第一章事件与概率
(完整版)概率论第一章随机事件与概率
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
《概率论》第1章 事件与概率
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5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现； AC BC AB
第一章 事件与概率
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在随后的200多年里,概率论不仅在理论上获得了一定 发展,而且在人口统计、保险业、误差理论、天文学等自 然科学中得到了应用.在这一时期,对概率论在理论和应用 方 面 作 出 重 要 贡 献 的 数 学 家 有 雅 格 布 · 努 利 (Jakob 伯 Bernoullii),丹尼尔· 伯努利(Daniel Bernoullii), 棣莫弗(De Moivre), 拉 普 拉 斯 (pace), 欧 拉 (L.Euler), 贝 叶 斯 (T.Bayes), 蒲 丰 (G.Buffon), 高 斯 (F.Gauss), 泊 松 (S.Poisson),布尼亚可夫斯基 (V.Bunjakovskii),切比雪夫 (Chebyshev), 马 尔 可 夫 (A.Markov), 李 雅 普 诺 夫 (A.Lyapunov)等. 尽管18,19世纪,概率论在理论和应用方面得到了很多 成果,但与其它数学分支比较,概率论的发展是缓慢的.甚 至直到20世纪以前概率论还未进入主流数学.其基本原因 是概率论缺乏严密的逻辑基础.
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凯恩斯主张把任何命题都看作事件,例如“明天将下 雨”,“土星上有生命”等等都是事件,人们对这些事件的 可信程度就是概率,而与随机试验无关,通常称为 主观概 率. 米泽斯定义事件的概率为该事件出现的频率的极限, 而作为公理就必须把这一极限的存在作为第一条公理,通 常称为客观概率.
《概率论》第1章§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
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(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先 到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面 的概率。 设 x, y分别表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
| x y | 20
20 x y 20
y
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n.
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
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常见模型(3) —— 盒子模型
n 个不同球放入 N 个不同的盒子中. 每个盒子中所放球数不限. 求恰有n 个盒子中各有一球的概率 n PN N! (nN)
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
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古典概型的特点：
有限个样本点 基本事件的等可能性
怎样推广到“无限个样本点”而又 有某种“等可能性” ？ 某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的 大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探， 问能够发现石油的概率是多少？ 认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求概 率为
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
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思考题
口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.
从中不返回任取3 个. 求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.
5 7 4 1 1 1 140 1 560 4 16 3
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
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对于 n 个事件，有
n i 1
1i j n
减二
第一章 随机事件和概率
第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω2、重要公式和结论1. 设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）81)(=AB P . 解：（1）21)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）61)()()()(=-=-=A P B P A B P A B P ； （3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。
2. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。
解：()()1()P ABC P A B C P A B C =++=-++[]1()()()()()()()P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =-++---+11111310044416168⎡⎤=-++---+=⎢⎥⎣⎦ 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。
两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别0.92和0.93，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为0.85，求（1） 两种报警系统I 和II 都有效的概率；（2） 系统II 失灵而系统I 有效的概率；（3） 在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。
解：令=A “系统（Ⅰ）有效” ，=B “系统（Ⅱ）有效” 则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P（1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=862.085.0)92.01(93.0)|()()(=⨯--=-=A B P A P B P （2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P（3）8286.093.01058.0)()()|(=-== B P B A P B A P 4. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。
概率论与数理统计教程
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明： 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 ,
其数量关系无法用函数加以描述. 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,
1、包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 则称事件 B 包含事件 A,记作B A 或 A B.
特别地 若事件A包含事件B,而且事件B包含 事件A, 则称事件A与事件B相等,记作 A=B.
2.两事件的和与并
“二事件 A, B至少发生一个”也是一个事件, 称为事件 A 与事件B的和事件.记作A B，显然 A B {e | e A或e B}.
若事件 A 、B 满足 A B 且 AB .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数。 试验中,骰子“出现1点”, “出现2 点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点 数为偶数” 等都为随机事件.
五、随机事件的关系及运算
（1）、随机事件间的关系
设试验 E 的样本空间为 , 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 的子集.
推广：
N元情形
n
推广 称 Ak 为n个事件 A1, A2 ,, An 的积事件,
k 1
即A1, A2 ,, An同时发生;
《概率论基础》(李贤平)第三版-课后答案
第一章事件与概率1、解：(1) P｛只订购A 的｝=P{A(B∪C)}＝P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30.(2) P｛只订购A 及B 的｝=P{AB}-C｝=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07(3) P｛只订购A 的｝=0.30,P｛只订购B 的｝=P{B-(A∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23.P｛只订购C 的｝=P{C-(A∪B)}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20.∴P｛只订购一种报纸的｝=P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73.(4)P{正好订购两种报纸的}＝P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC)=(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14.(5)P｛至少订购一种报纸的｝= P｛只订一种的｝+ P｛恰订两种的｝+ P｛恰订三种的｝=0.73+0.14+0.03=0.90.(6) P｛不订任何报纸的｝=1-0.90=0.10.2、解：（1）ABC =A ⇒BC ⊃A( A BC ⊂A显然) ⇒B ⊃A且C ⊃A ，若A发生，则B 与C 必同时发生。
（2）A ∪ B ∪ C =A ⇒B ∪ C ⊂A ⇒B ⊂A且C ⊂ A ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。
（3）AB ⊂C ⇒A与B 同时发生必导致C 发生。
（4）A ⊂BC ⇒A ⊂B ∪ C ，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。
3、解： A1 ∪ A2 ∪…∪ A n =A1 + ( A2 -A1 ) +… + ( A n -A1 -… -A n-1 )(或)＝A1 +A2 A1 +…+A n A1 A2 … A n-1 ．4、解：（1）ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。
概率论-第一章-随机事件与概率
第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。
这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。
这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。
随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。
举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。
样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。
上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件试验£样本空间。
事件与概率
4) 必然事件与不可能事件
包括试验的全部样本点，每次试验每次都发生， 因此称为必然事件。 －不包括任何样本点，每次试验都不发生， 因而称为不可能事件。
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3. 事件间的关系和运算
1) 包含关系：若事件A发生导致事件B发生，则称A 包含于B或事件B包含事件A，记为 A B 。
A 2) 和事件： B { | A, 或 B} ，称为A与B的和 事件，当且仅当A,B中至少有一个发生时，事件发 生。
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例：(会面问题)两人约定在7点到8点之间在某处会面， 先到者等候20分钟然后离去。求两人能会面的概率。
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2. 随机事件
1) 样本点：组成样本空间的元素，即实验的一个可能 , 故样本空间＝{}. 出现的结果，又称基本事件，记为
2) 3) 随机事件＝的子集，即部分样本点的集合，若事件中至少 一个样本点发生时，称这一事件发生或出现。 随机事件举例
1 4＝{1,2,3,4,5,6}
A={1,2,3}, B {4,5,6}
p(A)= a!(b-1)! b = (a+b)! (a+b) a!b!
两种不同的解法答案相同。 注 (1)两种解法不同就在于选取的样本空间不同； (2)本例结果与k无关； (3)利用摸球阐述了“抽签与顺序无关”的道理。
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例：口袋里有a只白球和b只黑球，我们采用取后放回和取后 不放回两种方式从袋中取n个球，问恰有k个黑球的概率各为 多少？
3
2. 随机试验（简称试验，记E） 1) 试验：对自然现象的观察＋科学试验； 2) 随机试验的三个特点： 试验能在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果不止一个，且能明确试验 的所有可能结果； 每次试验之前不能确定哪一个结果会出现； 3) 检查一个实验是否是随机试验可查三点是否满足。
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对立： A不发生，A
A
第一节
Ω
B
Ω
B
Ω
A
B
（一）事件的运算(1)
(1)事件的运算律
交换律： A∪B＝B∪A，AB＝BA；
结合律：
(A∪B)∪ C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)；
分配律： A(B∪ C)＝AB∪AC，
A∪BC＝(A∪B)(A∪C)；
重叠律： A∪A＝A，AA＝A；
吸收律： 如果 AB，那么A∪B＝B，AB＝A；
定义1.1 随机事件A发生可能性大小的度量 （数值），称为A发生的概率，记作P(A)。 次如，果称随机fn事( A件) An在nA n次反复试验中发生了nA
为A的频率。 频率的性质：
1.非负性：即 P(A)≥0； 2.规范性：即若Ω是必然事件，则 P(Ω) 1 3.有限可加性：即若A、B互不相容 （即AB＝φ），则 f n (A B ) f n (A ) f n (B )
概述（2）
概率论属于纯粹数学，是研究随机现象 数量规律性的数学分支。
数理统计属于应用数学，它根据实际处 理的随机现象，建立数学模型，研究其规 律，并提出解决问题的方法。其主要方法 是统计推断理论，即参数估计（区间估计、 点估计）和假设检验。
概率论与数理统计就是研究随机现象的 统计规律的数学学科。由于随机现象的的 普遍性，使得概率论与数理统计具有及其 广泛的应用。
第一节
（二）事件域
Ω中是事件的子集构成的类称为事件域。即
F＝{A， A，A是事件}
事件域应满足以下要求：
（1）ω∈F； （2）若A∈F，则 A F （3）若Ai∈F， i＝1，2，…，n，则
n
Ai F
i1
在集合论中，满足上述三个条件的集合类，称 作布尔代数。所以，事件域是一个布尔代数。
第一节
§1.2 概率与频率
§1.1 随机事件和样本空间
一、几个定义： 1.随机试验：一个试验如果满足以下条件：
(1)试验可以在相同的条件下重复进行； (2)试验的所有结果是明确可知的，并且不止 一个； (3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个， 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪 一个结果。 则称这样的试验是一个随机试验（简称试验）。
样本空间
Ω＝{ω}
事件
子集
事件A发生
ω∈A
事件A不发生
ω A
必然事件
Ω
不可能事件
φ
事件A发生导致事件B发生
A B
"事件A与B至少有一个发生“ A∪B
"事件A与B同时发生"
A∩B(或AB)
"事件A发生而事件B不发生" A－B
事件A与B互不相容
AB＝φ
第一节
事件的运算(4)
(2)事件的运算顺序： 事件式： 用运算符号把事件连接起来的算 式. 在事件式中，事件的运算顺序规定如下： 第一“括号”， 第二“逆”， 第三“交”， 第四"并"或"差".
引例（2）
试验2：一个盒子中有10个相同的球，但5个是 白色的，另外5个是黑色的，搅匀后从中任意 摸取一球。
其结果有两个：取出一个白球或者取出一个黑 球。
这种类型的试验，它有多于一种的试验结果， 但是在试验前不能确定会出现哪一个结果（取 出的是白球还是黑球），就一次试验来说，看 不出什么规律，但是“大数次”地重复这个试 验，试验结果又遵循某些规律，这种规律称为 “统计规律”，这类试验称为随机试验，试验 所代表的现象，称为随机现象。
引例（3）
这种随机现象在客观世界中也是极为普遍 的，例如：
某地的年降雨量； 检查流水生产线上的某个产品是合格品还
是不合格品？； 打靶射击时，弹着点距靶心的距离等
第一章目录 §1.1随机事件和样本空间 §1.2 概率和频率 §1.3 古典概型 §1.4 概率的公理化定义及概率的性质 §1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 §1.6 独立性 §1.7 贝努里概型
第一节
二、事件的关系及运算
(1)事件间的关系
包含： B包含于A ，或A包含 B ，
B A .o r.A B
A
相等： A＝B
A B .a n d .B A
并(和)： A∪B A与B至少有一个发生. A 积(交)： A∩B(或AB) A与B同时发生.
差： A-B A发生而B不发生.
互不相容： AB=φ A与B不能同时发生.
n
n
德-莫根定律（对偶原则）：Ai Ai
i 1
i 1
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
第一节
事件的运算(2)
在概率论中常常用集合来表示事件，因 为事件间的运算与集合间的运算是完全可以 类比的，在以后的讨论中事件往往以集合的 形式出现.下面给出这种类比的对应关系：
第一节
事件的运算(3)
概率论
集合论
第一章
几个定义（2）
2.基本事件：随机试验中的每一个可能结果， 称为基本事件（或称为样本点）。记为ω。 3.样本空间：由所有基本事件组成的事件称为 样本空间，记为Ω。 4.随机事件：由多个基本事件组成的事件称为 复合（复杂）事件，基本事件和复合事件统称为 随机事件，简称事件。记为A、B、C、…。 5.不可能事件：在试验中必定不发生的事件称 为不可能事件（或称为空集）。记为φ。 6.必然事件：在试验中必定发生的事件（即由 所有基本事件组成的事件）称为必然事件（即样 本空间，或称为全集）。记为Ω(或U子中有10个完全相同的白球， 搅匀后从中任意摸取一球。
其结果只有一个：取出一个白球。 这种类型的试验，在试验前就能断定它有
一个确定的结果，这种试验所对应的现象， 称为确定现象。 这种确定现象非常广泛，例如： 早晨，太阳必然从东方升起； 边长为a、b的矩形，其面积必然为a×b等
第一章 事件与概率
xiaobugs
概述（1）
概率论起源于十七世纪对于机会游戏（赌博）
中随机现象的研究，提出了基本概念。那时的主 要研究工具是算术和排列组合的方法。十九世纪 开始概率论的研究借用微积分、微分方程、代数 学、几何学等学科为工具，得到了蓬勃发展，20 世纪30年代概率论形成了自己的理论体系，建立 了严格的公理体系，使用集合定义事件，用测度 定义概率，用可测函数定义随机变量和随机过程， 用抽象积分定义数学期望。在理论上不断完善， 在应用上日益广泛和深化，并应用于物理学、社 会保险事业和大规模工业生产等方面，成为目前 最为活跃的学科之一。