，所以()()2110g x g x x <=<-. 所以对于任意互不相等正实数12,x x ，都有()()21211211f x f x x x x x -<+-成立【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式．在证明与12,x x 有关的不等式时（这里12,x x 是任意两个正数，也可能是函数的两个零点，或者其他什么与函数有关的数），常常需要转化与化归，如不妨设120x x <<，设21t x x =-，0t >，设12x t x =，则 01t <<，这样不确定的12,x x ，就变成有确定范围的变量t ，问题就转化为用导数研究函数()g t 的性质，从而证明出结论．22.在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=.（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求22PM PN +的值.【答案】（1）1C 20y +-=,2C :23x y =（2）90 【解析】【分析】（1）消去t 得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案.（2）将直线的参数方程代入23x y =，化简得到2180t --=，利用韦达定理计算得到答案.【详解】（1）直线1C的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），消去t可得20y +-=；由2cos 3sin ρθθ=，得22cos 3sin ρθρθ=，则曲线2C 的直角坐标方程为23x y =.（2）将直线1C的参数方程23x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入23x y =，得2180t --=，设,M N 对应的参数分别为12,t t，则121218t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩()2221212290PM PN t t t t +=+-=.【点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键.23.已知函数()23f x x x =-+-. （1）求不等式()2f x <的解集；（2）若()21f x x α≥+的解集包含[]3,5，求实数a 的取值范围.【答案】（1）37|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）1,7a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）函数化简为分段函数()25,31,2352,2x x f x x x x ->⎧⎪=≤≤⎨⎪-<⎩分别解不等式得到答案.（2）题目等价于当[]3,5x ∈时不等式恒成立，得到不等式2521x a x -≥+，求()2521x g x x -=+的最小值得到答案.【详解】（1）()25,3231,2352,2x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-<⎩，由()2f x <，解得3722x <<，故不等式()2f x <的解集是37|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； （2）()21f x a x ≥+的解集包含[]3,5，即当[]3,5x ∈时不等式恒成立，当[]3,5x ∈时，()25f x x =-，()21f x a x ≥+，即()2521x a x -≥+，因为210x +>，所以2521x a x -≥+， 令()25612121x g x x x -==-++，[]3,5x ∈，易知()g x 在[]3,5上单调递增， 所以()g x 的最小值为1(3)7g =，因此17a ≤，即a 的取值范围为1,7a ⎛⎤∈-∞⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了绝对值不等式，将题目等价于当[]3,5x ∈时不等式恒成立是解题的关键.。