公开课)单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘课件(共17张PPT)
上面的等式提供了单项式与多项式相 乘的方法.
p pa
pb
pc
a
b
c
14.1.4.2 单项式与多项式相乘 根据乘法的分配律
p (a + b+ c)
归纳总结
pa + pb + pc
单项式乘多项式的乘法法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得 的积相加.
14.1.4.2 单项式与多项式相乘
解：(-2x)2·(3x2 - mx - 6) - 3x3 + x2 = 4x2·(3x2 - mx - 6) - 3x3 + x2 ＝12x4－4mx3－24x2 - 3x3 + x2 ＝12x4 - (4m + 3)x3 - 23x2.
∵原式不含x3项，所以4m + 3 = 0. ∴m = 3 .
随堂练习
1. 如果一个三角形的底边长为 2x2y + xy - y2，高为 6xy，则这个三角形 的面积是 ( A ) A. 6x3y2 + 3x2y2 - 3xy3 B. 6x3y2 + 3xy - 3xy3 C. 6x3y2 + 3x2y2 - y2 D. 6x3y + 3x2y2
14.1.4.2 单项式与多项式相乘
14.1.4.2 单项式与多项式相乘
例3 如图，一块长方形基地用来种植A、B、C 3种不同的蔬菜，求这块
地的面积. 解：由图得，
3a+2b
2a-b
4a[(3a+2b)+(2a-b)]
＝4a(5a+b) ＝4a·5a+4a·b =20a2+4ab.
B
4a
《单项式乘以多项式》示范教学方案精选全文
可编辑修改精选全文完整版第八章整式乘法与因式分解8.2.2 单项式与多项式相乘第1课时单项式乘以多项式一、教学目标1．能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则；2．掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用．二、教学重点及难点重点：认识单项式与多项式相乘的法则难点：掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用三、教学用具多媒体课件．四、相关资源图片五、教学过程【课堂导入】教师提出问题：计算：(－1)×(4－1)时．我们可以根据有理数乘法的分配律进行计算，那么怎样计算x·(x2－x)呢？提示：根据乘法分配律,乘以它的每一项．解：x·(x2－x)=x3−x2设计意图：创设情境，通过学生熟知的有理数乘法的分配律进行导入，介绍单项式乘以多项式的运算法则.【新知讲解】1.单项式与多项式相乘的运算法则教师展示ppt上习题：2(x+y2z+xy2z3)·xyz；解：原式=(2x+2y2z+2xy2z3)·xyz=2x2yz+2xy3z2+2x2y3z4.总结规律：1．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．2. 单项式与多项式相乘的运算实质上是转化为单项式乘单项式设计意图：通过做题，带领学生认识单项式乘以多项式，先去括号，然后计算乘法，再合并同类项即可．2．单项式与多项式乘法的实际应用．教师讲解习题：一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a 米，下底宽(a ＋2b )米，坝高12a 米．(1)求防洪堤坝的横断面面积；(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？解：(1)防洪堤坝的横断面积S ＝12[a ＋(a ＋2b )]×12a ＝14a (2a ＋2b )＝12a 2＋12ab (平方米)．故防洪堤坝的横断面积为(12a 2＋12ab )平方米； (2)堤坝的体积V ＝Sh ＝(12a 2＋12ab )×100＝50a 2＋50ab (立方米)．故这段防洪堤坝的体积是(50a 2＋50ab )立方米．总结规律：通过本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)的计算方法，同时掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．设计意图：通过习题，使学生掌握单项式与多项式乘法的实际应用3．利用单项式乘以多项式化简求值．方法总结：在计算时要注意先化简然后再代值计算．整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项设计意图：通过习题，学会整式的化简求值．在计算时要注意先化简然后再代值计算．整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项．．【典型例题】例1 计算下列各式：(1)3x （2x -y 2)=____________.(2)（2x -5y +6z )(-3x )=________________.(3)(-2a 2)2（-a -2b +c )=_________________.解：(1)6x 2-3xy 2(2)-6x2+15xy-18xz(3)-4a5-8a4b+4a4c设计意图：掌握单项式乘以多项式的计算．例2先化简，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中a＝2.解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2＝－28a2＋15a，当a＝2时，原式＝－82.设计意图：通过练习，巩固化简规律．【随堂练习】1.计算：(－4x)·(2x2+3x－1)；解：原式＝(－4x)·(2x2)+(－4x)·3x+(－4x)·(－1)＝-8x3-12x2+4x;2.计算：－2x2·(xy+y2)-5x(x2y-xy2).解：原式=( -2x2) ·xy+(-2x2) ·y2+(-5x) ·x2y+(-5x) ·(-xy2)=-2x3y+(-2x2y2)+(-5x3y)+5x2y2=-7x3y+3x2y2.3.先化简，再求值3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)，其中a=-2.解：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)=6a3-12a2+9a-6a3-8a2=-20a2+9a.当a=-2时，原式=-20×(－2)2+9×(－2)=-98.4.如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积.解：4a[(3a+2b)+(2a－b)]＝4a(5a+b)＝4a·5a+4a·b=20a2+4ab.答：这块地的面积为20a2+4ab.设计意图：通过学生的练习，使教师及时了解学生对知识的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．【课堂小结】1.单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．2.单项式与多项式相乘的运算实质上是转化为单项式乘单项式3.注意：（1）计算时,要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的符号,单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负（2）不要出现漏乘现象（3）运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减（4）对于混合运算，注意最后应合并同类项设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象.【板书设计】第1课时单项式乘以多项式1.单项式与多项式相乘的运算法则2.单项式与多项式乘法的实际应用3.利用单项式乘以多项式化简求值。
沪科版初中数学七年级下整式乘法之单项式与多项式相乘课件
想一想
知识 & 回顾
你能说说单项式与单项式相乘的法则吗？
单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别 相乘，作为积的因式；
对于只在一个单项式中出现的字母，则连同 它的指数一起作为积的一个因式。
a m
b
c
m
m
如图三个小长方形，那么它们的面积可
分别表示为_m__a__、__m__b_、_m__c__.
例2：3a+2b
2a-b
如图：一块土地用 来建造住宅、广场，
人民广场 3a 求这块地的面积. 住宅用地
4a
解：S= 4a(3a+2b)+3a(2a-b)
= 12a2+8ab+6a2-3ab = 18a2+5ab 答：这块地的面积为18a2+5ab.
你能求出当a=20,b=30时， 这块地的实际面积是多少吗？
a
b
c
m
如果把它们拼成一个大长方形，那么它的 边长为（_a_+_b_+_c_）_和__m_,面积可表示_m_(_a_+_b_+c_)__.
m(a+b+c)
ma+mb+mc
乘法分配律
单项式与多项式相乘
mm ((aa++bb++cc)) = ma+mb+mc
x 单项式 多项式
单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘,就是用单项式
（3）（3 ab2 3ab 1) 1 ab
4
3
(4)a(a2 + a)- a2(a - 3)
(1) 3a(2a + 3)=6a + 9 × ( ) (2) a(a2-1)=a3-1 (× )
单项式与多项式相乘完整版课件PPT
三.选择
下列计算错误的是( D ) (A)5x(2x2-y)=10x3-5xy (B)-3xa+b •4xa-b=-12x2a (C)2a2b•4ab2=8a3b3 (D)(-xn-1y2)•(-xym)2=xnym+2
=(-xn-1y2)•(x2y2m=) -xn+1y2m+2
四:解方程
7x-(x–3)x–3x(2–x)=(2x+1)x+6
2.4（a-
4a-4b+4
b3+.13)x=（_2_x_-_y_2_)_=____6__x__2__-__3__x__y__2_____________
4.-3x（2x-5y+6z)=__-_6_x_2_+1_5_x_y_-_1_8_xz____ 5.(-2a2)2（-a-2b+c)=-_4_a_5_-_8_a4_b_+_4_a_4_c__
3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。
注：
单项式与多项式相乘时，分两个阶段： ①按乘法分配律把乘积写成单项式 与单项式乘积的代数和的形式； ②单项式的乘法运算。
作业：
一、教科书P104习题14.1第3（4）、4题。
二、已知 a 2 ，b 3 求
3ab(a2b ab2 ab) ab2 (2a2 3ab 2a) 的值。
想一想
如何进行单项式的乘法运算？ 单项式的系数？ 相同字母的幂？ 只在一个单项式里含有的字母？
（系数×系数）×（同字母幂相乘）×单独的幂
计算
( 2a2b3c) (-3ab) = -6a3b4c
问题: 怎样算简便？
6(1 1 1) 236
=6×
1 2
+6×
单项式与多项式相乘通用课件
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单项式与多项式相乘 通用课件目 录PART源自01单项式与多项式相乘的定 义
单项式的定义
定义
单项式是只包含一个项的代数式，可以表示为数字、字母或数字与字母的积。
示例
a、3x、4xy^2等都是单项式。
多项式的定义
定义
多项式是由有限个单项式通过加 法或减法连接而成的代数式。
PART 04
单项式与多项式相乘的注 意事项
幂次相加时需要注意的问题
01
幂次相加时，需要注意同底数的 幂次相加时，底数不变，指数相加。
02
例如， $2x^3 times 5x^4 = 10x^{3+4} = 10x^7$。
系数相乘时需要注意的问题
系数相乘时，需要注意将两个单项式 的系数相乘，即 $2x^3 times 5x^4 = 10x^7$。
多个单项式与单一多项式相乘
总结词：逐项相乘
详细描述：当有多个单项式需要与一个多项式相乘时，可以分别将每个单项式的系数与多项式的每一项相乘，然后合并同类项。
单一单项式与多个多项式相乘
总结词：连续相乘
详细描述：当一个单项式需要与多个多项式相乘时，可以先将单项式与第一个多项式的每一项相乘， 然后再将结果与第二个多项式的每一项相乘，以此类推，直到所有多项式都被乘完，最后合并同类项。
01
02
03
力学分析
在分析力学问题时，单项 式与多项式相乘可以用来 表示物体的运动状态和受 力情况。
电磁学
在电磁学中，单项式与多 项式相乘可以用来表示电 磁场的变化规律和分布情 况。
光学
在光学中，单项式与多项 式相乘可以用来表示光的 波动性质和传播规律。
在工程中的实际应用
初一下数学课件单项式与多项式相乘
课后作业
1.完成课本P17页的练习， 2.完成练习册本课时的习题.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ab + ( – 2ab )·
1 2
ab
= 1 a2b3 – a2b2；
（3）5m2n ( 2n + 3m – n2 ) = 5m2n·2n + 5m2n·3m + 5m2n·( – n2） = 10m2n2 + 15m3n – 5m2n3；
（4）2 ( x + y2z + xy2z3 )·xyz = ( 2x + 2y2z + 2xy2z3 )·xyz = 2x·xyz + 2y2z·xyz + 2xy2z3·xyz = 2x2yz + 2xy3z2 + 2x2y3z4．
解： 原式 = 2a2 – 2ab – 2ab + b2 + 2ab = 2a2 – 2ab + b2
当 a = 2，b= – 3 时， 原式 = 2a2 – 2ab + b2
= 2×22 – 2×2×（– 3）＋（– 3）2 = 8 + 12+ 9 = 29
若 – 2x2y（– xmy+3xy3）= 2x5y2 –6x3yn ，求m，n.
计算 -2a·(3ac-2ab)
1、判断：单
项式乘多项式
= -2a · 3ac + (-2a)· (-2ab)
=-6a2c+4a2b
2、写标准式 3、单项式乘
4、多项式的项
练习 (1)(– 2x)(x2 – x + 1); (2) a(a2 + a) – a2(a – 2).
解（1）(– 2x)(x2 – x + 1) = (– 2x)x2 + (– 2x)·(– x) + (– 2x)·1 = – 2x3 + 2x2 – 2x.
《单项式乘多项式》课件
• 引言 • 单项式乘多项式的定义与性质 • 单项式乘多项式的计算方法 • 单项式乘多项式的应用 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
主题介绍
01
02
03
单项式乘多项式
理解单项式与多项式相乘 的规则和步骤。
数学表达式的简化
掌握如何将单项式与多项 式相乘后的结果进行简化 。
。
计算步骤与示例
列出多项式中的每一项，并确定单项 式的系数、字母因数和常数因数。
将相乘的结果按多项式的排列顺序组 合，得到最终的乘积。
将单项式的系数、字母因数和常数因 数分别与多项式的每一项相乘。
示例：计算2x^2y(x+3y)，首先将 2x^2y分别与x和3y相乘，得到 2x^3y和6x^2y^2，然后将两项相加 得到2x^3y + 6x^2y^2。
实际应用
了解单项式乘多项式在日 常生活和科学计算中的应 用。
学习目标
01
02
03
04
掌握单项式与多项式相乘的基 本规则。
能够正确计算单项式与多项式 相乘的结果。
理解简化数学表达式的意义和 方法。
能够在实际问题中运用单项式 乘多项式的知识。
02
单项式乘多项式的定义与性质
单项式的定义与性质
定义
单项式是只包含一个项的代数式 ，通常表示为字母、数字和字母 的积。
ห้องสมุดไป่ตู้
通过练习和巩固，提 高了自己的计算能力 和数学思维能力。
理解了单项式乘多项 式的实际应用，如代 数式求值、解方程等 。
下节课预告
主题
《多项式乘多项式》
内容提要
掌握多项式乘多项式的计算方法，理解其实际应 用，如代数式求值、解方程等。
单项式与多项式相乘公开课课件
乘法分配律的运用
乘法分配律是数学中的一个基本定律，它指出一个数乘以 两个数的和等于这个数分别乘以这两个数再求和。在单项 式与多项式相乘时，乘法分配律是非常重要的。
例如，单项式$a^3$与多项式$b + c$相乘时，可以运用 乘法分配律进行计算：$(a^3)(b+c) = a^3b + a^3c$。 这样可以简化计算过程，提高计算效率。
单项式与多项式相乘公开课课件
contents
目录
• 单项式与多项式简介 • 单项式与多项式相乘的法则 • 单项式与多项式相乘的运算实例 • 单项式与多项式相乘的注意事项 • 习题与解答
01
单项式与多项式简介
单项式的定义与性质
定义
单项式是只包含一个项的代数式 ，通常表示为数字、字母的积。
性质
单项式具有加法封闭性、乘法交 换律和结合律等基本性质。
单项式的几何意义
在数轴上，单项式可以表示一个点或一个单位长度。例如，$3x$表示在x轴上， 每移动一个单位长度，坐标增加3。
多项式的几何意义
多项式可以表示一条曲线或曲面。例如，$y = x^2$表示一个开口向上的抛物线 。
02
单项式与多项式相乘的法则
单项式乘以多项式的法则
单项式乘以多项式的运算法则，是将单项式中的每一个因子 与多项式中的每一个项分别相乘，然后将所得的积相加。
多项式的定义与性质
定义
多项式是由有限个单项式通过加法运 算组成的代数式，表示为$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + cdots + a_1换律 和结合律等基本性质，还具有分配律 和幂的运算法则等特殊性质。
单项式与多项式的几何意义
1.4第2课时单项式与多项式相乘(教案)
1.加强对单项式与多项式相乘概念的讲解，特别是符号运用和分配律的掌握。
2.在实践活动和小组讨论中，加强对学生的引导，确保讨论方向与教学内容紧密结合。
3.增加与实际生活相关的案例，提高学生对数学知识应用的理解。
（2）熟练运用单项式与多项式相乘法则解决具体问题：能将实际问题转化为数学运算，运用所学的乘法法则进行计算。
举例：计算长方形面积时，将长（a+b）和宽（a-b）表示为多项式，然后运用单项式与多项式相乘法则求解。
2.教学难点
（1）符号问题：在单项式与多项式相乘时，容易忽略符号的正确运用。特别是在乘法运算中，负号与括号内的每一项相乘时，学生容易犯错。
针对以上教学难点，教师在教学过程中应采取以下措施：
（1）通过举例，强调符利用图表、实物等辅助工具，帮助学生理解分配律的概念，并运用到具体计算中。
（3）在讲解和练习过程中，提醒学生注意多项式中每一项都要乘以单项式。
（4）引导学生从实际问题中提炼数学模型，通过讲解和示范，帮助学生建立数学建模的意识。
4.关注学生个体差异，课后及时了解他们的掌握情况，并给予个性化辅导。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“单项式与多项式相乘在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
单项式与单项式、多项式相乘 公开课大赛(省)优教案 教学设计
14．1.4 整式的乘法第1课时 单项式与单项式、多项式相乘1．探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．(重点)2．熟练应用运算法则进行计算．(难点)一、情境导入1．教师引导学生回忆幂的运算公式．学生积极举手回答：同底数幂的乘法公式：a m ·a n ＝a m ＋n(m ，n 为正整数)．幂的乘方公式：(a m )n ＝a mn(m ，n 为正整数)．积的乘方公式：(ab )n ＝a n b n(n 为正整数)．2．教师肯定学生的回答，并引入课题——单项式与单项式、多项式相乘．二、合作探究探究点一：单项式乘以单项式【类型一】 直接利用单项式乘以单项式法则进行计算计算：(1)(－23a 2b )·(56ac 2)；(2)(－12x 2y )3·3xy 2·(2xy 2)2；(3)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2.解析：运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可． 解：(1)(－23a 2b )·(56ac 2)＝－23×56a 3bc 2＝－59a 3bc 2；(2)(－12x 2y )3·3xy 2·(2xy 2)2＝－18x 6y 3×3xy 2×4x 2y 4＝－32x 9y 9；(3)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2＝－6×13m 3n 3(x －y )5＝－2m 3n 3(x －y )5.方法总结：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立．【类型二】 单项式乘以单项式与同类项的综合已知－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y －3－m 的积与x 4y 是同类项，求m 2＋n 的值．解析：根据－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y －3－m 的积与x 4y 是同类项可得出关于m ，n 的方程组，进而求出m ，n 的值，即可得出答案．解：∵－2x3m ＋1y 2n与7x n －6y －3－m 的积与x 4y 是同类项，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋1＋n －6＝4，2n －3－m ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3，∴m 2＋n ＝7.方法总结：单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项，列出二元一次方程组．【类型三】 单项式乘以单项式的实际应用有一块长为x m ，宽为y m 的矩形空地，现在要在这块地中规划一块长35x m ，宽34y m的矩形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．解析：先求出长方形的面积，再求出矩形绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．解：长方形的面积是xy m 2，矩形空地绿化的面积是35x ×34y ＝920xy (m)2，则剩下的面积是xy －920xy ＝1120xy (m 2)．方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键．探究点二：单项式乘以多项式【类型一】 直接利用单项式乘以多项式法则进行计算计算：(1)(23ab 2－2ab )·12ab ；(2)－2x ·(12x 2y ＋3y －1)．解析：先去括号，然后计算乘法，再合并同类项即可．解：(1)(23ab 2－2ab )·12ab ＝23ab 2·12ab －2ab ·12ab ＝13a 2b 3－a 2b 2；(2)－2x ·(12x 2y ＋3y －1)＝－2x ·12x 2y ＋(－2x )·3y －(－2x )·1＝－x 3y ＋(－6xy )－(－2x )＝－x 3y －6xy ＋2x .方法总结：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．【类型二】 单项式乘以多项式乘法的实际应用一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a 米，下底宽(a ＋2b )米，坝高12a 米．(1)求防洪堤坝的横断面积；(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？解析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘多项式的法则计算；(2)防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长．解：(1)防洪堤坝的横断面积S ＝12[a ＋(a ＋2b )]×12a ＝14a (2a ＋2b )＝12a 2＋12ab .故防洪堤坝的横断面积为(12a 2＋12ab )平方米；(2)堤坝的体积V ＝Sh ＝(12a 2＋12ab )×100＝50a 2＋50ab .故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab )立方米．方法总结：通过本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)的计算方法，同时掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．【类型三】 化简求值先化简，再求值：3a (2a 2－4a ＋3)－2a 2(3a ＋4)，其中a ＝－2.解析：首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．解：3a (2a 2－4a ＋3)－2a 2(3a ＋4)＝6a 3－12a 2＋9a －6a 3－8a 2＝－20a 2＋9a ，当a ＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98.方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要搞错．【类型四】 单项式乘多项式，利用展开式中不含某一项求未知系数的值如果(－3x )2(x 2－2nx ＋23)的展开式中不含x 3项，求n 的值．解析：原式先算乘方，再利用单项式乘多项式法则计算，根据结果不含x 3项，求出n 的值即可．解：(－3x )2(x 2－2nx ＋23)＝(9x 2)(x 2－2nx ＋23)＝9x 4－18nx 3＋6x 2，由展开式中不含x3项，得到n ＝0.方法总结：单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.三、板书设计单项式与单项式、多项式相乘1．单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘就是它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．2．单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．本节知识的重点是让学生理解单项式与单项式、多项式相乘的法则，并能应用．这就必须要求学生对乘法的分配律以及幂的运算法则有一定的基础，因此课前可以要求学生先复习该部分的知识，同时在上新课前也可以通过练习题让学生回忆知识．对于运算法则的得出，教师通过“试一试”逐步解题，通过计算演示法则的内容，更有利于学生理解运算法则．第2课时含30°角的直角三角形的性质1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．(重点)2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点)一、情境导入问题：1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．二、合作探究探究点：含30°角的直角三角形的性质【类型一】利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用如图，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA 交OB 于C ，PD ⊥OA 于D ，若PC ＝3，则PD等于( )A ．3B ．2C ．1.5D ．1解析：如图，过点P 作PE ⊥OB 于E ，∵PC ∥OA ，∴∠AOP ＝∠CPO ，∴∠PCE ＝∠BOP ＋∠CPO ＝∠BOP ＋∠AOP ＝∠AOB ＝30°.又∵PC ＝3，∴PE ＝12PC ＝12×3＝1.5.∵∠AOP ＝∠BOP ，PD ⊥OA ，∴PD ＝PE ＝1.5.故选C.方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB .DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与DB 有怎样的数量关系？请说明理由．解析：由条件先证△AED ≌△BED ，得出∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ，求得∠B ＝30°，即可得到CD ＝12DB .解：CD ＝12DB .理由如下：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝∠BED ＝90°.∵DE 是∠ADB 的平分线，∴∠ADE ＝∠BDE .又∵DE ＝DE ，∴△AED ≌△BED (ASA)，∴AD ＝BD ，∠DAE ＝∠B .∵∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠B .∵∠BAD ＋∠CAD ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠BAD ＝∠CAD＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝30°，∴CD ＝12AD ＝12BD ，即CD ＝12DB .方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC ＝50m ，AB ＝40m ，∠BAC ＝150°，这种草皮每平方米的售价是a 元，求购买这种草皮至少需要多少元？解析：作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D .在Rt △ABD 中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD ，即△ABC 的高．运用三角形面积公式计算面积求解．解：如图所示，作BD ⊥CA 于D 点．∵∠BAC ＝150°，∴∠DAB ＝30°.∵AB ＝40m ，∴BD ＝12AB ＝20m ，∴S △ABC ＝12×50×20＝500(m 2)．已知这种草皮每平方米a 元，所以一共需要500a 元．方法总结：解此题的关键在于作出CA 边上的高，根据相关的性质推出高BD 的长度，正确的计算出△ABC 的面积．三、板书设计含30°角的直角三角形的性质性质：在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．。
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１４.１.４整式的乘法
——第二课时 单项式与多项式相乘导学案
主备人：陈育娟 审核：八年级数学科组
预习+展示+反馈
学习目标：
1．理解单项式与多项式相乘的法则，能运用单项式与多项式相乘的法则进行计算．
2．理解算理，发展学生的运算能力，体会转化和“几何直观” 观念，体会转化、数形结合和程序化思想． 学习重点：
单项式与多项式相乘的法则的运用． 教学过程： 一、课前准备 （一）复习旧知
１、合并同类项：系数 ，字母及其指数 。
２、同底数幂相乘，底数 ，指数 。
公式：m n
a a ⋅= (m 、n 都是正整数) ３、幂的乘方，底数 ，指数 。
公式：()m n
a = (m 、n 都是正整数) ４、积的乘方，等于把 ，再把所得的 。
公式：()n
ab = (n 是正整数) ５、单项式与单项式相乘
公式：单项式×单项式＝(系数×系数)×(同底数幂×同底数幂)×(单独的幂)
注意：单项式与单项式相乘的结果仍是 。
６、乘法分配律：()p a b +=
▲注意符号法则：两数相乘， 。
（二）课前小测
１、计算3
2)(x x ⋅-所得的结果是（ ）
A.5x
B.5x -
C.6x
D.6
x - 2、（江苏省）计算23()a 的结果是（ ） A ．5
a
B ．6
a
C ．8
a
D ．2
3a
3、计算：()
2
3ab
=（ ）
A ．22a b
B ．23a b
C ．26
a b D ．6
ab
４、化简：3
22)3(x x -的结果是（ ）
A ．56x -
B ．53x -
C ．52x
D ．5
6x ５、下面计算正确的是（ ） A.453
3
=-a a B.n
m n
m
+=⋅6
32 C.10
9222=⨯ D.10
552a
a a =⋅
６、下列计算中，正确的是（ ）
A ．()6
33xy y x =⋅ B.6326)3()2(x x x =-⋅- C. 2
222x x x =+ D. ()
2
3
6ab
ab =
７、（2009年日照）计算()
4
323b a --的结果是( )
Ａ.12881b a B.7612b a C.7612b a - D.12881b a -
（一）自主学习１（探索法则）
如图，为了扩大绿地的面积，要把街心花园的一块 长p 米，宽b 米的长方形绿地，向两边分别加宽a
米和c 米，你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？
第一种方法：大长方形的面积＝()p a b c ++ ① 第二种方法：三个小长方形的面积的和＝pa pb pc ++ ② 由于①②表示同一个数量， 所以()p a b c ++＝pa pb pc ++
（二）自主学习２
()()
2
524xy x x --+
＝32
51020x y x y xy -+-
三、总结归纳（对学） 单项式与多项式相乘的法则：
单项式乘以多项式，先确定 ，再将单项式分别乘以多项式的 。
()p a b c ++＝
运算时要注意哪些问题？
① 注意符号的确定：两数相乘， 。
② 不能漏乘，即单项式要乘遍多项式的 。
③单项式乘以多项式的结果仍是 ，原来的多项式有多少项，结果就有 。
四、例题示范
2(4)(31)x y x -+ 思考：你会计算2(31)(4)x x y +-吗？
类比：()p a b c ++
＝pa pb pc ++
思考：这里有三种写法。
哪一种方法更简便？
这个过程运用什么法则？
解：原式=()()()()()2
55254xy x
xy x xy -⋅+-⋅-+-⋅
或者＝()()
()()()255254xy x xy x xy -⋅+⋅-⋅ 又或者＝2
55254xy x xy x xy -⋅+⋅-⋅
你会用代数的方法求出
()p a b c ++＝ 吗？
a
b c
p
p
p
p
练习一
①(3)(6)x y x -- ②2
21(2)3
2
ab ab ab -⋅
练习二（独学）
下列计算对吗？若不对，应该怎样改？ ③()2
313a a a -=
④()2
32222x
x y x x -=-
⑤()()232333x x y x x y --=-- ⑥()()23555a a b a ab --=-+
练习三（群学）
⑦2
2
3
3
(121021)(6)xy x y y xy --+⋅-
⑧()()(1)21325x x x x x x -++--
练习四（群学）
小李家住房的结构如图所示,小李打算把客厅和卧室铺 上木地板,请你帮他算一算,他至少需买多少平方米木地板?
六、小结提高
回顾本节课的学习过程，并回答以下问题：
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）在运用单项式与多项式相乘的法则时，你认为应该注意哪些问题？ （3）探索单项式与多项式相乘的法则的过程，体现了哪些思想方法？
七、作业
课本第105页第四题
八、反馈测试
１、（2010广州市）下列运算正确的是（ ）
().3131A x x --=-- ().3131B x x --=-+ ().3133C x x --=-- ().3133D x x --=-+
２、（201２广州市）下列运算正确的是（ ） A.651a a -= B.2
3
23a a a += C.()a b a b --=-+ D.()22a b a b +=+
3、计算 ①21223a ab ab ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
②()3x y xyz ---。