历年高考数学真题精选31 立体几何中的垂直关系

历年高考数学真题精选（按考点分类）专题31 垂直关系（学生版）1．（2019•北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若60ABC ∠=︒，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得//CF 平面PAE ？说明理由．2．（2015•重庆）如图，三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，2ABC π∠=，点D 、E在线段AC 上，且2AD DE EC ===，4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且//EF BC ． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面PFE ．（Ⅱ）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长．3．（2015•福建）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO OB ==，（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证；AC ⊥平面PDO ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若2BC =，点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．4．（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形 （Ⅰ）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ；（Ⅱ）设D 、E 分别是线段BC 、1CC 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线//DE 平面1A MC ？请证明你的结论．5．（2014•福建）如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD BD ⊥． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积．6．（2014•广东）如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1AB =，2BC PC ==作如图2折叠；折痕//EF DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF CF ⊥．（1）证明：CF ⊥平面MDF ； （2）求三棱锥M CDE -的体积．7．（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ． （1）证明：1B C AB ⊥；（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．8．（2014•山东）如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：//AP 平面BEF ； （Ⅱ）求证：BE ⊥平面PAC ．9．（2013•安徽）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒．已知2PB PD ==，6PA = （Ⅰ）证明：BD ⊥面PAC（Ⅱ）若E 为PA 的中点，求三菱锥P BCE -的体积．10．（2013•重庆）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，23PA =，2BC CD ==，3ACB ACD π∠=∠=．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，求三棱锥P BDF -的体积．11．（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒ （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥； （Ⅱ）若2AB CB ==，16A C =，求三棱柱111ABC A B C -的体积．12．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB ，Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=︒．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积．13．（2018•江苏）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥． 求证：（1）//AB 平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．14．（2018•新课标Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？说明理由．15．（2018•新课标Ⅰ）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将ACM ∆折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．16．（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题31 垂直关系（教师版）1．（2019•北京）如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E 为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若60∠=︒，求证：平面PAB⊥平面PAE；ABC（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得//CF平面PAE？说明理由．证明：（Ⅰ）四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∴⊥，BD ACBD PA⊥，∴⊥平面PAC．=，BDPA AC A（Ⅱ）在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，60ABC∠=︒，∴⊥，PA AEAB AE⊥，∴⊥平面PAB，PA AB A=，AEAE⊂平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．解：（Ⅲ）棱PB上是存在中点F，使得//CF平面PAE．理由如下：取AB中点G，连结GF，CG，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∴，//FG PA，//CG AE=，AE PA ACG FG G=，CFG平面PAE，∴平面//CF ⊂平面CFG ，//CF ∴平面PAE ．2．（2015•重庆）如图，三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，2ABC π∠=，点D 、E在线段AC 上，且2AD DE EC ===，4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且//EF BC ． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面PFE ．（Ⅱ）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长．解：（Ⅰ）如图，由DE EC =，PD PC =知，E 为等腰PDC ∆中DC 边的中点，故PE AC ⊥， 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =，PE ⊂平面PAC ，PE AC ⊥， 所以PE ⊥平面ABC ，从而PE AB ⊥． 因为2ABC π∠=，//EF BC ，故AB EF ⊥，从而AB 与平面PEF 内两条相交直线PE ，EF 都垂直， 所以AB ⊥平面PEF ．（Ⅱ）设BC x =，则在直角ABC ∆中，22236AB AC BC x -=-， 从而2113622ABC S AB BC x x ∆==- 由//EF BC 知23AF AE AB AC ==，得AFE ABC ∆∆∽， 故224()39AFEABCS S ∆∆==，即49AFE ABC S S ∆∆=，由12AD AE =，2114213622999AFD AFE ABC ABC S S S S x x ∆∆∆∆====-， 从而四边形DFBC 的面积为：2221173636362918DFBC ABC AFD S S S x x x x x x ∆=-=---=-．由（Ⅰ）知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P DFBC -的高． 在直角PEC ∆中，22224223PE PC EC =-=-=， 故体积2117362373318P DFBC DFBC V S PE x x -==-=， 故得42362430x x -+=，解得29x =或227x =，由于0x >，可得3x =或33x =． 所以：3BC =或33BC =．3．（2015•福建）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO OB ==，（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证；AC ⊥平面PDO ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若2BC =，点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．解：（Ⅰ）在AOC ∆中，因为OA OC =，D 为AC 的中点， 所以AC DO ⊥，又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以PO AC ⊥， 因为DOPO O =，所以AC ⊥平面PDO ．（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1， 又2AB =，所以ABC ∆面积的最大值为12112⨯⨯=，又因为三棱锥P ABC -的高1PO =，故三棱锥P ABC -体积的最大值为：111133⨯⨯=．（Ⅲ）在POB ∆中，1PO OB ==，90POB ∠=︒， 所以22112PB =+=，同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值， 又因为OP OB =，C P C B '='，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点． 从而2626OC OE EC +'=+'=+=． 亦即CE OE +的最小值为：26+．4．（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形 （Ⅰ）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ；（Ⅱ）设D 、E 分别是线段BC 、1CC 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线//DE平面1A MC ？请证明你的结论．（Ⅰ）证明：四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形， 1AA AB ∴⊥，1AA AC ⊥， ABAC A =，1AA ∴⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 1AA BC ∴⊥，AC BC ⊥，1AA AC A =，∴直线BC ⊥平面11ACC A ；（Ⅱ）解：取AB 的中点M ，连接1A M ，MC ，1A C ，1AC ，设O 为1A C ，1AC 的交点，则O 为1AC 的中点．连接MD ，OE ，则//MD AC ，12MD AC =，//OE AC ，12OE AC =， //MD OE ∴，MD OE =，连接OM ，则四边形MDEO 为平行四边形， //DE MO ∴，DE ⊂/平面1A MC ，MO ⊂平面1A MC ，//DE ∴平面1A MC ，∴线段AB 上存在一点M （线段AB 的中点），使直线//DE 平面1A MC ．5．（2014•福建）如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD BD ⊥． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积．（Ⅰ）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥， CD BD ⊥，ABBD B =，CD ∴⊥平面ABD ；（Ⅱ）解：AB ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，AB BD ∴⊥． 1AB BD ==，12ABD S ∆∴=， M 为AD 中点，1124ABM ABD S S ∆∆∴==，CD ⊥平面ABD ，11312A MBC C ABM ABM V V S CD --∆∴===．6．（2014•广东）如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1AB =，2BC PC ==作如图2折叠；折痕//EF DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF CF ⊥．（1）证明：CF ⊥平面MDF ； （2）求三棱锥M CDE -的体积．解：（1）证明：PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ；又平面PCD ⋂平面ABCD CD =，MD ⊂平面ABCD ，MD CD ⊥，MD ∴⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，CF MD ∴⊥；又CF MF ⊥，MD 、MF ⊂平面MDF ，MD M F M =，CF ∴⊥平面MDF ；（2）CF ⊥平面MDF ，CF DF ∴⊥， 又Rt PCD ∆中，1DC =，2PC =， 30P ∴∠=︒，60PCD ∠=︒， 30CDF ∴∠=︒，1122CF CD ==；//EF DC ，∴DE CFDP CP =1223=， 3DE ∴=33PE ∴=132CDE S CD DE ∆∴==； 22223336()()44MD ME DE =--=， 1136233M CDE CDE V S MD -∆∴==⨯ 7．（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．（1）证明：连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点， 侧面11BB C C 为菱形， 11BC B C ∴⊥，AO ⊥平面11BB C C ， 1AO B C ∴⊥， 1AOBC O =，1B C ∴⊥平面ABO ，AB ⊂平面ABO ，1B C AB ∴⊥；（2）解：作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ， BC AO ⊥，BC OD ⊥，AOOD O =，BC ∴⊥平面AOD ， OH BC ∴⊥， OH AD ⊥，BCAD D =，OH ∴⊥平面ABC ， 160CBB ∠=︒， 1CBB ∴∆为等边三角形，1BC =，3OD ∴=1AC AB ⊥，11122OA B C ∴==，由OH AD OD OA =，可得2274AD OD OA =+=，2114OH ∴=， O 为1B C 的中点， 1B ∴到平面ABC 的距离为217， ∴三棱柱111ABC A B C -的高217．8．（2014•山东）如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：//AP 平面BEF ； （Ⅱ）求证：BE ⊥平面PAC ．证明：（Ⅰ）连接CE ，则 //AD BC ，12BC AD =，E 为线段AD 的中点， ∴四边形ABCE 是平行四边形，BCDE 是平行四边形，设AC BE O =，连接OF ，则O 是AC 的中点，F 为线段PC 的中点，//PA OF ∴，PA ⊂/平面BEF ，OF ⊂平面BEF ，//AP ∴平面BEF ；（Ⅱ）BCDE 是平行四边形， //BE CD ∴，AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴⊥，AP CD∴⊥，BE AP=，四边形ABCE是平行四边形，AB BC∴四边形ABCE是菱形，∴⊥，BE AC=，AP AC A∴⊥平面PAC．BE9．（2013•安徽）如图，四棱锥P ABCD∠=︒．已BAD-的底面ABCD是边长为2的菱形，60知2PB PD==，6PA=．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P BCE-的体积．（Ⅰ）证明：连接BD，AC交于O点，=，PB PD∴⊥，PO BD又ABCD是菱形，∴⊥，BD AC=，PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，AC PO O∴⊥平面PAC．BD（Ⅱ）则23AC =，ABD ∆和PBD ∆的三边长均为2， ABD PBD ∴∆≅∆，3AO PO ∴==，222AO PO PA ∴+=， AC PO ∴⊥， 132PAC S AC PO ∆==， 11111131223232P BCE B PEC B PAC PAC V V V S BO ---∆====⨯⨯⨯=．10．（2013•重庆）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，23PA =，2BC CD ==，3ACB ACD π∠=∠=．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，求三棱锥P BDF -的体积．解：（Ⅰ）2BC CD ==，BCD ∴∆为等腰三角形，再由3ACB ACD π∠=∠=，BD AC ∴⊥．再由PA ⊥底面ABCD ，可得PA BD ⊥． 而PAAC A =，故BD ⊥平面PAC ．（Ⅱ）侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，∴三棱锥F BCD -的高是三棱锥P BCD -的高的18．BCD ∆的面积112sin 22sin 3223BCD S BC CD BCD π∆=∠=⨯⨯⨯=．∴三棱锥P BDF -的体积1117133883P BCD F BCD BCD BCD BCD V V V S PA S PA S PA --∆∆∆=-=-=⨯ 77323244=⨯⨯=． 11．（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒ （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥； （Ⅱ）若2AB CB ==，16A C =，求三棱柱111ABC A B C -的体积．（Ⅰ）证明：如图，取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ． 因为CA CB =，所以OC AB ⊥．由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，故△1AA B 为等边三角形， 所以1OA AB ⊥． 因为1OCOA O =，所以AB ⊥平面1OAC ． 又1A C ⊂平面1OAC ，故1AB AC ⊥； （Ⅱ）解：由题设知ABC ∆与△1AA B 都是边长为2的等边三角形， 所以13OC OA ==又16A C =22211AC OC OA =+，故1OA OC ⊥． 因为OCAB O =，所以1OA ⊥平面ABC ，1OA 为三棱柱111ABC A B C -的高．又ABC ∆的面积3ABC S ∆=，故三棱柱111ABC A B C -的体积1333ABC V S OA ∆=⨯=⨯=．12．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB ，Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=︒．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积．解：（1）证明：由已知可得//AD BE ，//CG BE ，即有//AD CG ， 则AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面； 由四边形ABED 为矩形，可得AB BE ⊥， 由ABC ∆为直角三角形，可得AB BC ⊥， 又BCBE B =，可得AB ⊥平面BCGE ，AB ⊂平面ABC ，可得平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）连接BG ，AG ，由AB ⊥平面BCGE ，可得AB BG ⊥，在BCG ∆中，2BC CG ==，120BCG ∠=︒，可得2sin 6023BG BC =︒= 可得2213AG AB BG =+在ACG ∆中，5AC 2CG =，13AG ，可得cos 2255ACG ∠==-⨯⨯，即有sin 5ACG ∠=，则平行四边形ACGD 的面积为2545⨯⨯=．13．（2018•江苏）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥． 求证：（1）//AB 平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．证明：（1）平行六面体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，11//AB A B ，AB ⊂/平面11A B C ，11//A B ⊂平面11//A B C AB ⇒平面11A B C ；（2）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，⇒四边形11ABB A 是菱形，11AB A B ⊥⊥．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，1111AB B C AB BC ⊥⇒⊥． ∴1111111,,AB A B AB BC A B BC B A B A BC BC A BC⊥⊥⎧⎪=⎨⎪⊂⊂⎩面面 1AB ⇒⊥面1A BC ，且1AB ⊂平面11ABB A ⇒平面11ABB A ⊥平面1A BC ．14．（2018•新课标Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？说明理由．（1）证明：矩形ABCD 所在平面与半圆弦CD 所在平面垂直，所以AD ⊥半圆弦CD 所在平面，CM ⊂半圆弦CD 所在平面，CM AD ∴⊥，M 是CD 上异于C ，D 的点．CM DM ∴⊥，DMAD D =，CM ∴⊥平面AMD ，CM ⊂平面CMB ，∴平面AMD ⊥平面BMC ； （2）解：存在P 是AM 的中点，理由：连接BD 交AC 于O ，取AM 的中点P ，连接OP ，可得//MC OP ，MC ⊂/平面BDP ，OP ⊂平面BDP ，所以//MC 平面PBD ．15．（2018•新课标Ⅰ）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将ACM ∆折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．解：（1）证明：在平行四边形ABCM 中，90ACM ∠=︒，AB AC ∴⊥， 又AB DA ⊥．且AD AC A =，AB ∴⊥面ADC ，AB ⊂面ABC ，∴平面ACD ⊥平面ABC ；（2）3AB AC ==，90ACM ∠=︒，32AD AM ∴==， 2223BP DQ DA ∴===， 由（1）得DC AB ⊥，又DC CA ⊥，DC ∴⊥面ABC ， ∴三棱锥Q ABP -的体积1133ABP V S DC ∆=⨯ 121121133313333323ABC S DC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=． 16．（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．证明：（1）在四棱锥P ABCD -中，90BAP CDP ∠=∠=︒， AB PA ∴⊥，CD PD ⊥，又//AB CD ，AB PD ∴⊥，PA PD P =，AB ∴⊥平面PAD ，AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．解：（2）设PA PD AB DC a ====，取AD 中点O ，连结PO ， PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，平面PAB ⊥平面PAD ， PO ∴⊥底面ABCD ，且222AD a a a =+=，2PO a =， 四棱锥P ABCD -的体积为83， 由AB ⊥平面PAD ，得AB AD ⊥，13P ABCD ABCD V S PO -∴=⨯⨯四边形 31121823333AB AD PO a a a a =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯==， 解得2a =，2PA PD AB DC ∴====，22AD BC ==，2PO =， 4422PB PC ∴==+=，∴该四棱锥的侧面积：PAD PAB PDC PBC S S S S S ∆∆∆∆=+++侧221111()22222BC PA PD PA AB PD DC BC PB =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯- 111122222222822222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯- 623=+．。