导数在生活中的优化问题举例(最新整理)
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数作为微积分中的重要概念，是描述函数变化率的工具之一。
在数学领域中，导数的运用非常广泛，它不仅可以用来解决数学问题，还可以在实际生活中找到许多有趣的应用。
导数在实际生活中的运用，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以为我们的生活带来便利与乐趣。
一、导数在物理学中的应用在物理学中，导数被广泛应用于描述物体运动的规律。
通过对物体位移、速度、加速度等物理量的导数进行分析，可以帮助我们更好地理解物体的运动规律。
以小车匀速运动为例，假设小车在 t 时刻的位置为 s(t)，则小车的速度可以表示为 s'(t)，而小车的加速度可以表示为 s''(t)。
通过对速度和加速度的分析，可以帮助我们更加深入地理解物体的运动规律，为实际的运动控制提供依据。
在经济学中，导数被广泛应用于描述经济变量的变化规律。
通过对需求函数、供给函数等经济函数的导数进行分析，可以帮助我们更好地理解价格、产量等经济变量的变化规律。
导数还可以用来解决相关的最优化问题，在经济决策中发挥着重要作用。
通过对经济变量的导数进行分析，可以帮助经济学家更好地理解市场运行的规律，为经济政策的制定提供依据。
在工程领域中，导数被广泛应用于描述各种物理现象和工程问题。
在电路设计中，导数可以帮助我们分析电流、电压等电学量的变化规律，为电路的设计提供依据。
在机械设计中，导数可以帮助我们分析力、速度、加速度等物理量的变化规律，为机械系统的设计提供依据。
通过对工程问题中的导数进行分析，可以帮助工程师更好地理解物理现象和工程问题，为工程设计提供科学依据。
除了在物理学、经济学和工程领域中的应用外，导数还可以在生活中的许多其他领域中找到应用。
通过对人口增长率、疾病传播速率等进行导数分析，可以帮助我们更好地理解社会现象和生活问题。
在生产实践中，导数也可以用来描述生产过程中的效率和变化规律。
导数还可以在艺术创作、音乐编排等方面找到应用，帮助我们更好地理解艺术和音乐作品的规律。
导数在生活中的应用实例
导数在生活中的应用实例
导数在生活中有广泛的应用，从金融投资到医疗健康等各个方面，它都能给我们带来
便利。
首先，在金融投资方面，伴随着全球经济的发展，许多金融衍生品的交易量和市场参
与者的活跃度都有所增加。
其中，很多交易型金融投资都依赖于股票、外汇等市场的波动
情况进行投资。
投资者通过分析资产的价格变化状况，以及资产价格的变化和价位的变化
趋势，来确定合适的投资机会，因此，导数可以帮助投资者更好地分析市场行情，以期取
得更好的投资收益。
其次，对于医疗健康来说，现代医疗保健研究，及其药物的开发都需要依赖数学模型
来模拟和提供支持，而在一些精确的数学模型中，导数正是不可缺少的。
比如，医生在处
理患者时，需要迅速推断出患者血压、血液酶水平等数据之间的关系，从而准确地推断患
者的病情和预算治疗效果，对于此类精确推断，导数正是有益之处，故被广泛运用于此。
另外，导数也广泛应用于航空航天等领域，特别是一些大型航空器、航天器的制造过
程中，往往需要精确的数学模型来控制，同时，研发团队也需要使用导数来对其飞行轨迹
进行分析，以确定它们的最终落点，从而保证安全性。
此外，对于工程领域来说，导数也有着相当多的应用，比如，在水利工程中，导数可
以帮助计算发电机的收益以及污水处理技术中的流量及淤积。
此外，在机械装配过程中，
也需要利用导数对装配精度进行校正及评估，来保证产品质量。
总之，导数在生活中被极广泛地应用，虽然有时我们不经意地只能为之披上数学衣衫，但它已成为现代生活的重要组成部分，有益于不同领域的发展和应用。
导数在日常生活中的应用实例
导数在日常生活中的应用实例
导数是对函数变化率的量化，它不仅仅在数学中被广泛使用，在日常生活中也有广泛的应用。
比如计算速度、位移、加速度等问题。
本文将介绍导数在日常生活中的应用实例。
首先，当我们求出物体在某一时刻的速度时，就是在使用导数。
例如当一辆小汽车行驶1h，总共走了100公里时，就可以计算出它这1h的平均速度，也就是求函数s（t）=100/(1h)的导数，即小汽车的速度。
其次，导数在交通运输中也被广泛使用。
例如，飞机飞行时，它的速度可能会随着时间的推移而发生变化，这时我们就可以用导数的概念来分析飞机的位移变化，以及在不同时刻的加速度、减速度等。
另外，对于一段距离，我们可以利用导数的思想来解决“最短时间”的问题，也就是求出最优的速度。
第三，导数还可以应用在理财方面，例如，如果我们需要计算投资和贷款收益，就可以使用导数来计算复利收益率。
这也是经济学中非常重要的概念之一，通过它，我们可以快速准确地计算出投资和贷款利息的收益率。
最后，导数还可以用来解决热力学中的问题，例如，求出蒸发物体时的温度变化曲线，我们就可以使用导数的思想来确定温度的变化速率。
此外，当我们想推断某种物质在蒸发过程中吸收多少热量时，也可以使用导数来求解。
从上面的例子可以看出，导数在日常生活中广泛地使用，它不仅
仅可以用来解决科学、数学方面的问题，也可以用于经济、交通、热力学等领域。
因此，可以说，在现代社会中，学会运用导数具有重要的意义，从而更好地利用数学知识来处理日常生活中的实际问题。
优化问题举例
2x
求导数，有 S ' ( x ) 2 512 , 2
512 令s' ( x ) 2 2 0, x
128 128 于是宽为 8 x 16
512 8, x 0 x
x
解得，x=16 (x=-16舍去）
；
； 。
（4）瓶子的半径r的取值范围是 （5）怎样求利润的最大、最小值？
例题:
某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成 本是0.8πr2分.已知每出售1ml的饮料,可获利 0.2分,且瓶子的最大半径为6cm. （１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
当r (2,6]时, f ' (r ) 0.
解： 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利 3 4 r 润为： y f (r ) 0.2 0.8r 2 (0 r 6)
令 f ' (r ) 0.8 (r 2 2r ) 0
3
当r 2时, f ' (r ) 0. 当r (0,2)时, f ' (r ) 0; 当r (2,6]时, f ' (r ) 0. 因此，当r>2时，f’(r)>0,它表示f(r)单调递 增，即半径越大，利润越高； 当r〈2时，f’(r)〈0,它表示f(r)单调递减， 即半径越大，利润越低。 （1）半径为2时，利润最小。这时f(2)<0,表示 此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时 利润是负值； （2）半径为6时，利润最大。
生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题，通过前面的学习， 知道，导数是求函数最大（小）值的 有力工具，本节我们运用导数，解决 一些生活中的优化问题。
导数的应用于最优化问题
导数的应用于最优化问题导数是微积分中的一个重要概念，用来衡量函数在某个点的变化率。
在数学中，导数在求解最优化问题时起着至关重要的作用。
本文将介绍导数的应用于最优化问题，并详细解释其原理和算法。
一、最优化问题简介最优化问题是在给定的约束条件下，寻找使某个目标函数达到最小或最大值的解。
在实际生活中，最优化问题的应用非常广泛，如经济学中的成本最小化问题，物理学中的能量最小化问题等。
最优化问题可以分为线性和非线性两种情况，本文将重点介绍非线性最优化问题。
二、导数在最优化问题中的应用1. 最小值问题在计算目标函数的导数时，可以得到函数曲线的斜率。
根据导数的性质，当导数为零时，函数达到极值点，即局部最小值或最大值。
因此，最优化问题可以通过求解目标函数的导数为零的点来获得极值点的位置。
2. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的最优化算法，它利用目标函数在当前点的导数方向来更新解的位置，从而逐步接近最小值点。
梯度下降法的思想是根据导数的方向选择合适的步长，以便使得目标函数在每一步的迭代过程中逐渐趋于最小值。
3. 牛顿法牛顿法是一种迭代求解最优化问题的方法，其基本思想是利用目标函数的导数和二阶导数来逼近函数的局部极小值点。
牛顿法的优势在于收敛速度较快，但同时也存在一些局限性，如对初始点的选择较为敏感。
4. 拟牛顿法拟牛顿法克服了牛顿法对初始点选择的敏感性，它通过近似目标函数的Hessian矩阵来逼近真实的二阶导数。
拟牛顿法的核心思想是利用历史的迭代信息来更新目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，从而提高算法的效率和稳定性。
三、导数在最优化问题中的应用举例为了更好地理解导数在最优化问题中的应用，我们以求解一元二次函数的最小值为例进行说明。
假设有一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望找到使函数f(x)取得最小值的点。
首先，我们计算函数f(x)的一阶导数f'(x) = 2ax + b。
然后，令导数f'(x)为零，解得x = -b/(2a)。
重点：利用导数知识解决实际生活中的最优化问题
在确定了所有极值点后，需要比较这些点的函数值，以确定哪个点是最优解。如果目标是最小化函数，则选择函数值最小的极小值点作为最优解；如果目标是最大化函数，则选择函数值最大的极大值点作为最优解。
总结词
导数在最大利润问题中，可以帮助我们找到使利润最大的最优解。
总结词
导数在最大利润问题中，可以帮助我们找到使利润最大的最优解。
详细描述
在商业运营中，最大化利润是一个关键目标。导数的应用可以帮助我们找到使利润最大的最优解。例如，在定价策略中，我们可以通过求导找到最优的定价，以最大化利润。
详细描述
在商业运营中，最大化利润是一个关键目标。导数的应用可以帮助我们找到使利润最大的最优解。例如，在定价策略中，我们可以通过求导找到最优的定价，以最大化利润。
总结词：导数在最优化方案选择问题中，可以帮助我们找到最优的方案。
导数在解决最优化问题中的重要性
CATALOGUE
02
导数大于零的区间内，函数值随自变量增大而增大。
单调递增
导数小于零的区间内，函数值随自变量增大而减小。
单调递减
不等式最值
利用导数研究函数在某区间内的单调性，进而确定不等式成立的条件和最值。
在某些情况下，可能存在多个最优解或没有最优解，这取决于问题的性质和约束条件。
实际案例分析
CATALOGUE
04
总结词
导数在投资回报最大化问题中起到关键作用，通过求导数找到收益函数的最大值点，从而确定最优投资策略。
要点一
要点二
详细描述
3.5导数在函数中的应用(优化问题)
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 3.5导数在函数中的应用（优化问题）考纲定位 会利用导数求生活实际中的优化问题.【典型例题】一、利用导数求生活实际中的优化问题1、（2006 福建）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：)1200(880312800013≤<+-=x x x y 已知甲、乙两地相距100千米。
（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？2、（2009 湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x +万元。
假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为y 万元。
（Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？3、（2013 湖南）京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，G808次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程S （t ）（单位：m ）和时间t （单位：s ）的关系为：．（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；（2）求列车正常行驶的速度；（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值．【上本作业】《胜券在握》P32页第3题：某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：kg ）与销售价格x （单位：元/kg ）满足关系式2()10(6),(36)3a f x x x x =+-<<-，已知销售价格为5元/kg 时，每日可销售出该商品11 kg.（1）求实数a 的值；（2）若该商品的成本为3元/kg ，试确定销售价格x 的值使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【课后反思】答案解析1、（2006 福建）解：（1）当x=40千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=小时 要耗油5.175.2)840803401280001(3=⨯+⨯-⨯（升） 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
导数在生活中的优化问题举例含答案
生活中的优化问题举例1、如图所示，设铁路50=AB ，C B 、之间的距离为10， 现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路 费用为4，问在在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？2、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10海里/小时，燃料费每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？3、已知B A 、两地相距200km ，一条船从A 地逆水到B 地，水速为h km /8，船在静水中的速度为()08/v v h vkm ≤<，若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当h km v /12=时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？4、已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线24x y -=在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长。
5、扇形AOB 中，半径2,1π=∠=AOB OA ，在OA 的延长线上有一动点C ，过C 点作CD 与弧AB 相切于点E ，且与过点B 所作的OB 的垂线交于点D ，问当点C在什么位置时，直角梯形OCDB 的面积最小？6、从长为32cm 、宽为20cm 的矩形薄铁板的四角剪去边长相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？7、某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为t t 52+-(百万元)()50≤≤t(1)、若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)、现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额约为x x x 33123++-(百万元)；请设计一个资金分配方案，使公司由此获得的收益最大。
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格 x（单位：元/千克）满足关系式 y a 10(x 6)2 ，其中 3 x 6 ，a 为常数,已知 x3
销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. （I）求 a 的值; （II）若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得 的利润最大.
a2 1 长的比值为 . 2
规律总结：几何图形中的优化问题,包括平面几何和空间几何体的问题,主要是对面积和 体积最大或最小的优化设计.构造函数关系式,需要依据平面几何知识或空间几何特征,借助 相应的公式进行. 上述题中,两个目标函数皆未给出,因此建立两个函数关系式是关键之一建. 立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征,从而选定侧面积和体积的计算公式,.利用 空间图形与平面图形数量关系的联系,进行具体计算. 因为实际问题往往会有更为具体的定 义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.正确求导,并研究函数的性质,是解 决该最值问题关键之二.
变式训练 2 设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离 B 为 100km 处 有一原料供应站 C,现要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修 一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料 供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省? 题型三 利润最大问题
1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ,那么其表面积最小时,底面边长为( )
A. 3 V
B. 3 2V
C. 3 4V
D. 23 V
2. 制作一个圆柱形锅炉,容积为V 两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元，侧面的材料每 单位面积价格为 b 元,当造价最低时,锅炉底面半径与锅炉高的比是（ ）
a 2x, h 60 2x 2(30 x),0 x 30. 2
（1）由题意包装盒侧面积 S 4ah 8x(30 x) 8(x 15)2 1800, 所以当 x 15 时，S
取得最大值.
（2）由题意知,V a 2h 2 2(30x2 x3 ), (0 x 30),V 6 2x(20 x) .由V 0 得 x 0 （ 舍 ） 或 x 20 .由 于 当 x (0,20) 时 ， V 0;当x (20,30)时V 0 ,所 以 当 x 20 时，V 取得极大值，而且为唯一极大值,故也是最大值,此时 h 1 该盒的高与底面边
一、课前准备
1.4 第一课时 生活中的优化问题举例
1．课时目标
（1）了解函数极值和最值的基本应用.
（2）会用导数解决某些实际问题. 2．基础预探
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
(1) 分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的
，写出实际问题中变量
之间的
，根据实际意义确定定义域.
(2) 求函数 y f x 的导数 f (x)，解方程 f (x)＝0,求定义域内的根，确定
梯形面积为 S．
反馈
（文字语言） （数学语言） （导数应用） （检验作答）
3. 需要注意的几个问题
(1) 目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注 意定义域的确定,并注意定义域对函数最值的影响.
(2) 如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最
值，不必再与端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性.
变式训练 1 今有一块边长 a 的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个 全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大， x 值应为多少？
题型二 费用最省问题
2
例 3 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位：米）,其中容器的中间为圆柱形,
80
左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
4. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为 3m，长和宽的和为 20m，则仓库容积的最
大值为
.
5. 统计结果表明,某种新型号的节能汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升),关于行驶速度
x (千米/小时)的函数解析式可以表示为： y 1 x3 3 x 8(0 x 120) ，已知 128000 80
2.解决优化问题的方法
首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义
域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研
究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工
具． 解决优化问题的基本程序是：
读题
建模
求解
的年产量； （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利
润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格 s 是多少？ 五、随堂练习 1. 要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积为最大,则高为( )cm.
3
A.
四、典例导析
题型一 几何图形中的优化问题
例 1 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部
分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P，
正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两
为
元时,毛利润最大?(毛利润=销售收入一进货支出)
5. 现有 10000 元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金分别
12
为 x 和 y 时，得到的回报是 P x 3 y 3 ．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大
的回报.
6．如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r ，短半轴长为 r ，计划将此钢板切割 成等腰梯形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记 CD 2x ，
3
10 3
B.
3
16 3
C.
3
20 3
D.
3
2. 以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 ( ) .
A.10
B.15
C.25
D.50
4
3. 若一球的半径为 r ,作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为 ( ) .
A. 2r 2
B. r 2
C. 4r 2
D. 1 r 2 2
f (x) 10(x 6)2 20(x 3)(x 6) 30(x 4)(x 6) .于是,当 x 变化时, f (x), f (x) 的
变化情况如下表:
x
（3,4）
4
(4,6)
f (x)
＋
0
－
f (x)
单调递增 极大值 42 单调递减
由上表可知, x 4 是函数 f (x) 在 (3,6) 上的极大值点,而且为唯一极大值点,即是最大值点所,
r
2
（Ⅱ）因为
y'
160 r2
16 r
+ 8 cr
8 [(c
=
2)r3 r2
20]
,所以令
y'
0 得: 0 r 3 20 ,所以 r 3 20 米时, 该容器的建造费用最小.
c2
c2
规律总结:由于所得函数解析式为非基本初等函数,所以要求其最小值,需要利用函数的 导数,先求函数的极值,再判断函数的最值.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在 求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.
x3
2
（II）由（I）知,该商品每日的销售量为 y 2 10(x 6)2 ,所以商场每日销售该商品所 x3
获得的利润为 f (x) (x 3)[ 2 10(x 6)2 ] 2 10(x 3)(x 6)2 x3
2 10(x 3)(x2 12x 36) , (3 x 6) .所以,
解 :（ Ⅰ） 因 为 容 器 的 体 积 为 80 立 方 米 ， 所 以 4 r3 r2l 80 ,解 得
3
3
3
l
80 3r 2
4r 3
所, 以圆柱的侧面积为
2
rl
=
2
r
(
80 3r 2
4r ) 3
160 3r
8 r2 3
,两端两个半球的
表面积之和为 4 r2 ,所以 y 160 8 r2 + 4 cr2 ,定义域为(0, l ).
a
A.
2b
a2
B.
2b
b
C.
2a
b2
D.
2a
3. 做 一 个 无 盖 的 圆 柱 形 水 桶 ， 若 要 使 其 体 积 是 27 ,且 用 料 最 省 则 圆 柱 的 底 面 半 径
为
.
4. 去年初,某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品．若该商品零售价定为 p 元，则销
售量 q (件)与零售价 p (元)有如下关系 q 8300 170 p p 2 ．那么该商品零售价
思路导析:问题（I）,由题设中的具体情形,代入函数解析式,解方程,求 a 的值.问题（II）,
3
用 x 表示该商场每日销售该商品所获得的利润,得函数关系式,对所得函数关系式求导,讨论极
值和最值的情况,最后确定利润最大的时刻.
解: （I）因为当 x 5 时, y 11,代入 y a 10(x 6)2 得, a 10 11, a 2 .
3 立方米且，l 2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有
关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球
形部分每平方米建造费用为 c, (c 3) .设该容器的建造