等腰梯形的性质专项练习30题(有答案)ok

等腰梯形的性质专项练习30题（有答案）1．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=2，AB=6，∠B=60°，求下底BC的长．2．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC⊥AB．求∠B的度数．3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC平分∠BAD，∠B=60°，CD=3，求梯形中位线的长．4．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，将CB延长至点F，使BF=CD．求∠CAF的度数．5．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=4，BC=8，∠C=60°，求AB的长．6．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC、BD交于M，AB=2，CD=4，∠CMD=90°，求：BD的长．7．如图，在等腰梯形△ABCD中，AB∥CD，AD=BC=CD，BD⊥AD．（1）求∠A的度数．（2）设AD=2cm，求梯形ABCD的面积．8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°．AE⊥BC于E；EF⊥CD于F，点F是CD的中点．求证：AD=BE．9．如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，AE⊥BC于E，∠B=60°，∠DAC=45°，，求梯形ABCD的周长？10．如图示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，中位线长为5cm，高为2cm，求梯形底边BC的长及梯形的面积．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=6cm，BD⊥CD于D，∠C=60°．（1）求∠DBC的度数；（2）求AD的长．12．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD，梯形周长为40，对角线BD平分∠ABC，求梯形的腰长及两底边的长．13．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD，已知AD=5cm，BC=9cm，求等腰梯形ABCD的周长．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E在BC的延长线上，DE=DB．求证：AD=CE．15．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，DE∥AB．（1）求∠BCD的度数；（2）若AB=4，求等腰梯形ABCD的面积．16．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD，∠D=120°，AC平分∠BCD，梯形的中位线长为6，求AC的长及梯形的面积？17．如图，E是等腰梯形ABCD底边AB上的中点，求证：DE=CE．18．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，E、F是AB上的两点且AE=BF，DF与CE相交于点O．问OE与OF相等吗？为什么？19．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=2∠B，BC=3，AB=2．求AD的长．20．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，∠A=2∠C，BC=8cm，求腰DC的长．21．如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，∠ACB=42°，∠ACD=27°．（1）∠BAC=_________°；（2）如果BC=10cm，连接BD，求BD的长度．22．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，MB=MC吗？为什么？23．如图，在梯形ABCD中，AB=DC=AD，AC=BC，求∠B的度数．24．如图，E是等腰梯形ABCD底边AB上的中点，DE和CE相等吗，为什么？25．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，两条对角线AC⊥BD，AE⊥BC．（1）求证：AE=（AD+BC）；（2）若AC=10cm，求等腰梯形ABCD的面积．26．如图，已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，AD=BC，四边形AEBC是平行四边形．求证：∠ABD=∠ABE．27．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线BD平分∠ABC，且BD⊥DC，上底AD=3cm．（1）求∠ABC的度数；（2）求梯形ABCD的周长．28．已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BD平分∠ABC，BD⊥CD，若梯形的周长为25cm，求梯形各边的长．29．如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，对角线AC⊥BD，延长BC至E点，使CE=AD，连接DE．（1）求∠ACE的度数；（2）若AD+BC=10cm，求△BDE的面积．30．如图所示：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，∠ADC=120°．（1）试探讨线段AC与BC的位置关系；（2）若AD=4，求梯形ABCD的面积．参考答案：1．过点D作DE∥AB，则可得DE=AB=CD，又∵∠B=∠DEC=60°，∴△DEC为等边三角形，∴CE=AB=6cm，故可得BC=BE+EC=AD+EC=8cm．2．在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠BCD．（1分）∵AD=CD，∴∠ACD=∠CAD．（1分）又∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD．（1分）∴∠ACB=∠ACD．（1分）∵AC⊥AB，∴∠B+∠ACB=90°．（1分）∴∠B+∠B=90°．∴∠B=60°．3．∵四边形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，∴∠BAD=∠B=60°，AD=BC，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，∴∠ACB=90°，又∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC，∴∠ACD=∠DAC，∴DC=AD=3，∴BC=AD=3，在Rt△ACB中，∵∠BAC=30°，∴AB=2BC=6，∴所求中位线的长是（AB+DC）=（6+3）=4.54．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AD=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠ACD=∠ACB=∠DCB，∵AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠ACB，∵AC⊥AB，∴∠CAB=90°，∴∠ABC=60°，∵AB=BF，∴∠BAF=∠F，∵∠ABC=∠BAF+∠F，∴∠BAF=30°，∴∠CAF=∠CAB+∠BAF=90°+30°=120°．5．分别过点A，D作AE⊥BC，DF⊥BC．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=4，BC=8，∴AD=EF=4，BE=CF=（8﹣4）=2，∵∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CD=4，∵AB=CD，∴AB=4．6．如图，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，∴∠EBD=∠CMD=90°，∵AB∥CD，∴四边形ACEB是平行四边形，∴AC=BE，CE=AB，∵AB=2，CD=4，∴DE=DC+CE=DC+AB=4+2=6，∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∴AC=BD，∴BD=BE，在Rt△BDE中，由勾股定理得，BD2+BE2=DE2，即BD2+BD2=62，解得BD=3．故答案为：3．7．1）解：∵AD=BC=DC，∴∠CDB=∠CBD，∵DC∥BA，∴∠CDB=∠DBA，∴∠CBA=2∠DBA，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC=2∠DBA，∵DB⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠A=×90°=60°，答：∠A=60°．（2）解：作DE⊥AB于E，∵∠A=60°，∠DEA=90°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD=1cm，由勾股定理得：DE=cm，同理AB=2AC=4cm，∴梯形ABCD 的面积是（CD+AB）×DE=×（2cm+4cm）×cm=3cm2，答：梯形ABCD 的面积是cm28．连接ED．∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C=60°，∵EF⊥CD，F是CD中点，∴ED=EC（3分）∴∠DEC=∠C=60°∴△ECD是等边三角形，（4分）∴∠B=∠DEC∴AB∥DE（5分）∴四边形ABED是平行四边形（6分）∴AD=BE（7分）9．∵AD∥BC，∠DAC=45°，∴∠ACB=45°∵AE⊥BC ，，∴，∵∠B=60°，∴BE=1，AB=2，∴DC=2，作DF⊥BC于点F，∴四边形AEFD是矩形，∴AE=DF，∵∠B=∠C，∠AEB=∠DFC=90°，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴BE=FC=1，∴，∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴，∴梯形ABCD的周长为：AD+DC+BC+AB=﹣1+2+2+2+﹣1=4+2．答：梯形ABCD的周长是4+2．10．取两腰AB，CD的中点分别为E和F，连接EF，根据梯形中位线定理得：EF=（AD+BC），∵EF=5cm，∴AD+BC=10cm，过A，D作出梯形的两条高AM和DN，∵梯形ABCD，∴AD∥BC，∴∠MAD=∠AMN=∠MND=90°，∴四边形AMND为矩形，∴AD=MN，又Rt△ABM和Rt△DCN中，AM=DN，AB=AC，∴Rt△ABM≌Rt△DCN，∴BM=CN，由∠AMB=90°，∠B=45°，得△ABM为等腰直角三角形，∴MB=AM=2cm，同理CN=DN=2cm，设AD=MN=xcm，则AD+BC=AD+BM+MN+NC=2x+4=10，解得：x=3，∴BC=2+x+2=7；∴梯形的面积S===10cm2．答：BC=7cm，梯形的面积10cm2．11．（1）∵BD⊥CD于D，∴∠BDC=90°，∵∠C=60°，∴∠DBC=180°﹣90°﹣60°=30°；（2）如图，过D作DE∥AB交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，AB=DE，∵AB=DC，∴DC=DE，∵∠C=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE=DC=6cm，在Rt△BCD中，∵∠DBC=30°，DC=6cm，∴BC=2DC=2×6=12cm，∴BE=BC﹣CE=12﹣6=6cm，∴AD的长为6cm．12．∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，∴AD=BC，∠DBA=∠CDB，又BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA，∴∠CDB=∠CBD，∴CD=BC，又AB=2AD，AB+AD+CD+BC=40，∴2AD+AD+AD+AD=40，5AD=40，AD=8，∴CD=8，AB=16，即梯形腰长为8，两底边长为8和16，答：梯形的腰长是8，两底边的长分别是8，16 13．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AC平分∠BCD，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD=AB=5cm，∴等腰梯形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+5cm+5cm+9cm=24cm，答：等腰梯形ABCD的周长是24cm．14．法一：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=AC，∴∠ABC=∠DCB（等腰梯形同一底上的内角相等），∠A+∠ABC=180°，又∵∠DCE+∠DCB=180°，∴∠A=∠DCE，∵DB=BE，∴∠DBC=∠E，∵∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠E，在△ABD和△CDE 中，，∴△ABD≌△CDE（AAS），∴AD=CE；证法二：连接AC，在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=AC，∴AC=BD（等腰梯形的对角线相等），∠ABC=∠DCB（等腰梯形同一底上的内角相等），在△ABC和△DCB 中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠ACB=∠DBC，∵DB=BE，∴∠DBC=∠E，∴∠ACB=∠E，∴AC∥DE，又∵DE=BD，∴DE=AC，∴四边形ACED是平行四边形（一组对边平行的四边形是平行四边形），∴AD=CE．（平行四边形的对边相等）．15．（1）∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=CD=DE，∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°，∵点E是BC边的中点，∴BE=DE=CE，∴DE=DE=CE，即△CDE是等边三角形，∴∠BCD=60°；（2）过点D作DF⊥BC于点F，∵△CDE是等边三角形，AB=CD=4，∴DF=CD•sin60°=4×=2，∵AB=BE=CE=4，∴BC=2AB=8，∴S梯形ABCD =（AD6BC）•DF=×（4+8）×2=1216．∵四边形ABCD是等腰梯形，∠D=120°，∴∠B=∠BCD=60°，∵AC平分∠BCD，∴∠BCA=∠ACD=30°，则∠BAC=90°，又∠CAD=∠BCA，∴∠CAD=∠ACD，则AD=CD=AB ，在Rt △ABC 中，∵∠BCA=30°， ∴BC=2AB=2AD ， ∵中位线长为6， ∴AD+BC=3AD=12， ∴AD=4，BC=2AD=8，在Rt △ABC中，由勾股定理，得，作AE ⊥BC 于E ， 则，∴梯形的面积为，答：AC 的长是4，梯形的面积是12．17．∵等腰梯形ABCD ， ∴BC=AD ，∠CBE=∠DAE ． ∵E 是AB 上的中点， ∴BE=AE ．∴△CBE ≌△DAE （SAS ）． ∴DE=CE ． 18．OE=OF ． 理由：∵AE=BF ，∴AE+EF=BF+EF ，即AF=BE ． ∵等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴AD=CB ，∠A=∠B ． ∴△ADF ≌△BCE ． ∴∠DFE=∠CEF ． ∴OE=OF19．过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，则四边形AEFD 是矩形， 所以AD=EF ，BE=FC因为∠A=2∠B ，又∠BAD+∠B=180°，所以∠B=60° 在Rt △AEB 中，因为∠BAE=90°﹣60°=30°，AB=2， 所以BE=AB=所以AD=BC ﹣2BE=3﹣1×2=1．20．因为四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ， 所以∠A=∠ADC ，∠ADC+∠C=180°（2分）又∠A=2∠C ，则2∠C+∠C=180°，故∠C=60°（4分） 因为BD ⊥CD ，BC=8cm ，所以，∠DBC=180°﹣90°﹣60°=30°（6分）则DC=BC=4cm ，即为所求． 21．（1）∵∠ACB=42°，∠ACD=27°， ∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=69°；（2）∵∠ABC=∠BAC=69°， ∴AC=BC=10cm ，又∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴BD=AC=10cm ．22．∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AB=DC ，∠A=∠D ． ∵M 是AD 的中点， ∴AM=DM ．在△ABM 和△DCM 中，，∴△ABM ≌△DCM （SAS ）． ∴MB=MC23．∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴∠B=∠BCD ． ∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB ， ∵AD=CD ，∴∠ACD=∠DAC ， ∴∠ACB=∠DCA ，设∠ACD=x ，则得到∠DAC=∠ACB=x ，∠B=∠BAC=2x ，∴∠B+∠ACB+∠BAC=180°，即x+2x+2x=180°， 解得x=36°， ∴∠B=72°24．DE=CE ．理由是：∵等腰梯形ABCD ，AB ∥CD ， ∴∠A=∠B ，∵E 为AB 的中点， ∴AE=BE ，在△CBE 和△DAE 中，∴△CBE ≌△DAE （SAS ）， ∴DE=CE ．25．1）证明：过点D 作DF ∥AC ，交BC 的延长线于点F ，过点D 作DH ⊥BC 于点H ， ∵AD ∥BC ，∴四边形ACFD 是平行四边形， ∴CF=AD ，DF=AC ， ∵AC ⊥BD ，AE ⊥BC ， ∴DH=AE ，DF ⊥BD ， ∵AB=CD ， ∴AC=BD ， ∴BD=DF ，∴△BDF 是等腰直角三角形， ∴BH=FH ，∴DH=BF=（BC+CF）=（AD+BC），∴AE=（AD+BC）；（2）解：∵AC=10cm，∴BD=DF=10cm，在Rt△BDF中，BF==10（cm），∴AD+BC=BF=10cm，∴AE=BF=5（cm），∴S梯形ABCD =（AD+BC）•AE=×10×5=50（cm2）．26．∵四边形AEBC是平行四边形，AD=BC，∴AD=BC=AE，BD=AC=BE，在△AEB和△ADB中，，∴△AEB≌△ADB，∴∠ABD=∠ABE．27．（1）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠C=∠ABC，∵BD平分∠ABC，∴∠C=∠ABC=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°，∴3∠DBC=90°，∴∠DBC=30°，∴∠ABC=∠C=2∠DBC=60°；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD=DC，∵AD=3cm，∴AB=DC=3cm，在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠DBC=30°，DC=3cm，∴BC=2DC=6cm，∴梯形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=3cm+3cm+6cm+3cm=15cm．28．∵在等腰梯形ABCD中，AB=CD，∴∠ABC=∠C，∵对角线BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=∠C，∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠C=2∠DBC，∵BD⊥CD，∴∠DBC=30°，∴BC=2CD，∵梯形的周长=AD+AB+BC+CD=5AB=30cm，∴AB=AD=CD=6cm，BC=12cm29．（1）∵AD∥BC，CE=AD，∴四边形ACED为平行四边形∴DE∥AC，DE=AC∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴BD=DE，∴∠E=∠DBE，∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DE⊥BD，∴∠BDE=90°，∴∠E=45°∵DE∥AC，∴∠E+∠ACE=180°，∴∠ACE=135°（2）∵AD=CE，∴BE=BC+CE=BC+AD=10cm，∴Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2+DE2=BE2，又∵BD=DE，∴BD2=50，∴S△BDE =cm2．30．（1）线段AC与BC的位置关系是：AC⊥BC，理由是：∵等腰梯形ABCD，∠ADC=120°，∴∠DAB=∠CBA=60°，又由AD=DC，∠ADC=120°，∴∠DAC=30°，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC．（2）过C作CE∥AD交AB于E，∵DC∥AB，CE∥AD，AD=DC，∴四边形ADCE是菱形，∴AD=CE=4，又∠CBA=60°，△CBE为等边三角形，作CF⊥AB于F，∴，则梯形ABCD 的面积为cm2，答：梯形ABCD的面积是12cm2．等腰梯形的性质--- 11。