2009级研究生《数值分析》试题
（2）（8 分）选取参数 a,b ，使下述形式的 RK 公式为二阶公式
yn1 yn hK2 K1 f (xn , yn ) K2 f (xn ah, yn hbK1)
第2页
七、（10 分）利用三角分解方法解线性方程组
x1 2x3 3x4 1 2x1 x2 3x3 5 3x1 2x2 2x3 1
第1页
三、(1)（7 分） 确定形如
3 0
f
(x)dx
A0
f
(0)
A1
f
(1)
A2
f
(3)求积公式中的待定参数，使其代数精
度尽可能高，并指出其代数精度。
（2）（8 分）用 Romberg 积分公式计算某定积分时给出了如下表的部分数据，写出 Romberg 积分公 式，补上表中未写出的数据.
T (k) 0
T (k) 1
T (k) 2
T (k) 3
0.500000
0.603553 0.638071
0.628417
0.636614
0.634573 0.636625
四、（8 分）下表给出已知数据 (xi , yi ),i 0,1, 2,3, 4 及部分均差
xi
yi 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差
A =___________ 2
k 0
二、（1）（8 分）设有某实验数据如下图所示，试按照最小二乘法求一次多项式拟合下图中的数据。
x 1.36 y 14.094
1.73 16.844
1.95 18.475
2.28 20.963
（2）（7 分）在区间[0 ,1]上求函数 f (x) e x 的一次最佳平方逼近多项式
八．（10 分）方程 x3 x2 1 0 在[1.4, 1.6]内有一根，若将方程写成如下不同的等价形式：
（1） x3 1 x2 ，对应的迭代格式 xn1 3 1 xn2
（2） x2 1 ，对应的迭代格式 x 1
xn1
1 xn 1
试确定上述迭代格式的敛散性。
0.00 0.1995
0.20 0.3965
0.40 0.5881 1.043841 0.073631
0.60 0.7721 1.086957
0.071884
0.80 0.9461 1.149425 0.174492
补上表中未算出的均差，然后写出四次牛顿插值多项式；
10 a 0
五、（7
分）设
A
5．
S(x)
2x3
x3 bx2
x2 cx
1
0 x 1 是以 0，1，2 为节点的三次样条函数，则 b=____, c=_____ 1 x 2
6．若 f (x) 2x6 x 1，则 f [1,2,3,4,5,6,7] =(
)
7. 设 A 是 n 阶对称矩阵，则 A =_______ 2
班级：
山东理工大学 《数值分析》 试题解答
姓名：
学号：
（A）卷 共 3 页 第 1 页 装订线
适用范围 硕士研究生 考试性质
学年学期 09~10 上期 出题日期
题号
一
二
三
考试
考试形式
09/12/10 命题教师
四
五
六
闭卷 七
考试时间 100 分钟 张瑞 张耀明
八总分得分源自一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）
1．1．设 x* 的相对误差是 ，则 3 x 的相对误差是________
2．为提高数值计算精度，当正数 x 充分大时，应将 ln( x2 1 x) 改写为________
3．具有 n+1 个节点的牛顿—柯特斯公式的代数精度至少是_____阶，而高斯公式至少是_______阶 4．已知 f (x) ax 2 与 g(x) x 在区间[0,1] 上带权(x) 1正交，则 a=__________.
b
10
b , det( A) 0 ，用 a, b 表示解方程组 Ax d 的雅可比迭代法收敛的充分必要
0 a 5
条件.
六、（1）（7 分）利用四阶龙格-库塔（Runge-Kutta）方法求初值问题
y x y
y(0)
0
的数值解，取 h 0.2，写出迭代格式，并计算两步（保留 5 位小数）.
第3页
8．求方程 x f (x) 根的牛顿迭代格式是________________
n
9．设 lk (x) （ k 0,1,, n ）是给定节点 xk （ k 0,1,, n ）的拉格朗日基函数，则 lk (x) =______
10．设矩阵
A
1 2
31
，矩阵 A 的范数
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姓名学号评分时间120分钟石家庄铁道学院 2009 级硕士研究生考试试卷参考答案及评分标准课程名称 数值分析 任课教师 王亚红一.(1-6题 2分/空;7-10题 3分/空)1. 3，32. 43. -34. )()(max x P x f bx a -≤≤5. )2)(1(!4)(),2(2)4(2--+-x x x f x x ξ 6. 33,3321=-=x x 7. 21<a8.Λ,2,1,0,211721=--=+k x x x x kkk k 9. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323/22/3212L 10.1,...,2,1,1--=⎩⎨⎧-==+n n k x d x d x k k k kn n β 二(16分).1. 解 :⎢⎢⎢⎣⎡221213112⎥⎥⎥⎦⎤ =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-32/12/1112132/112/31------8分解,b Ly =得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=304y解,y Ux =得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111x . -----------------------------------------------12分2.Jacobi 迭代法计算公式:初始向量)0(x⎪⎩⎪⎨⎧--=--=--=+++2/)25()236(2/)4()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x , Λ,2,1,0=k ------------------------------16分-----------------------------------7分)2)(1)(1(245)1)(1(65)1(233))()(](,,,[))(](,,[)](,[)()(21032101021001003--+--++++-=---+--+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N--------------------10分2.(10分)根据最小二乘原理∑=--=302))((i i i y b ax I 最小，----2分有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00aI bI即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑i i i ii i x y y a b xxx 24----------------------8分即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36915554a b ，解得b =1.2857，a =2.8286 拟合曲线2857.18286.2+=x y ----------------------10分 四(16分)解: 1．+----=))(())(()()(2010210x x x x x x x x x f x L ))(())(()(2101201x x x x x x x x x f ----+))(())(()(1202102x x x x x x x x x f ---- ------------------------------6分计算=)(0'x L ()()()()2104321x f x f x f h-+- ----------------9分 )()(0'0'x L x f ≈=()()()()2104321x f x f x f h-+- ------------------------------------------12分2．)()(),,(210x L x f x x x ≈∈,))()!1()(()()(1)1(2'++'='++x n f x L x f n n ωξ, x x n f n n 与ξωξ,))()!1()((1)1('+++有关, )()(),,(210x L x f x x x '≈'∈无法估计. )(,2x L x '不是插值节点时当的值不能作为)('x f 的近似值.-----------------16分 五. 解 1．(8分)Λ004.041.10=-I 21021-⨯≤------------------2分 2000011102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I ------------------------4分22111122102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I类推有 8210999910101021102110~10)1~10(110~--⨯=⨯⨯≤-=---=-I I I I I I-----------6分计算到10I 时，误差限为初始0I 的误差限的1010倍，每递推一次误差扩大10倍， 所以这个计算过程是不稳定的。
2009年春季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷
2009年春季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷(总分：28.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知x=0．045，y=2．013_____（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：0．902×10 -4)解析：3.已知矩阵1 =______，‖A‖ 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.设函数f(x)=2x 3 -x+1，则f(x)以x 0 =-1，x 1 =0，x 2 =1为插值节点的二次插值多项式为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x+1)解析：5.设函数f(x)∈C 2 [x 0 -h，x 0 +h]，h＞0，则（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：6.______，该公式的代数精度为_____．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)7.(0，+∞)内实根的分布情况，并用迭代法求出该方程在(0，+∞)内的全部实根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设，显然f(x)=0在(2，+∞)内无根．在(0，2]内，f"(x)=cosx-，当时，f"(x)=0．又注意到f(0)=0，故在内，f"(x)＞0，函数单凋递增，f(0)=0，因此方程无根；在内，f"(x)＜0，函数单调递减，f(2)＜0，有唯一根．所以方程sinx-=0在(0，+∞)内有唯一根x *∈ 求解该方程的Newton迭代格式为x k+1 =x k k=0,1,2…)解析：8.给定方程组Ax=b，其中x，b∈R 3，ω∈R．试确定ω的取值范围，使求解该方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss—Seidel迭代格式都收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代矩阵的特征方程为即λ3—4ω2λ=0，求得λ1=0，λ2=2ω，λ3=-2ω，当且仅当｜2ω｜＜1，即｜ω｜＜时，Jacobi格式收敛．Gauss—Seidel迭代格式迭代矩阵的特征方程为即λ3—4λ2ω2 =0，求得λ1,2 =0，λ3 =4ω<)解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)9.已知函数f(x)在区间[x 0，x 2 ]上有定义，且x 1f(x)的三次插值多项式p(x)，使之满足p(x 0 )=f(x 0 )，p"(x 1 )=0，p"(x 1 )=0，p(x 2 )=f(x 2 )．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方法1：由于p"(x 1)=0，P"(x 1)=0，可设p"(x)=A(x—x 1) 2，两边积分得p(x)=(x—x 0 ) 3 +B．由p(x 0 )=f(x 0 )得(x 0 -x 1 ) 3 +B=f(x 0 )，由p(x 2 )=f(x )解析：10.求函数[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式P 1 (x)=a+bx．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设φ0 (x)=1，φ1 (x)=x，则(φ0 ,φ0)=∫ 01 1dx,(φ0 ,φ1)=∫ 01 xdx=，(φ1 ,φ1)=∫ 01 x 2,(φ0 ,f)=)解析：11.已知函数f(x)∈C 4 [-a，a]，I(f)= ． 1)试确定求积公式=A 0 f(-a)+A 1 f(0)+A 2 f(a)中的参数A 0，A 1，A 2，使的代数精度达到最高，并指出此时该求积公式的代数精度次数； 2)求I(f)- 形如的截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)由代数精度定义有求得当f(x)=x 3时，有当f(x)=x 4时，有故该公式有3次代数精度． 2)以H(-a)=f(-a)，H(0)=f(0)，H(a)=f(a)，H"(0)=f"(0)为插值条件作3次插值多项式H(x)，则有f(x)-H(x)= (x+a)(x-a)x 2，而=A 0H(-a)+A 1H(0)+A 2H(a)=,且)解析：12.给定常微分方程初值问题取n为整数；x i=a+ih，1≤i≤n．记y i≈y(x i)，1≤i≤n；y 0 =y(a)． 1)求参数α，使求解上述初值问题的数值求解公式y i +1=y i +h[αf(x i，y i )+(1-α)f(x i+1，y i+1 )]局部截断误差阶达到最高； 2)应用Euler公式与1)中求得的公式构造预测-校正公式，并求出该预测-校正公式的局部截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)局部截断误差R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )-h[αf(x i，y(x i ))+(1-α)f(x i+1，y(x i+1 ))]=y(x i )+hy"(x i )+ y"(x i y""(x i )+O(h 4 )-y(x i )[*)解析：13.对于定解问题取正整数M，N，令x i=ih,i=0,1,…,M; t k=kt,k=0,1,…,N 1)构造求解该初边值问题的隐式差分格式，并给出其截断误差表达式； 2)取应用1)中构造的求解公式计算以及的近似值（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)在节点(x i，t k )处考虑微分方程由Taylor展开得x i-1＜ξi ＜x i+1将上面两式代入方程得略去截断误差并令u i k≈u(x i，t k)得2)取要求的即为第一层的近似值．由差分格式整理得(1+2γ-τ)u i k)解析：14.已知A，B∈R n×n，其中A非奇异，B为奇异矩阵，试证明（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因B是奇异阵，A非奇异，则A -1B奇异，故必存在x∈R n且x≠0使A -1Bx=0．因此(I-A -1B)x=x．两边取范数得‖x‖=‖(I—A -1B)x‖≤‖(I—A -1B)‖．‖x‖．因为‖x‖≠0，所以‖I-A -1B)‖≥1，从而有1≤‖I—A -1B)‖=‖A -1 (A—B)‖≤‖(A—B)‖.‖A -)解析：。
2009数值分析试题_A卷与答案
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y2412注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考2,又*3x a =10=≠。
05-09级数值分析试卷
的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分
I e dx
1
2
1 x
dy f ( x, y ) 八、 （14 分）对于下面求解常微分方程初值问题 dx 的单步法： y ( x0 ) y 0
1 1 y n 1 y n h( 2 k1 2 k 2 ) k1 f ( x n , y n ) k f ( x h, y hk ) n n 1 2
xi yi
-2 0
-1 1
0 2
1 1
2 0
试用二次多项式 p( x) ax 2 bx c 拟合这些数据。 四、 （14 分）已知 y f ( x) 的数据如下：
xi f ( xi ) f ( xi )
1 2
2 4 3
3 12
（1）求 f ( x) 的 Hermite 插值多项式 H 3 ( x) ； （2）为求 f ( x)dx 的值，采用算法： f ( x)dx H 3 ( x)dx R
武 汉 大 学
2005~2006 学年第一学期硕士研究生期末考试试题
科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、 （15 分）设求方程 12 3x 2 cos x 0 根的迭代法 2 xk 1 4 c o s xk 3 (1) 证明对 x0 R ,均有 lim xk x * ,其中 x * 为方程的根.
2 1 x1 7 1 1 x 2 3
（1） 用 Doolittle 分解法求解方程组； （2） 求矩阵 A 的条件数 Cond ( A) 二、 （12 分）设 A 为 n 阶对称正定矩阵，A 的 n 个特征值为 1 2 n ，为 求解方程组 Ax b ，建立迭代格式 x ( k 1) x ( k ) (b Ax ( k ) ) ，求出常数 的取 值范围，使迭代格式收敛。 三、 （12 分）已知数据
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姓名学号评分时间120分钟石家庄铁道学院 2009 级硕士研究生考试试卷参考答案及评分标准课程名称 数值分析 任课教师 王亚红一.(1-6题 2分/空;7-10题 3分/空)1. 3，32. 43. -34. )()(max x P x f bx a -≤≤5. )2)(1(!4)(),2(2)4(2--+-x x x f x x ξ 6. 33,3321=-=x x 7. 21<a8.Λ,2,1,0,211721=--=+k x x x x kkk k 9. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323/22/3212L 10.1,...,2,1,1--=⎩⎨⎧-==+n n k x d x d x k k k kn n β 二(16分).1. 解 :⎢⎢⎢⎣⎡221213112⎥⎥⎥⎦⎤ =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-32/12/1112132/112/31------8分解,b Ly =得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=304y解,y Ux =得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111x . -----------------------------------------------12分2.Jacobi 迭代法计算公式:初始向量)0(x⎪⎩⎪⎨⎧--=--=--=+++2/)25()236(2/)4()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x , Λ,2,1,0=k ------------------------------16分-----------------------------------7分)2)(1)(1(245)1)(1(65)1(233))()(](,,,[))(](,,[)](,[)()(21032101021001003--+--++++-=---+--+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N--------------------10分2.(10分)根据最小二乘原理∑=--=302))((i i i y b ax I 最小，----2分有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00aI bI即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑i i i ii i x y y a b xxx 24----------------------8分即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36915554a b ，解得b =1.2857，a =2.8286 拟合曲线2857.18286.2+=x y ----------------------10分 四(16分)解: 1．+----=))(())(()()(2010210x x x x x x x x x f x L ))(())(()(2101201x x x x x x x x x f ----+))(())(()(1202102x x x x x x x x x f ---- ------------------------------6分计算=)(0'x L ()()()()2104321x f x f x f h-+- ----------------9分 )()(0'0'x L x f ≈=()()()()2104321x f x f x f h-+- ------------------------------------------12分2．)()(),,(210x L x f x x x ≈∈,))()!1()(()()(1)1(2'++'='++x n f x L x f n n ωξ, x x n f n n 与ξωξ,))()!1()((1)1('+++有关, )()(),,(210x L x f x x x '≈'∈无法估计. )(,2x L x '不是插值节点时当的值不能作为)('x f 的近似值.-----------------16分 五. 解 1．(8分)Λ004.041.10=-I 21021-⨯≤------------------2分 2000011102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I ------------------------4分22111122102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I类推有 8210999910101021102110~10)1~10(110~--⨯=⨯⨯≤-=---=-I I I I I I-----------6分计算到10I 时，误差限为初始0I 的误差限的1010倍，每递推一次误差扩大10倍， 所以这个计算过程是不稳定的。
东北大学09数值分析(研)答案
。 2 − n ,...,2,1 = k � 0 =
i≠ j
k
i
∑ �即
) 4 h(O + ) 2n f
2 n
x∂ 61 y∂ y∂x∂ y∂ x∂ 2 + n fh + n y = + ) nf n + n ( + nf n 2 + n2 ( f 2∂ f 2 ∂ 3 h3 f 2∂ f∂ f∂ 2 h
3 n 2
1+ k
i)
1= i j − i 1= j 1= i ∏ ( ∑ = i y ) x ( i l ∑ = ) x ( nL = ) x ( f = j −x n n n
x
�有性一唯的式项多值插由
i≠ j
j i 1= j j − i 1= j ∏ x− x∏ = = )x ( il jx − x j −x n n
x−
) k(
x 使若� T )4 / 3 ,3 / 2 ,2 / 1( =
)1(
x �得步一代迭
解
�有且而。3�n 取应�故
4
� 4 /1 − 2 /1 − � � � 0 6 0 3 / 1 − � = B 为阵矩代迭 . = 1 B, � 3 / 1 − i b o c a J 于由 5 � � � 2 /1 2 /1 − 0 �
2
解
。线曲合拟的 2 xb + a = y 如形求试 1 0 3 1�
i y
… … … … 密 … … … …
○
。步 2 5 代迭应即。 2 5� k 取�以所
1
4 2
2 1
82.15 ≈
ix
x − )1( x 6 21 / 32 )0 ( nl ÷ nl = 1 B nl ÷ 1 nl > k 5 6 / 3− 01 ) B − 1( ε
2009硕士生数值分析试题
2009年中南大学硕士研究生“数值分析”课程试题（闭卷，可自带计算器，120分钟）一、设分段多项式（8分）S(x)=⎩⎨⎧≤≤-++≤≤+21,1210,2323x cx bx x x x x是以x = 0，1，2为节点的三次样条函数，试确定系数b ，c 的值。
二、设)3()(2-+=Φx c x x ，问如何选取 c 能保证迭代法)(1k k x x Φ=+具有局部收敛性。
（8分）三、利用列主元素消去法解方程：（8分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453311294642321x x x四、求()xf x e =在[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式。
（8分）五、已知函数表如下，试用抛物插值求125的近似值，估计截断误差。
（14分）利用Romberg 方法计算积分：dx xx⎰1sin （计算到第一个Romberg 值）。
七、利用改进的Euler 法求解如下初值问题：（14分）,1)0(6.00,2)('⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-=y x y x y x y 取步长 h =0.3 。
八、利用反幂法和矩阵的LU 分解技术求下列矩阵A 接近于 p = -6.4 的特征值及其特征向量（保留3位小数迭代计算2次，分解后取1(1,1,1)T Uv =），-1212-4111-6A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
（14分）九、方程组AX=b ， 其中10101a A a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
试建立解线性方程组AX=b 的雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a 取何值时迭代收敛。
（12分）。
Ch1-Ch4(2009-2011级硕士研究生《数值分析》试卷)
2009级一、判断题 (每题2分)3. 若n 阶方阵A 是严格对角占优的，则解方程组A =x b 的Jacobi 迭代法收敛。
( √ )4. 设是方程的根，则求的Newton 迭代法至少是平方收敛的。
( ) *x 0)(=x f *x二、填空题 (每空2分)1. 近似数关于准确值* 3.120x = 3.12065x =有 位有效数字，相对误差是 . 4. 设2543A −⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，则1A = ，A ∞= ，1Cond()A = .五(本题满分10分) 对于下列方程组1231231234222633245x x x x x x x x x ,,,−+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 建立Gauss–Seidel 迭代公式，写出相应的迭代矩阵，并用迭代矩阵的范数判断所建立的Gauss–Seidel 迭代公式是否收敛。
七(本题满分10分) 已知方程在10x xe −=00.5x =附近有一个实根.*x (1) 取初值00.5x =，用Newton 迭代法求（只迭代两次）。
*x (2) 取初值010.5,0.6x x ==，用弦截法求（只迭代两次）。
*x2010级一、填空题 (每空2分，共20分)1. 近似数关于准确值*2.315x = 2.31565x =有 位有效数字，相对误差是 .4. 设2345A −⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，则1A = ，Cond()A ∞= .5. 设是方程的3重实根，则求的改进的Newton 迭代公式为 *x 0)(=x f *x .二 (本题满分8分) 对下列方程组1231231232633245,422x x x x x x x x x ,++=⎧⎪++=⎨⎪−+=⎩ 建立收敛的Jacobi 迭代公式和收敛的Gauss–Seidel 迭代公式，并说明理由。
五(本题满分10分) 已知方程在3210x x −−=0 1.5x =附近有一个实根.*x (1) 取初值0 1.5x =，用Newton 迭代法求（只迭代两次）。
09下数值分析答案(A)
《数值分析》I课程试题参考答案及评分标准（中文试卷）( A卷)适用专业年级：信息与计算科学07级 考试时间: 100分钟命题人：吕勇一、解------------------------------------------------------5分则插值多项式。
---------------------------------------- -------10分二、 证明设，以为节点的Lagrange插值多项式为 --3分余项为-----------------------------------------------------6分由于为线性函数，当时，。
--------------------------------9分则：，所以结论得证-------------------------------------------------10分三、证明 ----------------------------------------------------5分-------------------------8分 ---------------------------------------------------10分四、证明设则根据插值多项式原理-------------------------------------------------------------------------------------6分两端在上积分-------------------------------------------------------------10分五、解设，。
--------------------------------------------------------------------3分，---------------------------------------------------------------6分，。
2009年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷
2009年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷(总分：30.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：7，分数：14.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设多项式f(x)=4x 4十6x 3 +9x+1，则求f(x 0 )仅含有4次乘法运算的算法为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：[(4x 0 +6)x 02 +9]x 0 +1)解析：3.已知实对称矩阵A的全部特征值是3，2，1，则cond(A) 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：3)解析：4.设f(x)=x 3 -3x+1，则f(x)以0，1，2为插值节点的2次牛顿插值多项式为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1-2x+3x(x-1))解析：5.用Simpson(保留小数点后3位小数)是______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：0.747)解析：6.Euler公式是______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：y i+1 =y i[f(x i，y i )+f(x i+1 ,y i，hf(x i，y i ))])解析：7.求解双曲型方程初边值问题的显格式稳定的条件是步长比s______，该差分格式关于空间步长_______阶收敛，关于时间步长______阶收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：≤1，2，2)解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)8.分析方程x 5 -5x+1=0有几个正根，并用迭代法求此方程的最大正根，精确到4位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(x)=x 5—5x+1，则f"(x)=5x 4—5，当x=±1时f"(x)=0．注意到x∈(0，1)时f"(x)＜0，x∈(1，+∞)时f"(x)＞0．又因为f(0)=1＞0，f(1)=-3＜0，f(2)=23＞0，因此方程有2个正根分别在(0，1)和(1，2)中，故最大正根x *∈(1，2)．用Newton迭代法求解，迭代格式为x k+1 =x k -,k=0,1,2，…，取x 0)解析：9.用列主元Gauss（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =1，x 2 =1，x 3 =8．)解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)10.设有求解线性方程组Ax=b的迭代格式Bx (k+1) +Cx (k) =b，k=0，1，…，(A)其中ξ和η的取值范围，使迭代格式(A)收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由迭代格式(A)得x (k+1) =-B -1 Cx (k) +B -1 b，由迭代法基本定理知迭代格式收敛ρ(-B -1 C)＜1．-B -1 C的特征方程为｜λI+B -1 C｜=｜B -1｜｜λB+C｜=0，由此得λ[λ2 -(ξ+η)λ+ξη]=0，求得λ1 =0，λ2 =ξ，λ<)解析：11.设，∈C 4[a，a+2]，求一个3次多项式H(x)，使之满足H(a)=f(a)，H(a+1)=f(a+1)，H(a+2)=f(a+2)，H"(A)=f"(a)，并写出插值余项f(x)-H(x)的表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由Hermite插值，有H(x)=f(a)+f[a，a](x—a)+f[a，a，a+1](x—a) 2 +f[a，a，a+1，a+2](x-a) 2[x-(a+1)]．f[a，a]=f"(a)，f[a，a+1]=f(a+1)-f(a)，f[a+1，a+2]=f(a+2)-f(a+1)，f[a，a，a+1J=f(a+1)-f(a)-f"(a)，f[a，a+1，a+2]= [f(a+2)-2f(a+1)+f(a)]，f[a，a，a+1，a+2]=)解析：12.用最小二乘法确定经验公式u=a+be x中的参数a和b，使该曲线拟合下面的数据：（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令φ0 (x)=1，φ1 (x)=e x，则(φ0，φ0 )=4， (φ0，φ1 )=e -1 +1+e+e 2 =11．4752， (φ1，φ1 )=e -2 +1+e 2 +e 2 =63．1225，(φ )解析：13.设f(x)∈C 2 [a，b]，I(f)= ,h=(b-a)／n，x k =a+kh，k=0，1，…，n；=X k +h／2，k=0，1，…，n-1. 1)写出计算积分I(f)的一点Gauss公式G(f)以及对应的复化求积公式G n (f); 2)设Tn (f)是计算积分I(f)的复化梯形公式，求参数α，使得（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：1)求∫ -11 g(t)dt的一点Gauss公式为2g(0)，则所以2)复化梯形公式为所以)解析：14.给定常微分方程初值问题n，记h=(b—a)／n，x i =a+ih，i=0，1，2，…，n．给定求初值问题(B)的多步方法： y i+1 =--4y i +5y i-1 +h[β1 f(x 1，y 1 )+β2 f(x i+1，y i+1 )]． (C) 1)试确定公式(C)中的参数β1，β2，使求解公式具有尽可能高的阶数，写出局部截断误差表达式并指出最高阶数； 2)利用Euler公式和公式(C)构造一个预测-校正公式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)多步公式(C)的局部截断误差为R i+1=y(x i+1)+4y(x i)-5y(x i-1)-h[β1f(x i，y(x i ))+β2 f(x i+1，y(x i+1 ))]=y(x i+1 )+4y(x i )-5y(x i-1 )-hβ )解析：15.给定初边值问题其中ψ(x)，α(t)，β(t)是光滑函数，且满足相容性条件．取正整数M，N，记h=(b—a)／M，τ=T／N，x i=a+ih(0≤i≤M)，t k =kτ(0≤k≤N)． 1)写出求上述定解问题的古典隐格式；2)设f(x，t)≡0，α(t)=β(t)≡0，{u i k｜0≤i≤M，0≤k≤N}是古典隐格式的解，记r=τ／h 2，,k=0，1，…，N.证明：对任意步长比r，有‖u k‖ ∞≤‖u 0‖ ∞,k=1,2,…,N（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)古典隐格式为2)当f(x,t)≡0．α(t)=β(t)≡0时，上述古典隐格式可写为由此可得对任意1≤i≤M-1，1≤k≤N有 (1+2r)｜u i k｜≤r(｜u i+1k｜+｜u i-1k｜)+｜u ik-1｜≤2r‖u k‖∞+‖u k-1‖∞)解析：。