高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第15讲 导数在生活中的优化问题举例(理)

利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤： (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数 学模型，写出相应的函数关系式 y＝f(x)并确定定义域； (2)求导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； (3)判断使 f′(x)＝0 的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答， 即获得优化问题的答案．
第15讲 导数在生活中的优化问题举例
考纲要求
1.能利用导数研究函数的 单调性，会求函数的单调 区间(其中多项式函数一 般不超过三次)． 2.会用导数求函数的极大 值、极小值(其中多项式 函数一般不超过三次)； 会求闭区间上函数的最大 值、最小值(其中多项式 函数一般不超过三次)． 3.会利用导数解决某些实 际问题
解：(1)∵f(x)＝1－ ax x＋lnx，∴f′(x)＝axa－x2 1(a>0)． ∵函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数， ∴f′(x)＝axa－x21≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴ax－1≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立， 即 a≥1x对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴a≥1.
(2)当 a＝1 时，f′(x)＝x－x21. ∴当 x∈12，1时，f′(x)<0. 故 f(x)在 x∈12，1上单调递减； 当 x∈(1,2]时，f′(x)>0. 故 f(x)在 x∈(1,2]上单调递增． ∴f(x)在区间12，2上有唯一极小值点． 故 f(x)min＝f(x)极小值＝f(1)＝0.
(2)由(1)的解答可知 f′(r)＝0， f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减． 因此 x＝r 是 f(x)的极大值点． 所以 f(x)在(0，＋∞)内的极大值为 f(r)＝2arr2＝4ar＝4040＝
100，f(x)在(0，＋∞)内无极小值； 综上所述，f(x)在(0，＋∞)内的极大值为 100，无极小值． 【规律方法】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，
4．某工厂要围建一个面积为 128 m2 的矩形堆料场，一边
可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的
材料最省，堆料场的长、宽应分别为__1_6_m__,8__m__.
考点 1 利用导数解决生活中的优化问题 例 1：(2015 年安徽)已知函数 f(x)＝x＋axr2(a＞0，r＞0)． (1)求 f(x)的定义域，并讨论 f(x)的单调性； (2)若ar＝400，求 f(x)在(0，＋∞)内的极值．
求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式 . 在求 f′x＞0 和 f′x＜0 时要注意，本题主要考查同学们对基本 概念的掌握情况和基本运算能力.
【互动探究】 1．(2013 年重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不
计厚度)．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建 造成本为 12 000π元(π为圆周率)．
考点分布
2011年新课标卷考查函数、 导数、不等式的综合应用； 2012年新课标卷考查函数、 导数、不等式的综合应用； 2014年新课标卷Ⅰ利用导数 考查函数零点； 2014年新课标卷Ⅰ考查函 数、导数、不等式的综合应 用； 2015年新课标卷Ⅰ考查函 数、导数、不等式的综合应 用
考情风向标
本节复习时，要特别注 意三次函数、指数函数 与对数函数(以e为底)的 综合题．要深入体会导 数应用中蕴含的数学思 想方法．分类讨论思想 (如参数问题的讨论)；数 形结合思想(如通过从导 函数图象特征解读函数 图象的特征或求两曲线 交点个数)；等价转化思 想(如将证明的不等式问 题等价转化为研究相应 问题的最值等)
(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水 池的体积最大．
解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh＝200πrh 元， 底面的总成本为 160πr2 元．
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 又根据题意，得 200πrh＋160πr2＝12 000π. 所以 h＝51r(300－4r2)． 从而 V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)． 因为 r＞0，又由 h＞0 可得 r＜5 3. 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3)．
1 ．已知物体自由落体的运动方程 s ＝ 1 gt2 (其中 g 取 10 2
m/s2)，则物体在 t＝3 s 的瞬时速度为( A )
A．30 m/s
B．40 m/s
C．45 m/s
D．50 m/s
2．函数 f(x)＝12x－x3 在区间[－3,3]上的最小值是_－__1_6_.
3．曲线 y＝xex＋2x＋1 在点(0,1)处的切线方程为_y_＝__3_x_＋__1_.
(2)因为 V(r)＝π5(300r－4r3)，故 V′(r)＝π5(300－12r2)． 令 V′(r)＝0，解得 r＝5 或－5(因 r＝－5 不在定义域内， 舍去)． 当 r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故 V(r)在(0,5)上为增函数； 当 r∈(5,5 3)时，V′(r)＜0. 故 V(r)在(5,5 3)上为减函数．
由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8. 即当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大．
考点 2 利用导数解决不等式问题 例 2：已知函数 f(x)＝1－axx＋lnx.
(1)若函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数 a 的取值 范围；
(2)当 a＝1 时，求 f(x)在12，2上的最大值和最小值； (3)当 a＝1 时，求证：对大于 1 的任意正整数 n，都有 lnn> 12＋13＋14＋…＋1n.
解：(1)由题意可知 x≠－r， 所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)． f(
f′(x)＝ ax2＋2xx2r＋＋2r2xr－＋arx222x＋2r＝ar－xx＋xr＋4 r.
所以当 x＜－r 或 x＞r 时，f′(x)＜0. 当－r＜x＜r 时，f′(x)＞0. 因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x) 的单调递增区间为(－r，r)．